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第1章 解直角三角形单元测试卷【培优卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：解直角三角形
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】连接，将绕点O顺时针旋转得到．证明，推出，利用即可求解．
【详解】解：如图，连接，将绕点O顺时针旋转得到．
，
，
在菱形中，点O是对角线的中点，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积，作出辅助线，构造三角形全等，利用是解题的关键．
2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，每个正方形的顶点叫做格点，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方形的性质，正切定义，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键，连接交于点，由正方形的性质得，，，，进而得，又证，得，从而得，进而利用正切定义即可得解。
【详解】解：如解图，连接交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∴，
根据题意，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴
故选：A
3．如图①，在中，，，动点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，过点作于点，图②是点运动时， ADE的面积随时间变化的关系图象，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查动点函数的图象问题，根据题意可得的最大面积是，此时点D与点C重合，由的面积可求出，再根据特殊角可求出的长．
【详解】解：根据题意可知：的最大面积是，此时点与点重合，如图．
在中，，设，则，，
，
解得（负值舍去）．
，
．
在中，，
，
，
．
故选：C．
4．如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解含角的直角三角形，依次求出，的长，再求出的度数，求出点的坐标，即可求得的值．本题考查了反比例函数图象上点的坐标和解直角三角形，解题的关键是掌握解含有角的直角三角形，求函数图象上点的坐标．
【详解】解：过点作轴，垂足为，
，，，，
，，
在中，，
即，
，
在中，，
即，，
∵，
即，
，
点，
．
故选：C．
5．已知为锐角，是方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．16 B．8 C．15 D．17
【答案】A
【分析】本题主要考查解一元二次方程，锐角三角函数，以及求代数式的值，根据一元二次方程求得其解，结合锐角可得的值，代入代数式求解即可．
【详解】解：∵，化简，
∴，，
∵为锐角，
∴，
∵是方程的一个根，
∴，
则．
故选：A．
6．如图，整个场馆由许多菱形装饰而成．在其中某个菱形中，，点，在直线上，且，将菱形绕原点逆时针旋转，每次转动，则的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，一次函数图象上点的坐标特点，找到旋转的规律是本题的关键．根据旋转的性质及旋转角，先求出点坐标，由题意可得每8次旋转一个循环，即可求解．
【详解】解：如图，设菱形对角线与交于点，
点，点，在直线上，
，，
，，四边形是菱形，
，
，
，
，
第一次旋转，点的坐标为，
第二次旋转，点的坐标为，，
第三次旋转，点的坐标为，，
第四次旋转，点的坐标为，，
第五次旋转，点的坐标为，，
第六次旋转，点的坐标为，，
第七次旋转，点的坐标为，，
由题意可得每8次旋转一个循环，
，
第2024次旋转结束时，点的坐标与第7次旋转后点的坐标相同，为，，
故选：A
7．如图，在半径为6的内有两条互相垂直的弦和，，，垂足为E，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角函数、矩形、圆的知识；解题的关键是熟练掌握垂径定理、矩形、正切的性质，从而完成求解．
连接，过点O作，根据垂径定理得出，再根据勾股定理得出，，通过证明四边形是矩形，得出，即可求解．
【详解】解：连接，过点O作，
∵，，，
∴，
∵半径为6，
∴，
∴，，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
故选：D．
8．如图，在中，，点分别在边上，且，将沿直线翻折，翻折后点落在点处．如果，那么的长为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数，平行线性质和判定，作的平分线，过点A作交的延长线于点E，可将转化为，因此设法求出的值即可解决问题．
【详解】解：如图，由折叠得，，
∵
∴
作的平分线则
过点A作交的延长线于点
则
，
在中，
由勾股定理，得，，
在中，由勾股定理，得，
∴，
∴，
∵，
∴设则，
∴
由得，，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
解得，或（舍去）
∴，
∴，
故选：D
9．如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为，看这栋楼底部C处的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，
由题意得：，
在中，，
，
在中，，
，
，
这栋楼的高度为，
故选：A．
10．如图，点在线段上，等腰的顶角，点是矩形的对角线的中点，连接，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，特殊角的三角函数等知识．连接，过点作于，交于，根据矩形的性质得，从而得出点的运动路径，再利用特殊角的三角函数进行计算即可．
【详解】解：如图，连接，过点作于，交于，
四边形是矩形，点是的中点，
点是，的交点，
，
，
，
点在的垂直平分线上运动，
当时，的值最小，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
的最小值为，
故选：A．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．如图，是半径确定的的一条弦，点是优弧上一动点，且，点分别是的中点、直线与交于两点，在点的运动过程中，若的最大值为，则的半径为 ．
