浙教版数学七上考点突破训练：数轴上点常规运动模型
一、夯实基础
1．（【导学精练】初中数学七年级上册专题1.2数轴七年级上册同步课堂（浙教版））数轴上有一动点从表示的点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，则运动秒后点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七上·信宜期末）点A是数轴上一点，一只蚂蚁从点A出发爬了5个单位长度到了表示的数2的点，则点A所表示的数是 ．
3．（2023七上·翠屏月考）数轴上A、B两点对应的数分别为和，P为数轴上一点，若，则点P表示的数是 ．
4．（2024七上·嵊州期末）已知数轴上的点A和点B之间的距离为28个单位长度，点A在原点左边距离原点8个单位长度，点B在原点的右边．
（1）请直接写出A，B两点所对应的数．
（2）已知，数轴上点M从点A向左出发速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B向左出发速度为每秒2个单位长度，经t秒后，求t的值．
5．（2024七上·敦化期末） 如图，已知数轴上点A表示的数为－2，点B是数轴上在点A右侧的一点，且A、B两点间的距离为4．动点Р从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒.
（1）数轴上点B表示的数是 ，点Р表示的数是 （用含t的代数式表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，求：
①当点Р运动多少秒时，点P与点Q重合
②当点Р运动多少秒时，点P与点Q之间的距离为3个单位长度 （②直接写出t的值）.
6．（2024七上·青山湖月考）已知表示互为相反数的两个数的点A，B在数轴上的距离是10，其中点A在点B的左侧．现在点A沿着数轴先向右运动2秒，再向左运动5秒到达点C的位置．设点A的运动速度为每秒1.5个单位长度，求点C在数轴上表示的数．
二、能力提升
7．（2024七上·坪山期末）如右图所示：C是线段上一点，且，P、Q从C点同时出发，分别朝着点A运动、点B运动，且点P的运动速度是点Q的一半，当时，的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（【导学精练】初中数学七年级上册专题1.2数轴七年级上册同步课堂（浙教版））如图，已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（ ）
①对应的数是；②点到达点时，；③时，；
④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（浙江省绍兴市绍初教育集团2024-2025学年七年级上学期数学开学考试题）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示-1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则圆周上表示数字 的点与数轴上表示2024的点重合.
10．（2023七上·西安月考）如图，已知点A，B，C是数轴上三点，O为原点，点C对应的数为6，，，动点P，Q分别同时从A、C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动，M为的中点，N在上，且，则经过 秒时，之间距离为4．
11．（【导学精练】初中数学七年级上册专题1.5.数轴中的八类动态问题（章节重难点））如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为-4，点C到点A、点B的距离相等，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为x (x大于0)秒.(1)点C表示的数是 ； (2)当x= 秒时，点P到达点A处 (3)运动过程中点P表示的数是 (用含字母x的式子表示) .
12．（2024七上·拱墅期末）如图，在数轴上A点表示的数，B点表示的数，C点表示的数，是最小的正整数，且，满足+=0
（1）求= ，= ，c= ；
（2）若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则与C点重合的点对应的数是；
（3）若点A以每秒0.2个单位的速度向右运动，点C以每秒0.3个单位的速度向左运动，直至两点相遇时停止运动.
①若两点同时开始运动，求相遇处的点所表示的数；
②若点A先运动秒后，点C开始运动，A，C两点恰好在点B处相遇，求的值；
③若两点同时开始运动，点C是否有可能比点A多运动1.5个单位？说明理由.
13．（2024七上·濠江期末）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为16，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒（）
（1）A，两点间的距离等于 ，线段的中点表示的数为 ；
（2）求当为何值时，？
（3）若点为的中点，当点到原点距离为9时，求的值．
三、拓展创新
14．（2024七上·柳州期末）如图，数轴上线段（单位长度），线段（单位长度），点A在数轴上表示的数是-12，点C在数轴上表示的数是14.若线段AB以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，同时线段CD以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为ts.当t= 时，点B刚好与线段CD的中点重合.
15．（2023七上·威县期中）动点，分别从数轴上表示和的两点同时出发，并且分别以个单位长度秒和个单位长度秒的速度沿数轴向负方向匀速运动，经过 秒两点相遇，相遇时，两点表示的数为 ．
16．（【导学精练】初中数学七年级上册专题1.5.数轴中的八类动态问题（章节重难点））(1)在数轴上标出数-4.5，-2，1，3.5所对应的点A，B，C，D；(2)C，D两点间距离= ；B，C两点间距离= ；(3)数轴上有两点M，N，点M对应的数为a，点N对应的数为b，那么M，N两点之间的距离= ；(4)若动点P，Q分别从点B，C同时出发，沿数轴负方向运动；已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，设运动时间为t，问：①t为何值时P，Q两点重合 ②t为何值时P，Q两点之间的距离为1
17．（2024七上·龙岗期末）如图，已知数轴上点A表示的数为8，点B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为12．点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时，另一点Q从原点O出发，也沿数轴以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）数轴上点P表示的数为 ，点Q表示的数为 ；（用含t的代数式表示）
（2）经过多少秒点B恰为的中点？
（3）当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为7个单位长度？
18．（【导学精练】初中数学七年级上册专题1.5.数轴中的八类动态问题（章节重难点））(1)问题一：如图1，数轴上的点A表示2，点B表示5，点C表示7，易得2+5=7，我们记为A+B=C.
