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专题1.3.1 解直角三角形（一）六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：解直角三角形综合之求线段长度
【经典例题1】如图，在 ABC中，， 点D是上一点，过点D作于点E，已知，，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．3
【答案】B
【分析】该题主要考查了解直角三角形，解题的关键是理解正弦的定义．
根据算出，再算出，即可求解；
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练1-1】如图，在中，，，垂足为，若 ，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形，同角的余角相等，由同角的余角相等得，则，设，则，然后通过勾股定理求出的值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴由勾股定理得：，
∴，解得：，
∴，
故选：．
【变式训练1-2】如图，在 ABC中，，，，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，如图，过C作于D，证明，可得，再求解，从而可得答案．
【详解】解：如图，过C作于D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴．
故选D．
【变式训练1-3】如图，在平行四边形中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交直线于点E，再分别以B，E为圆心，大于长为半径在直线下方作弧，两弧交于点F，连接交于点G，连接，若，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查作图—垂直平分线，平行四边形的性质，解直角三角形．由作图可得，解直角三角形求出，再根据平行四边形的性质结合即可解决问题．
【详解】解：由作图可知，
在中，，
∴．
∵，
∴，
在中，，
∴，
故选：D．
【变式训练1-4】如图， ABC中，D为上一点，，， ，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题由已知的值，可以想到构造直角三角形；由是等腰三角形，可以尝试构造三线合一，所以作两条辅助线：过点D作于点E，过点B作于点F． 根据利用相似三角形及比例线段等建立方程组求解．
【详解】解：如图，过点D作于点E，过点B作于点F，
∵中，，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴．
设，，则，
由作图可知，，
∴ ， 即： ①，
在中
∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
即： ，
∴ ，
在中，根据勾股定理得，
， 即：，
①②两式联立： ，
解得： （负值舍去），
∴．
故选D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．
【变式训练1-5】如图，在中，以为直径的交于M，N，交于E，且平分，连接交于F，若，，则的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．4.8
【答案】B
【分析】首先连接，根据和角平分线性质得到，结合得到四边形是平行四边形，求得，由是直径，得到，得到，由，得到，即得．
【详解】连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，角平分线定义，平行四边形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数定义，是解决问题的关键．
题型二：解直角三角形综合之求面积
【经典例题2】如图，在中，，以点A为圆心，以的长为半径画弧，交于点E，且E为的中点，若的长度为π，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了扇形的面积，弧长公式，平行四边形的面积，三角函数，熟练掌握扇形的面积公式，弧长公式是解题的关键；过B作于F，根据弧长公式求出，根据扇形面积公式，求出，利用三角函数求出，进而求出，再求阴影部分的面积即可．
【详解】解：过B作于F，
，以点A为圆心，以的长为半径画弧，交于点E，
，
E为的中点，
，
设所对的圆心角为，
的长度为π，
，，
，
，
在中，，
，
，
故选：．
【变式训练2-1】如图，点是 ABC的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，，，，则 BDE的面积是（ ）
A．10 B． C． D．
【答案】D
【分析】设的外接圆圆心为点O，作圆的直径，交圆于点G，连接，且与的交点为H，利用圆周角定理，勾股定理，三角函数，垂径定理，等边三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：设的外接圆圆心为点O，作圆的直径，交圆于点G，连接，且与的交点为H，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点是的内心，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点是的内心，
∴
，
∴，
∴是等边三角形，
过点B作于点M,
则，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，三角函数，垂径定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握性质和定理，三角函数的应用是解题的关键．
【变式训练2-2】如图，在平行四边形中，，，，以为直径的交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是扇形面积计算、平行四边形的性质．连接，作，先求出、，，，再根据阴影部分面积是扇形与三角形的面积和求解可得．
【详解】解：如图，连接，作于点，
四边形是平行四边形，且，
，
则，
，
，
，，
，
图中阴影部分的面积为，
故选：A．
【变式训练2-3】如图，为的直径，将弧沿翻折，翻折后的弧交于点，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．8 D．10
【答案】C
【分析】本题主要考查圆的综合及三角函数，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键；连接，过点C作于H，然后根据圆的基本性质可得，则有，进而根据三角函数及割补法可进行求解．
【详解】解：如图，连接，过点C作于H，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴设，
根据勾股定理，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【变式训练2-4】如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积是（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了扇形面积的计算和解直角三角形，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．求线段扫过的图形的面积，即求扇形的面积．
【详解】解：由题意，知．
由旋转的性质，得．
在中，．
∴．
∴扇形的面积为．
即线段扫过的图形的面积为．
故选：D．
【变式训练2-5】如图，等边 ABC内接于，若，则图中白色部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，过点O作，垂足为D，根据等边三角形的性质可得，，从而利用圆周角定理可得，然后利用等腰三角形的性质可得，再根据垂径定理可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，最后根据图中白色部分的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
【详解】解：连接，过点O作，垂足为D，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴图中白色部分的面积的面积的面积
的面积
．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，等边三角形的性质，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
题型三：解直角三角形综合之求折叠问题
【经典例题3】如图，在矩形中，点E在上，点F在上，把这个矩形沿折叠后，使点D恰好落在点B处，若，，则折痕的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据折叠性质可得，根据平角定义可得，可得，根据矩形的性质可得，根据平行线的性质可得，即可证明是等边三角形，利用的余弦求出的长即可得答案．根据折叠性质得出是等边三角形是解答本题的关键．
【详解】解：∵把这个矩形沿折叠后，使点恰好落在点处，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的翻折变换、等边三角形的判定及性质、解直角三角形等知识，掌握以上基础知识是解本题的关键.