【答案】6
【分析】作直径，连接，设的半径是，由锐角的正弦得到，由三角形中位线定理得到，因此当是圆直径时，有最大值，即可得到答案．
【详解】解：作直径，连接，设的半径是，
，
，，
，
，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
当长最大时，有最大值，
当是圆直径时，最大．
最大值是．
解得，
故答案为：6．
12．已知直线与交于、两点，是直线上一点，若的半径是5，，，则的值是 ．
【答案】3或
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理和锐角三角函数的定义，准确计算是解题的关键．作，则，根据勾股定理求得，根据点P在线段AB上和点P在线段AB的延长线上两处分别计算即可；
【详解】解：作，
∵，则，
∵，
∴，
，
当点P在线段上时，
；
当点P在线段的延长线上时，则，
；
故答案为：3或．
13．如图，是 ABC内一点，，，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，证明，由相似三角形的性质得出，证明，得出，求出，由勾股定理求出AM，最后由直角三角形的性质可求出的长．
【详解】如图，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
在中，，
．
【点睛】此题考查了解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
14．如图，一副三角板的三个内角分别是，，和，，，如图，若固定 ABC，将 BDE绕着公共顶点顺时针旋转度，当边与 ABC的某一边平行时，相应的旋转角的正切值为 ．
【答案】1或
【分析】分三种情况：当时；当时；当时，作；分别利用平行线的性质求出旋转角，再由正切的定义，求出正切值即可．
【详解】解：如图，当时，
此时，即旋转角，
∴相应的旋转角的正切值为；
如图，当时，
此时，
∴，即旋转角，
作交于，交于，作于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴、为等腰直角三角形，
设，则，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
如图，当时，作，
则，
∴，，
∴，即旋转角，
∵，
∴不符合题意，舍去；
综上所述，相应的旋转角的正切值为1或，
故答案为：1或．
【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、正切的定义等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，与关于直线对称，反比例函数（，）的图象经过的中点，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定．过点B作轴，根据题意得出，，再由特殊角的三角函数及等腰三角形的判定和性质得出，，利用各角之间的关系，确定，B，D三点共线，结合图形确定，然后代入反比例函数解析式即可．
【详解】解：如图，过点B作轴，
，，，
，，
，，
，，
，，
与关于直线对称，
，，
，
，B，三点共线，
，
，
，
，
将其代入，得：，
故答案为：．
16．如图，在矩形中，．将向内翻折，点落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为，则 ．
【答案】
【分析】本题考查矩形中的折叠问题，解直角三角形．根据题意可得，即知，解得出，进而求得，根据即可求解．
【详解】解：如图：
∵将向内翻折，点落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为，
，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：．
17．如图，将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点．是边上一点（不与点重合），过点作交于点．将该纸片沿折叠，得点的对应点．当点落在上时，点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据点坐标可求出、，得出，则，，再利用折叠与平行的性质，证明是等边三角形，，然后再利用锐角三角函数即可求出点的坐标．
本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握翻折变换的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：四边形是矩形，
，
点坐标为，，
，，
，
则，
，，
，
∵是关于的对称点，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
过点作轴于，如图所示：
，
，
坐标为：，
故答案为：．
18．如图，在 ABC中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到 ADE，交于点G，，且，则 ．
【答案】
【分析】过点A作于点M，于点N，过点G作于点P，有折叠得到，推出，，设，得出，根据勾股定理求出，，，求得，，利用勾股定理求得，，故，然后证明，得到，设，则，，利用勾股定理得到代数化简得，从而得出，利用三角形的面积公式得到：．
【详解】过点A作于点M，于点N，过点G作于点P，
∵将沿翻折得到，
∴，
∴，，
∵，
∴
∵于点M，
∴，
设，则，，
又∵，，
∴，，，
∵，
∴，，
在中，，，
∴，，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，即，
化简得：，
∴，
∴
故答案是：．
【点睛】本题考查解直角三角形，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．根据下列条件解直角三角形．
(1)在中，；
(2)在中，．
【答案】(1)，，
(2)，，，
【分析】本题考查的是解直角三角形，掌握解直角三角形的含义是解本题的关键．
（1）根据勾股定理求出的长度，再根据特殊三角形的三角函数求出的度数，再由三角形的内角和定理求出的度数即可；
（2）根据三角形内角和定理求出的度数，
【详解】（1）解：根据勾股定理可得，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
．
20．应县木塔，全称佛宫寺释迦塔，位于山西省朔州市应县西北佛宫寺内，是中国现存最高最古的一座木构塔式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”．某校综合与实践小组测量应县木塔的高度，形成了如下不完整的实践报告：
