第2章 有理数的运算 单元检测能力提升卷（含解析）

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第2章 有理数的运算 单元检测能力提升卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．如果a和2023是互为相反数，则a的倒数是（　　）
A． B．2023 C． D．﹣2023
2．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（　　）
A．2.15×107 B．0.215×108 C．2.15×106 D．21.5×106
3．下列计算正确的是（　　）
A．﹣3﹣1＝﹣2 B． C． D．
4．在下列各数：﹣（+5），﹣12，（﹣）2，﹣（﹣2）2，﹣（﹣1）2021，﹣|﹣3|中，负数有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
5．计算：＝（　　）
A． B． C． D．
6．下列说法错误的是（　　）
A．倒数和它本身相等的数，只有1和﹣1 B．相反数与本身相等的数只有0
C．立方等于它本身的数只有0、1和﹣1 D．绝对值等于本身的数是正数
7．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．24﹣（4×32）＝24﹣4×6＝0
8．已知|x|＝5，|y|＝2，且|x+y|＝﹣x﹣y，则x﹣y的值为（　　）
A．±3 B．±3或±7 C．﹣3或7 D．﹣3或﹣7
9．有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（　　）
①b＜0＜a；②|a|﹣|b|＞0；③ab＞0；④a﹣b＞a+b．
A．①② B．①④ C．②③ D．①③
10．对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图1是一个幻方的图案，其中9个格中的点数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是15．如图2是一个没有填完整的幻方，如果它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等，那么正中间的方格中的数字为（　　）
A．5 B．1 C．0 D．﹣1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．某市某天上午的温度是﹣5℃，中午上升了3℃，则中午的温度是 　 　℃．
12．填空：﹣22＝　 　；（﹣2）2＝　 　．
13．大于﹣3.5而小于3的所有非正整数之和是 　 　．
14．若实数a，b满足（a+1）2+|b﹣3|＝0，则a+b＝　 　．
15．在有理数范围内定义运算“ ”，其计算规则为1 2＝12﹣22＝﹣3，（﹣1） 3＝（﹣1）2﹣32＝﹣8．
（1）计算：（﹣3） （﹣2）＝　 　；
（2）计算：（﹣4） [3 （﹣5）]＝　 　．
16．已知a、b、c为非零有理数，请你探究以下问题：
（1）当a＞0时，＝　 　；
（2）若a+b+c＝0且abc＜0，那么的值为 　 　．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．计算：
（1）2+（﹣9）﹣（﹣3）+5；
（2）﹣24÷（﹣4）×（﹣）；
（3）；
（4）﹣32﹣（5﹣7）×6+（﹣2）3÷8．
18．利用运算律进行简便计算：
（1）102×（﹣15）；
（2）．
19．规定一种新运算“※”如下：a※b＝（a+2）×3﹣b．如：3※5＝（3+2）×3﹣5＝10．根据此规定解答下列两题：
（1）求7※（﹣3）的值；
（2）7※（﹣3）与（﹣3）※7的值相等吗？请计算说明．
20．阅读下面解题过程：
计算：
解：原式＝（第一步）＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步）＝（第三步）
回答：
（1）上面解题过程中有两个错误，第一处是第 　 　步，错误的原因是 　 　；
（2）写出正确的解法．
21．已知a是最大的负整数，b是正数，|﹣c|＝2，在数轴上，b、c对应的两点之间的距离与a对应的点到原点的距离相等，且b＜c．
（1）a＝ 　 　，b＝ 　 　，c＝ 　 　；
（2）求a﹣b÷a+c的值；
（3）要使算式b﹣a□c2的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为 　 　．
A．+B．﹣C．×D．÷
22．阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程．
解：设S＝1+2+3+ +100，①
则S＝100+99+98+ +1，②
①+②得2S＝101+101+101+ +101．
所以2S＝100×101，S＝（100×101）÷2＝5050，
所以1+2+3+ +100＝5050．
后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．
请类比以上做法，解答下列问题：
（1）计算：1+2+3+ +1000；
（2）计算：100+101+102+ +200．
23．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有三点A，B，C分别表示三个不同的有理数，其中点A到点B的距离为3个单位长度，点B到点C的距离为8个单位长度，设点A，B，C所表示的三个有理数的和是m．