【变式训练3-1】如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点P的直线折叠，点O恰好落在上的点Q处，折痕交于点P，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，根据折叠可知，，，，进而可得是等边三角形，则，进而求得的面积，根据阴影部分面积求解即可．
【详解】解：连接，交于E，
∵沿对折O和Q重合，，
∴，，，，
∴，是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积
．
故选：D．
【点睛】此题主要考查三角形的折叠问题、等边三角形的性质、扇形面积以及特殊角三角函数值的运用，掌握以上知识是解题的关键．
【变式训练3-2】将矩形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，，，折叠后，点落在边上的处，并且点落在边上的处，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，解直角三角形，由矩形的性质得，进而由三角形函数得，由折叠得，，，，，即可得，，解直角三角形可得，即得，得到，进而即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
由折叠可得，，，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【变式训练3-3】如图，在纸片中，，是边上的中线，将沿折叠，当点落在点处时，恰好，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，翻折的性质，等边对等角，三角形内角和定理，解直角三角形，由直角三角形的性质得，即得，由翻折的性质可得，，进而得，设与的交点为，由三角形内角和定理得，即可得，解直角三角形即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，，是边上的中线，
∴，
∴，
由翻折的性质可得，，，
∴，
如图，设与的交点为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【变式训练3-4】如图，在平行四边形中，，且，将其沿着直线折叠使得点的对应点恰好落在对角线上，且满足．问：与平行四边形的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，翻折变换（折叠问题），解直角三角形，解题的关键是掌握相关的知识．过点作于点，根据平行四边形的性质可得，，在中，设，则，根据勾股定理求出，得到，，，推出，由折叠可得，和均为等腰直角三角形，根据三角函数并结合，需求出的长，最后根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
四边形是平行四边形，
，，
在中，设，
，
，
又，即，
解得：（负值舍去），
，，，
是等腰直角三角形，
，，
由折叠可知，，
和均为等腰直角三角形，
又，
，，
，
，
同理，
．
故选：B．
【变式训练3-5】如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处：再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形中的翻折变换，解直角三角形，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练利用勾股定理列方程．根据折叠的性质得，，，，即可得，则，设，可得，即可解得．再求解即可．
【详解】解：沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处，
，，
折叠纸片，使点与点重合，
，，
，
，
，
，
，
设，则，
，
解得，
，
故选：B.
题型四：解直角三角形综合之求比值
【经典例题4】将有一边相等的两个直角三角板按如图的方式放置，已知，，，与交于点E，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，三角函数，熟练掌握三角函数，特殊角的三角函数值是解题的关键．
根据，可得，进而可得，，根据，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【变式训练4-1】如图，点是的半径上一点，将扇形沿折叠，使弧恰好经过圆心，其中点的对应点是，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质．过点作并延长交于点，设扇形的半径为，根据折叠的性质得出，，，则是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，，根据角的和差求出，根据等腰直角三角形的判定与性质求出，根据线段的和差求出，据此求解即可．
【详解】解：如图，过点作并延长交于点，
设扇形的半径为，
由折叠的性质可得，，，，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
故选：B．
【变式训练4-2】如图，在正方形中，E为边的中点，以为斜边向外作等腰，连接，线段上有一点G，且∠GBF=45°，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】过点F作交于点P，交于点M，连接，过点G作于点H，设正方形边长为，则，证明，四边形为矩形，得出，，求出，设，则，得出，求出，，即可得出答案．
【详解】解：过点F作交于点P，交于点M，连接，过点G作于点H，如图所示：
则，设正方形边长为，
则，
∵四边形为正方形，
∴，，
，，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握正方形的性质．
【变式训练4-2】如图， ABC中，，，点D是的中点，P是以A为圆心，以为半径的圆上的动点，连接，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了解直角三角形，根据阿氏圆的定义，分别固定，分别确定A点的运动轨迹为阿氏圆O，C点的运动轨迹为阿氏圆，，由此可知，当最最小时，的值最大，进行求解即可.
