第1章 二次函数 单元检测能力提升卷（含解析）

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第1章 二次函数 单元检测能力提升卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．二次函数y＝（x﹣3）（x+5）的图象的对称轴是（　　）
A．直线x＝3 B．直线x＝﹣5 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝1
2．关于二次函数y＝﹣x2+2x﹣3的图象，下列说法正确的是（　　）
A．对称轴是直线x＝﹣1 B．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小
C．顶点坐标为（﹣1，﹣2） D．图象与x轴没有交点
3．将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（　　）
A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x+2）2﹣3 C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x﹣2）2+3
4．若函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx﹣5＝0的根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
5．已知函数y1＝ax2+bx+c与函数y2＝kx+b的图象大致如图所示，若y1＜y2．则自变量x的取值范围是（　　）
A．﹣2＜x＜ B．x＞2或x＜﹣ C．x＜﹣2或x＞ D．﹣＜x＜2
6．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … ﹣3 m 1 0 ﹣3 …
有以下几个结论：
①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上； ②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣2；
③关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为﹣3和﹣1； ④当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜﹣1．
其中正确的是（　　）
A．①④ B．②④ C．②③ D．③④
7．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（　　）
A．小球的飞行高度不能达到15m B．小球的飞行高度可以达到25m
C．小球从飞出到落地要用时4s D．小球飞出1s时的飞行高度为10m
8．在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的四个点：A（0，3），B（1，0），C（3，0），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1
9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论正确的个数为（　　）
①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④am2﹣a+bm+b＞0（m为任意实数）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．若当﹣4≤x≤2时，二次函数的最小值为0，则m＝（　　）
A． B． C． D．或
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．已知y＝（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为 　 　．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为 　 　．
13．抛物线y＝4x2+2x+m的顶点在x轴上，则m＝　 　．
14．一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是4m时，拱顶距离水面是2m．当水面下降1m后，水面宽度是 　 　m．（结果保留根号）
15．已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣2；当x≤0时，函数的最小值为﹣1，则bc的值为 　 　．
16．已知二次函数．
（1）若点（b﹣2，c）在该函数图象上，则b的值为 　 　．
（2）若点（b﹣2，y1），（2b，y2），（2b+6，y3）都在该函数图象上，且y1＜y2＜y3，则b的取值范围为 　 　．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．已知关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象过点（﹣1，0），（3，0）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求当﹣2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差．
18．已知，点（﹣2，p），（1，q）在二次函数y＝x2+mx﹣3的图象上．
（1）当p＝q时，求此时二次函数的表达式．
（2）若p＜q时，求m的取值范围．
19．把一个足球垂直地面向上踢，t秒后该足球的高度h米适用公式h＝﹣5t2+at，已知当足球踢出后4秒回到地面．
（1）求a的值．
（2）若该足球踢出t秒后和（t+2）秒后，足球的高度相同，求t的值．
（3）是否有可能该足球踢出（t+1）秒后的高度比踢出t秒后的高度高18米？通过计算说明．
20．某商场将进价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．
（1）请写出每月售出书包的利润y元与每个书包涨价x元间的函数关系式；
（2）设每月的利润为10000的利润是否为该月最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时书包的售价应定为多少元；
（3）请分析并回答售价在什么范围内商场就可获得利润．
