第2章 特殊三角形 单元检测能力提升卷（含解析）

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第2章 特殊三角形 单元检测能力提升卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．1，， C．4，6，8 D．5，12，15
2．在△ABC中，AB＝12，BC＝5，AC＝13，则△ABC的面积为（　　）
A．15 B．30 C．60 D．78
3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，则∠ADE的大小为（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，DE平分∠ADB，则∠DBA等于（　　）
A．22.5° B．30° C．25° D．40°
5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为（　　）
A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150°
6．如图，AD，BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F．若AD＝BD＝6，且△ACD的面积为12，则AF的长度为（　　）
A．1 B． C．2 D．3
7．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．如图，M，N为4×4方格纸中格点上的两点，若以MN为边，在方格中取一点P（P在格点上），使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
9．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
10．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结DF．若S正方形ABCD＝5，EF＝BG，则DF的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．若（a﹣4）2+|b﹣6|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长是　 　．
12．Rt△ABC中，∠C＝90°，两直角边分别是a和b，斜边是c，若a＝6，b＝8，则c＝　 　．
13．在△ABC中，AB＝AD＝CD，且∠C＝40°，则∠BAD的度数为　 　．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AC上（均不与点A、B、C重合），且∠1＝∠C＝42°，若BD＝CE，则∠BAC＝　 　度，∠BAD＝　 　度．
15．已知Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，以AC为一边在Rt△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为 　 　．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 　 　厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．如图，△ABC三个顶点都在小方格的顶点上，请在2×2的方格中画出三个顶点都落在小方格的顶点上，且与△ABC成轴对称的三角形．（要求画出两种不同的三角形）
18．下面是证明等腰三角形判定定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种完成证明．
等腰三角形判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边也相等．已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，求证：AB＝AC
证明：如图，作∠BAC的平分线交BC于点D 证明：如图，作BC边上高线交BC于点D
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CD＝3.6，BD＝6．
（1）若∠2＝∠B，求AC的长．
（2）若∠1＝∠2，求AC的长．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，且BD＝AB，连接AD、DC．
（1）求证：∠CAD＝∠DBC；
（2）求∠BDC的度数．
21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．
（1）求证：CG＝EG．
（2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△EDC的面积．
22．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．
23．已知△ABC，△EFG是边长相等的等边三角形，点D是边BC，EF的中点．
（1）如图①，连接AD，GD，则∠ADC的大小＝　 　（度）；∠GDF的大小＝　 　（度）；
AD与GD的数量关系是　 　；DC与DF的数量关系是　 　；
（2）如图②，直线AG，FC相交于点M，求∠AMF的大小．
24．【初步感知】：
如图①，△ABC和△CDE都是等边三角形，连接AD、BE．小组同学发现：
（1）△ACD与△BCE全等，依据是 　　（填写全等三角形判定定理）；
（2）线段BE＝AD，依据是 　　；
【拓展探究】：
如图②，△ABC和△CDE都是等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．
（3）线段BE与AD之间是否仍存在（2）中的结论？若存在，请说明理由；
（4）∠AMB＝　　（用含α的式子表示），并说明理由．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．1，， C．4，6，8 D．5，12，15
【点拨】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解析】解：A、∵22+32＝13，42＝16，
∴22+32≠42，
∴不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵12+（）2＝3，（）2＝3，
∴12+（）2＝（）2，
∴能构成直角三角形，
故B符合题意；
C、∵42+62＝52，82＝64，
∴42+62≠82，
∴不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵122+52＝169，152＝225，
∴122+52≠152，
∴不能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
2．在△ABC中，AB＝12，BC＝5，AC＝13，则△ABC的面积为（　　）
A．15 B．30 C．60 D．78
【点拨】根据AB＝12，BC＝5，AC＝13，证明△ABC是直角三角形，根据三角形面积公式计算即可．
