第1章 三角形的初步知识 单元检测基础过关卷（含解析）

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第1章 三角形的初步知识 单元检测基础过关卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是（　　）
A．2，4，7 B．3，3，6 C．5，8，2 D．4，5，6
2．以下是四位同学在钝角三角形△ABC中画AC边上的高，其中正确的是（　　）
A．B． C． D．
3．下列命题中的真命题是（　　）
A．内错角相等 B．三角形内角和是180° C．是有理数 D．若|a|＝1，则a＝1
4．如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（　　）
A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠A＝∠D D．∠AOB＝∠DOC
5．下列各图中，不一定全等的是（　　）
A．有一个角是45°腰长相等的两个等腰三角形 B．周长相等的两个等边三角形
C．有一个角是100°，腰长相等的两个等腰三角形 D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形
6．已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C＝3∠A，则此三角形（　　）
A．一定有一个内角为60° B．一定有一个内角为45°
C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形
7．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．5
8．如图，在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝34°，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交AC的两侧于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）
A．52° B．42° C．32° D．22°
9．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α＝30°，则∠β的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
10．如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点E，交OB于点F，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P，点T在射线OP上，过点T作TM⊥OA，TN⊥OB，垂足分别为点M，N，点G，H分别在OA，OB边上，∠GTH+∠AOB＝180°．若OM＝5，则OG+OH的值为（　　）
A．12 B．8 C． D．10
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11．已知三角形三条边长分别是2、a、3，且a为奇数，则a＝　 　．
12．把一副三角尺如图所示放置，如果不计三角尺的厚度，图中∠α的度数是 　 　．
13．如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，连接BE、CD．要使△ABE≌△ACD，则可添加的一个条件是 　 　．
14．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是 　 　．
15．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），则当点Q的运动速度为 　 　cm/s时，△ACP与△BPQ全等．
16．添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若DE＝BD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面积．同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF＝DE，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得△BDE的面积为 　 　．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．如图所示，已知△ABC，用直尺和圆规作：（保留作图痕迹，不要求写作法）
①∠C的角平分线CE；
②BC边上的中线AF．
18．已知：如图，AB＝AC，AD＝AE，BD，CE相交于点O．求证：OD＝OE．
19．如图，已知AB＝CD，点E，F在线段BD上，且AF＝CE．
请从①BF＝DE；②∠BAF＝∠DCE；③AF＝CF中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得△ABF≌△CDE．
你添加的条件是：　 　（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明AE∥CF．
20．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝50°．
（1）试说明：AC＝BD；
（2）AC与BD相交于点P，求∠APB的度数．
21．如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，点E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AB＝DE．
（1）求证：△ACB≌△EBD；
（2）若DB＝12．
①求AC的长；
②求△DCE的面积．
22．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．
例如：在△ABC中，如果∠A＝70°，∠B＝35°，那么∠A与∠B互为“和谐角”，△ABC为“和谐三角形”．
问题1：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点D是线段AB上一点（不与A、B重合），连接CD．
（1）如图1，△ABC是“和谐三角形”吗？为什么？
（2）如图1，若CD⊥AB，则△ACD、△BCD是“和谐三角形”吗？为什么？
问题2：如图2，△ABC中，∠ACB＝60°，∠A＝80°，点D是线段AB上一点（不与A、B重合），连接CD，若△ACD是“和谐三角形”，求∠ACD的度数．
23．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠DAE的度数．
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝8，AD＝6，CD＝8，三角形ACD的面积是18，求△ABE的面积．
