精选新定义型题—2024年浙教版数学九（上）期中复习
一、选择题
1．（2023九上·越城月考）定义：给定关于x的函数 y ，对 于该函数图象上任意两点（x1，y1），（x2，y2），当x1﹤x2时，都有y1﹤y2，称该函数为增函数.根据以上定义，下列函数中①y=2x；②；③；④，是增函数的（ ）
A．①③④ B．①② C．③④ D．①③
【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质；一次函数的图象；定义新运算；二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：对于①，由可知，又随着x的增大而增大，即 当时，都有， 符合题意；
对于②，由可知，又随着x的增大而减小，即 当时，都有， 不符合题意；
对于③，由题对称轴可知，且二次函数开口朝上，当时，y随着x的增大而增大；所以当时，都有， 符合题意；
对于④，不是函数；
故答案为：D .
【分析】利用①②③的函数图象即可判断，④不是函数.
2．（2024九上·拱墅月考）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF＝4a，则AB＝（ ）
A．（﹣1）a B．（2﹣2）a C．（+1）a D．（2+2）a
【答案】D
【知识点】正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：设，
四边形是正方形，
，
矩形是黄金矩形，
，
，
解得，
经检验是原方程的根，
，
故答案为：D
【分析】设，先根据正方形的性质得到，进而根据黄金矩形的性质得到，代入即可表示出x，从而检验即可求解。
3．（2023九上·浙江期中）定义平面内任意两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)之间的距离dPQ=|x2-x1|+|y2-y1|称为这两点间的曼哈顿距离(简称为曼距)．例如，在平面直角坐标系中，点P(-3，-2)与点Q(2，2)之间的曼距dPQ=|-3-2|+|-2-2|=5+4=9，若点A在直线y=x-2上，点B为抛物线y=x2+2x上一点，则曼距dAB的最小值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意，设，所以，当点两点的横坐标相等时， dAB的最小，所以，所以曼距的最小值为.
故答案为：C.
【分析】设点的坐标，根据定义表示出曼距 dAB，当两点横坐标相等时， dAB取得最小值，求解即可．
4．（2023九上·鹿城月考）定义：在平面直角坐标系中，若点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做整点．如：，都是整点．已知抛物线与轴交于，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有个整点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：抛物线化为顶点式为：，
∴函数的对称轴：，
∴和两点关于对称，
根据题意，抛物线在、之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有个整点，这些整点是，，，，，
如图所示：
∵当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴的取值范围是，
故答案为：．
【分析】先将二次函数的一般式化为顶点式，再作出二次函数的图象，最后结合函数图象列出不等式组求解即可.
5．（2022九上·舟山月考）定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2bxc（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1m，2m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当x＞0.5时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ 特征数为[m，1m，2m] 。
∴y=mx2+（1-m）x+2-m，
当m=1时，y=x2+1，
∴抛物线的对称轴为y轴，故①正确；
当m=2时，y=2x2-x，
当x=0时y=0，
∴函数图象过原点，故②正确；
∵当m＞0时，图象的开口向上，
∴函数有最小值，故③正确；
∵当m＜0时，抛物线的开口向下，
∴对称轴直线，
在对称轴的在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
∴当时y随x的增大而减小，
∵m＜0
∴，故④错误；
∴正确结论的序号为①②③
故答案为：C
【分析】利用定义可得到二次函数解析式为y=mx2+（1-m）x+2-m，将m=1代入函数解析式，可得到此时函数图象的对称轴，可对①作出判断；将m=2代入，可得到函数解析式，可对②作出判断；利用二次函数的性质，可对③作出判断；利用当m＜0时，抛物线的开口向下，可得到抛物线的对称轴，利用二次函数的增减性可知在对称轴的在对称轴的右侧y随x的增大而减小，可得到当时y随x的增大而减小，利用m的取值范围可得到，可对④作出判断.
6．（2019九上·舟山期中）对于某一函数给出如下定义：若存在实数m，自变量的值为m时，函数值等于-m，则称-m为这个函数的反向值.在函数存在反向值时，该函数的最大反向值与最小反向值之差n称为这个函数的反向距离.特别地，当函数只有一个反向值时，其反向距离n为零.例如：图中的函数有4，－1两个反向值，其反向距离n等于5.现有函数y＝ ，则这个函数的反向距离的所有可能值有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个及以上的有限个 D．无数个
【答案】B
【知识点】定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y＝
∴当x≥k时，
-k=k2-3k，得k=0或k=2，
∴n=2-0=2，
∴k＞2或k≤-2；
当x＜k时，
-k=-k2-3k，
解得，k=0或k=-4，
∴n=0-（-4）=4，
∴-2＜k≤2，
由上可得，当k＞2或k≤-2时，n=2，
当-2＜k≤2时，n=4．
∴这个函数的反向距离的所有可能值有两个。
故答案为：B。
【分析】分类讨论：当x≥k时，根据函数反向值的定义得出方程-k=k2-3k，求解得出k=0或k=2，再根据函数的反向距离的定义即可求出n的值；当x＜k时，根据函数反向值的定义得出方程-k=-k2-3k，求解得出k=0或k=-4，再根据函数的反向距离的定义即可求出n的值，综上所述即可得出答案。
7．（2018九上·长兴月考）定义：如果抛物线：y=a1x2+bx+c1(a1≠0)与抛物线y=a2x2+bx+c2(a2≠0)满足：a1+a2=0，c1+c2=0，则称这两条抛物线互为“同胞抛物线”．现有下列结论：①抛物线y=(x+1)2-2的同胞抛物线是抛物线y=(x+1)2+2；②若两条抛物线互为同胞抛物线，则它们的顶点关于原点对称；③已知抛物线C1与抛物线C2互为同胞抛物线，若点M(2，3)在抛物线C1上，则N(-3，-2)在抛物线C2上；④已知抛物线C1与抛物线C2互为同胞抛物线。则它们一定有两个不同的交点．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】 【解答】解：∵ y=(x+1)2-2 =x2+2x+1
y=(x+1)2+2= x2+2x+3
1+1≠0，1+3≠0
∴ 抛物线y=(x+1)2-2的同胞抛物线不是抛物线y=(x+1)2+2 ，故①错误；
∵ y=a1x2+bx+c1(a1≠0)与抛物线y=a2x2+bx+c2是互为同胞抛物线
则 a1+a2=0，c1+c2=0，
∴a1=-a2，c1=-c2，
∵y=a1x2+bx+c1的顶点坐标为：（，）即（，）
y=a2x2+bx+c2的顶点坐标为：（，）
∴ 它们的顶点关于原点对称 ，故②正确；
∵设 y=a1x2+b1x+c1(a1≠0)与抛物线与y=a2x2+b2x+c2(a2≠0 ）互为同胞函数
∴a1=-a2，c1=-c2，
∴y=-a2x2+b1x-c2
∵点M在y=-a2x2+b1x-c2上，
∴-4a2+2b1-c2=3；
∴b1=，
∵点N在y=a2x2+b2x+c2上
∴9a2-3b2+c2=-2；
∴b2=
∵b1≠b2，故③错误；
设y=a1x2+bx+c1(a1≠0)与抛物线与y=a2x2+bx+c2(a2≠0 ）互为同胞函数
∴a1=-a2，c1=-c2，
∴y=-a2x2+b1x-c2
∴-a2x2+bx-c2=a2x2+bx+c2
∴2a2x2+2c2=0
2a2x2=-2c2
只有当a2与c2异号时，这两个函数一定有两个交点，故④错误；
故答案为：A
【分析】将①的两个函数转化为一般形式，根据同胞函数的定义，即可判断；根据同胞函数的定义可知a1=-a2，c1=-c2，再求出两函数的顶点坐标分别为（，），（，），即可对②作出判断，将点M代入y=-a2x2+b1x-c2，可求出b1=，再将点N代入y=a2x2+b2x+c2，可得出b2=，而同胞函数b值相等，可对③作出判断；设y=a1x2+bx+c1(a1≠0)与抛物线与y=a2x2+bx+c2(a2≠0 ）互为同胞函数，将两函数联立方程组，可得出2a2x2=-2c2，只有当a2与c2异号时，这两个函数一定有两个交点，可对④作出判断，综上所述，可得出正确的个数。
8．（2023九上·绍兴月考）已知和均是以为自变量的函数，为实数.当时，函数值分别为和，若存在实数，使得.则称和为友好函数，以下和不一定是友好函数的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的性质；一次函数的性质；定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、当 =，则 ，整理x2-x-1=0，
△=（-1）2-4×1×（-1）=5＞0，
∴存在 实数，使得.则称和为友好函数 ，故不符合题意；
B、当 =，则 ，整理x2+ax+-=0，
△=a2-3a+2，
当1＜a＜2时，△＜0， =无解，
∴不一定存在实数m，故符合题意；
C、当 =，则 ，整理x2-3x+2=0，
△=9-8=1＞0，
∴存在实数m，故不符合题意；
D、当 =，则 ， 整理x2+ax-a-2=0，
△=a2+4a+8=（a+2）2+4＞0，
∴存在实数m，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据 友好函数的定义，直接令=，建立关于x的方程，若方程无解即得结论.
