第1章 三角形的初步知识 单元检测能力提升卷（含解析）

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第1章 三角形的初步知识 单元检测能力提升卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．三角形的两边分别是4和8，则第三边可以是（　　）
A．3 B．4 C．8 D．12
2．对于命题“若a2＞b2，则a＞b．”下面四组关于a、b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　）
A．a＝3，b＝2 B．a＝﹣3，b＝2 C．a＝3，b＝﹣1 D．a＝﹣1，b＝3
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC的延长线于点D，BE⊥AC交AC的延长线于点E，CF⊥BD交AB于点F．下列线段是△ABC的高的是（　　）
A．BD B．BE C．CE D．CF
4．若三角形三个内角度数之比为2：3：5，则这个三角形一定是（　　）
A．等腰直角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
5．如图，△ABC≌△ADE，D在BC边上，∠E＝35°，∠DAC＝30°，则∠BDA的度数为（　　）
A．35° B．40° C．50° D．65°
6．如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，在△ACF中，CE垂直平分AF，若CF＝5，CD＝4，则△ABC的周长为（　　）
A．24 B．20 C．18 D．16
7．如图，用尺规作出∠AOB的角平分线OE，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方迲是（　　）
A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS
8．如图，已知AE＝AC，∠C＝∠E，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是（　　）
A．∠B＝∠D B．BC＝DE C．∠1＝∠2 D．AB＝AD
9．如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　）
A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180°
10．如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB＝AD+2BE，则下列结论：①AB+AD＝2AE；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC；其中正确结论的是（　　）
A．①③④ B．①②③ C．②③ D．①②④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式：　 　．
12．已知三角形的三边长分别是8、10、x，则x的取值范围是 　 　．
13．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是 　 　．
14．如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线，延长FB和GC交于点H．设∠A＝α，∠H＝β，则α与β之间的数量关系为 　 　．
15．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　cm2．
16．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2＝36°，AE与BD交于点O，则∠BDE＝　 　．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留的作图痕迹．
（I）在图①中画出△ABC的高线BD．
（2）在图③中画出△ABC的中线BE．
（3）在图③△ABC的边BC上找到一点F，使S△ABF：S△ACF＝2：3.
18．如图，△ABC中，AD为BC边上的高，CF为∠ACB的角平分线，DE⊥CF于E，已知∠CAB＝40°，∠EDF＝16°，求∠CBA．
19．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长．
20．已知：如图，F、C是AD上的两点，且AB＝DE，AB∥DE，AF＝CD．求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）BC∥EF．
21．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF．
（1）求证：CF∥AB；
（2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数．
22．如图，M是线段AB上的一点，ED是过点M的一条线段，连接AE、BD，过点B作BF∥AE交ED于点F，且EM＝FM．
（1）求证：AE＝BF．
（2）连接AC，若∠AEC＝90°，∠CAE＝∠DBF，CD＝4，求EM的长．
23．（1）如图（1），△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，连接BE．则∠AEB的度数为 　 　度，线段AD与BE的数量关系为 　 　（用几何语言填写）．
（2）如图（2），△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．若∠CAD＝30°，求AB与BE的位置关系．
24．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝a，其中a为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．三角形的两边分别是4和8，则第三边可以是（　　）
A．3 B．4 C．8 D．12
【点拨】根据三角形的三边关系：三角形第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．
【解析】解：设第三边是x，则8﹣4＜x＜8+4，
即：4＜x＜12．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
2．对于命题“若a2＞b2，则a＞b．”下面四组关于a、b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　）
A．a＝3，b＝2 B．a＝﹣3，b＝2 C．a＝3，b＝﹣1 D．a＝﹣1，b＝3
【点拨】要找出命题是假命题的选项，即是找出满足条件，不满足结论的选项；本题中条件为a2＞b2，结论为a＞b，即需找出满足a2＞b2，但不满足a＞b的选项；从选项中先找出满足a2＞b2的选项，再从中找出不满足a＞b的选项，问题即可解答．
【解析】解：根据题意可知，当a＝﹣3，b＝2时，a2＞b2，但不满足a＞b．
