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专题突破四：锐角三角函数选填综合（20道）
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．在中，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是互余两角三角函数的关系，解题的关键是熟练的掌握互余两角三角函数的关系，根据互余两角三角函数关系直接解决即可．
【详解】解：如图，在中，，若，
∴，
故答案选：B．
2．在中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查解直角三角形，根据正切定义，设，则，再根据勾股定理求得，然后利用余弦定义求解即可．
【详解】解：如图，
∵在中，，，
∴设，则，
∴，
∴，
故选：D．
3．在 ABC中，，a，b，c分别为的对边，且有，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了求角的正弦值，勾股定理，完全平方公式等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据题意画出图形，然后利用得到，然后利用勾股定理求出，然后利用正弦的概念求解即可．
【详解】解：如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
故选：D．
4．如图，在 ABC中，，点D是延长线上一点，．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查解直角三角形，特殊直角三角形的性质等知识，如图，设．解直角三角形求出，，，可得结论．
【详解】如图，设．
在中，，，
，，
，
∴．
故选：C．
5．如图，四边形是菱形，，，于点E，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查菱形的性质，求角的正弦值，根据菱形的性质，求出的长，在中，根据正弦的定义，进行求解即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选B．
6．如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正弦值：过点作，证明，得到，再证明，分别求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，再利用正弦的定义，求解即可．
【详解】解：∵矩形，，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴
过点作，则：，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故选A．
7．正方形对角线交于O，点E和F分别在和延长线上，且，连结，其中与和交于点G和M，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】证明，则，，，如图，作于，于，证明，则，，证明，则，设，，则，，，，，证明，则，即，根据，求解作答即可．
【详解】解：∵正方形，
∴，，，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，即，
如图，作于，于，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
设，，
∴，
∴，，，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质， 正切等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质， 正切是解题的关键．
8．如图，在中，，以为边，在其右侧作正方形，分别交，于点E，I，以为边，在其下侧作正方形，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、求锐角三角函数值、相似三角形的判定和性质等知识，由四边形、都是正方形得到，，设正方形的边长为a，根据解得，由求得，得到，再由勾股定理求出，即可求出.
【详解】解：∵四边形、都是正方形，
∴，，
设正方形的边长为a，
∴
∵，
∴，
解得
∵，
∴，
∴,
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
故选：C
9．如图，在等腰三角形中， ，，将绕点C顺时针旋转得到，连接，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、求锐角三角函数值、旋转的性质等知识过点D作交的延长线于点E，过点A作于点F，由旋转的性质可知，由等腰三角形三线合一得到，求出，证明，则即可得到，即可求出.
【详解】解：过点D作交的延长线于点E，过点A作于点F，
由旋转的性质可知，，
∵，，
∴，
∴，
∵,
∴，
∵，
∴，
∵
∵
∴，
∴
∴
∴，
故选：D
10．如图，等腰 ABC、 ADE中，，，，于M，连接，若，则 ．
【答案】/0.8
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的定义、勾股定理、锐角三角函数等知识．证明，则，得到，由于M得到，则，设则求出，即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵于M，
∴，
则，
设则
∴，
∴，
故答案为：
11．如图，在矩形中，，垂足为点E．若，，则的长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查矩形的性质、正弦的定义、同角的余角相等．根据同角的余角相等，得到，再根据正弦定义即可解得的长．
【详解】解：在矩形中，，
，
，
，
，
，
故答案为：5．
12．如图，矩形，，，将矩形绕点A顺时针旋转得矩形，连接、，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查的是旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，求解锐角的正切，掌握基础知识是解本题的关键．
如图，连接，证明，，可得，，，从而可得结论．
【详解】解：如图，连接，
∵，，将矩形绕点A顺时针旋转得矩形，
∴，，，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
，
，
，
∴．
故答案为：1．
13．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边、 于点、．若，，则 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，求正切，连接，勾股定理求得，进而根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：连接，如图所示，
∵的垂直平分线分别交边于点E、F．
