精选实践探究题—2024年浙教版数学七（上）期中复习
一、有理数
1．（2023七上·诸暨期中） 符号“f”表示一种运算，它对一组数的运算如下：
，，，…
（1）利用以上运算的规律写出 ；（为正整数）
（2）计算；
（3）计算的值．
【答案】（1）
（2）解：∵，，，，，
∴；
（3）解：．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：（1）观察题干给出的几个例子得；
故答案为：；
【分析】（1）观察题干给出的几个等式，找出规律，可直接写出答案；
（2）根据题干给出的方法首先算出f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、f(5)，再根据有理数的乘法法则计算可得答案；
（3）根据题干给出的方法首先算出f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、f(5)……f(100)，再根据有理数的乘法法则算出它们的积，最后再求积的算术平方根即可.
2．（2023七上·温州期中）根据以下素材，探索完成任务．
素材1：如何规划游玩路线？
温州轨道交通实行里程分段计价票制，起步价2元，可乘坐4km(含4km)，4至28km(含28km)每1元可乘4km(不足4km按1元算)．如：桐岭站到动车南站共5.3km，收费3元．部分站点距离见下图(单位：km)
素材2：一名成年乘客可免费携带一名身高不足1.2米(含1.2米)的儿童乘车，
素材3：小明一家四口将乘坐轻轨出游．小明家住在新桥站附近，家庭成员如下：小明(身高1.5米)、弟弟(身高1.1米)、爸爸、妈妈．
问题解决
（1）任务1
从新桥站到桐岭站为 km，单人单程乘坐需车费 元
（2）任务2
小明一家乘坐轻轨从新桥站到三烊湿地站，需要多少车费．
（3）任务3
小明一家从新桥站出发，计划共用30元车费出行(往返)，请你为小明一家规划一个尽可能远的游玩站点，并说明理由．
【答案】（1）10.8；4
（2）解：从新桥站到三烊湿地站里程为：2.2+1.9+2.7+2.0=8.8(km)
需要车费为：(2+2)×3=12元；
（3）解：单程为15元，由于弟弟乘车免费，故一家三口每人5元，
∵起步价2元乘坐4km，
∴3元可乘3×4=12km，
∴最远可行16km，
∵向桐岭方向为10.8km，
∴向瑶溪方向，2.2+1.9+2.7+2.0+5.1+2.0=15.9km，
∴最远游玩站点为科技城.
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：（1）从新桥站到桐岭站为：5.5+3.1+2.2=10.8km，
单人单程乘坐需车费为：2+1+1=4元，
故答案为：10.8；4；
【分析】（1）根据所给素材1列式进行计算，即可得出答案；
（2）根据题意弟弟免费乘车，其他三人按照里程数进行计算，即可得出答案；
（3）根据题意得出单程为15元，由于弟弟乘车免费，故一家三口每人5元，最远可行16km，然后进行判断，即可得出答案.
3．（2023七上·洞头期中） 素材1：每年秋天是灵昆柿子饼盛产期．小黄同学打算从灵昆寄5袋柿子饼到杭州，以每袋3千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表所示：
柿子饼袋 ① ② ③ ④ ⑤
与标准重量的差值（单位：千克） 0.1 -0.3 0 -0.1 0.2
素材2：小黄同学选择了某快递，收费标准如下：3千克以内15元（含3千克），超过1千克的部分为2元/每千克（不足1千克按1千克计）．现该快递公司提供多种寄件方式：
纸箱类型 中型纸箱 大型纸箱
可容纳袋数（袋/个） 2 4
重量（千克/个） 0.4 0.7
价格（元/个） 3 5
方案一：小黄购买了中型纸箱将重量最低的②、④柿子饼袋打包在一起，其余每小袋各自寄出．
方案二：____．
（1）【任务1】求这5袋柿子饼的总重量．
（2）【任务2】求方案一所需要的费用．
（3）【任务3】请你设计方案二，使它的费用低于方案一，并计算你的方案费用．
【答案】（1）解：0.1+（-0.3）+0+（-0.1）+0.2＝-0.1（kg），
5×3+（-0.1）＝14.9（kg），
答：这5袋柿子饼的总重量为14.9 kg；
（2）解：②、④打包后重量：（-0.3）+（-0.1）+2×3+0.4＝6（kg），
②、④邮寄需要的费用：15+3×2+3＝24（元），
③邮寄需要的费用：15元，
①邮寄需要的费用：15+2＝17元，
⑤邮寄需要的费用：15+2＝17元，
总费用为：17+24+15+17=73（元），
答：方案一所需要的费用为73元；
（3）解：答案不唯一，如下：
方案Ⅰ：
购买大纸箱，将①、②、④、⑤打包在一起，③单独寄出，
①、②、④、⑤打包后重量：0.1+（-0.3）+（-0.1）+0.2+4×3+0.7＝12.6（kg）；
①、②、④、⑤邮寄需要的费用：15+10×2+5＝40（元），
③邮寄需要的费用：15元；
邮寄需要的总费用：40+15=55（元）；
方案Ⅱ：
购买2个中纸箱，分别将①④、②⑤打包，③单独寄出，
费用为：①④打包后重量为：0.1+（-0.1）+2×3+0.4＝6.4（kg），
②⑤打包后重量为：（-0.3）+0.2+2×3+0.4＝6.3（kg），
①④邮寄需要的费用：15+4×2+3＝26（元），
②⑤邮寄需要的费用：15+4×2+3＝26（元），
③邮寄需要的费用：15（元）；
邮寄的总费用为：26+25+15=67（元）；
方案Ⅲ：
购买2个中纸箱，分别将②④、①⑤打包，③单独寄出，
费用为：①⑤打包后重量为：0.1+0.2+2×3+0.4＝6.7（kg）；
②④打包后重量为：（-0.3）+（-0.1）+2×3+0.4＝6（kg）；
①⑤邮寄需要的费用：15+4×2+3＝26（元），
②④邮寄需要的费用：15+3×2+3＝24（元），
③邮寄需要的费用：15元，
邮寄的总费用为：26+24+15=65（元）.
故选方案Ⅰ.
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）根据正负数的意义，列式计算即可；
（2）根据题意， 分别计算② ④一起邮寄的费用， 其余每小袋各自寄邮寄的费用，然后求和即可；
（3）根据题意设计不同的方案： 方案Ⅰ： 购买大纸箱，将①、②、④、⑤打包在一起，③单独寄出；方案Ⅱ：购买2个中纸箱，分别将①④、②⑤打包，③单独寄出，方案Ⅲ：购买2个中纸箱，分别将②④、①⑤打包，③单独寄出，分别计算出每种方案的费用，选择费用小于方案一费用的方案，即可得解.
4．（2023七上·温州期中）根据以下素材，探索完成任务．
如何规划游玩路线？
素材1
温州轨道交通实行里程分段计价票制，起步价2元，可乘坐4km （含4km），4至28km（含28km）每1元可乘4km（不足4km按1元算）．如：桐岭站到动车南站共5.3km，收费3元．部分站点距离见下图（单位：km）
素材2
一名成年乘客可免费携带一名身高不足1.2米（含1.2米）的儿童乘车，
素材3
小明一家四口将乘坐轻轨出游．小明家住在新桥站附近，家庭成员如下：小明（身高1.5米）、弟弟（身高1.1米）、爸爸、妈妈．
问题解决
（1）任务1
从新桥站到桐岭站为 km，单人单程乘坐需车费 元
（2）任务2
小明一家乘坐轻轨从新桥站到三烊湿地站，需要多少车费．
（3）任务3
小明一家从新桥站出发，计划共用30元车费出行（往返），请你为小明一家规划一个尽可能远的游玩站点，并说明理由．
【答案】（1）10.8；4
（2）解：从新桥站到三烊湿地站里程为：2.2+1.9+2.7+2.0=8.8km，
需要车费为：（2+1+1）×3=12元；
（3）解：单程为15元，由于弟弟乘车免费，故一家三口每人5元，
∵起步价2元乘坐4km，
∴3元可乘3×4=12km，
∴最远可行16km，
∵向桐岭方向为10.8km，
∴向瑶溪方向，2.2+1.9+2.7+2.0+5.1+2.0=15.9km，
∴最远游玩站点为科技城.
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：（1）从新桥站到桐岭站为：5.5+3.1+2.2=10.8km，
单人单程乘坐需车费为：2+1+1=4元，
故答案为：10.8；4；
【分析】（1）根据所给素材1列式进行计算，即可得出答案；
（2）根据题意弟弟免费乘车，其他三人按照里程数进行计算，即可得出答案；
（3）根据题意得出单程为15元，由于弟弟乘车免费，故一家三口每人5元，最远可行16km，然后进行判断，即可得出答案.
5．（2023七上·新昌期中）根据以下素材，尝试解决问题．
如何获得更高的销售额？
素材 甲菜农有筐蔬菜，每筐质量在千克左右，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图，超过千克的以元筐的价格售出，其余三筐以元千克销售，全部售出．
素材 乙菜农将蔬菜堆放在一起进行销售，售出的蔬菜质量比甲菜农少千克，其中千克以元千克销售，剩下的部分按八折全部售出．
问题解决
（1）问题1：求甲菜农售出最重的一筐蔬菜的质量．
（2）问题2：求乙菜农售出的蔬菜的总质量．
（3）问题3：甲、乙菜农的蔬菜全部售出后，比较哪一位菜农的销售额更高，高多少元？
【答案】（1）解：20+(+3)= 23(千克)，
答：甲菜农售出最重的一筐蔬菜的质量为23千克；
（2）解：[(-1)+(+3) +(-2.5)+(-0.5)+(+1)+(+2)]+20x6-20= 2+120-20=102(千克)，
答：乙菜农售出的蔬菜的总质量为102千克；
（3）解：甲菜农的销售额为：170×3+9×［(-1）+(-2.5)+(-0.5)+20×3)］
=510+504=1014(元)，
乙菜农的销售额为：
80×10+(102-80)×10×0.8=800+22×10×0.8=800+176=976(元)，
1014-976=38(元)，
答：甲菜农的销售额更高，高38元
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）分析数据，用标准量加上超过的千克数中得最大值，根据有理数得加法即可计算；
（2）根据乙菜农售出的蔬菜质量比甲菜农少千克，用甲菜农总的质量（20 2-20）加上超出和不足得部分质量之和即可得到乙菜农售出蔬菜得总质量；
（3）根据售出的价格分别计算甲、乙菜农得总销售额，再比较销售额得大小即可.
