精选新定义型题—2024年浙教版数学七（上）期中复习
一、有理数
1．（2023七上·瑞安期中）小聪同学与小明同学约定了一种新运算：a△b=ab-ab．小聪同学尝试计算2△4=24-2×4=8，现在请小明同学计算(-4)△2= ．
2．（2023七上·吴兴期中）已知x，y为有理数，如果规定一种运算“*”，即x*y＝xy+1，试根据这种运算完成下列各题．
（1）求2*4；
（2）求（2*5）*（﹣3）；
（3）任意选择两个有理数x，y，分别计算x*y和y*x，并比较两个运算结果，你有何发现？
3．（2023七上·义乌月考）正整数n小于50，并且满足等式，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如：[1.5]＝1，[2]＝2，则满足等式的正整数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
4．（2022七上·台州月考）设[a]是有理数，用[a]表示不超过a的最大整数，如[1.7]＝1，[﹣1]＝﹣1，[0]＝0，[﹣1.2]＝﹣2，则在以下四个结论中，正确的是（ ）
A．[a]+[﹣a]＝0 B．[a]+[﹣a]=0或﹣1
C．[a]+[﹣a]≠0 D．[a]+[﹣a]=0或1
5．（2022七上·海曙期中）对于任何有理数，我们规定符号的意义是，如当时，值为 .
6．（2021七上·温州期中）若“！”是一种数学运算符号，并且1!=1， 2!=2 1=2， 3!=3 2 1=6，……，则 的值为（ ）
A． B．99！ C．9900 D． 2！
7．（2023七上·兰溪月考）【概念学习】
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地把写作a的圈n次方读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：_________；_________；
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：_________，_________．
（3）算-算：．
8．（2023七上·诸暨期中） 小尚同学与小志同学约定了一种新运算：对于任意有理数和，规定．小尚同学尝试计算，现在请小志同学计算 ．
9．（2023七上·期中）定义新运算“*”，规定，则的值为（ ）
A．6 B． C． D．18
10．（2023七上·仙居期中）规定如下两种运算：；．例如：；．若的值为79，则
11．（2023七上·海曙期中）定义一种新运算，，例如：，则的值是 。
12．（2023七上·衢江期中）定义一种运算“”：，则 ， ．
13．（2023七上·期中） 规定一种运算：，例如，则 的值为（ ）
A．-10 B．6 C． D．10
14．（2023七上·海曙期中）小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：，例如，试求的值为 ．
15．（2022七上·海曙期中）对于实数， 定义的含义为∶ 当时，；当时，，例如∶.已知，且和为两个连续正整数，则的值为 .
16．（2021七上·嘉兴期末）定义一种新运算： ，则 .
17．（2023七上·浙江期中）对于实数，我们规定[x]表示不大于的最大整数，如.对数99进行如下操作：=1，这样对数99只需进行3次操作后变成1，类似地，使数520变为1需要进行操作的次数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
18．（2023七上·海曙期中） 类比乘方运算，我们规定：求n个相同有理数（均不为0）的商的运算叫做除方.例如，记作，读作“2的引4次商”.一般的，把记作，读作“a的引n次商”.
（1）直接写出计算结果：= ，= .
（2）归纳：负数的引正奇数次商是 数，负数的引正偶数次商是 数（填“正或负”）；
（3）计算：.
