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第1章 解直角三角形单元测试卷【基础卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：解直角三角形
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．的值等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，根据角的余弦值即可求解
【详解】解：，
故选：A
2．把 ABC三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（ ）
A．不变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的2倍 D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查锐角三角函数的定义，由于三边的长度都扩大为原来的倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角的正弦值也不变．
【详解】因为三边的长度都扩大为原来的倍，所得的三角形与原三角形相似，
所以锐角的大小没改变，所以锐角的正弦值也不变．
故选A．
3．小明沿着坡度为的山坡向上走了，则他竖直上升了（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是理解坡比的概念，根据题意，正确画出图形．
根据题意，画出图形，如下，根据坡比为，可设，则，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：根据题意，画出图形，如下：
由题意可得，，
设，则，
由勾股定理可得：，即
解得，
即，他升高了，
故选：C．
4．在 ABC中，，均为锐角，且，则下列对 ABC的形状的描述中，最准确的是 （ ）
A． ABC是直角三角形 B． ABC是等边三角形
C． ABC是等腰三角形 D． ABC是等腰直角三角形
【答案】B
【分析】本题考查的是非负数的性质，特殊角的三角函数值的应用，等边三角形的判定，根据非负数的性质可得，，证明，从而可得答案．
【详解】解：由，
得，．
由，均为锐角，得，，
∴，，
∴，
∴，
∴ ABC是等边三角形．
故选B．
5．如图，在菱形中，，，分别是的中点，连接，且分别是的中点，连接，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，解直角三角形的相关计算，正确添加辅助线，熟练掌握各知识点是解题的关键．
连接，与交于点O，由三角形的中位线定理得到，根据菱形的性质和解直角三角形得到，即可求解．
【详解】解：连接，与交于点O，
∵分别是的中点，且分别是的中点，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
6．中国古代数学家赵爽用四个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为，为直角三角形中的较大锐角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，再接着利用勾股定理得到关于的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出的值即可．
【详解】解：∵小正方形与每个直角三角形面积均为，
∴大正方形的面积为，
∴小正方形的边长为，大正方形的边长为，
设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，其中，
∴，其中，
解得：，(不符合题意，舍去)，
．
故选：B．
7．如图，一块矩形木板斜靠在墙边，，点在同一平面内，，，，则点到的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，解直角三角形，作于点，作于点，可得四边形是矩形，得到，又由四边形是矩形，可得，，进而可得，再分别解和求出和，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：作于点，作于点，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形是矩形，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴ ，
∴点到的距离等于，
故选：．
8．如图， ABC的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查求角的正切值，勾股定理，正正方形的性质，掌握正切的定义并构造直角三角形是本题的关键．
首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．
【详解】解：取格点，连接．根据正方形的性质可得，
由勾股定理得，，
∴．
故选：A．
9．已知点与点分别在反比例函数与的图像上，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，过点作轴，过点作轴，根据值的几何意义，得到，，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值，即可．
【详解】解：过点作轴，过点作轴，则：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点与点分别在反比例函数与的图像上，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选C．
10．如图，的两条高线交于点F，过B，C，E三点作，延长交于点G，连接．设，则下列线段中可求长度的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理、解直角三角形的应用，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．连接交于点，则，设，则，设的半径为，则，在中，得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接交于点，
根据题意得，点F为的垂心，
则，
又，
∴为直径，
∴，
故点在上，
设，
∴在中，，
∴①，
依题意，，
∴，
∴，
设的半径为，则，
∴，
在中，
；
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．计算： ．
【答案】/
【分析】本题考查特殊角三角函数值的混合运算，先求特殊角的三角函数值，，再进行实数的运算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
12．一个人沿坡面向上走了米，而升高了米，那么这个坡的坡比 ．
【答案】
【分析】本题考查了坡度的定义，利用勾股定理可求出行走的水平距离，根据坡度的定义即可得答案.
