《二次函数》精选压轴题—2024年浙教版数学九（上）期中复习
一、选择题
1．（2023九上·杭州期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，其中。将此抛物线向上平移，与x轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（ ）
A．当时，，
B．当时，，
C．当时，
D．当时，，
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当m>0时，抛物线开口向上，对称轴为x=-2，平移后的对称轴不变，所以所以结合图像易知，；
同理，当m<0时，抛物线开口向下，对称轴为x=-2，平移后的对称轴不变，所以结合图像易知，.
故答案为：A.
【分析】抛物线上纵坐标相等的点离对称轴的距离相等，上下平移对称轴不变，所以不论抛物线开口向上还是向下，再结合图像即可判断得解。
2．（2023九上·余杭期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2.其中正确的为（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．②⑤
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵二次函数图象开口向下，
∴a<0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴a与b异号，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故①错误；
∵二次函数图象与x轴交于不同两点，
∴△=b2-4ac>0，即b2>4ac，故②错误；
由图象可知当x=-1时，y<0，即a-b+c<0， 故③正确；
由图象知，当x=1时函数有最大值，
∴当x=1时的y值大于当x=m (m≠1)时的y值，即a+b+c>m (am+b)+c，
∴a+b＞m(am+b)(m≠1)，故④正确；
将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y=1有四个交点即可，
由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4，故⑤错误，
综上正确的是③④.
故答案为：C.
【分析】由二次函数图象的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断①；由二次函数图象与x轴交于不同两点，即可判断②；根据图象，当x=-1时，y<0，得当x=-1时，a-b+c<0，即可判断③；根据函数的最值即可判断④；将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y=1有四个交点，由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4，即可判断⑤.
3．（2023九上·秀洲期中）已知抛物线经过点，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由物线的解析式，可知对称轴为直线x=3；
当a＞0时，由，可得；
∴
∴＜0
当a＜0时，，可得；
∴＜0
故答案为：D.
【分析】由可以判断到对称轴的距离比到对称轴的距离大；根据a与0的大小须分类讨论，当a＞0时，二次函数图象开口向上，距离对称轴越远，y的值越大，即可判断，正数与负数的积为负数；当a＜0时，二次函数图象开口向上，距离对称轴越远，y的值越小，即可判断
，负数与正数的积为负数.
4．（2023九上·瑞安期中）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③a－b＋c＜0；④a＋b＞m(am＋b)（m≠1）；⑤若方程|ax2＋bx＋c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的为（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．②⑤
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：如图，
∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴的右侧，a与b异号，
∴b＞0，
∵与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵二次函数图象与x轴交于不同两点，则△=b2-4ac＞0．
∴b2＞4ac.故②错误；
∵当x=-1时，y＜0，
即a-b+c＜0，故③正确；
∵x=1时函数有最大值，
∴当x=1时的y值大于当x=m（m≠1）时的y值，
即a+b+c＞m（am+b）+c
∴a+b＞m（am+b）（m≠1）成立，故④正确；
将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y=1有四个交点即可，
由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4，故⑤错误．
综上：③④正确．
故答案为：C.
【分析】由二次函数图象的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断①；由二次函数图象与x轴交于不同两点，即可判断②；根据图象，当x=-1时，y＜0，得当x=-1时，a-b+c＜0，即可判断③；根据函数的最值即可判断④；将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y=1有四个交点，由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4，即可判断⑤．
5．（2023九上·龙泉期中）若b≤x≤b＋3时，二次函数y＝x2＋bx＋b2的最小值为15，则b的值为（ ）
A．-或 B．或
C．2或 D．-2或
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数
∴二次函数图象开口向上，对称轴为
①当时，即
∴当时，为最小值，
∴
解得：
②当时，即
在自变量x满足的情况下，y随x增大而增大，
∴当时，为最小值，
∴
解得：
③当时，即
在自变量x满足的情况下，y随x增大而减小，
∴当时，为最小值，
∴
解得：
综上所述，b的值为：或，
故答案为：B.
【分析】由二次函数解析式知：二次函数图象开口向上，对称轴为然后分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别根据二次函数的增减性和最值计算即可.
6．（2023九上·杭州期中） 已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝mx2-2mx+1（m为常数，m＞0）上的两点，当t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3时，（ ）
A．若t≤1，则y1＞y2 B．若y1＞y2，则t≤-1
C．若t≥-1，则y1＜y2 D．若t≥1，则y1＜y2
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ y=mx2-2mx+1中m>0，
∴ 抛物线的开口向上，对称轴为x=1，
∴若 t ≥1，即 x＞1时，函数为单调增，∴y1＜y2，D项符合题意；
若t ≤1，则y1与y2的大小无法判断，A项不符合题意；
若t≥-1，则y1与y2的大小无法判断，C项不符合题意；
若y1＞y2，则t≤-2，B项不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数图象上的点的坐标特征，在对称轴的左侧，函数值随x的增大而减小，在对称轴的右侧，函数值随y的增大而增大，即可判断.
7．（2023九上·期中）二次函数、、是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如下表：
x … -1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且当时，对应的函数值有以下结论：；；关于的方程的负实数根在和之间；和在该二次函数的图象上，则当实数时，．
其中正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①将点代入二次函数的解析式可得：可得即a与b互为相反数，即则即故①错误；
②将代入得：所以又因为 当时，对应的函数值 即，解得则故②正确；
③因为，则对称轴直线方程：又因为 当时，对应的函数值 所以根据二次函数的对称性可得：当时，对应的函数值而时所以抛物线与x轴的交点坐标在和0之间，即 关于的方程的负实数根在和之间 ，所以③正确；
④因为 和在该二次函数的图象上，所以若，且s所以解得故④错误，
综上所述②③正确.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查二次函数各项系数的关系、二次函数图象及性质.
8．（2023九上·东阳期中）已知抛物线y＝-x2+bx+3的顶点坐标为（1，4），若关于x的一元二次方程-x2+bx+3-t＝0（t为实数）在-1≤x≤5范围内有两个不同的实数根，则实数t的取值范围是（ ）
A．-12≤t＜4 B．t＜4 C．-12＜t≤0 D．0≤t＜4
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝-x2+bx+3的顶点坐标为（1，4） ，
∴ 4=-1+b+3，
∴ b=2，
∴y＝-x2+2x+3，
∴ x=-1时，y=0；x=5时，y=-12，
∵-x2+bx+3-t＝0 在-1≤x≤5范围内有两个不同的实数根，
即 y＝-x2+2x+3 与 y=t 在-1≤x≤5范围内有两个交点，
由图象可知，如图，
当 0≤t＜4 时， y＝-x2+2x+3 与 y=t 在-1≤x≤5范围内有两个交点，
即当 0≤t＜4 时， -x2+bx+3-t＝0（为实数）在-1≤x≤5范围内有两个不同的实数根.
故答案为：D.
【分析】根据顶点坐标得抛物线的解析式，再将问题转化为二次函数图象与y=t有两个交点.
9．（2023九上·萧山期中）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③a－b＋c＜0；④a＋b＞m(am＋b)（m≠1）；⑤若方程|ax2＋bx＋c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的为（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．②⑤
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据图像可知：a<0， c>0. ，∴b=-2a>0
∴abc<0 ①错误；
易知， 4ac<0，∴，∴②错误；
根据图像可知：当x=-1时，y<0，把x=-1代入解析式中得，y= a－b＋c＜0∴③正确；
根据图像可知：当x=1时，y最大，把x=1代入解析式中得，y= a+b＋c最大，
当x=m，且m≠1时，y= am2+bm＋c，此时 am2+bm＋c
即a＋b＞m(am＋b) ， ∴④正确；
若方程|ax2＋bx＋c|＝1有四个根， 则ax2＋bx＋c=1或ax2＋bx＋c=-1
在方程ax2＋bx＋c=1中，设两根为，则，
在方程ax2＋bx＋c=-1中，设两根为，则=2
∴，∴⑤错误。
故答案为：C.
【分析】根据图像的开口方向判断a的正负，根据图像与y轴 的交点位置判断c的正负，根据对称轴的位置和开口方向，判断b的正负，从而判断①②的正误；取特殊值x=1，结合图像判断③的正误；根据图像的对称轴及最值判断④的正误；根据一元二次方程根与系数关系得出两根和，最后计算出四根的和，判断⑤的正误。
10．（2023九上·江北期中）如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，以为边向右作菱形，点C恰与原点O重合，抛物线的顶点在直线上移动．若抛物线与菱形的边、都有公共点，则h的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；菱形的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：联立
解得 ，
点B(-2，1)，
直线与y轴交点A(0，2)，
四边形ABCD是菱形，
D(2，1)，
抛物线的顶点在直线上移动，且顶点坐标为，
，
抛物线为
抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，
当抛物线经过点C时如图1，
将C(0，0) 代入，
求得 (舍去) ，或；
当抛物线经过点B时如图2，
将B(-2，1) 代入，
求得 ，或(舍去)；
综上所述，h的范围是 .