19．（2023七上·金华期中）概念学习
规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记作(-3)④，读作“-3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a÷…÷a，(n个a，a≠0)记作，读作“a的圈n次方”．
（1）初步探究：
→2④=2÷2÷2÷2=2×××=→
①直接写出计算结果：2③= ，= ；
②关于除方，下列说法错误的是
A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数n，1 =1；
C.3④=4③ D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
（2）深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
①试一试：
仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．(-3)④= ▲ ；5⑥= ▲ ；= ▲ ．
②想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ▲ ；
③算一算：122÷×-÷33．
20．（2023七上·金华期中）观察下列两个等式：
2×＝22－2×－2，
4×＝42－2×－2，
给出如下定义：我们称使等式ab＝a2－2b－2成立的一对有理数a，b为“方差有理数对”，记做(a，b)，如：，都是“方差有理数对”．
（1）判断数对(－1，－1)是否为“方差有理数对”，并说明理由．
（2）若(m，2)是“方差有理数对”，求－6m－3[m2－2(2m－1)]的值．
二、数轴
21．（2023七上·镇海区期中）阅读信息：
信息一：的几何意义是x与y两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如的几何意义是3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
信息二：对于有理数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“双倍关系值”为d．例如，，则6和3关于1的“双倍关系值”为5．
根据以上信息回答下列问题：
（1）和5关于2的“双倍关系值”为______．
（2）若a和3关于1的“双倍关系值”为4，求a的值；
（3）若和关于1的“双倍关系值”为2，和关于2的“双倍关系值”为2，和关于3的“双倍关系值”为2，…，和关于21的“双倍关系值”为2．
①的最大值为______；
②的值为______（用含的式子表示）．
22．（2023七上·温岭期中）阅读下列材料：
我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离的2倍，则称点M为点A与点B的“亚运点”．其中在A，B之间的点M为点A与点B的“亚运@未来点”
解答下列问题：
（1）若点A表示的数为-5，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“亚运点”，则点M表示的数为 ；
（2）若A、B两点的“亚运点”M表示的数为2，且A、B两点的距离为9（A在B的左侧），则点A表示的数为 ，
（3）点A表示的数为-6，点C，D表示的数分别是-2，0，点O为数轴原点（与静止时的D点重合），点B为线段CD上一点（点B可以与点C与点D重合）．
①设点M表示的数为m，若点M可以为点A与点B的“亚运@未来点”，则m可取得整数有 ；
②若点A和点D同时以每秒2个单位长度的速度向数轴正半轴方向移动．设移动的时间为t（t＞0）秒，当t的整数值为 时，点O可以为点A与点B的“亚运@未来点”．
23．（2023七上·浙江期中）对于数轴上的点M，N，给出如下定义：若点M到点N的距离为d(d≥0)，则称d为点M到点N的追击值，记作d[MN].例如，在数轴上点M表示的数是6，点N表示的数是2，则点M到点N的追击值d[MN]=4.
（1）若点P，Q都在数轴上，点Р表示的数是1，且点Р到点Q的追击值d[PQ]=a，则点Q表示的数是 (用含a的代数式表示).
（2）如图，若点F从数-1出发，点G从数2出发，沿着数轴正方向同时移动，点F的速度为每秒4个单位，点G的速度为每秒1个单位，设运动时间为t秒(t≥0).求当t为何值时，点F到点G的追击值d[FG]=2.
（3）若点A从数1出发，点B从数4出发，点E从数6出发，沿着数轴正方向同时移动，点A的速度为每秒4个单位，点B的速度为每秒1个单位，点E的速度为每秒4个单位，设运动时间为t秒(t≥0)，请探究d[AB]与d[BE]之间的数量关系.
24．（2023七上·临海期中）阅读以下材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“雅中点”．解答下列问题：
（1）若点A表示的数为，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“雅中点”，则点M表示的数为 ；
（2）若A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，A、B两点的距离为9（A在B的左侧），则点A表示的数为 ，点B表示的数为 ；
（3）点A表示的数为，点O为数轴原点，点C，D表示的数分别是，，且B为线段上一点（点B可与C、D两点重合）．
①设点M表示的数为，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，则m可取得整数有 ；
②若点C和点D向数轴正半轴方向移动相同距离，使得点O可以为点A与点B的“雅中点”，则n的所有整数值为 ．
三、实数
25．（2021七上·青田期中）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，①对81只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
26．（2023七上·浙江期中）已知x，y为有理数，如果规定一种运算“@”，即x@y＝xy+x+y，试根据这种运算完成下列各题.
（1）求2@4；
（2）任意选择两个有理数x，y，分别计算x@y和y@x，并比较两个运算结果，判断此运算满足什么运算律？
（3）求（2@）@（-3）.
27．（2023七上·期中）∵4<7<9，即2<<3，∴的整数部分为2，小数部分为-2．
请你观察上述式子规律后解决下面的问题．
（1）规定用符号[m]表示实数m的整数部分，
例如：[]=0，[π]=3．填空：[+2]= ，[5-]=
（2）如果5+的小数部分为a，5-的小数部分为b，求a+b的值．
28．（2022七上·鄞州期中）规定：用符号表示一个不大于实数x的最大整数，例如：，，，．按这个规定，求．
29．（2021七上·宁波期中）规定：用符号[x]表示一个不大于实数x的最大整数，例如：[3.69]＝3，[+1]＝2，[﹣2.56]＝﹣3，[﹣]＝﹣2.按这个规定，[﹣﹣1]＝ .