【详解】∵向上行走了10米，上升高度为6米，
∴行走的水平距离=米，
∴此斜坡的坡度，
故答案为：
13．在中，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查特殊三角函数值，利用求出，则即可求解．
【详解】解：在中，，
，
，
故答案为：．
14．正方形的边长为6，点E为线段垂直平分线上一点，，连接，则 ．
【答案】或
【分析】本题考查的是正方形性质、勾股定理的应用、矩形的判定与性质及求三角函数值计算，分两种情况：当点E在正方形内部或外部时，分别在或中求三角函数值即可．
【详解】解：设线段垂直平分线与边交点为，
在正方形中，，
，
四边形是矩形，
，
当点E在正方形内部时，
在中，，
，
，
，
，
；
当点在正方形外部时，
同理，
，
，
，
；
故答案为：或．
15．如图，在 ABC中，，，．点D在上，，连接，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键．过点作于点E，根据正切值，设，则，利用勾股定理求出，，进而得到，再利用勾股定理即可求出的长．
【详解】解：如图，过点作于点E，
，．
设，则，
由勾股定理得：，
，
解得：或（舍），
，，
，
，
在中，，
故答案为：．
16． ABC中，和均为锐角，，，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角函数定义求值及勾股定理．过点作于点．在中，已知和的值，根据三角函数可求的长；在中，运用勾股定理可求的长，代入进行求解．
【详解】解：过点作于点．
在中，，，
．
在中，，
．
．
故答案为：．
17．泉州开元寺石塔是我国古代石构建筑瑰宝．从石塔的建筑规模、形制和技艺等方面来看，都可以说得上精妙绝伦，它既是中世纪泉州海外交通鼎盛时期社会空前繁荣的象征，也是泉州历史文化名城特有的标志．某校九年级测量小组要测量东塔“镇国塔”的高度，因为塔尖可视不可达，塔底不可达，于是采用米高的测角仪，在、两处分别测得塔尖A的仰角为和，同时量得为34米，则通过小组测量得到的数据，可以计算东塔塔高约为 米．（，，最后结果精确到米）
【答案】48.0
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握各个锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据题意可得，在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，进而即可解答．
【详解】解：由题意得：，
，
，
设，
在中，，
，
即，
解得：，
，
东塔塔高约为48.0米，
故答案为：48.0．
18．如图，在 ABC中，，，斜边，是的中点，以为圆心，线段的长为半径画圆心角为的扇形，经过点，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】
【分析】本题考查了三角形的全等的判定、扇形的面积、解直角三角形．作，，证明，则，求得扇形的面积，则阴影部分的面积即可．
【详解】解：作，，垂足分别为，连接．
，，点为的中点，
，，
∴，，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形，
∴四边形是正方形，
∵，
∴，
则扇形的面积是：．
，
，
则在和中，
，
，
．
则阴影部分的面积是：．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．计算：．
【答案】6
【分析】先根据乘方、零指数幂和负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值化简，再算乘法、绝对值，后算加减即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，二次根式的乘法等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
20．如图所示，的直径为，弦，相交于点，已知点是的中点，弦的长为．
(1)求圆心到弦的距离．
(2)求的度数．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）连接交于，作于，如图，求解，在中，再利用勾股定理可得答案；
（2）证明，由，可得，从而可得答案；
【详解】（1）解：连接交于，作于，如图，
，
，
在中，，，
，
即圆心到弦的距离为2；
（2）解：点是的中点，
，
在中，，
∴，
，
，
即的度数为．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，勾股定理，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键．
21．如图1，图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两端点均在小正方形的顶点上．
(1)在图1中画出以为对角线的矩形，点B、D均在小正方形的顶点上，且．
(2)在图2中画出以为对角线的正方形，点E、F均在小正方形的顶点上，且点E在的下方，P在格点上，并直接写出的余弦值___．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析，
【分析】本题考查矩形的判定，正方形的判定，求角的正切值和余弦值：
（1）根据矩形的判定方法，结合网格特点，作图即可；
（2）根据正方形的判定方法，结合网格特点，作图，再根据余弦的定义，进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，矩形即为所求；
（2）如图，正方形，即为所求；