（1）若以A为原点，则数轴上点B所表示的数是 　 　；若以B为原点，则m的值为 　 　；
（2）若以C为原点，再添上一个有理数n，使得这四个有理数的和为0，求n的值；
（3）若原点在图中数轴上，且点B到原点的距离为4个单位长度，求m的值．
24．【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方、比加2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把记作：a ，读作“a的n次方”，特别地，规定：a①＝a．
【初步探究】（1）直接写出计算结果：2023②＝ 　 　；
（2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有 　 　：（横线上填写序号）
A．任何非零数的圈2次方都等于1
B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数
C．圈n次方等于它本身的数是1或﹣1
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式：a ＝ 　 　；
（4）计算：．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如果a和2023是互为相反数，则a的倒数是（　　）
A． B．2023 C． D．﹣2023
【点拨】先根据相反数的定义求出a的值，再根据倒数的定义求出结果即可．
【解析】解：∵a和2023是互为相反数，
∴a＝﹣2023，
∴a的倒数是，
故选：C．
【点评】本题考查了相反数、倒数，熟练掌握这两个定义是解题的关键．
2．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（　　）
A．2.15×107 B．0.215×108 C．2.15×106 D．21.5×106
【点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】解：将21500000用科学记数法表示为：2.15×107．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列计算正确的是（　　）
A．﹣3﹣1＝﹣2 B． C． D．
【点拨】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解析】解：﹣3﹣1＝﹣4，故选项A错误，不符合题意；
﹣2×（﹣）＝1，故选项B正确，符合题意；
16÷（﹣）＝16×（﹣）＝﹣12，故选项C错误，不符合题意；
﹣＝﹣，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4．在下列各数：﹣（+5），﹣12，（﹣）2，﹣（﹣2）2，﹣（﹣1）2021，﹣|﹣3|中，负数有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【点拨】根据相反数、有理数的乘方、绝对值、负数的定义解决此题．
【解析】解：∵﹣（+5）＝﹣5＜0，﹣12＝﹣1＜0，（﹣）2＝＞0，﹣（﹣2）2＝﹣4＜0，﹣（﹣1）2021＝1＞0，﹣|﹣3|＝﹣3＜0，
∴负数有﹣（+5），﹣12，﹣（﹣2）2，﹣|﹣3|，共4个．
故选：B．
【点评】本题主要考查相反数、有理数的乘方、绝对值、负数，熟练掌握相反数、有理数的乘方、绝对值、负数的定义是解决本题的关键．
5．计算：＝（　　）
A． B． C． D．
【点拨】先算乘方，再算乘方，最后算减法即可．
【解析】解：原式＝25﹣3×（﹣）
＝25+
＝25，
故选：C．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6．下列说法错误的是（　　）
A．倒数和它本身相等的数，只有1和﹣1 B．相反数与本身相等的数只有0
C．立方等于它本身的数只有0、1和﹣1 D．绝对值等于本身的数是正数
【点拨】根据有理数的乘方，倒数的定义，相反数的定义，立方根的定义以及绝对值的性质对各选项分析判断利用排除法求解．
【解析】解：A、倒数和它本身相等的数，只有1和﹣1，正确，故本选项错误；
B、相反数与本身相等的数只有0，正确，故本选项错误；
C、立方等于它本身的数只有0、1和﹣1，正确，故本选项错误；
D、绝对值等于本身的数是正数和0，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的乘方，倒数的定义，绝对值的性质，相反数的定义，是基础题，熟记概念以及一些特殊数是解题的关键．
7．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．24﹣（4×32）＝24﹣4×6＝0
【点拨】根据先计算有理数乘法与再计算减法判断A；根据有理乘除混合运算法则判断B；根据有理数除法法则与乘法分配律判断C；根据有理数混合运算顺序，运算法则判断D．
【解析】解：A．原式＝，选项错误，不符合题意；
B．原式＝+5×，选项错误，不符合题意；
C．原式＝24×，选项正确，符合题意；
D．原式＝24﹣4×9＝24﹣36＝﹣12，选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，熟记有理数的运算顺序，运算法则，运算定律是解题的关键．