【解析】解：∵AB＝12，BC＝5，AC＝13，
∴AB2＝144，BC2＝25，AC2＝169，
∵169＝25+144，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理逆定理的应用，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，则∠ADE的大小为（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【点拨】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝40°，∠ADB＝90°，根据三角形内角和定理计算即可．
【解析】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝40°，
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠ADB＝90°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝70°，
∴∠ADE＝20°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一、三角形内角和定理是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，DE平分∠ADB，则∠DBA等于（　　）
A．22.5° B．30° C．25° D．40°
【点拨】利用全等直角三角形的判定定理HL证得Rt△ACD≌Rt△AED，则对应角∠ADC＝∠ADE；然后根据已知条件“DE平分∠ADB”、平角的定义证得∠ADC＝∠ADE＝∠EDB＝60°；最后由直角三角形的两个锐角互余的性质求得∠B＝30°．
【解析】解：在△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，
∴CD＝ED．
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴∠ADC＝∠ADE．
∵∠ADC+∠ADE+∠EDB＝180°，DE平分∠ADB，
∴∠ADC＝∠ADE＝∠EDB＝60°．
∴∠B+∠EDB＝90°，
∴∠B＝30°．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为（　　）
A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150°
【点拨】在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，讨论：当BD在△ABC内部时，如图1，先计算出∠BAD＝30°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ACB；当BD在△ABC外部时，如图2，先计算出∠BAD＝30°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠ACB．
【解析】解：在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝60°，
当BD在△ABC内部时，如图1，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°；
当BD在△ABC外部时，如图2，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
而∠BAD＝∠ABC+∠ACB，
∴∠ACB＝∠BAD＝15°，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为75°或15°．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
6．如图，AD，BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F．若AD＝BD＝6，且△ACD的面积为12，则AF的长度为（　　）
A．1 B． C．2 D．3
【点拨】利用ASA证明△ACD≌△BFD，得DF＝DC，再根据三角形面积可得CD的长，从而可得答案．
【解析】解：∵AD，BE是△ABC的高线，
∴∠ADB＝∠ADC＝∠AEB＝90°，
∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠DBF＝∠CAD，
在△ACD和△BFD中，
，
∴△ACD≌△BFD（ASA），
∴DC＝DF，
∵△ACD的面积为12，
∴×CD×6＝12，
∴CD＝4，
∴DF＝4，
∴AF＝AD﹣DF＝2，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
7．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【点拨】过点C作CE⊥AB于点E，作点N关于直线BD的对称点N′，连接MN′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．
【解析】解：过点C作CE⊥AB于点E，作点N关于直线BD的对称点N′，连接MN′
∵BD平分∠ABC，N，N′关于BD对称，
∴点N′在BA上，MN＝MN′，
∴CM+MN＝CM+MN′≥CE，
∴当点C，M，N′共线，且与CE重合时，CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为8，AB＝4，
∴×4 CE＝8，
∴CE＝4．
即CM+MN的最小值为4．
故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解题的关键．
8．如图，M，N为4×4方格纸中格点上的两点，若以MN为边，在方格中取一点P（P在格点上），使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【点拨】分三种情况：当MP＝MN时，当NP＝NM时，当PM＝PN时，即可解答．
【解析】解：如图：
分三种情况：
当MP＝MN时，以点M为圆心，以MN长为半径作圆，则点P1，P2即为所求；
当NP＝NM时，以点N为圆心，以NM长为半径作圆，则点P3即为所求；
当PM＝PN时，作线段MN的垂直平分线，则点P4，P5即为所求；
综上所述：使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为5个，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键．
9．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【点拨】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．
【解析】解：由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，