现将数轴的原点向左拖动1个单位长度，如图2所示，此时A+B=C还成立吗 若不成立，怎样移动点C就能使之成立
（1）若将数轴的原点向左拖动x个单位长度，为了使A+B=C成立，应该怎样移动点C'
（2）若点A表示m，点B表示n，点C表示t，如果m+n=t，那么仍然有A+B=C.现将数轴的原点向左拖动x个单位长度，①为了使A+B=C成立，应该怎样移动点C ②为使A+B=C成立，应该怎样移动点B
（3）问题二：如图3，数轴上的点A表示-3，点B表示1，点C表示5，易得-3+5=2×1，我们记为A+C=2B.
现将数轴的原点向左拖动x个单位长度，A+C=2B还成立吗 请说明理由.
（4）若点A表示m，点B表示n，点C表示t，当m，n，t满足什么关系时，都能使A+C=2B成立
19．（2024七上·揭阳期末）如图，在数轴上点表示数a，B点表示数，且a、b满足.
（1）求A、B两点之间的距离；
（2）点C、D在线段AB上，AC为14个单位长度，BD为8个单位长度，求线段CD的长；
（3）在（2）的条件下，动点P以3个单位长度/秒的速度从A点出发沿正方向运动，同时点以2个单位长度/秒的速度从点出发沿正方向运动，求经过几秒，点、点到点的距离相等.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴的点常规运动模型
2．【答案】7或
【知识点】数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解： 蚂蚁从点A出发向左爬了5个单位长度到了表示的数2的点，则点A表示的数：2+5=7；
从点A出发向右爬了5个单位长度到了表示的数2的点，则点A表示的数：2－5=－3.；
故答案为：7或－3.
【分析】分析蚂蚁是向左爬还是向右爬得到现在的数，即可得到A点表示的数.
3．【答案】或
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：①当点P在线段上时，
设点P表示的数是x，
∵数轴上A、B两点对应的数分别为和，
∴，，
∴
，
经检验，符合题意；
②当点P在线段延长线上时，
设点P表示的数是x，
∵数轴上A、B两点对应的数分别为和，
∴，，
∴
，
经检验，符合题意；
综上，点P表示的数是或，
故答案为：或．
【分析】据题意可知点P可能在线段上，也可能在线段延长线上，故分类讨论，当点P在线段上时，设点P表示的数是x，根据A、B两点对应的数分别为和表示出线段AP、PB，再根据AP、PB的比例关系，建立方程，解方程即可得到x的值；当点P在线段延长线上时，同理即可求解.
4．【答案】（1）解：点A对应的数为－8，点B对应的数为20.
（2）解：由题意得：当 ，
，
解得，
故经过4秒或28秒后 .
【知识点】数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1）∵ 点A在原点左边距离原点8个单位长度，
∴点A所表示的数为-8，
∵ 点A和点B之间的距离为28个单位长度 ，且点B在原点的右边，
∴点B所表示的数为：-8+28=20；
【分析】（1）根据数轴上的点所表示数的特点及数轴上两点间的距离，课求出出A，B两点对应的数即可；
（2）分别表示出运动t秒后MO和NO的长，再令，解关于t的方程即可，注意M向左运动的过程中，M可以在原点右侧，也可以在原点左侧.
5．【答案】（1）2；
（2）解：①设点运动秒时点与点重合，点表示的数为，
依题意得：，
解得，
答：点运动2秒时，点与点重合；
②设点运动秒时，点与点之间的距离为3个单位长度，
根据题意得：，
化简得，
解得或
【知识点】数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：(1)设数轴上点B表示的数为x，
∵数轴上点A表示的数为-2，点B是数轴上在点A右侧的一点，且A，B两点间的距离为4
∴x-(-2)=4，
解得x=2
∴数轴上点B表示的数是2，
根据题意，点P表示的数是-2-3t；
故答案为：2；-2-3t.
【分析】(1)设数轴上点B表示的数为x，根据点A表示的数为-2，点B是数轴上在点A右侧的一点，且A，B两点间的距离为4，列方程求x即可；
(2)①设点P运动t秒时点P与点Q重合，根据点P表示的数与点Q表示的数相同列出方程，解方程即可；
②根据P，Q两点间的距离为3列出方程，解方程即可.
6．【答案】解：∵表示互为相反数的两个数的点A，B在数轴上的距离是10，其中点A在点B的左侧，
∴点A表示的数为，点B表示的数为5，
∵点A沿着数轴先向右运动2秒，点A的运动速度为每秒1.5个单位长度，
∴，
∴，
∵点A再向左运动5秒到达点C的位置，
∴，
∴，
∴点C在数轴上表示的数为，
【知识点】有理数在数轴上的表示；相反数的意义与性质；数轴的点常规运动模型
【解析】【分析】先求出点A表示的数为，点B表示的数为5，再结合点A再向左运动5秒到达点C的位置，求出，最后求出点C在数轴上表示的数为即可.
7．【答案】C
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算；数轴的点常规运动模型
8．【答案】B
【知识点】数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，
对应的数为：；故①是正确的；，故②是正确的；
当时，，，故③是错误的；
在点的运动过程中，，故④是错误的.
故答案为：B．
【分析】利用数轴上点的特征可以得到B点对应的数；计算出点P到达点B的时间；根据BP的长可以求出点P的运动时间；利用数轴上中点的性质可以得到MN的长度.
9．【答案】1
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：∵ 在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示-1的点重合，
∴1与原点重合，
2024÷4=506，
∴ 圆周上表示数字1的点与数轴上表示2024的点重合
故答案为：1.