8．已知|x|＝5，|y|＝2，且|x+y|＝﹣x﹣y，则x﹣y的值为（　　）
A．±3 B．±3或±7 C．﹣3或7 D．﹣3或﹣7
【点拨】根据|x|＝5，|y|＝2，求出x＝±5，y＝±2，然后根据|x+y|＝﹣x﹣y，可得x+y≤0，然后分情况求出x﹣y的值．
【解析】解：∵|x|＝5，|y|＝2，
∴x＝±5、y＝±2，
又|x+y|＝﹣x﹣y，
∴x+y＜0，
则x＝﹣5、y＝2或x＝﹣5、y＝﹣2，
所以x﹣y＝﹣7或﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值以及有理数的加减法，解答本题的关键是根据题目所给的条件求出x和y的值．
9．有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（　　）
①b＜0＜a；②|a|﹣|b|＞0；③ab＞0；④a﹣b＞a+b．
A．①② B．①④ C．②③ D．①③
【点拨】先根据数轴得到b＜0＜a，|b|＞|a|，据此可得|a|﹣|b|＜0，ab＜0，a﹣b＞0＞a+b，即可得到答案．
【解析】解：由数轴可知b＜0＜a，|b|＞|a|，
∴|a|﹣|b|＜0，ab＜0，a﹣b＞0＞a+b，
∴正确的有①④，
故选：B．
【点评】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的加减法计算，有理数的乘法计算，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．
10．对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图1是一个幻方的图案，其中9个格中的点数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是15．如图2是一个没有填完整的幻方，如果它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等，那么正中间的方格中的数字为（　　）
A．5 B．1 C．0 D．﹣1
【点拨】由题意推出0+（﹣1）＝中间的数+（﹣2），即可得到答案．
【解析】解：∵同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等，
∴0+（﹣1）＝中间的数+（﹣2），
∴那正中间的方格中的数字为1．
故选：B．
【点评】本题考查有理数的加法，关键是由题意推出0+（﹣1）＝中间的数+（﹣2）．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．某市某天上午的温度是﹣5℃，中午上升了3℃，则中午的温度是 　﹣2　℃．
【点拨】温度上升记为正，下降记为负，列出算式后进行有理数的加法运算求解即可．
【解析】解：由题意得：﹣5+3＝﹣2（℃）
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了有理数加法的应用，正数和负数，熟练掌握运算法则是解题的关键．
12．填空：﹣22＝　﹣4　；（﹣2）2＝　4　．
【点拨】根据有理数的乘方运算法则进行计算即可．
【解析】解：﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，
故答案为：﹣4，4．
【点评】本题考查了有理数的乘方运算，解题的关键是理解乘方的意义．
13．大于﹣3.5而小于3的所有非正整数之和是 　﹣6　．
【点拨】找出大于﹣3.5而小于3的所有非正整数，求出之和即可．
【解析】解：大于﹣3.5而小于3的所有非正整数为﹣3，﹣2，﹣1，0，
因为﹣3﹣2﹣1+0＝﹣6．
所以大于﹣3.5而小于3的所有非正整数之和是﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．若实数a，b满足（a+1）2+|b﹣3|＝0，则a+b＝　2　．
【点拨】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解析】解：根据题意得，a+1＝0，b﹣3＝0，
解得a＝﹣1，b＝3，
所以a+b＝﹣1+3＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
15．在有理数范围内定义运算“ ”，其计算规则为1 2＝12﹣22＝﹣3，（﹣1） 3＝（﹣1）2﹣32＝﹣8．
（1）计算：（﹣3） （﹣2）＝　5　；
（2）计算：（﹣4） [3 （﹣5）]＝　﹣240　．
【点拨】根据定义列出算式计算可得答案．
【解析】解：（1）（﹣3） （﹣2）＝（﹣3）2﹣（﹣2）2＝9﹣4＝5，
故答案为：5；
（2）（﹣4） [3 （﹣5）]
＝（﹣4） [32﹣（﹣5）2]
＝（﹣4） （﹣16）
＝（﹣4）2﹣（﹣16）2
＝16﹣256
＝﹣240，
故答案为：﹣240．
【点评】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，正确理解新定义，正确掌握有理数混合运算法则是解题的关键．
16．已知a、b、c为非零有理数，请你探究以下问题：
（1）当a＞0时，＝　1　；
（2）若a+b+c＝0且abc＜0，那么的值为 　0　．
【点拨】（1）由给出条件和绝对值的性质，易得结论；
（2）由条件先确定a、b、c的正负，再化简绝对值，计算代数式的值．
