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专题突破六：解直角三角形的实际应用（20道）
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节（、）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（参考数据：，，，）
2．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂长为，灯罩长为，底座厚度为，灯臂与底座构成的．使用发现，光线最佳时灯罩与水平线所成的角为，此时灯罩顶端到桌面的高度是多少？（结果精确到，参考数据：，，）
3．春天是踏青的好季节，小明和小华决定去公园出游踏青．如图，已知为公园入口，景点位于点东北方向米处，景点位于点南偏东方向，景点在景点的正北方向，景点既位于景点正东方向310米处，又位于景点的北偏西方向．景点既位于景点的正东方向，又位于景点的正南方向．米．
（参考数据：）
(1)求的长；（精确到个位）
(2)小明选择了游览路线①：，小明行驶的平均速度是72米/分，小明在景点处各停留了10分钟、5分钟．小华选择了游览路线②：，小华行驶的平均速度为96米/分．小华在景点处各停留了9分钟、8分钟．请通过计算说明：小明和小华谁先到达景点处．
4．2023年春节期间，某市举办烟花表演，其中最美烟花当属“惊艳天梯”．当烟花在空中点燃的那一刻，一段段明亮的台阶依次向上显现，在空中逐渐形成一幅美妙的“天梯”图案，十分惊艳．如图，某专业团队在水平地面上竖直架设测角仪，测量“天梯”的长度，在处测得“天梯”最低点的仰角，最高点的仰角，若，，，，共线且垂直于地面，且与，位于同一平面内．请你根据以上信息，计算出天梯的长度．（结果精确到，参考数据：，，，）
5．如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台上架设测角仪，从处测得塔的最高点的仰角为，测出，台阶可抽象为线段，，台阶的坡角为，测角仪的高度为，塔身可抽象成线段．
(1)求测角仪与塔身的水平距离；
(2)求塔身的高度．（结果精确到）（参考数据：，，，）
6．在综合实践课中，小明同学利用无人机测量小山的高度．如图，是小明同学，无人机飞到小山的右上方时，测得山顶的俯角为米，测得小明同学头顶的俯角为米．已知小明的身高为1.8米，求小山的高度．（已知分别与水平线垂直且在同一平面内，参考数据：，，，，，）
7．如图，距小明家楼下D点20米的B处有一根废弃的电线杆，经测得此电线杆与水平线所成锐角为，在小明家楼顶C处测得电线杆顶端A的俯角为，底部点B的俯角为 （点A、B、D、C在同一平面内）．已知在以点B为圆心，10米长为半径的圆形区域外是一休闲广场，有关部门想把此电线杆水平放倒，且B点不动，为安全起见，他们想知道这根电线杆放倒后，顶端A能否落在休闲广场内？请通过计算回答．
（结果精确到0.1米，参考数据：，）
8．图1是地下停车场的入口，图2是安装雨棚左侧支架的示意图，支架的立柱与水平线垂直，支点A在线段上，斜杆与的夹角，拉杆于点D，拉杆与的夹角．
(1)求拉杆的长；
(2)若要求停车场入口水平地面到顶部雨棚的高度不超过3.6米，问安装的雨棚高度是否符合要求？（参考数据：）
9．如图1是可调节高度和桌面角度的电脑桌，它的左视图可以抽象成如图2所示的图形，底座长为，支架垂直平分，桌面的中点固定在支架处，宽为．身高为的使用者站立处点与点，在同一条直线上，．点到点的距离是视线距离．
(1)如图，当，时，求视线距离的长；
(2)如图，使用者坐下时，高度下降，当桌面与的夹角为时，恰有视线，问需要将支架调整到多少？（参考数据：，，）
10．如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点C与点B在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为．（参考数据：，，）
(1)求点C到点D的水平距离的长；
(2)求楼的高度．
11．如图，小明家所在居民楼高为，从楼顶C 处测得另一座大厦顶部A的仰角α是 ，大厦底部 B的俯角β是．
(1)求两楼之间的距离；
(2)求大厦的高度．
(结果保留整数，参考数据：： ，，)
12．如图所示，小林周末去山顶看日出.小林先从点B出发，沿方向爬420米至点E再从E出发沿方向爬210米至点A．小林在点E处测得点B的俯角为，测得点A的仰角为．（参考数据：，，，，）
(1)求山顶A到地面的距离（保留一位小数）；
(2)若小林从点E出发的同时，小李从点C坐缆车沿方向前往点A，的坡角为若小林爬坡速度为，小李坐缆车的速度为，请通过计算说明谁先到达山顶．
13．如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道，无人机从点正上方点C沿正东方向以的速度飞行到达点D，此时测得点A的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点，测得点B的俯角为．
(1)求无人机的高度；（结果保留根号）
(2)求隧道的长．（结果精确到，参考数据：，，，）
