《相似》精选压轴题—2024年浙教版数学九（上）期中复习
一、选择题
1．（2023九上·义乌期中）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，AB、CD交于F，若AE＝6，AD＝8，则AF的长为（ ）
A．5 B． C． D．6
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接BD，自点F分别作FG⊥AD，FH⊥BD交AD、BD于G、H，如图所示：
∵和都是等腰直角三角形，
∴∠ECD=∠ACB=90°，∠EDC=∠E=45°，
∴∠ECA=90°-∠ACD=∠DCB，
在和中，
∵CA=CB，∠ECA=∠DCB，CE=CD，
∴，
∴∠E=∠CDB=45°，AE=BD=6，
∵∠EDC=45°，
∴∠ADB=∠EDC+∠CDB=90°，
在中，
∵AD=8，BD=6，
∴，
∵∠CDB=∠EDC=45°，
∴DF为∠ADB的角平分线，
∵FG⊥AD，FH⊥BD，
∴FG=FH，
∴，
∵底边AF上的高与底边BF上的高相同，设高均为h，
∴，
∴，
∵AF+BF=AB=10，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】连接BD，自点F分别作FG⊥AD，FH⊥BD交AD、BD于G、H，证明，可得∠E=∠CDB=45°，AE=BD=6，则可由勾股定理求出AB的长，再由角平分线的性质得到FG=FH，根据三角形的面积公式求得，又因为AF+BF+=AB=10，即可求出AF的长.
2．（2023九上·萧山期中）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE(∠ABC和∠AED是直角），连接BE，CD交于点P，CD与AE边交于点M，对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②∠BPC=45°；③MP·MD=MA·ME；④2CB2=CP·CM，其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：、是等腰直角三角形，
，，，
，，
，正确；
，
，
，
，正确；
，，
，
，
，正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，正确.
故答案为：D.
【分析】先利用等腰直角三角形的性质得到，，进而可证得，故正确；再通过相似三角形的性质得到，由三角形的内角和定理可得，故正确；由可判定，进而得到，故正确；利用判定证得，进而可得，再由相似三角形的性质证得，从而得到，故正确.
3．（2021九上·西湖期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形ABCD与正方形EFGH.连结EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P.若 ，下列结论：① ，② ，③ ，④ .正确的是（ ）
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： 正方形ABCD与正方形EFGH.
，故①符合题意；
，
故②符合题意；
正方形
设 则
经检验： 不合题意，舍去，
故③符合题意；
故④不符合题意；
故答案为：
【分析】由正方形的性质证明∠BOG+∠BCG=180°， 结合∠BOG+∠GOP=180°，从而可判断 ① ；由GO=GP，可得∠GOP=∠GPO，从而可得∠GPO=∠BCP，可判断 ② ； 设BG=a，CG=b. 则DH=CG
=BF=b，再证明△DHP∽△BGP可得，求解HP=， 再证明PG=b， 利用HG=HP+PG， 列方程a-b=b+，解关于a的方程并检验即可判断 ③ ；证明△DHP∽△CHD.求得再证明， 求解由a≠b，可判断 ④ ，从而可得答案.
4．（2023九上·舟山期中）如图，在中，，，点为边上一动点不与点、重合，垂直交于点，垂足为点，连接并延长交于点，下面结论正确的个数是（ ）
①若是边上的中线，则；②若平分，则；③若，则；④的最小值为．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：①∵是边上的中线，
∴
∵
∴
∴，
∴
∵
∴
∴
∴则①正确；
②过点C作CM∥AB交AD的延长线于M，如图：
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴
∴
∵
∴
∵平分，
∴
∴
∴
∵
∴
∴则②正确；
③∵，设，
过点B作BN⊥BC交CE的延长线于N，如图：
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴则③正确；
④∵
∴点H在以AC为直径的圆上，
则当BH最短时，点F为AC的中点，
∴
∴
∴BH最小值为：则④错误，
综上所述，正确的有①②④，共三个.
故答案为：C
【分析】根据勾股定理求线段AD的长，再根据三角形面积计算公式即可求出线段CH的长，进而可判断①；过点C作CM∥AB交AD的延长线于M，根据已知条件证明为等腰直角三角形，则，再利用相似三角形的判定和性质即可判断②；当时，设过点B作BN⊥BC交CE的延长线于N，利用"AAS"证明，得到：进而利用相似三角形的判定和性质即可判断③；根据题意得当BH最短时，点F为AC的中点，进而即可判断④.
5．（2023九上·杭州期中）如图①，在△ABC中，∠B＝108°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C→A匀速运动一周．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为v（cm），v与t的函数图象如图②所示．当BP恰好是∠ABC的一条三等分线时，t的值为（ ）
A．+2或5 B．+3或6 C．+3或5 D．+2或6
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，，是的三等分线，
由题意得，，
∵，
∴，
，是的三等分线，
∴
由三角形外角的性质得 ，
∴，
同理，
①BP恰好是∠ABC的靠近AB的三等分线
，
时间t=6
②BP恰好是∠ABC的靠近BC的三等分线
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
时间t=，
∴当恰好是的一条三等分线时，t的值为或6．
故答案为：或6.
【分析】根据图可知，再根据，是的三等分线，可以写出各个角的度数，分①BP恰好是∠ABC的靠近AB的三等分线，②BP恰好是∠ABC的靠近BC的三等分线，分别求出对应的时间，即可得出答案．
二、填空题
6．（2023九上·杭州期中）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．
（1）线段DF的长为 ；
（2）连接AC，若AC交DF于点M，则＝ ．
【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1） 在矩形ABCD中，AD＝6 ， E是BC的中点
∴
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得；
故答案为：；
（2）若交于点，延长交延长线于点，如图所示：
在中，
，
，
由
，
，
即
解得，
，
，
．
故答案为：.
【分析】（1）利用三角形面积相等，，求解即可；
（2）延长交的延长线于，由，利用相似三角形的性质求出，所以，再由，由相似三角形的性质可得．
7．（2022九上·拱墅期中）矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F＝∠EDC，则BF＝ .
【答案】10
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，连接EC，过点D作DH⊥EC于H.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝5，
∵AE＝3，
∴DE＝＝5，
∴DE＝DC，
∵DH⊥EC，
∴∠CDH＝∠EDH，
∵∠F＝∠EDC，∠CDH＝∠EDC，
∴∠CDH＝∠F，
∵∠BCE+∠DCH＝90°，∠DCH+∠CDH＝90°，
∴∠BCE＝∠CDH，
∴∠BCE＝∠F，
∴EC∥AF，
∴，
∴，
∴CF＝6，
∴BF＝CF+BC＝10.
