精选实践探究题—2024年浙教版数学九（上）期中复习
一、二次函数
1．（2024九上·杭州月考）
（1）【问题初探】
综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：
已知二次函数y＝x2+2x－3，当－2≤x≤2时，y的取值范围为；
①小伟同学经过分析后，将原二次函数配方成y＝a(x－h)2+k
形式，确定抛物线对称轴为直线x＝h，通过－2、h和2的大小
关系，分别确定了最大值和最小值，进而求出y的取值范围；
②小军同学画出如图的函数图象，通过观察图象确定了y的取值范围；请你根据上述两名同学的分析写出y的取值范围是 ；
（2）【类比分析】
张老师发现两名同学分别从“数”和“形”的角度分析、解决问题，为了让同学们更好感悟“数形结合”思想，张老师将前面问题变式为下面问题，请你解答：已知二次函数y＝－x2+2x－3，当－2≤x≤2时，求y的取值范围；
（3）【学以致用】
已知二次函数y＝－x2+6x－5，当a≤x≤a+3时，二次函数的最大值为y1，最小值为y2，若y1－y2＝3，求a的值．
2．（2023九上·浙江期中）根据以下素材，探索完成任务．
绿化带灌溉车的操作方案
素材1 辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高1.6米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为3米，高出|喷水口0.9米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点。
素材2 路边的绿化带宽4米
素材3 绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人给树木“打针”。针一般打在离地面1.5米到2米的高度(包含端点)。
问题解决
（1）任务1：确定上边缘水流形状
建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式．
（2）任务2：探究灌溉范围
灌溉车行驶过程中喷出的水能浇浓到整个绿化带吗？请说明理由．
（3）任务3：拟定设计方案
灌溉时，发现水流的上下两边缘冲击力最强，喷到针筒容易造成针筒脱落。那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给出具体的“打针”范围。
3．（2023九上·洞头期中） 根据以下素材，探索完成任务，
素材1 图1是中国传统建筑——凉亭，其截面为两个成轴对称的抛物线的一部分（如图2）．凉亭外延水平宽度EC为6米，亭高AO＝4米，在抛物线最低处由一根高为3.1米的柱子支撑，柱子离亭正中心O点距离为2.4米；
素材2 为了美观，拟在凉亭右侧抛物线内悬挂一盏上下长度为0.5米，左右宽度为0.2米的灯笼（如图3），要使得整个灯笼处于右侧且保持离地至少3米的安全距离（灯笼挂钩G位于其中间最上端）.
（1）任务1 确定凉亭右侧形状：在图2中建立合适的直角坐标系，求凉亭右侧抛物线的函数表达式；
（2）任务2 探究悬挂位置：在你建立的坐标系中，在安全的前提下，确定灯笼的悬挂水平位置范围.
4．（2023九上·舟山期中）根据以下素材，探索完成任务．
素材1 图1为某公园的抛物线型拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度米，拱顶离水面的距离为米．
素材2 拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图3所示，漏出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形．测得相关数据如下：米，米，米，米．
素材3 为确保安全，拟在石拱桥下面的P，Q两处设置航行警戒线，要求如下：
①游船底部在P，Q之间通行；
②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为米．
（1）任务1 确定拱桥形状：在图2中建立合适的直角坐标系，并求这条抛物线的函数表达式．
（2）任务2 设计警戒线之间的宽度：求的最大值.
5．（2023九上·乐清期中）根据以下素材，探索完成任务
确定文具套餐售价
素材1 某书店销售一款文具套装，当每套文具售价为30元时，月销售量为200套，经市场调查表明，每套文具售价每降价1元，则月销售量增加20套．设每套文具的售价为x元（x为正整数），月销售量为y套．
素材2 该文具套装的成本是10元/套．
素材3 为促进公益，在售价不低于进价且每套文具获利不高于95%的前提下，该书店决定，每月捐赠400元给慈善机构．
问题解决：
（1）任务1：分析变量分析
求y关于x的函数表达式．
（2）任务2：计算月利润
当售价为多少时，月利润W获得最大？最大利润是多少？
（3）任务3：确定合理售价
为了保证捐款后月利润不低于3040元，文具套装的售价可以取哪些数值．
6．（2021九上·衢州期中）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：
（1）（问题）
如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-2）2-4经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a= ，点A的坐标为 .
（2）（操作）
将图①中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，如图②.直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式： .
（3）（探究）
在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数y随x的增大而增大时，x的取值范围是 .
（4）（应用）结合上面的操作与探究，继续思考： 如图③，若抛物线y=（x-h）2-4与x轴交于A，B两点（A在B左），将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象.
求A、B两点的坐标；（用含h的式子表示）
（5）当1＜x＜2时，若新图象的函数值y随x的增大而增大，求h的取值范围.
7．（2024九上·杭州月考）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷泉喷头的升降方案？
素材1 如图，有一个可垂直升降的喷泉，喷出的水柱呈抛物线．记水柱上某一点到喷头的水平距离为x米，到湖面的垂直高度为y米．当喷头位于起始位置时，测量得x与y的四组数据如下： x（米）0234y（米）121.751
素材2 公园想设立新的游玩项目，通过升降喷头，使游船能从水柱下方通过，如图，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.4米．已知游船顶棚宽度为2.8米，顶棚到湖面的高度为2米．
问题解决
任务1 确定喷泉形状 结合素材1，求y关于x的表达式．
任务2 探究喷头升降方案 为使游船按素材2要求顺利通过，求喷头距离湖面高度的最小值．
8．（2023九上·杭州月考）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷水装置的高度？
素材1 如图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其中高为米．
素材2 如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置，从点P向四周喷射抛物线形水柱且满足以下条件： ①不能碰到图2中的水柱； ②落水点G，M的间距为； ③水柱的最高点与点P的高度差为； ④从点P向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱．
问题解决
任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为x轴建立直角坐标系，并求这条抛物线的函数表达式．
任务2 探究落水点位置 在建立的坐标系中，求落水点G的坐标．
任务3 拟定喷水装置的高度 求出喷水装置的高度．
9．（2023九上·义乌月考）某饭店特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯（如图1），相关信息如下：
素材 内容
素材1 高脚杯：如图1，类似这种杯托上立着一只细长脚的杯子．从下往上分为三部分：杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆；水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径；杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上．
素材2 图2坐标系中，特制男士杯可以看作线段AB，OC，抛物线DCE（实线部分），线段DF，线段EG绕y轴旋转形成的立体图形（不考虑杯子厚度，下同）． 图2坐标系中，特制女士杯可以看作线段AB，OC，抛物线FCG（虚线部分）绕y轴旋转形成的立体图形．
素材3 已知，图2坐标系中，OC＝50mm，记为C（0，50），D（﹣25，75），E（25，75），F（﹣25，150），G（25，150）．
根据以上素材内容，尝试求解以下问题：
（1）求抛物线DCE和抛物线FCG的解析式；
（2）当杯子水平放置及杯内液体（无泡沫）静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度均为30mm，求两者液体最上层表面圆面积相差多少？（结果保留π）
（3）当杯子水平放置及杯内液体（无泡沫）静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差450πmm2，求杯中液体最深度为多少？
10．（2023九上·期中） 根据以下信息，探索完成任务．
如何设计种植方案？
素材1 某校为响应国家政策，在校内100平方米的土地上进行种植课实践，现有A、B，C三种作物的相关信息如表所示．已知5株A作物和2株B作物的产量共为7千克：10株A作物和6株B作物的产量共为15千克．
A作物B作物C作物每平方米种植株树（株)2104单株产量（千克）xy1.6
素材2 由于A作物植株间距较大，可增加A作物每平方米的种植株树．经过实验发现，每平方米种植A作物每增加1株，A作物的单株产量减少0.1千克．而B，C单株产量不发生变化．
素材3 若同时种植A，B，C三种作物，实行分区域种植．
问题解决
任务1 确定单株产量 求x，y的值．
单一种植（全部种植A作物） 任务2 预估种植策略 要使A作物每平方米产量为4千克，则每平方米应种植多少株？
分区种植（种植A，B，C三种作物） 任务3 规划种植方案 设这100平方米的土地中有a平方米用于种植A作物，且每平方米的产量最大：有b平方米用于种植B作物，剩余的全用来种植C作物，a，b均为正整数．当这100平方米总产量为577千克时，求这三种作物的种植方案．
11．（2023九上·秀洲期中）综合与实践
问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的面积为S，探究S与t的关系.
（1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当时， ．
②S关于t的函数解析式为 ．
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长．
（3）延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
① ▲ ；
②当时，求正方形的面积．
12．（2023九上·杭州期中）完成项目化学习：《蔬菜大棚的设计》．
《蔬菜大棚的设计》
驱动问题 1、如何利用函数模型，刻画蔬菜大棚的棚面？ 2、如何安装排气装置，保证蔬菜大棚的通风性？ 3、如何设计大棚间距，保障蔬菜大棚的采光性？
项目背景 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．如图，一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，这样就形成了一个温室空间．
数学建模 如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．抛物线AED的顶点E（0，4）
问题解决 如图，为了保证该蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，若FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长．
问题解决 为了保证两个蔬菜大棚间的采光不受影响，如图，在某一时刻，此时大棚截面的阴影为CK，求CK的长．
13．（2023九上·龙湾期中）根据素材回答问题：
素材1 如图1，空地上有两条互相垂直的小路OP，OQ，中间有一正方形ABCD水池，已知水池的边长为4 米，AB//OQ，AD//OP，且AB与OQ的距离为10 米，AD与OP的距离为8 米．
素材2 现利用两条小路，再购置30 米长的栅栏(图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计．
任务1 任务2
小明同学按如图2的设计，若EF=16米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）． 若按如图3、如图4设计方案，通过计算说明哪种方案的最大面积更大．
项目反 思 如果栅栏不一定与墙面垂直（或平行），你还能设计出比以上方案面积更大的花圃吗？某学习小组在探究的过程中，设计了方案如图5，你认为图5的最大面积与以上方案比较，哪个更大，请通过计算说明．
二、圆
14．（2023九上·上城期中）根据背景素材，探索解决问题．
测算石拱桥拱圈的半径
素材1 某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图1），石拱桥由矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩各边的中点，如图2所示）．
素材2 通过观察发现A，B，C三个点都在拱圈上，A是拱圈的最高点，且在两块花岗岩的连接处，B，C两个点都是花岗岩的顶点（如图3）．
素材3 如果没有带测量工具，那么可以用身体的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）（如图4），利用该方法测得一块花岗岩的长和宽（如图5）．
问题解决
任务1 获取数据 通过观察、计算B，C两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）．
任务2 分析计算 通过观察、计算石拱桥拱圈的半径．
注：测量、计算时，都以“肘”为单位．
15．（2023九上·温州期末）根据素材解决问题．
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB=16m，拱顶离水面的距离CD=4m．
素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF=3m，EH=10m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y(米)与货船增加的载重量x (吨)满足函数关系式y= x．
问题解决
任务1 确定桥拱半径 求圆形桥拱的半径．
任务2 拟定设计方案 根据图3状态，货船能否通过圆形桥拱？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
16．（2022九上·舟山期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．
阿拉伯Al-Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．
小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下：
证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，∴MA＝MC，…
（1）请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；
（2）如图3，在⊙O中，BD =CD，DE⊥AC，若AB = 4，AC = 10，则AE的长度为 ；
（3）如图4，已知等边ABC内接于⊙O，AB = 8，D为上一点，∠ABD = 45°，AE⊥BD于点E，求BDC的周长．
三、相似
17．（2023九上·海曙期中）
（1）【基础巩固】
如图1，在中，D，E分别在，上，连结DE，若，求证：.