14．人工海产养殖合作社安排甲，乙两组人员分别前往海面，养殖场捕捞海产品．经测量，在灯塔的南偏西方向，在灯塔的南偏东方向，且在的正东方向，米．求养殖场与灯塔的距离（结果精确到个位：参考数据：，）．
15．6月21日，我们共赴中考．小为了给小加油打气，特意赠送一个装有自己相片的相框（如图1）；没有想到的是，作为数学学霸的小，就按这个相框抽象出了侧面示意图（如图2），并测量出相关数据，给小出了一个难题：相框放置在水平桌面上，O为支撑点，是支撑杆，，，，．在这几个条件下让小完成以下问题，可作为学酥的小无法完成，只能求救与你了，
(1)相框点到桌面的距离．（保留根号）
(2)支撑杆的长度．（结果精确到，参考数，，）
16．某同学利用数学知识测量建筑物的高度．他从点出发沿着坡度为的斜坡步行米到达点处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为．若为水平的地面，测角仪竖直放置，其高度米．
(1)求点到水平地面的距离．
(2)求建筑物的高度．（精确到米）
（参考数据：，，，）
17．如图，时代，万物互联，助力数字经济发展，共建智慧生活．某移动公司为了提升网络信号在坡度（即）的山坡上加装了信号塔，信号塔底端Q到坡底A的距离为．当太阳光线与水平线所成的夹角为时，且．
(1) ， ；
(2)求信号塔的高度大约为多少米？（参考数据：，，）
18．哈尔滨旅游火爆全网，小西和小附两家前往哈尔滨冰雪大世界玩耍，如图，两家到达入口R处后分两条线路进行游玩，最后前往最大游玩项目B处集合．经测量，项目B在入口R的正北方向米处，项目A在入口R的北偏西方向，在项目B的南偏西方向，项目D在入口R的东北方米处，项目C在项目D的北偏西方向，在项目B的正东方向．
(1)求项目C和项目D之间的距离；（结果保留根号）
(2)已知小西家沿线路①进行游玩，小附家沿线路②进行游玩，请通过计算说明哪一条线路更短？（参考数据：，，）
19．重庆有六座矗立百年的文峰塔，其中位于江北区塔子山的文峰塔被称为是重庆的“航标”．小宇与小航准备测量塔子山文峰塔的高度，如图，小宇在点处观测到文峰塔最高点的仰角为，再沿正对文峰塔的方向前进至处测得最高点的仰角为，小航先在点处竖立长为标杆，再后退至其眼睛所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，此时测得最高点的仰角为，已知两人身高均为（头顶到眼睛的距离忽略不计）．
(1)求文峰塔的高度．（结果保留一位小数）；
(2)测量结束时小宇站在点处（点在点的正下方），小航站在点处，两人相约在塔底见面，小宇的速度为，小航速度是其2倍，谁先到达塔底？请说明理由．（参考数据：）
20．贵阳乌当惜字塔位于贵阳市乌当区，它是贵阳当地历史悠久的古塔之一，也是唯一一座与爱惜文字有关的古塔．某校九年级的一个班级利用周末时间开展“测量乌当惜字塔高度”的实践活动，想得到乌当惜字塔的高度．如图，乌当惜字塔垂直于地面，在塔的两侧不远处取C，D两点，C，D两点之间的距离为，并测量出，．（参考数据：，，，，，，，结果保留一位小数．）
(1)求乌当惜字塔的高度；
(2)同学们发现，在塔身第三层的位置镌嵌着“过”、“化”、“存”、“神”四个大字，于是在D点观察第三层时测量到，求四个大字所在的第三层距离地面的高度．
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专题突破六：解直角三角形的实际应用（20道）
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节（、）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（参考数据：，，，）
【答案】每节拉杆的长度为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数求线段的长是解题的关键．
如图1，作，垂足为，设，则，利用三角函数求出，如图2，作，垂足为，则，得到，然后利用列方程求解即可．
【详解】解：如图1，作，垂足为，设，则，
，
，
如图2，作，垂足为，则，
，
，
，
，
解得：．
答：每节拉杆的长度为．
2．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂长为，灯罩长为，底座厚度为，灯臂与底座构成的．使用发现，光线最佳时灯罩与水平线所成的角为，此时灯罩顶端到桌面的高度是多少？（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作于点，作于点，进而求出的长，再求出的长，即可得出答案．熟练应用锐角三角函数关系是解题的关键．
【详解】解：过点作于点，作于点，
∵，，，
∴，
∴四边形矩形，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
答：此时灯罩顶端到桌面的高度是．
3．春天是踏青的好季节，小明和小华决定去公园出游踏青．如图，已知为公园入口，景点位于点东北方向米处，景点位于点南偏东方向，景点在景点的正北方向，景点既位于景点正东方向310米处，又位于景点的北偏西方向．景点既位于景点的正东方向，又位于景点的正南方向．米．
（参考数据：）
(1)求的长；（精确到个位）
(2)小明选择了游览路线①：，小明行驶的平均速度是72米/分，小明在景点处各停留了10分钟、5分钟．小华选择了游览路线②：，小华行驶的平均速度为96米/分．小华在景点处各停留了9分钟、8分钟．请通过计算说明：小明和小华谁先到达景点处．