故答案为：10.
【分析】连接EC，过点D作DH⊥EC于H，由矩形的性质可得∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝5，利用勾股定理可得DE，由等腰三角形的性质可得∠CDH＝∠EDH，由已知条件可知∠F＝∠EDC，∠CDH＝∠EDC，推出∠CDH＝∠F，根据同角的余角相等可得∠BCE＝∠CDH，推出EC∥AF，利用平行线分线段成比例的性质可得CF，然后根据BF＝CF+BC进行计算.
8．（2017·黄冈模拟）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为 ．
【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在Rt△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，
∴OC= =5，
∴PC=OC=OP=5﹣3=2．
∴PC最小值为2．
故选B．
【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．
9．（2023九上·江北期中）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，，则大正方形的边长为 ．
【答案】3
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长BF交DC于点N，如图，
设小正方形在DE上的顶点为M，设，
大正方形与小正方形的面积之比为5，
，
，
，
，
化简得，
，
，
∴，，
，，
，
∴，
，
设，则，
，
，
，
∴，
，
又 ，
，
，
，
，
.
故答案为：3.
【分析】延长BF交DC于N，设小正方形在DE上的顶点为M，设，由面积比得，又，求得，利用，得到，，利用，得到，
设，根据相似比求出EF的长，进而求大正方形面积.
10．（2023九上·杭州期末）如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F 在另一条直线上. 以下结论正确的是（ ）
A．△COF∽△CEG B．OC=3OF
C．AB：AD=4：3 D．GE=DF
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由折叠性质得：∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO＋∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG＋∠OEC＝90°，
由矩形的性质，设AD=BC=2a，AB=DC=2b，
由折叠得DG=OG=a，AE=OE=BE=b，
∴CG=OG+OC=OG+BC=3a，
在Rt△CEG中，CG2=GE2+CE2，
∴（3a）2=a2+b2+b2+（2a）2，
解得，
∴AB=2b=；
∴，故C选项不符合题意；
在Rt△COF中，设OF=DF=x，则CF=2b-x=-x，
∵∠D=∠GOF=90°，
∴x2+（2a）2=，
解得，
∴，
在Rt△AGE中，
∴，故D选项符合题意；
∴，故B选项不符合题意；
在Rt△CEB中，，
∵∠GEC=∠FOC=90°，而，
∴△COF不相似于△CEG，故A选项错误，不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据折叠的性质易得∠FOG=∠GOE=∠EOC=∠FGE=∠GEC=90°，根据折叠的性质和矩形的性质得点G为AD中点，点E为AB中点，设AD＝2a，AB＝2b，利用勾股定理根据勾股定理分别用含a的式子表示出OF、GE、CE、AB，进而即可判断B、C、D，进而根据∠GEC=∠FOC=90°，而判断A选项.
11．（2023九上·杭州期中）如图，在中，为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则的面积是 ，面积的最大值为 .
【答案】10；8
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：因为所以BC边上的高为所以
过点C作于点G，作于点H，作于点M，
因为所以易证相似于，所以可得GB=8，设BD=x，则DG=8-x，易证所以EH=DG=8-x，所以当x=4时，面积的最大值为8.
故答案为：10；8.
【分析】根据勾股定理求出三角形ABC边BC上的高，即可求其面积；过点C作于点G，作于点H，作于点M，由相似于解得BG，设BD=x，根据即可求出三角形BDE的面积表达式，利用二次函数最值即可得解。
三、解答题
12．（2023九上·萧山期中）如图1，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，E为AD上一点，CE与BD交于点F．
（1）若AE＝CE，BD⊥CE，①求∠DEC的度数．②如图2，连接AF，当BC＝3时，求AF的值．
（2）设（0＜k＜1），记△CBF的面积为S1，四边形ABFE的面积为S2，求的最大值.
【答案】（1）解：①，
即，
②过点F作于点，
在Rt中，，
，
在Rt中，，
，
，
在Rt中，，
，
，
，
；
（2）设，
，
，
，
，
∵
∴
∵
∴∠FHD=90°
∴∠FHD=∠BAD，
又∵∠FDH=∠BDA，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
当时，的最大值为.
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】(1) ① 先利用等腰三角形的性质得到，再根据矩形的性质可得，，进而得到，然后通过计算得.
② 作，利用直角三角形、的性质得到，，进而得到，再通过直角三角形的性质得到FH、DH的长度，然后由勾股定理计算出AF的长度.
(2)设，根据相似三角形的性质可得，故，又由可得，再根据得，故，从而得，因此，故当时，的最大值为.
13．（2023九上·金华期中）如图1，矩形ABCD中，AB=a，BC=6，点E，F分别为AD，AB边上任意一点，现将△AEF沿直线EF对折，点A对应点为点P．
（1）若点B与点F重合
①如图2，若a=5，当点P落在BC中垂线上时，求AE的长；
②当点P可以两次落在在BC中垂线上时，求a取值范围；
（2）如图3，连接BD，若a=4，AE=2AF，直线FP交△BCD的边于点G，是否存在点G，使得以E，G，P为顶点的三角形与△AEF相似．若存在，请求出AE的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解： ① 如下图设BC的中垂线与AD的交点为T，与BC的交点为G，设在图2中根据折叠关系可得：则在中则由矩形的性质可得：故，在中由勾股定理可得：即解得即
②如图作出矩形BC边的中垂线MN，分别交AD，BC于点M、N，当点P与点N重合时，点P只有一次落在BC中垂线上，根据折叠的性质可得：且则四边形ABMN为正方形，此时
如图，当点E与点D重合，点F与点B重合时，是两次落在中垂线上的临界位置，根据题意可得：又根据折叠的性质可得：又∵点P在BC的中垂线上，∴故则为等边三角形，∴又根据折叠的性质可得：，又在中即解得综上所述a的取值范围为：
（2）解：存在，理由如下：
过点G作于点N，连结EG，∵四边形ABCD为矩形，∴则故
四边形ABGN为矩形，∴当时又∵
∴根据折叠的性质可得：∴∴则
设则由勾股定理可得：由此可得：
∴又∵∴故即
解得：x=1，∴
过点G作于点M，连结EG，∵四边形ABCD为矩形，∴又∵，∴则
则当时，又∵∴根据折叠的性质可得：∴∴∴则又∵∴∵∴又∵∴
则设则AF=2t，MG=2AE=4t，∴则解得：则
如图当时，过点P作于点M，过点E作，交MP的延长线于点N，则四边形AMNE是矩形，则AE=MN，AM=EN，
设AF=y，则AE=EP=2AF=2y，FP=y，BF=4-FP=4-y，根据折叠的性质可得：AE=PE，∵，∴，则
AF=FP=PG，又∵，，∴则则FM=BM，故∴同上运用等量代换可证得：则又则解得
则
如图当时，过点P作于点M，过点E作，交MP的延长线于点R，过点G作于点Q，则四边形AMER为矩形，∴设则同上可证得：则设则∴解得∵∴则，∴则由上可知：则则解得：AE=则，
综上所述：存在，相似的点且或或或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） ① 作出BC的中垂线与AD的交点为T，与BC的交点为G，设然后根据折叠的性质，通过勾股定理建立方程，解出x即可求解；
② 如图作出矩形BC边的中垂线MN，分别交AD，BC于点M、N，当点P与点N重合时，点P只有一次落在BC中垂线上，根据折叠的性质及矩形的性质可解得此时a=3，当点E与点D重合，点F与点B重合时，是两次落在中垂线上的临界位置，通过折叠的性质，等边三角形使得性质及正切函数的定义可解得此时，综合两种情况即可求得a的取值范围；
（2）运用分类讨论的思想，运用三角形相似、全等、平行线成比例定理、折叠的性质进行求值计算即可.