二、填空题
9．（2019九上·杭州月考）定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：
①当m＝﹣1时，函数图象的顶点坐标是（ ， ）；
②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于 ；
③当m＜0时，函数在 时，y随x的增大而减小；
④当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点．
其中正确的结论有 ．（只需填写序号）
【答案】①②④
【知识点】定义新运算；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：当m=-1时，则a=2m=-2，b=1-m=1-(-1)=2，c=-1-m=-1-（-1）=0，
∴
∴此函数的顶点坐标为，故①正确；
当m＜0时，当y=0
则 2mx2+（1-m）x+（-1-m）=0
解之：x1=1，
∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0），
∴ 函数图象截x轴所得的线段长度为
∵m＞0
∴，故②正确；
∵y=2mx2+（1-m）x+（-1-m），m＜0
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线
∴x可能在对称轴的左侧也可能在对称轴的右侧，故③错误；
当m≠0时，当y=0
则2mx2+（1-m）x+（-1-m）=0
解之：x1=1，
∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0），
∴函数图象经过x轴上的定点（1，0），故④正确
正确结论的序号为： ①②④
【分析】将m=-1代入函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，可得到函数图象的顶点坐标，可对①作出判断；由y=0求出二次函数与x轴的两交点坐标，就可求出函数图象截x轴所得的线段长度，再比较大小即可求解，可对②作出判断；利用函数解析式求出抛物线的对称轴，再与比较大小，就可得到 x可能在对称轴的左侧也可能在对称轴的右侧，可对③作出判断；由y=0，可求出二次函数图象与x轴的两交点坐标，由此可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号。
10．（2018九上·椒江月考）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b= 设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m是任意实数）恰有三个互不相等的实数根，则m的取值范围是 .
【答案】0＜m＜
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；定义新运算
【解析】【解答】解：
由2x-1≤x-1可得x≤0，由2x-1＞x-1可得x＞0.
∴根据题意得
即f（x）= ，
画出函数的图象，从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，函数的图象和直线y=m有三个不同的交点.
当x= ，函数y=-x2+x有最大值即f（ ）= ，
由图象可知m的取值范围是0＜m＜ 。
故答案为：0＜m＜ 。
【分析】根据新定义运算成立的条件列出不等式，求出x的取值范围，进而得出分段函数，利用描点法画出分段函数的图象，从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，函数的图象和直线y=m有三个不同的交点，根据二次函数的性质可知：当x= ，函数y=-x2+x有最大值即f（ ）= ，从而由图象即可直接得出答案。
11．（2022九上·北仑期中）对于实数a，b，定义运算“*”：； ，关于x的方程 恰好有三个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】定义新运算；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：当2x 1≤x 1时，即x≤0，
（2x 1）*（x 1）＝（2x 1）2 （2x 1）（x 1）＝2x2 x，
当2x 1＞x 1时，即x＞0，
（2x 1）*（x 1）＝（x 1）2 （2x 1）（x 1）＝ x2＋x，
∴，
∵ 关于x的方程 恰好有三个不相等的实数根 ，
∴直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x有三个不同的交点，
∵抛物线y=2x2-x（x≤0）的最低点作为（0，0），而顶点坐标为，对称轴直线为x=，故只有一个交点直线y=m与抛物线y=2x2-x只有一个交点，且m的取值范围为m≥0，
∴直线y=m与抛物线y=-x2+x一定有两个不同的交点，∴-x2+x=m一定有两个不相等的实数根，∴1-4m＞0，解得，
又∵抛物线y=-x2+x与x轴两交点的坐标为（0，0）、（1，0），∴当m=0时，直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x只有两个不同的交点，
综上所述m的取值范围为：，
即当时， 关于x的方程（2x 1）*（x 1）＝m恰有三个不相等的实数根.
故答案为：.
【分析】首先根据定义新运算法则可得，从图象的角度来说直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x有三个不同的交点，抛物线y=2x2-x（x≤0）的最低点作为（0，0），而顶点坐标为，对称轴直线为x=，故只有一个交点直线y=m与抛物线y=2x2-x只有一个交点，且m的取值范围为m≥0，从而得出直线y=m与抛物线y=-x2+x一定有两个不同的交点，根据根的判别式列出不等式，求解可得m取值范围，又由于抛物线y=2x2-x（x≤0）及y=-x2+x（x＞0）与x轴的交点是（0，0）、（1，0），故m≠0，综上所述即可得出答案.
12．（2020九上·越城期中）如图，直线l： ，一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3）…Bn（n，yn）（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0）…，An+1（xn+1，0）（n为正整数），设x1=d（0＜d＜1）若其中一条抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这条抛物线就称为：“美丽抛物线”.则当d（0＜d＜1）的大小变化时能产生美丽抛物线相应的d的值是 .
【答案】 或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；定义新运算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵直线l的解析式为，
∴当x=1时，y=，
∴ B1（1，），
当x=2时，y=，
∴ B2（2，），
∵ A1（d，0），A2（2-d，0），
若B1为直角顶点，则A1A2的中点（1，0）到B1的距离与到A1和A2的距离相等，
∴1-d=，
∴d=，
同理：若B2为直角顶点，则A2A3的中点（2，0）到B2的距离与到A3和A2的距离相等，
∴2-（2-d）= ，
∴d=，
若B3为直角顶点，求出的d为负数，并且从B3之后的B点，求出的d都为负数，
∴ d的值是或.
故答案为：或.
【分析】先求出点B1和B2的坐标，根据题意得出A1和A2的坐标，若B1为直角顶点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半列出等式，求出d的值，同理若B1为直角顶点，列出等式求出d的值，若B3为直角顶点，求出的d为负数，并且从B3之后的B点，求出的d都为负数，即可求解.
13．（2020九上·嘉兴月考）定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b.如max{1，﹣3}＝1，则max{x2+2x+3，﹣2x+8}的最小值是 .
【答案】6
【知识点】一次函数的性质；定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵(x2+2x+3)﹣(﹣2x+8)=x2+4x﹣5=(x+5)(x﹣1)，
∴当x=﹣5或x=1时，(x2+2x+3)﹣(﹣2x+8)=0，
∴当x≥1时，max{x2+2x+3，﹣2x+8}=x2+2x+3=(x+1)2+2≥6，
当x≤﹣5时，max{x2+2x+3，﹣2x+8}=x2+2x+3=(x+1)2+2≥18，
当﹣5＜x＜1时，max{x2+2x+3，﹣2x+8}=﹣2x+8＞6，
由上可得：max{x2+2x+3，﹣2x+8}的最小值是6.
故答案为：6.
【分析】根据题意，利用分类讨论的方法、二次函数的性质和一次函数的性质可以求得各段对应的最小值，从而可以解答本题.
三、解答题
14．（2024九上·定海开学考）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
（1）①点的“纵横值”为 ；
②求出函数的“最优纵横值”；
（2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值；
（3）若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．
【答案】（1）①8；
②，
∵，
∴
∴函数的“最优纵横值”为2
（2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线，∴，
解得：
∴
∴
∵最优纵横值为5，
∴
∴
（3）5或
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】（1）解：①由题意得：点的“纵横值”为，
故答案为：
（3）解：
若，则当时，；
即：，
解得：或（舍去）；
若，则当时，；
即：，
解得（舍）或；
综上所述：b的值为5或．
【分析】（1）根据题意，先理解新定义，①由新定义直接求解即可；②根据定义结合反比例函数性质先求出，即可求解；
（2）根据题意，由二次函数的性质，先确定b=3，由新定义表示出y-x的表达式并对其配方得，再由题意得得，即可求解；
（3）先求，根据最优纵横值为2，可分两类讨论若，若，分别由二次函数的性质即可求解；
（1）解：①由题意得：点的“纵横值”为，
故答案为：
②，
∵，
∴
∴函数的“最优纵横值”为2
（2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：
∴
∴
∵最优纵横值为5，
∴
∴
（3）解：
若，则当时，；
即：，
解得：或（舍去）；
若，则当时，；
即：，
解得（舍）或；
综上所述：b的值为5或．
15．（2019九上·天台月考）定义｛a，b，c｝为函数y=ax +bx+c的“特征数”.如：函数 的“特征数”是｛1，-2，3｝.将“特征数”为｛1，-4，1｝的函数图象先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到一个新函数图象，求这个新函数图象的解析式．
【答案】解：由题意得： “特征数”为｛1，-4，1｝的函数是y=x2-4x+1，
配方得：y=(x-2)2-3 ，
则图象先向左平移3个单位， 再向下平移2个单位得到一个新函数为，
y=(x-2+3)2-3-2=x2+2x-4.
