第1章 二次函数 单元检测基础过关卷（含解析）

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第1章 二次函数 单元检测基础过关卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列y关于x的函数解析式中，一定为二次函数的是（　　）
A． B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x﹣1 D．y＝2x2﹣2x+1
2．抛物线y＝﹣（x+2）2﹣4的对称轴是（　　）
A．直线x＝﹣2 B．直线x＝2 C．直线x＝﹣4 D．直线x＝4
3．二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的最大值是（　　）
A．﹣7 B．5 C．0 D．9
4．已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
5．如果将抛物线y＝（x+2）2﹣3平移，使它与抛物线y＝x2+1重合，那么平移的方式可以是（　　）
A．向左平移2个单位，向上平移4个单位 B．向左平移2个单位，向下平移4个单位
C．向右平移2个单位，向上平移4个单位 D．向右平移2个单位，向下平移4个单位
6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③b+2a＝0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤当x＞0时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．某超市以每件10元的价格购进一种文具．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）（15≤x≤26）之间满足y＝﹣2x+60，则销售这种文具每天可得（　　）
A．最大利润150元 B．最大利润128元
C．最小利润150元 D．最小利润128元
8．函数y＝ax+c与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
9．若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（　　）
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0
10．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数（a，b是常数，且a≠0）的图象上有且只有一个完美点，且当﹣1≤x≤m时，函数y＝ax2+bx﹣3的最小值为﹣8，最大值为1，则m的取值范围是（　　）
A．﹣1≤m≤0 B．2≤m≤5 C．m≤5 D．m≥2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11．将y＝2x2﹣12x﹣12变为y＝a（x﹣m）2+n的形式 　 　．顶点坐标是 　 　．
12．如果函数y＝（k﹣3）x+1是二次函数，那么k的值是　 　，二次项系数为　 　．
13．抛物线y＝x2﹣4x+5，当﹣3≤x≤4时，y的取值范围是 　 　．
14．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是　 　．
15．如图，小明想用长16米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园ABCD，则矩形ABCD的最大面积是 　 　平方米．
16．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0．下列四个结论：
①若抛物线经过点（﹣5，0），则4a+b＝0；
②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；
③若a＞0，则方程ax2+bx+c＝2一定有两个不相等的实数根；
④若A（x1，n），B（x2，n）是抛物线上两点，当x＝x1+x2时，则y＝c．
其中正确的是 　 　（填写序号）．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+4的图象经过点（﹣1，0）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）判断这个二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．
18．已知抛物线y＝x2﹣4x+5．
（1）当 　 　时，y随x的增大而减小；
（2）当1≤x≤5时，求函数y的取值范围．
19．已知P（﹣5，m）和Q（3，m）是二次函数y＝2x2+bx+1图象上的两点．
（1）求b的值；
（2）将二次函数y＝2x2+bx+1的图象进行一次平移，使图象经过原点．（写出一种即可）
20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为（3，0）．
（1）求点B的坐标及m的值；
（2）求出抛物线的顶点坐标，并画出此函数的示意图；
（3）结合函数图象直接写出当y＞0时x的取值范围．
21．已知：抛物线y＝x2﹣2x+m与y轴交于点C（0，﹣2），点D和点C关于抛物线对称轴对称．
（1）求此抛物线的解析式和点D的坐标；
（2）如果点M是抛物线的对称轴与x轴的交点，求△MCD的周长．
22．某排球队员站在发球区发球，排球发出后向正前方行进，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间函数的表达式是y＝﹣x2+x+．求：
（1）已知发球点到排球网的水平距离为9m，网高2.43m，排球是否能打过网？
（2）当排球走过的水平距离是多少时，排球距离地面最高？
（3）已知排球场地的长为18m，排球将落在界内还是界外？
23．某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50%．在销售过程中发现：当销售单价为35元时，每天可售出350件，若销售单价每提高5元，则每天销售量减少50件．设销售单价为x元（销售单价不低于35元）
（1）当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为多少件？
（2）求这种儿童玩具每天获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；
（3）当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
24．已知抛物线．
（1）若此抛物线与x轴只有一个公共点且过点．
①求此抛物线的解析式；