30．（2023七上·海曙期中） 已知min{，x2，x}表示取三个数中最小的那个数，例如：当x＝9，min{，x2，x}＝min{，92，9}＝3．当min{，x2，x}＝时，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
31．（2023七上·余姚期中）我们规定：表示不超过x的最大整数．如：，．现已知对所有正整数n成立，则的值为 ．
四、代数式
32．（2024七上·柯桥期中） 在实数范围内定义运算“”： ，例如：．若代数式1-4b+2a的值是17，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．-8
33．（2023七上·杭州期中）定义：若，则称x与y是关于m的相关数．
（1）若5与a是关于2的相关数，则 ．
（2）若A与B是关于m的相关数，，B的值与m无关，求B的值．
34．（2023七上·浙江期中）设x，y都表示有理数，定义一种新运算“”：当时，；当时，.
（1）请根据这种新运算定义计算 ； .
（2）若实数a，b满足.
①请直接写出a，b的值.
②求（ab）a的值.
35．（2023七上·镇海区期中）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和(为常数).例如：.
（1）当时，求的值.
（2）若(-2)P2的值比的值大2，求的值.
（3）若的值为5，求的值.
36．（2023七上·浙江期中）阅读材料，解答问题：如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“亚运数”，例如，自然数3157，其中5＝3×2-1，7＝3×2+1，所以3157是“亚运数”.
（1）填空：①21 是“亚运数”（在横线上填上两个数字）；
②最小的四位“亚运数”是 .
（2）若四位“亚运数”的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫做“冠军数”，求所有“冠军数”.
（3）已知一个大于1的正整数m可以分解成m＝pq+n4的形式（p≤q，n≤6，p，q，n均为正整数），在m的所有表示结果中，当nq-np取得最小时，称“m＝pq+n4”是m的“最小分解”，此时规定：，
例：18＝1×2+24＝1×17+14，因为1×17-1×1＞2×2-2×1，所以F（18）=，求所有“冠军数”的F（m）的最大值.
37．（2023七上·镇海区期中）用“P”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，xPy＝a2x2-2ay+1（a为常数）．例如：1P2＝a2×12-2a×2+1＝a2-4a+1．
（1）当a＝1时，求2P（-3）的值；
（2）若（-2）P2的值比2P（-2）的值大2，求a的值；
（3）若（-2）P2的值为5，求（-4）P8的值．
38．（2023七上·温岭期中）用“ ”规定一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a b＝ab2+2ab+a．如：1 3＝1×32+2×1×3+1＝16．
（1）求2 （-1）的值；
（2）若（a-1） 3＝32，求a的值；
（3）若m＝2 x，n＝（x） 3（其中x为有理数），试比较m、n的大小．
39．（2023七上·温岭期中）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：m＝n＝0时，我们称使得成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为（m，n）．
（1）若（m，1）是“相伴数对”，则m＝ ；
（2） （m，n）是“相伴数对”，则代数式m-[n+（6-12n-15m）]的值为 ．
40．（2023七上·）对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，如：，其中称为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，为“数5”，若将任意两个数交换位置，则称这个过程为“换位思考”，例如：对上述代数式的“数1”和“数5”进行“换位思考”，得到：，则下列说法中正确的个数是（ ）
①代数式进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果②代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到5种结果③代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到7种结果④代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到8种结果
A．0 B．2 C．3 D．4
答案解析部分
1．【答案】24
【知识点】定义新运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：由题意得：，
故答案为：24.
【分析】将数值代入新运算，计算即可.
2．【答案】（1）解：根据题中的新定义得：2*4＝8+1＝9；
（2）解：根据题中的新定义得：（2*5）*（﹣3）＝11*（﹣3）＝﹣33+1＝﹣32；
（3）解：根据题中的新定义得：x*y＝xy+1，y*x＝yx+1，则x*y＝y*x．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；定义新运算
【解析】【分析】（1）将，代入x*y＝xy+1，计算即可；
（2）先计算，再计算即可；
（3）由题意得x*y＝xy+1，y*x＝yx+1，所以新定义的运算满足交换律．
3．【答案】D
【知识点】有理数大小比较；定义新运算
【解析】【解答】解：若有一个不是整数，
则或者或者
，
都是整数。即n都是2，3，6的公倍数，且，
n的值为6， 12，18，24，30，36，42，48共有8个，
故答案为：D.