6．（2022七上·瑞安期中）国庆期间，某超市各个区域都有促销活动，晓琳一家去逛该超市，准备购买纸巾，根据以下素材，探索完成任务．
揭秘超市促销：送券和打折哪个更优惠
素材1 纸巾区域推出两种活动： 活动一：购物满100元送30元券，满200元送60元券，...，上不封顶，送的券当天有效，一次性用完. 活动二：所有商品打8折. 注：两种活动不能同时参加.
素材2 晓琳家用的两种纸巾信息（超市标价）．
素材3 晓琳家平均三天用1包清风牌纸巾，平均五天用1包4D溶纸巾；晓琳家清风牌纸巾还有1袋存货，4D溶纸巾存货不清楚．
问题解决
任务1 半年（按180天计算），试求出需要消耗清风牌纸巾多少袋？消耗4D溶纸巾多少箱？
任务2 按存半年的量计算，还需要购买2种纸巾，其中4D溶纸巾x箱，若选择活动二，则所需的总费用为 元（用含x的代数式表示）．
任务3 晓琳突然想起4D溶纸巾没有存货，按半年所需量，请探索送券和打折哪个更优惠？并写出探索过程．
【答案】任务1
解：80÷3=60（包）60÷12=5（袋）
180÷5=36（包）36÷12=3（箱）
答：需要消耗清风牌纸巾5袋，消耗4D溶纸巾3箱．
任务2
(128+ 48x)
任务3
∵清风牌纸巾已有存货1袋，
∴半年所需量要再购进4袋清风牌纸巾和3箱4D溶纸巾．
参加活动一：返券情况
①满200元送60元券，40+40+60+60=200（元）
还需支付40+40+60-60=80(元)
实付200+80=280（元）.
②满300元送90元券，40+60+40+60+40+60=300（元）
90＞40，无需再支付，实付300（元）.
参加活动二：当x=3时，48x+128=48×3+128=272（元）.
因为272＜300
所以，选择活动二更加优惠.
【知识点】有理数混合运算的实际应用；求代数式值的实际应用
【解析】【解答】解：任务2
清风纸巾40×(5- 1)= 160，
4D纸巾60x，
(160+ 60x)× 80%- ( 128 + 48x)元，
故答案为： (128+ 48x).
【分析】任务1 根据晓琳家平均三天用1包清风牌纸巾，平均五天用1包4D溶纸巾进行计算即可.
任务2 根据活动二的优惠条件进行列式计算即可.
任务3 根据两种活动的优惠条件分别进行计算，然后比较大小即可.
7．（2023七上·海曙期中） 类比乘方运算，我们规定：求n个相同有理数（均不为0）的商的运算叫做除方.例如，记作，读作“2的引4次商”.一般的，把记作，读作“a的引n次商”.
（1）直接写出计算结果：= ，= .
（2）归纳：负数的引正奇数次商是 数，负数的引正偶数次商是 数（填“正或负”）；
（3）计算：.
【答案】（1）4；
（2）负；正
（3）解：
【知识点】定义新运算；有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解：（1） =，
=；
故答案为：4；；
（2）根据除方的定义可得，负数的引正奇数次商是负数，负数的引正偶数次商是正数；
故答案为：负；正；
（3），
，
，
，
.
【分析】（1）根据除方的定义计算即可；
（2）由除方的定义得出结论；
（3）根据除方的定义进行计算.
8．（2023七上·金华期中）概念学习
规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记作(-3)④，读作“-3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a÷…÷a，(n个a，a≠0)记作，读作“a的圈n次方”．
（1）初步探究：
→2④=2÷2÷2÷2=2×××=→
①直接写出计算结果：2③= ，= ；
②关于除方，下列说法错误的是
A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数n，1 =1；
C.3④=4③ D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
（2）深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
①试一试：
仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．(-3)④= ▲ ；5⑥= ▲ ；= ▲ ．
②想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ▲ ；
③算一算：122÷×-÷33．
【答案】（1）；-8；C
（2）解：①；；；
②；
③ 122÷×-÷33，
=122÷×-÷33，
=144÷9×(-8)-81÷27，
=-128-3，
=-131，
【知识点】定义新运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：（1） ①2③= 2÷2÷2=， =÷÷÷÷=××××==-8；
故答案为：，-8；
②3④=3÷3÷3÷3=3×××=，
4③=4÷4÷4=4××=，3④≠4③，
故答案为：C；
（2） ①=；
；
；
故答案为：；；；
②；
故答案为：；
【分析】（1）根据除法运算直接计算即可；根据运算规律，判断每个选项即可；
（2）一个非零有理数a的圈n次方等于a的倒数的（n-2）次方，按此规律即可求得；根据圈a的运算规定，按照有理数的运算顺序、运算法则计算即可.
二、数轴
9．（2023七上·浙江期中）【阅读】如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为MN．我们规定：MN的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．
【应用】请用上面的知识解答下面的问题：
如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为－16和6．
（1）求A、B两点之间的距离；
（2）若在数轴上存在一点P，使得，求点P表示的数；
（3）如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达原点O后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当时的运动时间t的值．
【答案】（1）解：
（2）解：当在点左边时，，，
∴点表示的数为 ，
当在线段上，，，
∴点表示的数为，
∴点表示的数为或
（3）解：当时，点Q从B向O运动，
，解得．
当时，Q从O向B运动，点P位于O的左侧，
，解得．
当时，Q从O向B运动，点P位于O的右侧，
，解得（舍去）
t的值为：2或．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【分析】（）根据两点间的距离公式即可求出、两点之间的距离；
（）分情况讨论：当在点左边时，当在线段上，根据，求解即可；
（3）分情况讨论：当时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动；
当时，Q从O向B运动，点P位于O的左侧，当时，Q从O向B运动，点P位于O的右侧，根据，列出关于的方程，解方程即可.
10．（2023七上·鄞州月考）【阅读理解】
点、、为数轴上三点，如果点在、之间且到的距离是点到的距离倍，那么我们就称点是的奇点．
例如，如图，点表示的数为，点表示的数为表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是的奇点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是的奇点，但点是的奇点．
【知识运用】
如图，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为．
（1）数 所表示的点是的奇点；数 所表示的点是的奇点；
（2）如图，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为现有一动点从点出发向左运动，到达点停止．点运动到数轴上的什么位置时，、和中恰有一个点为其余两点的奇点？
【答案】（1）3；-1
（2）解：，
，
，
，
故点运动到数轴上的或位置时，、和中恰有一个点为其余两点的奇点．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；定义新运算；含括号的有理数混合运算
【解析】【解答】解：（1）∵
∴3所表示的点是的奇点； -1所表示的点是的奇点，
故答案为：3，-1.
【分析】（1）根据题意得：奇点表示的数到中，前面的点M是到后面的数N的距离的三倍，奇点表示的数到，前面的点N是到后面的数M的距离的三倍，进而即可求解；
（2）点A到点B的距离为6，由奇点的定义列式计算，即可求解.
11．（2023七上·浙江月考）阅读理解：
若、、为数轴上三点，若点到的距离是点到的距离倍，我们就称点是【，】的好点．
例如，如图，点表示的数为，点表示的数为表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的好点，但点是【，】的好点．
知识运用：如图，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为．
（1）数 所表示的点是【，】的好点；
（2）如图，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止当为何值时，、和中恰有一个点为其余两点的好点？
【答案】（1）2或
（2）解：设点表示的数为，分四种情况：
为【，】的好点．
由题意，得，
解得，
秒；
为【，】的好点．
由题意，得，
解得，
秒；
为【，】的好点．
由题意，得，
解得，
秒；
为【，】的好点
由题意得
解得舍．
为【，】的好点
，
．
综上可知，当为秒、秒或秒时，、和中恰有一个点为其余两点的好点．
故答案为：或或．
【知识点】一元一次方程的其他应用；数轴上两点之间的距离；数轴的动点往返运动模型
12．（2023七上·萧山期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起了对应关系，揭示了数与点之间的内在联系
（1）操作一：
折叠纸面，若使1表示的点与-1表示的点重合，则-3表示的点与 表示的点重合；
（2）操作二：
折叠纸面，若使1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①-3表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 ， ；
（3）操作三：
在数轴上剪下9个单位长度（从-1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠（如图所示）．若得到的这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是多少？
【答案】（1）3
（2）7；-2.5；6.5
（3）解：设折痕处对应的点所表示的数是x，
如图1，当AB：BC：CD＝1：1：2时，
设AB＝a，BC＝a，则CD=2a
a+a+2a＝9，
a＝，
∴AB＝，BC＝，CD=，
x＝-1++＝；
如图2，当AB：BC：CD＝1：2：1时，
设AB＝a，BC＝2a，CD=a
a+a+2a＝9，
a＝，
∴AB＝，BC＝，CD=，
x＝-1++＝；
如图3，当AB：BC：CD＝2：1：1时，
设AB＝2a，BC＝a，CD=a，
2a+a+a＝9，
a＝，
∴AB＝，BC＝CD＝，
x＝-1++＝，
综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离；数轴的折叠（翻折）模型
【解析】【解答】解：（1）∵ 折叠纸面，若使1表示的点与-1表示的点重合，
∴折痕为原点O，
∴-3表示的点与3表示的点重合；
故答案为：3；
（2）∵ 折叠纸面，若使1表示的点与3表示的点重合，
∴折痕处点表示的数为2，
①∵-3表示的点与2所表示的点的距离为5，
∴与-3表示的点重合的点所表示的数为2+5=7；
故答案为：7；
②∵ 数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，
∴A、B两点距离折痕处的点的距离为4.5，
∵折痕处点表示的数为2，
∴点A所表示的数为2-4.5=-2.5，点B所表示的数为2+4.5=6.5；
故答案为：-2.5；6.5；
【分析】（1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出-3与3重合；
（2）根据对称性找到折痕的点为2，①-3表示的点与2所表示的点的距离为5，根据对称性可找出与-3表示的点重合的点所表示的数；
②由于AB=9，所以A到折痕的点距离为4.5，因为折痕对应的点为2，由此得出A、B两点表示的数；
（3）设折痕处对应的点所表示的数是x，分类讨论：如图1，当AB∶BC∶CD=1∶1∶2时，所以设AB=a，BC=a，CD=2a，得a+a+2a=9，求解得出a的值，进而可得AB、BC、CD的值，计算可得x的值；同理，如图2，当AB：BC：CD＝1：2：1时，如图3，当AB：BC：CD＝2：1：1时，求解可得x对应的值，综上可得答案.
