第2章 特殊三角形 单元检测基础过关卷（含解析）

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第2章 特殊三角形 单元检测基础过关卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会于2022年在北京和张家口举办．下列四个图案分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（　　）
A．B． C． D．
2．等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的一个底角的大小是（　　）
A．65° B．40° C．50° D．80°
3．已知，如图在△ABC中，AB＝AC，AD是三角形的高，若∠CAD＝20°，则∠B的度数是（　　）
A．55° B．60° C．65° D．70°
4．下列命题中，假命题的是（　　）
A．在△ABC中，若∠B+∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形
B．在△ABC中，若a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形
C．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
D．在△ABC中，若a＝32，b＝42，c＝52，则△ABC是直角三角形
5．已知等腰三角形的一边长为4cm，周长是18cm，则它的腰长是（　　）
A．4cm B．7cm C．10cm D．4cm或7cm
6．下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．两直线平行，内错角相等 B．如果a＝b，那么a2＝b2
C．钝角三角形中有两个锐角 D．对顶角相等
7．若直角三角形两直角边长分别为3cm，5cm，则第三边的长为（　　）
A．4 cm B．cm C．4 cm或cm D．8 cm
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ADC的度数为（　　）
A．142° B．132° C．119° D．109°
9．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，CD平分∠ACB，BE⊥CD交AC于点E，若BE＝3，则CD的长为（　　）
A． B．3 C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11．命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 　 　命题．（填“真”或“假”）
12．如图，△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB交于点O，过O点作直线平行于BC，分别交AB，AC于点D，E，若BD＝4，CE＝3，则DE的长度为 　 　．
13．如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，边AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，连接BE，则∠CBE＝　 　°．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是 　 　．
15．如图，点P是∠ACB外一点，点D，E分别是CB，CA上的点，点P关于BC的对称点P1落在线段ED的延长线上，点P关于AC的对称点P2恰巧落在ED上．若PE＝5，PD＝5.5，ED＝6.5，则线段P1P2的长为 　 　．
16．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为 　 　．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．如图，在8×8正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．
（1）请在图中作出△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C′；
（2）在线段A'B'上找一点P（点P在格点上），使得△ABP为等腰三角形．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D．
求：（1）AC的长和△ABC的面积；（2）CD的长．
19．如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数．
20．如图，武汉市七一中学为迎接校庆50周年，拟对学校校园中的一块空地进行美化施工，已知AB＝3米，BC＝4米，∠ABC＝90°，AD＝12米，CD＝13米，学校欲在此空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？
21．如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：
①∠DBO＝∠ECO；②∠BDO＝∠CEO；③BD＝CE；④OB＝OC．
（1）上述四个条件中，哪两个可以判定△ABC是等腰三角形．
（2）选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明△ABC是等腰三角形；
（3）在上述条件中，若∠A＝60°，BE平分∠B，CD平分∠C，则∠BOC的度数？
22．如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点．连接ME、MF、EF．
（1）求证：△MEF是等腰三角形；
（2）若∠A＝70°，∠ABC＝50°，求∠EMF的度数．
23．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，
求证：①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．
24．在学习完特殊三角形的性质和判定后，李老师带领同学们开展了一次数学探究活动，李老师引导学生们回顾了课本P83第12题．
如图1，△ABD和△AEC都是等边三角形，求证：BE＝DC．
