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专题突破三：锐角三角函数综合题（20道）
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．如图，菱形的对角线交于点，点分别在的延长线上，且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）证明，，得四边形是平行四边形，再证明，即可得出结论；
（）由菱形的性质得，，，在中，由锐角三角函数定义求出，得出，再由锐角三角函数定义求出的长，然后由勾股定理求出 的长即可；
本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的性质、矩形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，， ，
在中，，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴．
2．如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，四边形是平行四边形．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，由锐角三角函数求边长，熟练掌握各判定及性质定理是解题的关键：
（1）利用四边形是平行四边形，推出，再根据等腰三角形的三线合一的性质推出，即可证得四边形是矩形；
（2）根据三角函数得到，求出，再由矩形的性质求出．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴．
3．如图，E、F、G、H分别是菱形四边上的中点，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，菱形的面积为，求矩形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图1，连接，则，由E、F、G、H分别是菱形四边上的中点，可得，，，则，四边形是平行四边形，证明，进而结论得证；
（2）如图2，连接，记的交点为，则，，，由菱形的面积为，可得，即，可求，则，，由（1）可知，，，然后求周长即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
∵菱形，
∴，
∵E、F、G、H分别是菱形四边上的中点，
∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，
∴，，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图2，连接，记的交点为，
∵菱形，，
∴，
∴，，
∵菱形的面积为，
∴，即，
解得，或（舍去），
∴，，
由（1）可知，，，
∴矩形的周长为，
∴矩形的周长为．
【点睛】本题考查了菱形的性质，中位线，矩形的判定与性质，余弦等知识．熟练掌握菱形的性质，中位线，矩形的判定与性质，余弦是解题的关键．
4．如图，在等边三角形中，E，F分别是上的点，且，交于点G．
(1) °；
(2)过点A作（点D在的右侧），且，连接．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)①见解析；②线段，与的数量关系：，理由见解析
【分析】（1）证明，则，根据，求解作答即可；
（2）①按照要求作图即可；②如图2，作，在截取，连接，．则．由，可求．证明．则，，．由勾股定理得，．如图2，过点作于点，在中，由，，可求．由，可得．
【详解】（1）解：∵等边三角形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）①解：依题意补全图形，如图1．
②解：，证明如下：
证明：如图2，作，在截取，连接，．
∵，，
∴．
∵是等边三角形，
∴，．
又∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，．
∵，
∴．
由勾股定理得，．
如图2，过点作于点，
在中，
∵，，
∴．
∴．
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，余弦等知识．熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，余弦是解题的关键．
5．如图，在 ABC中，，过点B作的平行线交的平分线于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F，连接，交于点G．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义和平行线的性质证出，然后可得，最后根据菱形的判定即可得证；
（2）先证出，从而可得，再根据余弦的定义可得的长，利用勾股定理可得的长，然后在中，根据余弦的定义可得的长，利用勾股定理求解即可得．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，，
，，
，
，
，
，
∵，
，
在中，，
，
在中，，
．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、余弦，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．
6．在矩形中，对角线，交于点，过点作于点．
(1)求证；
(2)求证：
(3)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据矩形的性质以及已知条件可得，，即可得证；
（2）根据相似三角形的性质得出比例式，根据，即可得证；
（3）根据矩形的性质以及已知条件，得出∠CAD=∠ABE，进而根据余弦的定义，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
又，
；
（2），
：：，
又，
；
（3）解四边形是矩形，
，
，
，
，
，
在中，，，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，余弦的定义，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定定理是解题的关键．
7．如图，是的直径，为延长线上一点，切于，是的中点，交于，
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图1，连接，，由题意知，，则，由，可得，即，由是的中点，可得，由圆周角定理可得，，即，由三角形外角的性质可得，，则，进而可证；
（2）由题意知，，，设，则，，证明，则，即，解得，则，即，在中，由勾股定理得，即，求得满足要求的解，如图2，连接，，由题意知是等腰直角三角形，即，则，证明，则，即，计算求解即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接，，