【解析】解：（1）当a＞0时，，
故答案为：1；
（2）∵abc＜0，
∴a、b、c为两正一负或a、b、c都为负，
∵a+b+c＝0，
∴a、b、c两正一负，
不妨设a＞0，b＞0，c＜0，
∴；
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了绝对值的性质及代数式的化简，需掌握互为相反数的两数（0除外） 的商是﹣1，相等两数的商为1．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．计算：
（1）2+（﹣9）﹣（﹣3）+5；
（2）﹣24÷（﹣4）×（﹣）；
（3）；
（4）﹣32﹣（5﹣7）×6+（﹣2）3÷8．
【点拨】（1）利用有理数的加减法则计算即可；
（2）利用有理数的乘除法则计算即可；
（3）利用乘法分配律计算即可；
（4）先算乘方及括号里面的，再算乘除，最后算加减即可．
【解析】解：（1）原式＝﹣7+3+5
＝﹣4+5
＝1；
（2）原式＝6×（﹣）
＝﹣；
（3）原式＝×（﹣12）﹣×（﹣12）+×（﹣12）
＝﹣6+2﹣4
＝﹣8；
（4）原式＝﹣9﹣（﹣2）×6+（﹣8）÷8
＝﹣9+12﹣1
＝2．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．利用运算律进行简便计算：
（1）102×（﹣15）；
（2）．
【点拨】（1）把102拆开为100+2用乘法分配律计算即可；
（2）提公因数99，逆用乘法分配律计算即可．
【解析】解：（1）原式＝（100+2）×（﹣15）
＝100×（﹣15）+2×（﹣15）
＝﹣1500+（﹣30）
＝﹣1530；
（2）原式＝
＝99×10
＝990．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．
19．规定一种新运算“※”如下：a※b＝（a+2）×3﹣b．如：3※5＝（3+2）×3﹣5＝10．根据此规定解答下列两题：
（1）求7※（﹣3）的值；
（2）7※（﹣3）与（﹣3）※7的值相等吗？请计算说明．
【点拨】（1）根据新定义可得7※（﹣3）＝（7+2）×3﹣（﹣3），据此计算求解即可；
（2）根据新定义计算出（﹣3）※7的值即可得到结论．
【解析】解：（1）7※（﹣3）＝（7+2）×3﹣（﹣3）＝30；
（2）7※（﹣3）与（﹣3）※7的值，说明如下：
（﹣3）※7
＝（﹣3+2）×3﹣7
＝﹣10，
∵7※（﹣3）＝30，
∴7※（﹣3）与（﹣3）※7的值不相等．
【点评】本题主要考查了有理数的四则混合计算，新定义，熟练掌握以上知识点是关键．
20．阅读下面解题过程：
计算：
解：原式＝（第一步）＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步）＝（第三步）
回答：
（1）上面解题过程中有两个错误，第一处是第 　一　步，错误的原因是 　在同级运算中，没有按从左到右的顺序进行　；
（2）写出正确的解法．
【点拨】（1）利用有理数混合运算的运算顺序和确定符号的法则进行判断即可；
（2）利用有理数混合运算的运算法则进行计算即可．
【解析】解：（1）第一步，在同级运算中，没有按从左到右的顺序进行；
故答案为：一；在同级运算中，没有按从左到右的顺序进行；
（2）
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，确定正确的运算顺序和每一步运算的符号是解题的关键．
21．已知a是最大的负整数，b是正数，|﹣c|＝2，在数轴上，b、c对应的两点之间的距离与a对应的点到原点的距离相等，且b＜c．
（1）a＝ 　﹣1　，b＝ 　1　，c＝ 　2　；
（2）求a﹣b÷a+c的值；
（3）要使算式b﹣a□c2的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为 　A　．
A．+B．﹣C．×D．÷
【点拨】（1）根据负整数、正数、绝对值的意义求解即可；
（2）把（1）所得值代入代数式计算即可；
（3）把（1）所得值代入代数式，根据所得式子即可判断求解；
【解析】解：（1）由题意得a＝﹣1，b＝1，c＝2，
故答案为：﹣1，1，2；
（2）由（1）得，a﹣b÷a+c＝﹣1﹣1÷（﹣1）+2＝2；
（3）∵b﹣a□c2＝1﹣（﹣1）□22，
∴使算式b﹣a□c2的运算结果最大，则b﹣a+c2＝1﹣（﹣1）+22＝2+4＝6，
∴□”内应填入的运算符号为+，
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的运算，负整数、正数、绝对值的意义，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
22．阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程．
解：设S＝1+2+3+ +100，①
则S＝100+99+98+ +1，②
①+②得2S＝101+101+101+ +101．
所以2S＝100×101，S＝（100×101）÷2＝5050，
所以1+2+3+ +100＝5050．
后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．
请类比以上做法，解答下列问题：
（1）计算：1+2+3+ +1000；
（2）计算：100+101+102+ +200．
【点拨】（1）根据题意，利用“倒序相加法”，计算即可．