故答案为：A.
【分析】将y=x+2与y=-x联立可求得点B的坐标，然后由抛物线的顶点在直线y=-x上可求得k=-h，于是可得到抛物线的解析式为，由图形可知当抛物线经过点B和点C时抛物线与菱形的边AB、BC均有交点，然后将点C和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得h的值，从而可判断出h的取值范围.
二、填空题
11．（2023九上·乐清期中）如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），点C关于抛物线对称轴的对称点为点D， 动点E在y轴上， 点F在以点B为圆心，半径为1的圆上，则DE+EF的最小值是 ．
【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；圆-动点问题
【解析】【解答】解：过点D作y轴的对称点H，连接BH交y轴于点E，交圆于点F，则DE+EF最小，如下图：
令抛物线的y=0，则解得x=3或1；令x=0，则y=3；
∴抛物线与x轴的交点为A（1，0），B（3，0），与y轴的交点C为（0，3）
∵y= x2﹣4x+3 = （x-2）2﹣1
∴抛物线的对称轴为直线x=2，点D的坐标为（4，3）
∵点H与点D关于y轴对称
∴点H的坐标为（-4，3），EH=ED
∴当DE+EF最小值=EH+EF=HF=HB-FB=.
故答案为：.
【分析】根据轴对称的性质，确定点E和F的位置；根据二次函数与坐标轴的交点关系，可得二次函数与x轴，y轴的交点；根据抛物线的解析式，可得其对称轴；根据关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得点H的坐标；根据两点间的距离公式，可得HB的值，进而求出HF的值.
12．（2023九上·新昌期中）设的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则所有可能的数对是
【答案】（1，1），（1，0），（2，1），（2，2）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①当m=1时，则
当时，则
∴则
当时，同理可得到函数表达式为则
②当m=2时，则
当时，则
∴则
当时，同理可得到函数表达式为则
故答案为：（1，1），（1，0），（2，1），（2，2）.
【分析】根据题意可知需分两种情况讨论，①当m=1时，②当m=2时，分别利用函数与x轴交点情况，即可求解.
13．（2023九上·龙湾期中）图1是一个瓷碗，图 2 是其截面图，碗体 DEC 呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm．
（1）当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为 ；
（2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM=45°时停止，此时碗中液面宽度CH= ．
【答案】（1）cm
（2）
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）以点E为原点，建立直角坐标系，如图，
∵EG=8， CD=12，
∴C（6，8），D（-6，8），
∴抛物线为y=x2，
∵ET=4
∴P（，4），Q（，4），
∴PQ=cm；
故答案为：cm；
（2）建立直角坐标系，如图，
根据题意得：C（6，8），
∵∠ABM=45°，且CH∥CH，
∴直线CH的斜率为1，
∴直线CH：y=x+2，
∴直线CH与抛物线y=x2的交点H（，），
∴CH=.
故答案为：.
【分析】（1）根据题意建立合适的直角坐标系并找到关键点求得解析式即可求得；
（2）根据题意建立合适的直角坐标系得二次函数，再根据二次函数与一次函数的交点问题得H（，），再计算两点之间距离即可.
14．（2023九上·温岭期中）如图，已知抛物线y1的开口向上且顶点D在y轴的负半轴上，y2由y1先绕顶点旋转180°，再平移得到，它们与x轴的交点为A、B、C且AB=BC=2OD=4，则抛物线y2的顶点E的坐标是 ；若过定点（1，1）的直线被抛物线y1、y2所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为 .
【答案】（-6，8）；
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：由题意：，且，
∴，，，，
即：，，，，
设表达式为，
将，代入
，解得：
∵由先绕顶点旋转180°，再平移得到，与x轴的交点为B、C，
∴设表达式为
将，代入得：
，解得：
∴
∴；
设过定点的直线表达式为，
将代入得：，即：
∴，
设过定点的直线被抛物线、所截得的线段端点横坐标分别为、、、，
∵过定点的直线被抛物线、所截得的线段长相等，
∴
与联立得：
整理得：
根据韦达定理得：，
∴
与联立得：
整理得：
根据韦达定理得：，
∴
∵
即：，
解得：
故答案为：；
【分析】由，可得，，，，将、代入，利用待定系数法即可求出的表达式，将、代入，即可求出的表达式，化为顶点式即可得解；
（2）设过定点的直线表达式为，将代入可得 ，设过定点的直线被抛物线、所截得的线段端点横坐标分别为、、、，由题意得，联立与，整理得，由韦达定理可得：，，利用，并代入化简，同理：联立与，整理得：，由韦达定理及完全平方公式代入化简，由，建立等量关系，求解即可；
三、解答题
15．（2023九上·新昌期中）在直角坐标系中，已知点（为非零实数），点与点关于原点对称，若抛物线过三点．
（1）当时，求抛物线对应的二次函数解析式；
（2）尝试把的取值分成两类，使抛物线对应的二次函数分别有关于的最大、最小值，并写出最大值和最小值关于的函数解析式．
【答案】（1）解：设二次函数的关系式为，
∵点和点B关于x轴对称，
∴点B的坐标为.
∵抛物线Q过A，B，C三点，得
解得
∴抛物的关系式为．
当时，抛物线的关系式为；
（2）解：①当时，抛物线开口向上，函数有最小值，
即；
②当时，抛物线开口向下，函数有最大值，
即．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）设二次函数的关系式为，根据题意得到点B的坐标为进而根据抛物线过A、B、C三点，则，即可求出抛物线的解析式，进而令t=2，即可求解；
（2）分两种情况讨论，①当时，抛物线开口向上，函数有最小值，②当时，抛物线开口向下，函数有最大值，分别求出二次函数的最值即可.
16．（2023九上·杭州期中） 已知二次函数y＝2x2+bx+c（b，c是常数）
（1）若A（1，0），B（0，4）两点在该二次函数图象上，求二次函数的表达式．
（2）若二次函数的表达式可以写成y＝2（x-h）2-2的形式（h是常数），求b+c的最小值．
（3）若二次函数的表达式还可以写成y＝2（x-m）（x-m-k），它的图象与x轴交于A，B两点，一次函数y＝kx+b的图象经过点A，且与二次函数的图象交于另一点C．是否存在实数k，使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵二次函数y＝2x2+bx+c 过点A（1，0）、B（0，4），
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为y＝2x2-6x+4；
（2）解：把y＝2（x-h）2-2化成一般式得，y＝2x2-4hx+2h2-2，
∴b＝-4h，c＝2h2-2，
∴b+c＝2h2-4h-2＝2（h-1）2-4，
把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，
∴当h＝1时，b+c的最小值是-4；
（3）解：存在，理由：
①当k＞0时，
（i）点A（m，0），B（m+k，0），则一次函数解析式可以表示为y＝k（x-m），
联立，
解得：，，
∴C（，），
由图可知，当三角形是以AB为腰的等腰三角形时，则只能AB＝BC，
过点C作CD⊥x轴，
则CD＝，BD＝-（m+k）＝，
BC2＝CD2+BD2＝（）2+（）2＝+，
∵AB＝m+k-m＝k，AB＝BC，
∴k2＝+，
∴k＝±，
∵k＞0，
∴k＝；
（ii）若点A（m+k，0），B（m，0），则一次函数解析式可以表示为 y＝k（x-m-k），
联立，
∴，，
∴C（，），
∵y＝2（x-m）（x-m-k），
∴抛物线的对称轴为直线x＝m+k，顶点坐标为（，），
即点C恰好是抛物线顶点，
∴总是有AC＝BC，
过点C作 CD⊥x轴，如图，
则CD＝，BD＝m+-m＝，
∴BC2＝CD2+BD2＝（）2+（）2＝+，
∵AB＝k，AB＝BC，
∴k2＝+，
∴k＝±，
∵k＞0，
∴k＝；
②当k＜0时，
同理可得：k＝-或-；
∴综上所述，k＝±或±．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求得；
（2）变形解析式得b=-4h，c=2h2-2，b+c=2（h-1）2-4，利用二次函数的性质即可求得；
（3）分两种情况：①当k＞0时，（i）点A（m，0），B（m+k，0），则一次函数解析式可以表示为y＝k（x-m），与二次函数联立为方程组可求得C的坐标，当三角形是以AB为腰的等腰三角形时，则只能AB＝BC，再根据勾股定理即可求得；（ii）若点A（m+k，0），B（m，0），则一次函数解析式可以表示为 y＝k（x-m-k），与二次函数联立为方程组可求得C的坐标，恰好为抛物线的顶点，再根据勾股定理可得k；②当k＜0时，同理可求得.