测量对象 应县木塔
测量目的 学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题
测量工具 无人机
测量方案 1.先将无人机从地面的点G处垂直上升至点P，测得塔的顶端A的俯角为； 2.再将无人机从点P处沿水平方向飞行至点C，然后沿垂直方向上升至点Q，测得塔的顶端A的俯角，图中各点均在同一竖直平面内．
测量示意图
请根据以上测量数据，求应县木塔的高度（结果精确到，参考数据：，，）．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，延长交于点，延长交于点，根据题意可得：，，，，，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：延长交于点，延长交于点，
由题意得：，，，，，，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
，
应县木塔的同度约为．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．动点分别从同时出发，其中点以每秒4个单位的速度沿向终点运动，点以每秒5个单位的速度沿向终点运动．设运动时间为秒．
(1)填空：___________；___________；___________（用的代数式表示）；
(2)连结，若和以为顶点的三角形相似，求的值；
(3)连结，若，求的值；
【答案】(1)10，，
(2)或
(3)
【分析】（1）首先分别令和求出，，然后利用勾股定理求出，然后根据题意表示出和；
（2）若和以为顶点的三角形相似时，则存在或，则或，即可求解；
（3）由（1）知，，过点作轴于点，表示出，然后得到，推出，得到，然后代数求解即可．
【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，
∴
∴
当时，
解得
∴
∴
∴，
∵动点分别从同时出发，其中点以每秒4个单位的速度沿向终点运动，点以每秒5个单位的速度沿向终点运动
∴，；
（2）解：∵，，
∴，
若和以为顶点的三角形相似时，
则存在或，
则或，
即或，
解得：或；
（3）解：由（1）知，，
过点作轴于点，
则，则，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴，即
解得：（舍去）或．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形相似、解直角三角形、中位线的性质勾股定理等知识，有一定的综合性，难度适中，解题的关键是掌握以上知识点．
22．如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作点使得 ABC是直角三角形，，，且点在网格点上；
(2)在图2中找出所有的点，，…，使得，，…到线段两端的距离相等，且，，…在网格点上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的判定与性质等知识，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质和勾股定理以及可确定，确定点C的位置即可；
（2）作出线段的垂直平分线，进而即可得到答案
【详解】（1）解：如图，点即为所求作：
（2）解：如图，点即为所求作：
23．综合运用
如图所示，圆内接四边形中，点B平分，平分．
(1)求证：．
(2)若，求证：．
(3)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由点B平分，可知，由平分，可知，即可证明结论；
（2）结合题意可知，，，设，，则，，结合，求得，再求得，即可证明结论；
（3）如图， 过点作， 在上取点，使，连接， 则，可知，得，可证，得，可知，根据即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵点B平分，
∴，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵点B平分，
∴，则，
∴．
∵平分，
∴，则，
设，，则，，
∴
∴，则，
∴．
∵ ，
∴．
（3）如图， 过点作， 在上取点，使，连接， 则．
∴．
∵点平分，
∴，则，
∴．
∴，
在和中，
∴．
∴．
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，锐角三角函数，弦与弧之间的关系，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质等知识点，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
24．如图，点是正方形边上一点，过作，交于，连接，是的中点，过作交于点E．
(1)连接，求证：；
(2)设，
①若，，求的长；
②连接，求的值．（用含的代数式表示）
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）由题意可知垂直平分，根据正方形的性质和已知条件即可证明；
（2）①根据已知条件结合（1）利用勾股定理即可求出的长；
②设，根据，可得，，，证明可得，利用锐角三角函数即可得结果．
【详解】（1）证明：连接，
∵，是的中点，
∴垂直平分，
，
又正方形关于轴对称，
，
；
（2）解：①在正方形中，，，，
，，，
点是的中点，
，
如图，过点作的垂线交于点M，
由（1）知，
，则垂直平分线段，
∵，
∴为等腰直角三角形，则，
在中，，则，
在中，；
②设，
，
，
由（2）可知，，
由（2）知，则，
∴．
，，，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识．
25．二次函数图像交轴于两点，点为点A右侧图像上一动点，过点作轴于点．点为该函数轴上方图像上一动点（不与点重合），直线交轴于点，连接、．如图，当，轴；
(1)若，判断与的数量关系，并说明理由；
(2)若，在点、运动的过程中，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，为定值，理由见解析
【分析】本题考查二次函数图象性质，二次函数与x轴交点，待定系数法求一次函数解析式，锐角的正切三角函数，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键．
（1）过点D作轴于F，分别求出，，，从而求得，，，，则，，即可得出结论；
（2）由题意得，，，则，，，又因为对称轴为，即，所以，代入计算即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