（2）【尝试应用】
如图2，在中，在上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点D，F恰好落在，上，连结，若，，，求的长.
（3）【拓展提高】
如图3，在中，在上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点F恰好落在上，连结，，若，，，，求的长。
18．（2023九上·义乌期中）
（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．则 ．
（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且．连接BD，CE．
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．若，AB＝6，求BF的长．
19．（2021九上·义乌期中）在△ABC中，BD⊥AC于点D，点P为射线BD上任一点（点B除外），连接AP，将线段PA绕点P顺时针方向旋转α，α＝∠ABC，得到PE，连接CE.
（1）【观察发现】如图1，当BA＝BC，且∠ABC＝60°时，BP与CE的数量关系是 ，BC与CE的位置关系是 .
（2）【猜想证明】如图2，当BA＝BC，且∠ABC＝90°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由.（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）
（3）【拓展探究】在（2）的条件下，若AB＝8，AP＝5 ，请直接写出CE的长.
20．（2023九上·舟山期中）
（1）【探究证明】某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：
如图①，在矩形中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：；
（2）【结论应用】如图②，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合，若，求折痕的长；
（3）【拓展运用】如图③，将矩形沿折叠．使得点D落在边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形，若，求的长．
21．（2022九上·镇海区期中）
（1） 【基础巩固】如图1， 在中， 分别为上的点， 交 于点G， 求证： .
（2） 【尝试应用】如图2， 已知为的边上的两点， 且满足， 一条平行于的直线分别交和于点和， 求 的值.
（3） 【拓展提高】如图3， 点E是正方形的边上的一个动点， ， 延长至点F， 使 ， 连接， 求的最小值.
22．（2023九上·义乌月考）如图：
（1）【问题提出】
如图1，在正方形ABCD中，AC，BD是对角线，点在AB边上，点在对角线AC上，，求证：.
（2）【尝试应用】
如图2，在矩形ABCD中，，点在AB边上，点在对角线AC上，，求CF的长
（3）【拓展提高】
如图3，在菱形ABCD中，，点在AB边上，点在对角线AC上，，作交DA的延长线于点H，DE的延长线交BH于点，请直接写出BP，BE的长.
23．（2023九上·武义月考）
（1）【基础巩固】如图1，在中，，，分别为，，上的点，，，交于点，求证：．
（2）【尝试应用】如图2，在（1）的条件下，连结，．若，，，求的值．
（3）【拓展提高】如图3，在中，，与交于点，为上一点，交于点，交于点．若，平分，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】（1）－4≤y≤5
（2）解：对称轴为x=-1，
①当时，即
时，
②当即
时，
③当即
Ⅰ即
∴y有最大值，
Ⅱ即
∴y有最大值，
综上所述，，
（3）解：对称轴为x=3，
①当a≥3时，
∵
∴
∴
②当时，即
∵
∴
∴
③时，
Ⅰ即
∴
∵
∴
∴
Ⅱ即
∴
∵
∴
∴
综上所述，a=3或.
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）根据小伟的做法：
∴对称轴为：x=-1，
∵且
∴当x=-1时，y有最小值为-4，
当x=2时，y有最大值为5，
∴y的取值范围是：－4≤y≤5，
故答案为：－4≤y≤5.
【分析】（1）根据小伟的做法进行求解即可；
（2）根据题意知需对a-1，-1，a+1之间的关系进行讨论，即可求解；
（3）把函数化为顶点式，比较a，3和a+3的大小，分成三种情况讨论，①当a≥3时，②当时，③时，分别列式计算即可.
2．【答案】（1）解：设y=a(x+3)2+
把点（0，1.6）代入，得a=
∴y=(x+3)2+
（2）解：能
上边缘y=(x+3)2+
令y=0，即(x+3)2+=0
解得x1=2(舍去)，x2=-8
下边缘：由题意得y=x2+1.6
令y=0，解得x1=4(舍去)，x2=-4
∵(-4)-(-8)=4（m）
喷出来的水能浇灌整个绿化带
（3）解：有影响
∵要满足最大灌溉面积
∴在任务2的前提下
在y=(x+3)2+
令x=-6，得y=1.6>1.5
∴有影响
设打针高度为h(cm)
由素材3知
范围为1.6【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）由（1）得，上边缘，下边缘：由题意得，令y=0，分别求出抛物线与轴交点，进而得解；
（3）根据题意，将x=-6代入，解得得y=1.6>1.5，求出的值与1.5比较，即可求解．
3．【答案】（1）解：以O为原点，以MN所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴建立如图所示坐标系，
则A（0，4），B（2.4，3.1），
设抛物线解析式为y＝a（x-2.4）2+3.1，
把点A坐标代入解析式得：5.76a＝0.9，
解得a＝，
∴物线解析式为y＝（x-2.4）2+3.1；
（2）解：根据题意得，当y＝3.5时，（x-2.4）2+3.1＝3.5，
解得x1＝0.8，x2＝4，
∵E，C的水平距离为6m，
∴x＝0.8，
∵灯笼左右宽度为0.2米，
∴灯笼的悬挂水平位置范围为-0.8≤x≤0.8．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）以O为原点，以MN所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴建立如图所示坐标系，则A（0，4），B（2.4，3.1），然后用待定系数法求函数解析式；
（2）根据题意得，把y＝3.5代入解析式求出x的值，进而确定灯笼的悬挂水平位置范围.
4．【答案】（1）解：以D为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图1所示．
∵，
∴点B的坐标为，顶点为，
设抛物线解析式为，
把B代入得，
，
∴．
（2）解：过点E作于点M，
∵，米
∴米
∴米．
由题意可知，当最大时，
点E的纵坐标为．
令，得
解得，
∵米，
∴米，
∵游船底部在P，Q之间通行，
∴的最大值为（米）．
【知识点】勾股定理；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）以D为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，即可得到点B的坐标和顶点的坐标，设抛物线解析式为，将点B坐标代入即可求出a的值，进而即可求解；
（2）过点E作于点M，即可得到FM的长，进而利用勾股定理求出EM的长，
由题意可知，当最大时，点E的纵坐标为．令，求出MG和MJ的长，进而得到PQ的最大值.
5．【答案】（1）解：由题意得：y＝200+20（30﹣x）＝﹣20x+800，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣20x+800；
（2）解：由题意得：W＝（x﹣10）y
＝（x﹣10）（﹣20x+800）
＝﹣20x2+1000x﹣8000
＝﹣20（x﹣25）2+4500，
∵﹣20＜0，
∴当x＝25时，W有最大值，
∴当售价为25元时，月利润W获得最大；
（3）解：由题意得：W﹣400＝﹣20（x﹣25）2+4500﹣400＝﹣20（x﹣25）2+4100＝3040，
解得：x1＝25+，x2＝25﹣，
∵款后月利润不低于3040元，
∴x的取值范围为25﹣≤x≤25+，
∵10≤x≤19.5，
∴25﹣≤x≤19.8，
∵7＜＜8，
∴17＜25﹣＜18，
∵为正整数，
∴x＝18或x＝19．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据销售总量=售价×销量，列代数式，化简即可；
（2）根据利润=销售总数量×（售价-进价），列二次函数，化为顶点式，即可求出最值；
（3）根据（2）的二次函数，列关于x的一元二次方程，解方程即可求出x的两个值；根据二次函数的性质，即可判断x的取值范围.
6．【答案】（1）1；（4，0）
（2）y=-（x-2）2+4
（3） 或 x≥4
（4）解：令 解得：
故点 的坐标为：
（5）解：当 时，新图象的函数值 随 增大而增大，
则： 或
解得： 或
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：（1）【问题】：把 （0，0）代入抛物线 y=a（x-2）2-4得 解得
令 y=（x-2）2-4 解得：
二次函数与 轴的另一个交点 的坐标为： （4，0）
故答案为：1，（4，0） ；
（2）【操作】抛物线 y=（x-2）2-4 的顶点坐标为： （2，-4）
翻折后抛物线开口向下，顶点坐标为： （2，-4），
故翻折后这部分抛物线对应的函数解析式为： y=-（x-2）2+4
故答案为： y=-（x-2）2+4；
（3）【探究】：根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大时，
x的取值范围为： 或 x≥4；
【分析】（1）由题意把原点（0，0）代入二次函数y=a（x-2）2-4可求得a的值，从而得出抛物线的解析式，令解析式中y=0可得关于x的一元二次方程，解方程可求得A的坐标；
（2）由折叠的性质可知：翻折后抛物线开口向下，顶点坐标的横坐标不变、纵坐标变为原来的相反数，则翻折后的解析式可求解；
（3）根据图象呈上升趋势的部分，即随增大而增大时x的范围有两部分，结合图可求解；
（4）根据抛物线y=（x-h）2-4与x轴相交可令y=0，解关于x的方程可得A、B两点的坐标；
（5）结合图象，由已知条件1＜x＜2时薪图象的函数值y随x的增大而增大可得关于h的不等式或不等式组，解之即可求解.
7．【答案】解：任务1：根据表格可设二次函数的解析式为：
，
将代入，
解得，
抛物线的解析式为：；
任务2：设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：
，
由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值不小于，
解得，
水管高度至少向上调节米，
喷头距离湖面高度的最小值为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】任务1：结合表格中的数据，根据待定系数法求抛物线的解析式即可；
任务2：根据题意和函数解析式，列出不等式，求解，即可求解.