14．（2023九上·金华期中）在平面直角坐标系中，点B、E的坐标分别为B（-2，），E（4，0），过点E作直线l⊥x轴，设直线l上的动点A的坐标为（4，m），连接AB，将线段BA绕点B顺时针方向旋转30°得到线段BA′，在射线BA′上取点C，构造Rt△ABC，使得∠BAC＝90°．
（1）如图1，当m＝-时，求直线AB的函数表达式．
（2）当点C落在x轴上如图2的位置时，求点C的坐标．
（3）已知点B关于原点O的对称点是点D，在点A的运动过程中，是否存在某一位置，使△ACD与△ABC相似（包括全等）？若存在，请直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，则有：
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为：；
（2）解：当点C在x轴上时，设C点的坐标为（n，0）；
过B作BH⊥l于点H，则BH＝6，CE＝n-4，AH＝m-，
∵∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAE＝∠ACE，
∴△ABH∽△CAE，
∴，
∴，
解得：，n＝5，
∴C(5，0)
（3）解：点A的坐标为（4，5）或（4，）或（4，）或（4，-）或（4，-2）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）设直线的函数表达式为，然后把 （4，） ， （-2，） 代入解析式，即可求解；
（2）当点C在x轴上时，设C点的坐标为（n，0），过B作BH⊥l于点H，则BH＝6，CE＝n-4，AH＝m-，推出△ABH∽△CAE，结合三角形相似的性质，推出n＝5，即可得解；
（3）存在，分五种情况进行分类讨论，灵活运用相似三角形的判定和性质进行求解．
15．（2023九上·绍兴期中）如图1所示，正方形BEFG绕正方形ABCD的顶点B逆时针旋转α度（0°＜α＜45°），GF与AB交于点H．
（1）当BE＝4，α＝30°时，求BH的长；
（2）如图2，连接DF，CE，BD；
①判断DF与CE的数量关系，并证明；
②当G，F，D三点共线时，延长BF交AD于点M，时，求BC的长．
【答案】（1）解：∵ 四边形BEFG是正方形，BE=4，
∴ BG=4，∠G=90°，
∵ α＝30° ，即∠GBH=30°，
∴ GH=BH，
∴ 在Rt△GBH中，勾股定理得，
解得：BH=.
（2）解：①连接BF，如图，
∵ 四边形BEFG，四边形ABCD是正方形，
∴ ∠DBC=∠FBE=45°，BD=BC，BF=BE
∴，
∵ ∠DBC-∠DBE=∠FBE-∠DBE，
∴ ∠FBD=∠EBC，
∴ △FBD∽△EBC，
∴，
∴ DF=CE.
②画出图形，如图，
∵ 四边形BEFG，四边形ABCD是正方形，
∴ ∠MDB=∠GFB=45°，
∴ ∠MDB=∠MFD=45°，
∴ △MDB∽△MFD，
∴，
设正方形ABCD边长为a，
则，
∴ MD=，MB=，
∴ AM=AD-MD=，
在Rt△ABM中，AM2+AB2=MB2，
，
解得：a=，
即.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质和勾股定理即可求得；
（2） ①根据正方形的性质得，从而判定△FBD∽△EBC，再根据相似三角的对应边成比例即可求得；
②根据两个角分别相等的两个三角形为相似三角形得△MDB∽△MFD，推出 ，求出MD，MB，AM，再根据勾股定理求得BC.
16．（2023九上·洞头期中）如图，
在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是AB上一动点，连接CD，以CD为直径的⊙O交AC于点E，连接BO并延长交AC于点F，交⊙O于点G，连接BE，EG．
（1）求证：BE＝EG．
（2）当CD平分∠BCA时，求证：△BEF为等腰三角形．
（3）当BD＝CF，请直接写出△COF和△BOD的面积之比为 ．
【答案】（1）证明：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BCA＝∠A＝45°，
∴∠BGE＝∠BCA＝45°，
∵BG是⊙O的直径，
∴∠BEG＝90°，
∴∠GBE＝∠BGE＝45°，
∴BE＝EG；
（2）证明：∵∠BCA＝∠A＝45°，CD平分∠BCA，
∴∠ACD＝∠BCD∠BCA＝22.5°，
∴∠ABE＝∠ACD＝22.5°，
∴∠BEF＝∠A+∠ABE＝45°+22.5°＝67.5°，
∵∠GBE＝45°，
∴∠BFE＝180°-∠GBE-∠BEF＝180°-45°-67.5°＝67.5°，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BF＝BE，
∴△BEF是等腰三角形；
（3）
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）连接CG，
，，
，
，，
又BD=CF，
，
是等腰三角形，
，
而，
，
，
，
设AB＝BC=x，
∠ABC＝90°，
，
，
，
，，
.
故答案为：.