【知识点】二次函数图象的几何变换；定义新运算
【解析】【分析】根据函数“特征数”的定义写出“特征数”为｛1，-4，1｝的函数式，然后配方，再通过“横坐标左加右减，纵坐标上加下减”的方法得出平移后的函数式即可.
16．（2024九上·岱山开学考）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
（1）①点的“纵横值”为 ；
②求出函数的“最优纵横值”；
（2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值；
（3）若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．
【答案】（1）解：①.
②，∵，∴，∴函数的“最优纵横值”为2.
（2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵最优纵横值为5，
∴，
∴.
（3）解：，
若，则当时，；
即：，
解得：或（舍去）；
若，则当时，；
即：，
解得（舍）或；
综上所述：b的值为5或．
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；反比例函数图象上点的坐标特征；配方法的应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）解：①由题意得：点的“纵横值”为，故答案为：.
【分析】（1）①根据定义，求出y-x的值即可；
②根据定义， 先计算y-x的值，结合x的取值范围和反比例函数图象上点的坐标特征，即可求解；
（2）根据抛物线的对称轴求出b=3，故抛物线的解析式为y=-x2+3x+c，根据定义，求出y-x=-x2+3x+c-x=-（x-1）2+1+c，根据配方法可得x=1时，y-x的值最大为c+1，根据最优纵横值为5，即可得出1+c=5，解得c=4；
（3）根据定义，求出，结合故y-x与x的函数图象，关于直线x=b对称，且抛抛物线的开口向下，据此分为b＞0和b＜-1两种情况，分别计算求出b的值，即可求解.
17．（2019九上·湖州月考）阅读下列材料，解决材料后的问题：
材料一：对于实数x、y，我们将x与y的“友好数”用f（x，y）表示，定义为： ，例如17与16的友好数为 .
材料二：对于实数 ，用 表示不超过实数 的最大整数，即满足条件 ≤ ＜ ，例如：
， ， ，……
（1）由材料一知： 与1的“友好数”可以用 表示，已知 ，请求出 的值；
（2）已知 ，请求出实数a的取值范围；
（3）已知实数 满足条件 ，且 ，请求 的最小值.
【答案】（1）解：由题意，可得
解得， ，
∴
（2）解：∵
由题意，可得
解得
（3）解：∵ ，
∴
∵
解得
∵ 为整数
∴ （ 为整数）
在 中，
当 时， 成立
∴
∴
∴
令 ，则当 时，
∴
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用材料一代入建立关于x的一元二次方程，解方程求出x的值即可。
（2）根据材料二可以列出关于a的不等式组，解不等式组就可求出a的取值范围。
（3）先根据材料二建立关于x的不等式组，解不等式组求出x的取值范围，再求出x的值，然后求出的解析式为二次函数，利用二次函数的性质就可求出其最小值。
18．（2022九上·新昌月考）定义：如图1，点、把线段分割成三条线段、和，若，则称是线段的比例中段，、是线段的中段分点.
（1）已知点、是线段的中段分点.
①若，，则 ▲ ；
②在图1中，若，，求的长.
（2）如图2，在中，是线段的比例中段，、分别是线段、延长线上的点，且，、的延长线分别交线段于点，.探究是否为线段的比例中段，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由..
【答案】（1）解：①；②设，则由题可得：，
解得或4，
的长为1或4；
（2）解：是线段的比例中段.
理由如下：设，
，
，
同理，，，
，，，
是线段的比例中段，
，
，
，
即是线段的比例中段.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；定义新运算
【解析】【分析】（1）①根据MN2=AM·BN可得BN的值；
②设AM=x，则BM=5-x，根据MN2=AM·BN可得x的值，即为AM的长；
（2）设，根据平行线分线段成比例的性质可得，同理可得，，则GK=kBN，KP=kMN，PF=kAM，根据比例中项的概念可得MN2=AM·BN，代入化简可得KP2=GK·PF，据此证明.
19．（2022九上·新昌期中）如图1，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以A为公共点的三条弦构成的图形称为圆中“爪形A”，如图2，四边形内接于圆，，
（1）证明：圆中存在“爪形D”；
（2）若，求证：
【答案】（1）证明：∵，
∴
∴，
∴平分圆周角，
∴圆中存在“爪形D” ．
（2）证明：如图：延长至点E，使得，连接，
∵ ，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，即．
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；定义新运算；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据AB=BC结合弦、弧的关系可得，由圆周角定理可得∠ADB=∠CDB，推出DB平分圆周角∠ADC，据此证明；
（2）延长DC至点E，使得CE=AD，连接BE，由圆内接四边形的性质可得∠A+∠DCB=180°，由邻补角的性质可得∠ECB+∠DCB=180°，推出∠A=∠ECB，证明△BAD≌△BCE，得到∠E=∠ADB，结合∠ADC的度数可得∠E=∠ADB=60°，推出△BDE为等边三角形，得到DE=BD，据此证明.
20．（2023九上·绍兴月考）若定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”，其“明德点”为.
（1）①判断：函数 “明德函数”（填“是”或“不是”）；
②函数的图像上的明德点是 ；
（2）若抛物线上有两个“明德点”，求的取值范围；
（3）若函数的图象上存在唯一的一个“明德点”，且当时，的最小值为，求的值.
【答案】（1）不是；（0，0）或（2，4）
（2）抛物线是“明德函数”， ，
整理得：，
抛物线上有两个“明德点”，
，，
的取值范围为且；
（3）由题意可知，
整理得，
整理得，
对称轴为直线m=k，此时n的最小值为2k；根据题意分类讨论：
①
②
③
综上，k的值为0或。
【知识点】定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）①令2x+3=2x，此方程无解，
∴ 函数不是“ 明德函数 ”
故答案为：不是.
② 令x2=2x，解得x=0或2，
∴ 函数的图像上的明德点是（0，0） 或（2，4）；
故答案为：（0，0） 或（2，4）；
【分析】（1）根据“ 明德函数 ”的定义进行判断即可；
（2）根据“ 明德函数 ”的定义可得，可得△＞0，据此解答即可；
（3）根据“ 明德函数 ”的定义可得，由唯一一个“明德点”，可得△=0，可得，对称轴为直线m=k，此时n的最小值为2k，再分类讨论即可.
21．（2023九上·义乌期中）定义：将函数C的图象绕点P（0，n）旋转180°，得到新的函数C1的图象，我们称函数C1是函数C关于点P的相关函数．
例如：当n＝1时，函数y＝（x﹣6）2+3关于点P（0，1）的相关函数为y＝（x+6）2﹣1．
（1）当n＝0时，
①二次函数y＝x2关于点P的相关函数为 ；
②点A（2，3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值；
（2）函数y＝﹣x2+关于点P的相关函数是y＝x2，则n＝；
（3）当n﹣1≤x≤n+3时，函数y＝﹣2x2+nxn2的相关函数的最小值为7，求n的值．
【答案】（1）解：①故答案为：y＝﹣x2；
②二次函数y＝ax2﹣2ax+a的顶点为：（1，0），新函数的顶点为（﹣1，0），
则新函数的表达式为：y＝﹣a（x+1）2，
将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣；
（2）解：两个函数的顶点分别为：（0，）、（0，﹣），
由中点公式得：2n＝﹣，解得：n＝﹣，
故答案为：﹣；
（3）解：y＝﹣2x2+nxn2的顶点为：（，﹣n2），则相关函数顶点为：（﹣，n2+2n），
则相关函数的表达式为：y＝2（x+）2+n2+2n；
①当n≤﹣3时，
函数在x＝n+3时，取得最小值，即2（+3+）2+n2+2n＝7，
解得：n＝﹣或﹣1（舍去﹣1），
故n＝﹣；
②当﹣3＜n≤1时，
函数在顶点处取得最小值，即n2+2n＝7，
解得：n＝﹣1（舍去）；
③当n＞1时，
同理可得：n＝或﹣1（舍去﹣1），
综上，n＝﹣或．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）①n=0时，点P（0，0），则相关函数为y＝﹣x2；
故答案为：y＝﹣x2；
【分析】（1）①n=0时，点P（0，0），则相关函数为y＝﹣x2，即可求解；
②二次函数y＝ax2﹣2ax+a的顶点为：（1，0），新函数的顶点为（﹣1，0），从而得出新函数的表达式为y＝﹣a（x+1）2，再将A的坐标代入求出a值即可；
（2）先求出两个函数的顶点分别为（0，）、（0，﹣），再利用中点公式即可求解；
（3）分三种情况：①当n≤﹣3时，②当﹣3＜n≤1时，③当n＞1时，据此分别解答即可.