【答案】(1)长约1092米；
(2)小华先到景点处，理由见解析．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方位角问题，矩形的判定和性质，作辅助线构造直角三角形，灵活运算锐角三角函数是解题关键．
（1）过点作于点，由题意可知，米，，则是等腰直角三角形，求出米，再利用锐角三角函数值，求出米，即可得出BE的长；
（2）过点作于点，过点作于点，交于点，则四边形和四边形都是矩形，得出米，利用锐角三角函数值，求出米，米，米，再分别求出小明和小华的游览时间，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，
米，
米，
，
米，米，
（米）．
长约1092米．
（2）解：小华先到达景点D处，理由如下：
如图，过点作于点，过点作于点，交于点，
则四边形和四边形都是矩形，
，米，米，，
米，
景点C既位于景点B正东方向310米处，又位于景点D的北偏西方向．
（米），，
在中，，，
（米），（米），
（米），
小明选择了游览路线①：，小明行驶的平均速度是72米/秒．小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟，
小明的游览时间为（分钟），
在中，米，，
（米），
小华选择了游览路线②：，小华行驶的平均速度为96米/秒．小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟，
小华的游览时间为（分钟），
小华的游览时间更短，先到达景点D处．
4．2023年春节期间，某市举办烟花表演，其中最美烟花当属“惊艳天梯”．当烟花在空中点燃的那一刻，一段段明亮的台阶依次向上显现，在空中逐渐形成一幅美妙的“天梯”图案，十分惊艳．如图，某专业团队在水平地面上竖直架设测角仪，测量“天梯”的长度，在处测得“天梯”最低点的仰角，最高点的仰角，若，，，，共线且垂直于地面，且与，位于同一平面内．请你根据以上信息，计算出天梯的长度．（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】“天梯”的长度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，由题意得，，在中，根据三角函数的定义得到，在中，根据三角函数的定义得到，于是可得到结论．
【详解】解：由题意得，，
在中，，
，
解得，
在中，，
解得，
，
答：“天梯”的长度约为．
5．如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台上架设测角仪，从处测得塔的最高点的仰角为，测出，台阶可抽象为线段，，台阶的坡角为，测角仪的高度为，塔身可抽象成线段．
(1)求测角仪与塔身的水平距离；
(2)求塔身的高度．（结果精确到）（参考数据：，，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形求解．
（1）延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，则，，易得，根据勾股定理得出，最后即可解答；
（2）由（1）可知，，根据题意得出，，，则，，根据，即可解答．
【详解】（1）解：如图，延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，
则，，
由题意可知，，，
，
，
，
答：测角仪与塔身的水平距离为；
（2）解：由（1）可知，，
由题意可知，，，，
，
，
，
答：塔身的高度约为．
6．在综合实践课中，小明同学利用无人机测量小山的高度．如图，是小明同学，无人机飞到小山的右上方时，测得山顶的俯角为米，测得小明同学头顶的俯角为米．已知小明的身高为1.8米，求小山的高度．（已知分别与水平线垂直且在同一平面内，参考数据：，，，，，）
【答案】59.8米
【分析】本题考查了仰俯角的解直角三角形的应用，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
过点作于点，过点作于点，过点作于点，解，求出，解，求出，最后再根据线段和差进行计算即可．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，
则四边形和四边形都是矩形，
，
在中，由题意知米，
∴（米）
在中，由题意知米，
∴（米），
（米）．
答：小山的高度约为59.8米．
7．如图，距小明家楼下D点20米的B处有一根废弃的电线杆，经测得此电线杆与水平线所成锐角为，在小明家楼顶C处测得电线杆顶端A的俯角为，底部点B的俯角为 （点A、B、D、C在同一平面内）．已知在以点B为圆心，10米长为半径的圆形区域外是一休闲广场，有关部门想把此电线杆水平放倒，且B点不动，为安全起见，他们想知道这根电线杆放倒后，顶端A能否落在休闲广场内？请通过计算回答．
（结果精确到0.1米，参考数据：，）
【答案】顶端A不能落在休闲广场内，计算见解析．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中构造出直角三角形并求解．