17．（2023九上·龙湾期中）已知如图1，二次函数与x轴交于点A，C两点，且点A在点C的左侧，与y轴交于点B，连结AB．
（1）求点A、B的坐标；
（2）如图2，将点A向下平移n个单位得到D，将D向左平移m个单位得，将向左平移2m个单位得，若与均在抛物线上，求m，n的值；
（3）如图3，点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点，连结PB ，过P作PQ//AB，与抛物线另一个交点为Q，M，N为AB上两点，且PM//y轴，QN//y轴，
①当△BPM为直角三角形时，求点P的坐标；
②是否存在点P使得PB 与 QN相互平分，若存在，求PQ的长，若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：由题意得：A（5，0），B（0，-5)；
（2）解：作对称轴交x轴于点H，如图，
由题意抛物线对称轴为x=2，
∴AH=3，
∴2m=3， m=；
∴的横坐标为，把x= 代入，得y=
∴n=.
（3）解：①由题意可设直线AB的解析式：
由当x=0时，y=-5 ；当x=5时，y=0 ；
得：y关于x的函数表达式为y=x-5
设点P的横坐标为t，则M(t，t-5)， P(t，)
∴PM=
当∠BPM=90°时，则BP=MP，
∴t=， ∴t=4， P(4，)
当∠MBP=90°时，2BE=MP，
∴2t=， ∴t=3， P(3，-8），
②∵PB 与 QN相互平分，则BN=PQ，
∵AB//PQ，MP//NQ，
∴四边形PQNM是平行四边形，
∴PQ=MN，∴BN=MN，
∴N是BM的中点，
设点M的横坐标为t，
∴点N，Q的横坐标均为t，
∴P(t，)， Q( t ，)，
∵AB与x轴夹角为45°，
∴PQ与x轴夹角为45°
∴- t=
得t=或 t=0（舍去），
∴t=.
【知识点】平行四边形的判定与性质；平移的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将x=0代入解析式得y=-5，即B（0，-5）；再将y=0代入解析式得：x2-4x-5=0，解得x=5或x=-1，则C（-1，0）A（5，0）；
（2）根据抛物线的图象性质可得其对称轴为x=2，D1与D2关于对称轴对称，即到对称轴的距离相等，可得2m=3，求得m= ，根据D2的横坐标为 代入解析式进而求得n的值；
（3）① 先根据直线AB的解析式设 则M(t，t-5)， P(t，) ，计算出PM的距离-t2+5t；当△BPM为直角三角形时，只能∠BPM=90°和∠MBP=90°，当∠BPM=90°，根据BP=MP建立等量关系，求得t=4；当∠MBP=90°，根据2BE=MP建立等量关系，求t=3，即可求得P的坐标；
②根据平行四边形的判定与性质得MN=BN，根据抛物线的解析式设 P(t，)， Q( t ，)，再根据直线AB与平行关系得PQ与x轴夹角为45°，即P与Q的横坐标之差等于纵坐标之差，即 - t= ，即可求得t的值.
18．（2023九上·新昌期中）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（－1，0）和B（m，0），与y轴相交于点C，且经过点D（3，3），过点D作DE⊥BD，交y轴于点E，连结BE．
（1）当m＝6时，求这个二次函数的表达式．
（2）试用含m的代数式表示点C的坐标．
（3）作点D关于BE的对称点D′，连结OD′，ED′．当△OD′E的面积等于1时，请直接写出m的值．
【答案】（1）解：设此函数的表达式为y=a(x+1)(x-6)，
将D（3，3）代入，得3=-12a，
∴a=，
∴此函数的表达式为y=(x+1)(x-6)，
即.
（2）解：设此函数的表达式为y=a(x+1)(x-m)，
将D（3，3）代入，得3=4a(3-m)，
∴，
∴，
当x=0时，，
∴点C的坐标为.
（3）解：如下图，作垂足为H，点D为（3，3），点B为（m，0），
则再作交DH的延长线于点，
∵∴
因为所以
在和中，
∴则
故为等腰直角三角形，又因为点D与点 D′ 关于BE的对称，所以
设纵坐标为为n，则故因为E与的纵坐标相同，
故为，B为，E为，故BE中点为设点横坐标为t，因为点D横坐标为3，所以(D、关于BE中点对称），则设 △OD′E 的高为h，由题意知h=t，
故即
解得：
m的值为4或5
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式、二次函数的图象及性质、二次函数与几何问题的综合运用，（1）运用两点式设函数的表达式为y=a(x+1)(x-6)，将D（3，3）代入，解出a即可；（2）设此函数的表达式为y=a(x+1)(x-m)，把将D（3，3）代入，得3=4a(3-m)，即，令x=0，即可求出点C的坐标；（3），作垂足为H，点D为（3，3），点B为（m，0），则再作交DH的延长线于点，可证得：则故为等腰直角三角形，根据对称性可得到：设纵坐标为为n，则故因为E与的纵坐标相同，故为，B为，E为，故BE中点为设点横坐标为t，因为点D横坐标为3，所以(D、关于BE中点对称），则设 △OD′E 的高为h，由题意知h=t，
解出m即可求解.
19．（2023九上·期中）已知二次函数y＝a（x+2a-1）（x-a+2）（a是常数，a≠0）．
（1）当a＝1时，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
（2）若此函数图象对称轴为直线x＝-2时，求函数的最小值．
（3）设此二次函数的顶点坐标为（m，n），当a≠1时，求的最大值
【答案】（1）解：(1)当a= 1时，
y= (x＋2-1)(a -1＋2)=(x＋1)(x＋1)=(x＋1)3
即y =x2+2x＋1，
∴函数的表达式为y = x2+2x +1，
∴函数图象的顶点坐标为(-1，0)；
（2）解：
当 时， 即
解得： ， 此函数图象与 轴的交点坐标为
此函数图象对称轴为直线 ，
解得： ，
， 函数图象开口向上，
当 时， 函数有最小值， 此时
函数的最小值为 -27 ；
（3）解： 此函数图象与 轴的交点坐标为 ，
此二次函数的顶点坐标为 ，
，
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】本题主要考查二次函数的两点式配顶点式、二次函数的图象及性质.
（1）将代入二次函数解析式即可求解；
（2）根据函数的解析式可求得函数与x轴的交点坐标，再根据二次函数的对称轴直线方程：，可得：解得再将其代入二次函数解析式求出二次函数解析式，并配成顶点式，即可求得最值；
（3）由（2）知二次函数此函数图象与 轴的交点坐标为 ，可求得对称轴直线方程：，则顶点的横坐标等于对称轴直线方程得横坐标即：，再结合二次函数解析可得：
，得到：即可求出其最大值.
