专题突破五:解直角三角形综合压轴题(20道)2024-2025九年级下册数学同步讲练【浙教版】(原卷+解析版)

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名称 专题突破五:解直角三角形综合压轴题(20道)2024-2025九年级下册数学同步讲练【浙教版】(原卷+解析版)
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文件大小 6.6MB
资源类型 试卷
版本资源 浙教版
科目 数学
更新时间 2024-10-18 09:13:47

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专题突破五:解直角三角形综合压轴题(20道)
本题组共20道题,每道题针对此个专题进行复习巩固,选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1.已知 ABC为等边三角形,于点,点为边上一点,点为线段上一点,连接,且点在线段的中垂线上.
(1)如图1,若,连接,为的中点,连接,求:线段的长;
(2)如图2,将绕点逆时针方向旋转一定的角度得到,连接,点为的中点,连接,求:的值;
(3)如图3,在(2)问的条件下,线段与线段交于点,连接,交线段于点,当时,求:的值.
2.如图,在 ABC中,,,,点为边上一点,当点不与点重合时,过点作于点,以为边向右侧作正方形.
(1)_______________.
(2)当点落在边上时,求线段的长.
(3)当点落在 ABC的中位线上时,求线段的长.
(4)连结、,设线段与线段交点为,当点为线段的三等分点时,直接写出此时的线段的长.
3.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出的一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形有两角对应相等,我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”.
(1)如图,在 ABC中,为角平分线,,求证:为 ABC的“优美分割线”;
(2)在 ABC中,为 ABC的“优美分割线”且为等腰三角形,,求的度数;
(3)在 ABC中,为的“优美分割线”,且是等腰三角形,求线段的长.
4.如图①,在中,,,,点是的中点,点从点出发以每秒5个单位的速度沿向终点运动(点、不重合),同时点从点出发以每秒2个单位的速度沿向终点运动,当、两点中有一个停止运动另一个也停止运动,以,为邻边构造,、运动时间为秒.
(1)用含的代数式表示线段的长是______.
(2)当点落在 ABC内部时,求的取值范围.
(3)当点在上运动时,连接,若为轴对称四边形,求此时的值.
5.如图,在 ABC中,平分交边于点D,在边上取点E,使得,连接.
(1)如图1,当时,求:的正切值
(2)如图2,过点C作于点F,当时,请:的值
(3)如图3,在(2)问的条件下,连接,当时,若四边形内部的点Q到四边形四条边的距离相等,求:的值
6.如图,在 ABC中,,,点D为射线上一动点,连接,做的中垂线交边于E,作交边于F,设,
(1)是否存在 ABC使得当点D为中点时点E为中点,若存在,请求出,若不存在,请说明理由
(2)若,当点D与点C重合时,将绕点A顺时针旋转,点E,F的对应点分别为M,N;当点E落在射线上时,连接,求:的长
(3)若,当点D在边上时,求:y关于x的函数解析式及其定义域
7.如图,在等腰直角 ABC中,,,点E为的中点,,将线段绕点E顺时针旋转,连接、;点D为中点,连接,直线与直线交于点N.
(1)如图1,若,,求的长;
(2)连接并延长至点M,使,连接.
①如图2,若,求证:;
②如图3,当点G、F、B共线时,,连接,,请直接写出的值.
8.如图1,在,,点D是射线上一动点,连接,以为边在右侧作正方形,连接.
(1)若G为的中点,连接,求的最小值;
(2)当点D在线段上运动时.
①求的度数;
②连接交线段于点H,若,求的长;
(3)如图2,当点D在线段的延长线上时,延长交于点M,连接.若,直接写出的值.
9.在 ABC中,,,,点P是的中点,M在上(不与点C重合),连接,在的左侧作矩形.
(1)如图1,当点N在线段上时,
①若,求的长;
②求的值.
(2)如图2,当时,
①若矩形在 ABC内部(包括边界),设,写出的长与x的函数关系式,并求x的取值范围;
②若矩形的两个顶点落在 PCA的同一条边上,直接写出在矩形内部的线段长.
10.如图1,在中,,.点在上,且,点是上一动点,从点向点移动,连接,以为直角边,向右侧作,且满足,,连接,记.
(1)连接,求线段的长;
(2)如图1,当时,交于点,求证:;
(3)如图2,当时,求证:四边形是矩形;
(4)如图3,当时,判断与的位置关系,并说明理由.
11.在 ABC中,,.
(1)如图1,点D在上,于点D,连接,若,,,求线段的长;
(2)如图2,点D在 ABC内部,连接,F是的中点,连接,若,求证:;
(3)如图3,A点关于直线的对称点为,连接,点D是内部一动点且,若,当线段最短时,直接写出的面积.
12.如图①,中,中,,边与重合,且顶点E与边上的定点N重合,如图②,从图①所示位置出发,沿射线方向匀速运动,速度为;同时,动点O从点A出发,沿方向匀速运动,速度为,与交于点P,连接,设运动时间为.解答下列问题:
(1)当t为何值时,点A在线段的垂直平分线上?
(2)设四边形的面积为S,求S与t的函数关系式;
(3)如图③,过点O作,交于点Q,与关于直线对称,连接.是否存在某一时刻t,使?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
13.在中,,,是上一点(不与点,重合),连接,过点作于点,连接并延长.交于点.
(1)如图,当时,
求证:;
求证:;
(2)如图,若是的中点,求的值(用含的代数式表示)
14.如图1,抛物线的顶点为抛物线与y轴交于点与x轴交于两点(A在B左侧).
(1)求抛物线解析式;
(2)P为抛物线上一点,且满足求点P的坐标;
(3)如图2,点D在抛物线对称轴上,且位于x轴上方,点为第四象限抛物线上的点.若四边形为平行四边形且其面积为求点E的坐标.
15.如图1,已知,在中,,点D在AB上,且,点P,Q分别从点D,B出发沿线段向终点B,C匀速移动,P,Q两点同时出发,同时到达终点.设.