（1）如图1，请证明上述教材习题中的问题，并写出证明过程．
（2）如图2，若将BE与CD的交点记为点F，李老师基于以上问题情境提出了以下问题：
①求∠BFC的度数；
②连接AF，求证：FA平分∠DFE．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会于2022年在北京和张家口举办．下列四个图案分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．C． D．
【点拨】根据轴对称图形的定义：能够沿一条直线折叠，使直线两旁的部分完全重合的图形叫做轴对称图形，据此判断即可．
【解析】解：选项A，B，C都不能找到这样的一条直线，使这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项D能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的一个底角的大小是（　　）
A．65° B．40° C．50° D．80°
【点拨】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解析】解：这个等腰三角形的一个底角为：（180°﹣50°）÷2＝65°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
3．已知，如图在△ABC中，AB＝AC，AD是三角形的高，若∠CAD＝20°，则∠B的度数是（　　）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【点拨】根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD＝20°，∠ABC＝∠ACB，根据三角形内角和定理求出∠B的度数即可．
【解析】解：∵AB＝AC，AD是三角形的高，
∴∠BAD＝∠CAD＝20°，∠ABC＝∠ACB，
∴∠B＝＝70°，
故选：D．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的中线和角平分线以及三角形内角和定理，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
4．下列命题中，假命题的是（　　）
A．在△ABC中，若∠B+∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形
B．在△ABC中，若a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形
C．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
D．在△ABC中，若a＝32，b＝42，c＝52，则△ABC是直角三角形
【点拨】根据勾股定理的逆定理和直角三角形的判定解答即可．
【解析】解：A、在△ABC中，若∠B+∠C＝∠A，∠A＝90°，则△ABC是直角三角形，正确不符合题意；
B、在△ABC中，若a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形，正确不符合题意；
C、在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴∠A＝90°，正确不符合题意；
D、在△ABC中，若a＝32，b＝42，c＝52，则△ABC不是直角三角形，错误符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查命题与定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理解答．
5．已知等腰三角形的一边长为4cm，周长是18cm，则它的腰长是（　　）
A．4cm B．7cm C．10cm D．4cm或7cm
【点拨】根据等腰三角形的性质分为两种情况解答．
【解析】解：分情况考虑：当4是腰时，则底边长是18﹣8＝10，此时4，4，10不能组成三角形，应舍去；
当4是底边时，腰长是（18﹣4）×＝7，
4，7，7能够组成三角形．此时腰长是7．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
6．下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．两直线平行，内错角相等 B．如果a＝b，那么a2＝b2
C．钝角三角形中有两个锐角 D．对顶角相等
【点拨】写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【解析】解：A、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，逆命题是真命题，符合题意；
B、如果a＝b，那么a2＝b2的逆命题是如果a2＝b2，那么a＝b，逆命题是假命题，不符合题意；
C、钝角三角形中有两个锐角的逆命题是有两个锐角的三角形是钝角三角形，逆命题是假命题，不符合题意；
D、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；
故选：A．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
7．若直角三角形两直角边长分别为3cm，5cm，则第三边的长为（　　）
A．4 cm B．cm C．4 cm或cm D．8 cm
【点拨】根据勾股定理求得直角三角形的斜边即可．
【解析】解：5cm是直角边时，第三边＝＝cm，
所以，第三边长为．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ADC的度数为（　　）
A．142° B．132° C．119° D．109°
【点拨】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，
∴∠B＝38°，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣38°）＝71°，
∴∠ACD＝90°﹣71°＝19°，
∴∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠ACD＝180°﹣52°﹣19°＝109°，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键．
