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专题突破二：网格中构建直角三角形（20道）
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．如图， 网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接、交于点P，则的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
2．如图，在正方形网格中，点为网格格点，，垂足为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，正方形网格中，如图所示放置（点，，均在网格的格点上，且点在上），则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点A、B、C是边长相同的正方形网格中的三个格点（即正方形的顶点），则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．网格中的每个小正方形的边长都是1， ABC每个顶点都在网格的交点处，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，点在正方形网格的格点上，则是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，都在正方形网格的格点上，与交于点，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点， ， ，，都在网格的格则的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，若 ABC的顶点均是格点，则的值是（ ）
A． B． C．0.5 D．2
10．如图，A、B、C、D四点均在由边长为1的小正方形组成的网格格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点（网格线的交点）上， 圆M经过点A、B、C、D，则的值为 ．
12．如图， ABC的顶点在由大小相同的正方形组成的网格的格点上，则的值为 ．
13．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1， ABC的顶点都在格点上，则的正切值是 ．
14．如图，在的正方形的网格图中，已知点A，B，C，D，O均在格点上，其中A、B、D又在⊙O上，点E是线段与的交点，则正切值为 ．
15．如图是由全等的含角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点A，B，C在格点上，则的值为 ．
16．如图是的网格，每个格子都为正方形．点A，B，C，D，E均为格点，线段交于点O．则 ．
17．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点（网格线的交点）上，经过点，，，，则的值为 ．
18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形的顶点均在网格的格点上．
(1)求的值．
(2)操作与计算：用尺规作图法过点C作，垂足为E，并直接写出的长．（保留作图痕迹，不要求写出作法）
19．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．
(1)在图①中以线段为边画 ABC，使点C在格点上，且；
(2)如图②中以线段为边画，；
(3)如图③中以线段为边画，使，．
20．如图是正方形网格，已知格点A，B，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
(1)在图1中，以为对角线，作一个正方形；
(2)在图2中，取格点，作，使．
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专题突破二：网格中构建直角三角形（20道）
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．如图， 网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接、交于点P，则的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正切函数，勾股定理，正方形的性质等，连接、，，由平行线的性质得，由勾股定理求出、的长，由正切函数求出的值；掌握正切函数的定义，作出辅助线使得，构建直角三角形求解是解题的关键．
【详解】解：如图，连接、，
由正方形的性质得：
，
，，
，
，
，
，
；
故选：A．
2．如图，在正方形网格中，点为网格格点，，垂足为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了勾股定理、求角的正弦值，先由勾股定理求出，得到，再证明，即可得到的值.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴
故选：C
3．如图，正方形网格中，如图所示放置（点，，均在网格的格点上，且点在上），则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理和三角函数，连接，根据图形求得、、的长，根据得到，从而求得的值．
【详解】解：如图，连接，
由图可知：，，
，
，
，
故选：B．
4．如图，点A、B、C是边长相同的正方形网格中的三个格点（即正方形的顶点），则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了求角的余弦值，勾股定理，先由网格的特点得到，在中，求出的值即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，，
∴，
∴
∴，
故选：D．
5．网格中的每个小正方形的边长都是1， ABC每个顶点都在网格的交点处，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理、正弦的定义等知识点，根据网格和勾股定理以及等面积法求得成为解题的关键．
如图，取的中点D，则，垂足为E，由网格可得、，再根据等面积法求得，最后根据正弦的定义即可解答．
【详解】解：如图，取的中点D，则，垂足为E，
由网格可得，，，
则边上的高，
∵，
∴，即，解得：，
∴．
故选：C．
6．如图，点在正方形网格的格点上，则是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查解直角三角形、勾股定理，解题的关键是构造直角三角形，计算出和的长度．设于，小正方形边长为1，然后根据正方形的性质和勾股定理，可以得到和的长，然后即可计算出的值，从而可以得到的值．
【详解】解：如图，设于，
设小正方形边长为1，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
在中，．
的值是，
故选：D．
7．如图，都在正方形网格的格点上，与交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理和勾股定理的逆定理，取格点E，连接，由网格的特点可知 则，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，则，即．
【详解】解：如图所示，取格点E，连接，
由网格的特点可知
∴，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴，
故选：B．
8．如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点， ， ，，都在网格的格则的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形，先证明，从而可得，然后在中，求出的值，即可解答．