21．如图，抛物线y＝x2+2x+c经过点A（0，3），将该抛物线平移后，点A（0，3）到达点B（4，1）的位置．
（1）求平移后抛物线的解析式，并在同一平面直角坐标系中画出平移后的抛物线；
（2）过点B画平行于y轴的直线交原抛物线于点C，求线段BC的长；
（3）若平行于y轴的直线l：x＝m与两条抛物线的交点是P，Q，当线段PQ的长度超过6时，求m的取值范围．
22．已知二次函数y＝x2﹣2ax﹣3（a为常数）．
（1）若该二次函数的图象经过点（2，﹣3）．
①求a的值．
②自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？
（2）若点A（m，0），B（n，0），C（m+1，p），D（n+1，q）均在该二次函数的图象上，求证：p+q＝2．
23．【问题背景】
水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭．
【实验操作】
为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，并确定了函数表达式为：x＝3t．同时也收集了飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示：
飞行时间t/s 0 2 4 6 8 …
飞行高度y/m 0 10 16 18 16 …
【建立模型】
任务1：求y关于t的函数表达式．
【反思优化】
图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为PQ），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段AB为水火箭回收区域，已知AP＝42m，．
任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为0m）时，求水火箭飞行的水平距离．
任务3：当水火箭落到AB内（包括端点A，B），求发射台高度PQ的取值范围．
24．已知二次函数的解析式为y＝﹣x2+2mx﹣m2+4．
（1）求证：该二次函数图象与x轴一定有2个交点；
（2）若m＝2，点M（n，y1），N（n+2，y2）都在该二次函数的图象上，且y1y2＜0，求n的取值范围；
（3）当m﹣3≤x≤5时，函数最大值与最小值的差为8，求m的值．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．二次函数y＝（x﹣3）（x+5）的图象的对称轴是（　　）
A．直线x＝3 B．直线x＝﹣5 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝1
【点拨】由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标，然后利用对称性得到对称轴，
【解析】解：∵y＝（x﹣3）（x+5），
∴函数图象与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣5，0），
∴函数图象的对称轴为直线x＝＝﹣1，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象，会由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标是解题的关键．
2．关于二次函数y＝﹣x2+2x﹣3的图象，下列说法正确的是（　　）
A．对称轴是直线x＝﹣1 B．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小
C．顶点坐标为（﹣1，﹣2） D．图象与x轴没有交点
【点拨】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标，进而求解．
【解析】解：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，
∴二次函数的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），
故A，C错误，不符合题意；
∵﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∵顶点坐标为（1，﹣2），
∴图象与x轴没有交点，
故D正确，符合题意；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
故B错误，不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
3．将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（　　）
A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x+2）2﹣3 C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x﹣2）2+3
【点拨】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解析】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：y＝2（x﹣2）2；
由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：y＝2（x﹣2）2﹣3．
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．
4．若函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx﹣5＝0的根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【点拨】根据函数图象可知该函数有最小值﹣3，故当y＝5时，存在两个不同的x使其成立，从而可以得到一元二次方程ax2+bx﹣5＝0的根的情况．
【解析】解：由图象可得，
函数y＝ax2+bx的最小值是﹣3，
∴存在两个不同的x使得ax2+bx＝5，
∴一元二次方程ax2+bx﹣5＝0有两个不相等的实数根，
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
5．已知函数y1＝ax2+bx+c与函数y2＝kx+b的图象大致如图所示，若y1＜y2．则自变量x的取值范围是（　　）
A．﹣2＜x＜ B．x＞2或x＜﹣ C．x＜﹣2或x＞ D．﹣＜x＜2