【分析】本题考查了学生对于题意得理解和应用能力。我们先根据题意设若有一个不是整数，然后根据题目中的 [1.5]＝1，[2]＝2， 代入分析，得到则或者或者而此时的等式又满足，都是整数。即n都是2，3，6的公倍数，且，n的值为6， 12，18，24，30，36，42，48共有8个.
4．【答案】B
【知识点】有理数大小比较；有理数的减法法则；定义新运算
【解析】【解答】解：当a为整数时，[a]+[﹣a]＝a-a=0；
当a不是整数时，当a=1.3
∴[1.3]+[﹣1.3]=1-2=-1，
∴[a]+[﹣a]=0或-1.
故答案为：B
【分析】分情况讨论：当a为整数时，可得到[a]+[﹣a]＝0；当a不是整数时，可求出[a]+[﹣a]的值，即可求解.
5．【答案】-28
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；定义新运算；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：，
，，
，，
，
，
故答案为：-28.
【分析】根据绝对值及偶数次幂的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0，可得x-3=0，y+1=0，求解得出x、y的值，进而根据题干提供的信息列出多项式，再合并同类项化简，最后将x、y的值代入化简的后的式子按含乘方的有理数的混合运算顺序计算即可.
6．【答案】C
【知识点】定义新运算；有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解： .
故答案为：C.
【分析】根据 1!=1， 2!=2 1=2， 3!=3 2 1=6 ，可知100！=100×99×98××1；98！=99×98××1；由此可得答案.
7．【答案】（1），；
（2），625；
（3）
．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：（1），
，
故答案为：，；
（2）
；
，
故答案为：，625；
【分析】（1）根据 “a的圈n次方” 的意义，直接进行求解即可；
（2）类比，即可计算出所求式子的值；
（3）首先把新运算转化成常规运算，然后根据有理数法则正确计算即可．
8．【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴.
故答案为：-112.
【分析】用-2与7分别替换新定义运算中的a与b，列出式子，进而根据含括号的有理数的混合运算的运算顺序计算可得答案.
9．【答案】B
【知识点】定义新运算；含括号的有理数混合运算
【解析】【解答】解：∵a*b=a×b-（b-1）×b，
∴2*（-3）=2×（-3）-（-3-1）×（-3）=-6-12=-18.
故答案为：B.
【分析】根据定义新运算法则列出式子，进而根据含加减乘除混合运算的运算顺序计算可得答案.
10．【答案】3
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：.
【分析】由先求出，再由可得，然后解方程即可．
11．【答案】21
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；定义新运算
【解析】【解答】解： =（7+2）×2-（-3）=9×2+3=-21.
故答案为：21.
【分析】根据定义的新运算列代数式，再根据有理数的混合运算计算即可.
12．【答案】；
【知识点】有理数的除法法则
【解析】【解答】解：根据新定义，，
∴；
．
故答案为：；
【分析】由题意，代入新定义运算，计算求解即可．
13．【答案】C
【知识点】定义新运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解： ∵，
∴=（-1）2023×（-4）-23×1.25=4-10=-6.
故答案为：C.
【分析】根据定义新运算先列式，再根据含乘方的有理数的混合运算计算即可.
14．【答案】
【知识点】有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴
故答案为：．
【分析】 根据运算程序 ，先求出=14，继而得出，再根据运算程序列式计算即可.
15．【答案】4
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；无理数的估值；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵和为两个连续正整数，，
∴，
∴.
故答案为：4.
【分析】根据定义的新运算法则得，进而利用估算无理数大小的方法得，从而即可得出a、b的值，再代入待求式子按含加减乘除的有理数的混合运算的运算顺序计算即可.
16．【答案】
【知识点】定义新运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解： .
故答案为：-1.
【分析】 将a=-1，b=3代入 列出算式，再根据有理数的混合运算法则即可算出答案.
17．【答案】B
【知识点】无理数的估值；定义新运算
【解析】【解答】解：第一次，第二次，第三次，第四次，
所以，使数520变为1，需要进行操作的次数是4.
故答案为：B.