8．【答案】（1）解：如图，
由题意得，右侧抛物线的顶点R的坐标为，点，
∴可设抛物线的表达式为：，
将点B的坐标代入上式得：，
解得：，
∴右侧抛物线的表达式为：；
由图象的对称性得，左侧抛物线的表达式为：．
（2）建立如图所示坐标系，设y轴交于点L，
由（1）知，右侧抛物线的表达式为：，
当时，即，
解得：（不合题意，舍去）．
∴．
又，
∴．
∴G的坐标为：．
（3）由（1）知，右侧抛物线的表达式为：，
则中间抛物线的表达式为：，
∵水柱的最高点与点P的高度差为，
即：该抛物线的最高点，
解得：，
∴抛物线的表达式为：，
由（2）知，点，
将点H的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
即．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）建立如图所示坐标系，得出顶点R的坐标为，点，设抛物线的表达式为：，将点R和点B代入，求出h和k的值，即可得出右侧抛物线的表达式为；再根据对称性，即可得出左侧抛物线的表达式为．
（2）建立如图所示坐标系，设y轴交于点L，由题意把代入右侧抛物线的表达式可得关于x的方程，解方程求出x的值，结合已知可得符合题意的x的值，由线段的构成OG=LM-MG可得点G的横坐标的绝对值，根据点G所在的位置即可求得点G的坐标．
（3）由题意，可设中间抛物线的表达式为：，根据水柱的最高点与点P的高度差为，结合顶点纵坐标=可得关于b的方程，解方程求出b的值，再将点H的坐标代入抛物线表达式可得关于c的方程，解方程求出c的值即可求解．
9．【答案】（1）∵C点为抛物线DCE和抛物线FCG的顶点，对称轴为y轴，
∴设抛物线DCE的解析式为：y＝a1x2+50，抛物线FCG的解析式为：y＝a2x2+50，
∵点D（﹣25，75）在抛物线DCE上，点F（ 25，150）在抛物线FCG上，
∴75＝（﹣25）2a1+50，150＝252a2+50，
∴a1＝，a2＝，
∴抛物线DCE：y＝x2+50；抛物线FCG：y＝x2+50；
（2）设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别为R，r，
在抛物线FCG中：当y＝50+30＝80时，x2+50＝80，
∴x2＝＝＝r2，
∵30﹣（75﹣50）＝5＞0，
则R＝25，
∴πR2﹣πr2＝（252﹣）π＝437.5π（mm2）；
（3）解：当50＜y＜75时，由抛物线解析式可得：R2＝25（y﹣50），r2＝（y﹣50 ），
∴πR2﹣πr2＝450π，
即25（y﹣50）﹣（y﹣50）＝450，
解得y＝74；
则最深度为74﹣50＝24（mm）；
当y＞75时，由图象可得：R2＝252，r2＝（y﹣50 ），
可列方程：πR2﹣πr2＝450π，
则252﹣（y﹣50）＝450，
解得y＝78；
则最深度为78﹣50＝28（mm）．
综上：杯中液体最深度为24mm或28mm．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件设抛物线DCE的解析式为：y＝a1x2+50，抛物线FCG的解析式为：y＝a2x2+50，再根据点D（﹣25，75）在抛物线DCE上，点F（ 25，150）在抛物线FCG上，各代入两函数解析式分别求出a1，a2的值，即可得到两函数解析式.
（2）设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别为R，r，在抛物线FCG中，将y=80代入可求出R的值即r2的值，然后利用圆的面积公式求出结果.
（3）当50＜y＜75时，由抛物线解析式可得：R2＝25（y﹣50），r2＝（y﹣50 ），可得到πR2﹣πr2＝450π，即可得到关于y的方程，解方程求出y的值，然后求出最深度的长；当y＞75时，由图象可得πR2﹣πr2＝450π，据此可求出y的值，即可得到最深度的长；即可求解.
10．【答案】解：任务1：由题意可得：
解得：
答：x，y的值分别为1.2，0.5；
任务2：设每平方米种植A作物每增加m株，
由题意可得：（2+m）（1.2﹣0.1m）＝4，
解得：m1＝2，m2＝8，
∴2+2＝4，8+2＝10，
∴每平方米应种植4株或10株；
任务3：（2+m）（1.2﹣0.1m）＝﹣0.1m2+m+2.4＝﹣0.1（m﹣5）2+4.9≤4.9，
∴A作物每平方米的最大产量为4.9千克，
由题意可得：4.9a+10×0.5b+1.6×4（100﹣a﹣b）＝577，
，
∵a，b均为正整数，
∴①a＝28，b＝15，②a＝14，b＝30，
共有两种方案：第一种，种植A作物28平方米，种植B作物15平方米，种植C作物57平方米；
第二种：种植A作物14平方米，种植B作物30平方米，种植C作物56平方米．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；二次函数的最值；二次函数的其他应用
【解析】【分析】任务1：根据题意列出二元一次方程组，解方程即可求得；
任务2：设每平方米种植A作物每增加m株，根据“ 要使A作物每平方米产量为4千克”列出方程，即可求得m的值；
任务3：先根据二次函数求出最大值即为A作物每平方米的最大产量，再根据“ 这100平方米总产量为577千克”可得，根据a和b为正整数，求得a和b的值，即可求得.
11．【答案】（1）3；
（2）解：由图2可知当点P运动到B点时，，
∴，
解得，
∴当时，，
由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，
∴可设S关于t的函数解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴S关于t的函数解析式为，
在中，当时，解得或，
∴；
（3）解：①4；
②由（3）①可得，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）①由题意可知，当t=1时，CP=1，DP=；
∴S==3
故答案为：3.
②∵CP=t，CD=；
∴DP=
∴S=
故答案为： .
【分析】（1）①根据根据勾股定理，可得DP的值；根据正方形的面积=边长×边长，可得S的值；
②根据勾股定理，可用代数式表示DP；根据正方形的面积=边长×边长，可得关于S的解析式；
（2）根据二次函数的图象，可得S的值，列一元二次方程，即可求出t的值；根据待定系数法求解二次函数的解析式，将已知点的坐标代入二次函数，即可求出S关于T的函数解析式；根据二次函数的性质，将已知点的纵坐标代入函数，即可求出t的值，进而求出AB的值；
（3）①根据二次函数的对称轴，可得t1+t2=4；
②根据t1+t2=4和t3=4t1，列一元一次方程，解方程即可求出t1的值；根据二次函数的性质，将t1的值代入二次函数，即可求出S的值.
12．【答案】解：数学建模：∵抛物线的顶点，
∴设抛物线的解析式为，
图象过点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
问题解决：由题意，可知L、R的纵坐标为，
代入函数解析式，得，
解得，
∴点L，R的坐标分别为，，
∴点G，M的坐标分别为，，
∴，
答：两个正方形装置的间距的长为；
问题解决：设直线的解析式为，
点A，C的坐标分别为，，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，设直线的解析式
∴直线与抛物线联立
，整理得有两个相等实数根，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，即，
解得，
∴，
∴．
答：的长为
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】数学建模：设抛物线的解析式为，把代入解析式，计算求解即可；
问题解决：根据抛物线的解析式求出点G，M的坐标分别为，，即可求出的长；
问题解决：先求出直线的解析式为，设直线的解析式，与抛物线解析式联立，利用即可求出，即直线的解析式为，令，推出，进而可求的长．
13．【答案】解：任务1：如图2，
由题意知：EF=16，FG=14，矩形OEFG面积为224，
224-16=208，
答：花圃的面积为208
任务2：由图3，设BF=x，花圃面积为y，
由题意得： y=10x+8(12-x)+40+80+32=2x+248
当x=12时，y有最大值为272
由图4，设EF=x，花圃面积为y，则FG=22-x，
由题意得：y=x(22-x)+40+80+32
得：， 当x=11时，y有最大值为273
所以：图4方案的最大面积更大，为273
项目反思：由图5，设GF=2x，花圃面积为y，则FE=22-2x，
由题意得： y=x(22-2x)++40+80+32
所以：图5方案最大面积更大.
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】根据矩形的面积列出函数解析式，根据二次函数的性质得最大值，比较即可.
14．【答案】解：任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为2肘，宽为1肘，
根据素材1、素材2，B，C两点之间的水平距离有2块花岗岩的长，
B，C两点之间的铅垂距离（高度差）有4块花岗岩的宽，
答：B，C两点之间的水平距离为4肘；
任务2：如图，作过点C的水平线，垂足为E，记圆心为O、BO，
观察图形，CE＝6.5×2＝13（肘），AE＝8（肘），
∵OB2＝OC2=EB2+OE2，
∴OB2=132+（OB-8）2，
解得OB=，答：石拱桥拱圈的半径为肘．
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为2肘，宽为1肘；根据素材1、素材2，B，C两点之间的水平距离，及B，C两点之间的铅垂距离（高度差）；
任务2：如图，作过点C的水平线CE⊥AO，垂足为E，记圆心为OC、BO，根据勾股定理可得OB2＝OC2=EB2+OE2，即得OB2=132+（OB-8）2，解出OB即可.
15．【答案】解：任务1：记圆心为点O，则点O在CD延长线上，连结AO(如图1)，
设桥拱的半径为r，
∵AD=BD= AB=8，OD=r-4，
∴(r-4)2 +82=r2，∴r=10，
即圆形拱桥的半径为10米；
任务2： 根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱 ，理由如下：
当EH是⊙O的弦时，记EH与OC的交点为M(如图2)，
则EM= EH=5，
∴OM= ，
∴DM = -6<3，
∴根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱．
为了能顺利通过，
船在水面部分至少需要下降的高度y=3-( -6)=(9-)米．
∵y= x，∴x=100（9 - ）= (900- )吨，
：．至少需要增加(900-)吨的货物
【知识点】垂径定理的实际应用；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）记圆心为点O，则点O在CD延长线上，连结AO，设桥拱的半径为r，则OD=r-4，根据垂径定理得AD=BD=8，在Rt△AOD中，利用勾股定理建立方程，求解可得该圆形拱桥的半径；
（2）当EH是⊙O的弦时，记EH与OC的交点为M，根据垂径定理得EM=5，在Rt△EOM中，利用勾股定理建立方程，求解可得OM的长，进而由DM=OM-OD算出DM的长，再与3比大小即可判断能否正常通过；为了能顺利通过，船在水面部分至少需要下降的高度y=3-( -6)=(9-)米，将y的值代入 y= x 即可求出需要添加货物的数量.
16．【答案】（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是 的中点，
∴MA=MC．
又∵BA=GC，∠A=∠C，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD=GD，
∴DC=GC+GD=AB+BD；
（2）3
（3）解：如图3，在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，CD，
由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴AF=AD，
∵AE⊥BD，
∴FE=DE，则CD+DE=BE，
∵∠ABD=45°，
∴BE= AB=4 ，
则△BDC的周长=2BE+BC=8 +8．
故答案为：8+8 ．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS；阿基米德折弦定理模型
【解析】【解答】解：（2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，
∵BD=CD，∠DCF=∠DBA，CF=BA，
∴△DCF≌△DBA（SAS），
∴DF=AD，
又∵DE⊥AC，
∴AE=EF，
∵CF=AB=4，AC=10，
∴AE=3；
【分析】（1）在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG，利用弧的中点和弧、弦、圆心角之间的关系定理，可证得MA=MC，利用SAS证明△MBA≌△MGC，利用全等三角形的性质可得到MB=MG，利用等腰三角形的性质可证得BD=GD，由此可证得DC=AB+BD.
（2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，利用SAS证明△DCF≌△DBA，利用全等三角形的性质可证得DF=AD，利用等腰三角形的性质可证得AE=EF，即可求出AE的长.
（3）在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，CD，利用SAS证明△ABF≌△ACD，利用全等三角形的性质可得到AF=AD，利用等腰三角形的性质可证得FE=DE，可推出CD+DE=BE；从而可求出BE的长，然后证明△BDC的周长=2BE+BC，代入计算求出△BDC的周长.
17．【答案】（1）证明：在△ADE与△ACB中，∵，，∴△ADE∽△ACB，∴AD：AC=AE：AB，即.
（2）解：∵四边形ADEF是平行四边形，
∴AD//EF，AE//DF，AE=DF，AD=EF，
∴，
∴，
∴，即AC=3AE，
∵AD//EF，
∴∠ADE = ∠DEF，
又，
∴∠ADE = ∠C，
又∠A=∠A，
∴，
∴AD：AC=AE：AB，
，
∵，，
∴，解得(负值舍去)，
∴.