则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1OA2＝∠A1A2A，…，
∵∠BOC＝9°，
∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°的度数，∠A4A3C＝45°，…，
∴9°n＜90°，
解得n＜10．
由于n为整数，故n＝9．
故选：B．
【点睛】考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
10．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结DF．若S正方形ABCD＝5，EF＝BG，则DF的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．
【点拨】由题知△ADE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，再根据EF＝BG，证明出△ADE≌△DEF，即可得出答案．
【解析】解：∵S正方形ABCD＝5，四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝BC＝CD＝．
∵四边形EFGH为正方形，
∴EH＝EF＝FG＝HG．
由题可知：△ADE≌△ABF≌△BCG≌△CDH．
∵EF＝BG，
∴EF＝AF，
∴E是中点，
即AE＝EF，
∴．
∴△ADE≌△DEF（SAS）．
即DF＝AD＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，解题关键在于根据题意证明全等．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．若（a﹣4）2+|b﹣6|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长是　14或16　．
【点拨】先根据非负数的性质得到a、b的长，再分为两种情况：①当腰是4，底边是6时，②当腰是6，底边是4时，求出即可．
【解析】解：∵（a﹣4）2+|b﹣6|＝0，
∴a﹣4＝0，b﹣6＝0，
∴a＝4，b＝6，
①当腰是4，底边是3时，三边长是4，4，6，此时符合三角形的三边关系定理，
即等腰三角形的周长是4+4+6＝14；
②当腰是6，底边是4时，三边长是6，6，4，此时符合三角形的三边关系定理，
即等腰三角形的周长是6+6+4＝16．
故答案为：14或16．
【点睛】本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理的应用，注意此题要分为两种情况讨论．
12．Rt△ABC中，∠C＝90°，两直角边分别是a和b，斜边是c，若a＝6，b＝8，则c＝　10　．
【点拨】根据勾股定理计算即可．
【解析】解：根据勾股定理得：c＝＝10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查勾股定理，解题关键是熟练利用勾股定理进行计算．
13．在△ABC中，AB＝AD＝CD，且∠C＝40°，则∠BAD的度数为　20°　．
【点拨】首先利用等腰三角形的性质求得∠DAC的度数，然后求得∠BDA的度数，最后利用三角形的内角和求得∠BAD的度数．
【解析】解：∵AD＝DC
∴∠DAC＝∠C，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝40°，
∴∠BDA＝∠C+∠DAC＝80°，
∵AB＝AD
∴∠BDA＝∠B＝80°，
∴∠BAD＝180°﹣∠BDA﹣∠B＝20°．
故答案为：20°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等，属于基础性题目，比较简单．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AC上（均不与点A、B、C重合），且∠1＝∠C＝42°，若BD＝CE，则∠BAC＝　96　度，∠BAD＝　27　度．
【点拨】首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得∠B＝∠C＝42°，再利用三角形内角和定理计算∠BAC的值；证明△CDE≌△BAD，结合全等三角形的性质证明△CAD为等腰三角形，进而可得∠CAD的值，然后由∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD求解即可．
【解析】解：∵AB＝AC，∠1＝∠C＝42°，
∴∠B＝∠C＝42°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝96°，
∵∠ADC＝∠1+∠CDE＝∠B+∠BAD，
又∵∠1＝∠C＝∠B，
∴∠CDE＝∠BAD，
在△CDE和△BAD中，
，
∴△CDE≌△BAD（AAS），
∴CD＝BA，
∵AB＝AC，
∴AC＝CD，
∴，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝96°﹣69°＝27°．
故答案为：96；27．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
15．已知Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，以AC为一边在Rt△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为 　7或或　．
【点拨】分三种情形讨论：（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时．（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时．（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时；
【解析】解：（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时，
∵AC＝CD＝4，BC＝3，
∴BD＝CD+BC＝7；
（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时，作DE⊥BC与E，连接BD．
在Rt△BDE中DE＝2，BE＝5，
∴BD＝＝；
（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时，作DE⊥BC于E，
在Rt△BDE中，DE＝4．BE＝7，
∴BD＝＝，
故答案为7或或．
【点睛】本题考查勾股定理、等腰直角三角形的寻找等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，所以中考常考题型．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 　4或6　厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
【点拨】首先求出BD的长，要使△BPD与△CQP全等，必须BD＝CP或BP＝CP，得出方程12＝16﹣4x或4x＝16﹣4x，求出方程的解即可．