【点拨】根据图象交点横坐标及图象求解．
【解析】解：由图象可得当﹣2＜x＜时，抛物线在直线下方，
∴﹣2＜x＜时，y1＜y2．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是通过图象交点求解，而不是解不等式方程．
6．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … ﹣3 m 1 0 ﹣3 …
有以下几个结论：
①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上； ②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣2；
③关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为﹣3和﹣1； ④当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜﹣1．
其中正确的是（　　）
A．①④ B．②④ C．②③ D．③④
【点拨】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
【解析】解：由表格可知，
抛物线的对称轴是直线x＝＝﹣2，故②正确；
抛物线的顶点坐标是（﹣2，1），有最大值，故抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，故①错误；
由抛物线关于直线x＝﹣2对称知，当y＝0时，x＝﹣1或x＝﹣3，故方程ax2+bx+c＝0的根为﹣3和﹣1，故③正确；
当y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜﹣1，故④错误，
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（　　）
A．小球的飞行高度不能达到15m B．小球的飞行高度可以达到25m
C．小球从飞出到落地要用时4s D．小球飞出1s时的飞行高度为10m
【点拨】直接利用h＝15以及结合配方法求出二次函数最值分别分析得出答案．
【解析】解：A、当h＝15时，15＝20t﹣5t2，
解得：t1＝1，t2＝3，
故小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误；
B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，
故t＝2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误；
C、∵h＝0时，0＝20t﹣5t2，
解得：t1＝0，t2＝4，
∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项正确；
D、当t＝1时，h＝15，
故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确解方程是解题关键．
8．在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的四个点：A（0，3），B（1，0），C（3，0），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1
【点拨】比较a的大小，通过正负先排除B和D，根据|a|越大，开口越小，确定过点A，点B，点D三点的二次函数的a的值最大．
【解析】解：由图可知，
过点A，C，D和过点B，C，D的二次函数开口向下，a＜0，故排除A和B，
∵|a|越大，开口越小，
∴当a＞0时，开口小的那个a最大，
由图可知，过点A，点B，点D三点的二次函数的a的值最大．
把A（0，3），B（1，0），D（2，3）代入y＝ax2+bx+c得，
解得a＝3．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象和性质，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质．
9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论正确的个数为（　　）
①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④am2﹣a+bm+b＞0（m为任意实数）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】根据二次函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标以及最大（小）值，对称性进行判断即可．
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴x＝﹣＝﹣1＜0，
∴a、b同号，而a＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，
因此①正确；
由于抛物线过点（1，0）点，
∴a+b+c＝0，
又∵对称轴为x＝﹣1，即﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴a+2a+c＝0，
即3a+c＝0，
而a＞0，
∴2a+c＜0，
因此②正确；
由图象可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），而对称轴为x＝﹣1，由对称性可知，
抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，
因此③正确；
由二次函数的最小值可知，
当x＝﹣1时，y最小值＝a﹣b+c，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
即am2+bm﹣a+b≥0，
因此④不正确；
综上所述，正确的结论有①②③，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象和性质，掌握二次函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标以及最值与系数a、b、c的关系是正确判断的前提．
10．若当﹣4≤x≤2时，二次函数的最小值为0，则m＝（　　）
A． B． C． D．或
【点拨】分两组情况讨论，当m≤2时，则当x＝m时，有最小值求得m＝；当m＞2时，则x＝2时，y有最小解得m＝＜2，即可求得m＝．