【分析】利用已知条件可得到1与原点重合，用2024÷4根据其余数，可得答案.
10．【答案】6或10
【知识点】数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：设经过t秒时MN=4，
则当M在N点左侧时，有12-3t+4+t=4，得t=6；
当M在N点右侧时时，3t=12+4+4+t，得t=10；
故答案为：6或10.
【分析】由题意讨论M在N左侧或右侧，分别列出方程即可得相应的时间.
11．【答案】1；5；-4+2x.
【知识点】数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解： （1）设C表示的数为m，
∵点C到点A、点B的距离相等，
∴m+4=6－m，
解得：m=1，
∴点C表示的数为1，
故答案为：1；
(2) ∵数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为-4，
∴AB=6-(-4)=10，
∴运动时间x=10÷2=5，
故答案为：5；
(3) ∵动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴运动过程中点P表示的数是-4+2x，
故答案为：-4+2x.
【分析】数轴上两点的距离等于数轴右边的点表示的数－数轴左边的点表示的数；（1）设点C表示的数为m，用m表示出AC和BC，根据题意得AC=BC，可得关于m的方程，求解即可；
（2）计算出AB长，用AB÷2，即可得到答案；
（3）根据数轴向右平移加，向左平移减，以及速度为2，故x秒时，移动路程2x，可得x秒时点P表示的数.
12．【答案】（1）-2；1；4
（2）解：∵，，
∴，
∴ 与点重合的点对应的数是-5.
（3）解：①两点同时开始运动秒后相遇，点表示的数为，点表示的数为，
根据题意得：，
解得，
此时，
∴相遇处的点所表示的数为.
②设点C开始运动秒后，A、C在点B相遇，
根据题意得：，
解得，
∴的值为5.
③不可能．理由如下：
设A、C运动的时间为秒，
由题意得：，
解得，
∴点不可能比点多运动个单位.
【知识点】绝对值的非负性；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】(1)、解：∵，
∴，
解得，
∵是最小的正整数.
故答案为：-2；1；4.
【分析】(1)、根据两个非负数的和等于0，得到每项都为0，逐一计算即可.
(2)、根据折叠和对称点的性质求解即可.
(3)、①根据点A和点C表示的两数相等，列出方程求解即可.
②根据A、C相遇后所表示的数为1列出二元一次方程组方程组，进而求解即可.
③根据，求出与12比较判断即可．
13．【答案】（1）20；6
（2）解：∵点P表示的数为，点Q表示的数为，
∴，
∵，
∴，
∴或，
解得：或；
（3）解：∵点P表示的数为，点Q表示的数为，
∴点M表示的数为，
∵点M到原点距离为9，
∴，
∴或，
解得：或（舍去）．
【知识点】线段的中点；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】（1）A，两点间的距离=16-（-4）=20， 线段的中点表示的数为.
故答案为：20，6.
【分析】（1）数轴上两点间的距离，为这两点所对应的坐标差的绝对值，中点即为两个点的坐标和的二分之一；
（2）先用含t的式子把点P和点Q表示的数分别表示出来，在表示出线段PQ的长度，由运动可知，PQ相遇前后，均有满足题目的要求的情况，故在求PQ长度时加上绝对值符号，由（1）可知AB的长，即可列等式求出满足要求的t；
（3）由（2）中结论，先用点P和点Q表示出点M的数，然后再根据条件“ 点到原点距离为9 ”；列出等式，即可求出t的值.
14．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：∵数轴上线段AB=2（单位长度），线段CD=4（单位长度），点A在数轴上表示的数是-12，点C在数轴上表示的数是14，
∴点B在数轴上表示的数是-10，点D在数轴上表示的数是18，
则CD中点在数轴上表示的数是16；
当运动时间为ts时，点B在数轴上表示的数是2t-10，CD中点在数轴上表示的数是16-t，
根据题意得：2t-10=16-t，
解得：；
故答案为： .
【分析】相加题意求出点B和CD中点在数轴上表示的数，根据题意列出关于t的一元一次方程，解方程即可得出答案.
15．【答案】；
【知识点】一元一次方程的其他应用；有理数在数轴上的表示；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】设经过秒时间、两点相遇，此时点表示的数是：，点表示的数是：，
则，解得：，
此时点表示的数为，
故答案为：，．
【分析】设经过秒时间、相遇，此时点表示的数是：，点表示的数是：，根据题意列出方程，解方程即可求出答案.
16．【答案】2.5；3；a-b
【知识点】数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1） 点A，B，C，D在数轴上的位置如图：
（2）C，D之间的距离为3.5－1=2.5；B，C两点间距离为1－(－2)=3；
故答案为：2.5；3；
（3）M，N两点之间的距离为|a－b|；
故答案为：|a－b|.
（4）①运动t秒时，点P表示的数为-2-t，点Q表示的数为1-2t，
令－2－t=1－2t
解得：t=3，
即 t=3时P，Q两点重合.
②P，Q间的距离为|(－2－t)－(1－2t)|=|t－3|，
令|(－2－t)－(1－2t)|=1，即|t－3|=1，
解得t=2或t=4.
即t=2或t=4时，P，Q两点之间的距离为1.
【分析】（1）按照数轴上点的特点将各点依次在数轴上表示出来即可；
（2）数轴上两点间的距离，等于右边的点表示的数减去左边点表示的数；
（3）数轴上两点间的距离，等于右边的点表示的数减去左边点表示的数，不确定两点的位置时，需加绝对值；
（4）数轴上的点平移：向左减，向右加，表示出平移后的点表示的数后，根据题意列方程并求解即可.①可得方程：－2－t=1－2t；②可得方程：|(－2－t)－(1－2t)|=1，求解即可.