【分析】（1）根据等腰直角三角形性质得∠BCA＝∠A＝45°，由同弧所对的圆周角相等得∠BGE＝∠BCA＝45°，再由直径所对的圆周角是直角得到∠BEG＝90°，则∠GBE＝∠BGE＝45°，进而得到 BE＝EG；
（2）根据三角形外角性质和圆周角定理得∠BEF＝∠A+∠ABE＝∠A+∠ABE=∠A+∠BCA=67.5°，再根据三角形内角和定理求得∠BFE＝67.5°，所以∠BEF＝∠BFE，即△BEF是等腰三角形；
（3）连接CG，通过证明，得到，进而得到，所以，，设AB＝BC=x，所以，所以，进而得到，，.
17．（2023九上·舟山期中）
（1）【探究证明】某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：
如图①，在矩形中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：；
（2）【结论应用】如图②，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合，若，求折痕的长；
（3）【拓展运用】如图③，将矩形沿折叠．使得点D落在边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形，若，求的长．
【答案】（1）解：如图，过作交于，过作交于，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴四边形、均为平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
由勾股定理得，
∵将矩形沿折叠，使得点B和点D重合，
∴，
由（1）可知，，即，
∴，
∴的长．
（3）解：如图所示，过点作交延长线于，
由折叠的性质可得，
由（1）可知，，即，解得，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
由折叠的性质可得，，，，
设，则，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
在中，由勾股定理得．
【知识点】勾股定理的应用；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过作交于，过作交于，根据矩形的性质和平行四边形的性质得到：，进而根据相似三角形的性质即可求解；
（2）连接，利用勾股定理求出BD的长，根据折叠的性质得到：，结合（1）中的相似即可求出EF的长；
（3）过点作交延长线于，根据折叠的性质得到，结合（1）中的相似即可求出DG的长，进而利用勾股定理求出AG的长，设，则，再利用勾股定理列方程即可求出DE、GE和AD的长度，然后根据相似三角形的判定和性质求出HP和GH的长度，在中，利用勾股定理即可求解.
18．（2023九上·杭州期中）如图
问题探究：
（1）如图①，已知线段AB＝2，在AB的两侧分别作等边△ABC和Rt△ABD，且∠ADB=90°，CM、DM分别为两个三角形的中线，连接CD，则CD的最大值为 ；
（2）如图②，已知△ABC，分别以AB为直角边在△ABC外侧作Rt△ABP，以AC为斜边在△ABC外侧作Rt△ACQ，且∠ABP＝∠AQC＝90°，∠PAB＝∠CAQ＝30°，连接PC、BQ，请求出的值；
（3）如图③，已知边长为a的正方形ABCD，点E是边CB延长线上一动点，连接AE、ED，请问是否存在的最小值？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：如图：
∵，，
∴，
∴
即，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴；
（3）解：存在的最小值，理由如下：
以为直径作圆O，在圆上找一点F，使得，连接
∴，
∴，
∴，即，
∵，即，
∴，
∴
∴，
∵，
∴
∴当取得最大值时，取得最小值，此时B、O、F三点共线，
∵，
∴
∴
∴的最小值为．
【知识点】三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）解：如图所示：∵是等边三角形，为边上中线，∵，∴则∵，为边上的中线，∴，∵，∴∴当C、M、D三点共线时，的最大值为；故答案为：.
【分析】（1）等边三角形边长为2，求出中线，再根据直角三角形的性质求出斜边的中线，根据三角形三边关系得出，即可得到答案；
（2）由题意得，根据相似三角形的性质得出 ，再由已知条件推出，可得，通过等量代换得，解即可得解；
（3）以为直径作圆O，在圆上找一点F，使得， 连接 ，易得 ， 根据相似三角形的性质得，进而证明出 ， 利用相似三角形性质得出 ，即 ， 当取得最大值时，取得最小值， 此时B、O、F三点共线， 求出，即可得到答案．
19．（2021九上·上城期中）如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝3：2，点F、G分别在边AB、CD上，将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O.
（1）若BC＝8，E是BC中点，求BF的长；
（2）试探究GF与AE之间的位置关系与数量关系，并说明理由；
（3）连接CP，若 ，GF＝2 ，求线段BE和CP的长.
【答案】（1）解：∵AB：BC＝3：2，BC＝8，E是BC中点，
∴AB＝12，BE＝4，
设BF的长为x，则AF＝12﹣x，
由矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处得EF＝AF＝12﹣x，
在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，
∴42+x2＝（12﹣x）2，解得x＝ ，
∴BF的长为 ；
（2）解：GF与AE之间的位置关系是：GF⊥AE，GF与AE之间的数量关系是： ＝ ，理由如下：
∵矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，
∴A、E关于FG对称，
∴GF⊥AE，
过点G作GM⊥AB于M，如图：
∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴ ＝ ，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴ ＝ ＝ ＝ ；
（3）解：过点P作PN⊥BC交BC的延长线于N，如图：
由 ，设BE＝3k，则BF＝4k，EF＝AF＝5k，AB＝9k，
∵ ＝ ，FG＝2 ，
∴AE＝3 ，
∴（3k）2+（9k）2＝（3 ）2，
∴k＝1或﹣1（舍弃），
∴BE＝3，AB＝9，
∵BC：AB＝2：3，
∴BC＝6，
∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，
∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB+∠PEN＝90°，∠PEN+∠EPN＝90°，
∴∠FEB＝∠EPN，
∴△FBE∽△ENP，
∴ = ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴EN＝ ，PN＝ ，
∴CN＝EN﹣EC＝ ﹣3＝ ，
∴CP＝ ＝ ，
∴线段BE的长是3，CP的长是 .
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由已知条件得AB＝12，BE＝4，设BF=x，则AF＝12-x，由折叠得EF＝AF＝12-x，然后在Rt△BEF中，应用勾股定理求解即可；
（2）由折叠的性质可得A、E关于FG对称，则GF⊥AE，过点G作GM⊥AB于M，由垂直的概念可得∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，根据同角的余角相等可得∠BAE＝∠FGM，证明△ABE∽△GMF，易得四边形AMGD是矩形，则GM＝AD，然后根据相似三角形的性质进行解答；
（3）过P作PN⊥BC交BC的延长线于N，设BE＝3k，则BF＝4k，EF＝AF＝5k，AB＝9k，由（2）的结论可得AE，由勾股定理求出k，进而可得BE、AB、BC的值，证明△FBE∽△ENP，由相似三角形的性质求出EN、PN，进而得到CN，然后利用勾股定理就可求出CP.