(1)求的值.
(2)求y关于x的函数表达式.
(3)如图2,过点P作于点E,连结PQ,EQ.
①当时,求x的值.
②过D作于点F,作点F关于的对称点,当点落在的内部(不包括边界)时,则x的取值范围为______(请直接写出答案).
16.【探究发现】(1)如图1, 正方形中,E,F分别是,的中点, 连接,交于点 G, 证明:
【类比迁移】(2)如图2, 正方形中, E, F分别是边,上的点, 且 连接,交于点G.在上取一点H, 使 连接,, 证明:
【拓展应用】(3)如图3, E, H是菱形边,上的点, 连接, 点G在上, 连接, ,, 且,,,,,求的长及 的值.
17.如图, ABC中,,,D是的中点,E点在线段上运动,作等边.
(1)如图1,在的上方,且F点恰好落在线段上,求的值;
(2)如图2,在的下方,H在延长线上,,连接,求证:;
(3)如图3,将绕D点旋转,连接,已知,直接写出的最小值为_____.
18.如图,点E为矩形边上一点,将沿折叠得到,点A的对应点为,且落在内部,延长分别交对角线与边于点G、F.
(1)求证:.
(2)当时,
①若,求的度数.
②若,,求DE的长度.
19.已知,如图,在菱形中,,,点M从A开始,以每秒1个单位的速度向点B运动,点N从点C出发,沿方向,以每秒2个单位的速度向A运动,若M,N同时出发,其中一点到达终点时,另一个点也停止运动,运动时间为t,过点N作交于点Q.
(1)当,求的长;
(2)设三角形的面积为S,求S与t的函数关系和t的取值范围;
(3)在点M,N运动过程中,是否存在t,使三角形为等腰三角形?若存在求出t的值;若不存在说明理由.
20.已知 ABC内接于为的直径,N为的中点,连接交于点H.
(1)如图1,点D在上,连交于点E,若,求证;
(2)如图2,在(1)的条件下,点F在上,过点F作,交于点G,,过点F作,垂足为R,连接,,点T在的延长线上,连接,过点T作,交的延长线于点M,若,,求的长.
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专题突破五:解直角三角形综合压轴题(20道)
本题组共20道题,每道题针对此个专题进行复习巩固,选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1.已知 ABC为等边三角形,于点,点为边上一点,点为线段上一点,连接,且点在线段的中垂线上.
(1)如图1,若,连接,为的中点,连接,求:线段的长;
(2)如图2,将绕点逆时针方向旋转一定的角度得到,连接,点为的中点,连接,求:的值;
(3)如图3,在(2)问的条件下,线段与线段交于点,连接,交线段于点,当时,求:的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)过点过点作垂直于点,利用等边三角形的性质,等腰三角形三线合一的性质,求得和的长度,利用勾股定理和直角三角形斜边上的中线的性质求解;
(2)作出如图的辅助线,证明四边形是平行四边形,再证明,即可证明结论;
(3)作出如图的辅助线,证明再解直角三角形即可求解.
【详解】(1)三角形是等边三角形,,