17．【答案】（1）；
（2）解：∵A表示的数为8，A，B两点间的距离为12，
∴B点表示的数为，
∴，
，
∵B为的中点，
∴，
∴，
解得：；
（3）解：①当点P与点Q相遇之前
，
∵，
∴，
解得：，
②当点P与点Q相遇之后，
，
∵，
∴，
解得：，
∴当点P运动1或15秒时，点P与点Q间的距离为7个单位长度．
【知识点】一元一次方程的其他应用；线段的中点；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1）根据P点、Q点运动速度及运动时间t，可知t秒后，P点运动了2t个单位长度，Q点运动了t个单位长度，则此时P点表示的数为8-2t，点Q表示的数为-t；
故答案为：，-t.
【分析】（1）利用两点的运动速度和运动时间，求出运动距离，即可表示出两点所表示的数；
（2）先根据题目所给条件，求出点B表示的数，再利用中点，得到，然后用t再分别表示出BP和BQ，继而可列出等式，求出t的值；
（3）根据P点、Q点的运动规律，可知，两点相遇前后，各有一次满足要求的情况，需分类讨论：
①当点P与点Q相遇之前，由（1）中结论，根据P点、Q点所表示的数，表示出PQ的长，再结合条件“ 点P与点Q间的距离为7个单位长度 ”，即可列出等式，求出此时t的值；
②当点P与点Q相遇之后，同样利用（1）中结论，表示出PQ的长，再结合条件“ 点P与点Q间的距离为7个单位长度 ”，即可列出等式，求出此时t的值；
综上可知，满足要求的t会有两个值.
18．【答案】（1）解：由（1）可知，将数轴的原点向左拖动x个单位长度，为了使A+B=C成立，应该把同时把点C向右移动x个单位长度；
（2）解：①∵点A表示m，点B表示n，点C表示t，m+n=t，A+B=C.
∴将数轴的原点向左拖动x个单位长度时，A=m+x，B=n+x，c=t+x
∴A+B=m+n+2x=t+x+x=c+x，
∴若A+B=C成立，则将点C向右移动x个单位长度；
②∵点A表示m，点B表示n，点C表示t，m+n=t，A+B=C.
∴将数轴的原点向左拖动x个单位长度时，A=m+x，B=n+x，C=t+x=m+n+x，
当A+B=C时：B=C-A=t+x-m-x=m+n+x-m-x=n，
即：点B向左移动x个单位长度时，A+B=C成立.
（3）解：成立，理由如下：
∵数轴上的点A表示-3，点B表示1，点C表示5，
∴将数轴的原点向左拖动x个单位长度时，点A表示-3+x，点B表示1+x，点C表示5+x，
∴A+C=-3+x+5+x=2x+2，2B=2(1+x)=2x+2，
∴A+C=2B成立；
（4）解：由（3）可知，点A表示m，点B表示n，点C表示t，当m+t=2n时，能使A+C=2B成立.
【知识点】数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】 解：问题一：不成立，理由如下：
∵将数轴的原点向左拖动1个单位长度，则点A表示3，点B表示6，点C表示8，3+6≠8，
∴A+B=C不成立.
把点C向右移动一个单位长度时，点C表示9，则A+B=C成立；
【分析】问题一：根据将数轴的原点向左拖动1个单位长度，则点A表示3，点B表示6，点C表示8，即可解答；
（1）根据问题一中各数值的变化即可得出结论；
（2）①结合（1）根据原点向左移动x个单位得此时A=m+x，B=n+x，c=t+x，计算A+B，与C对照即可得到结论；
②结合（1）根据原点向左移动x个单位得此时A=m+x，B=n+x，c=t+x，计算A+B=C时，B表示的数，即可得到结论；
问题二：（3）当数轴的原点向左拖动x个单位长度时，则点A表示－3+x，点B表示1+x，点C表示5十x，再代入A+B=2B，检验即可得结论；
（4）用（3）的计算过程即可得到结论.
19．【答案】（1）解：∵|a+12|+（b﹣6）2＝0．
∴a+12＝0，b﹣6＝0，
即：a＝﹣12，b＝6；
∴AB＝6﹣（﹣12）＝18；
（2）解：点C、D在线段AB上，
∵AB＝18，AC＝14，BD＝8，
∴BC＝18﹣14＝4，
CD＝BD﹣BC＝8﹣4＝4；
（3）解：设经过t秒，点P、Q到点C的距离相等，
AD＝AB﹣BD＝18﹣8＝10，AP＝3t，DQ＝2t，
①当点P、Q重合时，
AP﹣DQ＝AD，
即：3t﹣2t＝10，
解得，t＝10，
②当点C是PQ的中点时，
有CP＝CQ，即，AC﹣AP＝DQ﹣DC，
14﹣3t＝2t﹣4，
解得，t＝，
答：经过或10秒，点P、点Q到点C的距离相等．
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；线段的和、差、倍、分的简单计算；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性可分别求出a、b的值，也就是点A、点B对应的数，进而求出两点间的距离，也就是线段AB的长.
（2）由题意可知： 点C、D在线段AB上 ，AB=18，AC=14，BC=AB-AC=4；由BD=8，可知CD=BD-BC=4.
（3）由题意分析可知要使点P、点Q到点C的距离相等应分两种情况分别讨论：①当点P、点Q重合时；②当点C是PQ的中点时。然后根据各种情况分别讨论列方程解出即可.