（3）解：如图，延长AD、CB交于点N，
∵AE=4，CE=2，
∴AC=AE+CE=4+2=6，
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴DF∥AC，EF∥AN，
∴AN=3AD，
∵EF∥AN，
∴∠ADE=∠DEF，
∵∠DEF=∠C，
∴∠ADE=∠C，
∵∠DAE=∠CAN，
∴△ADE∽△ACN，
∴AG AD=AE AC，
∴3AD2=4×6，
解得AD=2或AD= 2(不符合题意，舍去），
∴AN=3×2=6.
∵EF//AN，
∴∠EFC=∠N，
∵∠EFC=∠ABD，
∴∠ABD=∠N，
∵∠BAD=∠NAB，
∴△ABD∽△ANB，
∴AB：AN=AD：AB，
∴AB2
∴解得AB=2或AB=-2(不符合题意，舍去），
∴AB的长为2.
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据两对角分别相等的两个三角形相似，判定，再列出相关比例式，变式后可得结论成立；
（2）先根据平行四边形的性质，得出两对平行线，分别列出比例式可说明AC=3AE，再证明，列出比例式AD×AB=AE×AC，求得AE，可得AC的长.
( 3 ))延长AD、CB交于点G，由AE = 4， CE = 2，得AC=6，和(2)中的方法一样，求得AD =，AG=，然后证明出△ABD∽△AGB，根据两三角形相似得出：，整理得，最后求得 AB=
18．【答案】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC= 60°，
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE.
（2）
（3）解：①设AB=3a，
∵，∠ABC=∠ADE=90°，
∴△ABC~△ADE，BC=4a，AC=5a，
∴∠BAC=∠DAE，，
∴∠CAE=∠BAD，
∴△CAE~△BAD，
∴；
②由①得：△CAE~△BAD，AB=6，
，
则AC=10，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠AGC=∠BGF，
∴△BGF~△CGA，
∴，
∴BF=.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形 ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】（1）只要证明出，即可证明BD＝CE ；
（2）只要证明出，即可由得到的值；
（3）① 证明和，即可求出的值；
② 由①中可以得到，进而可以证明，即可求出BF的长.
19．【答案】（1）BP＝CE；BC⊥CE
（2）解：如图2中，（1）中的结论BC⊥CE成立.BP＝CE不成立，结论是EC＝ BP.
理由：如图2中，连接AE.
∵△ABC，△APE都是等腰直角三角形，
∴AC＝ AB，AE＝ AP，∠BAC＝∠ACB＝∠PAE＝45°，
∴∠BAP＝∠CAE，
∵BA＝BC，BD⊥AC，
∴∠ABD＝ ∠ABC＝45°
∵ ＝ ＝ ，
∴△CAE∽△BAP，
∴ ＝ ＝ ，∠ABP＝∠ACE＝45°
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
∴EC＝ BP，BC⊥EC.
（3）解：当点P在线段BD上时，如图2中，∵AB＝CB＝8，∠ABC＝90°，
∴AC＝8 ，
∵BD⊥AC，
∴AD＝DC＝4 ，
∵AP＝5 ，
∴PD＝ ＝ ＝3 ，
∵BD＝AD＝DC＝4 ，
∴BP＝BD﹣PD＝ ，
∴EC＝ BP＝2.
当点P在BD的延长线上时，如图3中，同法可得PD＝3 ，
∴BP＝BD+PD＝7 ，
∴EC＝ BP＝14.
综上所述，EC的长为2或14.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）如图1中，连接AE.
∵BA＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD＝ ∠ABC＝30°，
∵PA＝PE，∠APE＝∠ABC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAC＝∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
∴BC⊥CE.
故答案为：BP＝CE，BC⊥CE.
【分析】（1）连接AE，易得△ABC、△APE是等边三角形，则AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠PAE＝60°，∠ABD＝30°，AP＝AE，推出∠BAP＝∠CAE，证明△BAP≌△CAE，得到BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，然后求出∠BCE的度数，据此判断；
（2）连接AE，由等腰直角三角形的性质可得AC＝AB，AE＝AP，∠BAC＝∠ACB＝∠PAE＝45°，则∠BAP＝∠CAE，∠ABD＝45°，证明△CAE∽△BAP，据此解答；
（3）当点P在线段BD上时，由勾股定理可得AC=8，根据直角三角形斜边上中线的性质可得AD＝DC＝4，由勾股定理求出PD，然后根据BP=BD-PD、EC＝BP进行计算；当点P在BD的延长线上时，同法可得PD＝3，然后根据BP=BD+PD、EC＝BP进行计算.
20．【答案】（1）解：如图，过作交于，过作交于，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴四边形、均为平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
由勾股定理得，
∵将矩形沿折叠，使得点B和点D重合，
∴，
由（1）可知，，即，
∴，
∴的长．
（3）解：如图所示，过点作交延长线于，
由折叠的性质可得，
由（1）可知，，即，解得，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
由折叠的性质可得，，，，
设，则，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
在中，由勾股定理得．
【知识点】勾股定理的应用；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过作交于，过作交于，根据矩形的性质和平行四边形的性质得到：，进而根据相似三角形的性质即可求解；
（2）连接，利用勾股定理求出BD的长，根据折叠的性质得到：，结合（1）中的相似即可求出EF的长；
（3）过点作交延长线于，根据折叠的性质得到，结合（1）中的相似即可求出DG的长，进而利用勾股定理求出AG的长，设，则，再利用勾股定理列方程即可求出DE、GE和AD的长度，然后根据相似三角形的判定和性质求出HP和GH的长度，在中，利用勾股定理即可求解.
21．【答案】（1）证明：∵，
∴，，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴.
（2）解：如图，过点M作交于点P，交于点Q，交于点F，
∵，
由（1）中结论可得，，
∵，
∴，，，，
∴，，
∴，，
∴.
（3）解：如图，延长交于点H，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由此可得：点H为定点，点G在线段上运动，
当时，有最小值，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的最小值为.
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行线性质得∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠AFB，∠AEG=∠ACF，∠AGE=∠AFC，从而判断出△ADG∽△ABF，△AGE∽△AFC，根据相似三角形对应边成比例得 ，， 进而根据等量代换及比例的性质即可得出结论；
（2） 过点M作PF∥BC交AB于点P，交AD于点Q，交AC于点F， 由（1）中结论得 PQ=2QM=4MF，易得△FMN∽△FPA，△MLQ∽△PAQ，由相似三角形性质得 ，， 据此就不难得出答案；
（3） 延长DG交AB于点H， 易得△DEG∽△HAG，△DFG∽△HBG，由相似三角形性质得 ，， 则 ，据此可求AH的长， 由此可得：点H为定点，点G在线段DH上运动， 当CG⊥DH时，CG有最小值， 根据勾股定理算出DH的长，利用等面积法建立方程，可求出CG的长.
22．【答案】（1）证明：如图 1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=BC，BD平分∠ABC，∠ADC，AC平分∠BCD，∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠BDC=∠EBD=∠FCD=45°，
∵∠EDB+∠BDF=∠EDF=45°，∠BDF+∠CDF=∠BDC=45°，
∴∠EDB=∠CDF，
∴△BED∽△CDF，
∴
在Rt△BDC中，BC2+CD2=BD2，
∴
∴
∴
（2）解：如图 2，连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是矩形
∴OD=OC=BD，AB∥DC，AB=DC=3，∠BAD=90°，
∴，BE=AB-AE=3-1=2，
∴∠CDO=∠OCD，∠DBE=∠ODC=∠DCF，
∵∠EDF=∠ACD，
∴∠EDF=∠ODC，
∴∠EDB=∠CDF，
∴△BDE∽△CDF，
∴即
解之：
（3）解：连接BD交AC于点O延长DP交CB的延长线于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，∠ADB=∠CDB=∠ADC，AB=BC=5，
∵∠EDF=∠ADC，
∴∠EDF=∠ADB=∠CDB，
∴∠BDE=∠CDF，∠ADE=∠BDF，
∵∠BPD=90°+∠ADP，∠CFD=∠COD+∠BDF=90°+∠BDF，
∴∠BPD=∠CDF，
∴△BPD∽△CDF，
∴
∵AB=5，AC=6，
∴OC=AC=3，OD=BD，
DO=OB=
∴BD=8，
∴
解之：；
∵即
解之：
∴，
∴
∴；
∵AD∥BC，
∴△BGP∽△HDP，
∴即
解之：；
∵AD∥BC，
∴△BGE∽△ADE，
∴即
解之：
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可证得DC=BC，BD平分∠ABC，∠ADC，AC平分∠BCD，∠BDC=∠EBD=∠FCD=45°，可推出∠EDB=∠CDF，由此可得到△BED∽△CDF，利用相似三角形的对应边成比例及勾股定理可证得结论.
（2）连结BD交AC于点O，利用矩形的性质可证得OD=OC=BD，AB∥DC，AB=DC=3，∠BAD=90°，利用勾股定理求出BD的长，可得到BE的长，再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△BDE∽△CDF，利用相似三角形的对应边成比例可求出CF的长.
（3）连结BD交AC于点O，延长DP交CB的延长线于点G，利用菱形的性质及∠EDF=∠ADC，可推出
∠BDE=∠CDF，∠ADE=∠BDF，利用三角形外角的性质可推出∠BPD=∠CDF，可证得△BPD∽△CDF，利用相似三角形的对应边成比例可得比例式，再利用勾股定理求出OB的长，可得到BD的长，即可求出BP的长；利用三角形的面积公式求出BH的长，可得到PH的长，利用勾股定理求出AH的长，可得到DH的长，再证明△BGP∽△HDP，利用相似三角形的性质可求出BG的长；然后证明△BGE∽△ADE，利用相似三角形的对应边成比例可求出BE的长.
23．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：延长GE交AB于M，边MF，过M作MN⊥BC于N.
由上得：
【知识点】含30°角的直角三角形；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3） 延长GE交AB于M，边MF，过M作MN⊥BC于N.