24．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点，连接AD，以AD为边向右作△ADE，使得AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在BC边上时，
①若∠BAC＝40°时，则∠DCE＝　 　°；
②若∠BAC＝80°时，则∠DCE＝　 　°；
③观察以上结果，猜想∠BAC与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（2）当点D在BC的延长线上时，请判断∠BAC与∠DCE的数量关系，并说明理由．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是（　　）
A．2，4，7 B．3，3，6 C．5，8，2 D．4，5，6
【点拨】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解析】解：A、4+2＝6＜7，不能组成三角形；
B、3+3＝6，不能组成三角形；
C、5+2＝7＜8，不能组成三角形；
D、4+5＝9＞6，能组成三角形．
故选：D．
【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
2．以下是四位同学在钝角三角形△ABC中画AC边上的高，其中正确的是（　　）
A．B． C． D．
【点拨】找到经过顶点B且与AC垂直的BD所在的图形即可．
【解析】解：A、高BD交AC的延长线于点D处，符合题意；
B、没有经过顶点B，不符合题意；
C、做的是BC边上的高线AD，不符合题意；
D、没有经过顶点B，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的高线，过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做高．
3．下列命题中的真命题是（　　）
A．内错角相等 B．三角形内角和是180° C．是有理数 D．若|a|＝1，则a＝1
【点拨】根据平行线性质，三角形内角和定理，实数的分类，绝对值的概念逐项判断．
【解析】解：两直线平行，才有内错角相等，故A是假命题，不符合题意；
三角形内角和是180°，，故B是真命题，符合题意；
是无理数，故C是假命题，不符合题意；
若|a|＝1，则a＝±1，故D是假命题，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．
4．如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（　　）
A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠A＝∠D D．∠AOB＝∠DOC
【点拨】添加AB＝DC，不能根据SAS证两三角形全等；根据条件OA＝OD和∠AOB＝∠DOC，不能证两三角形全等；添加∠AOB＝∠DOC，不能证两三角形全等；根据以上结论推出即可．
【解析】解：A、AB＝DC，不能根据SAS证两三角形全等，故本选项错误；
B、∵在△AOB和△DOC中
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），故本选项正确；
C、两三角形相等的条件只有OA＝OD和∠AOB＝∠DOC，不能证两三角形全等，故本选项错误；
D、根据∠AOB＝∠DOC和OA＝OD，不能证两三角形全等，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了对全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS．
5．下列各图中，不一定全等的是（　　）
A．有一个角是45°腰长相等的两个等腰三角形 B．周长相等的两个等边三角形
C．有一个角是100°，腰长相等的两个等腰三角形 D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形
【点拨】熟练运用全等三角形的判定定理解答．做题时根据已知条件，结合全等的判定方法逐一验证．
【解析】解：A、有一个角是45°腰长相等的两个等腰三角形，没有边对应相等不能判断全等，故选项错误；
B、周长相等的等边三角形，边长也相等，根据SSS可判定两三角形全等，故选项正确；
C、因为已知一个角为100°的等腰三角形，没有指出该角是顶角还是底角，根据三角形内角和公式得，该角为顶角，又因为是等腰三角形则两腰对应相等，根据SAS判定两三角形全等，故选项正确；
D、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形，根据HL判定两三角形全等，故选项正确．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时要认真仔细，最好画图结合图形进行判断．
6．已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C＝3∠A，则此三角形（　　）
A．一定有一个内角为60° B．一定有一个内角为45° C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形
【点拨】先根据三角形内角和定理，可知∠A+∠B+∠C＝180°，即∠B+∠C＝180°﹣∠A，结合已知条件可知3∠A＝180°﹣∠A，解关于∠A的一元一次方程，即可求出∠A．
【解析】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠A，
又∵∠B+∠C＝3∠A，
∴3∠A＝180°﹣∠A，
∴∠A＝45°．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理的知识，熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．
7．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．5
【点拨】过点D作DF⊥AC于F，然后利用的面积公式列式计算即可得解．
【解析】解：过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝2，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ADC＝AB DE+AC DF＝×4×2+AC×2＝7，
解得AC＝3．
故选：A．
【点睛】本题考查角平分线的性质，即角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝34°，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交AC的两侧于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）
A．52° B．42° C．32° D．22°
【点拨】根据垂直平分线的性质得出AD＝CD，根据等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠C＝34°，根据三角形内角和求出∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝76°，最后根据∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC求出结果即可．