②直线y2＝﹣x+k与该抛物线交于点A（﹣2，m）和点B．若y1＜y2，求x的取值范围．
（2）若a＞0，将此抛物线向上平移c个单位（c＞0）得到新抛物线y3，当x＝c时，y3＝0；当0＜x＜c时，y3＞0．试比较ac与1的大小，并说明理由．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列y关于x的函数解析式中，一定为二次函数的是（　　）
A． B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x﹣1 D．y＝2x2﹣2x+1
【点拨】根据二次函数的定义逐个判断即可．
【解析】解：A．不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．当a＝0时，不是二次函数，故本选项符合题意；
C．是一次函数，故本选项不符合题意；
D．是二次函数，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数，叫二次函数．
2．抛物线y＝﹣（x+2）2﹣4的对称轴是（　　）
A．直线x＝﹣2 B．直线x＝2 C．直线x＝﹣4 D．直线x＝4
【点拨】二次函数的顶点式“y＝a（x﹣h）2+k”的顶点为（h，k），对称轴为x＝h，所以可根据题中给出的表达式直接得出结果．
【解析】解：抛物线y＝﹣（x+2）2﹣4已经是顶点式，顶点坐标为（﹣2，﹣4），
∴x＝﹣2为该抛物线的对称轴，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式与图象的关系，掌握如何利用顶点式找到函数图象的特征是解决本题的关键．
3．二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的最大值是（　　）
A．﹣7 B．5 C．0 D．9
【点拨】直接利用配方法得出二次函数的顶点式进而得出答案．
【解析】解：y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，
即二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的最大值是9，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数的最值，正确配方是解题关键．
4．已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
【点拨】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
【解析】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∵a＝﹣3＜0，
∴x＝﹣2时，函数值最大，
又∵﹣3到﹣2的距离比1到﹣2的距离小，
∴y3＜y1＜y2．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．
5．如果将抛物线y＝（x+2）2﹣3平移，使它与抛物线y＝x2+1重合，那么平移的方式可以是（　　）
A．向左平移2个单位，向上平移4个单位
B．向左平移2个单位，向下平移4个单位
C．向右平移2个单位，向上平移4个单位
D．向右平移2个单位，向下平移4个单位
【点拨】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解．
【解析】解：∵抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3），抛物线y＝x2+1的顶点坐标为（0，1），
∴顶点由（﹣2，﹣3）到（0，1）需要向右平移2个单位，向上平移4个单位．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便．
6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③b+2a＝0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤当x＞0时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】利用二次函数的图象和所给的条件解题，通过对称轴直线x＝1，可得到a、b的关系，再结合与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），可得另一个交点坐标，再结合函数图象解决问题即可．
【解析】解：由图象可知，图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，故①正确；
∵对称轴为直线x＝1，
∵与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴x2＝3，故②正确；
∴，即b+2a＝0，故③正确；
由函数图象可得，当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；故④正确．
由图象可知，当x＞0时，y随x增大先增大后减小，故⑤错误．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，熟练理解掌握相应性质，并做到数形结合是解决此问题的关键．
7．某超市以每件10元的价格购进一种文具．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）（15≤x≤26）之间满足y＝﹣2x+60，则销售这种文具每天可得（　　）
A．最大利润150元 B．最大利润128元 C．最小利润150元 D．最小利润128元
【点拨】由题意得：w＝y（x﹣10）＝﹣2（x﹣30）（x﹣10），即可求解．
【解析】解：设利润为w元，
由题意得：w＝y（x﹣10）＝﹣2（x﹣30）（x﹣10），
则抛物线的对称轴为直线x＝（30+10）＝20，
当15≤x≤26时，
抛物线的对称性x＝20时，取得最大值为200，
当x＝26时，w取得最小值为128，
即销售这种文具每天可得最小利润128元，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握销售问题中关于利润的相等关系及二次函数的性质．
8．函数y＝ax+c与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．
【解析】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除A；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除B；