在平行四边形ABCD中，BO=DO，∠ABC=∠ADC=45°，
∵EG∥BD，
∴由（1）得：ME=GE，
∵EF⊥EG，
∴FM=FG=10，
∴∠EFM=∠EFG，
∵∠EGF=40°，
∴∠EFG=50°，
∵平分，
∴∠EFG=∠CFG=50°，
∴∠BFM=180°-3×50°=30°，
∵∠MNF=90°，
∴MN=，
∴NF=5，
∵∠MBN=45°，
∴BN=MN=5，
∴BF=BN+FN=5+5。
【分析】（1）根据三角形相似，可得出，即可得出，再根据BF=CF，即可得出；
（2）首先根据中垂线的性质得出CE=CD=3，再根据，得出；
（3） 延长GE交AB于M，边MF，过M作MN⊥BC于N，由（1）得ME=GE，进而得出FM=FG=10，再求∠BFM=180°-3×50°=30°，即可得出含30°锐角的直角三角形，即可得出MN=，NF=5，再根据∠MBN=45°，即可得出BN=MN=5，进而得出BF=BN+FN=5+5。
1 / 1精选实践探究题—2024年浙教版数学九（上）期中复习
一、二次函数
1．（2024九上·杭州月考）
（1）【问题初探】
综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：
已知二次函数y＝x2+2x－3，当－2≤x≤2时，y的取值范围为；
①小伟同学经过分析后，将原二次函数配方成y＝a(x－h)2+k
形式，确定抛物线对称轴为直线x＝h，通过－2、h和2的大小
关系，分别确定了最大值和最小值，进而求出y的取值范围；
②小军同学画出如图的函数图象，通过观察图象确定了y的取值范围；请你根据上述两名同学的分析写出y的取值范围是 ；
（2）【类比分析】
张老师发现两名同学分别从“数”和“形”的角度分析、解决问题，为了让同学们更好感悟“数形结合”思想，张老师将前面问题变式为下面问题，请你解答：已知二次函数y＝－x2+2x－3，当－2≤x≤2时，求y的取值范围；
（3）【学以致用】
已知二次函数y＝－x2+6x－5，当a≤x≤a+3时，二次函数的最大值为y1，最小值为y2，若y1－y2＝3，求a的值．
【答案】（1）－4≤y≤5
（2）解：对称轴为x=-1，
①当时，即
时，
②当即
时，
③当即
Ⅰ即
∴y有最大值，
Ⅱ即
∴y有最大值，
综上所述，，
（3）解：对称轴为x=3，
①当a≥3时，
∵
∴
∴
②当时，即
∵
∴
∴
③时，
Ⅰ即
∴
∵
∴
∴
Ⅱ即
∴
∵
∴
∴
综上所述，a=3或.
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）根据小伟的做法：
∴对称轴为：x=-1，
∵且
∴当x=-1时，y有最小值为-4，
当x=2时，y有最大值为5，
∴y的取值范围是：－4≤y≤5，
故答案为：－4≤y≤5.
【分析】（1）根据小伟的做法进行求解即可；
（2）根据题意知需对a-1，-1，a+1之间的关系进行讨论，即可求解；
（3）把函数化为顶点式，比较a，3和a+3的大小，分成三种情况讨论，①当a≥3时，②当时，③时，分别列式计算即可.
2．（2023九上·浙江期中）根据以下素材，探索完成任务．
绿化带灌溉车的操作方案
素材1 辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高1.6米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为3米，高出|喷水口0.9米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点。
素材2 路边的绿化带宽4米
素材3 绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人给树木“打针”。针一般打在离地面1.5米到2米的高度(包含端点)。
问题解决
（1）任务1：确定上边缘水流形状
建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式．
（2）任务2：探究灌溉范围
灌溉车行驶过程中喷出的水能浇浓到整个绿化带吗？请说明理由．
（3）任务3：拟定设计方案
灌溉时，发现水流的上下两边缘冲击力最强，喷到针筒容易造成针筒脱落。那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给出具体的“打针”范围。
【答案】（1）解：设y=a(x+3)2+
把点（0，1.6）代入，得a=
∴y=(x+3)2+
（2）解：能
上边缘y=(x+3)2+
令y=0，即(x+3)2+=0
解得x1=2(舍去)，x2=-8
下边缘：由题意得y=x2+1.6
令y=0，解得x1=4(舍去)，x2=-4
∵(-4)-(-8)=4（m）
喷出来的水能浇灌整个绿化带
（3）解：有影响
∵要满足最大灌溉面积
∴在任务2的前提下
在y=(x+3)2+
令x=-6，得y=1.6>1.5
∴有影响
设打针高度为h(cm)
由素材3知
范围为1.6【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）由（1）得，上边缘，下边缘：由题意得，令y=0，分别求出抛物线与轴交点，进而得解；
（3）根据题意，将x=-6代入，解得得y=1.6>1.5，求出的值与1.5比较，即可求解．
3．（2023九上·洞头期中） 根据以下素材，探索完成任务，
素材1 图1是中国传统建筑——凉亭，其截面为两个成轴对称的抛物线的一部分（如图2）．凉亭外延水平宽度EC为6米，亭高AO＝4米，在抛物线最低处由一根高为3.1米的柱子支撑，柱子离亭正中心O点距离为2.4米；
素材2 为了美观，拟在凉亭右侧抛物线内悬挂一盏上下长度为0.5米，左右宽度为0.2米的灯笼（如图3），要使得整个灯笼处于右侧且保持离地至少3米的安全距离（灯笼挂钩G位于其中间最上端）.
（1）任务1 确定凉亭右侧形状：在图2中建立合适的直角坐标系，求凉亭右侧抛物线的函数表达式；
（2）任务2 探究悬挂位置：在你建立的坐标系中，在安全的前提下，确定灯笼的悬挂水平位置范围.
【答案】（1）解：以O为原点，以MN所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴建立如图所示坐标系，
则A（0，4），B（2.4，3.1），
设抛物线解析式为y＝a（x-2.4）2+3.1，
把点A坐标代入解析式得：5.76a＝0.9，
解得a＝，
∴物线解析式为y＝（x-2.4）2+3.1；
（2）解：根据题意得，当y＝3.5时，（x-2.4）2+3.1＝3.5，
解得x1＝0.8，x2＝4，
∵E，C的水平距离为6m，
∴x＝0.8，
∵灯笼左右宽度为0.2米，
∴灯笼的悬挂水平位置范围为-0.8≤x≤0.8．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）以O为原点，以MN所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴建立如图所示坐标系，则A（0，4），B（2.4，3.1），然后用待定系数法求函数解析式；
（2）根据题意得，把y＝3.5代入解析式求出x的值，进而确定灯笼的悬挂水平位置范围.
4．（2023九上·舟山期中）根据以下素材，探索完成任务．
素材1 图1为某公园的抛物线型拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度米，拱顶离水面的距离为米．
素材2 拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图3所示，漏出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形．测得相关数据如下：米，米，米，米．
素材3 为确保安全，拟在石拱桥下面的P，Q两处设置航行警戒线，要求如下：
①游船底部在P，Q之间通行；
②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为米．
（1）任务1 确定拱桥形状：在图2中建立合适的直角坐标系，并求这条抛物线的函数表达式．
（2）任务2 设计警戒线之间的宽度：求的最大值.
【答案】（1）解：以D为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图1所示．
∵，
∴点B的坐标为，顶点为，
设抛物线解析式为，
把B代入得，
，
∴．
（2）解：过点E作于点M，
∵，米
∴米
∴米．
由题意可知，当最大时，
点E的纵坐标为．
令，得
解得，
∵米，
∴米，
∵游船底部在P，Q之间通行，
∴的最大值为（米）．
【知识点】勾股定理；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）以D为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，即可得到点B的坐标和顶点的坐标，设抛物线解析式为，将点B坐标代入即可求出a的值，进而即可求解；
（2）过点E作于点M，即可得到FM的长，进而利用勾股定理求出EM的长，
由题意可知，当最大时，点E的纵坐标为．令，求出MG和MJ的长，进而得到PQ的最大值.
5．（2023九上·乐清期中）根据以下素材，探索完成任务
确定文具套餐售价
素材1 某书店销售一款文具套装，当每套文具售价为30元时，月销售量为200套，经市场调查表明，每套文具售价每降价1元，则月销售量增加20套．设每套文具的售价为x元（x为正整数），月销售量为y套．
素材2 该文具套装的成本是10元/套．
素材3 为促进公益，在售价不低于进价且每套文具获利不高于95%的前提下，该书店决定，每月捐赠400元给慈善机构．
问题解决：
（1）任务1：分析变量分析
求y关于x的函数表达式．
（2）任务2：计算月利润
当售价为多少时，月利润W获得最大？最大利润是多少？
（3）任务3：确定合理售价
为了保证捐款后月利润不低于3040元，文具套装的售价可以取哪些数值．
【答案】（1）解：由题意得：y＝200+20（30﹣x）＝﹣20x+800，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣20x+800；
（2）解：由题意得：W＝（x﹣10）y
＝（x﹣10）（﹣20x+800）
＝﹣20x2+1000x﹣8000
＝﹣20（x﹣25）2+4500，
∵﹣20＜0，
∴当x＝25时，W有最大值，
∴当售价为25元时，月利润W获得最大；
（3）解：由题意得：W﹣400＝﹣20（x﹣25）2+4500﹣400＝﹣20（x﹣25）2+4100＝3040，
解得：x1＝25+，x2＝25﹣，
∵款后月利润不低于3040元，
∴x的取值范围为25﹣≤x≤25+，
∵10≤x≤19.5，
∴25﹣≤x≤19.8，
∵7＜＜8，
∴17＜25﹣＜18，
∵为正整数，
∴x＝18或x＝19．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据销售总量=售价×销量，列代数式，化简即可；
（2）根据利润=销售总数量×（售价-进价），列二次函数，化为顶点式，即可求出最值；
（3）根据（2）的二次函数，列关于x的一元二次方程，解方程即可求出x的两个值；根据二次函数的性质，即可判断x的取值范围.
6．（2021九上·衢州期中）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：
（1）（问题）
如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-2）2-4经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a= ，点A的坐标为 .
（2）（操作）
将图①中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，如图②.直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式： .
（3）（探究）
在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数y随x的增大而增大时，x的取值范围是 .
（4）（应用）结合上面的操作与探究，继续思考： 如图③，若抛物线y=（x-h）2-4与x轴交于A，B两点（A在B左），将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象.
求A、B两点的坐标；（用含h的式子表示）
（5）当1＜x＜2时，若新图象的函数值y随x的增大而增大，求h的取值范围.
【答案】（1）1；（4，0）
（2）y=-（x-2）2+4
（3） 或 x≥4
（4）解：令 解得：
故点 的坐标为：
（5）解：当 时，新图象的函数值 随 增大而增大，
则： 或
解得： 或
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：（1）【问题】：把 （0，0）代入抛物线 y=a（x-2）2-4得 解得
令 y=（x-2）2-4 解得：
二次函数与 轴的另一个交点 的坐标为： （4，0）
故答案为：1，（4，0） ；
（2）【操作】抛物线 y=（x-2）2-4 的顶点坐标为： （2，-4）
翻折后抛物线开口向下，顶点坐标为： （2，-4），
故翻折后这部分抛物线对应的函数解析式为： y=-（x-2）2+4
故答案为： y=-（x-2）2+4；
（3）【探究】：根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大时，
x的取值范围为： 或 x≥4；
【分析】（1）由题意把原点（0，0）代入二次函数y=a（x-2）2-4可求得a的值，从而得出抛物线的解析式，令解析式中y=0可得关于x的一元二次方程，解方程可求得A的坐标；
（2）由折叠的性质可知：翻折后抛物线开口向下，顶点坐标的横坐标不变、纵坐标变为原来的相反数，则翻折后的解析式可求解；
（3）根据图象呈上升趋势的部分，即随增大而增大时x的范围有两部分，结合图可求解；
（4）根据抛物线y=（x-h）2-4与x轴相交可令y=0，解关于x的方程可得A、B两点的坐标；
（5）结合图象，由已知条件1＜x＜2时薪图象的函数值y随x的增大而增大可得关于h的不等式或不等式组，解之即可求解.