1 / 1《相似》精选压轴题—2024年浙教版数学九（上）期中复习
一、选择题
1．（2023九上·义乌期中）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，AB、CD交于F，若AE＝6，AD＝8，则AF的长为（ ）
A．5 B． C． D．6
2．（2023九上·萧山期中）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE(∠ABC和∠AED是直角），连接BE，CD交于点P，CD与AE边交于点M，对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②∠BPC=45°；③MP·MD=MA·ME；④2CB2=CP·CM，其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2021九上·西湖期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形ABCD与正方形EFGH.连结EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P.若 ，下列结论：① ，② ，③ ，④ .正确的是（ ）
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
4．（2023九上·舟山期中）如图，在中，，，点为边上一动点不与点、重合，垂直交于点，垂足为点，连接并延长交于点，下面结论正确的个数是（ ）
①若是边上的中线，则；②若平分，则；③若，则；④的最小值为．
A． B． C． D．
5．（2023九上·杭州期中）如图①，在△ABC中，∠B＝108°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C→A匀速运动一周．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为v（cm），v与t的函数图象如图②所示．当BP恰好是∠ABC的一条三等分线时，t的值为（ ）
A．+2或5 B．+3或6 C．+3或5 D．+2或6
二、填空题
6．（2023九上·杭州期中）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．
（1）线段DF的长为 ；
（2）连接AC，若AC交DF于点M，则＝ ．
7．（2022九上·拱墅期中）矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F＝∠EDC，则BF＝ .
8．（2017·黄冈模拟）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为 ．
9．（2023九上·江北期中）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，，则大正方形的边长为 ．
10．（2023九上·杭州期末）如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F 在另一条直线上. 以下结论正确的是（ ）
A．△COF∽△CEG B．OC=3OF
C．AB：AD=4：3 D．GE=DF
11．（2023九上·杭州期中）如图，在中，为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则的面积是 ，面积的最大值为 .
三、解答题
12．（2023九上·萧山期中）如图1，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，E为AD上一点，CE与BD交于点F．
（1）若AE＝CE，BD⊥CE，①求∠DEC的度数．②如图2，连接AF，当BC＝3时，求AF的值．
（2）设（0＜k＜1），记△CBF的面积为S1，四边形ABFE的面积为S2，求的最大值.
13．（2023九上·金华期中）如图1，矩形ABCD中，AB=a，BC=6，点E，F分别为AD，AB边上任意一点，现将△AEF沿直线EF对折，点A对应点为点P．
（1）若点B与点F重合
①如图2，若a=5，当点P落在BC中垂线上时，求AE的长；
②当点P可以两次落在在BC中垂线上时，求a取值范围；
（2）如图3，连接BD，若a=4，AE=2AF，直线FP交△BCD的边于点G，是否存在点G，使得以E，G，P为顶点的三角形与△AEF相似．若存在，请求出AE的长；若不存在，请说明理由．
14．（2023九上·金华期中）在平面直角坐标系中，点B、E的坐标分别为B（-2，），E（4，0），过点E作直线l⊥x轴，设直线l上的动点A的坐标为（4，m），连接AB，将线段BA绕点B顺时针方向旋转30°得到线段BA′，在射线BA′上取点C，构造Rt△ABC，使得∠BAC＝90°．
（1）如图1，当m＝-时，求直线AB的函数表达式．
（2）当点C落在x轴上如图2的位置时，求点C的坐标．
（3）已知点B关于原点O的对称点是点D，在点A的运动过程中，是否存在某一位置，使△ACD与△ABC相似（包括全等）？若存在，请直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2023九上·绍兴期中）如图1所示，正方形BEFG绕正方形ABCD的顶点B逆时针旋转α度（0°＜α＜45°），GF与AB交于点H．
（1）当BE＝4，α＝30°时，求BH的长；
（2）如图2，连接DF，CE，BD；
①判断DF与CE的数量关系，并证明；
②当G，F，D三点共线时，延长BF交AD于点M，时，求BC的长．
16．（2023九上·洞头期中）如图，
在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是AB上一动点，连接CD，以CD为直径的⊙O交AC于点E，连接BO并延长交AC于点F，交⊙O于点G，连接BE，EG．
（1）求证：BE＝EG．
（2）当CD平分∠BCA时，求证：△BEF为等腰三角形．
（3）当BD＝CF，请直接写出△COF和△BOD的面积之比为 ．
17．（2023九上·舟山期中）
（1）【探究证明】某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：
如图①，在矩形中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：；
（2）【结论应用】如图②，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合，若，求折痕的长；
（3）【拓展运用】如图③，将矩形沿折叠．使得点D落在边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形，若，求的长．
18．（2023九上·杭州期中）如图
问题探究：
（1）如图①，已知线段AB＝2，在AB的两侧分别作等边△ABC和Rt△ABD，且∠ADB=90°，CM、DM分别为两个三角形的中线，连接CD，则CD的最大值为 ；
（2）如图②，已知△ABC，分别以AB为直角边在△ABC外侧作Rt△ABP，以AC为斜边在△ABC外侧作Rt△ACQ，且∠ABP＝∠AQC＝90°，∠PAB＝∠CAQ＝30°，连接PC、BQ，请求出的值；
（3）如图③，已知边长为a的正方形ABCD，点E是边CB延长线上一动点，连接AE、ED，请问是否存在的最小值？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由．
19．（2021九上·上城期中）如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝3：2，点F、G分别在边AB、CD上，将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O.
（1）若BC＝8，E是BC中点，求BF的长；
（2）试探究GF与AE之间的位置关系与数量关系，并说明理由；
（3）连接CP，若 ，GF＝2 ，求线段BE和CP的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接BD，自点F分别作FG⊥AD，FH⊥BD交AD、BD于G、H，如图所示：
∵和都是等腰直角三角形，
∴∠ECD=∠ACB=90°，∠EDC=∠E=45°，
∴∠ECA=90°-∠ACD=∠DCB，
在和中，
∵CA=CB，∠ECA=∠DCB，CE=CD，
∴，
∴∠E=∠CDB=45°，AE=BD=6，
∵∠EDC=45°，
∴∠ADB=∠EDC+∠CDB=90°，
在中，
∵AD=8，BD=6，
∴，
∵∠CDB=∠EDC=45°，
∴DF为∠ADB的角平分线，
∵FG⊥AD，FH⊥BD，
∴FG=FH，
∴，
∵底边AF上的高与底边BF上的高相同，设高均为h，
∴，
∴，
∵AF+BF=AB=10，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】连接BD，自点F分别作FG⊥AD，FH⊥BD交AD、BD于G、H，证明，可得∠E=∠CDB=45°，AE=BD=6，则可由勾股定理求出AB的长，再由角平分线的性质得到FG=FH，根据三角形的面积公式求得，又因为AF+BF+=AB=10，即可求出AF的长.