1 / 1浙教版数学七上考点突破训练：数轴上点常规运动模型
一、夯实基础
1．（【导学精练】初中数学七年级上册专题1.2数轴七年级上册同步课堂（浙教版））数轴上有一动点从表示的点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，则运动秒后点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴的点常规运动模型
2．（2024七上·信宜期末）点A是数轴上一点，一只蚂蚁从点A出发爬了5个单位长度到了表示的数2的点，则点A所表示的数是 ．
【答案】7或
【知识点】数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解： 蚂蚁从点A出发向左爬了5个单位长度到了表示的数2的点，则点A表示的数：2+5=7；
从点A出发向右爬了5个单位长度到了表示的数2的点，则点A表示的数：2－5=－3.；
故答案为：7或－3.
【分析】分析蚂蚁是向左爬还是向右爬得到现在的数，即可得到A点表示的数.
3．（2023七上·翠屏月考）数轴上A、B两点对应的数分别为和，P为数轴上一点，若，则点P表示的数是 ．
【答案】或
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：①当点P在线段上时，
设点P表示的数是x，
∵数轴上A、B两点对应的数分别为和，
∴，，
∴
，
经检验，符合题意；
②当点P在线段延长线上时，
设点P表示的数是x，
∵数轴上A、B两点对应的数分别为和，
∴，，
∴
，
经检验，符合题意；
综上，点P表示的数是或，
故答案为：或．
【分析】据题意可知点P可能在线段上，也可能在线段延长线上，故分类讨论，当点P在线段上时，设点P表示的数是x，根据A、B两点对应的数分别为和表示出线段AP、PB，再根据AP、PB的比例关系，建立方程，解方程即可得到x的值；当点P在线段延长线上时，同理即可求解.
4．（2024七上·嵊州期末）已知数轴上的点A和点B之间的距离为28个单位长度，点A在原点左边距离原点8个单位长度，点B在原点的右边．
（1）请直接写出A，B两点所对应的数．
（2）已知，数轴上点M从点A向左出发速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B向左出发速度为每秒2个单位长度，经t秒后，求t的值．
【答案】（1）解：点A对应的数为－8，点B对应的数为20.
（2）解：由题意得：当 ，
，
解得，
故经过4秒或28秒后 .
【知识点】数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1）∵ 点A在原点左边距离原点8个单位长度，
∴点A所表示的数为-8，
∵ 点A和点B之间的距离为28个单位长度 ，且点B在原点的右边，
∴点B所表示的数为：-8+28=20；
【分析】（1）根据数轴上的点所表示数的特点及数轴上两点间的距离，课求出出A，B两点对应的数即可；
（2）分别表示出运动t秒后MO和NO的长，再令，解关于t的方程即可，注意M向左运动的过程中，M可以在原点右侧，也可以在原点左侧.
5．（2024七上·敦化期末） 如图，已知数轴上点A表示的数为－2，点B是数轴上在点A右侧的一点，且A、B两点间的距离为4．动点Р从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒.
（1）数轴上点B表示的数是 ，点Р表示的数是 （用含t的代数式表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，求：
①当点Р运动多少秒时，点P与点Q重合
②当点Р运动多少秒时，点P与点Q之间的距离为3个单位长度 （②直接写出t的值）.
【答案】（1）2；
（2）解：①设点运动秒时点与点重合，点表示的数为，
依题意得：，
解得，
答：点运动2秒时，点与点重合；
②设点运动秒时，点与点之间的距离为3个单位长度，
根据题意得：，
化简得，
解得或
【知识点】数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：(1)设数轴上点B表示的数为x，
∵数轴上点A表示的数为-2，点B是数轴上在点A右侧的一点，且A，B两点间的距离为4
∴x-(-2)=4，
解得x=2
∴数轴上点B表示的数是2，
根据题意，点P表示的数是-2-3t；
故答案为：2；-2-3t.
【分析】(1)设数轴上点B表示的数为x，根据点A表示的数为-2，点B是数轴上在点A右侧的一点，且A，B两点间的距离为4，列方程求x即可；
(2)①设点P运动t秒时点P与点Q重合，根据点P表示的数与点Q表示的数相同列出方程，解方程即可；
②根据P，Q两点间的距离为3列出方程，解方程即可.
6．（2024七上·青山湖月考）已知表示互为相反数的两个数的点A，B在数轴上的距离是10，其中点A在点B的左侧．现在点A沿着数轴先向右运动2秒，再向左运动5秒到达点C的位置．设点A的运动速度为每秒1.5个单位长度，求点C在数轴上表示的数．
【答案】解：∵表示互为相反数的两个数的点A，B在数轴上的距离是10，其中点A在点B的左侧，
∴点A表示的数为，点B表示的数为5，
∵点A沿着数轴先向右运动2秒，点A的运动速度为每秒1.5个单位长度，
∴，
∴，
∵点A再向左运动5秒到达点C的位置，
∴，
∴，
∴点C在数轴上表示的数为，
【知识点】有理数在数轴上的表示；相反数的意义与性质；数轴的点常规运动模型
【解析】【分析】先求出点A表示的数为，点B表示的数为5，再结合点A再向左运动5秒到达点C的位置，求出，最后求出点C在数轴上表示的数为即可.