22．（2023九上·路桥月考）对于函数定义变换：当y≥0时，函数值不变；当y＜0时，函数值变为原来的相反数，我们把这种变换称为函数的“关联变换”，变换后的函数称为原函数的“关联函数”，“关联函数”与x轴的交点叫做“转折点”．
如：一次函数y＝x－1，关联函数为，这个关联函数的转折点是(1，0)．
（1）已知一次函数y＝2x－3，请直接写出它的“关联函数”的解析式和转折点．
（2）已知二次函数y＝x2－2x－3，点(a，4)在它的“关联函数”的图象上，求a的值．
（3）在平面直角坐标系内，有点M(－1，1)、N(3，1)，请直接写出a的取值范围是多少时，二次函数y＝x2－2x＋a的关联函数与线段MN恰有两个公共点．
【答案】（1）（，0）
（2）解：令y＝0，x2－2x－3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
∴抛物线y＝x2－2x－3与x轴交点坐标为（－1，0），（3，0），
∵抛物线开口向上，
∴关联函数y＝，
将（a，4）代入y＝x2－2x－3得4＝a2－2a－3，
解得a1＝1－，a2＝1＋，
将（a，4）代入y＝－x2＋2x＋3得4＝－a2＋2a＋3，
解得a3＝a4＝1，
∴a＝1±或1．
（3）解：∵y＝x2－2x＋a＝（x－1）2＋a－1，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，a－1），对称轴为直线x＝1，
点M（－1，1）、N（3，1）关于直线x＝1对称，
如图，作MN关于x轴的对称的线段M'N'，
当a－1＝1时，a＝2，抛物线顶点在线段MN上，
当a－1＝－1时，a＝0，抛物线顶点在线段M'N'上，
∴0＜a＜2满足题意；
当抛物线经过点M，N时，将（－1，1）代入y＝x2－2x＋a得1＝1＋2＋a，
解得a＝－2，
将（－1，－1）代入y＝x2－2x＋a得－1＝1＋2＋a，
解得a＝－4，
∴－4≤a＜－2符合题意，
综上所述，0＜a＜2或－4≤a＜－2．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；定义新运算；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）令y＝0，2x－3＝0，解得x＝，∴其关联函数为y＝，
关联函数的转折点为（，0）．
【分析】（1）根据一次函数的解的性质，将y=0代入一次函数，求出x的值；根据“关联函数”的定义，可列关于x、y的一元二次方程，加减消元法即可求出转折点的坐标.
（2）根据因式分解法解二次函数，可以得到函数与x轴的两个交点的坐标；根据“关联函数”的定义，可得关联函数的解析式；将点（a，4）分别代入关联函数，可以解得a的值.
（3）根据二次函数的顶点式，可得抛物线的对称轴的直线；根据点的坐标的对称性，可得a的取值范围.根据二次函数上点的坐标的性质，代入函数，即可求出a的值；根据二次函数图象的性质，可以求得a的另一个取值范围.
23．（2023九上·杭州期中） 如图1，C，D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点P，确足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是的“美丽角”．
（1）如图2，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，D是上一点，连结ED交AB于点P，连结CP，∠CPD是的“美丽角”吗？请说明理由；
（2）设的度数为α，请用含α的式子表示的“美丽角”度数；
（3）如图3，在（1）的条件下，若直径AB＝5，的“美丽角”为90°，当时，求CE的长．
【答案】（1）解：∠CPD是的“美丽角”理由：
∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，
∴AB平分EC，
即AB为EC的垂直平分线，
∴PC＝PE，
∵AB⊥EC，
∴∠CPA＝∠EPA．
∵∠BPD＝∠EPA，
∴∠CPA＝∠BPD，
∴∠CPD是的“美丽角”；
（2）解：∵的度数为α，
∴∠CED＝α．
∵CE⊥AB，
∠APE＝90°-∠CED＝90°-α．
∠BPD＝∠APE，
∠APC＝∠BPD，
∠CPD＝180°-∠APC-∠BPD＝α．
∵∠CPD是的“美丽角”．
∴的“美丽角”＝α；
（3）解：如图，连接OC，OD，
∵的“美丽角”为90°，
∴∠APC＝∠BPD＝45°
∴APE＝∠BPD＝45°，
∵CE⊥AB，
∴∠E＝∠APE＝45°，
∴∠COD＝2∠E＝90°．
∵直径AB＝10，
∴OC＝OD＝5，
∴CD＝OC＝5；
∵∠CPD＝90°，∠E＝45°，
∴△CPE为等腰直角三角形，
∴PC＝PE．
设PC＝PE＝x，
则PD＝DE-PE＝7-x，
在Rt△PCD中，
∵PC2+PD2＝CD2，
∴x2+（7-x）2＝（5）2，
解得：x＝3或x＝4，
∴PC＝PE＝3或4，
∴CE＝PC＝6或8．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；等腰直角三角形；定义新运算；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得AB为EC的垂直平分线得∠CPA＝∠EPA，再根据对顶角相等得∠BPD＝∠EPA，等量代换得∠CPA＝∠BPD；
（2）根据圆周角定理得∠CED＝α，进而得到∠APE＝90°-α，再根据对顶角相等得∠BPD＝∠APE，再根据美丽角得∠APC＝∠BPD，再根据补角得∠CPD＝180°-∠APC-∠BPD即可求得；
（3）连接OC，OD，根据勾股定理列方程，即可求得PC，CE.
24．（2022九上·慈溪期中）如图1，，是半圆上的两点，若直径上存在一点，满足，则称是的“幸运角”.
（1）如图2，是的直径，弦，是上一点，连结交于点，连结，是的“幸运角”吗？请说明理由；
（2）设的度数为，请用含的式子表示的“幸运角”度数；
（3）在（1）的条件下，直径，的“幸运角”为.
①如图3，连结，求弦的长；
②当时，求的长.
【答案】（1）解：是的“幸运角”，理由：
是的直径，弦，
平分，
即为的垂直平分线，
，
，
.
，
，
是的“幸运角”；
（2）解：的度数为，
，
，
.
，
.
∵的“幸运角”度数.
∴的“幸运角”度数为；
（3）解：①连接，，如图，
∵的“幸运角”为，.，
，，
.
直径，
，
；
②，，
为等腰直角三角形，
.
设，则，
在中，
，
，
解得：或，或，
或8.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；等腰直角三角形；定义新运算
【解析】【分析】（1）由题意可得AB平分EC，则PC=PE，由等腰三角形的性质可得∠CPA=∠EPA，由对顶角的性质可得∠BPD=∠EPA，则∠CPA=∠BPD，据此判断；
（2）根据弧的度数为其所对圆周角的2倍可得∠CED=，由余角的性质可得∠APE=90°-，由（1）可得∠APC=∠BPD=90°-，然后根据的“幸运角”度数=180°-∠APC-∠BPD进行计算；
（3）①连接OC、OD，结合“幸运角”的概念可得∠APC=∠BPD=45°，则∠APE=∠BPD=45°，由圆周角定理可得∠COD=2∠E=90°，据此求解；
②易得△CPE为等腰直角三角形，PC=PE，设PC=PE=x，则PD=-x，在Rt△PCD中，利用勾股定理可得x，进而可得CE的值.