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：、是等腰直角三角形，
，，，
，，
，正确；
，
，
，
，正确；
，，
，
，
，正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，正确.
故答案为：D.
【分析】先利用等腰直角三角形的性质得到，，进而可证得，故正确；再通过相似三角形的性质得到，由三角形的内角和定理可得，故正确；由可判定，进而得到，故正确；利用判定证得，进而可得，再由相似三角形的性质证得，从而得到，故正确.
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： 正方形ABCD与正方形EFGH.
，故①符合题意；
，
故②符合题意；
正方形
设 则
经检验： 不合题意，舍去，
故③符合题意；
故④不符合题意；
故答案为：
【分析】由正方形的性质证明∠BOG+∠BCG=180°， 结合∠BOG+∠GOP=180°，从而可判断 ① ；由GO=GP，可得∠GOP=∠GPO，从而可得∠GPO=∠BCP，可判断 ② ； 设BG=a，CG=b. 则DH=CG
=BF=b，再证明△DHP∽△BGP可得，求解HP=， 再证明PG=b， 利用HG=HP+PG， 列方程a-b=b+，解关于a的方程并检验即可判断 ③ ；证明△DHP∽△CHD.求得再证明， 求解由a≠b，可判断 ④ ，从而可得答案.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：①∵是边上的中线，
∴
∵
∴
∴，
∴
∵
∴
∴
∴则①正确；
②过点C作CM∥AB交AD的延长线于M，如图：
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴
∴
∵
∴
∵平分，
∴
∴
∴
∵
∴
∴则②正确；
③∵，设，
过点B作BN⊥BC交CE的延长线于N，如图：
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴则③正确；
④∵
∴点H在以AC为直径的圆上，
则当BH最短时，点F为AC的中点，
∴
∴
∴BH最小值为：则④错误，
综上所述，正确的有①②④，共三个.
故答案为：C
【分析】根据勾股定理求线段AD的长，再根据三角形面积计算公式即可求出线段CH的长，进而可判断①；过点C作CM∥AB交AD的延长线于M，根据已知条件证明为等腰直角三角形，则，再利用相似三角形的判定和性质即可判断②；当时，设过点B作BN⊥BC交CE的延长线于N，利用"AAS"证明，得到：进而利用相似三角形的判定和性质即可判断③；根据题意得当BH最短时，点F为AC的中点，进而即可判断④.
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，，是的三等分线，
由题意得，，
∵，
∴，
，是的三等分线，
∴
由三角形外角的性质得 ，
∴，
同理，
①BP恰好是∠ABC的靠近AB的三等分线
，
时间t=6
②BP恰好是∠ABC的靠近BC的三等分线
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
时间t=，
∴当恰好是的一条三等分线时，t的值为或6．
故答案为：或6.
【分析】根据图可知，再根据，是的三等分线，可以写出各个角的度数，分①BP恰好是∠ABC的靠近AB的三等分线，②BP恰好是∠ABC的靠近BC的三等分线，分别求出对应的时间，即可得出答案．
6．【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1） 在矩形ABCD中，AD＝6 ， E是BC的中点
∴
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得；
故答案为：；
（2）若交于点，延长交延长线于点，如图所示：
在中，
，
，
由
，
，
即
解得，
，
，
．
故答案为：.
【分析】（1）利用三角形面积相等，，求解即可；
（2）延长交的延长线于，由，利用相似三角形的性质求出，所以，再由，由相似三角形的性质可得．
7．【答案】10
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，连接EC，过点D作DH⊥EC于H.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝5，
∵AE＝3，
∴DE＝＝5，
∴DE＝DC，
∵DH⊥EC，
∴∠CDH＝∠EDH，
∵∠F＝∠EDC，∠CDH＝∠EDC，
∴∠CDH＝∠F，
∵∠BCE+∠DCH＝90°，∠DCH+∠CDH＝90°，
∴∠BCE＝∠CDH，
∴∠BCE＝∠F，
∴EC∥AF，
∴，
∴，
∴CF＝6，
∴BF＝CF+BC＝10.
故答案为：10.
【分析】连接EC，过点D作DH⊥EC于H，由矩形的性质可得∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝5，利用勾股定理可得DE，由等腰三角形的性质可得∠CDH＝∠EDH，由已知条件可知∠F＝∠EDC，∠CDH＝∠EDC，推出∠CDH＝∠F，根据同角的余角相等可得∠BCE＝∠CDH，推出EC∥AF，利用平行线分线段成比例的性质可得CF，然后根据BF＝CF+BC进行计算.
8．【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在Rt△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，
∴OC= =5，
∴PC=OC=OP=5﹣3=2．
∴PC最小值为2．
故选B．
【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．
9．【答案】3
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长BF交DC于点N，如图，
设小正方形在DE上的顶点为M，设，
大正方形与小正方形的面积之比为5，
，
，
，
，
化简得，
，
，
∴，，
，，
，
∴，
，
设，则，
，
，
，
∴，
，
又 ，
，
，
，
，
.
故答案为：3.
【分析】延长BF交DC于N，设小正方形在DE上的顶点为M，设，由面积比得，又，求得，利用，得到，，利用，得到，
设，根据相似比求出EF的长，进而求大正方形面积.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由折叠性质得：∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO＋∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG＋∠OEC＝90°，
由矩形的性质，设AD=BC=2a，AB=DC=2b，
由折叠得DG=OG=a，AE=OE=BE=b，
∴CG=OG+OC=OG+BC=3a，
在Rt△CEG中，CG2=GE2+CE2，
∴（3a）2=a2+b2+b2+（2a）2，
解得，
∴AB=2b=；
∴，故C选项不符合题意；
在Rt△COF中，设OF=DF=x，则CF=2b-x=-x，
∵∠D=∠GOF=90°，
∴x2+（2a）2=，
解得，
∴，
在Rt△AGE中，
∴，故D选项符合题意；
∴，故B选项不符合题意；
在Rt△CEB中，，
∵∠GEC=∠FOC=90°，而，
∴△COF不相似于△CEG，故A选项错误，不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据折叠的性质易得∠FOG=∠GOE=∠EOC=∠FGE=∠GEC=90°，根据折叠的性质和矩形的性质得点G为AD中点，点E为AB中点，设AD＝2a，AB＝2b，利用勾股定理根据勾股定理分别用含a的式子表示出OF、GE、CE、AB，进而即可判断B、C、D，进而根据∠GEC=∠FOC=90°，而判断A选项.