13．（2023七上·洞头期中） 新定义学习：
【新知学习】若A，B，C是数轴上的三个点，如果点C到A的距离等于点C到B的距离，那么我们就称点C是AB的中点．例如，如图1，点A表示的数为-1，点B表示的数为3，表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是2，那么点C是AB的中点．
（1）【知识运用】
①如图2，E、F为数轴上两点，点E所表示的数为-4，点F所表示的数为2，求EF的中点所表示的数，并说明理由．
②如图3，若数所表示的点G是MN的中点，那么M表示的数为 ，N表示的数为 （只要写出符合条件的一对值即可）．
（2）【知识拓展】如图4，A，B为数轴上两点，点A所表示的数为-8，点B所表示的数为20．现有一只电子蜗牛P从点A出发，以1个单位每秒的速度向右运动；同时另一只电子蜗牛Q从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，若点M，N分别是AP和BQ的中点，则在P，Q的运动过程中，当t＝ 秒时，M，N点到原点的距离相等（请直接写出答案）．
【答案】（1）解：①E、F中点为，
理由：表示-1的点到表示-4的点和2的点距离都是3；
②1，2-1（答案不唯一）
（2）24或
【知识点】无理数在数轴上表示；一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1） ② 若M表示的数为1，设N点表示的数为x，根据中点公式可得，解得，即N点表示的数为.
故答案为：1，.
（2）由题意得：P点表示的数为，点Q表示的数为20-2t，点M，N分别是AP和BQ的中点，根据中点公式可得：M点表示的数为，N点表示的数为，
①M，N点在原点的同侧，，解得；
②M，N点在原点的异侧，，解得.
综上所述：t的值为24或时 ，M，N点到原点的距离相等.
【分析】（1）①利用中点公式求解即可；②根据中点公式结合中点定义，求出m、n即可；
（3）由题意，表示出M、N表示的数，分①M，N点在原点的同侧，②M，N点在原点的异侧，分别列方程求解即可．
14．（2022七上·杭州期中）阅读理解：
若、、为数轴上三点，若点到的距离是点到的距离倍，我们就称点是【，】的好点．
例如，如图，点表示的数为，点表示的数为表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的好点，但点是【，】的好点．
知识运用：如图，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为．
（1）数 所表示的点是【，】的好点；
（2）如图，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止当为何值时，、和中恰有一个点为其余两点的好点？
【答案】（1）2或10
（2）解：设点表示的数为，分四种情况：
为【，】的好点．
由题意，得，
解得，
秒；
为【，】的好点．
由题意，得，
解得，
秒；
为【，】的好点．
由题意，得，
解得，
秒；
为【，】的好点
由题意得
解得舍．
为【，】的好点
，
．
综上可知，当为秒、秒或秒时，、和中恰有一个点为其余两点的好点．
故答案为：或．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】 （1）设所求数为x，根据“好点的定义”列出方程求解；
（2）根据“好点的定义”分四种情况讨论：①P为【A，B】的好点；②A为【B，P】的好点；③P为【B，A】的好点；④A为【P，B】的好点．⑤B为【A，P】的好点.设点P表示的数为y，根据“好点的定义”列方程求解．
15．（2022七上·杭州月考）【方法感悟】阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为.如图1，从数轴上看，若点A，B表示的分别是1，4则或；
若点A，B表示的数分别是，4则或；
若点A，B表示的数分别是，，则或．
【归纳】若点A，B表示的数分别是，则或．
【知识迁移】
（1）如图1，点A，B表示的数分别是，b且，则 ；
（2）如图2，点A，B表示的数分别是，，若把向左平移个单位，则点A与重合，若把向右平移个单位，则点B与70重合，那么 ， ；
（3）【拓展应用】
一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，请问村长爷爷现在到底是多少岁？美羊羊现在又是几岁？请写出解题思路.
（4）结合几何意义，求最小值.
【答案】（1）或
（2） 10；30
（3）解：设美羊羊现在x岁为数轴上的一个点，现在爷爷年龄y岁为数轴上的一个点，40年前在数轴上表示的数为，村长爷爷116岁时，在数轴行的点表示的数为116，村长爷爷与美羊羊的年龄差为m，根据题意得：
，，，
∴，
∴，
，
答：村长爷爷现在64岁，美羊羊现在12岁．
（4）解：∵表示数轴上表示x的点与表示数1、2、3、4、5的距离和，
∴当时，的值最小，
∴，
∴的最小值为6
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；三元一次方程组解法及应用；线段上的两点间的距离
【解析】【解答】解：（1）∵点A，B表示的数分别是，b，
∴，
解得或，
故答案为：或；
（2）∵把向左平移个单位，则点A与重合，若把向右平移个单位，则点B与70重合，
∴把向右平移个单位得到，把向右平移个单位得到，向右平移个单位得到70，
∴，
∴，，
故答案为： 10，30；
【分析】（1）根据两点间的距离公式可得AB=，解方程即可；
（2）由题意知把向右平移个单位得到，把向右平移个单位得到，向右平移个单位得到70，可得 =40，利用两点间的距离求解即可；
（3） 设美羊羊现在x岁为数轴上的一个点，现在爷爷年龄y岁为数轴上的一个点，40年前在数轴上表示的数为，村长爷爷116岁时，在数轴行的点表示的数为116，村长爷爷与美羊羊的年龄差为m， 由题意可得解方程组即可；
（4）由绝对值的几何意义可知当时原式的值最小，据此解答即可.
三、实数
16．（2023七上·余姚期中）教材上有这样一个合作学习活动：如图1，依次连结2×2方格四条边的中点A，B，C，D，得到一个阴影正方形．设每一小方格的边长为1，得到阴影正方形面积为2．
（1）【基础尝试】：
发现图1这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是 ，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法；
（2）【画图探究】：
如图2，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于M，N两点，则点M表示的数为 ；
（3）【问题解决】：
如图3，3×3网格是由9个边长为1的小方格组成．
①画出面积是5的正方形，使它的顶点在网络的格点上；
②请借鉴（2）中的方法在数轴上找到表示实数的准确位置．（保留作图痕迹并标出必要线段长）
【答案】（1）
（2）1-
（3）解：①∵大正方形的面积是5，
∴小正方形的对角线长为，
如图所示：
②如图，则点c为所要求做的点．
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解（1）∵面积为2的大正方形就是原先边长为1的小正方形的对角线长，
∴小正方形的对角线长等于大正方形面积的算术平方根，
即
故答案为：；
（2）如图，小正方形的对角线长为，
∴原点与M之间的距离为-1，
∴点M表示的数为1-，
故答案为：1-；
【分析】（1）根据小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，可得小正方形的对角线长；
（2）由图2中小正方形对角线长为，原点与A之间的距离为，可得到A点表示的数为；
（3）由大正方形的面积为5，得小长方形的对角线长为，然后在数轴上找到表示的点即可.
17．（2023七上·杭州月考）如图①，把两个边长为的小正方形沿对角线剪开，所得的个直角三角形拼成一个面积为的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
（1）图②中、两点表示的数分别为 ， ；
（2）请你参照上面的方法：
把图③中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图③中画出裁剪线，并在图④的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长 ▲ ．（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙）
【答案】（1）；
（2）．
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）根据勾股定理得，正方形的对角线==，
所以，A、B表示的数分别为-，；
（2）解：长方形面积为5，
正方形边长为，如图所示：
故答案为：
【分析】（1）根据勾股定理即可就得；
（2）参照（1）的方法可得大正方形的边长为，而=即可求得裁缝线.
18．（2023七上·期中）如图，有这样一个探究：把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为2的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题：
（1）所得到的面积为2的大正方形的边长就是原边长为1的小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为 ；
（2）由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如下图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为 ；
（3）通过动手操作，漠子同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图所示的正方形．请借鉴（2）中的方法在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹并标出必要线段长）
【答案】（1）
（2）
（3）解：∵大正方形的面积为5，
∴正方形的边长为，
∵小长方形的对角线作了大正方形的边长，
∴小长方形的对角线长为，
如图所示，
以数字-1所在的点为圆心，小长方形的对角线为半径画弧，与数轴交于点P，则点P表示的数为．
【知识点】无理数在数轴上表示；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：（1）∵面积为2的大正方形的边长为：，由图可知所得到的面积为2的大正方形的边长就是原边长为1的小正方形的对角线长，
∴ 小正方形的对角线长为；
故答案为：；
（2）由（1）可得该正方形对角线的长为，
∴点A到表示数1的点的距离为，
∴点A到原点得距离为，
又∵点A在原点得左边，
∴点A所表示的数为；
故答案为：；
【分析】（1）正方性的面积等于边长的平方可得边长就是面积的算术平方根，据此可得正方形的边长，也就是小正方形的对角线长；
（2）由（1）的方法得该正方形对角线的长为，进而找到点A到表示数1的点的距离及点A到原点得距离，最后结合数轴上的点所表示数的特点可得点A所表示的数；
（3）由（1）的方法得小长方形的对角线长为， 以数字-1所在的点为圆心，小长方形的对角线为半径画弧，与数轴交于点P，利用（2）的方法找到点与原点得距离，最后结合数轴上的点所表示数的特点可得点P所表示的数.