由题意知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，，即，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：由题意知，，，
设，则，，
∵，，
∴，
∴，即，解得，
∴，即，
在中，由勾股定理得，即，
解得或（舍去），
如图2，连接，，
由题意知是等腰直角三角形，即，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，解得，
∴的长为．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，切线的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，余弦等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
8．已知：如图，是 ABC的外接圆，平分 ABC的外角，，，垂足分别是点M，N，且．
(1)求的度数；
(2)如果，，求的半径长．
【答案】(1)；
(2)；
【分析】（1）先证明平分，然后由角平分线的定义，即可求出的度数；
（2）由弦心距和弦的关系，得到，延长交于点，连接，由等腰三角形的性质，垂径定理，以及勾股定理，即可求出的半径．
【详解】（1）解：∵平分的外角，
∴，
∵，，．
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴是等腰三角形，
延长交于点，连接，如图：
∵平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了垂径定理，角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．
9．如图，已知矩形中，对角线、相交于点，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求矩形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)12
【分析】（1）由矩形的性质可得，欲求，证即可．通过已知条件求出四边形为就可以证明．
（2）根据等腰三角形的性质求出长度，利用锐角三角函数求得长，再根据勾股定理求出长度，根据矩形的面积公式求出面积．
【详解】（1）证明：在矩形中，
又
四边形为
，
又为矩形，
，
，
故；
（2）为矩形，
，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，
，
故答案为：12．
【点睛】本题考查的是矩形的性质和三角函数余弦值，涉及到的知识点有勾股定理、等腰三角形的性质以及平行四边形的判定．本题中是否能熟练掌握矩形的特殊性质、能否通过等腰三角形的求出长度以及是否能掌握余弦值的定义是解题的关键，本题难度不大，但综合性较强．
10．如图，在四边形中，平分，．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)37.5
【分析】（1）根据所给条件证出，即可得出；
（2）先根据三角函数求出的值，再根据勾股定理求出的值，最后根据和三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
在中，，，，
∴，
由（1）知，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，三角函数和勾股定理是解题的关键．
11．如图1，在中，，，点是斜边上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接BE．
(1)证明：；
(2)若，，求的长；
(3)如图2，在四边形中，，，，若，，请直接写出的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)9
【分析】（1）根据旋转的性质得，由得．根据SAS得，则，则，因此．
（2）连接，现在中求出的长，再在中求出的长，最后在中求出的长．
（3）将绕着点D顺时针旋转90°，交延长线于点M，易得是等腰直角三角形，，再证，在中，根据勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）证明：
又
∴ (SAS)
（2）连接DE，
∵
∴
∵
∴，
由得，
∴
（3）将绕着点D顺时针旋转90°至，连接
则是等腰直角三角形，
又∵
∴B点在上
即
又
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，以及解直角三角形.综合性较强，有一定难度.熟练掌握以上知识是解题的关键.
12．如图12，已知 ABC，点E在边AC上，且，过点A作的平行线，与射线交于点D，连接．
(1)求证：；
(2)如果，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由得，再由证得，即可证明，由相似的性质即可证得结论；
（2）易证，过点A作于点，由可求得，再由等腰三角形的性质可得，最后由相似的性质求得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图，过点A作于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴代入，得，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角函数解直角三角形，解决本题的关键是能灵活运用相关的几何知识．
13．如图，在 ABC中，，点是边延长线上过的点，点是边上一点（不与端点重合），连接交于点，连接，且，设，．
(1)求证：；
(2)求关于的函数关系式及其定义域；
(3)连接，当与相似时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）根据等边对等角，得出，证明，根据相似三角形的性质即可得证；
（2）过点作，垂足为点．由，，得出，根据，列出函数关式即可求解;
（3）依题意，可得或，然后分类讨论，根据相似三角形的性质列出比例式进行计算即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：过点作，垂足为点．
∵，，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
∵
∴；
（3）∵与相似，又，
∴或．
①当时，．
∴，
∴．
∵，
∴（负根舍）．
②当，
∵
∴，
∴，
∴ ，又，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴．
∵，
∴（舍），．
综上所述，满足条件的的长为或．
【点睛】本题考查了已知余弦求边长，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
14．如图，已知 ABC，以交于点D，点E为弧的中点，连接交于点F，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若⊙O的半径为2，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接AE，求出，推出，求出，根据切线的判定即可证明结论．