由勾股定理，得：，
∴；
故答案为：．
22．如图1，这是一种折叠椅，忽略支架等的宽度，得到其侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示．若座板平行于地面，前支撑架与后支撑架分别与座板交于点E，D，现测得，，，．
(1)求椅子的展角的度数．
(2)求点P到地面的距离．（精确到）
（参考数据：，，）
【答案】(1)椅子的展角的度数约为
(2)点到地面的距离约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握解直角三角形的应用是解题关键．
（1）过点作于点，先证出，根据相似三角形的性质可得的长，再根据等腰三角形的性质可得的长，然后在中，解直角三角形可得的大小，最后根据三角形的内角和定理求解即可得；
（2）过点作于点，在中，利用正弦的定义求解即可得．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∵，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
答：椅子的展角的度数约为．
（2）解：如图，过点作于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：点到地面的距离约为．
23．如图，在 ABC中，，是的外接圆，过点 O作的垂线，垂足为 D，分别交直线，于点E，F，射线交直线于点G．
(1)求证．
(2)若点E在的延长线上，且，求的度数．
(3)当时，随着的长度的增大，的长度如何变化 请描述变化过程，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)当时，，随增大，从4.5附近开始逐渐减小到0；当时，，随增大，从0附近开始逐渐增大．
【分析】（1）连接并延长交于点H, 连接，根据线段垂直平分线判断垂直平分，得到，结合，，即得；
（2）连接，设，得，得，根据， 垂直平分，得到，得到，根据垂径定理推出，得到，在中，推出, 得到，即得；
（3）在和中，根据，得，得，结合，得，当时， ，随增大而减小，从4.5附近开始逐渐减小到0；当时， ，随增大而增大，从0附近开始逐渐增大．
【详解】（1）连接并延长交于点H, 连接，
∵，
∴ 垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
（2）连接，设，
由（1）知，，
∴，
∵, 垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴,
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
当时，
，
∴，
随增大而减小，从4.5附近开始逐渐减小到0；
当时，
，
∴，
随增大而增大，从0附近开始逐渐增大．
【点睛】本题主要考查了圆与三角形结合．熟练掌握等腰三角形的判定和性质，垂径定理，三角形外角性质，线段垂直平分线的判定和性质，正弦定义，分类讨论，是解决问题的关键 ．
24．在中，M是斜边的中点，将线段绕点M旋转至位置，点D在直线外，连接，．已知点D和边上的点E满足，．
(1)如图1，连接，求证：；
(2)如图2，连接，若，，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1） 根据题意可得，即可证明四边形和四边形是平行四边形，结合，则平行四边形是菱形，得，结合，可得A、C、D、B四点共圆，则有，即可证明；
（2）过点E作于点H，则，利用勾股定理得，结合菱形得性质求得，可得，求得和，即可．
【详解】（1）证明：∵
∴，
在中，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴A、C、D、B四点共圆，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点E作于点H，
则，
在中，由勾股定理得：，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的值为．
【点睛】本题主要考查直角三角形的判定，菱形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理的推论，勾股定理，以及解直角三角形．解题的关键是熟悉特殊四边形的判定和性质，以及圆周角定理．
25．如图，抛物线与x轴交于点A，B，对称轴为直线，与y轴交于点，直线与抛物线交于C，D两点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)连接、、、，求四边形的面积．
(3)若点E为直线上方的抛物线上的一个动点（不与点C，D重合），将直线上方的抛物线部分关于直线对称形成爱心图案，动点E关于直线对称的点为F，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点可求出b，c的值，即可解答；
（2）对于抛物线，令，求出点A，B的坐标，得到的长，解方程组，得到点C，D的坐标，根据即可求解；
（3）设点（），过点E作轴，交直线于点G，则，，求，根据轴对称的性质得到，，通过解直角三角形得到，根据二次函数的性质即可求出的最大值，进而即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点，
∴，，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：对于抛物线，
令，则，
解得，，
∴，，
∴
解方程组，得，，
∴，，
∴；
（3）设点（），
过点E作轴，交直线于点G，
∴，
∴，
将代入得，
∴，
将代入得，解得，
∴，
∴
∴，
∵轴，
∴轴，
∴，