二、能力提升
7．（2024七上·坪山期末）如右图所示：C是线段上一点，且，P、Q从C点同时出发，分别朝着点A运动、点B运动，且点P的运动速度是点Q的一半，当时，的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算；数轴的点常规运动模型
8．（【导学精练】初中数学七年级上册专题1.2数轴七年级上册同步课堂（浙教版））如图，已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（ ）
①对应的数是；②点到达点时，；③时，；
④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，
对应的数为：；故①是正确的；，故②是正确的；
当时，，，故③是错误的；
在点的运动过程中，，故④是错误的.
故答案为：B．
【分析】利用数轴上点的特征可以得到B点对应的数；计算出点P到达点B的时间；根据BP的长可以求出点P的运动时间；利用数轴上中点的性质可以得到MN的长度.
9．（浙江省绍兴市绍初教育集团2024-2025学年七年级上学期数学开学考试题）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示-1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则圆周上表示数字 的点与数轴上表示2024的点重合.
【答案】1
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：∵ 在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示-1的点重合，
∴1与原点重合，
2024÷4=506，
∴ 圆周上表示数字1的点与数轴上表示2024的点重合
故答案为：1.
【分析】利用已知条件可得到1与原点重合，用2024÷4根据其余数，可得答案.
10．（2023七上·西安月考）如图，已知点A，B，C是数轴上三点，O为原点，点C对应的数为6，，，动点P，Q分别同时从A、C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动，M为的中点，N在上，且，则经过 秒时，之间距离为4．
【答案】6或10
【知识点】数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：设经过t秒时MN=4，
则当M在N点左侧时，有12-3t+4+t=4，得t=6；
当M在N点右侧时时，3t=12+4+4+t，得t=10；
故答案为：6或10.
【分析】由题意讨论M在N左侧或右侧，分别列出方程即可得相应的时间.
11．（【导学精练】初中数学七年级上册专题1.5.数轴中的八类动态问题（章节重难点））如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为-4，点C到点A、点B的距离相等，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为x (x大于0)秒.(1)点C表示的数是 ； (2)当x= 秒时，点P到达点A处 (3)运动过程中点P表示的数是 (用含字母x的式子表示) .
【答案】1；5；-4+2x.
【知识点】数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解： （1）设C表示的数为m，
∵点C到点A、点B的距离相等，
∴m+4=6－m，
解得：m=1，
∴点C表示的数为1，
故答案为：1；
(2) ∵数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为-4，
∴AB=6-(-4)=10，
∴运动时间x=10÷2=5，
故答案为：5；
(3) ∵动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴运动过程中点P表示的数是-4+2x，
故答案为：-4+2x.
【分析】数轴上两点的距离等于数轴右边的点表示的数－数轴左边的点表示的数；（1）设点C表示的数为m，用m表示出AC和BC，根据题意得AC=BC，可得关于m的方程，求解即可；
（2）计算出AB长，用AB÷2，即可得到答案；
（3）根据数轴向右平移加，向左平移减，以及速度为2，故x秒时，移动路程2x，可得x秒时点P表示的数.
12．（2024七上·拱墅期末）如图，在数轴上A点表示的数，B点表示的数，C点表示的数，是最小的正整数，且，满足+=0
（1）求= ，= ，c= ；
（2）若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则与C点重合的点对应的数是；
（3）若点A以每秒0.2个单位的速度向右运动，点C以每秒0.3个单位的速度向左运动，直至两点相遇时停止运动.
①若两点同时开始运动，求相遇处的点所表示的数；
②若点A先运动秒后，点C开始运动，A，C两点恰好在点B处相遇，求的值；
③若两点同时开始运动，点C是否有可能比点A多运动1.5个单位？说明理由.
【答案】（1）-2；1；4
（2）解：∵，，
∴，
∴ 与点重合的点对应的数是-5.
（3）解：①两点同时开始运动秒后相遇，点表示的数为，点表示的数为，
根据题意得：，
解得，
此时，
∴相遇处的点所表示的数为.
②设点C开始运动秒后，A、C在点B相遇，
根据题意得：，
解得，
∴的值为5.
③不可能．理由如下：
设A、C运动的时间为秒，
由题意得：，
解得，
∴点不可能比点多运动个单位.
【知识点】绝对值的非负性；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】(1)、解：∵，
∴，
解得，
∵是最小的正整数.
故答案为：-2；1；4.
【分析】(1)、根据两个非负数的和等于0，得到每项都为0，逐一计算即可.
(2)、根据折叠和对称点的性质求解即可.
(3)、①根据点A和点C表示的两数相等，列出方程求解即可.
②根据A、C相遇后所表示的数为1列出二元一次方程组方程组，进而求解即可.
③根据，求出与12比较判断即可．
13．（2024七上·濠江期末）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为16，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒（）
（1）A，两点间的距离等于 ，线段的中点表示的数为 ；
（2）求当为何值时，？
（3）若点为的中点，当点到原点距离为9时，求的值．
【答案】（1）20；6
（2）解：∵点P表示的数为，点Q表示的数为，
∴，
∵，
∴，
∴或，
解得：或；
（3）解：∵点P表示的数为，点Q表示的数为，
∴点M表示的数为，
∵点M到原点距离为9，
∴，
∴或，
解得：或（舍去）．
【知识点】线段的中点；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】（1）A，两点间的距离=16-（-4）=20， 线段的中点表示的数为.
故答案为：20，6.
【分析】（1）数轴上两点间的距离，为这两点所对应的坐标差的绝对值，中点即为两个点的坐标和的二分之一；
（2）先用含t的式子把点P和点Q表示的数分别表示出来，在表示出线段PQ的长度，由运动可知，PQ相遇前后，均有满足题目的要求的情况，故在求PQ长度时加上绝对值符号，由（1）可知AB的长，即可列等式求出满足要求的t；
（3）由（2）中结论，先用点P和点Q表示出点M的数，然后再根据条件“ 点到原点距离为9 ”；列出等式，即可求出t的值.