20．（2023九上·平湖期中）如图，直线y＝-x+3交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝-+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．
（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．
【答案】（1）解：点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（-2，0）、（6，0），
抛物线的表达式为：y＝-x2+x+3；
（2）解：连接OM，如图，
设M（x，-x2+x+3），
则S四边形ABCM＝S△ABO+S△AOM+S△OCM
＝×3×2+×x×3+×2（-x2+x+3）
＝-x2+x+12，
∴当x＝3时，四边形ABCM面积最大，其最大值为，
此时M的坐标为（3，）；
（3）解：∵将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，如图：
∴PO′＝PO＝m，O′A′＝OA＝3，
∴O′（m，m），A′（m+3，m），
当A′（m+3，m）在抛物线上时，
-（m+3）2+（m+3）+3＝m，
解得：m＝-3±2；
当点O′（m，m）在抛物线上时，有-m2+m+3＝m，
解得：m＝，
∴当-3-2≤m≤-2或-3+2≤m≤2时，线段O′A′与抛物线只有一个公共点．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）令x＝0，得y＝-x+3＝3，∴A（0，3），
令y＝0，得y＝-x+3＝0，
解得：x＝6，
∴C（6，0），
把A、C两点代入抛物线表达式得，
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝-x2+x+3，
令y＝0，得y＝-x2+x+3＝0，
解得：x＝-2，或x＝6，
∴B（-2，0）；
即点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（-2，0）、（6，0），
抛物线的表达式为：y＝-x2+x+3；
【分析】(1)首先可求得点A（0，3），C（6，0），再利用待定系数法即可求解；
(2)连接OM，设M（x，-x2+x+3），根据S四边形ABCM＝S△ABO+S△AOM+S△OCM，计算求解即可；
(3)根据旋转性质，求得O′（m，m），A′（m+3，m），令点和点在抛物线上时，求出m的最大和最小值即可．
21．（2023九上·温岭期中）定义：若一个函数图象上存在纵坐标与横坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“互逆点”
（1）若点M（-2，m）是一次函数y=kx+6的图象上的“互逆点”，则k= 若点N(n，-n)是函数y的图象上的“互逆点”，则n=
（2）若点P(p，3）是二次函数y=x2+bx+c的图象上唯一的“互逆点”，求这个二次函数的表达式；
（3）若二次函数y=ax2+bx+c（a，b是常数，a>0）的图象过点（0，2），且图象上存在两个不同的“互逆点”A（x1，-x1），B（x2，-x2），且满足-1【答案】（1）2；或
（2）解：点P（p，3）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“互逆点”，即抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝-x的唯一交点为P（-3，3），
∴方程x2+bx+c＝-x有两个相等的实数根为：x1＝x2＝-3，
∴
解得，
∴二次函数的表达式为；
（3）解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），
∴c＝2，
∴y＝ax2+bx+2，
∵y＝ax2+bx+2图象上存在两个不同的“互逆点”A（x1，-x1），B（x2，-x2），
∴-x1＝ax12+bx1+2，-x2＝ax22+bx2+2，
∴ax12+（b+1）x1+2＝0，ax22+（b+1）x2+2＝0，
∴x1、x2是方程ax2+（b+1）x+2＝0的两个不相等实数根，
∴x1+x2＝，x1 x2＝，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴（x1﹣x2）2＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝（）2﹣4×＝4，
∴b2+2b+1﹣8a＝4a2，
∴z＝b2+2b+2＝4a2+8a+1＝4（a+1）2-3
∵|x1﹣x2|＝2，
∴x1﹣x2＝2或x2﹣x1＝2，
∵﹣1＜x1＜1，
∴﹣3＜x2＜﹣1或1＜x2＜3
∴﹣3＜x1 x2＜3，
∴﹣3＜＜3，
∵a＞0，
∴a＞，
∴z=4（a+1）2-3>
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数y=ax²+bx+c的性质；不等式的性质
【解析】【解答】解：根据题意得，
∴，代入解析式得，
解得：；
把代入函数
得，解得：或；
故答案为：2；或
【分析】（1）根据题意分别把，把代入解析式，求解即可；
（2）根据题意得出抛物线与直线的唯一交点为，即方程x2+bx+c＝-x有两个相等的实数根为：x1＝x2＝-3，利用根的判别式及点在函数上组成方程组求解即可；
（3）根据题意得出，x1、x2是方程ax2+（b+1）x+2＝0的两个不相等实数根，利用根于系数的关系得x1+x2＝，x1 x2＝，由（x1﹣x2）2＝4，得（x1+x2）2﹣4x1x2＝（）2﹣4×＝4，化简得b2+2b+1﹣8a＝4a2，所以z＝b2+2b+2＝4a2+8a+1＝4（a+1）2-3，再由不等式的性质确定取值范围即可．
22．（2023九上·乐清期中）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式．
（2）已知点D为y轴上一点，点D关于直线AC的对称点为D1．
①当点D1刚好落在第二象限的抛物线上时，求出点D的坐标．
②点P在抛物线上（点P不与点A、点C重合），连结PD，PD1，DD1，是否存在点P，使△PDD1为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在
【答案】（1）解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，5）B（1，0），
∴将A（﹣3，8）B（1，0）分别代入y＝﹣x2+bx+c；得，
解得，
所以，抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）解：①如图，
∵抛物线的解析式y＝﹣x2﹣2x+5．
∴C（0，3），
∴OA＝OC＝5，
∴∠OCA＝45°，
∵点D关于直线AC的对称点为D1．
∴∠DCA＝∠D1CA＝45°，CD＝CD1，
∴∠DCD1＝90°，
∴CD1∥OA，
∴点D1的纵坐标为3，
∴3＝﹣x2﹣2x+3，
∴x1＝0（舍去），x2＝﹣2，
∴CD＝CD1＝2，
∴点D（3，1）；
②以D为直角顶点，若点D在点C下方，过点P作PH⊥y轴，
∵∠DCD1＝90°，CD＝CD8，
∴∠CDD1＝45°，
∵∠D1DP＝90°
∴∠HDP＝45°，
∵PH⊥y轴，
∴∠HDP＝∠HPD＝45°，
∴HP＝HD，
∵∠CDD1＝∠HDP，∠PHD＝∠DCD1＝90°，DP＝DD1，
∴△DPH≌△DD1C（AAS），
∴CD＝CD1＝HD＝HP，
设CD＝CD1＝HD＝HP＝a，
∴点P（﹣a，6﹣2a）
∴﹣a2+2a+3＝3﹣2a，
∴a＝4，a＝0（不合题意，
∴点P（﹣4，﹣5）；
若点D在点C上方，如图3，
∵DD1＝DP，∠DCD1＝90°，
∴CD＝CP，∠DCP＝∠COA，
∴CP∥AB，
∴点P纵坐标为3，
∴3＝﹣x2﹣2x+6，
∴x1＝0（舍去），x2＝﹣2，
∴点P（﹣2，8）；
如图4，若以P为直角顶点，不合题意，
如图5，以P为直角顶点，不合题意，
如图6，以D1为直角顶点，此时PD∥x轴1作D7H⊥x轴交PD于H，
∴D1H⊥PD，
∴PH＝DH＝D1H，
设PH＝DH＝D1H＝m，
∵点D1的纵坐标为3，
∴P（﹣62m，3﹣m），
∴﹣4m2+4m+3＝4﹣m，
∴m＝，m＝2（不合题意舍去），
∴点P（﹣，）；
综上可得，点P的坐标为（﹣4，8）或（﹣，）．
【知识点】等腰直角三角形；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，将点A和B 的坐标代入解析式，列关于b和c的二元一次方程组，解方程组即可求出解析式；
（2）①抛物线与y轴相交时，x为0，代入即可求出点C的坐标；根据等腰直角三角形的判定和性质，可得∠OCA的值；根据点的对称性，可得∠DCA＝∠D1CA＝45°，CD＝CD1；根据平行线的判定，可得CD1∥OA；根据二次函数上点的性质，将y=3代入解析式，即可求出CD的值，进而求出点D的坐标；
②根据等腰直角三角形的判定和性质以及直角坐标系的性质，可得∠HPD=45°，HP=HD；根据三角形全等的判定和性质，可得CD＝CD1＝HD＝HP；分类讨论，根据抛物线上点的性质，将点P的坐标代入解析式，可得点P的坐标.
23．（2023九上·吴兴期中）如图所示，抛物线与双曲线相交于点A、B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（-2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍，记抛物线的顶点为E。
（1）求双曲线和抛物线的函数关系式；
（2）计算△ABC与△ABE的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使 ABD的面积等于 ABE的面积的8倍？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）解：将点 ，点A（-2，2）代入 双曲线 ，可得：解得：双曲线解析式.又因为 直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍 ，且点B在第四象限内，所以可设点B的坐标为在将点B代入双曲线解析式得：解得：（舍去），则点B的坐标为（1，-4），因为抛物线的图像过点A（-2，2）、点B（1，-4），点O（0，0）可得：解得：所以抛物线解析式为
（2）解：由题意可得点C的纵坐标为-4，则解得：则点C的坐标为：，点A（-2，2）、点B（1，-4），所以
因为抛物线解析式为则点E设直线AB的解析式为：将点A（-2，2）、点B（1，-4）代入得：解得：即直线AB的解析式为：设直线AB与抛物线对称轴相交于点F，设点F的坐标为则所以
所以.
（3）解：由（2）知，所以当点D的坐标与C点重合时，满足题意，此时点D（－4，－4）.根据平行线之间距离相等，过点C作AB的平行线CD，可设直线CD的解析式为：将点C坐标代入得：解得g=12，即直线CD的解析式为：，则点D为直线CD与抛物线的交点，联立直线CD与抛物线的解析式并消去y得：解得：（舍去），当x=3时，y=18，此时点D坐标为（3，－18），综上所述：点D坐标为：（－4，－4），（3，－18）.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】本题主要考查了二次函数待定系数法求解析式、三角形面积的坐标求法，三角形面积的求法我们一般选取在坐标轴上或者平行于坐标轴的边为底边，再用对应的坐标表示出高即可，（1）将点A代入竖双曲线解析即可求出k，在将点B设为代入双曲线解析式可得：点B的坐标为（1，-4），在将点A（-2，2）、点B（1，-4），点O（0，0）代入抛物线解析式即可求解；
（2）由题意可得点C的纵坐标为-4，则则点C的坐标为：，点A（-2，2）、点B（1，-4），所以可求得：点E，将三角形ABE的面积分为：，求出直线AB的解析式，得到点F的坐标，然后代值进行计算即可；
（3）由（2）知，所以当点D的坐标与C点重合时，满足题意，此时点D（－4，－4）根据平行线之间距离相等，过点C作AB的平行线CD，可设直线CD的解析式为：将点C坐标代入得：解得g=12，即直线CD的解析式为：则点D为直线CD与抛物线的交点，联立直线CD与抛物线的解析式，解出x即可求解.