过点作垂直于点,
点在线段的中垂线上,
根据等腰三角形三线合一可知:,






为的中点,

(2)取的中点,取的中点,连接,
点是的中点,点是的中点,点是的中点,


,
四边形是平行四边形,











(3)由(2) 可知,,




作且,连接,




在和中






在和中,







【点睛】本题考查等边三角形的性质,等腰三角形,直角三角形的性质,斜边上的中线等于斜边的一半,旋转的性质,特殊角的三角函数,熟练掌握等边三角形的性质,活用勾股定理、特殊角的三角函数等是解题的关键.
2.如图,在 ABC中,,,,点为边上一点,当点不与点重合时,过点作于点,以为边向右侧作正方形.
(1)_______________.
(2)当点落在边上时,求线段的长.
(3)当点落在 ABC的中位线上时,求线段的长.
(4)连结、,设线段与线段交点为,当点为线段的三等分点时,直接写出此时的线段的长.
【答案】(1)1
(2)
(3)或
(4)或
【分析】(1)过点作,根据正切值求出的长,求出的长,进而求出的值即可;
(2)设,交于点,证明,得到,求出的长,求出的长即可;
(3)分点为的中点以及点在中位线上,两种情况进行讨论求解即可;
(4)分两种情况讨论,当和时,推出,利用平行线分线段成比例定理即可求解即可.
【详解】(1)解:过点作,
∵,
∴设,则,
∴,
∴,
∴,
∴;
故答案为:1;
(2)设,交于点,
∵正方形,
则:,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,解得:,
∴,
∴,
∴;
(3)①当点为的中点时,为的中位线,
则:,
∵,
∴点在上,符合题意,此时;
②当点在三角形的中位线上时,如图:
则,
取的中点,连接,则:,,
∴,
设,同(2)可知:,
∴,
∴,解得:,
∴,
∴,
∴;
综上:或;
(4)解:设正方形的边长为,
当时,如图,
由(1)知:,
∴,
∵,
∴,
∴,即,
∴,则,
∵,
∴,
解得,经检验是原方程的解,
即,,
∴;
当时,如图,
∵,,
∴,
∴,即,
∴,则,
∵,
∴,解得,
经检验是原方程的解,
即,,
∴;
综上,线段的长为或.
【点睛】本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理、三角函数的定义,相似三角形的判定和性质,等知识;本题综合性强,熟练掌握三角函数定义、分类讨论是解题的关键.
3.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出的一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形有两角对应相等,我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”.
(1)如图,在 ABC中,为角平分线,,求证:为 ABC的“优美分割线”;
(2)在 ABC中,为 ABC的“优美分割线”且为等腰三角形,,求的度数;
(3)在 ABC中,为的“优美分割线”,且是等腰三角形,求线段的长.
【答案】(1)详见解析
(2)
(3)的长为或
【分析】(1)根据完美分割线的定义只要证明①不是等腰三角形,②是等腰三角形,③与原三角形有两角对应相等即可.
(2)根据,求出,由为的“优美分割线”,得到,即可求解;
(3)分当,当,当,三种情况讨论,根据三角形的“优美分割线”的定义求出,再利用解直角三角形进行解答.
【详解】(1)证明:,

不是等腰三角形.
平分,


为等腰三角形.

为的“优美分割线”.
(2)解:,如图,

为的“优美分割线”,


(3)解:①当时,,
此时.
如图,过点作于点.
在中,,

在中,,



②当时,如图,
此时,故.
在中,,则.
在中,,则.
③当时,应有,
由三角形外角的性质可知,与相矛盾,故此情况不成立.
综上所述,的长为或.
【点睛】本题考查考查了几何新定义问题,主要运用等腰三角形的性质和三角形外角的性质,三角形内角和定理,解直角三角形,解题的关键是理解题意,学会分类讨论思想.
4.如图①,在中,,,,点是的中点,点从点出发以每秒5个单位的速度沿向终点运动(点、不重合),同时点从点出发以每秒2个单位的速度沿向终点运动,当、两点中有一个停止运动另一个也停止运动,以,为邻边构造,、运动时间为秒.
(1)用含的代数式表示线段的长是______.
(2)当点落在 ABC内部时,求的取值范围.
(3)当点在上运动时,连接,若为轴对称四边形,求此时的值.
【答案】(1)
(2)当且时,点在的内部;
(3)或
【分析】(1)根据勾股定理求得,进而根据题意列出代数式,即可求解;
(2)分别求得落在边上时,的值,结合图形,即可求解;
(3)分四边形是矩形和菱形两种情况分别画出图形,解直角三角形,即可求解.
【详解】(1)解:∵在中,,,,
∴,
∵点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动,、运动时间为秒.
∴,
故答案为:;
(2)解:当重合时,,点和点重合,此时
当点与点重合时,,此时点在上,
当点在上时,如图所示,则



综上所述,当且时,点在的内部;
(3)解:如图所示,
当四边形为矩形时,
∵,
∴,


∴;
当四边形是菱形时,如图所示,过点作于点,于点,设交于点
∴,
∵,
∵四边形是菱形,
∴,,

又∵


∵,



∴,

在中,


解得:

综上所述,或
【点睛】本题主要考查了解直角三角形,平行线分线段成比例定理,勾股定理,列代数式,平行四边形的性质,矩形的性质,菱形的性质等等,利用分类讨论的思想求解是解题的关键.
5.如图,在 ABC中,平分交边于点D,在边上取点E,使得,连接.
(1)如图1,当时,求:的正切值
(2)如图2,过点C作于点F,当时,请:的值
(3)如图3,在(2)问的条件下,连接,当时,若四边形内部的点Q到四边形四条边的距离相等,求:的值
【答案】(1)
(2)2
(3)
【分析】(1)设,则,,根据,即可求解,再根据60度角的正切值为即可得到答案;
(2)取中点,连接;由三线合一得为中位线,根据,即可证明;
(3)根据,平分可得,设,则,,,根据可得,进而得是三个内角分别为,,的“黄金三角形”,作的平分线交于点,证明得出,证明得出平分,再证明即可求解;
【详解】(1)解: 设,则,
∴,
又,,
∴;
(2)解:如图所示,取中点,连接;
∵,
∴,
∵,
∴点F为的中点,,
为中位线,
,且