7．（2024九上·杭州月考）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷泉喷头的升降方案？
素材1 如图，有一个可垂直升降的喷泉，喷出的水柱呈抛物线．记水柱上某一点到喷头的水平距离为x米，到湖面的垂直高度为y米．当喷头位于起始位置时，测量得x与y的四组数据如下： x（米）0234y（米）121.751
素材2 公园想设立新的游玩项目，通过升降喷头，使游船能从水柱下方通过，如图，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.4米．已知游船顶棚宽度为2.8米，顶棚到湖面的高度为2米．
问题解决
任务1 确定喷泉形状 结合素材1，求y关于x的表达式．
任务2 探究喷头升降方案 为使游船按素材2要求顺利通过，求喷头距离湖面高度的最小值．
【答案】解：任务1：根据表格可设二次函数的解析式为：
，
将代入，
解得，
抛物线的解析式为：；
任务2：设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：
，
由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值不小于，
解得，
水管高度至少向上调节米，
喷头距离湖面高度的最小值为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】任务1：结合表格中的数据，根据待定系数法求抛物线的解析式即可；
任务2：根据题意和函数解析式，列出不等式，求解，即可求解.
8．（2023九上·杭州月考）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷水装置的高度？
素材1 如图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其中高为米．
素材2 如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置，从点P向四周喷射抛物线形水柱且满足以下条件： ①不能碰到图2中的水柱； ②落水点G，M的间距为； ③水柱的最高点与点P的高度差为； ④从点P向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱．
问题解决
任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为x轴建立直角坐标系，并求这条抛物线的函数表达式．
任务2 探究落水点位置 在建立的坐标系中，求落水点G的坐标．
任务3 拟定喷水装置的高度 求出喷水装置的高度．
【答案】（1）解：如图，
由题意得，右侧抛物线的顶点R的坐标为，点，
∴可设抛物线的表达式为：，
将点B的坐标代入上式得：，
解得：，
∴右侧抛物线的表达式为：；
由图象的对称性得，左侧抛物线的表达式为：．
（2）建立如图所示坐标系，设y轴交于点L，
由（1）知，右侧抛物线的表达式为：，
当时，即，
解得：（不合题意，舍去）．
∴．
又，
∴．
∴G的坐标为：．
（3）由（1）知，右侧抛物线的表达式为：，
则中间抛物线的表达式为：，
∵水柱的最高点与点P的高度差为，
即：该抛物线的最高点，
解得：，
∴抛物线的表达式为：，
由（2）知，点，
将点H的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
即．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）建立如图所示坐标系，得出顶点R的坐标为，点，设抛物线的表达式为：，将点R和点B代入，求出h和k的值，即可得出右侧抛物线的表达式为；再根据对称性，即可得出左侧抛物线的表达式为．
（2）建立如图所示坐标系，设y轴交于点L，由题意把代入右侧抛物线的表达式可得关于x的方程，解方程求出x的值，结合已知可得符合题意的x的值，由线段的构成OG=LM-MG可得点G的横坐标的绝对值，根据点G所在的位置即可求得点G的坐标．
（3）由题意，可设中间抛物线的表达式为：，根据水柱的最高点与点P的高度差为，结合顶点纵坐标=可得关于b的方程，解方程求出b的值，再将点H的坐标代入抛物线表达式可得关于c的方程，解方程求出c的值即可求解．
9．（2023九上·义乌月考）某饭店特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯（如图1），相关信息如下：
素材 内容
素材1 高脚杯：如图1，类似这种杯托上立着一只细长脚的杯子．从下往上分为三部分：杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆；水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径；杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上．
素材2 图2坐标系中，特制男士杯可以看作线段AB，OC，抛物线DCE（实线部分），线段DF，线段EG绕y轴旋转形成的立体图形（不考虑杯子厚度，下同）． 图2坐标系中，特制女士杯可以看作线段AB，OC，抛物线FCG（虚线部分）绕y轴旋转形成的立体图形．
素材3 已知，图2坐标系中，OC＝50mm，记为C（0，50），D（﹣25，75），E（25，75），F（﹣25，150），G（25，150）．
根据以上素材内容，尝试求解以下问题：
（1）求抛物线DCE和抛物线FCG的解析式；
（2）当杯子水平放置及杯内液体（无泡沫）静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度均为30mm，求两者液体最上层表面圆面积相差多少？（结果保留π）
（3）当杯子水平放置及杯内液体（无泡沫）静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差450πmm2，求杯中液体最深度为多少？
【答案】（1）∵C点为抛物线DCE和抛物线FCG的顶点，对称轴为y轴，
∴设抛物线DCE的解析式为：y＝a1x2+50，抛物线FCG的解析式为：y＝a2x2+50，
∵点D（﹣25，75）在抛物线DCE上，点F（ 25，150）在抛物线FCG上，
∴75＝（﹣25）2a1+50，150＝252a2+50，
∴a1＝，a2＝，
∴抛物线DCE：y＝x2+50；抛物线FCG：y＝x2+50；
（2）设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别为R，r，
在抛物线FCG中：当y＝50+30＝80时，x2+50＝80，
∴x2＝＝＝r2，
∵30﹣（75﹣50）＝5＞0，
则R＝25，
∴πR2﹣πr2＝（252﹣）π＝437.5π（mm2）；
（3）解：当50＜y＜75时，由抛物线解析式可得：R2＝25（y﹣50），r2＝（y﹣50 ），
∴πR2﹣πr2＝450π，
即25（y﹣50）﹣（y﹣50）＝450，
解得y＝74；
则最深度为74﹣50＝24（mm）；
当y＞75时，由图象可得：R2＝252，r2＝（y﹣50 ），
可列方程：πR2﹣πr2＝450π，
则252﹣（y﹣50）＝450，
解得y＝78；
则最深度为78﹣50＝28（mm）．
综上：杯中液体最深度为24mm或28mm．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件设抛物线DCE的解析式为：y＝a1x2+50，抛物线FCG的解析式为：y＝a2x2+50，再根据点D（﹣25，75）在抛物线DCE上，点F（ 25，150）在抛物线FCG上，各代入两函数解析式分别求出a1，a2的值，即可得到两函数解析式.
（2）设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别为R，r，在抛物线FCG中，将y=80代入可求出R的值即r2的值，然后利用圆的面积公式求出结果.
（3）当50＜y＜75时，由抛物线解析式可得：R2＝25（y﹣50），r2＝（y﹣50 ），可得到πR2﹣πr2＝450π，即可得到关于y的方程，解方程求出y的值，然后求出最深度的长；当y＞75时，由图象可得πR2﹣πr2＝450π，据此可求出y的值，即可得到最深度的长；即可求解.
10．（2023九上·期中） 根据以下信息，探索完成任务．
如何设计种植方案？
素材1 某校为响应国家政策，在校内100平方米的土地上进行种植课实践，现有A、B，C三种作物的相关信息如表所示．已知5株A作物和2株B作物的产量共为7千克：10株A作物和6株B作物的产量共为15千克．
A作物B作物C作物每平方米种植株树（株)2104单株产量（千克）xy1.6
素材2 由于A作物植株间距较大，可增加A作物每平方米的种植株树．经过实验发现，每平方米种植A作物每增加1株，A作物的单株产量减少0.1千克．而B，C单株产量不发生变化．
素材3 若同时种植A，B，C三种作物，实行分区域种植．
问题解决
任务1 确定单株产量 求x，y的值．
单一种植（全部种植A作物） 任务2 预估种植策略 要使A作物每平方米产量为4千克，则每平方米应种植多少株？
分区种植（种植A，B，C三种作物） 任务3 规划种植方案 设这100平方米的土地中有a平方米用于种植A作物，且每平方米的产量最大：有b平方米用于种植B作物，剩余的全用来种植C作物，a，b均为正整数．当这100平方米总产量为577千克时，求这三种作物的种植方案．
【答案】解：任务1：由题意可得：
解得：
答：x，y的值分别为1.2，0.5；
任务2：设每平方米种植A作物每增加m株，
由题意可得：（2+m）（1.2﹣0.1m）＝4，
解得：m1＝2，m2＝8，
∴2+2＝4，8+2＝10，
∴每平方米应种植4株或10株；
任务3：（2+m）（1.2﹣0.1m）＝﹣0.1m2+m+2.4＝﹣0.1（m﹣5）2+4.9≤4.9，
∴A作物每平方米的最大产量为4.9千克，
由题意可得：4.9a+10×0.5b+1.6×4（100﹣a﹣b）＝577，
，
∵a，b均为正整数，
∴①a＝28，b＝15，②a＝14，b＝30，
共有两种方案：第一种，种植A作物28平方米，种植B作物15平方米，种植C作物57平方米；
第二种：种植A作物14平方米，种植B作物30平方米，种植C作物56平方米．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；二次函数的最值；二次函数的其他应用
【解析】【分析】任务1：根据题意列出二元一次方程组，解方程即可求得；
任务2：设每平方米种植A作物每增加m株，根据“ 要使A作物每平方米产量为4千克”列出方程，即可求得m的值；
任务3：先根据二次函数求出最大值即为A作物每平方米的最大产量，再根据“ 这100平方米总产量为577千克”可得，根据a和b为正整数，求得a和b的值，即可求得.
11．（2023九上·秀洲期中）综合与实践
问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的面积为S，探究S与t的关系.
（1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当时， ．
②S关于t的函数解析式为 ．
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长．
（3）延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
① ▲ ；
②当时，求正方形的面积．
【答案】（1）3；
（2）解：由图2可知当点P运动到B点时，，
∴，
解得，
∴当时，，
由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，
∴可设S关于t的函数解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴S关于t的函数解析式为，
在中，当时，解得或，
∴；
（3）解：①4；
②由（3）①可得，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）①由题意可知，当t=1时，CP=1，DP=；
∴S==3
故答案为：3.
②∵CP=t，CD=；
∴DP=
∴S=
故答案为： .
【分析】（1）①根据根据勾股定理，可得DP的值；根据正方形的面积=边长×边长，可得S的值；
②根据勾股定理，可用代数式表示DP；根据正方形的面积=边长×边长，可得关于S的解析式；
（2）根据二次函数的图象，可得S的值，列一元二次方程，即可求出t的值；根据待定系数法求解二次函数的解析式，将已知点的坐标代入二次函数，即可求出S关于T的函数解析式；根据二次函数的性质，将已知点的纵坐标代入函数，即可求出t的值，进而求出AB的值；
（3）①根据二次函数的对称轴，可得t1+t2=4；
②根据t1+t2=4和t3=4t1，列一元一次方程，解方程即可求出t1的值；根据二次函数的性质，将t1的值代入二次函数，即可求出S的值.