1 / 1精选新定义型题—2024年浙教版数学九（上）期中复习
一、选择题
1．（2023九上·越城月考）定义：给定关于x的函数 y ，对 于该函数图象上任意两点（x1，y1），（x2，y2），当x1﹤x2时，都有y1﹤y2，称该函数为增函数.根据以上定义，下列函数中①y=2x；②；③；④，是增函数的（ ）
A．①③④ B．①② C．③④ D．①③
2．（2024九上·拱墅月考）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF＝4a，则AB＝（ ）
A．（﹣1）a B．（2﹣2）a C．（+1）a D．（2+2）a
3．（2023九上·浙江期中）定义平面内任意两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)之间的距离dPQ=|x2-x1|+|y2-y1|称为这两点间的曼哈顿距离(简称为曼距)．例如，在平面直角坐标系中，点P(-3，-2)与点Q(2，2)之间的曼距dPQ=|-3-2|+|-2-2|=5+4=9，若点A在直线y=x-2上，点B为抛物线y=x2+2x上一点，则曼距dAB的最小值（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·鹿城月考）定义：在平面直角坐标系中，若点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做整点．如：，都是整点．已知抛物线与轴交于，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有个整点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022九上·舟山月考）定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2bxc（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1m，2m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当x＞0.5时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
6．（2019九上·舟山期中）对于某一函数给出如下定义：若存在实数m，自变量的值为m时，函数值等于-m，则称-m为这个函数的反向值.在函数存在反向值时，该函数的最大反向值与最小反向值之差n称为这个函数的反向距离.特别地，当函数只有一个反向值时，其反向距离n为零.例如：图中的函数有4，－1两个反向值，其反向距离n等于5.现有函数y＝ ，则这个函数的反向距离的所有可能值有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个及以上的有限个 D．无数个
7．（2018九上·长兴月考）定义：如果抛物线：y=a1x2+bx+c1(a1≠0)与抛物线y=a2x2+bx+c2(a2≠0)满足：a1+a2=0，c1+c2=0，则称这两条抛物线互为“同胞抛物线”．现有下列结论：①抛物线y=(x+1)2-2的同胞抛物线是抛物线y=(x+1)2+2；②若两条抛物线互为同胞抛物线，则它们的顶点关于原点对称；③已知抛物线C1与抛物线C2互为同胞抛物线，若点M(2，3)在抛物线C1上，则N(-3，-2)在抛物线C2上；④已知抛物线C1与抛物线C2互为同胞抛物线。则它们一定有两个不同的交点．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2023九上·绍兴月考）已知和均是以为自变量的函数，为实数.当时，函数值分别为和，若存在实数，使得.则称和为友好函数，以下和不一定是友好函数的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
二、填空题
9．（2019九上·杭州月考）定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：
①当m＝﹣1时，函数图象的顶点坐标是（ ， ）；
②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于 ；
③当m＜0时，函数在 时，y随x的增大而减小；
④当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点．
其中正确的结论有 ．（只需填写序号）
10．（2018九上·椒江月考）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b= 设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m是任意实数）恰有三个互不相等的实数根，则m的取值范围是 .
11．（2022九上·北仑期中）对于实数a，b，定义运算“*”：； ，关于x的方程 恰好有三个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
12．（2020九上·越城期中）如图，直线l： ，一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3）…Bn（n，yn）（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0）…，An+1（xn+1，0）（n为正整数），设x1=d（0＜d＜1）若其中一条抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这条抛物线就称为：“美丽抛物线”.则当d（0＜d＜1）的大小变化时能产生美丽抛物线相应的d的值是 .
13．（2020九上·嘉兴月考）定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b.如max{1，﹣3}＝1，则max{x2+2x+3，﹣2x+8}的最小值是 .
三、解答题
14．（2024九上·定海开学考）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
（1）①点的“纵横值”为 ；
②求出函数的“最优纵横值”；
（2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值；
（3）若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．
15．（2019九上·天台月考）定义｛a，b，c｝为函数y=ax +bx+c的“特征数”.如：函数 的“特征数”是｛1，-2，3｝.将“特征数”为｛1，-4，1｝的函数图象先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到一个新函数图象，求这个新函数图象的解析式．
16．（2024九上·岱山开学考）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
（1）①点的“纵横值”为 ；
②求出函数的“最优纵横值”；
（2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值；
（3）若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．
17．（2019九上·湖州月考）阅读下列材料，解决材料后的问题：
材料一：对于实数x、y，我们将x与y的“友好数”用f（x，y）表示，定义为： ，例如17与16的友好数为 .
材料二：对于实数 ，用 表示不超过实数 的最大整数，即满足条件 ≤ ＜ ，例如：
， ， ，……
（1）由材料一知： 与1的“友好数”可以用 表示，已知 ，请求出 的值；
（2）已知 ，请求出实数a的取值范围；
（3）已知实数 满足条件 ，且 ，请求 的最小值.
18．（2022九上·新昌月考）定义：如图1，点、把线段分割成三条线段、和，若，则称是线段的比例中段，、是线段的中段分点.
（1）已知点、是线段的中段分点.
①若，，则 ▲ ；
②在图1中，若，，求的长.
（2）如图2，在中，是线段的比例中段，、分别是线段、延长线上的点，且，、的延长线分别交线段于点，.探究是否为线段的比例中段，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由..
19．（2022九上·新昌期中）如图1，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以A为公共点的三条弦构成的图形称为圆中“爪形A”，如图2，四边形内接于圆，，
（1）证明：圆中存在“爪形D”；
（2）若，求证：
20．（2023九上·绍兴月考）若定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”，其“明德点”为.
（1）①判断：函数 “明德函数”（填“是”或“不是”）；
②函数的图像上的明德点是 ；
（2）若抛物线上有两个“明德点”，求的取值范围；
（3）若函数的图象上存在唯一的一个“明德点”，且当时，的最小值为，求的值.
21．（2023九上·义乌期中）定义：将函数C的图象绕点P（0，n）旋转180°，得到新的函数C1的图象，我们称函数C1是函数C关于点P的相关函数．
例如：当n＝1时，函数y＝（x﹣6）2+3关于点P（0，1）的相关函数为y＝（x+6）2﹣1．
（1）当n＝0时，
①二次函数y＝x2关于点P的相关函数为 ；
②点A（2，3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值；
（2）函数y＝﹣x2+关于点P的相关函数是y＝x2，则n＝；
（3）当n﹣1≤x≤n+3时，函数y＝﹣2x2+nxn2的相关函数的最小值为7，求n的值．
22．（2023九上·路桥月考）对于函数定义变换：当y≥0时，函数值不变；当y＜0时，函数值变为原来的相反数，我们把这种变换称为函数的“关联变换”，变换后的函数称为原函数的“关联函数”，“关联函数”与x轴的交点叫做“转折点”．
如：一次函数y＝x－1，关联函数为，这个关联函数的转折点是(1，0)．
（1）已知一次函数y＝2x－3，请直接写出它的“关联函数”的解析式和转折点．
（2）已知二次函数y＝x2－2x－3，点(a，4)在它的“关联函数”的图象上，求a的值．
（3）在平面直角坐标系内，有点M(－1，1)、N(3，1)，请直接写出a的取值范围是多少时，二次函数y＝x2－2x＋a的关联函数与线段MN恰有两个公共点．
23．（2023九上·杭州期中） 如图1，C，D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点P，确足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是的“美丽角”．
（1）如图2，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，D是上一点，连结ED交AB于点P，连结CP，∠CPD是的“美丽角”吗？请说明理由；
（2）设的度数为α，请用含α的式子表示的“美丽角”度数；
（3）如图3，在（1）的条件下，若直径AB＝5，的“美丽角”为90°，当时，求CE的长．
24．（2022九上·慈溪期中）如图1，，是半圆上的两点，若直径上存在一点，满足，则称是的“幸运角”.
（1）如图2，是的直径，弦，是上一点，连结交于点，连结，是的“幸运角”吗？请说明理由；
（2）设的度数为，请用含的式子表示的“幸运角”度数；
（3）在（1）的条件下，直径，的“幸运角”为.
①如图3，连结，求弦的长；
②当时，求的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质；一次函数的图象；定义新运算；二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：对于①，由可知，又随着x的增大而增大，即 当时，都有， 符合题意；
对于②，由可知，又随着x的增大而减小，即 当时，都有， 不符合题意；
对于③，由题对称轴可知，且二次函数开口朝上，当时，y随着x的增大而增大；所以当时，都有， 符合题意；
对于④，不是函数；
故答案为：D .