【解析】解：根据作图可知，MN垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝34°，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝76°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝76°﹣34°＝42°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟记各性质定理是解题的关键．
9．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α＝30°，则∠β的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【点拨】只要证明α+β＝2∠ECF即可解决问题．
【解析】解：延长AE，BF交于点C′，连接CC′．
∵α＝∠ECC′+∠EC′C，β＝∠FCC′+∠FC′C，
∴α+β＝∠ECC′+∠EC′C+∠FCC′+∠FC′C＝∠ECF+∠EC′F＝2∠ECF，
∵∠ECF＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°，
∴α+β＝80°，
∵α＝30°，
∴β＝50°，
故选：C．
【点睛】本题考查翻折变换，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点E，交OB于点F，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P，点T在射线OP上，过点T作TM⊥OA，TN⊥OB，垂足分别为点M，N，点G，H分别在OA，OB边上，∠GTH+∠AOB＝180°．若OM＝5，则OG+OH的值为（　　）
A．12 B．8 C． D．10
【点拨】利用基本作图得OT平分∠AOB，则根据角平分线的性质得到TM＝TN，接着证明Rt△OTM≌Rt△OTN得到OM＝ON，证明Rt△TNH≌Rt△TMG得到NH＝GM，然后利用等线段代换得到OG+OH＝2OM
【解析】解：由作法得OT平分∠AOB，
∵TM⊥OA，TN⊥OB，
∴TM＝TN，
在Rt△OTM和Rt△OTN中，
，
∴Rt△OTM≌Rt△OTN（HL），
∴OM＝ON，
∵∠AOB+∠MTN＝180°，∠GTH+∠AOB＝180°，
∴∠MTN＝∠GTH，
∴∠MTG＝∠NTH，
在△TNH和△TMG中，
，
∴△TNH≌△TMG（ASA），
∴NH＝GM，
∴OG+OH＝OM﹣GM+ON+NH＝OM﹣NH+OM+NH＝2OM＝2×5＝10．
故选：D．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的判定与性质、角平分线的性质．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．已知三角形三条边长分别是2、a、3，且a为奇数，则a＝　3　．
【点拨】首先根据三角形的三边之间的关系得：3﹣2＜a＜3+2，由此解得1＜a＜5，然后再根据a为奇数即可求出a的值．
【解析】解：根据三角形的三边之间的关系得：3﹣2＜a＜3+2，
∴1＜a＜5，
∵a为奇数，
∴a＝3．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边之间关系，解答此题的关键是熟练掌握三角形的三边之间关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
12．把一副三角尺如图所示放置，如果不计三角尺的厚度，图中∠α的度数是 　75°　．
【点拨】根据直角三角形的性质求出∠ABC，根据三角形的外角性质求出∠BED，进而求出∠α．
【解析】解：在Rt△ABC中，∠A＝30°，
则∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BED＝∠ABC﹣∠D＝60°﹣45°＝15°，
∴∠α＝90°﹣15°＝75°，
故答案为：75°．
【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
13．如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，连接BE、CD．要使△ABE≌△ACD，则可添加的一个条件是 　∠B＝∠C　．
【点拨】根据全等三角形的判定方法，∠A为公共角，AB＝AC，可根据ASA的判定方法进行添加条件即可得出答案．
【解析】解：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA）．
故答案为：∠B＝∠C．（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法进行求解是解决本题的关键．
14．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是 　13　．
【点拨】直接利用线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，进而得出答案．
【解析】解：∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵AC＝8，BC＝5，
∴△BEC的周长是：BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝13．
故答案为：13．
【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
15．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），则当点Q的运动速度为 　1或1.5　cm/s时，△ACP与△BPQ全等．
【点拨】设点Q的运动速度是x cm/s，则有AP＝tcm，BP＝（4﹣t）cm，BQ＝xtcm，若△ACP与△BPQ全等，有两种情况：①AP＝BP，AC＝BQ；②AP＝BQ，AC＝BP．分别求解即可．
【解析】解：设点Q的运动速度是x cm/s，
则有AP＝tcm，BP＝（4﹣t）cm，BQ＝xtcm，
∵∠CAB＝∠DBA，
∴△ACP与△BPQ全等，有两种情况：
①AP＝BP，AC＝BQ，
则t＝4﹣t，
解得t＝2s，
则3＝2x，
解得x＝1.5cm/s；
②AP＝BQ，AC＝BP，
则t＝tx，4﹣t＝3，
解得t＝1，x＝1．
故答案为：1或1.5．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质、一元一次方程的应用等知识，理解并掌握全等三角形的性质是解题关键．