19．（2023七上·义乌期中）阅读下列信息材料：
信息1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：π、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确；
信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.5﹣2得来的；
信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如2＜＜3，是因为；
根据上述信息，回答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）8+也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜8+＜b则a+b＝ ；
（3）若－2＝a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，请求2a-b的相反数．
【答案】（1）4；
（2）19
（3）解：6＜＜7，
∴6-2＜＜7-2，
即4＜-2＜5，
∴的整数部分为4，小数部分为=，
∴a=4，b=，
∴2a-b=14-，
∴2a-b相反数为.
【知识点】无理数的估值；实数的相反数
【解析】【解答】解：（1）3＜＜4，
∴的整数部分为3，小数部分为-3．
故答案为：3，-3；
（2）1＜＜2，
∴8+1＜＜8+2，
即9＜10+＜10，
∴a=9，b=10，
∴a+b=19．
故答案为：19；
【分析】（1）先估算在哪两个整数之间，即可确定的整数部分和小数部分；
（2）先估算出的整数部分，再利用不等式的性质即可确定答案；
（3）先求出的整数部分，的整数部分为4，小数部分为=，所以a=4，b=，再计算求解即可.
20．（2023七上·余姚期中）教材上有这样一个合作学习活动：如图1，依次连结2×2方格四条边的中点A，B，C，D，得到一个阴影正方形．设每一小方格的边长为1，得到阴影正方形面积为2．
（1）【基础尝试】
发现图1这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是 ，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法；
（2）【画图探究】
如图2，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于M，N两点，则点M表示的数为 ；
（3）【问题解决】
如图3，3×3网格是由9个边长为1的小方格组成．
①画出面积是5的正方形，使它的顶点在网络的格点上；
②请借鉴（2）中的方法在数轴上找到表示实数的准确位置．(保留作图痕迹并标出必要线段长)
【答案】（1）
（2）
（3）解：①∵正方形的面积为5
∴其边长为，
∴所求正方形如下图：
② 如图点C就是的位置．
理由如下：∵小长方形对角线为：
以数字-1所在的点为圆心，长方形的对角线为半径画弧，与数轴交于C，
∴点C表示的数就是.
【知识点】算术平方根；无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：（1）∵面积为2的正方形的边长就是小方格的对角线长，
∴小方格对角线长为大正方形的面积的算术平方根，即
故答案为：；
（2）∵图2中小正方形的对角线长为，
∴原点与点M之间的距离为：
∴点M表示的数为：
故答案为：；
【分析】（1）根据"小方格的对角线长为大正方形的面积的算术平方根"，据此即可求解；
（2）根据图2中小正方形的对角线长为，得到原点与点M之间的距离，进而可求出点M所表示的数；
（3）①根据正方形的面积为5，得到其边长为，据此即可画出正方形；
②以数字-1所在的点为圆心，长方形的对角线为半径画弧，与数轴交于C，在数轴上表示出的点即可.
四、一元一次方程
21．（2023七上·椒江月考）请阅读下列材料，并完成相应任务．
如图1，公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，称为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割是指把一条线段分割成两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值．如图2，在线段上找一点，把线段分成和两段，其中是较短的一段．如果，那么称线段被点黄金分割，叫做线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割数，约为，即，．
完成以下任务：
（1）如图2，线段被点黄金分割．若长为，求的长；（结果保留小数点后一位）
（2）如图3，一根一侧烧毁的木棒工件（粗度不计），在它的两个黄金分割点，处钻有小孔．若量得，间的距离约为，求木棒的原长度．
【答案】（1）
（2）木棒的原长度为．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
22．（2024七上·柯桥期中）每年“双十一”购物节，商家都会利用这个契机进行促销活动.今年某超市也有促销活动，小明一家去逛该超市，准备购买纸巾，根据以下素材，探索完成任务．
素材1 纸巾区域推出两种活动：活动一：购物满100元送25元券，满200元送50元券，满300元送75元券，…，上不封顶，送的券当天有效，一次性用完．
活动二：所有商品打8.5折．（注：两种活动不能同时参加）
素材2 小明家用的两种纸巾信息（超市标价）
素材3 小明家平时同时使用这两种纸巾，平均三天用1包清风牌纸巾，平均五天用1包4D溶纸巾；小明家清风牌纸巾还有1袋存货，4D溶纸巾存货不清楚.
（1）任务1 半年（按180天计算），试求出需要消耗清风牌纸巾多少袋？消耗4D溶纸巾多少箱？
（2）任务2 按存半年的量计算，还需要购买2种纸巾，其中4D溶纸巾x箱，若选择活动二，则所需的总费用为 元（用含x的代数式表示）；
（3）任务3 小明突然想起4D溶纸巾没有存货，按半年所需量，请探索送券和打折哪个更优惠？并写出探索过程.
【答案】（1）解：清风牌纸巾：（袋），
4D溶纸巾 ：（箱）
需要消耗清风牌纸巾5袋，消耗4D溶纸巾3箱；
（2）
（3）解：选择活动二更加优惠，理由：
参加活动一：①满200元送50元券， 先付 （元）
还需支付（元）， 实付（元）．
参加活动二：当时，（元）．
所以，选择活动二更加优惠．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系；求代数式值的实际应用
【解析】【解答】解：（2），
即所需的总费用为元；
故答案为：.
【分析】（1）根据题意分别计算两种纸巾需要的数量即可；
（2）分别算出两种纸巾所需费用，然后算出打折后的费用即可得解；
（3）按促销活动方案，参加活动一实付290元，参加活动二，实付289元，即可得解.
23．（2023七上·瑞安期中）
怎么做出更多的纸盒
素材1 如右图，用4个长方形纸板作侧面，1个正方形纸板作底面可以做成1个竖式无盖纸盒
素材2 如右图，用2个长方形纸板与2个正方形纸板作侧面，1个长方形纸板作底面可以做成1横式无盖纸盒
素材3 现有200张长方形纸板与100张正方形纸板
问题解决
（1）问题1 若要使做成的竖式无盖纸盒与横式无盖纸盒的数量一样多，则最多可以做成多少个无盖纸盒（两种纸盒之和）？
（2）问题2 若要使做成的竖式无盖纸盒比横式无盖纸盒多10个，则最多可以做成多少个无盖纸盒（两种纸盒之和）？
（3）问题3 若要先做出10个竖式无盖纸盒，接着再做竖式无盖纸盒或横式无盖纸盒，则最后最多可以做成 个无盖纸盒（两种纸盒之和，包括先做出的10个纸盒）？(直接写答案)
【答案】（1）解：∵竖式无盖纸盒与横式无盖纸盒的数量一样多，
∴设竖式无盖纸盒与横式无盖纸盒各做×个，
依题意得：
解得：，
要使做的纸盒数量为最多，则x应取最大，
∴当x=28时，做成的无盖纸盒最多，此时所做的最多纸盒数为：28+28=56(个)
答：要使做成的竖式无盖纸盒与横式无盖纸盒的数量一样多，则最多可以做成56个无盖纸盒；
（2）解：∵竖式无盖纸盒比横式无盖纸盒多10 个，
设横式无盖纸盒做y个，则竖式无盖纸盒做(y+1 0)个，
依题意得：
解得
要使做的纸盒数量为最多，则应取最大，
∴当x=22时，做成的无盖纸盒最多，此时所做的最多纸盒数为：22+32=54(个).
答：做成的竖式无盖纸盒比横式无盖纸盒拿个，则最多可以做成54个无盖纸盒；
（3）60
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）先做10个竖式无盖纸盒，则用去长方形纸板40张，正方形纸板10张，此时还余下长方形纸板160张，正方形纸板90 张，
设做竖式无盖纸盒a个，横式无盖纸盒b个，
由题意得
解得
即做10个竖式无盖纸盒，40个横式无盖纸盒正好把材料用完，因此所做的纸盒为最多，所做的最多纸盒数为：10+10+40=-60(个).
故答案为：60.
【分析】（1）由于竖式无盖纸盒与横式无盖纸盒的数量一样多，故设竖式无盖纸盒与横式无盖纸盒各做×个，根据所做的竖式无盖纸盒需要的长方形纸板的数量+所做的横式无盖纸盒需要的长方形纸板的数量不超过长方形纸板的总数量及所做的竖式无盖纸盒需要的正方形纸板的数量+所做的横式无盖纸盒需要的正方形纸板的数量不超过正方形纸板的总数量，列出不等式组，求出最大整数解即可；
（2）由于竖式无盖纸盒比横式无盖纸盒多10 个，设横式无盖纸盒做y个，则竖式无盖纸盒做(y+1 0)个，根据所做的竖式无盖纸盒需要的长方形纸板的数量+所做的横式无盖纸盒需要的长方形纸板的数量不超过长方形纸板的总数量及所做的竖式无盖纸盒需要的正方形纸板的数量+所做的横式无盖纸盒需要的正方形纸板的数量不超过正方形纸板的总数量，列出不等式组，求出最大整数解即可；
（3）先做10个竖式无盖纸盒，则用去长方形纸板40张，正方形纸板10张，此时还余下长方形纸板160张，正方形纸板90 张，设做竖式无盖纸盒a个，横式无盖纸盒b个，根据后来所做的竖式无盖纸盒需要的长方形纸板的数量+所做的横式无盖纸盒需要的长方形纸板的数量=160及所做的竖式无盖纸盒需要的正方形纸板的数量+所做的横式无盖纸盒需要的正方形纸板的数量=90，列出方程组，求解即可解决此题.