作辅助线、，分别构造和，解直角三角形列方程求出的长度，然后与10比较即可得出结论．
【详解】解：设米，如图，过点A作水平线于点E，则：
，
，
∴．
过点A作于点，
则,
即四边形为矩形，
∴，
∵C处测得电线杆顶端A的俯角为，
∴，
∴
∵，
∴
解得：．
∵
∴顶端A不能落在休闲广场内．
8．图1是地下停车场的入口，图2是安装雨棚左侧支架的示意图，支架的立柱与水平线垂直，支点A在线段上，斜杆与的夹角，拉杆于点D，拉杆与的夹角．
(1)求拉杆的长；
(2)若要求停车场入口水平地面到顶部雨棚的高度不超过3.6米，问安装的雨棚高度是否符合要求？（参考数据：）
【答案】(1)
(2)符合要求，过程见详解
【分析】（1）先在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
（2）过点作，垂足为，先在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而求出的长，再根据已知可求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进行比较即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用，矩形的性质与判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：在中，，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
该支架的边的长为；
（2）解：符合要求，过程如下：
过点作，垂足为，
∵，
∴四边形是矩形
则，，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
安装雨棚的高度是合格的．
9．如图1是可调节高度和桌面角度的电脑桌，它的左视图可以抽象成如图2所示的图形，底座长为，支架垂直平分，桌面的中点固定在支架处，宽为．身高为的使用者站立处点与点，在同一条直线上，．点到点的距离是视线距离．
(1)如图，当，时，求视线距离的长；
(2)如图，使用者坐下时，高度下降，当桌面与的夹角为时，恰有视线，问需要将支架调整到多少？（参考数据：，，）
【答案】(1)视线距离的长为；
(2)需要将支架调整到．
【分析】（）连接，延长交于点，根据题意可得四边形是矩形，，再由勾股定理即可求解；
（）连接，延长交于点，由题意可得：，，，，再由余弦即可求解；
本题考查了平行线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握知识点的应用及正确做出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，连接，延长交于点，
根据题意可得四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴视线距离的长为；
（2）解：如图，连接，延长交于点，
由题意可得：，，，，
在中，，即，
∴，
∴，
∴需要将支架调整到．
10．如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点C与点B在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为．（参考数据：，，）
(1)求点C到点D的水平距离的长；
(2)求楼的高度．
【答案】(1)40米
(2)楼的高度约为80米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）根据题意可得，设米，则米，然后利用勾股定理可求出．据此即可求得的长；
（2）过点D作，垂足为G，则米，，然后设米，在中，利用锐角是三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于y的方程，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：，
∵山坡CF的坡度，
∴，
设米，则米，
∴（米），
∵米，
∴，
∴，
∴米，（米）；
（2）解：过点D作，垂足为G，则四边形是矩形，
∴米，，
设米，
∴米，
在中，，
∴（米），
∴米，
在中，，
∴，
解得：，
经检验：是原方程的根，
∴米，
∴楼的高度约为80米．
11．如图，小明家所在居民楼高为，从楼顶C 处测得另一座大厦顶部A的仰角α是 ，大厦底部 B的俯角β是．
(1)求两楼之间的距离；
(2)求大厦的高度．
(结果保留整数，参考数据：： ，，)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
（2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【详解】（1）解：过点作，垂足为，
由题意得：，，
在中，，
，
，
两楼之间的距离为；
（2）解：在中，，，
，
，
大厦的高度约为．
12．如图所示，小林周末去山顶看日出.小林先从点B出发，沿方向爬420米至点E再从E出发沿方向爬210米至点A．小林在点E处测得点B的俯角为，测得点A的仰角为．（参考数据：，，，，）
(1)求山顶A到地面的距离（保留一位小数）；