【详解】解：固定，则，
∴A点的运动轨迹为阿氏圆O，
设，则，，则，
∵，，
∴C点的运动轨迹为阿氏圆，
∴，
∴，
∴当最小时，的值最大，
，
∴，
故选：D．
【变式训练4-3】如图，在 ABC中，，，为边上一点，连接，以为直径的圆分别交，于，两点，连接，设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了相似三角形的判定与性质和解直角三角形．
连接，如图，先根据圆周角定理得到，则利用等腰三角形的性质得到，，再证明∽得到，接着利用等线段代换得到，然后根据正弦和余弦的定义得到，，从而得到．
【详解】解：连接，如图，
是直径，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
．
故选：B．
【变式训练4-4】如图，在矩形中，点为上一点，连结，作的平分线交于点，连结交BE于点．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延长，交的延长线于，延长，交的延长线于，由四边形是矩形，得，，，则，又平分可证，设，则，由勾股定理得，则，，再证明，，最后由相似三角形的性质即可求解．
【详解】如图，如图所示，延长，交的延长线于，延长，交的延长线于，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
由勾股定理得：，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等角对等边，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
题型五：解非直角三角形
【经典例题5】在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质．
【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为，
∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，
∴，，，
∴，
∵，
∴点是的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴的值为．
故选：C．
【变式训练5-1】如图，在 ABC中，，，，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】D
【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可．
【详解】如下图，作于，
在中，，，
，，
在中，，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键．
【变式训练5-2】如图，在 ABC中，，，，平分交于点，则线段的长为（ ）
A． B．12 C． D．6
【答案】B
【分析】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解．
【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为，
在中，，
在中，，
∵中，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选:B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形．
【变式训练5-3】如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为
A． +1 B．2 C． D．-
【答案】B
【分析】作于，作于，分别解直角三角形求得，和，从而求得，设，在直角三角形中表示出，进而根据列出方程求得，进而求得结果．
【详解】如图，
作于，作于，
在Rt中，，
在Rt中，，，
，
在Rt中，设，
在Rt中，，
，
由得，
，
，
，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形．
【变式训练5-4】如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4）
C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2）
【答案】C
【分析】先求出点A的坐标，再根据旋转变换中，坐标的变换特征求解；或根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A′的坐标．
【详解】过点A作于点C．
在Rt△AOC中， ．
在Rt△ABC中， ．
∴ ．
∵OA＝4，OB＝6，AB＝2，
∴．
∴．
∴点A的坐标是．
根据题意画出图形旋转后的位置，如图，
∴将△AOB绕原点O顺时针旋转90°时，点A的对应点A′的坐标为；
将△AOB绕原点O逆时针旋转90°时，点A的对应点A′′的坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转中点的坐标变换特征及旋转的性质．（a，b）绕原点顺时针旋转90°得到的坐标为（b，-a），绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（－b，a）．
【变式训练5-5】如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取格点E，连接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可证得△ABE是直角三角形，利用三角形外角的性质可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cos∠ABE，从而结论可得．
【详解】解：取格点E，连接AE、BE，如图：
设网格中的小正方形的边长为1，
则BE＝，
AE＝，
AB=．
∵BE2+AE2＝2+8＝10，
AB2＝10，
∴BE2+AE2＝AB2．
∴∠AEB＝90°．
由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°．
∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD，
∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD，
∴∠APD＝∠ABE．
在Rt△ABE中，cos∠ABE＝．
∴cos∠APD＝．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，本题是网格问题，巧妙的构造直角三角形是解题的关键．
【变式训练5-6】如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（ ）
A．48 B．50 C．52 D．54
【答案】A
【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果．
【详解】解：连接，如图所示
，，
，
四边形的面积为48
故选：A．
【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题．
题型六：解直角三角形综合
【经典例题6】如图，是的直径，弦于点，点在上，．
(1)求证：；
(2)若，，求的直径．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）根据，则，根据同弧或者等弧所对的圆周角相等，即可；
（2）根据，垂径定理，得，连接，根据同弧或者等弧所对的圆周角相等，则，根据，则，即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．即的直径为6.