16．添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若DE＝BD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面积．同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF＝DE，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得△BDE的面积为 　64　．
【点拨】由△ABF≌△BDE，求出BF，DF的长，再由面积公式求得即可．
【解析】解：如图所示，连接AF，
∠ABD＝180°﹣∠BDA﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD，
∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD，
∵∠ABD＝∠C，
∵∠E＝∠C，
∵∠ABD＝∠E，
在△ABF与△BED中，
，
∴△ABF≌△BED（SAS），
∴S△ABF＝S△BDE，
∵，
∵BF＝×20＝8，
∴DF＝BD﹣BF＝20﹣8＝12，
∴S△AFD＝×AD DF＝×12×16＝96，
∵S△ABF＝S△ABD﹣S△AFD，
∴S△BDE＝S△ABF＝160﹣96＝64．
故答案为：64．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．如图所示，已知△ABC，用直尺和圆规作：（保留作图痕迹，不要求写作法）
①∠C的角平分线CE；
②BC边上的中线AF．
【点拨】（1）根据角平分线的作法作出图形即可；
（2）根据线段垂直平分线的作法作出图形即可．
【解析】解：（1）如图所示；
（2）如图所示．
【点睛】本题考查了作图﹣尺规作图的定义，三角形的角平分线、中线和高，正确地作出图形是解题的关键．
18．已知：如图，AB＝AC，AD＝AE，BD，CE相交于点O．求证：OD＝OE．
【点拨】利用SAS证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得出∠B＝∠C，利用AAS证明△BOE≌△COD，根据全等三角形的性质即可得解．
【解析】证明：∵AB＝AC，AD＝AE，
∴AB﹣AE＝AC﹣AD，
即BE＝CD，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠C，
在△BOE和△COD中，
，
∴△BOE≌△COD（AAS），
∴OE＝OD．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19．如图，已知AB＝CD，点E，F在线段BD上，且AF＝CE．
请从①BF＝DE；②∠BAF＝∠DCE；③AF＝CF中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得△ABF≌△CDE．
你添加的条件是：　①（答案不唯一）　（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明AE∥CF．
【点拨】当选择①BF＝DE时，可依据“SSS”判定△ABF≌△CDE，再根据全等三角形的性质得∠B＝∠D，进而可根据平行线的判定得出AE∥CF；当选择②∠BAF＝∠DCE时，可依据“SAS”判定△ABF≌△CDE，再根据全等三角形的性质得∠B＝∠D，进而可根据平行线的判定得出AE∥CF；当选择③AF＝CF时，不能判定△ABF≌△CDE；综上所述即可得出答案（答案不唯一）．
【解析】解：当选择①BF＝DE时，△ABF≌△CDE，证明如下：
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SSS），
∴∠B＝∠D，BF＝DE，
∴BF+EF＝DE+EF，
即BE＝DE，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠AEB＝∠CFD，
∴AE∥CF；
当选择②∠BAF＝∠DCE时，△ABF≌△CDE，证明如下：
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS）；
∴∠B＝∠D，BF＝DE，
同理可证：△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠AEB＝∠CFD，
∴AE∥CF；
当选择③AF＝CF时，不能判定△ABF≌△CDE，
故答案为：①（答案不唯一）．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
20．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝50°．
（1）试说明：AC＝BD；
（2）AC与BD相交于点P，求∠APB的度数．
【点拨】（1）根据SAS证△AOC≌△BOD，即可得证AC＝BD；
（2）由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，设AC与BO交于点M，根据180°﹣∠OAC﹣∠AMO＝180°﹣∠OBD﹣∠BMP即可得出∠APB＝50°．
【解析】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD；
（2）解：设AC与BO交于点M，则∠AMO＝∠BMP，
∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
∴180°﹣∠OAC﹣∠AMO＝180°﹣∠OBD﹣∠BMP，
即∠MPB＝∠AOM＝50°，
∴∠APB＝50°．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
21．如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，点E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AB＝DE．
（1）求证：△ACB≌△EBD；
（2）若DB＝12．
①求AC的长；
②求△DCE的面积．
【点拨】（1）由题意知，∠ABC+∠ABD＝90°，∠ABD+∠EDB＝90°，则∠ABC＝∠EDB，证明△ACB≌△EBD（AAS）；
（2）①由题意知，，由△ACB≌△EBD（AAS），可得，计算求解即可；②根据，计算求解即可．
【解析】（1）证明：∵∠DBC＝90°，
∴∠ABC+∠ABD＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DFB＝90°，即∠ABD+∠EDB＝90°，
∴∠ABC＝∠EDB，
∵∠ACB＝∠EBD，∠ABC＝∠EDB，AB＝DE，
∴△ACB≌△EBD（AAS）；
（2）解：①∵点E是BC的中点，
∴，
由（1）可知，△ACB≌△EBD（AAS），
∴AC＝BE，BC＝BD，
∴，
∴AC的长为6；
②：由题意知，，
∴△DCE的面积为36．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
22．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．