三、拓展创新
14．（2024七上·柳州期末）如图，数轴上线段（单位长度），线段（单位长度），点A在数轴上表示的数是-12，点C在数轴上表示的数是14.若线段AB以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，同时线段CD以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为ts.当t= 时，点B刚好与线段CD的中点重合.
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：∵数轴上线段AB=2（单位长度），线段CD=4（单位长度），点A在数轴上表示的数是-12，点C在数轴上表示的数是14，
∴点B在数轴上表示的数是-10，点D在数轴上表示的数是18，
则CD中点在数轴上表示的数是16；
当运动时间为ts时，点B在数轴上表示的数是2t-10，CD中点在数轴上表示的数是16-t，
根据题意得：2t-10=16-t，
解得：；
故答案为： .
【分析】相加题意求出点B和CD中点在数轴上表示的数，根据题意列出关于t的一元一次方程，解方程即可得出答案.
15．（2023七上·威县期中）动点，分别从数轴上表示和的两点同时出发，并且分别以个单位长度秒和个单位长度秒的速度沿数轴向负方向匀速运动，经过 秒两点相遇，相遇时，两点表示的数为 ．
【答案】；
【知识点】一元一次方程的其他应用；有理数在数轴上的表示；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】设经过秒时间、两点相遇，此时点表示的数是：，点表示的数是：，
则，解得：，
此时点表示的数为，
故答案为：，．
【分析】设经过秒时间、相遇，此时点表示的数是：，点表示的数是：，根据题意列出方程，解方程即可求出答案.
16．（【导学精练】初中数学七年级上册专题1.5.数轴中的八类动态问题（章节重难点））(1)在数轴上标出数-4.5，-2，1，3.5所对应的点A，B，C，D；(2)C，D两点间距离= ；B，C两点间距离= ；(3)数轴上有两点M，N，点M对应的数为a，点N对应的数为b，那么M，N两点之间的距离= ；(4)若动点P，Q分别从点B，C同时出发，沿数轴负方向运动；已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，设运动时间为t，问：①t为何值时P，Q两点重合 ②t为何值时P，Q两点之间的距离为1
【答案】2.5；3；a-b
【知识点】数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1） 点A，B，C，D在数轴上的位置如图：
（2）C，D之间的距离为3.5－1=2.5；B，C两点间距离为1－(－2)=3；
故答案为：2.5；3；
（3）M，N两点之间的距离为|a－b|；
故答案为：|a－b|.
（4）①运动t秒时，点P表示的数为-2-t，点Q表示的数为1-2t，
令－2－t=1－2t
解得：t=3，
即 t=3时P，Q两点重合.
②P，Q间的距离为|(－2－t)－(1－2t)|=|t－3|，
令|(－2－t)－(1－2t)|=1，即|t－3|=1，
解得t=2或t=4.
即t=2或t=4时，P，Q两点之间的距离为1.
【分析】（1）按照数轴上点的特点将各点依次在数轴上表示出来即可；
（2）数轴上两点间的距离，等于右边的点表示的数减去左边点表示的数；
（3）数轴上两点间的距离，等于右边的点表示的数减去左边点表示的数，不确定两点的位置时，需加绝对值；
（4）数轴上的点平移：向左减，向右加，表示出平移后的点表示的数后，根据题意列方程并求解即可.①可得方程：－2－t=1－2t；②可得方程：|(－2－t)－(1－2t)|=1，求解即可.
17．（2024七上·龙岗期末）如图，已知数轴上点A表示的数为8，点B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为12．点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时，另一点Q从原点O出发，也沿数轴以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）数轴上点P表示的数为 ，点Q表示的数为 ；（用含t的代数式表示）
（2）经过多少秒点B恰为的中点？
（3）当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为7个单位长度？
【答案】（1）；
（2）解：∵A表示的数为8，A，B两点间的距离为12，
∴B点表示的数为，
∴，
，
∵B为的中点，
∴，
∴，
解得：；
（3）解：①当点P与点Q相遇之前
，
∵，
∴，
解得：，
②当点P与点Q相遇之后，
，
∵，
∴，
解得：，
∴当点P运动1或15秒时，点P与点Q间的距离为7个单位长度．
【知识点】一元一次方程的其他应用；线段的中点；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1）根据P点、Q点运动速度及运动时间t，可知t秒后，P点运动了2t个单位长度，Q点运动了t个单位长度，则此时P点表示的数为8-2t，点Q表示的数为-t；
故答案为：，-t.
【分析】（1）利用两点的运动速度和运动时间，求出运动距离，即可表示出两点所表示的数；
（2）先根据题目所给条件，求出点B表示的数，再利用中点，得到，然后用t再分别表示出BP和BQ，继而可列出等式，求出t的值；
（3）根据P点、Q点的运动规律，可知，两点相遇前后，各有一次满足要求的情况，需分类讨论：
①当点P与点Q相遇之前，由（1）中结论，根据P点、Q点所表示的数，表示出PQ的长，再结合条件“ 点P与点Q间的距离为7个单位长度 ”，即可列出等式，求出此时t的值；
②当点P与点Q相遇之后，同样利用（1）中结论，表示出PQ的长，再结合条件“ 点P与点Q间的距离为7个单位长度 ”，即可列出等式，求出此时t的值；
综上可知，满足要求的t会有两个值.