1 / 1《二次函数》精选压轴题—2024年浙教版数学九（上）期中复习
一、选择题
1．（2023九上·杭州期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，其中。将此抛物线向上平移，与x轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（ ）
A．当时，，
B．当时，，
C．当时，
D．当时，，
2．（2023九上·余杭期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2.其中正确的为（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．②⑤
3．（2023九上·秀洲期中）已知抛物线经过点，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023九上·瑞安期中）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③a－b＋c＜0；④a＋b＞m(am＋b)（m≠1）；⑤若方程|ax2＋bx＋c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的为（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．②⑤
5．（2023九上·龙泉期中）若b≤x≤b＋3时，二次函数y＝x2＋bx＋b2的最小值为15，则b的值为（ ）
A．-或 B．或
C．2或 D．-2或
6．（2023九上·杭州期中） 已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝mx2-2mx+1（m为常数，m＞0）上的两点，当t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3时，（ ）
A．若t≤1，则y1＞y2 B．若y1＞y2，则t≤-1
C．若t≥-1，则y1＜y2 D．若t≥1，则y1＜y2
7．（2023九上·期中）二次函数、、是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如下表：
x … -1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且当时，对应的函数值有以下结论：；；关于的方程的负实数根在和之间；和在该二次函数的图象上，则当实数时，．
其中正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·东阳期中）已知抛物线y＝-x2+bx+3的顶点坐标为（1，4），若关于x的一元二次方程-x2+bx+3-t＝0（t为实数）在-1≤x≤5范围内有两个不同的实数根，则实数t的取值范围是（ ）
A．-12≤t＜4 B．t＜4 C．-12＜t≤0 D．0≤t＜4
9．（2023九上·萧山期中）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③a－b＋c＜0；④a＋b＞m(am＋b)（m≠1）；⑤若方程|ax2＋bx＋c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的为（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．②⑤
10．（2023九上·江北期中）如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，以为边向右作菱形，点C恰与原点O重合，抛物线的顶点在直线上移动．若抛物线与菱形的边、都有公共点，则h的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023九上·乐清期中）如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），点C关于抛物线对称轴的对称点为点D， 动点E在y轴上， 点F在以点B为圆心，半径为1的圆上，则DE+EF的最小值是 ．
12．（2023九上·新昌期中）设的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则所有可能的数对是
13．（2023九上·龙湾期中）图1是一个瓷碗，图 2 是其截面图，碗体 DEC 呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm．
（1）当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为 ；
（2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM=45°时停止，此时碗中液面宽度CH= ．
14．（2023九上·温岭期中）如图，已知抛物线y1的开口向上且顶点D在y轴的负半轴上，y2由y1先绕顶点旋转180°，再平移得到，它们与x轴的交点为A、B、C且AB=BC=2OD=4，则抛物线y2的顶点E的坐标是 ；若过定点（1，1）的直线被抛物线y1、y2所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为 .
三、解答题
15．（2023九上·新昌期中）在直角坐标系中，已知点（为非零实数），点与点关于原点对称，若抛物线过三点．
（1）当时，求抛物线对应的二次函数解析式；
（2）尝试把的取值分成两类，使抛物线对应的二次函数分别有关于的最大、最小值，并写出最大值和最小值关于的函数解析式．
16．（2023九上·杭州期中） 已知二次函数y＝2x2+bx+c（b，c是常数）
（1）若A（1，0），B（0，4）两点在该二次函数图象上，求二次函数的表达式．
（2）若二次函数的表达式可以写成y＝2（x-h）2-2的形式（h是常数），求b+c的最小值．
（3）若二次函数的表达式还可以写成y＝2（x-m）（x-m-k），它的图象与x轴交于A，B两点，一次函数y＝kx+b的图象经过点A，且与二次函数的图象交于另一点C．是否存在实数k，使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
17．（2023九上·龙湾期中）已知如图1，二次函数与x轴交于点A，C两点，且点A在点C的左侧，与y轴交于点B，连结AB．
（1）求点A、B的坐标；
（2）如图2，将点A向下平移n个单位得到D，将D向左平移m个单位得，将向左平移2m个单位得，若与均在抛物线上，求m，n的值；
（3）如图3，点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点，连结PB ，过P作PQ//AB，与抛物线另一个交点为Q，M，N为AB上两点，且PM//y轴，QN//y轴，
①当△BPM为直角三角形时，求点P的坐标；
②是否存在点P使得PB 与 QN相互平分，若存在，求PQ的长，若不存在，说明理由．
18．（2023九上·新昌期中）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（－1，0）和B（m，0），与y轴相交于点C，且经过点D（3，3），过点D作DE⊥BD，交y轴于点E，连结BE．
（1）当m＝6时，求这个二次函数的表达式．
（2）试用含m的代数式表示点C的坐标．
（3）作点D关于BE的对称点D′，连结OD′，ED′．当△OD′E的面积等于1时，请直接写出m的值．
19．（2023九上·期中）已知二次函数y＝a（x+2a-1）（x-a+2）（a是常数，a≠0）．
（1）当a＝1时，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
（2）若此函数图象对称轴为直线x＝-2时，求函数的最小值．
（3）设此二次函数的顶点坐标为（m，n），当a≠1时，求的最大值
20．（2023九上·平湖期中）如图，直线y＝-x+3交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝-+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．
（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．
21．（2023九上·温岭期中）定义：若一个函数图象上存在纵坐标与横坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“互逆点”
（1）若点M（-2，m）是一次函数y=kx+6的图象上的“互逆点”，则k= 若点N(n，-n)是函数y的图象上的“互逆点”，则n=
（2）若点P(p，3）是二次函数y=x2+bx+c的图象上唯一的“互逆点”，求这个二次函数的表达式；
（3）若二次函数y=ax2+bx+c（a，b是常数，a>0）的图象过点（0，2），且图象上存在两个不同的“互逆点”A（x1，-x1），B（x2，-x2），且满足-122．（2023九上·乐清期中）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式．
（2）已知点D为y轴上一点，点D关于直线AC的对称点为D1．
①当点D1刚好落在第二象限的抛物线上时，求出点D的坐标．
②点P在抛物线上（点P不与点A、点C重合），连结PD，PD1，DD1，是否存在点P，使△PDD1为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在
23．（2023九上·吴兴期中）如图所示，抛物线与双曲线相交于点A、B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（-2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍，记抛物线的顶点为E。
（1）求双曲线和抛物线的函数关系式；
（2）计算△ABC与△ABE的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使 ABD的面积等于 ABE的面积的8倍？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当m>0时，抛物线开口向上，对称轴为x=-2，平移后的对称轴不变，所以所以结合图像易知，；
同理，当m<0时，抛物线开口向下，对称轴为x=-2，平移后的对称轴不变，所以结合图像易知，.
故答案为：A.
【分析】抛物线上纵坐标相等的点离对称轴的距离相等，上下平移对称轴不变，所以不论抛物线开口向上还是向下，再结合图像即可判断得解。
2．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵二次函数图象开口向下，
∴a<0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴a与b异号，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故①错误；
∵二次函数图象与x轴交于不同两点，
∴△=b2-4ac>0，即b2>4ac，故②错误；
由图象可知当x=-1时，y<0，即a-b+c<0， 故③正确；
由图象知，当x=1时函数有最大值，
∴当x=1时的y值大于当x=m (m≠1)时的y值，即a+b+c>m (am+b)+c，
∴a+b＞m(am+b)(m≠1)，故④正确；
将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y=1有四个交点即可，
由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4，故⑤错误，
综上正确的是③④.
故答案为：C.
【分析】由二次函数图象的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断①；由二次函数图象与x轴交于不同两点，即可判断②；根据图象，当x=-1时，y<0，得当x=-1时，a-b+c<0，即可判断③；根据函数的最值即可判断④；将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y=1有四个交点，由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4，即可判断⑤.
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由物线的解析式，可知对称轴为直线x=3；
当a＞0时，由，可得；
∴
∴＜0
当a＜0时，，可得；
∴＜0
故答案为：D.
【分析】由可以判断到对称轴的距离比到对称轴的距离大；根据a与0的大小须分类讨论，当a＞0时，二次函数图象开口向上，距离对称轴越远，y的值越大，即可判断，正数与负数的积为负数；当a＜0时，二次函数图象开口向上，距离对称轴越远，y的值越小，即可判断
，负数与正数的积为负数.
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：如图，
∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴的右侧，a与b异号，
∴b＞0，
∵与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵二次函数图象与x轴交于不同两点，则△=b2-4ac＞0．
∴b2＞4ac.故②错误；
∵当x=-1时，y＜0，
即a-b+c＜0，故③正确；
∵x=1时函数有最大值，
∴当x=1时的y值大于当x=m（m≠1）时的y值，
即a+b+c＞m（am+b）+c
∴a+b＞m（am+b）（m≠1）成立，故④正确；
将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y=1有四个交点即可，
由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4，故⑤错误．
综上：③④正确．
故答案为：C.