【变式训练6-1】如图，在 ABC中，，点是边上一动点（不与，重合），，交于点，且．
(1)求证：
(2)若，求的值
(3)若为直角三角形时，求的值
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)为直角三角形时，为8或．
【分析】（1）先证明，，从而可得结论；
（2）如图，过作于， 可得，，，可得，再进一步可得答案；
（3）根据可得，又因为，可得，因此，由于为直角三角形，分类讨论：当时，利用得到，即，易得，当，利用得到，然后在中，根据余弦的定义可计算出．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：如图，过作于，
∵，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
结合（2）可得，
当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形时，为8或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的应用，解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定和性质．
【变式训练6-2】已知：如图，是的直径，弦于点E，G是弧上一动点，，的延长线交于点．连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
（1）利用圆周角定理即可解决问题；
（2）连接．证明是等边三角形，解即可解决问题．
【详解】（1）解：连接．
，是的直径，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：连接．
∵
∴
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
【变式训练6-3】如图所示，点P是菱形对角线上的一点．
(1)求证：；
(2)连接并延长交边于点E，连接并延长交边于点F，交的延长线于点Q，：
①求的值；
②当 DPQ是等腰三角形时，请求出的值．
【答案】(1)见解析
(2)①；②或．
【分析】（1）根据菱形的性质得到，平分，则，即可证明；
（2）①证明，得到，,则，证明，得到，则,即，证明，则，得到,则，即可得到结论；②分三种情况分别进行讨解答即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，平分，
∴，
在和中，
∴；
（2）解：①∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，,
∴，
∵
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴,即，
∵，
∴
∴，
∴，
∴,
∴，
∴；
②由（1）证得，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
若，
∵，
∴
∴，
∴
∴，
∵，设，，
，
∴，
∴，
由菱形性质，是菱形的对称轴，
∴△EBP和△FDP关于AC对称
则，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
作于H，设，
则，
解得，即
∴
∴；
若，
∴
∵，设，，
，
同理可得：
∵，
∴，
∴，
∴
同理可得：
，
设，
∴，
解得，
∴
∴；
即的值为或．
【点睛】本题考查了菱形性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识．作辅助线也是本题的关键，综合性较强．
【变式训练6-4】如图，已知在 ABC中，，，点D、E边上（点E在点D右侧，点D不与点B重合），，过点B作，交的延长线于点F．
(1)当时，求线段的长；
(2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
(3)连接，如果，求的长．
【答案】(1)线段的长为
(2)，
(3)的长为4或8
【分析】（1）根据，得出，在中，求得，在中， 求得，由即可得出答案；
（2）证明，得出，求出，再证明，得出，求得，根据点D、E边上，点E在点D右侧，点D不与点B重合，得出，求出即可；
（3）分两种情况，当时或当时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）解：如图所示：
，
，
在中，
，
在中，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
即，
解得，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
根据点D、E边上，点E在点D右侧，点D不与点B重合，
，
，
，
；
（3）当时，如图：
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
；
当时，如图：
，
，
由（2）可知，，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，当与相似时，的长为4或8．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，解题的关键是数形结合，作出相应的图形，并注意分类讨论．
【变式训练6-5】如图1， ABC和 ADE都是等腰三角形，，，与、分别交于点、，和交于点，连接，．
(1)若，求；
(2)如图2，延长，交于点，求证：、、三点在同一条直线上．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可；
（2）连接，根据等腰三角形的判定与性质，结合全等三角形的判定与性质分别证明、、、得到，，根据线段垂直平分线的判定即可证的结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，又，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，又，，
∴，
∴，
∵，，
∴在线段的垂直平分线上，
∴在同一条直线上；
【点睛】本题考查了求角的正弦值、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，是解答的关键．
【变式训练6-6】如图，四边形内接于，，延长到点，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由四边形内接于，可得，由，可得，证明，进而结论得证；
（2）如图，过点A作于N，过点D 作于，则，由，可得，再由，，可得，解直角三角形求出和，然后根据计算即可．
【详解】（1）证明：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点A作于N，过点D 作于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴
．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角、弦长相等，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，含直角三角形的性质等知识．熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
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专题1.3.1 解直角三角形（一）六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：解直角三角形综合之求线段长度
【经典例题1】如图，在 ABC中，， 点D是上一点，过点D作于点E，已知，，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．3