（ 2）根据．求出，根据证，推出，由勾股定理得出求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径
∴，
∴，
∵，
∴，
∵E为弧中点，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴是的切线．
（2）解：∵的半为2，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
设，
由勾股定理得：，解得： （负数舍去），
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定等知识点，灵活运用相关性质、判定定理是解答本题的关键．
15．如图，在中，弦垂直于直径，交于点，点是上一点，连接交于点，连接且，连接，．
(1)求证：平分；
(2)若的半径长为1，当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接、，先由证明是等边三角形，再证明，则，即可证明平分；
（2）由垂径定理得，即可求得．
【详解】（1）证明：如图，连接、，
，，
是等边三角形，
，弦垂直于直径，
，
，
，
，
平分．
（2）解：延长交于，连接，如图，
，
，
，
，
，
是直径，
，
的半径长为1，
，
，
．
【点睛】此题考查圆周角定理，垂径定理，锐角三角函数，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
16．图，在 ABC中，，点是的中点，连接，点是的中点，延长至，使，连接、，与交于点，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，，求三角形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证，得证出，再由等腰三角形的性质得，则，即可得出结论；
（2）过作，由题意可得出：，，根据，可得，即可得出：，，再由，可求得．由，可得，求得，即可得出三角形的面积．
【详解】（1）证明：∵点是中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，点是中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）过作，
∴，
∵点是的中点，
∴，，
由（1）可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴三角形的面积为：．
【点睛】此题主要考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、利用锐角三角函数值求线段长度等知识，熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
17．如图，M为线段AB中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝45°，且DM交AC于点F，ME交BC于点G．
(1)求证：△AMF∽△BGM；
(2)连接FG，若AB＝4，AF＝3，求FG的长；
(3)在（2）的条件下求点M到线段FG距离．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)2
【分析】（1）利用三角形外角可得∠AFM＝∠DME+∠E＝∠A+∠E＝∠BMG，进而证得△AMF∽△BGM；
（2）在（1）的基础上，再由∠A＝∠B＝45°，可得出△ABC是等腰直角三角形，根据M为线段AB的中点，可得AM＝BM＝AB＝，运用相似三角形性质和勾股定理即可求得答案；
（3）过M点作MK⊥AC于点，过点M作MH⊥FG于点H，过点M作MN⊥BC于点N，根据和，即可解答．
【详解】（1）证明：∵∠AFM＝∠DME+∠E（外角定理），
∠DME＝∠A＝∠B（已知），
∴∠AFM＝∠DME+∠E＝∠A+∠E＝∠BMG，
∵∠A＝∠B，
∴△AMF∽△BGM．
（2）解：∵∠DME＝∠A＝∠B＝45°，
∴AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵M为线段AB的中点，
∴，
∵△AMF∽△BGM，
∴，
∴BG＝＝，
又∵AC＝BC＝4cos45°＝4，
∴，CF＝AC-AF＝4-3＝1，
在Rt△FCG中，由勾股定理得：
FG＝＝＝．
（3）解：过M点作MK⊥AC于点，过点M作MH⊥FG于点H，过点M作MN⊥BC于点N，
∵AM＝BM＝2，∠A＝∠B＝45°，
∴MK＝MN＝2＝2，
∴，
，
，
∵，
∴，
又∵，
∴，即MH＝2，
∴点M到线段FG距离是2．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形的性质，解题的关键找到相似的三角形，根据其性质求出BG、FG的长度以及根据面积法求出MH的长度．
18．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且∠AEB＝∠CFD＝90°．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形：
(2)当EF＝2，cos∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF时，求BD的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证AE∥CF，再证△ABE≌△CDF（AAS），得AE=CF，即可得出结论；
（2）由锐角三角函数定义设BE=4x，AB=5x，可得，再证△CFE∽△BFC，得CF2=EF×BF，由EF=2，则BF=BE+EF=4x+2，所以（3x）2=2（4x+2），然后由全等三角形的性质得BE=DF，即可得出答案．
【详解】（1）∵∠AEB=∠CFD=90°，
∴AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）在Rt△ABE中，cos∠ABE=，
设BE=4x，AB=5x，
∴，
由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∴∠EAF=∠ECF，CF=AE=3x，
∵∠CBE=∠EAF，
∴∠ECF=∠CBE，
∵∠CFE=∠BFC，
∴△CFE∽△BFC，
∴，
∴CF2=EF×BF，
∵EF=2，则BF=BE+EF=4x+2，
∴（3x）2=2（4x+2），
解得：或（舍去），
由（1）得：△ABE≌△CDF，
∴BE=DF=4x，
∴BD=BE+EF+DF=8x+2=．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
19．如图，在等边三角形中，D为上的一点，过点D作的平行线交于点E，点P是线段上的动点（点P不与D、E重合）．将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接、，交于F．
(1)证明：在点P的运动过程中，总有．