故选：B．
【点睛】本题侧重考查命题与推理，命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC的延长线于点D，BE⊥AC交AC的延长线于点E，CF⊥BD交AB于点F．下列线段是△ABC的高的是（　　）
A．BD B．BE C．CE D．CF
【点拨】直接利用三角形高的定义分析得出答案．
【解析】解：如图所示：只有线段BE是△ABC的边AC上的高．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形的高线，正确把握相关高线定义是解题关键．
4．若三角形三个内角度数之比为2：3：5，则这个三角形一定是（　　）
A．等腰直角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【点拨】设三个内角的度数为2x，3x，5x，根据三角形的内角和定理列方程，解出三个内角的度数即可进行判断．
【解析】解：设三个内角的度数为2x，3x，5x，
根据三角形的内角和定理，可得2x+3x+5x＝180°，
解得x＝18°，
∴三个内角的度数为36°，54°，90°，
故三角形是直角三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，涉及直角三角形的判定，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
5．如图，△ABC≌△ADE，D在BC边上，∠E＝35°，∠DAC＝30°，则∠BDA的度数为（　　）
A．35° B．40° C．50° D．65°
【点拨】由全等三角形的性质求得∠C＝∠E＝35°，再根据三角形外角定理可得∠BDA＝∠DAC+∠C即可求得结论．
【解析】解：∵△ABC≌△ADE，∠E＝35°，
∴∠C＝∠E＝35°，
∵∠DAC＝30°，
∴∠BDA＝∠DAC+∠C＝30°+35°＝65°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和三角形外角定理，由全等三角形的性质求得∠C＝∠E＝35°是解决问题的关键．
6．如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，在△ACF中，CE垂直平分AF，若CF＝5，CD＝4，则△ABC的周长为（　　）
A．24 B．20 C．18 D．16
【点拨】根据线段垂直平分线的性质及三角形周长定义求解即可．
【解析】解：∵AD垂直平分BC，CE垂直平分AF，
∴AB＝AC，AC＝CF＝5，BC＝2CD＝8，
∴AB＝AC＝5，
∴△ABC的周长＝AC+AB+BC＝5+5+8＝18，
故选：C．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，熟练运用线段垂直平分线的性质是解题的关键．
7．如图，用尺规作出∠AOB的角平分线OE，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方迲是（　　）
A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS
【点拨】由作图可得CO＝DO，CE＝DE，OE＝OE，可利用SSS定理判定三角形全等．
【解析】解：在△OCE和△ODE中，
，
∴△OCE≌△ODE（SSS）．
故选：D．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，三角形全等的判定方法，解决本题的关键是掌握判定两个三角形全等的方法．
8．如图，已知AE＝AC，∠C＝∠E，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是（　　）
A．∠B＝∠D B．BC＝DE C．∠1＝∠2 D．AB＝AD
【点拨】由全等三角形的判定依次判断可求解．
【解析】解：A、添加∠B＝∠D，由“AAS”可证△ABC≌△ADE，故选项A不合题意；
B、添加BC＝DE，由“SAS”可证△ABC≌△ADE，故选项B不合题意；
C、添加∠1＝∠2，由“ASA”可证△ABC≌△ADE，故选项C不合题意；
D、添加AB＝AD，不能证明△ABC≌△ADE，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键．
9．如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　）
A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180°
【点拨】根据全等三角形对应边相等可得AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO＝∠CAD，然后求出∠BAC＝α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可．
【解析】解：∵△AOB≌△ADC，
∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠OAD＝α，
在△ABC中，，
∵BC∥OA，
∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，
∴，
整理得，α＝2β．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，解题的关键是熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系．
10．如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB＝AD+2BE，则下列结论：①AB+AD＝2AE；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC；其中正确结论的是（　　）
A．①③④ B．①②③ C．②③ D．①②④
【点拨】作CF⊥AD交AD的延长线于点F，则CF＝CE，∠F＝∠AEC＝∠BEC＝90°，即可证明Rt△ACF≌Rt△ACE，得AF＝AE，所以AB＝AD+DF+BE＝AD+2BE，可推导出DF＝BE，则AB+AD＝AE+BE+AF﹣DF＝2AE，可判断①正确；证明△DCF≌△BCE，得CD＝CB，∠CDF＝∠B，可判断③正确；由∠ADC+∠CDF＝180°，得∠ADC+∠B＝180°，所以∠DAB+∠DCB＝180°，可判断②正确；由AF＝AE，DF＝BE，CF＝CE，可推导出S△ACE﹣S△BCE＝CE AE﹣CE BE＝CE（AE﹣BE）＝CF（AF﹣DF）＝CF AD＝S△ADC，可判断④错误，于是得到问题的答案．
【解析】解：如图，作CF⊥AD交AD的延长线于点F，
∵AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，
∴CF＝CE，∠F＝∠AEC＝∠BEC＝90°，
在Rt△ACF和Rt△ACE中，
，
∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），
∴AF＝AE，
∴AD+DF＝AB﹣BE，
∴AB＝AD+DF+BE，
∵AB＝AD+2BE，
∴DF+BE＝2BE，
∴DF＝BE，
∴AB+AD＝AE+BE+AF﹣DF＝AE+AF＝2AE，
故①正确；
在△DCF和△BCE中，
，
∴△DCF≌△BCE（SAS），
∴CD＝CB，∠CDF＝∠B，
故③正确；
∵∠ADC+∠CDF＝180°，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∴∠DAB+∠DCB＝180°，
故②正确；
∵AF＝AE，DF＝BE，CF＝CE，
∴S△ACE﹣S△BCE＝CE AE﹣CE BE＝CE（AE﹣BE）＝CF（AF﹣DF）＝CF AD＝S△ADC，
故④错误，
故选：B．
【点睛】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明Rt△ACF≌Rt△ACE、△DCF≌△BCE是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式：　如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零　．
【点拨】根据命题的结构直接求解即可．
【解析】解：命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零，
故答案为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零．
【点睛】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握命题的结构是解答此题的关键．
12．已知三角形的三边长分别是8、10、x，则x的取值范围是 　2＜x＜18　．
【点拨】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案．
【解析】解：根据三角形的三边关系可得：10﹣8＜x＜10+8，
即2＜x＜18，
故答案为：2＜x＜18．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
13．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是 　2　．
【点拨】根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE＝DC，就可以求出DE的值．
【解析】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC＝1，CE＝AD＝3．
∴DE＝EC﹣CD＝3﹣1＝2
故答案为：2．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．
14．如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线，延长FB和GC交于点H．设∠A＝α，∠H＝β，则α与β之间的数量关系为 　α+2β＝180°　．
【点拨】根据角平分线定义设∠ABF＝∠DBF＝θ，∠ACG＝∠ECG＝φ，则∠ABD＝2θ，∠CBH＝∠DBF＝θ，∠ACE＝2φ，∠BCH＝∠ECG＝φ，∠ABC＝180°﹣2θ，∠ACB＝180°﹣2φ，在△ABC中由三角形内角和定理得α+180°﹣2θ+180°﹣2φ＝180°，即θ+φ＝90°+1/2α，在Rt△HBC中由三角形内角和定理得β+θ+φ＝180°，据此可得α与β之间的数量关系．
【解析】解：∵BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线，
∴设∠ABF＝∠DBF＝θ，∠ACG＝∠ECG＝φ，
则∠ABD＝2θ，∠CBH＝∠DBF＝θ，∠ACE＝2φ，∠BCH＝∠ECG＝φ，
∴∠ABC＝180°﹣∠ABD＝180°﹣2θ，∠ACB＝180°﹣∠ACE＝180°﹣2φ，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴α+180°﹣2θ+180°﹣2φ＝180°，
整理得：θ+φ＝90°+α，
在Rt△HBC中，∠H+∠CBH+∠BCH＝180°，
∴β+θ+φ＝180°，
∴β+90°+α＝180°，
整理得：α+2β＝180°．
∴α与β之间的数量关系为α+2β＝180°．
故答案为：α+2β＝180°．
【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，理解角平分线定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键．
15．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　1　cm2．
【点拨】易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半．
【解析】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2），
同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2），
∴S△BCE＝2（cm2），
∵F为EC中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）．
故答案为1．
【点睛】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等．
16．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2＝36°，AE与BD交于点O，则∠BDE＝　72°　．
【点拨】根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED，可得∠C＝∠BDE即可．
【解析】解：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOE．
在△AOD和△BOE中，
∵∠A＝∠B，
∴∠BEO＝∠2．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BEO，
∴∠AEC＝∠BED，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA），
∴EC＝ED，∠BDE＝∠C，
∴∠C＝∠EDC，
∵∠1＝∠2＝36°，
∴∠BDE＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°．
故答案为：72°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留的作图痕迹．
（I）在图①中画出△ABC的高线BD．
（2）在图③中画出△ABC的中线BE．
（3）在图③△ABC的边BC上找到一点F，使S△ABF：S△ACF＝2：3.