11．【答案】10；8
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：因为所以BC边上的高为所以
过点C作于点G，作于点H，作于点M，
因为所以易证相似于，所以可得GB=8，设BD=x，则DG=8-x，易证所以EH=DG=8-x，所以当x=4时，面积的最大值为8.
故答案为：10；8.
【分析】根据勾股定理求出三角形ABC边BC上的高，即可求其面积；过点C作于点G，作于点H，作于点M，由相似于解得BG，设BD=x，根据即可求出三角形BDE的面积表达式，利用二次函数最值即可得解。
12．【答案】（1）解：①，
即，
②过点F作于点，
在Rt中，，
，
在Rt中，，
，
，
在Rt中，，
，
，
，
；
（2）设，
，
，
，
，
∵
∴
∵
∴∠FHD=90°
∴∠FHD=∠BAD，
又∵∠FDH=∠BDA，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
当时，的最大值为.
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】(1) ① 先利用等腰三角形的性质得到，再根据矩形的性质可得，，进而得到，然后通过计算得.
② 作，利用直角三角形、的性质得到，，进而得到，再通过直角三角形的性质得到FH、DH的长度，然后由勾股定理计算出AF的长度.
(2)设，根据相似三角形的性质可得，故，又由可得，再根据得，故，从而得，因此，故当时，的最大值为.
13．【答案】（1）解： ① 如下图设BC的中垂线与AD的交点为T，与BC的交点为G，设在图2中根据折叠关系可得：则在中则由矩形的性质可得：故，在中由勾股定理可得：即解得即
②如图作出矩形BC边的中垂线MN，分别交AD，BC于点M、N，当点P与点N重合时，点P只有一次落在BC中垂线上，根据折叠的性质可得：且则四边形ABMN为正方形，此时
如图，当点E与点D重合，点F与点B重合时，是两次落在中垂线上的临界位置，根据题意可得：又根据折叠的性质可得：又∵点P在BC的中垂线上，∴故则为等边三角形，∴又根据折叠的性质可得：，又在中即解得综上所述a的取值范围为：
（2）解：存在，理由如下：
过点G作于点N，连结EG，∵四边形ABCD为矩形，∴则故
四边形ABGN为矩形，∴当时又∵
∴根据折叠的性质可得：∴∴则
设则由勾股定理可得：由此可得：
∴又∵∴故即
解得：x=1，∴
过点G作于点M，连结EG，∵四边形ABCD为矩形，∴又∵，∴则
则当时，又∵∴根据折叠的性质可得：∴∴∴则又∵∴∵∴又∵∴
则设则AF=2t，MG=2AE=4t，∴则解得：则
如图当时，过点P作于点M，过点E作，交MP的延长线于点N，则四边形AMNE是矩形，则AE=MN，AM=EN，
设AF=y，则AE=EP=2AF=2y，FP=y，BF=4-FP=4-y，根据折叠的性质可得：AE=PE，∵，∴，则
AF=FP=PG，又∵，，∴则则FM=BM，故∴同上运用等量代换可证得：则又则解得
则
如图当时，过点P作于点M，过点E作，交MP的延长线于点R，过点G作于点Q，则四边形AMER为矩形，∴设则同上可证得：则设则∴解得∵∴则，∴则由上可知：则则解得：AE=则，
综上所述：存在，相似的点且或或或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） ① 作出BC的中垂线与AD的交点为T，与BC的交点为G，设然后根据折叠的性质，通过勾股定理建立方程，解出x即可求解；
② 如图作出矩形BC边的中垂线MN，分别交AD，BC于点M、N，当点P与点N重合时，点P只有一次落在BC中垂线上，根据折叠的性质及矩形的性质可解得此时a=3，当点E与点D重合，点F与点B重合时，是两次落在中垂线上的临界位置，通过折叠的性质，等边三角形使得性质及正切函数的定义可解得此时，综合两种情况即可求得a的取值范围；
（2）运用分类讨论的思想，运用三角形相似、全等、平行线成比例定理、折叠的性质进行求值计算即可.
14．【答案】（1）解：设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，则有：
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为：；
（2）解：当点C在x轴上时，设C点的坐标为（n，0）；
过B作BH⊥l于点H，则BH＝6，CE＝n-4，AH＝m-，
∵∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAE＝∠ACE，
∴△ABH∽△CAE，
∴，
∴，
解得：，n＝5，
∴C(5，0)
（3）解：点A的坐标为（4，5）或（4，）或（4，）或（4，-）或（4，-2）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）设直线的函数表达式为，然后把 （4，） ， （-2，） 代入解析式，即可求解；
（2）当点C在x轴上时，设C点的坐标为（n，0），过B作BH⊥l于点H，则BH＝6，CE＝n-4，AH＝m-，推出△ABH∽△CAE，结合三角形相似的性质，推出n＝5，即可得解；
（3）存在，分五种情况进行分类讨论，灵活运用相似三角形的判定和性质进行求解．
15．【答案】（1）解：∵ 四边形BEFG是正方形，BE=4，
∴ BG=4，∠G=90°，
∵ α＝30° ，即∠GBH=30°，
∴ GH=BH，
∴ 在Rt△GBH中，勾股定理得，
解得：BH=.
（2）解：①连接BF，如图，
∵ 四边形BEFG，四边形ABCD是正方形，
∴ ∠DBC=∠FBE=45°，BD=BC，BF=BE
∴，
∵ ∠DBC-∠DBE=∠FBE-∠DBE，
∴ ∠FBD=∠EBC，
∴ △FBD∽△EBC，
∴，
∴ DF=CE.
②画出图形，如图，
∵ 四边形BEFG，四边形ABCD是正方形，
∴ ∠MDB=∠GFB=45°，
∴ ∠MDB=∠MFD=45°，
∴ △MDB∽△MFD，
∴，
设正方形ABCD边长为a，
则，
∴ MD=，MB=，
∴ AM=AD-MD=，
在Rt△ABM中，AM2+AB2=MB2，
，
解得：a=，
即.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质和勾股定理即可求得；
（2） ①根据正方形的性质得，从而判定△FBD∽△EBC，再根据相似三角的对应边成比例即可求得；
②根据两个角分别相等的两个三角形为相似三角形得△MDB∽△MFD，推出 ，求出MD，MB，AM，再根据勾股定理求得BC.