∴;
(3)解:存在点,使得点到四边形四条边的距离相等,且,理由如下:
,平分,

设,则,,




是三个内角分别为,,
如图,作的平分线交于点,
设,则,




,平分

平分
当点为角平分线与交点时,点到四边形四条边的距离相等,
,,
,,
平分
平分
在中,
在中,,

由对称性可知,


【点睛】本题主要考查了解直角三角形,相似三角形的性质与判定,等腰三角形的性质与判定,三角形中位线定理,全等三角形的性质与判定等等,正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.
6.如图,在 ABC中,,,点D为射线上一动点,连接,做的中垂线交边于E,作交边于F,设,
(1)是否存在 ABC使得当点D为中点时点E为中点,若存在,请求出,若不存在,请说明理由
(2)若,当点D与点C重合时,将绕点A顺时针旋转,点E,F的对应点分别为M,N;当点E落在射线上时,连接,求:的长
(3)若,当点D在边上时,求:y关于x的函数解析式及其定义域
【答案】(1)不存在,两边之和大于第三边(或直角三角形斜边长大于直角边长);
(2)或;
(3).
【分析】(1)假设存在使题意成立,因为分别为中点,得到,又在的中垂线上,得到,从而与假设矛盾,得到结论;
(2)分当点在上时,当点在延长线上时,分别求解即可;
(3)通过三角函数得到,的值,通过勾股定理即可求解.
【详解】(1)解:假设存在使题意成立,
∵分别为中点,
∴,,,
∵,
∴,
∴,
∴重合,
∵在的中垂线上,
∴,
又∵,
∴,
∵直角三角形中斜边长大于直角边长,
∴不存在使得当点D为中点时点E为中点.
(2)解:如图:当点在上时,与交于点,
∵,,,
∴,
∴,
∵点在的中垂线上,
∴,,,
∴,
∴,
∵,,
∴,
又∵,
∴,,
由旋转可得,,,,,
在中,,
∵,,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∵,,
∴,
在和中,

∴,
∴,,
∴,

∵,
∴,
∵,,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
当在的延长线上时,如图:
由旋转得,,,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴四边形是平行四边形,
又∵,
∴四边形是矩形,
∴;
(3)解:∵,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∵在的垂直平分线上,
∴,
∴,
即,
∴,
当点与点或点重合时,取最大值,
此时,为中点,即,
当点与点重合时,取最小值,
∵在的垂直平分线上,
∴,
由上可得,,,
∴,
∴,即,
整理得:,
解得:,(舍去),
∴取值范围为:,
综上,.
【点睛】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,矩形的判定与性质,解直角三角函数,解一元二次方程,垂直平分线的性质,勾股定理等知识,掌握相关知识是解题的关键.
7.如图,在等腰直角 ABC中,,,点E为的中点,,将线段绕点E顺时针旋转,连接、;点D为中点,连接,直线与直线交于点N.
(1)如图1,若,,求的长;
(2)连接并延长至点M,使,连接.
①如图2,若,求证:;
②如图3,当点G、F、B共线时,,连接,,请直接写出的值.
【答案】(1)3
(2)①证明见解析 ②
【分析】(1)连接,过点E作于J.求出,再求出,即可得解;
(2)①连接,.先证明四边形是正方形,得出,设,则,求出,的长,即可得解;②可以假设,.则再求出,证明,即可得解.
【详解】(1)解:如图1中,连接,过点E作于J.
∵,,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,,
∴,
∴.
(2)解:①如图2中,连接,.
∵,,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴E,G,N,F四点共圆,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,,
∴,,
∴,
∴四边形是矩形,
∵,
∴四边形是正方形,
∴,
设,则,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
②如图3中,
∵,
∴可以假设,.则,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴.
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、旋转变换,正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点,熟练掌握以上知识点并灵活运用,添加适当的辅助线是解此题的关键.
8.如图1,在,,点D是射线上一动点,连接,以为边在右侧作正方形,连接.
(1)若G为的中点,连接,求的最小值;
(2)当点D在线段上运动时.
①求的度数;
②连接交线段于点H,若,求的长;
(3)如图2,当点D在线段的延长线上时,延长交于点M,连接.若,直接写出的值.
【答案】(1)
(2)①或;②
(3)
【分析】(1)取的中点,根据正方形的性质,证明,可得,当最小时,最小,而当时,最小,再由三角函数求出即可;
(2)①根据正方形的性质,证明,分两种情况讨论,当点E在下方时,证明五点共圆,即可求出答案,同理,当点E在上方时,证明五点共圆,即可求出答案;
②先证明,得,再分别求出,,证明得,证明得,进而可得,可得,再由值代入即可求出;
(3)过点C作于点P, 过点E作于点Q,于点T,可证四边形是矩形,再证,进而可证是等腰直角三角形,再依次求出,,,即可求出.
【详解】(1)解:取的中点,
G为的中点,是的中点,
,,