9．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【点拨】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．
【解析】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2＝S3，于是S3＝S1+S2，
即S3＝2+5+1+2＝10．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用．能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积．
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，CD平分∠ACB，BE⊥CD交AC于点E，若BE＝3，则CD的长为（　　）
A． B．3 C． D．
【点拨】根据三角形内角和求出∠ACB的度数，根据CD平分∠ACB，可以得到∠BCD和∠ECD的度数，再根据直角三角形的性质和全等三角形的判定以及性质，得到BC的长，最后根据勾股定理即可得到CD的长．
【解析】解：∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝30°，
∵BE⊥CD，CD平分∠ACB，
∴∠COB＝∠COE＝90°，∠BCO＝∠ECO＝30°，
在△CBO和△CEO中，
，
∴△CBO≌△CEO（ASA），
∴BO＝CO，
∵BE＝3，
∴BO＝CO＝1.5，
∵∠BCO＝30°，∠COB＝90°，
∴BC＝2OB＝3，
∵∠CBD＝90°，∠DCB＝30°，
∴CD＝2BD，
设BD＝x，则CD＝2x，
由勾股定理得：BD2+BC2＝CD2，
x2+32＝（2x）2，
解得x＝或x＝﹣（不合题意，舍去），
∴2x＝2，
即CD的长为2，
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 　真　命题．（填“真”或“假”）
【点拨】根据题意写出逆命题后判断正误即可．
【解析】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形，逆命题是真命题；
故答案为：真．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出所有命题的逆命题，难度不大．
12．如图，△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB交于点O，过O点作直线平行于BC，分别交AB，AC于点D，E，若BD＝4，CE＝3，则DE的长度为 　7　．
【点拨】根据BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB得出相应角相等，再根据DE∥BC得出∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCB，从而得出∠DBO＝∠DOB，∠ECO＝∠EOC，再根据角相等得出边相等．
【解析】解：∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠OCB，
∵DE∥BC，
∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCB，
∴∠DBO＝∠DOB，∠ECO＝∠EOC，
∴BD＝DO，OE＝EC，
∵BD＝4，CE＝3，
∴DE＝7，
故答案为：7．
【点睛】此题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边证明边相等，熟练掌握等角对等边的证明边相等是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，边AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，连接BE，则∠CBE＝　30　°．
【点拨】根据等腰三角形的性质可得到∠ABC＝∠C＝70°，再根据线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，推出∠ABE＝∠A＝40°，最后根据∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE，即可求解．
【解析】解：∵在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，
∴，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝40°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝70°﹣40°＝30°，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是 　　．
【点拨】连接DE，利用等腰三角形的性质可知AE是CD的垂直平分线，利用勾股定理求出AB的长，再利用等积法求出DE的长，再利用勾股定理求BE即可．
【解析】解：连接DE，
∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴AE是CD的垂直平分线，
∴CE＝DE，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AB＝，
∴BD＝AB﹣AD＝2，
∴S△ABC＝S△ACE+S△ABE，
∴AC×BC＝AC×CE+AB×DE，
∴3×4＝3CE+5DE，
∴DE＝，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
BE＝＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，运用等积法求出DE的长是解题的关键．
15．如图，点P是∠ACB外一点，点D，E分别是CB，CA上的点，点P关于BC的对称点P1落在线段ED的延长线上，点P关于AC的对称点P2恰巧落在ED上．若PE＝5，PD＝5.5，ED＝6.5，则线段P1P2的长为 　7　．
【点拨】根据对称的性质计算．
