新浙教版七上数学专题讲义6-平方根和立方根（含解析）

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平方根和立方根
【知识梳理】
一、平方根
1、平方根：一般地，如果一个数x的平方根等于a，即x2=a，那么数x就叫做a的平方根。
正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；
0只有一个平方根，就是它本身；
负数没有平方根。
算术平方根：正数的正平方根称为算术平方根，记作。0的算术平方根为0。
从定义可知，只有当a≥0时,a才有算术平方根。
二、立方根
如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么这个数叫做a的立方根，记作。
正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根是0。立方根有且只有一个。
【课堂练习】
选择题
1.下列运算中正确的是( )
A. B. C. D.
2.下列说法中，错误的是( )
A. 是的算术平方根 B. 是的算术平方根
C. 是的一个平方根 D. 的平方根是
3.下列说法正确的是．
A. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B. 负数没有立方根
C. 任何数的立方根都只有一个
D. 如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根
4.估计大小在 ．
A. 与之间． B. 与之间． C. 与之间． D. 与之间．
5.若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.如果一个有理数的平方根和立方根相同，那么这个数是( )
A. 士 B. C. D. 和
7.如示意图，小宇利用两个面积为的正方形拼成了一个面积为的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是( )
A. 利用两个边长为的正方形感知的大小
B. 利用四个直角边为的等腰直角三角形感知的大小
C. 利用四个直角边分别为和的直角三角形以及一个边长为的正方形感知的大小
D. 利用一个边长为的正方形以及一个直角边为的等腰直角三角形感知的大小
8.对于一个正实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，如果我们对连续求根整数，直到结果为停止．例如：对连续求根整数次，这时候结果为现有如下四种说法：的值为；若，则满足题意的的正整数值有个，分别是和；对连续求根整数，第次后结果为；只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是其中错误的说法有 ( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题
9.的平方根是 ，算术平方根是 ．
10.算术平方根等于它本身的数是 ，平方根等于它本身的数是 ，立方根等于它本身的数是 .
11.若一个正数的两个平方根是和，则 ．
12.已知整数，，，，满足下列条件，，，，，依此类推，则的值为______．
13.已知，，，则 ．
三、解答题
14.交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度．在某高速公路上，常用的计算公式是，其中表示车速单位：，表示刹车后车轮滑过的距离单位：，表示摩擦系数，在调查这条高速公路的一次交通事故中，测得，求肇事汽车的速度大约是多少．
15.【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分．
结合以上材料，回答下列问题：
的小数部分是______，的整数部分是______；
如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
已知，其中是整数，且，请直接写出的平方根．
16.阅读材料：如果为正整数，那么叫做的次方根．
例如：因为，，所以和都是的次方根，即的次方根是和，记作：
根据上述材料回答问题：
的次方根是__________，的次方根是__________
求的次方根为正整数．
【课后巩固】
1.要使有意义，那么的取值范围是．
A. B. C. D. 任何数
2.如下表：被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律符合一定的规律，若，且，则被开方数的值为( )
．
．
A. B. C. D.
3.若，都是实数，且，，则，的大小关系是 ( )