【分析】 由题意知[x]表示不大于的最大整数，根据题目中提供的操作对520进行操作计算即可解答.
18．【答案】（1）4；
（2）负；正
（3）解：
【知识点】定义新运算；有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解：（1） =，
=；
故答案为：4；；
（2）根据除方的定义可得，负数的引正奇数次商是负数，负数的引正偶数次商是正数；
故答案为：负；正；
（3），
，
，
，
.
【分析】（1）根据除方的定义计算即可；
（2）由除方的定义得出结论；
（3）根据除方的定义进行计算.
19．【答案】（1）；-8；C
（2）解：①；；；
②；
③ 122÷×-÷33，
=122÷×-÷33，
=144÷9×(-8)-81÷27，
=-128-3，
=-131，
【知识点】定义新运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：（1） ①2③= 2÷2÷2=， =÷÷÷÷=××××==-8；
故答案为：，-8；
②3④=3÷3÷3÷3=3×××=，
4③=4÷4÷4=4××=，3④≠4③，
故答案为：C；
（2） ①=；
；
；
故答案为：；；；
②；
故答案为：；
【分析】（1）根据除法运算直接计算即可；根据运算规律，判断每个选项即可；
（2）一个非零有理数a的圈n次方等于a的倒数的（n-2）次方，按此规律即可求得；根据圈a的运算规定，按照有理数的运算顺序、运算法则计算即可.
20．【答案】（1）解：是，理由如下：
∵ab=1，a2-2b-2=（-1）2-2×（-1）-2=1+2-2=1，
∴ab=a2-2b-2，
∴数对(－1，－1)是否为“方差有理数对”；
（2）解：∵（m，2)是“方差有理数对”，
∴ 2m=m2-2×2-2，
∴ m2-2m-6=0，即m2-2m=6，
∴ －6m－3[m2－2(2m－1)，
=-6m-3（m2-4m+2），
=-6m-3m2+12m-6，
=-3m2+6m-6，
=-3（m2-2m）-6，
将m2-2m=6代入得：
原式=-3×6-6=-24.
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；定义新运算
【解析】【分析】（1）把数对代入等式的左右两边进行计算，相等说明是“方差有理数对”，不相等就不是即，即可判断；
（2）把数对 (m，2) 代入“方差有理数对”等式，得到关于m的关系式，代入化简好的代数式求值即可.
21．【答案】（1）
（2）解：∵a和3关于1的“双倍关系值”为4，
∴，
即，
，
或，
解得：或，
的值为5或；
（3）①6，②420或440或460或
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；数轴上两点之间的距离；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：（1）由“双倍关系值"的定义知：，
故答案为：；
（3）①和关于1的“双倍关系值”为2，
，
分四种情况：
当时，，则；
当时，，则，即；
当时，，则；即；
当时，，则；
综上，的最大值为6，
故答案为：6；
②分10种情况：
1、当时，，解得，
由可得，，
……，
可得，
；
2、当时，由，，……，
，，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，，则，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，
同理：，，……，；
，即；
，即；
同理可得：，…，，
，
；
3、当时，，解得：或，
时，由，可得，此种情形不存在；
时，由，解得：或，
时，由，可得，此种情形不存在；
时，由，解得：或，
，
同理得：，
；
4、当时，由，，……，
，，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，，则，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，
，
同理：，，……，；
，即；
，即；
同理可得：，…，，
，
；
5、当，由，解得：或，
时，与矛盾，此种情形不存在；
，则，解得：或，
时，与矛盾，此种情形不存在；
，
同理：，，……，；
，即；
，即；
；
6、当时，由，，……，
，，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，，则，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，
，
同理：，，……，；
，即；
，即；
同理可得：，…，，
，
；
7、当，由，可得，解得：或，
时，与矛盾，此种情形不存在；
，
当时，由，可得，解得：或，
，与矛盾，此种情形不存在；
，
同理：，，……，；
；
8、当时，由，，……，
，，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，，则，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，
同理：，，……，；
，即；
，即；
同理可得：，…，，
，
；
9、当时，，解得，
由可得，，
……，
可得，
；
10、当时，，与矛盾，此种情形不存在；
综上所述：的值为420或440或460或，