16．【答案】（1）证明：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BCA＝∠A＝45°，
∴∠BGE＝∠BCA＝45°，
∵BG是⊙O的直径，
∴∠BEG＝90°，
∴∠GBE＝∠BGE＝45°，
∴BE＝EG；
（2）证明：∵∠BCA＝∠A＝45°，CD平分∠BCA，
∴∠ACD＝∠BCD∠BCA＝22.5°，
∴∠ABE＝∠ACD＝22.5°，
∴∠BEF＝∠A+∠ABE＝45°+22.5°＝67.5°，
∵∠GBE＝45°，
∴∠BFE＝180°-∠GBE-∠BEF＝180°-45°-67.5°＝67.5°，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BF＝BE，
∴△BEF是等腰三角形；
（3）
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）连接CG，
，，
，
，，
又BD=CF，
，
是等腰三角形，
，
而，
，
，
，
设AB＝BC=x，
∠ABC＝90°，
，
，
，
，，
.
故答案为：.
【分析】（1）根据等腰直角三角形性质得∠BCA＝∠A＝45°，由同弧所对的圆周角相等得∠BGE＝∠BCA＝45°，再由直径所对的圆周角是直角得到∠BEG＝90°，则∠GBE＝∠BGE＝45°，进而得到 BE＝EG；
（2）根据三角形外角性质和圆周角定理得∠BEF＝∠A+∠ABE＝∠A+∠ABE=∠A+∠BCA=67.5°，再根据三角形内角和定理求得∠BFE＝67.5°，所以∠BEF＝∠BFE，即△BEF是等腰三角形；
（3）连接CG，通过证明，得到，进而得到，所以，，设AB＝BC=x，所以，所以，进而得到，，.
17．【答案】（1）解：如图，过作交于，过作交于，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴四边形、均为平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
由勾股定理得，
∵将矩形沿折叠，使得点B和点D重合，
∴，
由（1）可知，，即，
∴，
∴的长．
（3）解：如图所示，过点作交延长线于，
由折叠的性质可得，
由（1）可知，，即，解得，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
由折叠的性质可得，，，，
设，则，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
在中，由勾股定理得．
【知识点】勾股定理的应用；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过作交于，过作交于，根据矩形的性质和平行四边形的性质得到：，进而根据相似三角形的性质即可求解；
（2）连接，利用勾股定理求出BD的长，根据折叠的性质得到：，结合（1）中的相似即可求出EF的长；
（3）过点作交延长线于，根据折叠的性质得到，结合（1）中的相似即可求出DG的长，进而利用勾股定理求出AG的长，设，则，再利用勾股定理列方程即可求出DE、GE和AD的长度，然后根据相似三角形的判定和性质求出HP和GH的长度，在中，利用勾股定理即可求解.
18．【答案】（1）
（2）解：如图：
∵，，
∴，
∴
即，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴；
（3）解：存在的最小值，理由如下：
以为直径作圆O，在圆上找一点F，使得，连接
∴，
∴，
∴，即，
∵，即，
∴，
∴
∴，
∵，
∴
∴当取得最大值时，取得最小值，此时B、O、F三点共线，
∵，
∴
∴
∴的最小值为．
【知识点】三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）解：如图所示：∵是等边三角形，为边上中线，∵，∴则∵，为边上的中线，∴，∵，∴∴当C、M、D三点共线时，的最大值为；故答案为：.
【分析】（1）等边三角形边长为2，求出中线，再根据直角三角形的性质求出斜边的中线，根据三角形三边关系得出，即可得到答案；
（2）由题意得，根据相似三角形的性质得出 ，再由已知条件推出，可得，通过等量代换得，解即可得解；
（3）以为直径作圆O，在圆上找一点F，使得， 连接 ，易得 ， 根据相似三角形的性质得，进而证明出 ， 利用相似三角形性质得出 ，即 ， 当取得最大值时，取得最小值， 此时B、O、F三点共线， 求出，即可得到答案．
19．【答案】（1）解：∵AB：BC＝3：2，BC＝8，E是BC中点，
∴AB＝12，BE＝4，
设BF的长为x，则AF＝12﹣x，
由矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处得EF＝AF＝12﹣x，
在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，
∴42+x2＝（12﹣x）2，解得x＝ ，
∴BF的长为 ；
（2）解：GF与AE之间的位置关系是：GF⊥AE，GF与AE之间的数量关系是： ＝ ，理由如下：
∵矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，
∴A、E关于FG对称，
∴GF⊥AE，
过点G作GM⊥AB于M，如图：
∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴ ＝ ，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴ ＝ ＝ ＝ ；
（3）解：过点P作PN⊥BC交BC的延长线于N，如图：
由 ，设BE＝3k，则BF＝4k，EF＝AF＝5k，AB＝9k，
∵ ＝ ，FG＝2 ，
∴AE＝3 ，
∴（3k）2+（9k）2＝（3 ）2，
∴k＝1或﹣1（舍弃），
∴BE＝3，AB＝9，
∵BC：AB＝2：3，
∴BC＝6，
∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，
∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB+∠PEN＝90°，∠PEN+∠EPN＝90°，
∴∠FEB＝∠EPN，
∴△FBE∽△ENP，
∴ = ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴EN＝ ，PN＝ ，
∴CN＝EN﹣EC＝ ﹣3＝ ，
∴CP＝ ＝ ，
∴线段BE的长是3，CP的长是 .
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由已知条件得AB＝12，BE＝4，设BF=x，则AF＝12-x，由折叠得EF＝AF＝12-x，然后在Rt△BEF中，应用勾股定理求解即可；
（2）由折叠的性质可得A、E关于FG对称，则GF⊥AE，过点G作GM⊥AB于M，由垂直的概念可得∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，根据同角的余角相等可得∠BAE＝∠FGM，证明△ABE∽△GMF，易得四边形AMGD是矩形，则GM＝AD，然后根据相似三角形的性质进行解答；
（3）过P作PN⊥BC交BC的延长线于N，设BE＝3k，则BF＝4k，EF＝AF＝5k，AB＝9k，由（2）的结论可得AE，由勾股定理求出k，进而可得BE、AB、BC的值，证明△FBE∽△ENP，由相似三角形的性质求出EN、PN，进而得到CN，然后利用勾股定理就可求出CP.
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