例如：在△ABC中，如果∠A＝70°，∠B＝35°，那么∠A与∠B互为“和谐角”，△ABC为“和谐三角形”．
问题1：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点D是线段AB上一点（不与A、B重合），连接CD．
（1）如图1，△ABC是“和谐三角形”吗？为什么？
（2）如图1，若CD⊥AB，则△ACD、△BCD是“和谐三角形”吗？为什么？
问题2：如图2，△ABC中，∠ACB＝60°，∠A＝80°，点D是线段AB上一点（不与A、B重合），连接CD，若△ACD是“和谐三角形”，求∠ACD的度数．
【点拨】问题1：（1）根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再由“和谐三角形”的定义即可得出结论；
（2）根据三角形内角和定理求出∠B的度数，由CD⊥AB可知∠ADC＝∠BDC＝90°，再求出各角的度数，进而可得出结论；
问题2：由“和谐三角形”的定义可知则∠ACD＝∠A或∠ACD＝∠ADC，据此得出结论．
【解析】解：问题1：（1）△ABC是“和谐三角形”，理由如下：
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°，
∴∠B＝∠A，
∴△ABC是“和谐三角形”；
（2）△ACD、△BCD是“和谐三角形”，理由如下：
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠ACD＝30°，∠BCD＝60°．
在△ACD中，
∵∠A＝60°，∠ACD＝30°，
∴∠ACD＝∠A，
∴△ACD为和谐三角形”；
在△BCD中，
∵∠BCD＝60°，∠B＝30°，
∴∠B＝∠BCD，
∴△BCD为和谐三角形”；
问题2：若△ACD是“和谐三角形”，由于点D是线段AB上一点（不与A、B重合），
则∠ACD＝∠A或∠ACD＝∠ADC．
当∠ACD＝∠A时，∠ACD＝∠A＝40°；
当∠ACD＝∠ADC时，∠A+3∠ACD＝180°，即3∠ACD＝100°，
∴∠ACD＝．
综上，∠ACD的度数为40°或．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键．
23．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠DAE的度数．
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝8，AD＝6，CD＝8，三角形ACD的面积是18，求△ABE的面积．
【点拨】（1）根据垂直得到∠AFE＝90°，利用三角形外角的性质得到∠BAE＝140°，再根据∠BAE＝∠BAD+∠CAD，即可求出∠CAD的度数；
（2）过点E作EG⊥AD，EH⊥BC，根据角平分线的性质得到EF＝EG，EF＝EH，进而得到EG＝EH，再根据角平分线的判定定理即可证明结论；
（3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出△ABE的面积．
【解析】（1）解：∵EF⊥AB，
∴∠F＝90°，
∵∠AEF＝50°，
∴∠BAE＝∠F+∠AEF＝90°+50°＝140°，
∵∠BAE＝∠BAD+∠CAD，∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝∠BAE﹣∠BAD＝140°﹣100°＝40°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD交AD于点G，EH⊥BC交BC于点H，
∵∠F＝90°，∠AEF＝50°，
∴∠EAF＝90°﹣50°＝40°，
由（1）可知，∠CAD＝40°，
∴∠EAF＝∠CAD＝40°，
∴AE平分∠FAD，
∵EF⊥AF，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝18，
∴S△ADE+S△CDE＝18，
∴，
∵AD＝6，CD＝8，EG＝EH，
∴，
∴，
∴，
∵AB＝8，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形的面积，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．
24．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点，连接AD，以AD为边向右作△ADE，使得AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在BC边上时，
①若∠BAC＝40°时，则∠DCE＝　140　°；
②若∠BAC＝80°时，则∠DCE＝　100　°；
③观察以上结果，猜想∠BAC与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（2）当点D在BC的延长线上时，请判断∠BAC与∠DCE的数量关系，并说明理由．
【点拨】（1）①根据SAS证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质可得∠BAC+∠DCE＝180°，即可求出∠DCE的度数；
②根据SAS证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质可得∠BAC+∠DCE＝180°，即可求出∠DCE的度数；
③根据SAS证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质可得∠BAC+∠DCE＝180°；
（2）根据SAS证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质可得∠B＝∠2，进一步可得∠BAC＝∠DCE．
【解析】解：（1）①当∠BAC＝40°时，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∴∠BAC+∠DCE＝∠BAC+∠BCA+∠ABC＝180°；
∴∠DCE＝180°﹣40°＝140°，
故答案为：140；
②当∠BAC＝80°时，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∴∠BAC+∠DCE＝∠BAC+∠BCA+∠ABC＝180°；
∴∠DCE＝180°﹣80°＝100°，
故答案为：100；
③∠BAC+∠DCE＝180°．理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∴∠BAC+∠DCE＝∠BAC+∠BCA+∠ABC＝180°；
（2）当点D在BC的延长线上，∠BAC＝∠DCE，如图所示：
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠2，
∵∠BAC+∠B+∠3＝180°，∠DCE+∠2+∠3＝180°，
∴∠BAC＝∠DCE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
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