当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除C；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．
9．若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（　　）
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0
【点拨】根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围．
【解析】解：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0
∴k＞﹣1
∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数
∴k≠0
则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．
故选：C．
【点睛】考查二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断．
10．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数（a，b是常数，且a≠0）的图象上有且只有一个完美点，且当﹣1≤x≤m时，函数y＝ax2+bx﹣3的最小值为﹣8，最大值为1，则m的取值范围是（　　）
A．﹣1≤m≤0 B．2≤m≤5 C．m≤5 D．m≥2
【点拨】根据完美点只有一个得到判别式等于0，再根据完美点为，可建立a，b的方程组，解方程组即可得到函数y＝ax2+bx﹣3的解析式，画出函数的图形即可得到答案．
【解析】解：当y＝x时，，
整理得，
根据题意得Δ＝（b﹣1）2+9a＝0，
∵二次函数经过点，
∴，
整理得，
，解方程组得，
，∴函数y＝ax2+bx﹣3的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3，
整理得：y＝﹣（x﹣2）2+1，
函数的图象如下：
∵y＝﹣8时，﹣8＝﹣x2+4x﹣3时，解得x＝﹣1或x＝5，当y＝1时，x＝2，
∴2≤m≤5，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数，一元二次方程根的判别式，二次函数的图象性质，利用待定系数法和根的判别式建立方程求出二次函数解析式作出图象是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．将y＝2x2﹣12x﹣12变为y＝a（x﹣m）2+n的形式 　y＝2（x﹣3）2﹣30　．顶点坐标是 　（3，﹣30）　．
【点拨】利用配方法把二次函数一般式化为顶点式，并写出顶点坐标．
【解析】解：y＝2x2﹣12x﹣12
＝2（x2﹣6x+9）﹣18﹣12
＝2（x﹣3）2﹣30，
顶点坐标为（3，﹣30），
故答案为：y＝2（x﹣3）2﹣30，（3，﹣30）．
【点睛】本题考查的是二次函数的三种形式、顶点坐标，掌握配方法把一般式化为顶点式的一般步骤是解题的关键．
12．如果函数y＝（k﹣3）x+1是二次函数，那么k的值是　0　，二次项系数为　3　．
【点拨】利用二次函数的定义得出k2﹣3k+2＝2，k﹣3≠0，进而求出即可．
【解析】解：∵函数y＝（k﹣3）xk2﹣3k+2+1是关于x的二次函数，
∴k2﹣3k+2＝2，
解得：k1＝0，k2＝3，
∵k﹣3≠0，
∴k≠3，
∴k＝0．
∴y＝﹣3x2+1，
故答案为：0，﹣3．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，得出关于k的等式是解题关键．
13．抛物线y＝x2﹣4x+5，当﹣3≤x≤4时，y的取值范围是 　1≤y≤26　．
【点拨】根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围即可．
【解析】解：∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，函数有最小值1，
当x＝﹣3时，y＝26，当x＝4时，y＝5，
∴当﹣3≤x≤4时，y的取值范围是1≤y≤26；
故答案为：1≤y≤26．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
14．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是　x＜﹣1或x＞3　．
【点拨】根据题意和函数图象中的数据，可以得到不等式ax2﹣mx+c＞n的解集，本题得以解决．
【解析】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴ax2+c＞mx+n的解集是x＜﹣1或x＞3，
∴ax2﹣mx+c＞n的解集是x＜﹣1或x＞3，
故答案为：x＜﹣1或x＞3．
【点睛】本题考查二次函数与不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．如图，小明想用长16米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园ABCD，则矩形ABCD的最大面积是 　32　平方米．
【点拨】设AB为x米，则BC＝（16﹣2x）米，即可求面积
【解析】解：设AB＝x米，则BC＝（16﹣2x）米，
矩形ABCD的面积：S＝x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32
即矩形ABCD的最大面积为32平方米
故答案为：32．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大面积的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝﹣时取得．
16．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0．下列四个结论：
①若抛物线经过点（﹣5，0），则4a+b＝0；
②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；
③若a＞0，则方程ax2+bx+c＝2一定有两个不相等的实数根；
④若A（x1，n），B（x2，n）是抛物线上两点，当x＝x1+x2时，则y＝c．
其中正确的是 　②③④　（填写序号）．
【点拨】①由题意可得，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，即4a﹣b＝0，即①错误；
②若b＝c，则二次函数y＝cx2+bx+a的对称轴为直线：x＝﹣＝﹣，则＝﹣，解得m＝﹣2，即方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；故②正确；