【解析】解：∵y＝x2﹣mx+1＝（x﹣m）2+（﹣m2+1），
∴图象f的对称轴为直线x＝m，
当m≤2时，抛物线开口向上，
∴当x＝m时，y有最小值，y最小＝﹣m2+1＝0，
解得m＝，
当m＞2时，抛物线开口向上，在﹣4≤x≤2时，y随x的增大而减小，
∴x＝2时，y有最小值，y最小＝（2﹣m）2+（﹣m2+1）＝0，
解得m＝（不合题意，舍去），
综上，m＝．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的最值、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．已知y＝（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为 　2　．
【点拨】根据形如y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，可得答案．
【解析】解：∵y＝（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，
∴|m|＝2且m+2≠0．
解得m＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义得出关于m的方程是解题的关键．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为 　x＝1或x＝3　．
【点拨】根据抛物线的轴对称性质得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，由此求得关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根．
【解析】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为x＝1或x＝3，
故答案为：x＝1或x＝3．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是求得抛物线与x轴的两个交点坐标．
13．抛物线y＝4x2+2x+m的顶点在x轴上，则m＝　　．
【点拨】根据抛物线y＝4x2+2x+m的顶点在x轴上，可知顶点的纵坐标是0，即＝0，代入数据计算即可得到m的值．
【解析】解：∵抛物线y＝4x2+2x+m的顶点在x轴上，
∴＝0，
解得，m＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
14．一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是4m时，拱顶距离水面是2m．当水面下降1m后，水面宽度是 　2　m．（结果保留根号）
【点拨】根据题意，建立合适的平面直角坐标系，然后求出抛物线的解析式，再将y＝﹣3代入函数解析式，求出x的值，然后即可求得水面下降1m后，水面宽度．
【解析】解：建立平面直角坐标系，如图所示，
设该抛物线的解析式为y＝ax2，
由题意可知：点（2，﹣2）在该函数图象上，
∴﹣2＝a×22，
解得a＝﹣，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2，
当y＝﹣3时，﹣3＝﹣x2，
解得x1＝﹣，x2＝，
∴当水面下降1m后，水面宽度是：﹣（﹣）＝+＝2（m），
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
15．已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣2；当x≤0时，函数的最小值为﹣1，则bc的值为 　2　．
【点拨】根据题意可得二次函数的对称轴位于y轴的右侧，抛物线开口向上，从而得到当x＝0时，y＝c＝﹣1；时，函数值为﹣2，据此即可解题．
【解析】解：∵二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣2；当x≤0时，函数的最小值为﹣1，．
∴二次函数的对称轴位于y轴的右侧，抛物线开口向上，如图．
∴，则b＜0，
∵当x≤0时，函数的最小值为﹣1，
∴当x＝0时，y＝c＝﹣1，
∵x＞0时，函数的最小值为﹣2，
∴时，函数值为﹣2，
即．
解得：b＝﹣2（因b＜0，故另一解b＝2不合题意，舍去），
∴bc＝（﹣2）×（﹣1）＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
16．已知二次函数．
（1）若点（b﹣2，c）在该函数图象上，则b的值为 　2或﹣2　．
（2）若点（b﹣2，y1），（2b，y2），（2b+6，y3）都在该函数图象上，且y1＜y2＜y3，则b的取值范围为 　b＞2或﹣3＜b＜﹣2　．
【点拨】（1）把点（b﹣2，c）代入即可求出b的值；
（2）根据题意即可得到|b﹣2﹣b|＜|2b﹣b|＜|2b+6﹣b|，即2＜|b|＜|b+6|，解不等式求得即可．
【解析】解：（1）把点（b﹣2，c）代入，得c＝（b﹣2）2﹣b（b﹣2）+c，
∴b＝±2，
故答案为：2或﹣2；
（2）二次函数的图象开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝b，
∵点（b﹣2，y1），（2b，y2），（2b+6，y3）都在该函数图象上，且y1＜y2＜y3，
∴|b﹣2﹣b|＜|2b﹣b|＜|2b+6﹣b|，即2＜|b|＜|b+6|，
当b＞0时，b＞2，
当﹣6＜b＜0时，﹣3＜b＜﹣2，
当b＜﹣6时，不合题意，
∴b＞2或﹣3＜b＜﹣2．
故答案为：b＞2或﹣3＜b＜﹣2．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，熟悉二次函数的图象和性质是解题的关键．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．已知关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象过点（﹣1，0），（3，0）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求当﹣2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差．
【点拨】（1）将（﹣1，0）、（3，0）代入y＝x2+bx+c求解．
（2）根据抛物线开口方向，将函数解析式化为顶点式可得x＝1时，y取最小值，x＝﹣2时y取最大值，进而求解．