四边形是正方形,
,,
在,
,,




当最小时,最小,
当时,最小,
在中,,
的最小值为;
(2)①解:四边形是正方形,








如图3,当点E在下方时,设交于点K, 交于点L,


四点共圆,
四边形是正方形,
四点共圆,
五点共圆,


如图4, 当点E在上方时,设交于点O,

四点共圆,
四边形是正方形,
四点共圆,
五点共圆,


综上所述,当点D在线段上运动时,的度数为或;
② 交线段于点H,
点E在下方,如图5,
由①知,



在中,


四边形是正方形,

















(3)如图6,过点C作于点P, 过点E作于点Q,于点T,

在中,,


,,

由(2)①得,,

四边形是正方形,

,,,


四边形是矩形,




,,





是等腰直角三角形,




【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,三角函数,正方形的性质,矩形的判定和性质,全等三角形的判定和性质等知识点,熟练掌握以上知识点,正确作出辅助线是解题的关键.
9.在 ABC中,,,,点P是的中点,M在上(不与点C重合),连接,在的左侧作矩形.
(1)如图1,当点N在线段上时,
①若,求的长;
②求的值.
(2)如图2,当时,
①若矩形在 ABC内部(包括边界),设,写出的长与x的函数关系式,并求x的取值范围;
②若矩形的两个顶点落在 PCA的同一条边上,直接写出在矩形内部的线段长.
【答案】(1)①2;②
(2)①();②或或3或
【分析】(1)①先根据已知可得为 的中位线,则,由平行线的性质和矩形的性质可得,从而可得的长;②如图2,过点作于点,于点.先根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形为矩形,由中位线定理可得,都为的中位线,证明,列比例式可解答;
(2)①先证明四边形为正方形,①当点落在边上时,如图3,过点作于点,证明,可得,可得的值;当点在上时,如图4,点,重合,此时;从而可得当矩形在内部(包括边界)时的取值范围;如图5,当矩形在内部(包括边界)时,点在上(不与点重合),过点作于,由勾股定理可得结论;②分四种情况:分别画图根据图形和相似三角形,全等三角形的性质和判定可解答.
【详解】(1)解:①当时,如图1,

此时点是的中点,
是的中点,
为 的中位线.

在矩形中,,

点是的中点.
为中位线.

②过点作于点,于点,如图2,


四边形为矩形,

由①同理得,都为的中位线.
,,







在中,;
(2)解:在矩形中,当时,四边形为正方形.
,,
①当点落在边上时,过点作于点,如图3,








,此时;
当点在上时,点,重合,如图4,此时;
当矩形在内部(包括边界)时,的取值范围是:;
当矩形在内部(包括边界)时,点在上(不与点重合),过点作于,如图5,

,,

在中,

②分四种情况:
如图4,
,即在矩形内部的线段长为;
过点作于,过点作于,如图6,
同理得:,



,即,







,即在矩形内部的线段长为;
过点作于,如图7,
则,
,即在矩形内部的线段长为3;
如图8,
则,

,在矩形内部的线段长为;
综上,在矩形内部的线段长为或或3或.
【点睛】本题是四边形的综合题,考查了勾股定理,三角函数,相似三角形的性质和判定,矩形的性质和判定,正方形的性质和判定,三角形全等的性质和判定等知识,同时在求边的长度时,利用同角三角函数也可以求边长或表示边长,比利用相似或勾股定理简单.
10.如图1,在中,,.点在上,且,点是上一动点,从点向点移动,连接,以为直角边,向右侧作,且满足,,连接,记.
(1)连接,求线段的长;
(2)如图1,当时,交于点,求证:;
(3)如图2,当时,求证:四边形是矩形;
(4)如图3,当时,判断与的位置关系,并说明理由.
【答案】(1)4
(2)证明见解答
(3)证明见解答
(4),理由见解答
【分析】(1)连接,求出,利用勾股定理即可解答;
(2)证明,,得到,即可得证;
(3)连接,证明,进而证得四边形是平行四边形,即可得证;
(4)连接与交于点,证明,,求得,即可解答.
【详解】(1)解:如图,连接,
在中,,,,
,,
在中,由勾股定理得.
(2)证明:在中,,,