A. B. C. D.
4.已知是整数，则自然数所有可能的值为__________．
5.如图所示为一个按某种规律排列的数阵：
第一行
第二行
第三行
第四行

根据数阵规律，第八行倒数第三个数是 。
6.如图，一个底面积为的圆柱形物体，现打算把它放进一长方形的盒子里，它能放进去吗？为什么？提示：
7.数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根．华罗庚脱口而出：众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读了其中的奥秘．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
，，
又，，
能确定的立方根是个两位数．
的个位数是，又，
能确定的立方根的个位数是．
如果划去后面的三位得到数，
而，则，可得，
由此能确定的立方根的十位数是，
因此的立方根是．
现在换一个数，按这种方法求立方根，请完成下列填空．
它的立方根是______位数．
它的立方根的个位数是______．
它的立方根的十位数是______．
的立方根是______．
请直接填写结果：
______；
______．
8.喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”例：，，这三个数，，，，其结果分别为，，，都是整数，所以，，三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是，最大算术平方根是．
请证明，，这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根．
已知，，三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的倍，求的值．
参考答案
【课堂练习】
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
【解析】，
．故选C．
5.【答案】
【解析】解：，
，．故选D．
6.【答案】
【解析】 本题主要考查了平方根和立方根的概念有关知识，根据平方根和立方根的概念可知，一个有理数的平方根和立方根相同，那么这个数是．故选B．
7.【答案】
【解析】解：，，不符合题意；
B.，，不符合题意；
C.，，不符合题意；
D.，，但是一个边长为的正方形以及一个直角边为的等腰直角三角形无法得到边长为的正方形，符合题意．故选：．
在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等，所以我们只需要分别计算拼前，拼后的面积，看是否相等，就可以逐个排除．
8.【答案】
【解析】因为 ， ，所以 ，故正确；若 ，则满足题意的的正整数值有个，分别是，，，故错误； 因为对连续求根整数，第次后结果为，故正确；因为 ，且 ，所以只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是，故正确．综上，错误的说法有个．
9.【答案】
10.【答案】， ，
11.【答案】
【解析】解：由题意得，，
解得，，，
12.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，，
是奇数时，，是偶数时，，
．
根据题意，求出前几个数的值，再分是奇数时，结果等于，是偶数时，结果等于，然后把的值代入进行计算即可得解．
13.【答案】，，，，
【解析】根据立方根和算术平方根的定义进行解答即可．
解：，，则或，
，，则或，
，，则或，
当，，时，；
当，，时，；
当，，时，；
当，，时，；
当，，时，；
当，，时，；
当，，时，；
当，，时，；
当，，时，；
当，，时，；
当，，时，；
当，，时，；
综上所述，，，，，．
14.【答案】．
15.【答案】
【解析】解：，
，
的整数部分是，小数部分是；
，
，
，
，
的整数部分是；
，
，
的整数部分是，小数部分是，
，
，
，
的整数部分为，
，
；
，
，
，
的整数部分是，小数部分是，
，其中是整数，且，
，，
，
的平方根是，
的平方根是．
16.【答案】解：；
当为奇数时，的次方根为，当为偶数时，的次方根为．
【解析】此题考查了利用方根的定义求一个数的方根，解题的关键是掌握平方根和立方根的性质，用类比的方法去进行解答．
解：因为，所以的四次方根是，
即；
因为，所以的五次方根是，即；
故答案为，；
见答案．
【课后巩固】
1.【答案】
【解析】解：因为有意义，
所以的取值范围为一切实数，
所以的取值范围为任意数．
2.【答案】
【解析】解：，且，
，
，
根据题意和表格中数据的变化规律，可以求得的值．
3.【答案】
【解析】解：由题意得，，
，，，
．
4.【答案】或或或或
【解析】解：由于，且，
，
由于是整数，
或或或或，
解得：或或或或
5.【答案】
【解析】本题考查算术平方根，数式规律问题，关键是探索第行为正整数所含的数的个数是个．
先根据第行有个数；第行有个数；第行有个数；第行有个数，得第行为正整数所含的数的个数是，再求出行共有个数即可解答．
解：前四行的数可改写如下：
第行：
第行：
第行：
第行：
如果把各行的数集中起来按顺序排成一列，就是从开始的连续的正整数的算术平方根序列，经观察知，
第行有个数，
第行有个数，
第行有个数，
第行有个数，，
由此可知第行为正整数所含的数的个数是，
第行有个数，
行共有个数，
第八行倒数第三个数是．
6.【答案】解：设圆柱的底面半径为，则，，
圆柱的底面直径为，
，，，
该圆柱形物体可以放进长方体的盒子中．
7.【答案】解：，，
又，
，
能确定的立方根是个两位数．故答案为两
的个位数是，又，
能确定的立方根的个位数是．故答案为；
如果划去后面的三位得到数，
而，则，可得，
由此能确定的立方根的十位数是，故答案为
得到的立方根是．故答案为；
的立方根是两位数．
它的立方根的个位数是．
它的立方根的十位数是．
的立方根是；
故答案为
的立方根是两位数．
它的立方根的个位数是
它的立方根的十位数是．
的立方根是；
故答案为．
【解析】本题考查了立方根及数字常识，解决本题的关键是理解例题，并能根据例题的格式进行运算．
仿照例题，进行推理得结论；
先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，得结论．
8.【答案】解：，，，
，，这三个数是“和谐组合”，
最小算术平方根是，最大算术平方根是．
分三种情况讨论：
当时，，
解得不合题意；
当时，，
解得不合题意；
当时，，
解得，
综上所述，的值为．
【解析】本题主要考查了新定义问题及算术平方根，解题中注意使用分类讨论的思想．
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