【变式训练1-1】如图，在中，，，垂足为，若 ，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】如图，在 ABC中，，，，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．
【变式训练1-3】如图，在平行四边形中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交直线于点E，再分别以B，E为圆心，大于长为半径在直线下方作弧，两弧交于点F，连接交于点G，连接，若，则（ ）
A．3 B． C． D．
【变式训练1-4】如图， ABC中，D为上一点，，， ，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-5】如图，在中，以为直径的交于M，N，交于E，且平分，连接交于F，若，，则的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．4.8
题型二：解直角三角形综合之求面积
【经典例题2】如图，在中，，以点A为圆心，以的长为半径画弧，交于点E，且E为的中点，若的长度为π，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】如图，点是 ABC的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，，，，则 BDE的面积是（ ）
A．10 B． C． D．
【变式训练2-2】如图，在平行四边形中，，，，以为直径的交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】如图，为的直径，将弧沿翻折，翻折后的弧交于点，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．8 D．10
【变式训练2-4】如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积是（ ）
A． B．6 C． D．
【变式训练2-5】如图，等边 ABC内接于，若，则图中白色部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
题型三：解直角三角形综合之求折叠问题
【经典例题3】如图，在矩形中，点E在上，点F在上，把这个矩形沿折叠后，使点D恰好落在点B处，若，，则折痕的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式训练3-1】如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点P的直线折叠，点O恰好落在上的点Q处，折痕交于点P，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】将矩形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，，，折叠后，点落在边上的处，并且点落在边上的处，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】如图，在纸片中，，是边上的中线，将沿折叠，当点落在点处时，恰好，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-4】如图，在平行四边形中，，且，将其沿着直线折叠使得点的对应点恰好落在对角线上，且满足．问：与平行四边形的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-5】如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处：再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则（ ）
A． B． C． D．
题型四：解直角三角形综合之求比值
【经典例题4】将有一边相等的两个直角三角板按如图的方式放置，已知，，，与交于点E，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】如图，点是的半径上一点，将扇形沿折叠，使弧恰好经过圆心，其中点的对应点是，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】如图，在正方形中，E为边的中点，以为斜边向外作等腰，连接，线段上有一点G，且∠GBF=45°，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式训练4-2】如图， ABC中，，，点D是的中点，P是以A为圆心，以为半径的圆上的动点，连接，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】如图，在 ABC中，，，为边上一点，连接，以为直径的圆分别交，于，两点，连接，设，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-4】如图，在矩形中，点为上一点，连结，作的平分线交于点，连结交BE于点．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
题型五：解非直角三角形
【经典例题5】在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】如图，在 ABC中，，，，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
【变式训练5-2】如图，在 ABC中，，，，平分交于点，则线段的长为（ ）
A． B．12 C． D．6
【变式训练5-3】如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为
A． +1 B．2 C． D．-
【变式训练5-4】如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4）
C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2）
【变式训练5-5】如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-6】如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（ ）
A．48 B．50 C．52 D．54
题型六：解直角三角形综合
【经典例题6】如图，是的直径，弦于点，点在上，．
(1)求证：；
(2)若，，求的直径．
【变式训练6-1】如图，在 ABC中，，点是边上一动点（不与，重合），，交于点，且．
(1)求证：
(2)若，求的值
(3)若为直角三角形时，求的值
【变式训练6-2】已知：如图，是的直径，弦于点E，G是弧上一动点，，的延长线交于点．连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
【变式训练6-3】如图所示，点P是菱形对角线上的一点．
(1)求证：；
(2)连接并延长交边于点E，连接并延长交边于点F，交的延长线于点Q，：
①求的值；
②当 DPQ是等腰三角形时，请求出的值．
【变式训练6-4】如图，已知在 ABC中，，，点D、E边上（点E在点D右侧，点D不与点B重合），，过点B作，交的延长线于点F．
(1)当时，求线段的长；
(2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
(3)连接，如果，求的长．
【变式训练6-5】如图1， ABC和 ADE都是等腰三角形，，，与、分别交于点、，和交于点，连接，．
(1)若，求；
(2)如图2，延长，交于点，求证：、、三点在同一条直线上．
【变式训练6-6】如图，四边形内接于，，延长到点，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
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