【解析】解：（1）将（﹣1，0）、（3，0）代入y＝x2+bx+c得，
∴，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣4），
∴x＝1时，y最小值为﹣4，
∵1﹣（﹣2）＞2﹣1，
∴x＝﹣2时，y＝4+4﹣3＝5为最大值，
∴当﹣2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为5﹣（﹣4）＝9．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
18．已知，点（﹣2，p），（1，q）在二次函数y＝x2+mx﹣3的图象上．
（1）当p＝q时，求此时二次函数的表达式．
（2）若p＜q时，求m的取值范围．
【点拨】（1）把点（﹣2，p），（1，q）代入y＝x2+mx﹣3，利用p＝q，构建方程求出m即可解决问题．
（2）分别表示出p、q，根据p＜q进行计算即可．
【解析】解：（1）点（﹣2，p），（1，q）在二次函数y＝x2+mx﹣3的图象上，
∴p＝4﹣2m﹣3＝1﹣2m，q＝1+m﹣3＝m﹣2，
∵p＝q，
∴1﹣2m＝m﹣2，
解得m＝1，
∴二次函数的表达式y＝x2+x﹣3；
（2）由（1）知：p＝1﹣2m，q＝m﹣2，
∵p＜q，
∴1﹣2m＜m﹣2，
∴m＞1，
∴m的取值范围是m＞1．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19．把一个足球垂直地面向上踢，t秒后该足球的高度h米适用公式h＝﹣5t2+at，已知当足球踢出后4秒回到地面．
（1）求a的值．
（2）若该足球踢出t秒后和（t+2）秒后，足球的高度相同，求t的值．
（3）是否有可能该足球踢出（t+1）秒后的高度比踢出t秒后的高度高18米？通过计算说明．
【点拨】（1）取t＝4，h＝0代入公式可得a的值；
（2）易得抛物线的解析式，进而可得抛物线的对称轴；根据足球踢出t秒后和（t+2）秒后，足球的高度相同可得对称轴的另一种表示形式，整理可得t的值；
（3）求得自变量为t+1和t时的函数值，相减为18，看求得的t是否符合题意即可．
【解析】解：（1）由题意得：当t＝4时，h＝0．
∴0＝﹣5×42+4a．
解得：a＝20；
（2）由（1）得：h＝﹣5t2+20t．
∴抛物线的对称轴为：t＝﹣＝2．
∵t秒后和（t+2）秒后，足球的高度相同，
∴＝2．
解得：t＝1；
（3）由题意得：﹣5（t+1）2+20（t+1）﹣（﹣5t2+20t）＝18．
﹣5（t2+2t+1））+20t+20+5t2﹣20t﹣18＝0．
解得：t＝﹣（不合题意，舍去）．
∴没有可能该足球踢出（t+1）秒后的高度比踢出t秒后的高度高18米．
【点睛】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：二次函数的对称轴可以表示为：直线x＝﹣；若二次函数上有两点分别为（x1，y），（x2，y），那么二次函数的对称轴也可以表示为：直线x＝．
20．某商场将进价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．
（1）请写出每月售出书包的利润y元与每个书包涨价x元间的函数关系式；
（2）设每月的利润为10000的利润是否为该月最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时书包的售价应定为多少元；
（3）请分析并回答售价在什么范围内商场就可获得利润．
【点拨】（1）根据设每个书包涨价x元，由这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个，列出函数关系式，
（2）用配方法求出二次函数的最大值即可，
（3）令二次函数等于0，利用二次函数的性质解得x的取值范围．
【解析】解：（1）∵每个书包涨价x元，
∴y＝（40﹣30+x）（600﹣10x），
＝﹣10x2+500x+6000，
答：y与x的函数关系式为：y＝﹣10x2+500x+6000；
（2）∵y＝﹣10x2+500x+6000
＝﹣10（x2﹣50x）+6000，
＝﹣10（x2﹣50x+252）+6250+6000
＝﹣10（x﹣25）2+12250，
∴当x＝25时，y 有最大值12250，
即当书包售价为65元时，月最大利润为12250元，10000元不是月最大利润；
（3）解方程﹣10x2+500x+6000＝0
得，x1＝60，x2＝﹣10，
即当涨价60元时和降价10元时利润y 的值为0，
由该二次函数的图象性质可知，
当涨价大于60元时以及降价超过10元时利润y 的值为负，
所以书包售价在大于30元且低于100元时商场就有利润．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，准确分析题意，列出y与x之间的二次函数关系式是解题关键．
21．如图，抛物线y＝x2+2x+c经过点A（0，3），将该抛物线平移后，点A（0，3）到达点B（4，1）的位置．
（1）求平移后抛物线的解析式，并在同一平面直角坐标系中画出平移后的抛物线；
（2）过点B画平行于y轴的直线交原抛物线于点C，求线段BC的长；
（3）若平行于y轴的直线l：x＝m与两条抛物线的交点是P，Q，当线段PQ的长度超过6时，求m的取值范围．
【点拨】（1）由抛物线y＝x2+2x+c经过点A（0，3），求得y＝x2+2x+3＝（x+2）2+1，然后根据平移的规律即可求得平移后抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1，画出函数图象即可；
（2）先求得C的坐标，然后根据B、C的坐标即可求得BC，
（3）由题意得|m2+2m+3﹣（m﹣2）2+1|＞6，解不等式即可．
【解析】解：（1）∵抛物线y＝x2+2x+c经过点A（0，3），
∴c＝3，
∴y＝x2+2x+3＝（x+2）2+1，
由题意可知，抛物线向右平移4个单位，向下平移2个单位，
∴平移后抛物线的解析式为y＝（x+2﹣4）2+1﹣2，即y＝（x﹣2）2﹣1，
如图
；
（2）把x＝4代入y＝x2+2x+3得，y＝×16+2×4+3＝19，
∴C（4，19），
∴BC＝19﹣1＝18；
（3）由题意得|m2+2m+3﹣（m﹣2）2+1|＞6，
整理得|4m+2|＞6，
解得m＞1或m＜﹣2．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，二次函数的图象和性质，能够理解题意是解题的关键.