【分析】由二次函数图象的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断①；由二次函数图象与x轴交于不同两点，即可判断②；根据图象，当x=-1时，y＜0，得当x=-1时，a-b+c＜0，即可判断③；根据函数的最值即可判断④；将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y=1有四个交点，由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4，即可判断⑤．
5．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数
∴二次函数图象开口向上，对称轴为
①当时，即
∴当时，为最小值，
∴
解得：
②当时，即
在自变量x满足的情况下，y随x增大而增大，
∴当时，为最小值，
∴
解得：
③当时，即
在自变量x满足的情况下，y随x增大而减小，
∴当时，为最小值，
∴
解得：
综上所述，b的值为：或，
故答案为：B.
【分析】由二次函数解析式知：二次函数图象开口向上，对称轴为然后分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别根据二次函数的增减性和最值计算即可.
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ y=mx2-2mx+1中m>0，
∴ 抛物线的开口向上，对称轴为x=1，
∴若 t ≥1，即 x＞1时，函数为单调增，∴y1＜y2，D项符合题意；
若t ≤1，则y1与y2的大小无法判断，A项不符合题意；
若t≥-1，则y1与y2的大小无法判断，C项不符合题意；
若y1＞y2，则t≤-2，B项不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数图象上的点的坐标特征，在对称轴的左侧，函数值随x的增大而减小，在对称轴的右侧，函数值随y的增大而增大，即可判断.
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①将点代入二次函数的解析式可得：可得即a与b互为相反数，即则即故①错误；
②将代入得：所以又因为 当时，对应的函数值 即，解得则故②正确；
③因为，则对称轴直线方程：又因为 当时，对应的函数值 所以根据二次函数的对称性可得：当时，对应的函数值而时所以抛物线与x轴的交点坐标在和0之间，即 关于的方程的负实数根在和之间 ，所以③正确；
④因为 和在该二次函数的图象上，所以若，且s所以解得故④错误，
综上所述②③正确.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查二次函数各项系数的关系、二次函数图象及性质.
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝-x2+bx+3的顶点坐标为（1，4） ，
∴ 4=-1+b+3，
∴ b=2，
∴y＝-x2+2x+3，
∴ x=-1时，y=0；x=5时，y=-12，
∵-x2+bx+3-t＝0 在-1≤x≤5范围内有两个不同的实数根，
即 y＝-x2+2x+3 与 y=t 在-1≤x≤5范围内有两个交点，
由图象可知，如图，
当 0≤t＜4 时， y＝-x2+2x+3 与 y=t 在-1≤x≤5范围内有两个交点，
即当 0≤t＜4 时， -x2+bx+3-t＝0（为实数）在-1≤x≤5范围内有两个不同的实数根.
故答案为：D.
【分析】根据顶点坐标得抛物线的解析式，再将问题转化为二次函数图象与y=t有两个交点.
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据图像可知：a<0， c>0. ，∴b=-2a>0
∴abc<0 ①错误；
易知， 4ac<0，∴，∴②错误；
根据图像可知：当x=-1时，y<0，把x=-1代入解析式中得，y= a－b＋c＜0∴③正确；
根据图像可知：当x=1时，y最大，把x=1代入解析式中得，y= a+b＋c最大，
当x=m，且m≠1时，y= am2+bm＋c，此时 am2+bm＋c即a＋b＞m(am＋b) ， ∴④正确；
若方程|ax2＋bx＋c|＝1有四个根， 则ax2＋bx＋c=1或ax2＋bx＋c=-1
在方程ax2＋bx＋c=1中，设两根为，则，
在方程ax2＋bx＋c=-1中，设两根为，则=2
∴，∴⑤错误。
故答案为：C.
【分析】根据图像的开口方向判断a的正负，根据图像与y轴 的交点位置判断c的正负，根据对称轴的位置和开口方向，判断b的正负，从而判断①②的正误；取特殊值x=1，结合图像判断③的正误；根据图像的对称轴及最值判断④的正误；根据一元二次方程根与系数关系得出两根和，最后计算出四根的和，判断⑤的正误。
10．【答案】A
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；菱形的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：联立
解得 ，
点B(-2，1)，
直线与y轴交点A(0，2)，
四边形ABCD是菱形，
D(2，1)，
抛物线的顶点在直线上移动，且顶点坐标为，
，
抛物线为
抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，
当抛物线经过点C时如图1，
将C(0，0) 代入，
求得 (舍去) ，或；
当抛物线经过点B时如图2，
将B(-2，1) 代入，
求得 ，或(舍去)；
综上所述，h的范围是 .
故答案为：A.
【分析】将y=x+2与y=-x联立可求得点B的坐标，然后由抛物线的顶点在直线y=-x上可求得k=-h，于是可得到抛物线的解析式为，由图形可知当抛物线经过点B和点C时抛物线与菱形的边AB、BC均有交点，然后将点C和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得h的值，从而可判断出h的取值范围.
11．【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；圆-动点问题
【解析】【解答】解：过点D作y轴的对称点H，连接BH交y轴于点E，交圆于点F，则DE+EF最小，如下图：
令抛物线的y=0，则解得x=3或1；令x=0，则y=3；
∴抛物线与x轴的交点为A（1，0），B（3，0），与y轴的交点C为（0，3）
∵y= x2﹣4x+3 = （x-2）2﹣1
∴抛物线的对称轴为直线x=2，点D的坐标为（4，3）
∵点H与点D关于y轴对称
∴点H的坐标为（-4，3），EH=ED
∴当DE+EF最小值=EH+EF=HF=HB-FB=.
故答案为：.
【分析】根据轴对称的性质，确定点E和F的位置；根据二次函数与坐标轴的交点关系，可得二次函数与x轴，y轴的交点；根据抛物线的解析式，可得其对称轴；根据关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得点H的坐标；根据两点间的距离公式，可得HB的值，进而求出HF的值.
12．【答案】（1，1），（1，0），（2，1），（2，2）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①当m=1时，则
当时，则
∴则
当时，同理可得到函数表达式为则
②当m=2时，则
当时，则
∴则
当时，同理可得到函数表达式为则
故答案为：（1，1），（1，0），（2，1），（2，2）.
【分析】根据题意可知需分两种情况讨论，①当m=1时，②当m=2时，分别利用函数与x轴交点情况，即可求解.
13．【答案】（1）cm
（2）
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）以点E为原点，建立直角坐标系，如图，
∵EG=8， CD=12，
∴C（6，8），D（-6，8），
∴抛物线为y=x2，
∵ET=4
∴P（，4），Q（，4），
∴PQ=cm；
故答案为：cm；
（2）建立直角坐标系，如图，
根据题意得：C（6，8），
∵∠ABM=45°，且CH∥CH，
∴直线CH的斜率为1，
∴直线CH：y=x+2，
∴直线CH与抛物线y=x2的交点H（，），
∴CH=.
故答案为：.
【分析】（1）根据题意建立合适的直角坐标系并找到关键点求得解析式即可求得；
（2）根据题意建立合适的直角坐标系得二次函数，再根据二次函数与一次函数的交点问题得H（，），再计算两点之间距离即可.
14．【答案】（-6，8）；
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：由题意：，且，
∴，，，，
即：，，，，
设表达式为，
将，代入
，解得：
∵由先绕顶点旋转180°，再平移得到，与x轴的交点为B、C，
∴设表达式为
将，代入得：
，解得：
∴
∴；
设过定点的直线表达式为，
将代入得：，即：
∴，
设过定点的直线被抛物线、所截得的线段端点横坐标分别为、、、，
∵过定点的直线被抛物线、所截得的线段长相等，
∴
与联立得：
整理得：
根据韦达定理得：，
∴
与联立得：
整理得：
根据韦达定理得：，
∴
∵
即：，
解得：
故答案为：；
【分析】由，可得，，，，将、代入，利用待定系数法即可求出的表达式，将、代入，即可求出的表达式，化为顶点式即可得解；
（2）设过定点的直线表达式为，将代入可得 ，设过定点的直线被抛物线、所截得的线段端点横坐标分别为、、、，由题意得，联立与，整理得，由韦达定理可得：，，利用，并代入化简，同理：联立与，整理得：，由韦达定理及完全平方公式代入化简，由，建立等量关系，求解即可；
15．【答案】（1）解：设二次函数的关系式为，
∵点和点B关于x轴对称，
∴点B的坐标为.
∵抛物线Q过A，B，C三点，得
解得
∴抛物的关系式为．
当时，抛物线的关系式为；
（2）解：①当时，抛物线开口向上，函数有最小值，
即；
②当时，抛物线开口向下，函数有最大值，
即．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）设二次函数的关系式为，根据题意得到点B的坐标为进而根据抛物线过A、B、C三点，则，即可求出抛物线的解析式，进而令t=2，即可求解；
（2）分两种情况讨论，①当时，抛物线开口向上，函数有最小值，②当时，抛物线开口向下，函数有最大值，分别求出二次函数的最值即可.