12．（2023九上·杭州期中）完成项目化学习：《蔬菜大棚的设计》．
《蔬菜大棚的设计》
驱动问题 1、如何利用函数模型，刻画蔬菜大棚的棚面？ 2、如何安装排气装置，保证蔬菜大棚的通风性？ 3、如何设计大棚间距，保障蔬菜大棚的采光性？
项目背景 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．如图，一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，这样就形成了一个温室空间．
数学建模 如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．抛物线AED的顶点E（0，4）
问题解决 如图，为了保证该蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，若FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长．
问题解决 为了保证两个蔬菜大棚间的采光不受影响，如图，在某一时刻，此时大棚截面的阴影为CK，求CK的长．
【答案】解：数学建模：∵抛物线的顶点，
∴设抛物线的解析式为，
图象过点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
问题解决：由题意，可知L、R的纵坐标为，
代入函数解析式，得，
解得，
∴点L，R的坐标分别为，，
∴点G，M的坐标分别为，，
∴，
答：两个正方形装置的间距的长为；
问题解决：设直线的解析式为，
点A，C的坐标分别为，，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，设直线的解析式
∴直线与抛物线联立
，整理得有两个相等实数根，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，即，
解得，
∴，
∴．
答：的长为
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】数学建模：设抛物线的解析式为，把代入解析式，计算求解即可；
问题解决：根据抛物线的解析式求出点G，M的坐标分别为，，即可求出的长；
问题解决：先求出直线的解析式为，设直线的解析式，与抛物线解析式联立，利用即可求出，即直线的解析式为，令，推出，进而可求的长．
13．（2023九上·龙湾期中）根据素材回答问题：
素材1 如图1，空地上有两条互相垂直的小路OP，OQ，中间有一正方形ABCD水池，已知水池的边长为4 米，AB//OQ，AD//OP，且AB与OQ的距离为10 米，AD与OP的距离为8 米．
素材2 现利用两条小路，再购置30 米长的栅栏(图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计．
任务1 任务2
小明同学按如图2的设计，若EF=16米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）． 若按如图3、如图4设计方案，通过计算说明哪种方案的最大面积更大．
项目反 思 如果栅栏不一定与墙面垂直（或平行），你还能设计出比以上方案面积更大的花圃吗？某学习小组在探究的过程中，设计了方案如图5，你认为图5的最大面积与以上方案比较，哪个更大，请通过计算说明．
【答案】解：任务1：如图2，
由题意知：EF=16，FG=14，矩形OEFG面积为224，
224-16=208，
答：花圃的面积为208
任务2：由图3，设BF=x，花圃面积为y，
由题意得： y=10x+8(12-x)+40+80+32=2x+248
当x=12时，y有最大值为272
由图4，设EF=x，花圃面积为y，则FG=22-x，
由题意得：y=x(22-x)+40+80+32
得：， 当x=11时，y有最大值为273
所以：图4方案的最大面积更大，为273
项目反思：由图5，设GF=2x，花圃面积为y，则FE=22-2x，
由题意得： y=x(22-2x)++40+80+32
所以：图5方案最大面积更大.
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】根据矩形的面积列出函数解析式，根据二次函数的性质得最大值，比较即可.
二、圆
14．（2023九上·上城期中）根据背景素材，探索解决问题．
测算石拱桥拱圈的半径
素材1 某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图1），石拱桥由矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩各边的中点，如图2所示）．
素材2 通过观察发现A，B，C三个点都在拱圈上，A是拱圈的最高点，且在两块花岗岩的连接处，B，C两个点都是花岗岩的顶点（如图3）．
素材3 如果没有带测量工具，那么可以用身体的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）（如图4），利用该方法测得一块花岗岩的长和宽（如图5）．
问题解决
任务1 获取数据 通过观察、计算B，C两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）．
任务2 分析计算 通过观察、计算石拱桥拱圈的半径．
注：测量、计算时，都以“肘”为单位．
【答案】解：任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为2肘，宽为1肘，
根据素材1、素材2，B，C两点之间的水平距离有2块花岗岩的长，
B，C两点之间的铅垂距离（高度差）有4块花岗岩的宽，
答：B，C两点之间的水平距离为4肘；
任务2：如图，作过点C的水平线，垂足为E，记圆心为O、BO，
观察图形，CE＝6.5×2＝13（肘），AE＝8（肘），
∵OB2＝OC2=EB2+OE2，
∴OB2=132+（OB-8）2，
解得OB=，答：石拱桥拱圈的半径为肘．
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为2肘，宽为1肘；根据素材1、素材2，B，C两点之间的水平距离，及B，C两点之间的铅垂距离（高度差）；
任务2：如图，作过点C的水平线CE⊥AO，垂足为E，记圆心为OC、BO，根据勾股定理可得OB2＝OC2=EB2+OE2，即得OB2=132+（OB-8）2，解出OB即可.
15．（2023九上·温州期末）根据素材解决问题．
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB=16m，拱顶离水面的距离CD=4m．
素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF=3m，EH=10m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y(米)与货船增加的载重量x (吨)满足函数关系式y= x．
问题解决
任务1 确定桥拱半径 求圆形桥拱的半径．
任务2 拟定设计方案 根据图3状态，货船能否通过圆形桥拱？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
【答案】解：任务1：记圆心为点O，则点O在CD延长线上，连结AO(如图1)，
设桥拱的半径为r，
∵AD=BD= AB=8，OD=r-4，
∴(r-4)2 +82=r2，∴r=10，
即圆形拱桥的半径为10米；
任务2： 根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱 ，理由如下：
当EH是⊙O的弦时，记EH与OC的交点为M(如图2)，
则EM= EH=5，
∴OM= ，
∴DM = -6<3，
∴根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱．
为了能顺利通过，
船在水面部分至少需要下降的高度y=3-( -6)=(9-)米．
∵y= x，∴x=100（9 - ）= (900- )吨，
：．至少需要增加(900-)吨的货物
【知识点】垂径定理的实际应用；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）记圆心为点O，则点O在CD延长线上，连结AO，设桥拱的半径为r，则OD=r-4，根据垂径定理得AD=BD=8，在Rt△AOD中，利用勾股定理建立方程，求解可得该圆形拱桥的半径；
（2）当EH是⊙O的弦时，记EH与OC的交点为M，根据垂径定理得EM=5，在Rt△EOM中，利用勾股定理建立方程，求解可得OM的长，进而由DM=OM-OD算出DM的长，再与3比大小即可判断能否正常通过；为了能顺利通过，船在水面部分至少需要下降的高度y=3-( -6)=(9-)米，将y的值代入 y= x 即可求出需要添加货物的数量.
16．（2022九上·舟山期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．
阿拉伯Al-Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．
小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下：
证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，∴MA＝MC，…
（1）请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；
（2）如图3，在⊙O中，BD =CD，DE⊥AC，若AB = 4，AC = 10，则AE的长度为 ；
（3）如图4，已知等边ABC内接于⊙O，AB = 8，D为上一点，∠ABD = 45°，AE⊥BD于点E，求BDC的周长．
【答案】（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是 的中点，
∴MA=MC．
又∵BA=GC，∠A=∠C，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD=GD，
∴DC=GC+GD=AB+BD；
（2）3
（3）解：如图3，在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，CD，
由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴AF=AD，
∵AE⊥BD，
∴FE=DE，则CD+DE=BE，
∵∠ABD=45°，
∴BE= AB=4 ，
则△BDC的周长=2BE+BC=8 +8．
故答案为：8+8 ．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS；阿基米德折弦定理模型
【解析】【解答】解：（2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，
∵BD=CD，∠DCF=∠DBA，CF=BA，
∴△DCF≌△DBA（SAS），
∴DF=AD，
又∵DE⊥AC，
∴AE=EF，
∵CF=AB=4，AC=10，
∴AE=3；
【分析】（1）在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG，利用弧的中点和弧、弦、圆心角之间的关系定理，可证得MA=MC，利用SAS证明△MBA≌△MGC，利用全等三角形的性质可得到MB=MG，利用等腰三角形的性质可证得BD=GD，由此可证得DC=AB+BD.
（2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，利用SAS证明△DCF≌△DBA，利用全等三角形的性质可证得DF=AD，利用等腰三角形的性质可证得AE=EF，即可求出AE的长.
（3）在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，CD，利用SAS证明△ABF≌△ACD，利用全等三角形的性质可得到AF=AD，利用等腰三角形的性质可证得FE=DE，可推出CD+DE=BE；从而可求出BE的长，然后证明△BDC的周长=2BE+BC，代入计算求出△BDC的周长.
三、相似
17．（2023九上·海曙期中）
（1）【基础巩固】
如图1，在中，D，E分别在，上，连结DE，若，求证：.
（2）【尝试应用】
如图2，在中，在上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点D，F恰好落在，上，连结，若，，，求的长.
（3）【拓展提高】
如图3，在中，在上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点F恰好落在上，连结，，若，，，，求的长。
【答案】（1）证明：在△ADE与△ACB中，∵，，∴△ADE∽△ACB，∴AD：AC=AE：AB，即.
（2）解：∵四边形ADEF是平行四边形，
∴AD//EF，AE//DF，AE=DF，AD=EF，
∴，
∴，
∴，即AC=3AE，
∵AD//EF，
∴∠ADE = ∠DEF，
又，
∴∠ADE = ∠C，
又∠A=∠A，
∴，
∴AD：AC=AE：AB，
，
∵，，
∴，解得(负值舍去)，
∴.
（3）解：如图，延长AD、CB交于点N，
∵AE=4，CE=2，
∴AC=AE+CE=4+2=6，
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴DF∥AC，EF∥AN，
∴AN=3AD，
∵EF∥AN，
∴∠ADE=∠DEF，
∵∠DEF=∠C，
∴∠ADE=∠C，
∵∠DAE=∠CAN，
∴△ADE∽△ACN，
∴AG AD=AE AC，
∴3AD2=4×6，
解得AD=2或AD= 2(不符合题意，舍去），
∴AN=3×2=6.
∵EF//AN，
∴∠EFC=∠N，
∵∠EFC=∠ABD，
∴∠ABD=∠N，
∵∠BAD=∠NAB，
∴△ABD∽△ANB，
∴AB：AN=AD：AB，
∴AB2
∴解得AB=2或AB=-2(不符合题意，舍去），
∴AB的长为2.
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据两对角分别相等的两个三角形相似，判定，再列出相关比例式，变式后可得结论成立；
（2）先根据平行四边形的性质，得出两对平行线，分别列出比例式可说明AC=3AE，再证明，列出比例式AD×AB=AE×AC，求得AE，可得AC的长.
( 3 ))延长AD、CB交于点G，由AE = 4， CE = 2，得AC=6，和(2)中的方法一样，求得AD =，AG=，然后证明出△ABD∽△AGB，根据两三角形相似得出：，整理得，最后求得 AB=
18．（2023九上·义乌期中）
（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．则 ．
（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且．连接BD，CE．
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．若，AB＝6，求BF的长．
【答案】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC= 60°，
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE.
（2）
（3）解：①设AB=3a，
∵，∠ABC=∠ADE=90°，
∴△ABC~△ADE，BC=4a，AC=5a，
∴∠BAC=∠DAE，，
∴∠CAE=∠BAD，
∴△CAE~△BAD，
∴；
②由①得：△CAE~△BAD，AB=6，
，
则AC=10，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠AGC=∠BGF，
∴△BGF~△CGA，
∴，
∴BF=.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形 ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】（1）只要证明出，即可证明BD＝CE ；
（2）只要证明出，即可由得到的值；
（3）① 证明和，即可求出的值；
② 由①中可以得到，进而可以证明，即可求出BF的长.