故答案为：420或440或460或．
【分析】（1）根据“双倍关系值”的定义，可列式为，再计算即可；
（2）根据∵a和3关于1的“双倍关系值”为4，，解之即可；
（3）①由和关于1的“双倍关系值”为2，可得，分时
，当时，当时，当时，据此分别解方程即可；
②分10种情况计算即可．
（1）解：由题意得：
，
故答案为：；
（2）解：由题意得：，即，
，
或，
解得：或，
的值为5或；
（3）解：①和关于1的“双倍关系值”为2，
，
分四种情况：
当时，，则；
当时，，则，即；
当时，，则；即；
当时，，则；
综上，的最大值为6，
故答案为：6；
②分10种情况：
1、当时，，解得，
由可得，，
……，
可得，
；
2、当时，由，，……，
，，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，，则，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，
同理：，，……，；
，即；
，即；
同理可得：，…，，
，
；
3、当时，，解得：或，
时，由，可得，此种情形不存在；
时，由，解得：或，
时，由，可得，此种情形不存在；
时，由，解得：或，
，
同理得：，
；
4、当时，由，，……，
，，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，，则，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，
，
同理：，，……，；
，即；
，即；
同理可得：，…，，
，
；
5、当，由，解得：或，
时，与矛盾，此种情形不存在；
，则，解得：或，
时，与矛盾，此种情形不存在；
，
同理：，，……，；
，即；
，即；
；
6、当时，由，，……，
，，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，，则，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，
，
同理：，，……，；
，即；
，即；
同理可得：，…，，
，
；
7、当，由，可得，解得：或，
时，与矛盾，此种情形不存在；
，
当时，由，可得，解得：或，
，与矛盾，此种情形不存在；
，
同理：，，……，；
；
8、当时，由，，……，
，，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，，则，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，
同理：，，……，；
，即；
，即；
同理可得：，…，，
，
；
9、当时，，解得，
由可得，，
……，
可得，
；
10、当时，，与矛盾，此种情形不存在；
综上所述：的值为420或440或460或，
故答案为：420或440或460或．
22．【答案】（1）7或-1
（2）-4或-16
（3）-3，-2；1，2
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；解一元一次不等式；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）设：点M表示的数为x，则
∵点M为点A与点B的“亚运点”，
∴
即：
解得：
故答案为：7或-1；
（2）设：点A表示的数为a，则点B表示的数为a+9，
∵若A、B两点的“亚运点”M表示的数为2，
∴
解得：
故答案为：-4或-16；
（3）点B表示的数为b，
①若点M可以为点A与点B的“亚运@未来点”，则，
∴
解得：
∴
解得：
则m可取得整数有：-3，-2，
故答案为：-3，-2；
②点A表示的数为2t-6，点D表示的数为2t，
若点O可以为点A与点B的“亚运@未来点“，
∴
∴
∴
解得：
t的整数值为：1，2，
故答案为：1，2.
【分析】（1）设点M表示的数为x，根据两点间的距离等于两点所表示数差的绝对值表示出MA、MB，根据"亚运点"的定义得到MA=2MB，进而列方程即可求解；
（2）设点A表示的数为a，则点B表示的数为a+9，即可列方程求解；
（3）设点B表示的数为b，①若点M可以为点A与点B的“亚运@未来点”，则，根据"亚运点"的定义列不等式即可求解；
②点A表示的数为2t-6，点D表示的数为2t，根据"亚运点"的定义列不等式组即可求解.
23．【答案】（1）或
（2）解：由题意得，点表示的数为，点表示的数为，
，解得或
（3）解：由题意得，点A，B，E表示的数分别为4t，则.分情况讨论：
①当点在点左侧时，3，；
②当点在点右侧时，，.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；代数式求值；一元一次方程的其他应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）根据题意可知，点P表示的数为1，且点P到点Q的追击值d[PQ]=a ( a≥0)，
点P到点Q的距离为a，当点Q在点P左侧，则Q表示的数为1-a，当点Q在点P右侧，则Q表示的数为1+a.
故答案为： 1+a或1-a；
【分析】（1）由题意知，有两种情况，一种是点Q在点P的左侧，一种是点Q在点P的右侧，然后根据题意即可表示Q点对应的数.
（2）先用含t的式子分别表示点F和点G，然后由 d[FG]=2可列出方程并解方程即可解答.