又,

,即,
又,


即.
(3)证明:如图,连接,
由(2)得,






,,
四边形是平行四边形,
又,
四边形是矩形.
(4)解:当时,,理由如下:
如图,连接与交于点,
由(2)得,
又,


即,
又,



即.
【点睛】本题考查四边形的综合应用,主要考查勾股定理,相似三角形的性质与判定,矩形的判定,平行四边形的判定,全等三角形的性质与判定,掌握这些性质定理是解题的关键.
11.在 ABC中,,.
(1)如图1,点D在上,于点D,连接,若,,,求线段的长;
(2)如图2,点D在 ABC内部,连接,F是的中点,连接,若,求证:;
(3)如图3,A点关于直线的对称点为,连接,点D是内部一动点且,若,当线段最短时,直接写出的面积.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】(1)如图1中,过点E作,交延长线于点Q,则四边形是矩形,解直角三角形求出即可解决问题;
(2)如图2中,在上取一点M,使得,并且延长至点H,使,连接.利用全等三角形的性质证明,再证明即可解决问题;
(3)如图3中,取的中点F,连接,过点F作于T.解直角三角形求出,,判断出当,D,F共线时,的值最小,此时,过点作于R,求出即可解决问题.
【详解】(1)解:如图1中,过点E作,交延长线于点Q,则四边形是矩形,
∴,.
在中,,
∴,
在中,,
∴,
在中,;
(2)如图2中,在上取一点M,使得,并且延长至点H,使,连接.
在和中,

∴,
∴,
∵F是的中点,
∴,
在和中,

∴,
∴,
∴,
又∵是的外角,
∴,
∵,
∴,
∴;
(3)如图3中,取的中点F,连接,过点F作于T.
∵,若,
∴.
∵,
∴,
∵,,
∴,

∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴当,D,F共线时,的值最小,此时,
过点作于R,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质,解直角三角形,等腰直角三角形的性质,勾股定理,全等三角形的判定和性质,平行线分线段成比例定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形或全等三角形解决问题,学会用转化的思想思考问题.
12.如图①,中,中,,边与重合,且顶点E与边上的定点N重合,如图②,从图①所示位置出发,沿射线方向匀速运动,速度为;同时,动点O从点A出发,沿方向匀速运动,速度为,与交于点P,连接,设运动时间为.解答下列问题:
(1)当t为何值时,点A在线段的垂直平分线上?
(2)设四边形的面积为S,求S与t的函数关系式;
(3)如图③,过点O作,交于点Q,与关于直线对称,连接.是否存在某一时刻t,使?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)当时,点A在线段的垂直平分线上
(2)
(3)存在使
【分析】(1)先表示出,,再根据线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等得到,据此建立方程求解即可;
(2)如图所示,过点O分别作的垂线,垂足分别为H、G,先由勾股定理得到,再解直角三角形得到,再证明,然后解直角三角形求出的长,最后根据进行求解即可;
(3)过点P作于G,解,得到,,则,进而得到;再解得到,由对称性可得,解得到,由平行线的性质得到,则,即可得到,解方程即可得到答案.
【详解】(1)解:如图①所示,∵ ,
∴,
如图②所示,由题意得,,
∴,
∵点A在线段的垂直平分线上,
∴,
∴,
解得,
∴当时,点A在线段的垂直平分线上;
(2)解:如图所示,过点O分别作的垂线,垂足分别为H、G,
在中,由勾股定理得,
∴,
∵,
∴;
由(1)可知,,
∴,,
在中,,
在中,,
在中,,
∴,


(3)解:如图所示,过点P作于G,
由(2)可知,
在中,,,
∴,
∴,
∴;
在中,,
∴,
∵与关于直线对称,
∴,
在中,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴或(舍去),
经检验是原方程的解,
∵,
∴符合题意;
综上所述,存在使.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形,勾股定理,线段垂直平分线的性质,轴对称的性质等等,正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.
13.在中,,,是上一点(不与点,重合),连接,过点作于点,连接并延长.交于点.
(1)如图,当时,
求证:;
求证:;
(2)如图,若是的中点,求的值(用含的代数式表示)
【答案】(1)证明见解析;证明见解析;
(2).
【分析】()由 得, , 由外角定理得从而;
过点作,交的延长线于,证明,得到,再证明,得到,即可得结论;
()过点作,交的延长线于,设,证明,表示出的长,求得结果.
【详解】(1)证明: ∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵于点,
∴,
∴,
∴;
证明: 如图, 过点作,交的延长线于,与交于,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
又∵,
∴,
在和中,

∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴;
(2)如图,过点作,交的延长线于,
则,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
设,
∵是中点,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,,
∵,是中点,
∴,
∴.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,三角函数等知识,综合性比较强,合理添加辅助线,把所学知识串联起来熟练运用是解题的关键.
14.如图1,抛物线的顶点为抛物线与y轴交于点与x轴交于两点(A在B左侧).
(1)求抛物线解析式;
(2)P为抛物线上一点,且满足求点P的坐标;
(3)如图2,点D在抛物线对称轴上,且位于x轴上方,点为第四象限抛物线上的点.若四边形为平行四边形且其面积为求点E的坐标.
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】(1)待定系数法求函数解析式即可;
(2)①当点在轴上方抛物线上,如图,记与轴交于点,可求,,则显然为等腰直角三角形,,继而证明,得到,求出直线表达式为:,联立直线表达式与抛物线表达式,即可求解;②当点在轴下方抛物线上,如图,过点作轴于点,则,,故,设,,解得:或(舍),即可求解;
(3)补全矩形如图所示,设,由得对称轴为直线,设,表示出,,根据,得到,解得:或,故.
【详解】(1)解:由题意设解析式为,
代入
得:,
解得:,
∴解析式为:
(2)解:①当点在轴上方抛物线上,如图,记与轴交于点,
当时,则,
解得或,
∴,
∴,
而,
∴,
∴,而,
∴为等腰直角三角形,
∴,