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴
故答案为：．
14．如图，在中，，是斜边上的中线，过点E作交于点F，若，的面积为5，则的正弦值为 ．
【答案】
【分析】根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得，进而得到，从而有，根据三角形的面积公式求出，由勾股定理，在中，求出，再求出，最后根据结合锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】如图，连接，
∵是斜边上的中线， ，
∴，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
又∵，，
∴，
，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线的性质，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
15．已知 ABC为直角三角形，，，将 ABC绕点C逆时针旋转得，连接，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了求角的正切值，旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定解题的关键是掌握以上知识点．，
过E作，设，则，表示出，然后利用正切的概念求解即可．
【详解】过E作，
设，则，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
．
故答案为：．
16．已知，正方形的边长为，点是直线上一点．若，则的值是
【答案】或
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义以及正方形的性质，解题的关键是利用图形考虑此题有两种可能，要依次求解．
本题可以利用锐角三角函数的定义在直角三角形中分两种情况求解即可．
【详解】解：此题有两种可能：
当点在线段上时，
，，
，
，
∴，
；
当点在线段的延长线上时，
，，
，
，
∴，
；
故答案为：或．
17．如图，在 ABC中，是高，E是上一点，交于点F，且，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理．
过点C作于点H，过点F作于点G，设，则，，，易得，，，通过有证明，得出，通过证明，得出，再证明，得出，最后根据即可解答．
【详解】解：如图，过点C作于点H，过点F作于点G，
设，则，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，．
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
18．如图所示，在中，，点D是上的一点，且，则 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识点，证得并根据相似三角形的性质列比例式求解即可．
如图：过D作交于H，由平行线的性质得到，由勾股定理求出，由，推出，求出得到，然后根据正切的定义即可解答．
【详解】解：如图：过D作交于H，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴,
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,
∴,
∴．
故答案为：．
19．如图，在 ABC中，，，则的值为
【答案】/0.5
【分析】题目主要考查平行线的性质及特殊角的三角形函数，根据题意得出，然后求正弦值即可
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：
20．如图，在矩形中，E是上的一点，沿将对折，点D的对称点F刚好落在边上．若，，求的长．
【答案】
【分析】由矩形的性质可得出，，由折叠的性质得出 ，证明 ，由相似三角形的性质可得出，由正切的定义得出， 设，则可得出，最后由勾股定理即可得出答案．
【详解】证明：∵四边形是矩形，
，，
∵沿将对折，点D的对称点F刚好落在边上，
，
，
；
∴，
由折叠的性质可得出：，
∴，
∵，
设，，
∴，
∴，
在中，，
，
解得，（舍去）
的长是．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质， 相似三角形的判定以及性质，正切的定义，以及矩形的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键．
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本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．在中，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．在 ABC中，，a，b，c分别为的对边，且有，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在 ABC中，，点D是延长线上一点，．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，四边形是菱形，，，于点E，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．正方形对角线交于O，点E和F分别在和延长线上，且，连结，其中与和交于点G和M，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，以为边，在其右侧作正方形，分别交，于点E，I，以为边，在其下侧作正方形，已知，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在等腰三角形中， ，，将绕点C顺时针旋转得到，连接，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，等腰 ABC、 ADE中，，，，于M，连接，若，则 ．
11．如图，在矩形中，，垂足为点E．若，，则的长为 ．
12．如图，矩形，，，将矩形绕点A顺时针旋转得矩形，连接、，则 ．
13．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边、 于点、．若，，则 ．
14．如图，在中，，是斜边上的中线，过点E作交于点F，若，的面积为5，则的正弦值为 ．
15．已知 ABC为直角三角形，，，将 ABC绕点C逆时针旋转得，连接，则 ．
16．已知，正方形的边长为，点是直线上一点．若，则的值是
17．如图，在 ABC中，是高，E是上一点，交于点F，且，则的值是 ．
18．如图所示，在中，，点D是上的一点，且，则 ．
19．如图，在 ABC中，，，则的值为
20．如图，在矩形中，E是上的一点，沿将对折，点D的对称点F刚好落在边上．若，，求的长．
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