（2）计算出1+2+3+ +100+101+ +200和1+2+3+ +99的值；100+101+102+ +200＝（1+2+3+ +100+101+ +200）﹣（1+2+3+...+99）．
【解析】解：（1）设S＝1+2+3+ +1000，①
则S＝1000+999+998+ 3+2+1，②
①+②得：2S＝（1+1000）+（2+999）+ +（1000+1））＝1000×1001＝1001000，
∴S＝1001000÷2＝500500，
∴1+2+3+ +1000＝500500；
（2）设T＝1+2+3+ +100+101+ +200，①
则T＝200+199+ +100+ +3+2+1，②
①+②得：2S＝（1+200）+（2+199）+ +（200+1）＝200×201＝40200，
∴S＝20100，
1+2+3+ +99＝（1+2+3+ +99+100）﹣100＝5050﹣100＝4950．
∴100+101+102+ +200＝（1+2+3+ +100+101+ +200）﹣（1+2+3+...+99）＝20100﹣4950＝15150．
【点评】本题考查的是数式的变化规律和有理数的混合运算，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键．
23．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有三点A，B，C分别表示三个不同的有理数，其中点A到点B的距离为3个单位长度，点B到点C的距离为8个单位长度，设点A，B，C所表示的三个有理数的和是m．
（1）若以A为原点，则数轴上点B所表示的数是 　3　；若以B为原点，则m的值为 　5　；
（2）若以C为原点，再添上一个有理数n，使得这四个有理数的和为0，求n的值；
（3）若原点在图中数轴上，且点B到原点的距离为4个单位长度，求m的值．
【点拨】（1）根据题意当A为原点，点A到点B的距离为3，点B到点C的距离为8，可得数轴上点B所表示的数是3，若以B为原点，则A点表示的数为﹣3，C点表示的数为8，根据A、B、C所对应的数的和是m，即可求解；
（2）C为原点，则A点表示的数为﹣11，B点表示的数为﹣8，根据“这四个有理数的和为0”列式计算即可求解；
（3）分O在B的左边与O在B的右边两种情形，分别讨论即可求解．
【解析】解：（1）∵A为原点，点A到点B的距离为3，点B到点C的距离为8，
∴数轴上点B所表示的数是3，
若以B为原点，则A点表示的数为﹣3，C点表示的数为8，
∴m＝﹣3+0+8＝5，
故答案为：3；5；
（2）∵C为原点，
∴A点表示的数为﹣11，B点表示的数为﹣8，
∴﹣11﹣8+0+n＝0，
解得n＝19；
（3）∵点A到点B的距离为3，点B到点C的距离为8，点B到原点O的距离为4，
∴当O在B的左边时，A、B、C三点在数轴上所对应的数分别为1、4、12，
∴m＝1+4+12＝17，
当O在B的右边时，A、B、C三点在数轴上所对应的数分别为﹣7、﹣4、4，
∴m＝﹣7﹣4+4＝﹣7，
综上所述：m的值为﹣7或17．
【点评】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点距离，数形结合，分类讨论是解题的关键．
24．【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方、比加2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把记作：a ，读作“a的n次方”，特别地，规定：a①＝a．
【初步探究】（1）直接写出计算结果：2023②＝ 　1　；
（2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有 　ABD　：（横线上填写序号）
A．任何非零数的圈2次方都等于1
B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数
C．圈n次方等于它本身的数是1或﹣1
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式：a ＝ 　　；
（4）计算：．
【点拨】（1）根据题意，计算出所求式子的值即可；
（2）根据题意，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题；
（3）根据题意，可以计算出所求式子的值．
（4）根据题意，可以计算出所求式子的值．
【解析】解：（1）由题意可得，2023②＝2023÷2023＝1，
故答案为：1；
（2）A．因为a②＝a÷a＝1（a≠0），所以任何非零数的圈2次方都等于1，正确；
B．因为，所以任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，正确；
C．如（﹣1）②＝1，则圈n次方等于它本身的数是1或﹣1，说法错误；
D．根据新定义以及有理数的乘除法法则可知，负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确；
故答案为：ABD；
（3），
故答案为：；
（4）
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义的内容，计算出所求式子的值．
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