【分析】利用①②③的函数图象即可判断，④不是函数.
2．【答案】D
【知识点】正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：设，
四边形是正方形，
，
矩形是黄金矩形，
，
，
解得，
经检验是原方程的根，
，
故答案为：D
【分析】设，先根据正方形的性质得到，进而根据黄金矩形的性质得到，代入即可表示出x，从而检验即可求解。
3．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意，设，所以，当点两点的横坐标相等时， dAB的最小，所以，所以曼距的最小值为.
故答案为：C.
【分析】设点的坐标，根据定义表示出曼距 dAB，当两点横坐标相等时， dAB取得最小值，求解即可．
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：抛物线化为顶点式为：，
∴函数的对称轴：，
∴和两点关于对称，
根据题意，抛物线在、之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有个整点，这些整点是，，，，，
如图所示：
∵当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴的取值范围是，
故答案为：．
【分析】先将二次函数的一般式化为顶点式，再作出二次函数的图象，最后结合函数图象列出不等式组求解即可.
5．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ 特征数为[m，1m，2m] 。
∴y=mx2+（1-m）x+2-m，
当m=1时，y=x2+1，
∴抛物线的对称轴为y轴，故①正确；
当m=2时，y=2x2-x，
当x=0时y=0，
∴函数图象过原点，故②正确；
∵当m＞0时，图象的开口向上，
∴函数有最小值，故③正确；
∵当m＜0时，抛物线的开口向下，
∴对称轴直线，
在对称轴的在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
∴当时y随x的增大而减小，
∵m＜0
∴，故④错误；
∴正确结论的序号为①②③
故答案为：C
【分析】利用定义可得到二次函数解析式为y=mx2+（1-m）x+2-m，将m=1代入函数解析式，可得到此时函数图象的对称轴，可对①作出判断；将m=2代入，可得到函数解析式，可对②作出判断；利用二次函数的性质，可对③作出判断；利用当m＜0时，抛物线的开口向下，可得到抛物线的对称轴，利用二次函数的增减性可知在对称轴的在对称轴的右侧y随x的增大而减小，可得到当时y随x的增大而减小，利用m的取值范围可得到，可对④作出判断.
6．【答案】B
【知识点】定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y＝
∴当x≥k时，
-k=k2-3k，得k=0或k=2，
∴n=2-0=2，
∴k＞2或k≤-2；
当x＜k时，
-k=-k2-3k，
解得，k=0或k=-4，
∴n=0-（-4）=4，
∴-2＜k≤2，
由上可得，当k＞2或k≤-2时，n=2，
当-2＜k≤2时，n=4．
∴这个函数的反向距离的所有可能值有两个。
故答案为：B。
【分析】分类讨论：当x≥k时，根据函数反向值的定义得出方程-k=k2-3k，求解得出k=0或k=2，再根据函数的反向距离的定义即可求出n的值；当x＜k时，根据函数反向值的定义得出方程-k=-k2-3k，求解得出k=0或k=-4，再根据函数的反向距离的定义即可求出n的值，综上所述即可得出答案。
7．【答案】A
【知识点】定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】 【解答】解：∵ y=(x+1)2-2 =x2+2x+1
y=(x+1)2+2= x2+2x+3
1+1≠0，1+3≠0
∴ 抛物线y=(x+1)2-2的同胞抛物线不是抛物线y=(x+1)2+2 ，故①错误；
∵ y=a1x2+bx+c1(a1≠0)与抛物线y=a2x2+bx+c2是互为同胞抛物线
则 a1+a2=0，c1+c2=0，
∴a1=-a2，c1=-c2，
∵y=a1x2+bx+c1的顶点坐标为：（，）即（，）
y=a2x2+bx+c2的顶点坐标为：（，）
∴ 它们的顶点关于原点对称 ，故②正确；
∵设 y=a1x2+b1x+c1(a1≠0)与抛物线与y=a2x2+b2x+c2(a2≠0 ）互为同胞函数
∴a1=-a2，c1=-c2，
∴y=-a2x2+b1x-c2
∵点M在y=-a2x2+b1x-c2上，
∴-4a2+2b1-c2=3；
∴b1=，
∵点N在y=a2x2+b2x+c2上
∴9a2-3b2+c2=-2；
∴b2=
∵b1≠b2，故③错误；
设y=a1x2+bx+c1(a1≠0)与抛物线与y=a2x2+bx+c2(a2≠0 ）互为同胞函数
∴a1=-a2，c1=-c2，
∴y=-a2x2+b1x-c2
∴-a2x2+bx-c2=a2x2+bx+c2
∴2a2x2+2c2=0
2a2x2=-2c2
只有当a2与c2异号时，这两个函数一定有两个交点，故④错误；
故答案为：A
【分析】将①的两个函数转化为一般形式，根据同胞函数的定义，即可判断；根据同胞函数的定义可知a1=-a2，c1=-c2，再求出两函数的顶点坐标分别为（，），（，），即可对②作出判断，将点M代入y=-a2x2+b1x-c2，可求出b1=，再将点N代入y=a2x2+b2x+c2，可得出b2=，而同胞函数b值相等，可对③作出判断；设y=a1x2+bx+c1(a1≠0)与抛物线与y=a2x2+bx+c2(a2≠0 ）互为同胞函数，将两函数联立方程组，可得出2a2x2=-2c2，只有当a2与c2异号时，这两个函数一定有两个交点，可对④作出判断，综上所述，可得出正确的个数。
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的性质；一次函数的性质；定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、当 =，则 ，整理x2-x-1=0，
△=（-1）2-4×1×（-1）=5＞0，
∴存在 实数，使得.则称和为友好函数 ，故不符合题意；
B、当 =，则 ，整理x2+ax+-=0，
△=a2-3a+2，
当1＜a＜2时，△＜0， =无解，
∴不一定存在实数m，故符合题意；
C、当 =，则 ，整理x2-3x+2=0，
△=9-8=1＞0，
∴存在实数m，故不符合题意；
D、当 =，则 ， 整理x2+ax-a-2=0，
△=a2+4a+8=（a+2）2+4＞0，
∴存在实数m，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据 友好函数的定义，直接令=，建立关于x的方程，若方程无解即得结论.
9．【答案】①②④
【知识点】定义新运算；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：当m=-1时，则a=2m=-2，b=1-m=1-(-1)=2，c=-1-m=-1-（-1）=0，
∴
∴此函数的顶点坐标为，故①正确；
当m＜0时，当y=0
则 2mx2+（1-m）x+（-1-m）=0
解之：x1=1，
∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0），
∴ 函数图象截x轴所得的线段长度为
∵m＞0
∴，故②正确；
∵y=2mx2+（1-m）x+（-1-m），m＜0
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线
∴x可能在对称轴的左侧也可能在对称轴的右侧，故③错误；
当m≠0时，当y=0
则2mx2+（1-m）x+（-1-m）=0
解之：x1=1，
∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0），
∴函数图象经过x轴上的定点（1，0），故④正确
正确结论的序号为： ①②④
【分析】将m=-1代入函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，可得到函数图象的顶点坐标，可对①作出判断；由y=0求出二次函数与x轴的两交点坐标，就可求出函数图象截x轴所得的线段长度，再比较大小即可求解，可对②作出判断；利用函数解析式求出抛物线的对称轴，再与比较大小，就可得到 x可能在对称轴的左侧也可能在对称轴的右侧，可对③作出判断；由y=0，可求出二次函数图象与x轴的两交点坐标，由此可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号。
10．【答案】0＜m＜
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；定义新运算
【解析】【解答】解：
由2x-1≤x-1可得x≤0，由2x-1＞x-1可得x＞0.
∴根据题意得
即f（x）= ，
画出函数的图象，从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，函数的图象和直线y=m有三个不同的交点.