1 / 1精选实践探究题—2024年浙教版数学七（上）期中复习
一、有理数
1．（2023七上·诸暨期中） 符号“f”表示一种运算，它对一组数的运算如下：
，，，…
（1）利用以上运算的规律写出 ；（为正整数）
（2）计算；
（3）计算的值．
2．（2023七上·温州期中）根据以下素材，探索完成任务．
素材1：如何规划游玩路线？
温州轨道交通实行里程分段计价票制，起步价2元，可乘坐4km(含4km)，4至28km(含28km)每1元可乘4km(不足4km按1元算)．如：桐岭站到动车南站共5.3km，收费3元．部分站点距离见下图(单位：km)
素材2：一名成年乘客可免费携带一名身高不足1.2米(含1.2米)的儿童乘车，
素材3：小明一家四口将乘坐轻轨出游．小明家住在新桥站附近，家庭成员如下：小明(身高1.5米)、弟弟(身高1.1米)、爸爸、妈妈．
问题解决
（1）任务1
从新桥站到桐岭站为 km，单人单程乘坐需车费 元
（2）任务2
小明一家乘坐轻轨从新桥站到三烊湿地站，需要多少车费．
（3）任务3
小明一家从新桥站出发，计划共用30元车费出行(往返)，请你为小明一家规划一个尽可能远的游玩站点，并说明理由．
3．（2023七上·洞头期中） 素材1：每年秋天是灵昆柿子饼盛产期．小黄同学打算从灵昆寄5袋柿子饼到杭州，以每袋3千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表所示：
柿子饼袋 ① ② ③ ④ ⑤
与标准重量的差值（单位：千克） 0.1 -0.3 0 -0.1 0.2
素材2：小黄同学选择了某快递，收费标准如下：3千克以内15元（含3千克），超过1千克的部分为2元/每千克（不足1千克按1千克计）．现该快递公司提供多种寄件方式：
纸箱类型 中型纸箱 大型纸箱
可容纳袋数（袋/个） 2 4
重量（千克/个） 0.4 0.7
价格（元/个） 3 5
方案一：小黄购买了中型纸箱将重量最低的②、④柿子饼袋打包在一起，其余每小袋各自寄出．
方案二：____．
（1）【任务1】求这5袋柿子饼的总重量．
（2）【任务2】求方案一所需要的费用．
（3）【任务3】请你设计方案二，使它的费用低于方案一，并计算你的方案费用．
4．（2023七上·温州期中）根据以下素材，探索完成任务．
如何规划游玩路线？
素材1
温州轨道交通实行里程分段计价票制，起步价2元，可乘坐4km （含4km），4至28km（含28km）每1元可乘4km（不足4km按1元算）．如：桐岭站到动车南站共5.3km，收费3元．部分站点距离见下图（单位：km）
素材2
一名成年乘客可免费携带一名身高不足1.2米（含1.2米）的儿童乘车，
素材3
小明一家四口将乘坐轻轨出游．小明家住在新桥站附近，家庭成员如下：小明（身高1.5米）、弟弟（身高1.1米）、爸爸、妈妈．
问题解决
（1）任务1
从新桥站到桐岭站为 km，单人单程乘坐需车费 元
（2）任务2
小明一家乘坐轻轨从新桥站到三烊湿地站，需要多少车费．
（3）任务3
小明一家从新桥站出发，计划共用30元车费出行（往返），请你为小明一家规划一个尽可能远的游玩站点，并说明理由．
5．（2023七上·新昌期中）根据以下素材，尝试解决问题．
如何获得更高的销售额？
素材 甲菜农有筐蔬菜，每筐质量在千克左右，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图，超过千克的以元筐的价格售出，其余三筐以元千克销售，全部售出．
素材 乙菜农将蔬菜堆放在一起进行销售，售出的蔬菜质量比甲菜农少千克，其中千克以元千克销售，剩下的部分按八折全部售出．
问题解决
（1）问题1：求甲菜农售出最重的一筐蔬菜的质量．
（2）问题2：求乙菜农售出的蔬菜的总质量．
（3）问题3：甲、乙菜农的蔬菜全部售出后，比较哪一位菜农的销售额更高，高多少元？
6．（2022七上·瑞安期中）国庆期间，某超市各个区域都有促销活动，晓琳一家去逛该超市，准备购买纸巾，根据以下素材，探索完成任务．
揭秘超市促销：送券和打折哪个更优惠
素材1 纸巾区域推出两种活动： 活动一：购物满100元送30元券，满200元送60元券，...，上不封顶，送的券当天有效，一次性用完. 活动二：所有商品打8折. 注：两种活动不能同时参加.
素材2 晓琳家用的两种纸巾信息（超市标价）．
素材3 晓琳家平均三天用1包清风牌纸巾，平均五天用1包4D溶纸巾；晓琳家清风牌纸巾还有1袋存货，4D溶纸巾存货不清楚．
问题解决
任务1 半年（按180天计算），试求出需要消耗清风牌纸巾多少袋？消耗4D溶纸巾多少箱？
任务2 按存半年的量计算，还需要购买2种纸巾，其中4D溶纸巾x箱，若选择活动二，则所需的总费用为 元（用含x的代数式表示）．
任务3 晓琳突然想起4D溶纸巾没有存货，按半年所需量，请探索送券和打折哪个更优惠？并写出探索过程．
7．（2023七上·海曙期中） 类比乘方运算，我们规定：求n个相同有理数（均不为0）的商的运算叫做除方.例如，记作，读作“2的引4次商”.一般的，把记作，读作“a的引n次商”.
（1）直接写出计算结果：= ，= .
（2）归纳：负数的引正奇数次商是 数，负数的引正偶数次商是 数（填“正或负”）；
（3）计算：.
8．（2023七上·金华期中）概念学习
规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记作(-3)④，读作“-3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a÷…÷a，(n个a，a≠0)记作，读作“a的圈n次方”．
（1）初步探究：
→2④=2÷2÷2÷2=2×××=→
①直接写出计算结果：2③= ，= ；
②关于除方，下列说法错误的是
A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数n，1 =1；
C.3④=4③ D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
（2）深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
①试一试：
仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．(-3)④= ▲ ；5⑥= ▲ ；= ▲ ．
②想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ▲ ；
③算一算：122÷×-÷33．
二、数轴
9．（2023七上·浙江期中）【阅读】如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为MN．我们规定：MN的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．
【应用】请用上面的知识解答下面的问题：
如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为－16和6．
（1）求A、B两点之间的距离；
（2）若在数轴上存在一点P，使得，求点P表示的数；
（3）如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达原点O后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当时的运动时间t的值．
10．（2023七上·鄞州月考）【阅读理解】
点、、为数轴上三点，如果点在、之间且到的距离是点到的距离倍，那么我们就称点是的奇点．
例如，如图，点表示的数为，点表示的数为表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是的奇点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是的奇点，但点是的奇点．
【知识运用】
如图，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为．
（1）数 所表示的点是的奇点；数 所表示的点是的奇点；
（2）如图，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为现有一动点从点出发向左运动，到达点停止．点运动到数轴上的什么位置时，、和中恰有一个点为其余两点的奇点？
11．（2023七上·浙江月考）阅读理解：
若、、为数轴上三点，若点到的距离是点到的距离倍，我们就称点是【，】的好点．
例如，如图，点表示的数为，点表示的数为表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的好点，但点是【，】的好点．
知识运用：如图，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为．
（1）数 所表示的点是【，】的好点；
（2）如图，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止当为何值时，、和中恰有一个点为其余两点的好点？
12．（2023七上·萧山期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起了对应关系，揭示了数与点之间的内在联系
（1）操作一：
折叠纸面，若使1表示的点与-1表示的点重合，则-3表示的点与 表示的点重合；
（2）操作二：
折叠纸面，若使1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①-3表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 ， ；
（3）操作三：
在数轴上剪下9个单位长度（从-1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠（如图所示）．若得到的这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是多少？
13．（2023七上·洞头期中） 新定义学习：
【新知学习】若A，B，C是数轴上的三个点，如果点C到A的距离等于点C到B的距离，那么我们就称点C是AB的中点．例如，如图1，点A表示的数为-1，点B表示的数为3，表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是2，那么点C是AB的中点．
（1）【知识运用】
①如图2，E、F为数轴上两点，点E所表示的数为-4，点F所表示的数为2，求EF的中点所表示的数，并说明理由．
②如图3，若数所表示的点G是MN的中点，那么M表示的数为 ，N表示的数为 （只要写出符合条件的一对值即可）．
（2）【知识拓展】如图4，A，B为数轴上两点，点A所表示的数为-8，点B所表示的数为20．现有一只电子蜗牛P从点A出发，以1个单位每秒的速度向右运动；同时另一只电子蜗牛Q从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，若点M，N分别是AP和BQ的中点，则在P，Q的运动过程中，当t＝ 秒时，M，N点到原点的距离相等（请直接写出答案）．
14．（2022七上·杭州期中）阅读理解：
若、、为数轴上三点，若点到的距离是点到的距离倍，我们就称点是【，】的好点．
例如，如图，点表示的数为，点表示的数为表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的好点，但点是【，】的好点．
知识运用：如图，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为．
（1）数 所表示的点是【，】的好点；
（2）如图，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止当为何值时，、和中恰有一个点为其余两点的好点？
15．（2022七上·杭州月考）【方法感悟】阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为.如图1，从数轴上看，若点A，B表示的分别是1，4则或；
若点A，B表示的数分别是，4则或；
若点A，B表示的数分别是，，则或．
【归纳】若点A，B表示的数分别是，则或．
【知识迁移】
（1）如图1，点A，B表示的数分别是，b且，则 ；
（2）如图2，点A，B表示的数分别是，，若把向左平移个单位，则点A与重合，若把向右平移个单位，则点B与70重合，那么 ， ；
（3）【拓展应用】
一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，请问村长爷爷现在到底是多少岁？美羊羊现在又是几岁？请写出解题思路.
（4）结合几何意义，求最小值.