18．（【导学精练】初中数学七年级上册专题1.5.数轴中的八类动态问题（章节重难点））(1)问题一：如图1，数轴上的点A表示2，点B表示5，点C表示7，易得2+5=7，我们记为A+B=C.
现将数轴的原点向左拖动1个单位长度，如图2所示，此时A+B=C还成立吗 若不成立，怎样移动点C就能使之成立
（1）若将数轴的原点向左拖动x个单位长度，为了使A+B=C成立，应该怎样移动点C'
（2）若点A表示m，点B表示n，点C表示t，如果m+n=t，那么仍然有A+B=C.现将数轴的原点向左拖动x个单位长度，①为了使A+B=C成立，应该怎样移动点C ②为使A+B=C成立，应该怎样移动点B
（3）问题二：如图3，数轴上的点A表示-3，点B表示1，点C表示5，易得-3+5=2×1，我们记为A+C=2B.
现将数轴的原点向左拖动x个单位长度，A+C=2B还成立吗 请说明理由.
（4）若点A表示m，点B表示n，点C表示t，当m，n，t满足什么关系时，都能使A+C=2B成立
【答案】（1）解：由（1）可知，将数轴的原点向左拖动x个单位长度，为了使A+B=C成立，应该把同时把点C向右移动x个单位长度；
（2）解：①∵点A表示m，点B表示n，点C表示t，m+n=t，A+B=C.
∴将数轴的原点向左拖动x个单位长度时，A=m+x，B=n+x，c=t+x
∴A+B=m+n+2x=t+x+x=c+x，
∴若A+B=C成立，则将点C向右移动x个单位长度；
②∵点A表示m，点B表示n，点C表示t，m+n=t，A+B=C.
∴将数轴的原点向左拖动x个单位长度时，A=m+x，B=n+x，C=t+x=m+n+x，
当A+B=C时：B=C-A=t+x-m-x=m+n+x-m-x=n，
即：点B向左移动x个单位长度时，A+B=C成立.
（3）解：成立，理由如下：
∵数轴上的点A表示-3，点B表示1，点C表示5，
∴将数轴的原点向左拖动x个单位长度时，点A表示-3+x，点B表示1+x，点C表示5+x，
∴A+C=-3+x+5+x=2x+2，2B=2(1+x)=2x+2，
∴A+C=2B成立；
（4）解：由（3）可知，点A表示m，点B表示n，点C表示t，当m+t=2n时，能使A+C=2B成立.
【知识点】数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】 解：问题一：不成立，理由如下：
∵将数轴的原点向左拖动1个单位长度，则点A表示3，点B表示6，点C表示8，3+6≠8，
∴A+B=C不成立.
把点C向右移动一个单位长度时，点C表示9，则A+B=C成立；
【分析】问题一：根据将数轴的原点向左拖动1个单位长度，则点A表示3，点B表示6，点C表示8，即可解答；
（1）根据问题一中各数值的变化即可得出结论；
（2）①结合（1）根据原点向左移动x个单位得此时A=m+x，B=n+x，c=t+x，计算A+B，与C对照即可得到结论；
②结合（1）根据原点向左移动x个单位得此时A=m+x，B=n+x，c=t+x，计算A+B=C时，B表示的数，即可得到结论；
问题二：（3）当数轴的原点向左拖动x个单位长度时，则点A表示－3+x，点B表示1+x，点C表示5十x，再代入A+B=2B，检验即可得结论；
（4）用（3）的计算过程即可得到结论.
19．（2024七上·揭阳期末）如图，在数轴上点表示数a，B点表示数，且a、b满足.
（1）求A、B两点之间的距离；
（2）点C、D在线段AB上，AC为14个单位长度，BD为8个单位长度，求线段CD的长；
（3）在（2）的条件下，动点P以3个单位长度/秒的速度从A点出发沿正方向运动，同时点以2个单位长度/秒的速度从点出发沿正方向运动，求经过几秒，点、点到点的距离相等.
【答案】（1）解：∵|a+12|+（b﹣6）2＝0．
∴a+12＝0，b﹣6＝0，
即：a＝﹣12，b＝6；
∴AB＝6﹣（﹣12）＝18；
（2）解：点C、D在线段AB上，
∵AB＝18，AC＝14，BD＝8，
∴BC＝18﹣14＝4，
CD＝BD﹣BC＝8﹣4＝4；
（3）解：设经过t秒，点P、Q到点C的距离相等，
AD＝AB﹣BD＝18﹣8＝10，AP＝3t，DQ＝2t，
①当点P、Q重合时，
AP﹣DQ＝AD，
即：3t﹣2t＝10，
解得，t＝10，
②当点C是PQ的中点时，
有CP＝CQ，即，AC﹣AP＝DQ﹣DC，
14﹣3t＝2t﹣4，
解得，t＝，
答：经过或10秒，点P、点Q到点C的距离相等．
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；线段的和、差、倍、分的简单计算；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性可分别求出a、b的值，也就是点A、点B对应的数，进而求出两点间的距离，也就是线段AB的长.
（2）由题意可知： 点C、D在线段AB上 ，AB=18，AC=14，BC=AB-AC=4；由BD=8，可知CD=BD-BC=4.
（3）由题意分析可知要使点P、点Q到点C的距离相等应分两种情况分别讨论：①当点P、点Q重合时；②当点C是PQ的中点时。然后根据各种情况分别讨论列方程解出即可.
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