22．已知二次函数y＝x2﹣2ax﹣3（a为常数）．
（1）若该二次函数的图象经过点（2，﹣3）．
①求a的值．
②自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？
（2）若点A（m，0），B（n，0），C（m+1，p），D（n+1，q）均在该二次函数的图象上，求证：p+q＝2．
【点拨】（1）①依据题意，由二次函数y＝x2﹣2ax﹣3的图象经过点（2，﹣3），从而4﹣4a﹣3＝﹣3，计算即可得解；
②依据题意，由①得，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，又a＝1＞0，从而可以判断得解；
（2）依据题意，由点A（m，0），B（n，0），可得抛物线的对称轴是直线x＝＝a，故抛物线为y＝x2﹣（m+n）x﹣3，又C（m+1，p），D（n+1，q），可得p＝（m+1）2﹣（m+n）（m+1）﹣3＝m﹣n﹣mn﹣2，q＝（n+1）2﹣（m+n）（n+1）﹣3＝n﹣m﹣mn﹣2，进而可得p+q＝﹣2mn﹣4，再结合A（m，0）在抛物线上，求出mn＝﹣3，最后计算可以得解．
【解析】（1）解：①由题意，∵二次函数y＝x2﹣2ax﹣3的图象经过点（2，﹣3），
∴4﹣4a﹣3＝﹣3．
∴a＝1．
②由①得，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
又a＝1＞0，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大．
（2）证明：由题意，∵点A（m，0），B（n，0），
∴抛物线的对称轴是直线x＝＝a．
∴抛物线为y＝x2﹣（m+n）x﹣3．
又C（m+1，p），D（n+1，q），
∴p＝（m+1）2﹣（m+n）（m+1）﹣3＝m﹣n﹣mn﹣2，q＝（n+1）2﹣（m+n）（n+1）﹣3＝n﹣m﹣mn﹣2．
∴p+q＝﹣2mn﹣4．
又点A（m，0）在抛物线上，
∴m2﹣（m+n）m﹣3＝0．
∴mn＝﹣3．
∴p+q＝﹣2×（﹣3）﹣4＝2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
23．【问题背景】
水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭．
【实验操作】
为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，并确定了函数表达式为：x＝3t．同时也收集了飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示：
飞行时间t/s 0 2 4 6 8 …
飞行高度y/m 0 10 16 18 16 …
【建立模型】
任务1：求y关于t的函数表达式．
【反思优化】
图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为PQ），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段AB为水火箭回收区域，已知AP＝42m，．
任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为0m）时，求水火箭飞行的水平距离．
任务3：当水火箭落到AB内（包括端点A，B），求发射台高度PQ的取值范围．
【点拨】任务1：易得抛物线的顶点坐标为（6，18），用顶点式设出抛物线解析式，把（0，0）代入后可求得a的值，即可求得抛物线解析式；
任务2：用含x的式子表示出t，代入任务1得到的函数解析式可得y关于x的函数解析式，水火箭落地，那么高度为0，函数值取0可求得相应的x的值，找到符合题意的解即可；
任务3：设PQ的长度为c．那么水火箭的抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+c．把点A、B的坐标代入函数解析式可得c的值，进而可得c也就是PQ的取值范围．