【解析】解：设经过x秒后，使△BPD与△CQP全等，
∵AB＝AC＝24厘米，点D为AB的中点，
∴BD＝12厘米，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴要使△BPD与△CQP全等，必须BD＝CP或BP＝CP，
即12＝16﹣4x或4x＝16﹣4x，
解得：x＝1或x＝2，
x＝1时，BP＝CQ＝4，4÷1＝4；
x＝2时，BD＝CQ＝12，12÷2＝6；
即点Q的运动速度是4或6，
故答案为：4或6
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定的应用；熟练掌握等腰三角形的性质，根据题意得出方程是解决问题的关键．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．如图，△ABC三个顶点都在小方格的顶点上，请在2×2的方格中画出三个顶点都落在小方格的顶点上，且与△ABC成轴对称的三角形．（要求画出两种不同的三角形）
【点拨】根据成轴对称的定义，图1，作点A，B关于对角线CM所在直线为对称轴的对称点D，E，连接DE，DC，CE，即可；图2，作点B，C关于对角线AN所在直线为对称轴的对称点F，G，连接AF，AG，FG，即可 （答案不唯一）．
【解析】解：如图1，作点A，B关于对角线CM所在直线为对称轴的对称点D，E，连接DE，DC，CE，△DEC即为所求作（答案不唯一）；
如图2，作点B，C关于对角线AN所在直线为对称轴的对称点F，G，连接AF，AG，FG，△AFG即为所求作（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，解题的关键是熟练掌握成轴对称的定义．
18．下面是证明等腰三角形判定定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种完成证明．
等腰三角形判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边也相等．已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，求证：AB＝AC
证明：如图，作∠BAC的平分线交BC于点D 证明：如图，作BC边上高线交BC于点D
【点拨】方法一：作∠BAC的平分线交BC于点D．证明△ABD≌△ACD，由全等三角形的性质可得出结论；
方法二：作BC边上高线交BC于点D，证明△ABD≌△ACD，由全等三角形的性质可得出结论．
【解析】解：方法一：
证明：如图，作∠BAC的平分线交BC于点D．
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴AB＝AC；
方法二：
证明：如图，作BC边上高线交BC于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴AB＝AC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，证明△ABD≌△ACD是解题的关键．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CD＝3.6，BD＝6．
（1）若∠2＝∠B，求AC的长．
（2）若∠1＝∠2，求AC的长．
【点拨】（1）根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论；
（2）如图，过点D作DE工AB于点E，
根据角平分线的性质得到CD＝DE＝3.6，AC＝AE，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】解：（1）∵∠2＝∠B，
∴AD＝BD＝6，
∵∠C＝90°，CD＝3.6，
∴AC＝＝4.8；
（2）如图，过点D作DE工AB于点E，
∵∠1＝∠2，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝3.6，AC＝AE，
在Rt△DEB中，BE＝＝4.8，
在Rt△ACB中，AC2＝AB2﹣BC2，
即AC2＝（AE+EB）2﹣（CD+DB）2＝（AC+4.8）2﹣（3.6+6）2，
解得AC＝7.2．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，且BD＝AB，连接AD、DC．
（1）求证：∠CAD＝∠DBC；
（2）求∠BDC的度数．
【点拨】（1）根据等腰三角形的性质和已知角的度数求得∠CAD＝DBC＝20°即可证得结论；
（2）延长AD到点E，使得AE＝BC，证得DBC≌△CAE，设∠CDE＝∠CED＝α，表示出∠BDC＝∠ACE＝100°+α，然后根据三角形的内角和定理求得已知角即可．
【解析】证明（1）∵AB＝AC，∠BAC＝100°
∴∠ABC＝∠ACB＝40°
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD＝∠DBC＝20°
∵BD＝AB
∴∠ADB＝∠DAB＝80°
∴∠CAD＝20°
∴∠CAD＝∠DBC
（2）延长AD到点E，使得AE＝BC，
∵BD＝AB＝AC，∠CAD＝∠DBC，
∴△DBC≌△CAE，
∴CD＝CE，∠BDC＝∠ACE，
∴∠CDE＝∠CED＝α，
∵∠ADB＝80°，
∴∠BDE＝100°
∴∠BDC＝∠ACE＝100°+α，
∴20°+100°+α+α＝180°，
∴α＝30°，
∴∠BDC＝130°．
【点睛】考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定等知识，解题的关键是根据题意结合等腰三角形的性质得到各个角之间的关系．
21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．
（1）求证：CG＝EG．
（2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△EDC的面积．
【点拨】（1）连接DE，根据直角三角形的性质得到DE＝AB＝AE，根据等腰三角形的性质证明结论；
（2）作EF⊥BC于F，根据题意求出BD，根据等腰三角形的性质求出DF，根据勾股定理求出EF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解析】（1）证明：连接DE，
在Rt△ADB中，点E是AB的中点，
∴DE＝AB＝AE，
∵CD＝AE，
∴DE＝DC，又DG⊥CE，
∴CG＝EG．
（2）解：作EF⊥BC于F，
∵BC＝13，CD＝5，
∴BD＝13﹣5＝8，
∵DE＝BE，EF⊥BC，
∴DF＝BF＝4，
∴EF＝＝＝3，
∴△EDC的面积＝×CD×EF＝×5×3＝7.5．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．
22．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．