∴,
而,,
∴,
∴,
∴,
设直线表达式为,
代入坐标得,,
解得:,
∴直线表达式为:,
联立直线表达式与抛物线表达式,
得到,
解得:或(舍),
∴;
②当点在轴下方抛物线上,如图,过点作轴于点
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
设,
∴,
解得:或(舍),
∴,
综上所述,点P坐标为或;
(3)解:补全矩形如图所示,
设,由得对称轴为直线,设
∵四边形是平行四边形,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
整理得,,
解得:(舍)或,
∴.
【点睛】本题考查了二次函数与面积,角度的存在性问题,待定系数法求函数解析式,解直角三角形,全等三角形的判定与性质,平行四边形的性质等知识点,熟练掌握相关知识点是解题的关键.
15.如图1,已知,在中,,点D在AB上,且,点P,Q分别从点D,B出发沿线段向终点B,C匀速移动,P,Q两点同时出发,同时到达终点.设.

(1)求的值.
(2)求y关于x的函数表达式.
(3)如图2,过点P作于点E,连结PQ,EQ.
①当时,求x的值.
②过D作于点F,作点F关于的对称点,当点落在的内部(不包括边界)时,则x的取值范围为______(请直接写出答案).
【答案】(1)
(2)
(3)①;②
【分析】(1)求出的长,进一步求得结果;
(2)先表示出的长,进而求得结果;
(3)①先表示出和的长,证明是等腰直角三角形求出,再证明是等腰直角三角形求出,然后列方程求解即可;
②作于G,根据题意列出求解即可.
【详解】(1)解:,

∴;
(2)∵由P,Q两点同时出发,同时到达终点,
∴,




(3)①如图,

∵,
∴,
∴,



∴,即是等腰直角三角形,
,,
∴,
∴,即是等腰直角三角形,
∴,
∴,
∴;
②作于G,

在中,






由(2)得:


当,且时,点在的内部,
此时,


又,

【点睛】本题考查了等腰三角形的分类,勾股定理,一次函数,解直角三角形,轴对称,解题的关键是具备较强的计算能力.
16.【探究发现】(1)如图1, 正方形中,E,F分别是,的中点, 连接,交于点 G, 证明:
【类比迁移】(2)如图2, 正方形中, E, F分别是边,上的点, 且 连接,交于点G.在上取一点H, 使 连接,, 证明:
【拓展应用】(3)如图3, E, H是菱形边,上的点, 连接, 点G在上, 连接, ,, 且,,,,,求的长及 的值.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3),
【分析】(1)先证明得到,从而可得到,即可得出结论;
(2)先证明,得到,从而可证明得到,再由,,得到,继而证明,即可由相似三角形的性质得出结论;
(3)先证明得到,,从而得到,,即,从而证得,得到,则,即可求得的长;再连接,过点H作于M,交延长线于N,然后证明得到,,再证明得到,则,即,求得,最后在中,由余弦定义即可求解.
【详解】(1)证明:∵正方形,
∴,,
∵E,F分别是,的中点,
∴,,
∴,
在与中,

∴,
∴,
∵,
∴,
∴,

(2)证明:∵正方形,
∴,,
在与中,

∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∵,,
∴,
∴,

(3)解:∵菱形,
∴,,
∴,
∵,,
∴,
∴,,
∴,
∵,,
∴,即,
∴,
∴,
∵,,,,
∴,
∴;
连接,过点H作于M,交延长线于N,如图3,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵于M,交延长线于N,
∴,
在与中,

∴,
∴,,
在与中,

∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
即.
【点睛】本题考查正方形的性质,菱形的性质,相似三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,四边形内角和等于360度,求角的余弦值等知识,综合性强,为压轴题.在解(3)时正确作出辅助线构造全等三角形是关键.
17.如图, ABC中,,,D是的中点,E点在线段上运动,作等边.
(1)如图1,在的上方,且F点恰好落在线段上,求的值;
(2)如图2,在的下方,H在延长线上,,连接,求证:;
(3)如图3,将绕D点旋转,连接,已知,直接写出的最小值为_____.
【答案】(1)3
(2)见解析
(3)
【分析】(1)连接,根据等腰三角形的“三线合一”得到,,进而得到,,从而有,同理在中,由得到,从而,即可求解;
(2)连接,连接,取的中点,连接,通过三角形的中位线定理结合等边三角形的性质证明,继而得到为等边三角形,再根据等边三角形的性质结合外角定理得到,即可求证;
(3)以为边在下方作等边,连接,可证明,则,故,当且仅当点三点共线时取得最小值且为,而,故由勾股定理可求,即可求出最小值.
【详解】(1)解:连接,
∵,点D是的中点,
∴,,
∴,
∵是等边三角形,
∴,