16．【答案】（1）解：∵二次函数y＝2x2+bx+c 过点A（1，0）、B（0，4），
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为y＝2x2-6x+4；
（2）解：把y＝2（x-h）2-2化成一般式得，y＝2x2-4hx+2h2-2，
∴b＝-4h，c＝2h2-2，
∴b+c＝2h2-4h-2＝2（h-1）2-4，
把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，
∴当h＝1时，b+c的最小值是-4；
（3）解：存在，理由：
①当k＞0时，
（i）点A（m，0），B（m+k，0），则一次函数解析式可以表示为y＝k（x-m），
联立，
解得：，，
∴C（，），
由图可知，当三角形是以AB为腰的等腰三角形时，则只能AB＝BC，
过点C作CD⊥x轴，
则CD＝，BD＝-（m+k）＝，
BC2＝CD2+BD2＝（）2+（）2＝+，
∵AB＝m+k-m＝k，AB＝BC，
∴k2＝+，
∴k＝±，
∵k＞0，
∴k＝；
（ii）若点A（m+k，0），B（m，0），则一次函数解析式可以表示为 y＝k（x-m-k），
联立，
∴，，
∴C（，），
∵y＝2（x-m）（x-m-k），
∴抛物线的对称轴为直线x＝m+k，顶点坐标为（，），
即点C恰好是抛物线顶点，
∴总是有AC＝BC，
过点C作 CD⊥x轴，如图，
则CD＝，BD＝m+-m＝，
∴BC2＝CD2+BD2＝（）2+（）2＝+，
∵AB＝k，AB＝BC，
∴k2＝+，
∴k＝±，
∵k＞0，
∴k＝；
②当k＜0时，
同理可得：k＝-或-；
∴综上所述，k＝±或±．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求得；
（2）变形解析式得b=-4h，c=2h2-2，b+c=2（h-1）2-4，利用二次函数的性质即可求得；
（3）分两种情况：①当k＞0时，（i）点A（m，0），B（m+k，0），则一次函数解析式可以表示为y＝k（x-m），与二次函数联立为方程组可求得C的坐标，当三角形是以AB为腰的等腰三角形时，则只能AB＝BC，再根据勾股定理即可求得；（ii）若点A（m+k，0），B（m，0），则一次函数解析式可以表示为 y＝k（x-m-k），与二次函数联立为方程组可求得C的坐标，恰好为抛物线的顶点，再根据勾股定理可得k；②当k＜0时，同理可求得.
17．【答案】（1）解：由题意得：A（5，0），B（0，-5)；
（2）解：作对称轴交x轴于点H，如图，
由题意抛物线对称轴为x=2，
∴AH=3，
∴2m=3， m=；
∴的横坐标为，把x= 代入，得y=
∴n=.
（3）解：①由题意可设直线AB的解析式：
由当x=0时，y=-5 ；当x=5时，y=0 ；
得：y关于x的函数表达式为y=x-5
设点P的横坐标为t，则M(t，t-5)， P(t，)
∴PM=
当∠BPM=90°时，则BP=MP，
∴t=， ∴t=4， P(4，)
当∠MBP=90°时，2BE=MP，
∴2t=， ∴t=3， P(3，-8），
②∵PB 与 QN相互平分，则BN=PQ，
∵AB//PQ，MP//NQ，
∴四边形PQNM是平行四边形，
∴PQ=MN，∴BN=MN，
∴N是BM的中点，
设点M的横坐标为t，
∴点N，Q的横坐标均为t，
∴P(t，)， Q( t ，)，
∵AB与x轴夹角为45°，
∴PQ与x轴夹角为45°
∴- t=
得t=或 t=0（舍去），
∴t=.
【知识点】平行四边形的判定与性质；平移的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将x=0代入解析式得y=-5，即B（0，-5）；再将y=0代入解析式得：x2-4x-5=0，解得x=5或x=-1，则C（-1，0）A（5，0）；
（2）根据抛物线的图象性质可得其对称轴为x=2，D1与D2关于对称轴对称，即到对称轴的距离相等，可得2m=3，求得m= ，根据D2的横坐标为 代入解析式进而求得n的值；
（3）① 先根据直线AB的解析式设 则M(t，t-5)， P(t，) ，计算出PM的距离-t2+5t；当△BPM为直角三角形时，只能∠BPM=90°和∠MBP=90°，当∠BPM=90°，根据BP=MP建立等量关系，求得t=4；当∠MBP=90°，根据2BE=MP建立等量关系，求t=3，即可求得P的坐标；
②根据平行四边形的判定与性质得MN=BN，根据抛物线的解析式设 P(t，)， Q( t ，)，再根据直线AB与平行关系得PQ与x轴夹角为45°，即P与Q的横坐标之差等于纵坐标之差，即 - t= ，即可求得t的值.
18．【答案】（1）解：设此函数的表达式为y=a(x+1)(x-6)，
将D（3，3）代入，得3=-12a，
∴a=，
∴此函数的表达式为y=(x+1)(x-6)，
即.
（2）解：设此函数的表达式为y=a(x+1)(x-m)，
将D（3，3）代入，得3=4a(3-m)，
∴，
∴，
当x=0时，，
∴点C的坐标为.
（3）解：如下图，作垂足为H，点D为（3，3），点B为（m，0），
则再作交DH的延长线于点，
∵∴
因为所以
在和中，
∴则
故为等腰直角三角形，又因为点D与点 D′ 关于BE的对称，所以
设纵坐标为为n，则故因为E与的纵坐标相同，
故为，B为，E为，故BE中点为设点横坐标为t，因为点D横坐标为3，所以(D、关于BE中点对称），则设 △OD′E 的高为h，由题意知h=t，
故即
解得：
m的值为4或5
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式、二次函数的图象及性质、二次函数与几何问题的综合运用，（1）运用两点式设函数的表达式为y=a(x+1)(x-6)，将D（3，3）代入，解出a即可；（2）设此函数的表达式为y=a(x+1)(x-m)，把将D（3，3）代入，得3=4a(3-m)，即，令x=0，即可求出点C的坐标；（3），作垂足为H，点D为（3，3），点B为（m，0），则再作交DH的延长线于点，可证得：则故为等腰直角三角形，根据对称性可得到：设纵坐标为为n，则故因为E与的纵坐标相同，故为，B为，E为，故BE中点为设点横坐标为t，因为点D横坐标为3，所以(D、关于BE中点对称），则设 △OD′E 的高为h，由题意知h=t，
解出m即可求解.
19．【答案】（1）解：(1)当a= 1时，
y= (x＋2-1)(a -1＋2)=(x＋1)(x＋1)=(x＋1)3
即y =x2+2x＋1，
∴函数的表达式为y = x2+2x +1，
∴函数图象的顶点坐标为(-1，0)；
（2）解：
当 时， 即
解得： ， 此函数图象与 轴的交点坐标为
此函数图象对称轴为直线 ，
解得： ，
， 函数图象开口向上，
当 时， 函数有最小值， 此时
函数的最小值为 -27 ；
（3）解： 此函数图象与 轴的交点坐标为 ，
此二次函数的顶点坐标为 ，
，
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】本题主要考查二次函数的两点式配顶点式、二次函数的图象及性质.
（1）将代入二次函数解析式即可求解；
（2）根据函数的解析式可求得函数与x轴的交点坐标，再根据二次函数的对称轴直线方程：，可得：解得再将其代入二次函数解析式求出二次函数解析式，并配成顶点式，即可求得最值；
（3）由（2）知二次函数此函数图象与 轴的交点坐标为 ，可求得对称轴直线方程：，则顶点的横坐标等于对称轴直线方程得横坐标即：，再结合二次函数解析可得：
，得到：即可求出其最大值.