③Δ＝b2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，方程ax2+bx+c＝2一定有两个不相等的实数根，故③正确；
④由题意可知，抛物线的对称轴是直线x＝＝﹣，即x1+x2＝﹣，代入抛物线解析式即可判断④正确．
【解析】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0，
∴（1，0）是抛物线与x轴的一个交点．
①∵抛物线经过点（﹣5，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣2，
∴﹣＝﹣2，即4a﹣b＝0，即①错误；
②若b＝c，则二次函数y＝cx2+bx+a的对称轴为直线：x＝﹣＝﹣，
且二次函数y＝cx2+bx+a过点（1，0），
∴＝﹣，解得m＝﹣2，
∴y＝cx2+bx+a与x轴的另一个交点为（﹣2，0），即方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；故②正确；
③由题意得ax2+bx+c﹣2＝0，且a＞0，a+b+c＝0，
∴Δ＝b2﹣4a（c﹣2）＝（a﹣c）2+8a＞0，
∴方程ax2+bx+c＝2一定有两个不相等的实数根，故③正确；
④∵A（x1，n），B（x2，n）是抛物线上两点，
∴抛物线的对称轴是直线x＝＝﹣，
∴x1+x2＝﹣，
∴当x＝x1+x2时，y＝a（﹣）2+b×（﹣）+c＝c，故④正确．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根与系数的关系，二次函数图象与x轴的交点等问题，掌握相关知识是解题基础．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+4的图象经过点（﹣1，0）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）判断这个二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．
【点拨】（1）把（﹣1，0）代入二次函数解析式求出a的值，即可确定出解析式；
（2）利用二次根式的性质确定出开口方向，顶点坐标以及对称轴即可．
【解析】解：（1）把（﹣1，0）代入二次函数解析式得：4a+4＝0，即a＝﹣1，
则函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
顶点坐标为（1，4），对称轴为直线x＝1．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
18．已知抛物线y＝x2﹣4x+5．
（1）当 　x＜2　时，y随x的增大而减小；
（2）当1≤x≤5时，求函数y的取值范围．
【点拨】（1）求得抛物线的开口方向和对称轴，进而求解；
（2）计算出当x＝1和x＝5对应的函数值，然后根据二次函数的性质解决问题．
【解析】解：（1）∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴当x＜2时，y随x的增大而减小；
故答案为：x＜2；
（2）∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴当x＝2时，y＝1，
当x＝1时，y＝x2﹣4x+5＝2，
当x＝5时，y＝x2﹣4x+5＝10，
∴当1≤x≤5时，函数值y的取值范围为1≤y≤10．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19．已知P（﹣5，m）和Q（3，m）是二次函数y＝2x2+bx+1图象上的两点．
（1）求b的值；
（2）将二次函数y＝2x2+bx+1的图象进行一次平移，使图象经过原点．（写出一种即可）
【点拨】（1）利用P（﹣3，m）和Q（1，m）是二次函数y＝2x2+bx+1图象上的两点，得出图象的对称轴，进而得出b的值；
（2）可以把抛物线与y轴的交点移到原点．
【解析】解：（1）∵P（﹣5，m）和Q（3，m）是二次函数y＝2x2+bx+1图象上的两点，
∴此抛物线对称轴是直线x＝﹣1．
∵二次函数的关系式为y＝2x2+bx+1，
∴有﹣＝﹣1．
∴b＝4．
（2）由（1）知，抛物线解析式为：y＝2x2+4x+1，向下平移1个单位长度．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及图象与x轴交点个数确定方法，利用二次函数的对称性得出对称轴是解题关键．
20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为（3，0）．
（1）求点B的坐标及m的值；
（2）求出抛物线的顶点坐标，并画出此函数的示意图；
（3）结合函数图象直接写出当y＞0时x的取值范围．
【点拨】（1）先把A点坐标代入y＝mx2﹣2mx﹣3求出m得到抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，再解方程x2﹣2x﹣3＝0得B点坐标；
（2）先把解析式配成顶点式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），利用描点法画出二次函数图象；
（3）利用图象写出对应的x的范围．
【解析】解：（1）把A（3，0）代入mx2﹣2mx﹣3＝0得9m﹣6m﹣3＝0，解得m＝1，
抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
所以B点坐标为（﹣1，0）；
（2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
列表如下：
x ..． ﹣1 0 1 2 3 ..．
y ..． 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 ..．
描点、连线，
（3）由函数图象可知，当y＞0时，x＜﹣1或x＞3，即x的取值范围是x＜﹣1或x＞3．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
21．已知：抛物线y＝x2﹣2x+m与y轴交于点C（0，﹣2），点D和点C关于抛物线对称轴对称．
（1）求此抛物线的解析式和点D的坐标；
（2）如果点M是抛物线的对称轴与x轴的交点，求△MCD的周长．
【点拨】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出m值，进而可得出抛物线的解析式，由抛物线的解析式利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴，结合点C的坐标可得出点D的坐标；
（2）求得M点的坐标，然后根据勾股定理求得MC＝MD＝，即可求得△MCD的周长为：2+2．