当x= ，函数y=-x2+x有最大值即f（ ）= ，
由图象可知m的取值范围是0＜m＜ 。
故答案为：0＜m＜ 。
【分析】根据新定义运算成立的条件列出不等式，求出x的取值范围，进而得出分段函数，利用描点法画出分段函数的图象，从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，函数的图象和直线y=m有三个不同的交点，根据二次函数的性质可知：当x= ，函数y=-x2+x有最大值即f（ ）= ，从而由图象即可直接得出答案。
11．【答案】
【知识点】定义新运算；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：当2x 1≤x 1时，即x≤0，
（2x 1）*（x 1）＝（2x 1）2 （2x 1）（x 1）＝2x2 x，
当2x 1＞x 1时，即x＞0，
（2x 1）*（x 1）＝（x 1）2 （2x 1）（x 1）＝ x2＋x，
∴，
∵ 关于x的方程 恰好有三个不相等的实数根 ，
∴直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x有三个不同的交点，
∵抛物线y=2x2-x（x≤0）的最低点作为（0，0），而顶点坐标为，对称轴直线为x=，故只有一个交点直线y=m与抛物线y=2x2-x只有一个交点，且m的取值范围为m≥0，
∴直线y=m与抛物线y=-x2+x一定有两个不同的交点，∴-x2+x=m一定有两个不相等的实数根，∴1-4m＞0，解得，
又∵抛物线y=-x2+x与x轴两交点的坐标为（0，0）、（1，0），∴当m=0时，直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x只有两个不同的交点，
综上所述m的取值范围为：，
即当时， 关于x的方程（2x 1）*（x 1）＝m恰有三个不相等的实数根.
故答案为：.
【分析】首先根据定义新运算法则可得，从图象的角度来说直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x有三个不同的交点，抛物线y=2x2-x（x≤0）的最低点作为（0，0），而顶点坐标为，对称轴直线为x=，故只有一个交点直线y=m与抛物线y=2x2-x只有一个交点，且m的取值范围为m≥0，从而得出直线y=m与抛物线y=-x2+x一定有两个不同的交点，根据根的判别式列出不等式，求解可得m取值范围，又由于抛物线y=2x2-x（x≤0）及y=-x2+x（x＞0）与x轴的交点是（0，0）、（1，0），故m≠0，综上所述即可得出答案.
12．【答案】 或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；定义新运算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵直线l的解析式为，
∴当x=1时，y=，
∴ B1（1，），
当x=2时，y=，
∴ B2（2，），
∵ A1（d，0），A2（2-d，0），
若B1为直角顶点，则A1A2的中点（1，0）到B1的距离与到A1和A2的距离相等，
∴1-d=，
∴d=，
同理：若B2为直角顶点，则A2A3的中点（2，0）到B2的距离与到A3和A2的距离相等，
∴2-（2-d）= ，
∴d=，
若B3为直角顶点，求出的d为负数，并且从B3之后的B点，求出的d都为负数，
∴ d的值是或.
故答案为：或.
【分析】先求出点B1和B2的坐标，根据题意得出A1和A2的坐标，若B1为直角顶点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半列出等式，求出d的值，同理若B1为直角顶点，列出等式求出d的值，若B3为直角顶点，求出的d为负数，并且从B3之后的B点，求出的d都为负数，即可求解.
13．【答案】6
【知识点】一次函数的性质；定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵(x2+2x+3)﹣(﹣2x+8)=x2+4x﹣5=(x+5)(x﹣1)，
∴当x=﹣5或x=1时，(x2+2x+3)﹣(﹣2x+8)=0，
∴当x≥1时，max{x2+2x+3，﹣2x+8}=x2+2x+3=(x+1)2+2≥6，
当x≤﹣5时，max{x2+2x+3，﹣2x+8}=x2+2x+3=(x+1)2+2≥18，
当﹣5＜x＜1时，max{x2+2x+3，﹣2x+8}=﹣2x+8＞6，
由上可得：max{x2+2x+3，﹣2x+8}的最小值是6.
故答案为：6.
【分析】根据题意，利用分类讨论的方法、二次函数的性质和一次函数的性质可以求得各段对应的最小值，从而可以解答本题.
14．【答案】（1）①8；
②，
∵，
∴
∴函数的“最优纵横值”为2
（2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线，∴，
解得：
∴
∴
∵最优纵横值为5，
∴
∴
（3）5或
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】（1）解：①由题意得：点的“纵横值”为，
故答案为：
（3）解：
若，则当时，；
即：，
解得：或（舍去）；
若，则当时，；
即：，
解得（舍）或；
综上所述：b的值为5或．
【分析】（1）根据题意，先理解新定义，①由新定义直接求解即可；②根据定义结合反比例函数性质先求出，即可求解；
（2）根据题意，由二次函数的性质，先确定b=3，由新定义表示出y-x的表达式并对其配方得，再由题意得得，即可求解；
（3）先求，根据最优纵横值为2，可分两类讨论若，若，分别由二次函数的性质即可求解；
（1）解：①由题意得：点的“纵横值”为，
故答案为：
②，
∵，
∴
∴函数的“最优纵横值”为2
（2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：
∴
∴
∵最优纵横值为5，
∴
∴
（3）解：
若，则当时，；
即：，
解得：或（舍去）；
若，则当时，；
即：，
解得（舍）或；
综上所述：b的值为5或．
15．【答案】解：由题意得： “特征数”为｛1，-4，1｝的函数是y=x2-4x+1，
配方得：y=(x-2)2-3 ，
则图象先向左平移3个单位， 再向下平移2个单位得到一个新函数为，
y=(x-2+3)2-3-2=x2+2x-4.
【知识点】二次函数图象的几何变换；定义新运算
【解析】【分析】根据函数“特征数”的定义写出“特征数”为｛1，-4，1｝的函数式，然后配方，再通过“横坐标左加右减，纵坐标上加下减”的方法得出平移后的函数式即可.
16．【答案】（1）解：①.
②，∵，∴，∴函数的“最优纵横值”为2.
（2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵最优纵横值为5，
∴，
∴.
（3）解：，
若，则当时，；
即：，
解得：或（舍去）；
若，则当时，；
即：，
解得（舍）或；
综上所述：b的值为5或．
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；反比例函数图象上点的坐标特征；配方法的应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）解：①由题意得：点的“纵横值”为，故答案为：.
【分析】（1）①根据定义，求出y-x的值即可；
②根据定义， 先计算y-x的值，结合x的取值范围和反比例函数图象上点的坐标特征，即可求解；
（2）根据抛物线的对称轴求出b=3，故抛物线的解析式为y=-x2+3x+c，根据定义，求出y-x=-x2+3x+c-x=-（x-1）2+1+c，根据配方法可得x=1时，y-x的值最大为c+1，根据最优纵横值为5，即可得出1+c=5，解得c=4；
（3）根据定义，求出，结合故y-x与x的函数图象，关于直线x=b对称，且抛抛物线的开口向下，据此分为b＞0和b＜-1两种情况，分别计算求出b的值，即可求解.
17．【答案】（1）解：由题意，可得
解得， ，
∴
（2）解：∵
由题意，可得
解得
（3）解：∵ ，
∴
∵
解得
∵ 为整数
∴ （ 为整数）
在 中，
当 时， 成立
∴
∴
∴
令 ，则当 时，
∴
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用材料一代入建立关于x的一元二次方程，解方程求出x的值即可。
（2）根据材料二可以列出关于a的不等式组，解不等式组就可求出a的取值范围。
（3）先根据材料二建立关于x的不等式组，解不等式组求出x的取值范围，再求出x的值，然后求出的解析式为二次函数，利用二次函数的性质就可求出其最小值。
18．【答案】（1）解：①；②设，则由题可得：，
解得或4，
的长为1或4；
（2）解：是线段的比例中段.
理由如下：设，
，
，
同理，，，
，，，
是线段的比例中段，
，
，
，
即是线段的比例中段.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；定义新运算
【解析】【分析】（1）①根据MN2=AM·BN可得BN的值；
②设AM=x，则BM=5-x，根据MN2=AM·BN可得x的值，即为AM的长；
（2）设，根据平行线分线段成比例的性质可得，同理可得，，则GK=kBN，KP=kMN，PF=kAM，根据比例中项的概念可得MN2=AM·BN，代入化简可得KP2=GK·PF，据此证明.
19．【答案】（1）证明：∵，
∴
∴，
∴平分圆周角，
∴圆中存在“爪形D” ．
（2）证明：如图：延长至点E，使得，连接，
∵ ，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，即．
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；定义新运算；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据AB=BC结合弦、弧的关系可得，由圆周角定理可得∠ADB=∠CDB，推出DB平分圆周角∠ADC，据此证明；
（2）延长DC至点E，使得CE=AD，连接BE，由圆内接四边形的性质可得∠A+∠DCB=180°，由邻补角的性质可得∠ECB+∠DCB=180°，推出∠A=∠ECB，证明△BAD≌△BCE，得到∠E=∠ADB，结合∠ADC的度数可得∠E=∠ADB=60°，推出△BDE为等边三角形，得到DE=BD，据此证明.