【点拨】（1）设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（2）当点P在∠CAB的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（3）在Rt△ABC中，根据勾股定理得到AC＝4cm，根据题意得：AP＝2t，当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，得到PC＝BC，即4﹣2t＝3，求得t＝，当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，若CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，如图2，过P作PE⊥BC于E，求得t＝，若PB＝BC，即2t﹣3﹣4＝3，解得t＝5，③PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，由射影定理得；BC2＝BF AB，列方程32＝×5，即可得到结论．
【解析】解：（1）设存在点P，使得PA＝PB，
此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，
在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，
即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，
解得：t＝，
∴当t＝时，PA＝PB；
（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，
此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，
在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，
即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2，
解得：t＝，
当t＝6时，点P与A重合，也符合条件，
∴当或6时，P在△ABC的角平分线上；
（3）在Rt△ABC中，∵AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝4cm，
根据题意得：AP＝2t，
当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，
∴PC＝BC，即4﹣2t＝3，
∴t＝，
当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，
①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，
如图2，过P作PE⊥BC于E，
∴BE＝BC＝，
∴PB＝AB，即2t﹣3﹣4＝，解得：t＝，
②PB＝BC，即2t﹣3﹣4＝3，
解得：t＝5，
③PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，
∴BF＝BP，
∵∠ACB＝90°，
由射影定理得；BC2＝BF AB，
即32＝×5，
解得：t＝，
∴当时，△BCP为等腰三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．
23．已知△ABC，△EFG是边长相等的等边三角形，点D是边BC，EF的中点．
（1）如图①，连接AD，GD，则∠ADC的大小＝　90　（度）；∠GDF的大小＝　90　（度）；
AD与GD的数量关系是　AD＝GD　；DC与DF的数量关系是　DC＝DF　；
（2）如图②，直线AG，FC相交于点M，求∠AMF的大小．
【点拨】（1）如图①中，根据等边三角形的性质解答即可．
（2）如图连接AD，DG，利用等边三角形的性质即可解决问题．
【解析】解：（1）如图①，连接AD，GD，∵△ABC是等边三角形，BD＝DC，则∠ADC的大小＝90°；
∵△EGF是等边三角形，ED＝DF，
∴∠GDF＝90°；
∵BC＝EF，
∴AD＝GD；DC＝DF；
故答案为：90；90；AD＝GD；DC＝DF．
（2）连接AD，DG，
由（1）得：∠ADC＝∠GDF＝90°，
∴∠ADC﹣∠GDC＝∠GDF﹣∠GDC，
即∠1＝∠2，
由（1）得：AD＝GD，
∴∠DGA＝∠DAG＝，
由（1）得：DC＝DF，
∴∠3＝∠DCF＝，
∴∠DGA＝∠3，
∵∠AMF＝∠AGF+∠5，
∴∠AMF＝∠DGA+∠5+∠4
＝∠3+∠5+∠4
＝180°﹣∠GDF
＝180°﹣90°
＝90°．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是根据等边三角形的性质解答．
24．【初步感知】：
如图①，△ABC和△CDE都是等边三角形，连接AD、BE．小组同学发现：
（1）△ACD与△BCE全等，依据是 　　（填写全等三角形判定定理）；
（2）线段BE＝AD，依据是 　　；
【拓展探究】：
如图②，△ABC和△CDE都是等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．
（3）线段BE与AD之间是否仍存在（2）中的结论？若存在，请说明理由；
（4）∠AMB＝　　（用含α的式子表示），并说明理由．
【点拨】（1）由等边三角形的性质得AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，再证明∠ACD＝∠BCE，然后由SAS证明△ACD≌△BCE即可；
（2）由全等三角形的性质即可得出结论；
（3）先证明∠ACD＝∠BCE，再证明△CBE≌△CAD（SAS），然后由全等三角形的性质即可得出结论；
（4）由全等三角形的性质得∠CAD＝∠CBE，再由三角形内角和定理得∠BAC+∠ABC＝180°﹣α，则∠BAM+∠ABM＝180°﹣α，然后由三角形内角和定理即可得出结论．
【解析】解：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∵∠BCE＝∠ACB﹣∠ECA，∠ACD＝∠DCE﹣∠ECA，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
故答案为：SAS；
（2）由（1）可知，△ACD≌△BCE，
∴BE＝AD（全等三角形的对应边相等），
故答案为：全等三角形的对应边相等；
（3）存在（2）的结论BE＝AD，理由如下：
∵∠ACB＝∠DCE＝α，∠ACD＝α+∠BCD，∠BCE＝α+∠BCD
∴∠ACD＝∠BCE，
在△CBE和△CAD中，
，
∴△CBE≌△CAD（SAS），
∴BE＝AD；
（4）∠AMB＝α，理由如下：
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠BAC+∠ABC＝180°﹣α，
∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣α，
∴∠AMB＝180°﹣（180°﹣α）＝α，
故答案为：α．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
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