【解析】解：根据题意，得P1D＝PD＝5.5，P2E＝PE＝5，ED＝EP2+P2D＝，6.5，
故P2D＝1.5，
故P1P＝P1D+P2D＝7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解本题的关键．
16．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为 　3或7或1　．
【点拨】利用分类讨论，当∠APB＝90°时（如图1），由AO＝BO，∠AOC＝60°，得到△BOP为等边三角形，于是有∠ABP＝60°，由三角形内角和得到∠BAP＝30°，即可求得AP；
当∠ABP＝90°时，如图2，由对顶角的性质可得∠AOC＝∠BOP＝60°，易得∠BPO＝30°，易得BP的长，利用勾股定理可得AP的长；当∠APB＝90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论．如图4中，∠PAB＝90°时，求出AP即可．
【解析】解：当∠APB＝90°时，如图1，
∵AO＝BO＝＝1，
∴PO＝BO，
∵∠AOC＝60°，
∴∠BOP＝60°，
∴△BOP为等边三角形，
∴∠ABP＝60°，
∴∠BAP＝30°，
∴AP＝；
当∠ABP＝90°时，如图2，
∵∠AOC＝∠BOP＝60°，
∴∠BPO＝30°，
∴BP＝＝＝，
在直角三角形ABP中，
AP＝＝；
当∠APB＝90°时，如图3，
∵AO＝BO，∠APB＝90°，
∴PO＝AO，
∵∠AOC＝60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴AP＝AO＝1，
如图4中，当∠PAB＝90°时，
∴PA＝OA＝，
故答案为：或或1．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角函数的定义，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．如图，在8×8正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．
（1）请在图中作出△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C′；
（2）在线段A'B'上找一点P（点P在格点上），使得△ABP为等腰三角形．
【点拨】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B、C关于直线l的对称点即可；
（2）当BP＝BA＝5时可确定P点位置；当AP′＝AB＝5时，可确定点P′的位置．
【解析】解：（1）如图，△A'B'C′为所作；
（2）如图，点P和点P′为所作．
【点睛】本题考查了作图﹣轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了等腰三角形的判定．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D．
求：（1）AC的长和△ABC的面积；（2）CD的长．
【点拨】（1）根据勾股定理求得AC的长；利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积；
（2）再根据三角形的面积公式是一定值求得CD即可．
【解析】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
AC＝＝＝4（cm）；
S△ABC＝AC BC＝×4×3＝6（cm2）；
（2）∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝AC BC＝AB CD，
∴CD＝＝＝2.4（cm）．
【点睛】此题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
19．如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数．
【点拨】（1）先根据角平分线的定义得到∠DBE＝∠CBE，再根据平行线的性质得到∠DEB＝∠CBE，所以∠DBE＝∠DEB，从而得到结论；
（2）先利用三角形内角和计算出∠ABC＝75°，再利用两直线平行，同旁内角互补计算出∠BDE的度数．
【解析】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）解：∵∠A＝35°，∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣35°﹣70°＝75°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE+∠DBC＝180°，
∴∠BDE＝180°﹣75°＝105°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．也考查了平行线的性质．
20．如图，武汉市七一中学为迎接校庆50周年，拟对学校校园中的一块空地进行美化施工，已知AB＝3米，BC＝4米，∠ABC＝90°，AD＝12米，CD＝13米，学校欲在此空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？
【点拨】连接AC，在Rt△ACD中利用勾股定理计算出AC长，再利用勾股定理逆定理证明∠ACB＝90°，再利用S△ACD﹣S△ABC可得草坪面积，然后再计算花费即可．
【解析】解：连接AC，在Rt△ABC中，AB＝3米，BC＝4米，
∵AC2＝AB2+BC2＝32+42＝25，
∴AC＝5，
∵AC2+AD2＝52+122＝169，CD2＝132＝169，
∴AC2+AD2＝CD2，
∴∠DAC＝90°，
该区域面积＝S△ACD﹣S△ABC＝30﹣6＝24（平方米），
铺满这块空地共需花费＝24×80＝1920（元）．
答：用该草坪铺满这块空地共需花费1920元．
【点睛】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
21．如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：
①∠DBO＝∠ECO；②∠BDO＝∠CEO；③BD＝CE；④OB＝OC．
（1）上述四个条件中，哪两个可以判定△ABC是等腰三角形．