【解析】解：（1）抛物线y＝x2﹣2x+m与y轴交于点C（0，﹣2），
∴m＝﹣2，
∴此抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣2，
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
∵点D与C关于抛物线的对称轴对称，
∴点D的坐标为（2，﹣2）．
（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝1．
∴M（1，0），
∴MC＝MD＝＝
∵CD＝2，
∴△MCD的周长为：2+2．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的周长，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出m值；（2）利用对称轴，求出点M的坐标．
22．某排球队员站在发球区发球，排球发出后向正前方行进，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间函数的表达式是y＝﹣x2+x+．求：
（1）已知发球点到排球网的水平距离为9m，网高2.43m，排球是否能打过网？
（2）当排球走过的水平距离是多少时，排球距离地面最高？
（3）已知排球场地的长为18m，排球将落在界内还是界外？
【点拨】（1）计算当x＝9时的函数值，根据y值与2.43m的大小关系可得出答案；
（2）将二次函数解析式配方，写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；
（3）计算当x＝18时的函数值，当y＜0时，排球将落在界内；当y＝0时，排球落在边界上；当y＞0时，排球落在界外．
【解析】解：（1）把x＝9代入y＝﹣x2+x+得，
y＝﹣×81×9＝＜2.43，
故排球不能打过网；
（2）∵y＝﹣x2+x+
＝﹣（x﹣）2+，
∴当排球走过的水平距离是m时，排球距离地面最高m；
（3）当x＝18时，
y＝﹣×182+×18+＝﹣＜0，
∴排球落在界内．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的值与排球的高度的关系及二次函数的性质是解题的关键．
23．某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50%．在销售过程中发现：当销售单价为35元时，每天可售出350件，若销售单价每提高5元，则每天销售量减少50件．设销售单价为x元（销售单价不低于35元）
（1）当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为多少件？
（2）求这种儿童玩具每天获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；
（3）当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
【点拨】（1）根据儿童玩具进价为每件30元，每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50%，求出x的取值范围；
（2）根据总利润＝每件利润×销售量列出函数解析式；
（3）根据（2）中解析式，由函数的性质和x的取值范围求出最大值．
【解析】解：（1）∵x≤30×（1+50%）＝45，
∴x≤45，
当x＝45时，每天的销售量为350﹣50×＝250（件），
∴当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为250件；
（2）根据题意得，w＝（350﹣×50）（x﹣30）＝（﹣10x+700）（x﹣30）＝﹣10x2+1000x﹣21000，
∴这种儿童玩具每天获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式为w＝﹣10x2+1000x﹣21000；
（3）∵w＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝50，
∵x≤45，
∴当x＝45时，w最大＝﹣10×（45﹣50）2+4000＝3750，
答：当销售单价为45时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3750元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24．已知抛物线．
（1）若此抛物线与x轴只有一个公共点且过点．
①求此抛物线的解析式；
②直线y2＝﹣x+k与该抛物线交于点A（﹣2，m）和点B．若y1＜y2，求x的取值范围．
（2）若a＞0，将此抛物线向上平移c个单位（c＞0）得到新抛物线y3，当x＝c时，y3＝0；当0＜x＜c时，y3＞0．试比较ac与1的大小，并说明理由．
【点拨】（1）①由抛物线与x轴只有一个公共点得到Δ＝b2﹣4ac＝b2＝0求出b＝0，然后抛物线过点．把坐标代入函数解析式即可求解；
②首先把A的坐标代入二次函数解析式中求出m，然后联立两个解析式解方程组得到A、B两点坐标即可求解；
（2）ac≤1，首先设此抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，接着把（c，0）代入解析式得到﹣b＝ac+1，然后利用函数图象的示意图即可得到﹣≥c，即可得到ac≤1．
【解析】解：（1）①∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴Δ＝b2﹣4ac＝b2＝0，
∴b＝0，
又∵抛物线过点．
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式y1＝﹣x2；
②当x＝﹣2时，y＝﹣×（﹣2）2＝﹣2，
∴A（﹣2，﹣2），
∴﹣2＝2+k，
∴k＝﹣4，
∴y2＝﹣x﹣4，
联立方程组，
解得或，
∴A（﹣2，﹣2），B（4，﹣8），
∴当y1＜y2时，x＜﹣2或x＞4；
（2）ac≤1，理由：
由题知a＞0，将此抛物线y＝ax2+bx向上平移c个单位（c＞0），
其解析式为y＝ax2+bx+c，且过点（c，0），
∴ac2+bc+c＝0，
∴ac+b+1＝0，
∴﹣b＝ac+1，
且当x＝0时，y＝c，
对称轴：x＝﹣，抛物线开口向上，画草图如右所示．
由题知，当0＜x＜c时，y＞0．
∴﹣≥c，
∴﹣b≥2ac，
∴ac+1≥2ac，
∴ac≤1；
【点睛】此题分别考查了抛物线与x轴的交点、抛物线与直线的交点坐标及抛物线与不等式的关系，综合性比较强，对于学生的能力要求比较高．
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