∴,
∴在中,,
∵,
∴在中,,
∴,
∴.
(2)解:连接,
∵,点为中点,
∴,
∴,
连接,取的中点,连接,
∵,
∴,
∴,
∵是等边三角形,
∴,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴为等边三角形,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
(3)解:在中,,
∴,
以为边在下方作等边,连接,
∴,
∵为等边三角形,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
当且仅当点三点共线时取得最小值且为,
∵,
∴,
∴,
∴的最小值为.
【点睛】本题考查了解直角三角形,等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理解三角形等知识点,正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键.
18.如图,点E为矩形边上一点,将沿折叠得到,点A的对应点为,且落在内部,延长分别交对角线与边于点G、F.
(1)求证:.
(2)当时,
①若,求的度数.
②若,,求DE的长度.
【答案】(1)见解析
(2)①;②
【分析】(1)连接,利用折叠的性质得到,由矩形的性质得到,推出,即可得到,即可证明结论;
(2)①根据矩形的性质以及折叠的性质得到,,进而推出,利用等腰三角形性质得到,最后结合三角形内角和即可得到;②连接,过点作于点,结合矩形的性质证明四边形为矩形,利用勾股定理得到,设,则,,进而推出,,由折叠的性质可得,,结合建立方程求解,即可解题.
【详解】(1)证明:连接,
利用折叠的性质得到,
矩形中,,



(2)①解:矩形沿折叠,点A与点重合,,
,,

∵,



②解:连接,过点作于点,
四边形为矩形,

四边形为矩形,
,,
,,

,,


设,则,,


由折叠的性质可得,,





解得,经检验是方程的解,

【点睛】本题考查的是轴对称的性质,矩形的性质与判定,勾股定理的应用,锐角三角函数的应用,等腰三角形的判定与性质,分式方程的应用,熟练的利用以上知识解题是关键.
19.已知,如图,在菱形中,,,点M从A开始,以每秒1个单位的速度向点B运动,点N从点C出发,沿方向,以每秒2个单位的速度向A运动,若M,N同时出发,其中一点到达终点时,另一个点也停止运动,运动时间为t,过点N作交于点Q.
(1)当,求的长;
(2)设三角形的面积为S,求S与t的函数关系和t的取值范围;
(3)在点M,N运动过程中,是否存在t,使三角形为等腰三角形?若存在求出t的值;若不存在说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)当或或时,为等腰三角形
【分析】(1)首先求得的长,在直角中利用三角函数即可求得的长;
(2)当时,在上,首先求得,则长即可求得,再根据,据此即可求得的长;当时,利用解直角三角形求得的长,进而求得的面积,得到函数解析式;
(3)分三种情形讨论求解即可;
【详解】(1)解:当时,,
∵在中,,
∴,
在直角中,,
∴当时,;
(2)解:由题意得,,
当时,,
∵,
∴,
连接,与相交于点定,过点作于点,
,则,
∴在中,,
∴,
∴,
当时,延长,交于,交延长线于,如图:
则,





综上,.
(3)解:①当时,只有符合条件,
过点作于点,
则,

得,
解得.
②当时,
由(2)知,
时,,
解得,
时,,

解得:.
综上所述,当或或时,为等腰三角形.
【点睛】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数,等腰三角形的性质等知识点,正确进行分请情况进行讨论是关键.
20.已知 ABC内接于为的直径,N为的中点,连接交于点H.
(1)如图1,点D在上,连交于点E,若,求证;
(2)如图2,在(1)的条件下,点F在上,过点F作,交于点G,,过点F作,垂足为R,连接,,点T在的延长线上,连接,过点T作,交的延长线于点M,若,,求的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(2)设,证明,可得,再推导出,即可证明;
(3)连接,延长与交于点,延长、交于点,先证明,得到,再证明,得到,从而判断出四边形是矩形,得到,求出,通过证明,推导出,再证明,则,在中,由,求出,在中,,求出,在中,利用勾股定理求出.
【详解】(1)证明:设,
,,,







(2)解:如图,连接,延长与交于点,延长、交于点,




,,






是等腰三角形,
,,






,,


四边形是平行四边形,
是圆的直径,

四边形是矩形,



,,








,点在上,
是的中位线,









在中,,



,,

在中,,

在中,.
【点睛】本题考查圆的综合应用,熟练掌握三角形全等的判定及性质,矩形的性质,平行线的性质,等腰三角形的性质,直角三角形的性质,勾股定理,圆的直径所对的圆周角是直角,作出合适的辅助线是解题的关键.
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