20．【答案】（1）不是；（0，0）或（2，4）
（2）抛物线是“明德函数”， ，
整理得：，
抛物线上有两个“明德点”，
，，
的取值范围为且；
（3）由题意可知，
整理得，
整理得，
对称轴为直线m=k，此时n的最小值为2k；根据题意分类讨论：
①
②
③
综上，k的值为0或。
【知识点】定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）①令2x+3=2x，此方程无解，
∴ 函数不是“ 明德函数 ”
故答案为：不是.
② 令x2=2x，解得x=0或2，
∴ 函数的图像上的明德点是（0，0） 或（2，4）；
故答案为：（0，0） 或（2，4）；
【分析】（1）根据“ 明德函数 ”的定义进行判断即可；
（2）根据“ 明德函数 ”的定义可得，可得△＞0，据此解答即可；
（3）根据“ 明德函数 ”的定义可得，由唯一一个“明德点”，可得△=0，可得，对称轴为直线m=k，此时n的最小值为2k，再分类讨论即可.
21．【答案】（1）解：①故答案为：y＝﹣x2；
②二次函数y＝ax2﹣2ax+a的顶点为：（1，0），新函数的顶点为（﹣1，0），
则新函数的表达式为：y＝﹣a（x+1）2，
将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣；
（2）解：两个函数的顶点分别为：（0，）、（0，﹣），
由中点公式得：2n＝﹣，解得：n＝﹣，
故答案为：﹣；
（3）解：y＝﹣2x2+nxn2的顶点为：（，﹣n2），则相关函数顶点为：（﹣，n2+2n），
则相关函数的表达式为：y＝2（x+）2+n2+2n；
①当n≤﹣3时，
函数在x＝n+3时，取得最小值，即2（+3+）2+n2+2n＝7，
解得：n＝﹣或﹣1（舍去﹣1），
故n＝﹣；
②当﹣3＜n≤1时，
函数在顶点处取得最小值，即n2+2n＝7，
解得：n＝﹣1（舍去）；
③当n＞1时，
同理可得：n＝或﹣1（舍去﹣1），
综上，n＝﹣或．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）①n=0时，点P（0，0），则相关函数为y＝﹣x2；
故答案为：y＝﹣x2；
【分析】（1）①n=0时，点P（0，0），则相关函数为y＝﹣x2，即可求解；
②二次函数y＝ax2﹣2ax+a的顶点为：（1，0），新函数的顶点为（﹣1，0），从而得出新函数的表达式为y＝﹣a（x+1）2，再将A的坐标代入求出a值即可；
（2）先求出两个函数的顶点分别为（0，）、（0，﹣），再利用中点公式即可求解；
（3）分三种情况：①当n≤﹣3时，②当﹣3＜n≤1时，③当n＞1时，据此分别解答即可.
22．【答案】（1）（，0）
（2）解：令y＝0，x2－2x－3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
∴抛物线y＝x2－2x－3与x轴交点坐标为（－1，0），（3，0），
∵抛物线开口向上，
∴关联函数y＝，
将（a，4）代入y＝x2－2x－3得4＝a2－2a－3，
解得a1＝1－，a2＝1＋，
将（a，4）代入y＝－x2＋2x＋3得4＝－a2＋2a＋3，
解得a3＝a4＝1，
∴a＝1±或1．
（3）解：∵y＝x2－2x＋a＝（x－1）2＋a－1，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，a－1），对称轴为直线x＝1，
点M（－1，1）、N（3，1）关于直线x＝1对称，
如图，作MN关于x轴的对称的线段M'N'，
当a－1＝1时，a＝2，抛物线顶点在线段MN上，
当a－1＝－1时，a＝0，抛物线顶点在线段M'N'上，
∴0＜a＜2满足题意；
当抛物线经过点M，N时，将（－1，1）代入y＝x2－2x＋a得1＝1＋2＋a，
解得a＝－2，
将（－1，－1）代入y＝x2－2x＋a得－1＝1＋2＋a，
解得a＝－4，
∴－4≤a＜－2符合题意，
综上所述，0＜a＜2或－4≤a＜－2．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；定义新运算；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）令y＝0，2x－3＝0，解得x＝，∴其关联函数为y＝，
关联函数的转折点为（，0）．
【分析】（1）根据一次函数的解的性质，将y=0代入一次函数，求出x的值；根据“关联函数”的定义，可列关于x、y的一元二次方程，加减消元法即可求出转折点的坐标.
（2）根据因式分解法解二次函数，可以得到函数与x轴的两个交点的坐标；根据“关联函数”的定义，可得关联函数的解析式；将点（a，4）分别代入关联函数，可以解得a的值.
（3）根据二次函数的顶点式，可得抛物线的对称轴的直线；根据点的坐标的对称性，可得a的取值范围.根据二次函数上点的坐标的性质，代入函数，即可求出a的值；根据二次函数图象的性质，可以求得a的另一个取值范围.
23．【答案】（1）解：∠CPD是的“美丽角”理由：
∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，
∴AB平分EC，
即AB为EC的垂直平分线，
∴PC＝PE，
∵AB⊥EC，
∴∠CPA＝∠EPA．
∵∠BPD＝∠EPA，
∴∠CPA＝∠BPD，
∴∠CPD是的“美丽角”；
（2）解：∵的度数为α，
∴∠CED＝α．
∵CE⊥AB，
∠APE＝90°-∠CED＝90°-α．
∠BPD＝∠APE，
∠APC＝∠BPD，
∠CPD＝180°-∠APC-∠BPD＝α．
∵∠CPD是的“美丽角”．
∴的“美丽角”＝α；
（3）解：如图，连接OC，OD，
∵的“美丽角”为90°，
∴∠APC＝∠BPD＝45°
∴APE＝∠BPD＝45°，
∵CE⊥AB，
∴∠E＝∠APE＝45°，
∴∠COD＝2∠E＝90°．
∵直径AB＝10，
∴OC＝OD＝5，
∴CD＝OC＝5；
∵∠CPD＝90°，∠E＝45°，
∴△CPE为等腰直角三角形，
∴PC＝PE．
设PC＝PE＝x，
则PD＝DE-PE＝7-x，
在Rt△PCD中，
∵PC2+PD2＝CD2，
∴x2+（7-x）2＝（5）2，
解得：x＝3或x＝4，
∴PC＝PE＝3或4，
∴CE＝PC＝6或8．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；等腰直角三角形；定义新运算；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得AB为EC的垂直平分线得∠CPA＝∠EPA，再根据对顶角相等得∠BPD＝∠EPA，等量代换得∠CPA＝∠BPD；
（2）根据圆周角定理得∠CED＝α，进而得到∠APE＝90°-α，再根据对顶角相等得∠BPD＝∠APE，再根据美丽角得∠APC＝∠BPD，再根据补角得∠CPD＝180°-∠APC-∠BPD即可求得；
（3）连接OC，OD，根据勾股定理列方程，即可求得PC，CE.
24．【答案】（1）解：是的“幸运角”，理由：
是的直径，弦，
平分，
即为的垂直平分线，
，
，
.
，
，
是的“幸运角”；
（2）解：的度数为，
，
，
.
，
.
∵的“幸运角”度数.
∴的“幸运角”度数为；
（3）解：①连接，，如图，
∵的“幸运角”为，.，
，，
.
直径，
，
；
②，，
为等腰直角三角形，
.
设，则，
在中，
，
，
解得：或，或，
或8.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；等腰直角三角形；定义新运算
【解析】【分析】（1）由题意可得AB平分EC，则PC=PE，由等腰三角形的性质可得∠CPA=∠EPA，由对顶角的性质可得∠BPD=∠EPA，则∠CPA=∠BPD，据此判断；
（2）根据弧的度数为其所对圆周角的2倍可得∠CED=，由余角的性质可得∠APE=90°-，由（1）可得∠APC=∠BPD=90°-，然后根据的“幸运角”度数=180°-∠APC-∠BPD进行计算；
（3）①连接OC、OD，结合“幸运角”的概念可得∠APC=∠BPD=45°，则∠APE=∠BPD=45°，由圆周角定理可得∠COD=2∠E=90°，据此求解；
②易得△CPE为等腰直角三角形，PC=PE，设PC=PE=x，则PD=-x，在Rt△PCD中，利用勾股定理可得x，进而可得CE的值.
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