∵点E与点F关于直线对称，
∴，，
∴在中，
，
∴当时，有最大值，为，此时，
∴的取值范围为：．
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合应用，轴对称图形的性质，三角函数的应用，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
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第1章 解直角三角形单元测试卷【基础卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：解直角三角形
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．的值等于（ ）
A．1 B． C． D．
2．把 ABC三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（ ）
A．不变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的2倍 D．不能确定
3．小明沿着坡度为的山坡向上走了，则他竖直上升了（ ）
A． B． C． D．
4．在 ABC中，，均为锐角，且，则下列对 ABC的形状的描述中，最准确的是 （ ）
A． ABC是直角三角形 B． ABC是等边三角形
C． ABC是等腰三角形 D． ABC是等腰直角三角形
5．如图，在菱形中，，，分别是的中点，连接，且分别是的中点，连接，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．1
6．中国古代数学家赵爽用四个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为，为直角三角形中的较大锐角，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一块矩形木板斜靠在墙边，，点在同一平面内，，，，则点到的距离为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图， ABC的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知点与点分别在反比例函数与的图像上，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，的两条高线交于点F，过B，C，E三点作，延长交于点G，连接．设，则下列线段中可求长度的是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．计算： ．
12．一个人沿坡面向上走了米，而升高了米，那么这个坡的坡比 ．
13．在中，，则 ．
14．正方形的边长为6，点E为线段垂直平分线上一点，，连接，则 ．
15．如图，在 ABC中，，，．点D在上，，连接，则 ．
16． ABC中，和均为锐角，，，且，则的值为 ．
17．泉州开元寺石塔是我国古代石构建筑瑰宝．从石塔的建筑规模、形制和技艺等方面来看，都可以说得上精妙绝伦，它既是中世纪泉州海外交通鼎盛时期社会空前繁荣的象征，也是泉州历史文化名城特有的标志．某校九年级测量小组要测量东塔“镇国塔”的高度，因为塔尖可视不可达，塔底不可达，于是采用米高的测角仪，在、两处分别测得塔尖A的仰角为和，同时量得为34米，则通过小组测量得到的数据，可以计算东塔塔高约为 米．（，，最后结果精确到米）
18．如图，在 ABC中，，，斜边，是的中点，以为圆心，线段的长为半径画圆心角为的扇形，经过点，则图中阴影部分的面积为 .
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．计算：．
20．如图所示，的直径为，弦，相交于点，已知点是的中点，弦的长为．
(1)求圆心到弦的距离．
(2)求的度数．
21．如图1，图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两端点均在小正方形的顶点上．
(1)在图1中画出以为对角线的矩形，点B、D均在小正方形的顶点上，且．
(2)在图2中画出以为对角线的正方形，点E、F均在小正方形的顶点上，且点E在的下方，P在格点上，并直接写出的余弦值___．
22．如图1，这是一种折叠椅，忽略支架等的宽度，得到其侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示．若座板平行于地面，前支撑架与后支撑架分别与座板交于点E，D，现测得，，，．
(1)求椅子的展角的度数．
(2)求点P到地面的距离．（精确到）
（参考数据：，，）
23．如图，在 ABC中，，是的外接圆，过点 O作的垂线，垂足为 D，分别交直线，于点E，F，射线交直线于点G．
(1)求证．
(2)若点E在的延长线上，且，求的度数．
(3)当时，随着的长度的增大，的长度如何变化 请描述变化过程，并说明理由．
24．在中，M是斜边的中点，将线段绕点M旋转至位置，点D在直线外，连接，．已知点D和边上的点E满足，．
(1)如图1，连接，求证：；
(2)如图2，连接，若，，求的值．
25．如图，抛物线与x轴交于点A，B，对称轴为直线，与y轴交于点，直线与抛物线交于C，D两点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)连接、、、，求四边形的面积．
(3)若点E为直线上方的抛物线上的一个动点（不与点C，D重合），将直线上方的抛物线部分关于直线对称形成爱心图案，动点E关于直线对称的点为F，求的取值范围．
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