【详解】解：如图：
由题意得：，
，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选：D．
9．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，若 ABC的顶点均是格点，则的值是（ ）
A． B． C．0.5 D．2
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理、正切，延长到D，连接，利用勾股定理及其逆定理得到，进而利用正切定义求解即可．根据网格特点构造直角三角形是解答的关键．
【详解】解：如图，延长到D，连接，
∵，，，
∴，则，
∴，
故选：C．
10．如图，A、B、C、D四点均在由边长为1的小正方形组成的网格格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．连接，作，利用勾股定理求出，利用面积法求出，然后利用正弦的定义即可求出，同理可求出，然后相加即可．
【详解】连接，作，
由勾股定理，得
，．
∵，
∴，
∴．
同理可求出，
∴．
故选B．
11．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点（网格线的交点）上， 圆M经过点A、B、C、D，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，正切值的定义，解题的关键是熟练掌握相关定义，定理．由圆周角定理，得到，，根据正切值的定义，即可求解，
【详解】解：连接，，，如图所示：
∵点，，都在格点（网格线的交点）上，经过点，，，，
∴，，，
∵，
∴，
故答案为：．
12．如图， ABC的顶点在由大小相同的正方形组成的网格的格点上，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了网格与勾股定理，余弦值的计算，根据题意，运用网格与勾股定理，等面积法求值点到的距离（即垂线），构造出直角三角形，再根据余弦值的计算方法即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作与点，
∴，且点到的距离（高）为，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为： ．
13．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1， ABC的顶点都在格点上，则的正切值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线，构造出合适的直角三角形是解题的关键．
过点作的垂线，构造出直角三角形即可解决问题．
【详解】解：过点作的垂线，垂足为，
由勾股定理得，，
．
在中，．
故答案为：3．
14．如图，在的正方形的网格图中，已知点A，B，C，D，O均在格点上，其中A、B、D又在⊙O上，点E是线段与的交点，则正切值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了三角函数和圆周角定理，熟练掌握三角函数及圆周角定理是解题的关键．
由题意易得，，，，然后根据三角函数求解即可．
【详解】如图所示，连接，
由题意得：，即四边形是正方形，是对角线，，
∴，，
，
．
故答案为1．
15．如图是由全等的含角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点A，B，C在格点上，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查菱形的性质，解直角三角形，连接，则，设小菱形的边长是a，由是等边三角形，得到，由，，得到于是．
【详解】解：连接，则，
设小菱形的边长是a，
∵菱形的锐角是，
∴是等边三角形，
∴，
过点D作
∵
∴
∴
∴，
∴．
故答案为：．
16．如图是的网格，每个格子都为正方形．点A，B，C，D，E均为格点，线段交于点O．则 ．
【答案】/
【分析】本题考查锐角三角函数、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质，通过平行线的性质将转化成，再构造直角三角形是解题的关键．
根据“两条直线平行，同位角相等”得出，再连接，构造直角三角形求解即可．
【详解】解：由题可得，，
∴，
连接，则，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点（网格线的交点）上，经过点，，，，则的值为 ．
【答案】/1.5
【分析】
由圆周角定理，得到，，根据正切值的定义，即可求解，
本题考查了圆周角定理，正切值的定义，解题的关键是：熟练掌握相关定义，定理．
【详解】解：连接，，
∵点，，都在格点（网格线的交点）上，经过点，，，，
∴，，，
∴，
故答案为：．
18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形的顶点均在网格的格点上．
(1)求的值．
(2)操作与计算：用尺规作图法过点C作，垂足为E，并直接写出的长．（保留作图痕迹，不要求写出作法）
【答案】(1)
(2)图见解析，
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、正弦、作垂线，熟练掌握正弦的定义是解题关键．
（1）先根据勾股定理和勾股定理的逆定理得出是以为直角的直角三角形，再根据正弦的定义求解即可得；
（2）先以点为圆心、为半径画弧交于点，再分别以点为圆心，长为半径画弧，分别交于点，然后画直线，交于点，则即为所作；最后利用正弦的定义即可求出的长．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∴是以为直角的直角三角形，
∴．
（2）解：用尺规作图法过点作，垂足为，作图如下：
在中，．
19．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．
(1)在图①中以线段为边画 ABC，使点C在格点上，且；
(2)如图②中以线段为边画，；
(3)如图③中以线段为边画，使，．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图应用与设计作图，正切的定义，解题的关键是掌握网格的特征，作出符合条件的图形．
（1）取格点，连接，，使为等腰直角三角形，此时，故为所求；
（2）取格点，连接交格线于，连接，是等腰直角三角形，可得，，得出，，所以，故即为所求；
（3）取格点，，，连接，交的延长线于点，连接， 可得，即，四边形是平行四边形，且其面积等于9，所以的面积等于，故即为所求．
【详解】（1）如图：取格点，连接，，即为所求；
（2）如图：取格点，连接交格线于，连接，即为所求；
（3）如图：取格点，，，连接，交的延长线于点，连接，即为所求；
20．如图是正方形网格，已知格点A，B，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
(1)在图1中，以为对角线，作一个正方形；
(2)在图2中，取格点，作，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，正弦等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，勾股定理，正弦是解题的关键．
（1）格点向上3个格点，向右1个格点为，格点向下1个格点，向右3个格点为，连接，连接则，且互相平分，连接，则四边形是正方形；
（2）记中点为，格点向下1个格点，向右3个格点为，连接，则，，，，格点即为所求．
【详解】（1）解：如图1，正方形即为所求；
（2）解：如图2，格点即为所求；
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