(2)若小林从点E出发的同时，小李从点C坐缆车沿方向前往点A，的坡角为若小林爬坡速度为，小李坐缆车的速度为，请通过计算说明谁先到达山顶．
【答案】(1)山顶A到地面的距离为358.1米
(2)小林先到达山顶
【分析】本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
（1）由已知得，，求出米，米，米，即可求出的长度，
（2）在中，根据，求出米，再求出小李坐缆车的时间和小林爬坡的时间即可判断．
【详解】（1）解：如图，作于点，于点，于点，
由已知得，，
米，米，
米，
米，
答：山顶到地面的距离为358.1米．
（2）解：在中，，
，
米，
小李坐缆车的时间为秒，
小林爬坡的时间为秒，
∴
小林先到达山顶．
13．如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道，无人机从点正上方点C沿正东方向以的速度飞行到达点D，此时测得点A的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点，测得点B的俯角为．
(1)求无人机的高度；（结果保留根号）
(2)求隧道的长．（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形，矩形的性质等相关知识点，熟练解直角三角形是解题的关键．
（1）先根据速度和时间得到路程，再利用特殊角的正切值即可得到长度；
（2）先根据速度和时间即可得到路程，再利用矩形的性质及正切值得到的长度．
【详解】（1）解：由题知，
∴在中，，
∴，
答：故无人机的高度是；
（2）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形，
∴，，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
答：隧道的长度约为．
14．人工海产养殖合作社安排甲，乙两组人员分别前往海面，养殖场捕捞海产品．经测量，在灯塔的南偏西方向，在灯塔的南偏东方向，且在的正东方向，米．求养殖场与灯塔的距离（结果精确到个位：参考数据：，）．
【答案】米
【分析】过点作于点，在中，利用含度角的直角三角形的性质求出，在中，利用勾股定理解三角形即可求出．
【详解】解：如图，过点作于点，
则，
由题意可知：，，
，，
（米），
（米），
（米），
养殖场与灯塔的距离约为米．
【点睛】本题主要考查了垂线的定义，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形的性质，根据等角对等边求边长，勾股定理等知识点，合理做出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
15．6月21日，我们共赴中考．小为了给小加油打气，特意赠送一个装有自己相片的相框（如图1）；没有想到的是，作为数学学霸的小，就按这个相框抽象出了侧面示意图（如图2），并测量出相关数据，给小出了一个难题：相框放置在水平桌面上，O为支撑点，是支撑杆，，，，．在这几个条件下让小完成以下问题，可作为学酥的小无法完成，只能求救与你了，
(1)相框点到桌面的距离．（保留根号）
(2)支撑杆的长度．（结果精确到，参考数，，）
【答案】(1)相框B点到桌面的距离为
(2)支撑杆的长度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是构造直角三角形并列出相应关系式．
（1）过点作，垂足为，在中，根据求解；
（2）过点作，垂足为，求出，在中，，在中，，即可求解.
【详解】（1）解：过点作，垂足为，
在中，，，
∴，
∴相框点到桌面的距离为；
（2）过点作，垂足为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
在中， ，
∴支撑杆的长度约为．
16．某同学利用数学知识测量建筑物的高度．他从点出发沿着坡度为的斜坡步行米到达点处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为．若为水平的地面，测角仪竖直放置，其高度米．
(1)求点到水平地面的距离．
(2)求建筑物的高度．（精确到米）
（参考数据：，，，）
【答案】(1)米；
(2)米．
【分析】（1）延长交于，作于，直接利用坡度的定义和勾股定理，得出的长，
（2）根据矩形的判定和性质得出的长，进而利用锐角三角函数关系得出的长，进而得出的长，根据即可得出答案．
【详解】（1）解：如图所示：延长交于，作于，
在中，，，，
∴，
设，则，
由勾股定理得，
即，
解得，
∴，
∴点到水平地面的距离米．
（2）解：∵，
∴四边形是矩形，
∴米，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：建筑物高约米．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角，坡度问题，勾股定理，矩形的判定和性质，正确得出的长是解题关键．
17．如图，时代，万物互联，助力数字经济发展，共建智慧生活．某移动公司为了提升网络信号在坡度（即）的山坡上加装了信号塔，信号塔底端Q到坡底A的距离为．当太阳光线与水平线所成的夹角为时，且．
(1) ， ；
(2)求信号塔的高度大约为多少米？（参考数据：，，）