【点拨】（1）根据三角形的高的定义作出图形；
（2）取格点P，Q，连接PQ交AC于点E，连接BE，线段BE即为所求；
（3）取格点P，Q，连接PQ交BC于点F，连接AF，点F即为所求．
【解析】解：（1）如图①中，线段BD即为所求；
（2）如图②中，线段BE即为所求；
（3）如图③中，点F即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的角平分线，中线，高等知识，解题的关键是掌握三角形的中线，高的定义，灵活运用所学知识解决问题．
18．如图，△ABC中，AD为BC边上的高，CF为∠ACB的角平分线，DE⊥CF于E，已知∠CAB＝40°，∠EDF＝16°，求∠CBA．
【点拨】由垂直的定义得到∠DEF＝∠CDF＝90°，根据余角的性质得到∠DCF＝∠EDF＝16°，根据角平分线的定义得到∠ACD＝2∠DCF＝32°，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解析】解：∵AD⊥BD，DE⊥CF，
∴∠DEF＝∠CDF＝90°，
∴∠DCF+∠CFD＝∠CFD+∠EDF＝90°，
∴∠DCF＝∠EDF＝16°，
∵CF为∠ACB的角平分线，
∴∠ACD＝2∠DCF＝32°，
∵∠CAB＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CAB﹣∠ACB＝108°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和，角平分线定义，垂直的定义，余角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
19．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长．
【点拨】（1）求出∠E＝∠DFC＝90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE＝DF，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出AE＝AF，BE＝CF，即可求出答案．
【解析】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，DE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）
∴AE＝AF，
∵AC＝20，CF＝BE＝4，
∴AE＝AF＝20﹣4＝16，
∴AB＝AE﹣BE＝16﹣4＝12．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
20．已知：如图，F、C是AD上的两点，且AB＝DE，AB∥DE，AF＝CD．求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）BC∥EF．
【点拨】（1）根据AB∥DE，得∠A＝∠D，由AF＝CD，可得AC＝DF，通过SAS即可证明△BAC≌△EDF；
（2）由全等三角形的性质得∠ACB＝∠DFE，从而BC∥EF．
【解析】证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AF＝CD，
∴AF+FC＝CD+FC，
即AC＝DF，
在△BAC和△EDF中，
，
∴△BAC≌△EDF（SAS）；
（2）∵△BAC≌△EDF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∴BC∥EF．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
21．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF．
（1）求证：CF∥AB；
（2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数．
【点拨】（1）求出△AED≌△CEF，根据全等三角形的性质得出∠A＝∠ACF，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据（1）求出∠A＝∠ACB，根据三角形内角和定理求出即可．
【解析】（1）证明：∵E为AC中点，
∴AE＝CE，
在△AED和△CEF中，
，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴∠A＝∠ACF，
∴CF∥AB；
（2）解：∵AC平分∠BCF，
∴∠ACB＝∠ACF，
∵∠A＝∠ACF，
∴∠A＝∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝50°，
∴2∠A＝130°，
∴∠A＝65°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
22．如图，M是线段AB上的一点，ED是过点M的一条线段，连接AE、BD，过点B作BF∥AE交ED于点F，且EM＝FM．
（1）求证：AE＝BF．
（2）连接AC，若∠AEC＝90°，∠CAE＝∠DBF，CD＝4，求EM的长．
【点拨】（1）根据平行线的性质得到∠EAM＝∠FBM，结合对顶角相等即可利用AAS证明△AME≌△BMF，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）结合（1）利用ASA证明△AEC≌△BFD，利用全等三角形的性质即可得解．
【解析】（1）证明：∵BF∥AE，
∴∠EAM＝∠FBM，
在△AME和△BMF中，
，
∴△AME≌△BMF（AAS），
∴AE＝BF；
（2）解：∵△AME≌△BMF，
∴AE＝BF，EM＝FM，∠BFM＝∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠BFD＝90°，
在△AEC和△BFD中，
，
∴△AEC≌△BFD（ASA），
∴EC＝FD，
∴EC﹣CF＝FD﹣CF，
即EF＝CD＝4，
∴EM＝EF＝2．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质定理是解题的关键．
23．（1）如图（1），△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，连接BE．则∠AEB的度数为 　90　度，线段AD与BE的数量关系为 　AD＝BE　（用几何语言填写）．
（2）如图（2），△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．若∠CAD＝30°，求AB与BE的位置关系．
【点拨】（1）根据手拉手模型﹣旋转型全等可得△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质可得AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，再根据已知易得：∠CAD+∠DAB+∠ABC＝90°，从而可得∠CBE+∠DAB+∠ABC＝90°，最后利用三角形内角和定理可得∠AEB＝90°，即可解答；
（2）根据手拉手模型﹣旋转型全等可得△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质可得∠CAD＝∠CBE＝30°，从而可得∠ABE＝90°，即可解答．
【解析】解：（1）∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠DAB+∠ABC＝90°，
∴∠CBE+∠DAB+∠ABC＝90°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠CBE+∠DAB+∠ABC）＝90°， 故答案为：90；AD＝BE；
（2）AB⊥BE，
理由：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ABC＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD＝∠CBE＝30°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∴AB⊥BE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型﹣旋转型全等是解题的关键．
24．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝a，其中a为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
【点拨】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA＝CE，AE＝BD，可得DE＝BD+CE；
（2）由条件可知∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，且∠DBA+∠BAD＝180°﹣α，可得∠DBA＝∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论．
【解析】（1）证明：
∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，CE＝DA，
∴DE＝AE+DA＝BD+CE；
（2）解：成立，证明如下：
∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝a，
∴∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，且∠DBA+∠BAD＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，CE＝DA，
∴DE＝AE+DA＝BD+CE．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD＝AE、CE＝AD是解题的关键．
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