三、实数
16．（2023七上·余姚期中）教材上有这样一个合作学习活动：如图1，依次连结2×2方格四条边的中点A，B，C，D，得到一个阴影正方形．设每一小方格的边长为1，得到阴影正方形面积为2．
（1）【基础尝试】：
发现图1这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是 ，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法；
（2）【画图探究】：
如图2，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于M，N两点，则点M表示的数为 ；
（3）【问题解决】：
如图3，3×3网格是由9个边长为1的小方格组成．
①画出面积是5的正方形，使它的顶点在网络的格点上；
②请借鉴（2）中的方法在数轴上找到表示实数的准确位置．（保留作图痕迹并标出必要线段长）
17．（2023七上·杭州月考）如图①，把两个边长为的小正方形沿对角线剪开，所得的个直角三角形拼成一个面积为的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
（1）图②中、两点表示的数分别为 ， ；
（2）请你参照上面的方法：
把图③中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图③中画出裁剪线，并在图④的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长 ▲ ．（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙）
18．（2023七上·期中）如图，有这样一个探究：把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为2的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题：
（1）所得到的面积为2的大正方形的边长就是原边长为1的小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为 ；
（2）由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如下图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为 ；
（3）通过动手操作，漠子同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图所示的正方形．请借鉴（2）中的方法在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹并标出必要线段长）
19．（2023七上·义乌期中）阅读下列信息材料：
信息1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：π、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确；
信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.5﹣2得来的；
信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如2＜＜3，是因为；
根据上述信息，回答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）8+也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜8+＜b则a+b＝ ；
（3）若－2＝a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，请求2a-b的相反数．
20．（2023七上·余姚期中）教材上有这样一个合作学习活动：如图1，依次连结2×2方格四条边的中点A，B，C，D，得到一个阴影正方形．设每一小方格的边长为1，得到阴影正方形面积为2．
（1）【基础尝试】
发现图1这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是 ，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法；
（2）【画图探究】
如图2，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于M，N两点，则点M表示的数为 ；
（3）【问题解决】
如图3，3×3网格是由9个边长为1的小方格组成．
①画出面积是5的正方形，使它的顶点在网络的格点上；
②请借鉴（2）中的方法在数轴上找到表示实数的准确位置．(保留作图痕迹并标出必要线段长)
四、一元一次方程
21．（2023七上·椒江月考）请阅读下列材料，并完成相应任务．
如图1，公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，称为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割是指把一条线段分割成两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值．如图2，在线段上找一点，把线段分成和两段，其中是较短的一段．如果，那么称线段被点黄金分割，叫做线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割数，约为，即，．
完成以下任务：
（1）如图2，线段被点黄金分割．若长为，求的长；（结果保留小数点后一位）
（2）如图3，一根一侧烧毁的木棒工件（粗度不计），在它的两个黄金分割点，处钻有小孔．若量得，间的距离约为，求木棒的原长度．
22．（2024七上·柯桥期中）每年“双十一”购物节，商家都会利用这个契机进行促销活动.今年某超市也有促销活动，小明一家去逛该超市，准备购买纸巾，根据以下素材，探索完成任务．
素材1 纸巾区域推出两种活动：活动一：购物满100元送25元券，满200元送50元券，满300元送75元券，…，上不封顶，送的券当天有效，一次性用完．
活动二：所有商品打8.5折．（注：两种活动不能同时参加）
素材2 小明家用的两种纸巾信息（超市标价）
素材3 小明家平时同时使用这两种纸巾，平均三天用1包清风牌纸巾，平均五天用1包4D溶纸巾；小明家清风牌纸巾还有1袋存货，4D溶纸巾存货不清楚.
（1）任务1 半年（按180天计算），试求出需要消耗清风牌纸巾多少袋？消耗4D溶纸巾多少箱？
（2）任务2 按存半年的量计算，还需要购买2种纸巾，其中4D溶纸巾x箱，若选择活动二，则所需的总费用为 元（用含x的代数式表示）；
（3）任务3 小明突然想起4D溶纸巾没有存货，按半年所需量，请探索送券和打折哪个更优惠？并写出探索过程.
23．（2023七上·瑞安期中）
怎么做出更多的纸盒
素材1 如右图，用4个长方形纸板作侧面，1个正方形纸板作底面可以做成1个竖式无盖纸盒
素材2 如右图，用2个长方形纸板与2个正方形纸板作侧面，1个长方形纸板作底面可以做成1横式无盖纸盒
素材3 现有200张长方形纸板与100张正方形纸板
问题解决
（1）问题1 若要使做成的竖式无盖纸盒与横式无盖纸盒的数量一样多，则最多可以做成多少个无盖纸盒（两种纸盒之和）？
（2）问题2 若要使做成的竖式无盖纸盒比横式无盖纸盒多10个，则最多可以做成多少个无盖纸盒（两种纸盒之和）？
（3）问题3 若要先做出10个竖式无盖纸盒，接着再做竖式无盖纸盒或横式无盖纸盒，则最后最多可以做成 个无盖纸盒（两种纸盒之和，包括先做出的10个纸盒）？(直接写答案)
答案解析部分
1．【答案】（1）
（2）解：∵，，，，，
∴；
（3）解：．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：（1）观察题干给出的几个例子得；
故答案为：；
【分析】（1）观察题干给出的几个等式，找出规律，可直接写出答案；
（2）根据题干给出的方法首先算出f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、f(5)，再根据有理数的乘法法则计算可得答案；
（3）根据题干给出的方法首先算出f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、f(5)……f(100)，再根据有理数的乘法法则算出它们的积，最后再求积的算术平方根即可.
2．【答案】（1）10.8；4
（2）解：从新桥站到三烊湿地站里程为：2.2+1.9+2.7+2.0=8.8(km)
需要车费为：(2+2)×3=12元；
（3）解：单程为15元，由于弟弟乘车免费，故一家三口每人5元，
∵起步价2元乘坐4km，
∴3元可乘3×4=12km，
∴最远可行16km，
∵向桐岭方向为10.8km，
∴向瑶溪方向，2.2+1.9+2.7+2.0+5.1+2.0=15.9km，
∴最远游玩站点为科技城.
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：（1）从新桥站到桐岭站为：5.5+3.1+2.2=10.8km，
单人单程乘坐需车费为：2+1+1=4元，
故答案为：10.8；4；
【分析】（1）根据所给素材1列式进行计算，即可得出答案；
（2）根据题意弟弟免费乘车，其他三人按照里程数进行计算，即可得出答案；
（3）根据题意得出单程为15元，由于弟弟乘车免费，故一家三口每人5元，最远可行16km，然后进行判断，即可得出答案.
3．【答案】（1）解：0.1+（-0.3）+0+（-0.1）+0.2＝-0.1（kg），
5×3+（-0.1）＝14.9（kg），
答：这5袋柿子饼的总重量为14.9 kg；
（2）解：②、④打包后重量：（-0.3）+（-0.1）+2×3+0.4＝6（kg），
②、④邮寄需要的费用：15+3×2+3＝24（元），
③邮寄需要的费用：15元，
①邮寄需要的费用：15+2＝17元，
⑤邮寄需要的费用：15+2＝17元，
总费用为：17+24+15+17=73（元），
答：方案一所需要的费用为73元；
（3）解：答案不唯一，如下：
方案Ⅰ：
购买大纸箱，将①、②、④、⑤打包在一起，③单独寄出，
①、②、④、⑤打包后重量：0.1+（-0.3）+（-0.1）+0.2+4×3+0.7＝12.6（kg）；
①、②、④、⑤邮寄需要的费用：15+10×2+5＝40（元），
③邮寄需要的费用：15元；
邮寄需要的总费用：40+15=55（元）；
方案Ⅱ：
购买2个中纸箱，分别将①④、②⑤打包，③单独寄出，
费用为：①④打包后重量为：0.1+（-0.1）+2×3+0.4＝6.4（kg），
②⑤打包后重量为：（-0.3）+0.2+2×3+0.4＝6.3（kg），
①④邮寄需要的费用：15+4×2+3＝26（元），
②⑤邮寄需要的费用：15+4×2+3＝26（元），
③邮寄需要的费用：15（元）；
邮寄的总费用为：26+25+15=67（元）；
方案Ⅲ：
购买2个中纸箱，分别将②④、①⑤打包，③单独寄出，
费用为：①⑤打包后重量为：0.1+0.2+2×3+0.4＝6.7（kg）；
②④打包后重量为：（-0.3）+（-0.1）+2×3+0.4＝6（kg）；
①⑤邮寄需要的费用：15+4×2+3＝26（元），
②④邮寄需要的费用：15+3×2+3＝24（元），
③邮寄需要的费用：15元，
邮寄的总费用为：26+24+15=65（元）.
故选方案Ⅰ.
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）根据正负数的意义，列式计算即可；
（2）根据题意， 分别计算② ④一起邮寄的费用， 其余每小袋各自寄邮寄的费用，然后求和即可；
（3）根据题意设计不同的方案： 方案Ⅰ： 购买大纸箱，将①、②、④、⑤打包在一起，③单独寄出；方案Ⅱ：购买2个中纸箱，分别将①④、②⑤打包，③单独寄出，方案Ⅲ：购买2个中纸箱，分别将②④、①⑤打包，③单独寄出，分别计算出每种方案的费用，选择费用小于方案一费用的方案，即可得解.
4．【答案】（1）10.8；4
（2）解：从新桥站到三烊湿地站里程为：2.2+1.9+2.7+2.0=8.8km，
需要车费为：（2+1+1）×3=12元；
（3）解：单程为15元，由于弟弟乘车免费，故一家三口每人5元，
∵起步价2元乘坐4km，
∴3元可乘3×4=12km，
∴最远可行16km，
∵向桐岭方向为10.8km，
∴向瑶溪方向，2.2+1.9+2.7+2.0+5.1+2.0=15.9km，
∴最远游玩站点为科技城.