20．【答案】（1）解：点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（-2，0）、（6，0），
抛物线的表达式为：y＝-x2+x+3；
（2）解：连接OM，如图，
设M（x，-x2+x+3），
则S四边形ABCM＝S△ABO+S△AOM+S△OCM
＝×3×2+×x×3+×2（-x2+x+3）
＝-x2+x+12，
∴当x＝3时，四边形ABCM面积最大，其最大值为，
此时M的坐标为（3，）；
（3）解：∵将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，如图：
∴PO′＝PO＝m，O′A′＝OA＝3，
∴O′（m，m），A′（m+3，m），
当A′（m+3，m）在抛物线上时，
-（m+3）2+（m+3）+3＝m，
解得：m＝-3±2；
当点O′（m，m）在抛物线上时，有-m2+m+3＝m，
解得：m＝，
∴当-3-2≤m≤-2或-3+2≤m≤2时，线段O′A′与抛物线只有一个公共点．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）令x＝0，得y＝-x+3＝3，∴A（0，3），
令y＝0，得y＝-x+3＝0，
解得：x＝6，
∴C（6，0），
把A、C两点代入抛物线表达式得，
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝-x2+x+3，
令y＝0，得y＝-x2+x+3＝0，
解得：x＝-2，或x＝6，
∴B（-2，0）；
即点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（-2，0）、（6，0），
抛物线的表达式为：y＝-x2+x+3；
【分析】(1)首先可求得点A（0，3），C（6，0），再利用待定系数法即可求解；
(2)连接OM，设M（x，-x2+x+3），根据S四边形ABCM＝S△ABO+S△AOM+S△OCM，计算求解即可；
(3)根据旋转性质，求得O′（m，m），A′（m+3，m），令点和点在抛物线上时，求出m的最大和最小值即可．
21．【答案】（1）2；或
（2）解：点P（p，3）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“互逆点”，即抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝-x的唯一交点为P（-3，3），
∴方程x2+bx+c＝-x有两个相等的实数根为：x1＝x2＝-3，
∴
解得，
∴二次函数的表达式为；
（3）解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），
∴c＝2，
∴y＝ax2+bx+2，
∵y＝ax2+bx+2图象上存在两个不同的“互逆点”A（x1，-x1），B（x2，-x2），
∴-x1＝ax12+bx1+2，-x2＝ax22+bx2+2，
∴ax12+（b+1）x1+2＝0，ax22+（b+1）x2+2＝0，
∴x1、x2是方程ax2+（b+1）x+2＝0的两个不相等实数根，
∴x1+x2＝，x1 x2＝，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴（x1﹣x2）2＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝（）2﹣4×＝4，
∴b2+2b+1﹣8a＝4a2，
∴z＝b2+2b+2＝4a2+8a+1＝4（a+1）2-3
∵|x1﹣x2|＝2，
∴x1﹣x2＝2或x2﹣x1＝2，
∵﹣1＜x1＜1，
∴﹣3＜x2＜﹣1或1＜x2＜3
∴﹣3＜x1 x2＜3，
∴﹣3＜＜3，
∵a＞0，
∴a＞，
∴z=4（a+1）2-3>
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数y=ax²+bx+c的性质；不等式的性质
【解析】【解答】解：根据题意得，
∴，代入解析式得，
解得：；
把代入函数
得，解得：或；
故答案为：2；或
【分析】（1）根据题意分别把，把代入解析式，求解即可；
（2）根据题意得出抛物线与直线的唯一交点为，即方程x2+bx+c＝-x有两个相等的实数根为：x1＝x2＝-3，利用根的判别式及点在函数上组成方程组求解即可；
（3）根据题意得出，x1、x2是方程ax2+（b+1）x+2＝0的两个不相等实数根，利用根于系数的关系得x1+x2＝，x1 x2＝，由（x1﹣x2）2＝4，得（x1+x2）2﹣4x1x2＝（）2﹣4×＝4，化简得b2+2b+1﹣8a＝4a2，所以z＝b2+2b+2＝4a2+8a+1＝4（a+1）2-3，再由不等式的性质确定取值范围即可．
22．【答案】（1）解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，5）B（1，0），
∴将A（﹣3，8）B（1，0）分别代入y＝﹣x2+bx+c；得，
解得，
所以，抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）解：①如图，
∵抛物线的解析式y＝﹣x2﹣2x+5．
∴C（0，3），
∴OA＝OC＝5，
∴∠OCA＝45°，
∵点D关于直线AC的对称点为D1．
∴∠DCA＝∠D1CA＝45°，CD＝CD1，
∴∠DCD1＝90°，
∴CD1∥OA，
∴点D1的纵坐标为3，
∴3＝﹣x2﹣2x+3，
∴x1＝0（舍去），x2＝﹣2，
∴CD＝CD1＝2，
∴点D（3，1）；
②以D为直角顶点，若点D在点C下方，过点P作PH⊥y轴，
∵∠DCD1＝90°，CD＝CD8，
∴∠CDD1＝45°，
∵∠D1DP＝90°
∴∠HDP＝45°，
∵PH⊥y轴，
∴∠HDP＝∠HPD＝45°，
∴HP＝HD，
∵∠CDD1＝∠HDP，∠PHD＝∠DCD1＝90°，DP＝DD1，
∴△DPH≌△DD1C（AAS），
∴CD＝CD1＝HD＝HP，
设CD＝CD1＝HD＝HP＝a，
∴点P（﹣a，6﹣2a）
∴﹣a2+2a+3＝3﹣2a，
∴a＝4，a＝0（不合题意，
∴点P（﹣4，﹣5）；
若点D在点C上方，如图3，
∵DD1＝DP，∠DCD1＝90°，
∴CD＝CP，∠DCP＝∠COA，
∴CP∥AB，
∴点P纵坐标为3，
∴3＝﹣x2﹣2x+6，
∴x1＝0（舍去），x2＝﹣2，
∴点P（﹣2，8）；
如图4，若以P为直角顶点，不合题意，
如图5，以P为直角顶点，不合题意，
如图6，以D1为直角顶点，此时PD∥x轴1作D7H⊥x轴交PD于H，
∴D1H⊥PD，
∴PH＝DH＝D1H，
设PH＝DH＝D1H＝m，
∵点D1的纵坐标为3，
∴P（﹣62m，3﹣m），
∴﹣4m2+4m+3＝4﹣m，
∴m＝，m＝2（不合题意舍去），
∴点P（﹣，）；
综上可得，点P的坐标为（﹣4，8）或（﹣，）．
【知识点】等腰直角三角形；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，将点A和B 的坐标代入解析式，列关于b和c的二元一次方程组，解方程组即可求出解析式；
（2）①抛物线与y轴相交时，x为0，代入即可求出点C的坐标；根据等腰直角三角形的判定和性质，可得∠OCA的值；根据点的对称性，可得∠DCA＝∠D1CA＝45°，CD＝CD1；根据平行线的判定，可得CD1∥OA；根据二次函数上点的性质，将y=3代入解析式，即可求出CD的值，进而求出点D的坐标；
②根据等腰直角三角形的判定和性质以及直角坐标系的性质，可得∠HPD=45°，HP=HD；根据三角形全等的判定和性质，可得CD＝CD1＝HD＝HP；分类讨论，根据抛物线上点的性质，将点P的坐标代入解析式，可得点P的坐标.
23．【答案】（1）解：将点 ，点A（-2，2）代入 双曲线 ，可得：解得：双曲线解析式.又因为 直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍 ，且点B在第四象限内，所以可设点B的坐标为在将点B代入双曲线解析式得：解得：（舍去），则点B的坐标为（1，-4），因为抛物线的图像过点A（-2，2）、点B（1，-4），点O（0，0）可得：解得：所以抛物线解析式为
（2）解：由题意可得点C的纵坐标为-4，则解得：则点C的坐标为：，点A（-2，2）、点B（1，-4），所以
因为抛物线解析式为则点E设直线AB的解析式为：将点A（-2，2）、点B（1，-4）代入得：解得：即直线AB的解析式为：设直线AB与抛物线对称轴相交于点F，设点F的坐标为则所以
所以.
（3）解：由（2）知，所以当点D的坐标与C点重合时，满足题意，此时点D（－4，－4）.根据平行线之间距离相等，过点C作AB的平行线CD，可设直线CD的解析式为：将点C坐标代入得：解得g=12，即直线CD的解析式为：，则点D为直线CD与抛物线的交点，联立直线CD与抛物线的解析式并消去y得：解得：（舍去），当x=3时，y=18，此时点D坐标为（3，－18），综上所述：点D坐标为：（－4，－4），（3，－18）.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】本题主要考查了二次函数待定系数法求解析式、三角形面积的坐标求法，三角形面积的求法我们一般选取在坐标轴上或者平行于坐标轴的边为底边，再用对应的坐标表示出高即可，（1）将点A代入竖双曲线解析即可求出k，在将点B设为代入双曲线解析式可得：点B的坐标为（1，-4），在将点A（-2，2）、点B（1，-4），点O（0，0）代入抛物线解析式即可求解；
（2）由题意可得点C的纵坐标为-4，则则点C的坐标为：，点A（-2，2）、点B（1，-4），所以可求得：点E，将三角形ABE的面积分为：，求出直线AB的解析式，得到点F的坐标，然后代值进行计算即可；
（3）由（2）知，所以当点D的坐标与C点重合时，满足题意，此时点D（－4，－4）根据平行线之间距离相等，过点C作AB的平行线CD，可设直线CD的解析式为：将点C坐标代入得：解得g=12，即直线CD的解析式为：则点D为直线CD与抛物线的交点，联立直线CD与抛物线的解析式，解出x即可求解.
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