【解析】解：任务1：∵二次函数经过点（4，16），（8，16），
∴抛物线的顶点坐标为（6，18）．
设抛物线解析式为：y＝a（t﹣6）2+18．
∵抛物线经过点（0，0），
∴36a+18＝0．
解得：a＝﹣．
∴y关于t的函数表达式为：y＝﹣（t﹣6）2+18；
任务2：∵x＝3t，
∴t＝．
∴y＝﹣（﹣6）2+18
＝﹣x2+2x．
当水火箭落地（高度为0m）时，﹣x2+2x＝0．
解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝36．
答：水火箭飞行的水平距离为36米；
任务3：设PQ的长度为c．
∴水火箭的抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+c．
①当抛物线经过点A时．
∵AP＝42m，
∴点A的坐标为（42，0）．
∴﹣×422+2×42+c＝0．
解得：c＝14．
②当抛物线经过点B时．
∵AP＝42m，．
∴BP＝（18+18）m．
∴点B的坐标为（18+18，0）．
∴﹣×（18+18）2+2×（18+18）+c＝0．
解得：c＝18．
∵水火箭落到AB内（包括端点A，B），
∴14m≤c≤18m．
∴14m≤PQ≤18m．
答：发射台高度PQ的取值范围为：14m≤PQ≤18m．
【点睛】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：二次函数经过点（x1，y），（x2，y），抛物线的对称轴为直线x＝；二次函数上下平移，只改变常数项，上加下减．
24．已知二次函数的解析式为y＝﹣x2+2mx﹣m2+4．
（1）求证：该二次函数图象与x轴一定有2个交点；
（2）若m＝2，点M（n，y1），N（n+2，y2）都在该二次函数的图象上，且y1y2＜0，求n的取值范围；
（3）当m﹣3≤x≤5时，函数最大值与最小值的差为8，求m的值．
【点拨】（1）利用一元二次方程判别式判断抛物线与x轴一定有2个交点即可；
（2）先求出抛物线图象与x轴的交点为（0，0）和（4，0），根据条件列出关于n的两个不等式组，解出n的范围即可；
（3）根据条件得到抛物线的对称轴为直线x＝m，分三种情况讨论函数最大值与最小值的差为8，求出m值即可．
【解析】（1）证明：抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+4中，令y＝0，则抛物线转化成二次方程﹣x2+2mx﹣m2+4＝0，
∵a＝﹣1，b＝2m，c＝4﹣m2，
Δ＝b2﹣4ac＝4m2﹣4×（﹣1）×（4﹣m2）＝4m2+16﹣4m2＝16＞0，
∴该二次函数图象与x轴一定有2个交点；
（2）∵m＝2，
∴y＝﹣x2+4x，
令y＝0，则﹣x2+4x＝0，即x1＝0，x2＝4，
∴抛物线图象与x轴的交点为（0，0）和（4，0），
∵点M（n，y1），N（n+2，y2）都在该二次函数的图象上，且y1y2＜0，
∴①，即﹣2＜n＜0，②，即2＜n＜4，
综上所述，﹣2＜n＜0或2＜n＜4，
（3）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+4＝﹣（x﹣m）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝m，
①若m＜，即m＜2，
则当x＝m时，ymax＝4，当x＝5时，ymin＝﹣（5﹣m）2+4，
∴4﹣[﹣（5﹣m）2+4]＝8，
∴m1＝5+2（舍去），m2＝5﹣2（舍去），
②若2≤m≤5，则当x＝m时，ymax＝4，当x＝m﹣3时，ymin＝﹣5，
∵4﹣（﹣5）＝9≠8，不符合题意，舍去；
③若5＜m≤8时，则当x＝5时，ymax＝﹣（5﹣m）2+4，当x＝m﹣3时，ymin＝﹣5，
∴﹣（5﹣m）2+4﹣（﹣5）＝8，
∴m1＝6，m2＝4（舍去），
综上所述，m＝6．
【点睛】本题考查了二次函数最值，熟练掌握分类讨论是解答本题的关键．
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