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：（1）从新桥站到桐岭站为：5.5+3.1+2.2=10.8km，
单人单程乘坐需车费为：2+1+1=4元，
故答案为：10.8；4；
【分析】（1）根据所给素材1列式进行计算，即可得出答案；
（2）根据题意弟弟免费乘车，其他三人按照里程数进行计算，即可得出答案；
（3）根据题意得出单程为15元，由于弟弟乘车免费，故一家三口每人5元，最远可行16km，然后进行判断，即可得出答案.
5．【答案】（1）解：20+(+3)= 23(千克)，
答：甲菜农售出最重的一筐蔬菜的质量为23千克；
（2）解：[(-1)+(+3) +(-2.5)+(-0.5)+(+1)+(+2)]+20x6-20= 2+120-20=102(千克)，
答：乙菜农售出的蔬菜的总质量为102千克；
（3）解：甲菜农的销售额为：170×3+9×［(-1）+(-2.5)+(-0.5)+20×3)］
=510+504=1014(元)，
乙菜农的销售额为：
80×10+(102-80)×10×0.8=800+22×10×0.8=800+176=976(元)，
1014-976=38(元)，
答：甲菜农的销售额更高，高38元
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）分析数据，用标准量加上超过的千克数中得最大值，根据有理数得加法即可计算；
（2）根据乙菜农售出的蔬菜质量比甲菜农少千克，用甲菜农总的质量（20 2-20）加上超出和不足得部分质量之和即可得到乙菜农售出蔬菜得总质量；
（3）根据售出的价格分别计算甲、乙菜农得总销售额，再比较销售额得大小即可.
6．【答案】任务1
解：80÷3=60（包）60÷12=5（袋）
180÷5=36（包）36÷12=3（箱）
答：需要消耗清风牌纸巾5袋，消耗4D溶纸巾3箱．
任务2
(128+ 48x)
任务3
∵清风牌纸巾已有存货1袋，
∴半年所需量要再购进4袋清风牌纸巾和3箱4D溶纸巾．
参加活动一：返券情况
①满200元送60元券，40+40+60+60=200（元）
还需支付40+40+60-60=80(元)
实付200+80=280（元）.
②满300元送90元券，40+60+40+60+40+60=300（元）
90＞40，无需再支付，实付300（元）.
参加活动二：当x=3时，48x+128=48×3+128=272（元）.
因为272＜300
所以，选择活动二更加优惠.
【知识点】有理数混合运算的实际应用；求代数式值的实际应用
【解析】【解答】解：任务2
清风纸巾40×(5- 1)= 160，
4D纸巾60x，
(160+ 60x)× 80%- ( 128 + 48x)元，
故答案为： (128+ 48x).
【分析】任务1 根据晓琳家平均三天用1包清风牌纸巾，平均五天用1包4D溶纸巾进行计算即可.
任务2 根据活动二的优惠条件进行列式计算即可.
任务3 根据两种活动的优惠条件分别进行计算，然后比较大小即可.
7．【答案】（1）4；
（2）负；正
（3）解：
【知识点】定义新运算；有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解：（1） =，
=；
故答案为：4；；
（2）根据除方的定义可得，负数的引正奇数次商是负数，负数的引正偶数次商是正数；
故答案为：负；正；
（3），
，
，
，
.
【分析】（1）根据除方的定义计算即可；
（2）由除方的定义得出结论；
（3）根据除方的定义进行计算.
8．【答案】（1）；-8；C
（2）解：①；；；
②；
③ 122÷×-÷33，
=122÷×-÷33，
=144÷9×(-8)-81÷27，
=-128-3，
=-131，
【知识点】定义新运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：（1） ①2③= 2÷2÷2=， =÷÷÷÷=××××==-8；
故答案为：，-8；
②3④=3÷3÷3÷3=3×××=，
4③=4÷4÷4=4××=，3④≠4③，
故答案为：C；
（2） ①=；
；
；
故答案为：；；；
②；
故答案为：；
【分析】（1）根据除法运算直接计算即可；根据运算规律，判断每个选项即可；
（2）一个非零有理数a的圈n次方等于a的倒数的（n-2）次方，按此规律即可求得；根据圈a的运算规定，按照有理数的运算顺序、运算法则计算即可.
9．【答案】（1）解：
（2）解：当在点左边时，，，
∴点表示的数为 ，
当在线段上，，，
∴点表示的数为，
∴点表示的数为或
（3）解：当时，点Q从B向O运动，
，解得．
当时，Q从O向B运动，点P位于O的左侧，
，解得．
当时，Q从O向B运动，点P位于O的右侧，
，解得（舍去）
t的值为：2或．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【分析】（）根据两点间的距离公式即可求出、两点之间的距离；
（）分情况讨论：当在点左边时，当在线段上，根据，求解即可；
（3）分情况讨论：当时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动；
当时，Q从O向B运动，点P位于O的左侧，当时，Q从O向B运动，点P位于O的右侧，根据，列出关于的方程，解方程即可.
10．【答案】（1）3；-1
（2）解：，
，
，
，
故点运动到数轴上的或位置时，、和中恰有一个点为其余两点的奇点．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；定义新运算；含括号的有理数混合运算
【解析】【解答】解：（1）∵
∴3所表示的点是的奇点； -1所表示的点是的奇点，
故答案为：3，-1.
【分析】（1）根据题意得：奇点表示的数到中，前面的点M是到后面的数N的距离的三倍，奇点表示的数到，前面的点N是到后面的数M的距离的三倍，进而即可求解；
（2）点A到点B的距离为6，由奇点的定义列式计算，即可求解.
11．【答案】（1）2或
（2）解：设点表示的数为，分四种情况：
为【，】的好点．
由题意，得，
解得，
秒；
为【，】的好点．
由题意，得，
解得，
秒；
为【，】的好点．
由题意，得，
解得，
秒；
为【，】的好点
由题意得
解得舍．
为【，】的好点
，
．
综上可知，当为秒、秒或秒时，、和中恰有一个点为其余两点的好点．
故答案为：或或．
【知识点】一元一次方程的其他应用；数轴上两点之间的距离；数轴的动点往返运动模型
12．【答案】（1）3
（2）7；-2.5；6.5
（3）解：设折痕处对应的点所表示的数是x，
如图1，当AB：BC：CD＝1：1：2时，
设AB＝a，BC＝a，则CD=2a
a+a+2a＝9，
a＝，
∴AB＝，BC＝，CD=，
x＝-1++＝；
如图2，当AB：BC：CD＝1：2：1时，
设AB＝a，BC＝2a，CD=a
a+a+2a＝9，
a＝，
∴AB＝，BC＝，CD=，
x＝-1++＝；
如图3，当AB：BC：CD＝2：1：1时，
设AB＝2a，BC＝a，CD=a，
2a+a+a＝9，
a＝，
∴AB＝，BC＝CD＝，
x＝-1++＝，
综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离；数轴的折叠（翻折）模型
【解析】【解答】解：（1）∵ 折叠纸面，若使1表示的点与-1表示的点重合，
∴折痕为原点O，
∴-3表示的点与3表示的点重合；
故答案为：3；
（2）∵ 折叠纸面，若使1表示的点与3表示的点重合，
∴折痕处点表示的数为2，
①∵-3表示的点与2所表示的点的距离为5，
∴与-3表示的点重合的点所表示的数为2+5=7；
故答案为：7；
②∵ 数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，
∴A、B两点距离折痕处的点的距离为4.5，
∵折痕处点表示的数为2，
∴点A所表示的数为2-4.5=-2.5，点B所表示的数为2+4.5=6.5；
故答案为：-2.5；6.5；
【分析】（1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出-3与3重合；
（2）根据对称性找到折痕的点为2，①-3表示的点与2所表示的点的距离为5，根据对称性可找出与-3表示的点重合的点所表示的数；
②由于AB=9，所以A到折痕的点距离为4.5，因为折痕对应的点为2，由此得出A、B两点表示的数；
（3）设折痕处对应的点所表示的数是x，分类讨论：如图1，当AB∶BC∶CD=1∶1∶2时，所以设AB=a，BC=a，CD=2a，得a+a+2a=9，求解得出a的值，进而可得AB、BC、CD的值，计算可得x的值；同理，如图2，当AB：BC：CD＝1：2：1时，如图3，当AB：BC：CD＝2：1：1时，求解可得x对应的值，综上可得答案.
13．【答案】（1）解：①E、F中点为，
理由：表示-1的点到表示-4的点和2的点距离都是3；
②1，2-1（答案不唯一）
（2）24或
【知识点】无理数在数轴上表示；一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1） ② 若M表示的数为1，设N点表示的数为x，根据中点公式可得，解得，即N点表示的数为.
故答案为：1，.
（2）由题意得：P点表示的数为，点Q表示的数为20-2t，点M，N分别是AP和BQ的中点，根据中点公式可得：M点表示的数为，N点表示的数为，
①M，N点在原点的同侧，，解得；
②M，N点在原点的异侧，，解得.
综上所述：t的值为24或时 ，M，N点到原点的距离相等.