【答案】(1)13，37
(2)信号塔的高度大约为米
【分析】（1）根据题意即可求出，作，垂足为S，根据题意，即可求得；
（2）根据题意和作图可知四边形为矩形，根据坡度的定义设米，在中，由勾股定理可得，代入求出的长，利用锐角三角函数关系，得出的长，进而得出答案．
【详解】（1）解：信号塔底端Q到坡底A的距离为，
；
如图，作，垂足为S，
根据题意，
∴；
（2）解：根据题意和作图可知四边形为矩形，
∴．
由，可得，
设米，则米，
在中，由勾股定理可得，
∴，
解得（负值舍去），
∴（米），（米），
∴，
∵，
在中， ，
即，
∴（米），
∴（米），
答：信号塔的高度大约为米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，坡度的定义，矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键．
18．哈尔滨旅游火爆全网，小西和小附两家前往哈尔滨冰雪大世界玩耍，如图，两家到达入口R处后分两条线路进行游玩，最后前往最大游玩项目B处集合．经测量，项目B在入口R的正北方向米处，项目A在入口R的北偏西方向，在项目B的南偏西方向，项目D在入口R的东北方米处，项目C在项目D的北偏西方向，在项目B的正东方向．
(1)求项目C和项目D之间的距离；（结果保留根号）
(2)已知小西家沿线路①进行游玩，小附家沿线路②进行游玩，请通过计算说明哪一条线路更短？（参考数据：，，）
【答案】(1)项目C和项目D之间的距离为米；
(2)线路②更短
【分析】此题考查了解直角三角形的应用．
（1）过D作于E，求出米，过C作于F，则四边形是矩形，得到米，则米，即可得到米；
（2）求出线路②（米）,得到米，米，得到线路①（米），比较后即可得到结论．
【详解】（1）解：过D作于E，
∵米，
∴米，
∵米，
∴米，
过C作于F，则四边形是矩形，
∴米，
∵，
∴米，
∴米，
答：项目C和项目D之间的距离为米；
（2）由（1）知，
米，
∴线路②
（米），
∵，
∴，
∴米，米，
∴线路①（米），
∵，
∴线路②更短．
19．重庆有六座矗立百年的文峰塔，其中位于江北区塔子山的文峰塔被称为是重庆的“航标”．小宇与小航准备测量塔子山文峰塔的高度，如图，小宇在点处观测到文峰塔最高点的仰角为，再沿正对文峰塔的方向前进至处测得最高点的仰角为，小航先在点处竖立长为标杆，再后退至其眼睛所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，此时测得最高点的仰角为，已知两人身高均为（头顶到眼睛的距离忽略不计）．
(1)求文峰塔的高度．（结果保留一位小数）；
(2)测量结束时小宇站在点处（点在点的正下方），小航站在点处，两人相约在塔底见面，小宇的速度为，小航速度是其2倍，谁先到达塔底？请说明理由．（参考数据：）
【答案】(1)文峰塔的高度约为；
(2)小宇先到达塔底．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）设与相交于点，设，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而列出关于的方程，进而求出的长，最后进行计算即可解答；
（2）设与相交于点，根据题意可得：，则，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，从而求出的长，最后分别求出他们所用的时间，进行比较即可解答．
【详解】（1）解：设与相交于点，
由题意得：
，，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
文峰塔的高度约为；
（2）解：小宇先到达塔底，
理由：设与相交于点，
由题意得：
，
，
，
在中，，，
，
在中，，
，
小宇的速度为，小航速度是其2倍，
小航的速度为，
，，
，
小宇先到达塔底．
20．贵阳乌当惜字塔位于贵阳市乌当区，它是贵阳当地历史悠久的古塔之一，也是唯一一座与爱惜文字有关的古塔．某校九年级的一个班级利用周末时间开展“测量乌当惜字塔高度”的实践活动，想得到乌当惜字塔的高度．如图，乌当惜字塔垂直于地面，在塔的两侧不远处取C，D两点，C，D两点之间的距离为，并测量出，．（参考数据：，，，，，，，结果保留一位小数．）
(1)求乌当惜字塔的高度；
(2)同学们发现，在塔身第三层的位置镌嵌着“过”、“化”、“存”、“神”四个大字，于是在D点观察第三层时测量到，求四个大字所在的第三层距离地面的高度．
【答案】(1)
(2)四个大字所在的第三层距离地面的高度约为．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用：
（1）设，分别解和求出，，进而可得，解方程即可得到答案；
（2）由（1）可得，再解求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：设，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴乌当惜字塔的高度约为；
（2）解：由（1）得，，
∴，
在中，，
∴，
∴四个大字所在的第三层距离地面的高度约为．
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