(2)当为何值时，是直角三角形？
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由旋转的性质可得，，通过证明点A，点P，点E，点Q四点共圆，可得，即可得结论；
（2）由旋转的性质可得，，由角的数量关系可求，，即可求解．
【详解】（1）证明：∵将绕点A逆时针方向旋转，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点A，点P，点E，点Q四点共圆，
∴，
∴；
（2）解：如图，
根据题意：只有当时，成立，
∵绕点A逆时针方向旋转，得到，
∴，，
∴△APQ是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
20．在平面直角坐标系中，已知分别是 与 轴，轴的交点．
(1)在线段 上， ，求的坐标；
(2)在第一问的条件下，求 的值；
(3)若 在直线 上，，求的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查一次函数的综合；熟练掌握一次函数的图象及性质，平行线分线段成比例定理，正切函数的定义是关键．
（1）过点C作轴于H，根据平行线分线段成比例定理可得出的长，即可得C的坐标；
（2）连接，过点O作，在中，根据正切函数的定义即可求解；
（3）设，进而求出，求出x的值即可得D的坐标．
【详解】（1）解：过点C作轴于H，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵B，A分别是与x轴，y轴的交点．
当时，；当时，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，过点O作
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
在中，；
（3）解：如图，过点D作轴于E，
设，
∴，
解得或6．
∴或，
综上所述：D的坐标为或．
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专题突破三：锐角三角函数综合题（20道）
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．如图，菱形的对角线交于点，点分别在的延长线上，且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
2．如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，四边形是平行四边形．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
3．如图，E、F、G、H分别是菱形四边上的中点，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，菱形的面积为，求矩形的周长．
4．如图，在等边三角形中，E，F分别是上的点，且，交于点G．
(1) °；
(2)过点A作（点D在的右侧），且，连接．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段与的数量关系，并证明．
5．如图，在 ABC中，，过点B作的平行线交的平分线于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F，连接，交于点G．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
6．在矩形中，对角线，交于点，过点作于点．
(1)求证；
(2)求证：
(3)若，，求的长．
7．如图，是的直径，为延长线上一点，切于，是的中点，交于，
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
8．已知：如图，是 ABC的外接圆，平分 ABC的外角，，，垂足分别是点M，N，且．
(1)求的度数；
(2)如果，，求的半径长．
9．如图，已知矩形中，对角线、相交于点，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求矩形的面积．
10．如图，在四边形中，平分，．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
11．如图1，在中，，，点是斜边上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接BE．
(1)证明：；
(2)若，，求的长；
(3)如图2，在四边形中，，，，若，，请直接写出的长．
12．如图12，已知 ABC，点E在边AC上，且，过点A作的平行线，与射线交于点D，连接．
(1)求证：；
(2)如果，，，求的长．
13．如图，在 ABC中，，点是边延长线上过的点，点是边上一点（不与端点重合），连接交于点，连接，且，设，．
(1)求证：；
(2)求关于的函数关系式及其定义域；
(3)连接，当与相似时，求的长．
14．如图，已知 ABC，以交于点D，点E为弧的中点，连接交于点F，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若⊙O的半径为2，，求的长．
15．如图，在中，弦垂直于直径，交于点，点是上一点，连接交于点，连接且，连接，．
(1)求证：平分；
(2)若的半径长为1，当时，求的长．
16．图，在 ABC中，，点是的中点，连接，点是的中点，延长至，使，连接、，与交于点，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，，求三角形的面积．
17．如图，M为线段AB中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝45°，且DM交AC于点F，ME交BC于点G．
(1)求证：△AMF∽△BGM；
(2)连接FG，若AB＝4，AF＝3，求FG的长；
(3)在（2）的条件下求点M到线段FG距离．
18．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且∠AEB＝∠CFD＝90°．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形：
(2)当EF＝2，cos∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF时，求BD的长．
19．如图，在等边三角形中，D为上的一点，过点D作的平行线交于点E，点P是线段上的动点（点P不与D、E重合）．将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接、，交于F．
(1)证明：在点P的运动过程中，总有．
(2)当为何值时，是直角三角形？
20．在平面直角坐标系中，已知分别是 与 轴，轴的交点．
(1)在线段 上， ，求的坐标；
(2)在第一问的条件下，求 的值；
(3)若 在直线 上，，求的坐标．
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