（2）选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明△ABC是等腰三角形；
（3）在上述条件中，若∠A＝60°，BE平分∠B，CD平分∠C，则∠BOC的度数？
【点拨】（1）根据已知条件即可找到证明∠ABC＝∠ACB的组合；
（2）要证△ABC是等腰三角形，就要证∠ABC＝∠ACB，根据已知条件即可找到证明∠ABC＝∠ACB的组合；
（3）根据等腰三角形的性质，利用三角形内角和定理即可求得∠BOC的度数．
【解析】解：（1）上述四个条件中，①③，①④，②③，②④组合可判定△ABC是等腰三角形．
（2）选择①③证明．
∵∠DBO＝∠ECO，BD＝CE，∠DOB＝∠EOC，
∴△DOB≌△EOC，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形；
（3）∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BE平分∠B，CD平分∠C，
∴∠OBC＝∠OBC＝30°，
∴∠BOC＝180﹣30﹣30＝120°，
答：∠BOC的度数为120°．
【点睛】此题主要考查利用等角对等边来判定等腰三角形；题目对学生的要求比较高，利用等量加等量和相等是正确解答本题的关键．
22．如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点．连接ME、MF、EF．
（1）求证：△MEF是等腰三角形；
（2）若∠A＝70°，∠ABC＝50°，求∠EMF的度数．
【点拨】（1）利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得EM＝FM＝BC，进而可得结论；
（2）利用等边对等角得到∠BFM＝∠ABC＝50°，∠CEM＝∠MCA＝60°，然后可得∠FMB＝80°，∠EMC＝60°，进而可得答案．
【解析】（1）证明：∵CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，
∴△BFC和△CEB是直角三角形，
∵M为BC的中点，
∴EM＝FM＝BC，
∴△MEF是等腰三角形；
（2）解：∵∠A＝70°，∠ABC＝50°，
∴∠ACB＝60°，
∵M是BC中点，
∴MB＝CM＝BC，
∵EM＝FM＝BC，
∴BM＝FM，MC＝EM，
∴∠BFM＝∠ABC＝50°，∠CEM＝∠MCA＝60°，
∴∠FMB＝80°，∠EMC＝60°，
∴∠FME＝180°﹣80°﹣60°＝40°．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半．
23．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，
求证：①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．
【点拨】（1）直角三角形中斜边对应相等，即可证明全等，再由线段对应相等，得出②中结论；
（2）由图可知，△ADC与△CEB仍全等，但线段的关系已发生改变．
【解析】（1）证明：①∵∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE．
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（ASA）．
②∵△ADC≌△CEB，
∴CD＝BE，AD＝CE．
∴DE＝CE+CD＝AD+BE．
（2）△ADC≌△CEB成立，DE＝AD+BE．不成立，此时应有DE＝AD﹣BE．
证明：∵∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE．
又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
∴CD＝BE，AD＝CE．
∴DE＝AD﹣BE．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质；熟练掌握全等三角形的性质和判定，此题作为选择或填空很容易漏掉后一问，注意运用．
24．在学习完特殊三角形的性质和判定后，李老师带领同学们开展了一次数学探究活动，李老师引导学生们回顾了课本P83第12题．
如图1，△ABD和△AEC都是等边三角形，求证：BE＝DC．
（1）如图1，请证明上述教材习题中的问题，并写出证明过程．
（2）如图2，若将BE与CD的交点记为点F，李老师基于以上问题情境提出了以下问题：
①求∠BFC的度数；
②连接AF，求证：FA平分∠DFE．
【点拨】（1）根据等边三角形性质得出AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，求出∠BAE＝∠DAC，根据SAS证明△ABE≌△ADC即可：
（2）①根据全等三角形的性质和8字形可得结论；
②过点A分别作AG⊥BE，AH⊥DC，垂足为点G，H，由（1）知△ABE≌△ADC，从而S△ABE＝S△ADC，故有AG＝AH，根据角平分线判定即可求证．
【解析】（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAC+∠CAE＝∠BAC+∠BAD，
即∠BAE＝∠DAC，
在△ABE和△ADC中，
，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE＝DC；
（2）①解：如图2，
∵△ABE≌△ADC，
∴∠ADC＝∠ABE，
∵∠AMD＝∠BMF，
∴∠BFM＝∠BAD＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣60°＝120°；
②证明：如图3，过点A分别作AG⊥BE，AH⊥DC，垂足分别为点G，H，
由（1）知：△ABE≌△ADC，BE＝DC，
∴S△ABE＝S△ADC，
∴BE AG＝DC AH，
∴AG＝AH，
∴点A在∠DFE的平分线上，
即FA平分∠DFE．
【点睛】本题考查了等边三角形性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，角平分线的判定，三角形的内角和定理的综合运用，熟练掌握以上知识是解答的关键．
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