【分析】（1）①利用中点公式求解即可；②根据中点公式结合中点定义，求出m、n即可；
（3）由题意，表示出M、N表示的数，分①M，N点在原点的同侧，②M，N点在原点的异侧，分别列方程求解即可．
14．【答案】（1）2或10
（2）解：设点表示的数为，分四种情况：
为【，】的好点．
由题意，得，
解得，
秒；
为【，】的好点．
由题意，得，
解得，
秒；
为【，】的好点．
由题意，得，
解得，
秒；
为【，】的好点
由题意得
解得舍．
为【，】的好点
，
．
综上可知，当为秒、秒或秒时，、和中恰有一个点为其余两点的好点．
故答案为：或．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】 （1）设所求数为x，根据“好点的定义”列出方程求解；
（2）根据“好点的定义”分四种情况讨论：①P为【A，B】的好点；②A为【B，P】的好点；③P为【B，A】的好点；④A为【P，B】的好点．⑤B为【A，P】的好点.设点P表示的数为y，根据“好点的定义”列方程求解．
15．【答案】（1）或
（2） 10；30
（3）解：设美羊羊现在x岁为数轴上的一个点，现在爷爷年龄y岁为数轴上的一个点，40年前在数轴上表示的数为，村长爷爷116岁时，在数轴行的点表示的数为116，村长爷爷与美羊羊的年龄差为m，根据题意得：
，，，
∴，
∴，
，
答：村长爷爷现在64岁，美羊羊现在12岁．
（4）解：∵表示数轴上表示x的点与表示数1、2、3、4、5的距离和，
∴当时，的值最小，
∴，
∴的最小值为6
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；三元一次方程组解法及应用；线段上的两点间的距离
【解析】【解答】解：（1）∵点A，B表示的数分别是，b，
∴，
解得或，
故答案为：或；
（2）∵把向左平移个单位，则点A与重合，若把向右平移个单位，则点B与70重合，
∴把向右平移个单位得到，把向右平移个单位得到，向右平移个单位得到70，
∴，
∴，，
故答案为： 10，30；
【分析】（1）根据两点间的距离公式可得AB=，解方程即可；
（2）由题意知把向右平移个单位得到，把向右平移个单位得到，向右平移个单位得到70，可得 =40，利用两点间的距离求解即可；
（3） 设美羊羊现在x岁为数轴上的一个点，现在爷爷年龄y岁为数轴上的一个点，40年前在数轴上表示的数为，村长爷爷116岁时，在数轴行的点表示的数为116，村长爷爷与美羊羊的年龄差为m， 由题意可得解方程组即可；
（4）由绝对值的几何意义可知当时原式的值最小，据此解答即可.
16．【答案】（1）
（2）1-
（3）解：①∵大正方形的面积是5，
∴小正方形的对角线长为，
如图所示：
②如图，则点c为所要求做的点．
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解（1）∵面积为2的大正方形就是原先边长为1的小正方形的对角线长，
∴小正方形的对角线长等于大正方形面积的算术平方根，
即
故答案为：；
（2）如图，小正方形的对角线长为，
∴原点与M之间的距离为-1，
∴点M表示的数为1-，
故答案为：1-；
【分析】（1）根据小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，可得小正方形的对角线长；
（2）由图2中小正方形对角线长为，原点与A之间的距离为，可得到A点表示的数为；
（3）由大正方形的面积为5，得小长方形的对角线长为，然后在数轴上找到表示的点即可.
17．【答案】（1）；
（2）．
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）根据勾股定理得，正方形的对角线==，
所以，A、B表示的数分别为-，；
（2）解：长方形面积为5，
正方形边长为，如图所示：
故答案为：
【分析】（1）根据勾股定理即可就得；
（2）参照（1）的方法可得大正方形的边长为，而=即可求得裁缝线.
18．【答案】（1）
（2）
（3）解：∵大正方形的面积为5，
∴正方形的边长为，
∵小长方形的对角线作了大正方形的边长，
∴小长方形的对角线长为，
如图所示，
以数字-1所在的点为圆心，小长方形的对角线为半径画弧，与数轴交于点P，则点P表示的数为．
【知识点】无理数在数轴上表示；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：（1）∵面积为2的大正方形的边长为：，由图可知所得到的面积为2的大正方形的边长就是原边长为1的小正方形的对角线长，
∴ 小正方形的对角线长为；
故答案为：；
（2）由（1）可得该正方形对角线的长为，
∴点A到表示数1的点的距离为，
∴点A到原点得距离为，
又∵点A在原点得左边，
∴点A所表示的数为；
故答案为：；
【分析】（1）正方性的面积等于边长的平方可得边长就是面积的算术平方根，据此可得正方形的边长，也就是小正方形的对角线长；
（2）由（1）的方法得该正方形对角线的长为，进而找到点A到表示数1的点的距离及点A到原点得距离，最后结合数轴上的点所表示数的特点可得点A所表示的数；
（3）由（1）的方法得小长方形的对角线长为， 以数字-1所在的点为圆心，小长方形的对角线为半径画弧，与数轴交于点P，利用（2）的方法找到点与原点得距离，最后结合数轴上的点所表示数的特点可得点P所表示的数.
19．【答案】（1）4；
（2）19
（3）解：6＜＜7，
∴6-2＜＜7-2，
即4＜-2＜5，
∴的整数部分为4，小数部分为=，
∴a=4，b=，
∴2a-b=14-，
∴2a-b相反数为.
【知识点】无理数的估值；实数的相反数
【解析】【解答】解：（1）3＜＜4，
∴的整数部分为3，小数部分为-3．
故答案为：3，-3；
（2）1＜＜2，
∴8+1＜＜8+2，
即9＜10+＜10，
∴a=9，b=10，
∴a+b=19．
故答案为：19；
【分析】（1）先估算在哪两个整数之间，即可确定的整数部分和小数部分；
（2）先估算出的整数部分，再利用不等式的性质即可确定答案；
（3）先求出的整数部分，的整数部分为4，小数部分为=，所以a=4，b=，再计算求解即可.
20．【答案】（1）
（2）
（3）解：①∵正方形的面积为5
∴其边长为，
∴所求正方形如下图：
② 如图点C就是的位置．
理由如下：∵小长方形对角线为：
以数字-1所在的点为圆心，长方形的对角线为半径画弧，与数轴交于C，
∴点C表示的数就是.
【知识点】算术平方根；无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：（1）∵面积为2的正方形的边长就是小方格的对角线长，
∴小方格对角线长为大正方形的面积的算术平方根，即
故答案为：；
（2）∵图2中小正方形的对角线长为，
∴原点与点M之间的距离为：
∴点M表示的数为：
故答案为：；
【分析】（1）根据"小方格的对角线长为大正方形的面积的算术平方根"，据此即可求解；
（2）根据图2中小正方形的对角线长为，得到原点与点M之间的距离，进而可求出点M所表示的数；
（3）①根据正方形的面积为5，得到其边长为，据此即可画出正方形；
②以数字-1所在的点为圆心，长方形的对角线为半径画弧，与数轴交于C，在数轴上表示出的点即可.
21．【答案】（1）
（2）木棒的原长度为．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
22．【答案】（1）解：清风牌纸巾：（袋），
4D溶纸巾 ：（箱）
需要消耗清风牌纸巾5袋，消耗4D溶纸巾3箱；
（2）
（3）解：选择活动二更加优惠，理由：
参加活动一：①满200元送50元券， 先付 （元）
还需支付（元）， 实付（元）．
参加活动二：当时，（元）．
所以，选择活动二更加优惠．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系；求代数式值的实际应用
【解析】【解答】解：（2），
即所需的总费用为元；
故答案为：.
【分析】（1）根据题意分别计算两种纸巾需要的数量即可；
（2）分别算出两种纸巾所需费用，然后算出打折后的费用即可得解；
（3）按促销活动方案，参加活动一实付290元，参加活动二，实付289元，即可得解.
23．【答案】（1）解：∵竖式无盖纸盒与横式无盖纸盒的数量一样多，
∴设竖式无盖纸盒与横式无盖纸盒各做×个，
依题意得：
解得：，
要使做的纸盒数量为最多，则x应取最大，
∴当x=28时，做成的无盖纸盒最多，此时所做的最多纸盒数为：28+28=56(个)
答：要使做成的竖式无盖纸盒与横式无盖纸盒的数量一样多，则最多可以做成56个无盖纸盒；
（2）解：∵竖式无盖纸盒比横式无盖纸盒多10 个，
设横式无盖纸盒做y个，则竖式无盖纸盒做(y+1 0)个，
依题意得：
解得
要使做的纸盒数量为最多，则应取最大，
∴当x=22时，做成的无盖纸盒最多，此时所做的最多纸盒数为：22+32=54(个).
答：做成的竖式无盖纸盒比横式无盖纸盒拿个，则最多可以做成54个无盖纸盒；
（3）60
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）先做10个竖式无盖纸盒，则用去长方形纸板40张，正方形纸板10张，此时还余下长方形纸板160张，正方形纸板90 张，
设做竖式无盖纸盒a个，横式无盖纸盒b个，
由题意得
解得
即做10个竖式无盖纸盒，40个横式无盖纸盒正好把材料用完，因此所做的纸盒为最多，所做的最多纸盒数为：10+10+40=-60(个).
故答案为：60.
【分析】（1）由于竖式无盖纸盒与横式无盖纸盒的数量一样多，故设竖式无盖纸盒与横式无盖纸盒各做×个，根据所做的竖式无盖纸盒需要的长方形纸板的数量+所做的横式无盖纸盒需要的长方形纸板的数量不超过长方形纸板的总数量及所做的竖式无盖纸盒需要的正方形纸板的数量+所做的横式无盖纸盒需要的正方形纸板的数量不超过正方形纸板的总数量，列出不等式组，求出最大整数解即可；
（2）由于竖式无盖纸盒比横式无盖纸盒多10 个，设横式无盖纸盒做y个，则竖式无盖纸盒做(y+1 0)个，根据所做的竖式无盖纸盒需要的长方形纸板的数量+所做的横式无盖纸盒需要的长方形纸板的数量不超过长方形纸板的总数量及所做的竖式无盖纸盒需要的正方形纸板的数量+所做的横式无盖纸盒需要的正方形纸板的数量不超过正方形纸板的总数量，列出不等式组，求出最大整数解即可；
（3）先做10个竖式无盖纸盒，则用去长方形纸板40张，正方形纸板10张，此时还余下长方形纸板160张，正方形纸板90 张，设做竖式无盖纸盒a个，横式无盖纸盒b个，根据后来所做的竖式无盖纸盒需要的长方形纸板的数量+所做的横式无盖纸盒需要的长方形纸板的数量=160及所做的竖式无盖纸盒需要的正方形纸板的数量+所做的横式无盖纸盒需要的正方形纸板的数量=90，列出方程组，求解即可解决此题.
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