19．（2021九上·义乌期中）在△ABC中，BD⊥AC于点D，点P为射线BD上任一点（点B除外），连接AP，将线段PA绕点P顺时针方向旋转α，α＝∠ABC，得到PE，连接CE.
（1）【观察发现】如图1，当BA＝BC，且∠ABC＝60°时，BP与CE的数量关系是 ，BC与CE的位置关系是 .
（2）【猜想证明】如图2，当BA＝BC，且∠ABC＝90°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由.（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）
（3）【拓展探究】在（2）的条件下，若AB＝8，AP＝5 ，请直接写出CE的长.
【答案】（1）BP＝CE；BC⊥CE
（2）解：如图2中，（1）中的结论BC⊥CE成立.BP＝CE不成立，结论是EC＝ BP.
理由：如图2中，连接AE.
∵△ABC，△APE都是等腰直角三角形，
∴AC＝ AB，AE＝ AP，∠BAC＝∠ACB＝∠PAE＝45°，
∴∠BAP＝∠CAE，
∵BA＝BC，BD⊥AC，
∴∠ABD＝ ∠ABC＝45°
∵ ＝ ＝ ，
∴△CAE∽△BAP，
∴ ＝ ＝ ，∠ABP＝∠ACE＝45°
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
∴EC＝ BP，BC⊥EC.
（3）解：当点P在线段BD上时，如图2中，∵AB＝CB＝8，∠ABC＝90°，
∴AC＝8 ，
∵BD⊥AC，
∴AD＝DC＝4 ，
∵AP＝5 ，
∴PD＝ ＝ ＝3 ，
∵BD＝AD＝DC＝4 ，
∴BP＝BD﹣PD＝ ，
∴EC＝ BP＝2.
当点P在BD的延长线上时，如图3中，同法可得PD＝3 ，
∴BP＝BD+PD＝7 ，
∴EC＝ BP＝14.
综上所述，EC的长为2或14.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）如图1中，连接AE.
∵BA＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD＝ ∠ABC＝30°，
∵PA＝PE，∠APE＝∠ABC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAC＝∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
∴BC⊥CE.
故答案为：BP＝CE，BC⊥CE.
【分析】（1）连接AE，易得△ABC、△APE是等边三角形，则AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠PAE＝60°，∠ABD＝30°，AP＝AE，推出∠BAP＝∠CAE，证明△BAP≌△CAE，得到BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，然后求出∠BCE的度数，据此判断；
（2）连接AE，由等腰直角三角形的性质可得AC＝AB，AE＝AP，∠BAC＝∠ACB＝∠PAE＝45°，则∠BAP＝∠CAE，∠ABD＝45°，证明△CAE∽△BAP，据此解答；
（3）当点P在线段BD上时，由勾股定理可得AC=8，根据直角三角形斜边上中线的性质可得AD＝DC＝4，由勾股定理求出PD，然后根据BP=BD-PD、EC＝BP进行计算；当点P在BD的延长线上时，同法可得PD＝3，然后根据BP=BD+PD、EC＝BP进行计算.
20．（2023九上·舟山期中）
（1）【探究证明】某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：
如图①，在矩形中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：；
（2）【结论应用】如图②，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合，若，求折痕的长；
（3）【拓展运用】如图③，将矩形沿折叠．使得点D落在边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形，若，求的长．
【答案】（1）解：如图，过作交于，过作交于，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴四边形、均为平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
由勾股定理得，
∵将矩形沿折叠，使得点B和点D重合，
∴，
由（1）可知，，即，
∴，
∴的长．
（3）解：如图所示，过点作交延长线于，
由折叠的性质可得，
由（1）可知，，即，解得，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
由折叠的性质可得，，，，
设，则，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
在中，由勾股定理得．
【知识点】勾股定理的应用；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过作交于，过作交于，根据矩形的性质和平行四边形的性质得到：，进而根据相似三角形的性质即可求解；
（2）连接，利用勾股定理求出BD的长，根据折叠的性质得到：，结合（1）中的相似即可求出EF的长；
（3）过点作交延长线于，根据折叠的性质得到，结合（1）中的相似即可求出DG的长，进而利用勾股定理求出AG的长，设，则，再利用勾股定理列方程即可求出DE、GE和AD的长度，然后根据相似三角形的判定和性质求出HP和GH的长度，在中，利用勾股定理即可求解.
21．（2022九上·镇海区期中）
（1） 【基础巩固】如图1， 在中， 分别为上的点， 交 于点G， 求证： .
（2） 【尝试应用】如图2， 已知为的边上的两点， 且满足， 一条平行于的直线分别交和于点和， 求 的值.
（3） 【拓展提高】如图3， 点E是正方形的边上的一个动点， ， 延长至点F， 使 ， 连接， 求的最小值.
【答案】（1）证明：∵，
∴，，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴.
（2）解：如图，过点M作交于点P，交于点Q，交于点F，
∵，
由（1）中结论可得，，
∵，
∴，，，，
∴，，
∴，，
∴.
（3）解：如图，延长交于点H，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由此可得：点H为定点，点G在线段上运动，
当时，有最小值，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的最小值为.
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行线性质得∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠AFB，∠AEG=∠ACF，∠AGE=∠AFC，从而判断出△ADG∽△ABF，△AGE∽△AFC，根据相似三角形对应边成比例得 ，， 进而根据等量代换及比例的性质即可得出结论；
（2） 过点M作PF∥BC交AB于点P，交AD于点Q，交AC于点F， 由（1）中结论得 PQ=2QM=4MF，易得△FMN∽△FPA，△MLQ∽△PAQ，由相似三角形性质得 ，， 据此就不难得出答案；
（3） 延长DG交AB于点H， 易得△DEG∽△HAG，△DFG∽△HBG，由相似三角形性质得 ，， 则 ，据此可求AH的长， 由此可得：点H为定点，点G在线段DH上运动， 当CG⊥DH时，CG有最小值， 根据勾股定理算出DH的长，利用等面积法建立方程，可求出CG的长.
22．（2023九上·义乌月考）如图：
（1）【问题提出】
如图1，在正方形ABCD中，AC，BD是对角线，点在AB边上，点在对角线AC上，，求证：.
（2）【尝试应用】
如图2，在矩形ABCD中，，点在AB边上，点在对角线AC上，，求CF的长
（3）【拓展提高】
如图3，在菱形ABCD中，，点在AB边上，点在对角线AC上，，作交DA的延长线于点H，DE的延长线交BH于点，请直接写出BP，BE的长.
【答案】（1）证明：如图 1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=BC，BD平分∠ABC，∠ADC，AC平分∠BCD，∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠BDC=∠EBD=∠FCD=45°，
∵∠EDB+∠BDF=∠EDF=45°，∠BDF+∠CDF=∠BDC=45°，
∴∠EDB=∠CDF，
∴△BED∽△CDF，
∴
在Rt△BDC中，BC2+CD2=BD2，
∴
∴
∴
（2）解：如图 2，连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是矩形
∴OD=OC=BD，AB∥DC，AB=DC=3，∠BAD=90°，
∴，BE=AB-AE=3-1=2，
∴∠CDO=∠OCD，∠DBE=∠ODC=∠DCF，
∵∠EDF=∠ACD，
∴∠EDF=∠ODC，
∴∠EDB=∠CDF，
∴△BDE∽△CDF，
∴即
解之：
（3）解：连接BD交AC于点O延长DP交CB的延长线于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，∠ADB=∠CDB=∠ADC，AB=BC=5，
∵∠EDF=∠ADC，
∴∠EDF=∠ADB=∠CDB，
∴∠BDE=∠CDF，∠ADE=∠BDF，
∵∠BPD=90°+∠ADP，∠CFD=∠COD+∠BDF=90°+∠BDF，
∴∠BPD=∠CDF，
∴△BPD∽△CDF，
∴
∵AB=5，AC=6，
∴OC=AC=3，OD=BD，
DO=OB=
∴BD=8，
∴
解之：；
∵即
解之：
∴，
∴
∴；
∵AD∥BC，
∴△BGP∽△HDP，
∴即
解之：；
∵AD∥BC，
∴△BGE∽△ADE，
∴即
解之：
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可证得DC=BC，BD平分∠ABC，∠ADC，AC平分∠BCD，∠BDC=∠EBD=∠FCD=45°，可推出∠EDB=∠CDF，由此可得到△BED∽△CDF，利用相似三角形的对应边成比例及勾股定理可证得结论.
（2）连结BD交AC于点O，利用矩形的性质可证得OD=OC=BD，AB∥DC，AB=DC=3，∠BAD=90°，利用勾股定理求出BD的长，可得到BE的长，再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△BDE∽△CDF，利用相似三角形的对应边成比例可求出CF的长.
（3）连结BD交AC于点O，延长DP交CB的延长线于点G，利用菱形的性质及∠EDF=∠ADC，可推出
∠BDE=∠CDF，∠ADE=∠BDF，利用三角形外角的性质可推出∠BPD=∠CDF，可证得△BPD∽△CDF，利用相似三角形的对应边成比例可得比例式，再利用勾股定理求出OB的长，可得到BD的长，即可求出BP的长；利用三角形的面积公式求出BH的长，可得到PH的长，利用勾股定理求出AH的长，可得到DH的长，再证明△BGP∽△HDP，利用相似三角形的性质可求出BG的长；然后证明△BGE∽△ADE，利用相似三角形的对应边成比例可求出BE的长.
23．（2023九上·武义月考）
（1）【基础巩固】如图1，在中，，，分别为，，上的点，，，交于点，求证：．
（2）【尝试应用】如图2，在（1）的条件下，连结，．若，，，求的值．
（3）【拓展提高】如图3，在中，，与交于点，为上一点，交于点，交于点．若，平分，，求的长．
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：延长GE交AB于M，边MF，过M作MN⊥BC于N.
由上得：
【知识点】含30°角的直角三角形；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3） 延长GE交AB于M，边MF，过M作MN⊥BC于N.
在平行四边形ABCD中，BO=DO，∠ABC=∠ADC=45°，
∵EG∥BD，
∴由（1）得：ME=GE，
∵EF⊥EG，
∴FM=FG=10，
∴∠EFM=∠EFG，
∵∠EGF=40°，
∴∠EFG=50°，
∵平分，
∴∠EFG=∠CFG=50°，
∴∠BFM=180°-3×50°=30°，
∵∠MNF=90°，
∴MN=，
∴NF=5，
∵∠MBN=45°，
∴BN=MN=5，
∴BF=BN+FN=5+5。
【分析】（1）根据三角形相似，可得出，即可得出，再根据BF=CF，即可得出；
（2）首先根据中垂线的性质得出CE=CD=3，再根据，得出；
（3） 延长GE交AB于M，边MF，过M作MN⊥BC于N，由（1）得ME=GE，进而得出FM=FG=10，再求∠BFM=180°-3×50°=30°，即可得出含30°锐角的直角三角形，即可得出MN=，NF=5，再根据∠MBN=45°，即可得出BN=MN=5，进而得出BF=BN+FN=5+5。
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