当，时，则二次函数解析式为，，
当时， 解得：或，
∵，
∴，，
∴，
∵轴于点，
∴，
∴，
过点D作轴于F，如图，
∴，，
令，则，解得：，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴；
（2）解：，为定值，理由如下：
，为定值，理由如下：
由（1）得，，，
∴，，，
∵轴，
∴C、D关于对称轴对称，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴．
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第1章 解直角三角形单元测试卷【培优卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：解直角三角形
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．无法确定
2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，每个正方形的顶点叫做格点，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
3．如图①，在中，，，动点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，过点作于点，图②是点运动时， ADE的面积随时间变化的关系图象，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知为锐角，是方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．16 B．8 C．15 D．17
6．如图，整个场馆由许多菱形装饰而成．在其中某个菱形中，，点，在直线上，且，将菱形绕原点逆时针旋转，每次转动，则的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在半径为6的内有两条互相垂直的弦和，，，垂足为E，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，点分别在边上，且，将沿直线翻折，翻折后点落在点处．如果，那么的长为（ ）
A．5 B． C． D．
9．如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为，看这栋楼底部C处的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，点在线段上，等腰的顶角，点是矩形的对角线的中点，连接，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．如图，是半径确定的的一条弦，点是优弧上一动点，且，点分别是的中点、直线与交于两点，在点的运动过程中，若的最大值为，则的半径为 ．
12．已知直线与交于、两点，是直线上一点，若的半径是5，，，则的值是 ．
13．如图，是 ABC内一点，，，，，则的长为 ．
14．如图，一副三角板的三个内角分别是，，和，，，如图，若固定 ABC，将 BDE绕着公共顶点顺时针旋转度，当边与 ABC的某一边平行时，相应的旋转角的正切值为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，与关于直线对称，反比例函数（，）的图象经过的中点，则的值为 ．
16．如图，在矩形中，．将向内翻折，点落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为，则 ．
17．如图，将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点．是边上一点（不与点重合），过点作交于点．将该纸片沿折叠，得点的对应点．当点落在上时，点的坐标为 ．
18．如图，在 ABC中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到 ADE，交于点G，，且，则 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．根据下列条件解直角三角形．
(1)在中，；
(2)在中，．
20．应县木塔，全称佛宫寺释迦塔，位于山西省朔州市应县西北佛宫寺内，是中国现存最高最古的一座木构塔式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”．某校综合与实践小组测量应县木塔的高度，形成了如下不完整的实践报告：
测量对象 应县木塔
测量目的 学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题
测量工具 无人机
测量方案 1.先将无人机从地面的点G处垂直上升至点P，测得塔的顶端A的俯角为； 2.再将无人机从点P处沿水平方向飞行至点C，然后沿垂直方向上升至点Q，测得塔的顶端A的俯角，图中各点均在同一竖直平面内．
测量示意图
请根据以上测量数据，求应县木塔的高度（结果精确到，参考数据：，，）．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．动点分别从同时出发，其中点以每秒4个单位的速度沿向终点运动，点以每秒5个单位的速度沿向终点运动．设运动时间为秒．
(1)填空：___________；___________；___________（用的代数式表示）；
(2)连结，若和以为顶点的三角形相似，求的值；
(3)连结，若，求的值；
22．如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作点使得 ABC是直角三角形，，，且点在网格点上；
(2)在图2中找出所有的点，，…，使得，，…到线段两端的距离相等，且，，…在网格点上．
23．综合运用
如图所示，圆内接四边形中，点B平分，平分．
(1)求证：．
(2)若，求证：．
(3)求证：．
24．如图，点是正方形边上一点，过作，交于，连接，是的中点，过作交于点E．
(1)连接，求证：；
(2)设，
①若，，求的长；
②连接，求的值．（用含的代数式表示）
25．二次函数图像交轴于两点，点为点A右侧图像上一动点，过点作轴于点．点为该函数轴上方图像上一动点（不与点重合），直线交轴于点，连接、．如图，当，轴；
(1)若，判断与的数量关系，并说明理由；
(2)若，在点、运动的过程中，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
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