（3）先用含t的式子分别表示点A和点B和点E，然后求出d[BE]的值，因为A，B的位置不确定，所以要分两种情况讨论，即点A在点B左侧和点A在点B左侧，然后求出d[AB]的值，再探究得出它们之间的数量即可解答.
24．【答案】（1）
（2），
（3）解：①，②，，
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（1）依题意，得，
所以则点M表示的数为；
故答案为：；
（2）解：设点A表示的数为，则点B表示的数为，
因为A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，
故，
解得，那么，
所以点A表示的数为，点B表示的数为，
故答案为：；
（3）解：①依题意，设B表示的数为，
因为设点M表示的数为，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，
所以，
因为m为整数，
所以为整数，
则或
故整数m的值为：，，
故答案为：；
②因为点C和点D向数轴正半轴方向移动相同距离，
所以点C和点D分别表示的数为，，
∵O可以为点A与点B的“雅中点”，
∴，
故，
因为B为线段上一点（点B可与C、D两点重合），
所以B表示的数为，
所以，
即，
解得，
因为n为整数，
则，，，
故答案为：．
【分析】（1）由题意根据“雅中点”新定义求解即可；
（2）设点A表示的数为，则点B表示的数为，根据“雅中点”新定义列方程求解即可；
（3）①依依题意，设B表示的数为，设点M表示的数为，根据新定义得，再结合m为整数，即可求解；
②依题意，得点C和点D分别表示的数为，，根据新定义列不等式组，解得，结合n为整数，即可得到答案．
（1）解：依题意，得，
所以则点M表示的数为；
故答案为：；
（2）解：设点A表示的数为，
因为A、B两点的距离为9（A在B的左侧），
所以点B表示的数为，
因为A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，
故，
解得，那么，
所以点A表示的数为，点B表示的数为，
故答案为：；
（3）解：①依题意，设B表示的数为，
因为设点M表示的数为，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，
所以，
因为m为整数，
所以为整数，
则或
故整数m的值为：，，
故答案为：；
②因为点C和点D向数轴正半轴方向移动相同距离，
所以点C和点D分别表示的数为，，
∵O可以为点A与点B的“雅中点”，
∴，
故，
因为B为线段上一点（点B可与C、D两点重合），
所以B表示的数为，
所以，
即，
解得，
因为n为整数，
则，，，
故答案为：．
25．【答案】3；255
【知识点】无理数的大小比较；定义新运算
【解析】【解答】解：①，，，共3次，
②最大的是255，
，，，
而，，，，
即只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的正整数是255.
故答案为：3，255.
【分析】根据定义的新运算可得，，，，，，，，，，据此解答.
26．【答案】（1）根据题中的新定义得：2@4＝8+2+4＝14
（2）根据题中的新定义得：x@y＝xy+x+y，y@x＝yx+y+x，（或举特例）则x@y＝y@x，
故此运算满足交换律．
（3）根据题中的新定义得：
（2@）@（-3）
＝（2+2+）@（-3）
＝-6-7；
【知识点】实数的运算；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据新运算的定义，计算即可；
（2）根据新运算的定义，分别计算x@y和y@x，最后比较结果即可；
（3）根据新运算的定义，计算即可；
27．【答案】（1）5；1
（2）解：∵9＜13＜16，即，
∴，
故的小数部分为；
∵9＜13＜16，即，
∴，
∴，
故的小数部分为；
则．
【知识点】无理数的估值；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：∵9＜10＜16，即，
∴，
故；
∵9＜13＜16，即，
∴，
∴，
故；
故答案为：5；1.
【分析】（1）先分别求出和的取值范围，再根据新定义即可求解；
（2）先分别求出和的取值范围，求出a与b的值，代入原式计算即可求解．
28．【答案】解：∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】无理数的估值；定义新运算；不等式的性质
【解析】【分析】根据估算无理数大小的方法可得3<<4，根据不等式的性质求出--1的范围，然后结合定义的新运算进行解答.
29．【答案】－5
【知识点】无理数的估值；定义新运算；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵3<<4，
∴ 4< < 3，
∴ 5< 1< 4，
∴[ 1]= 5.
故答案为： 5.
【分析】利用估算无理数的大小及不等式的性质可知 5< 1< 4，再利用符号[x]表示一个不大于实数x的最大整数，据此可得答案.
30．【答案】C
【知识点】无理数的大小比较；定义新运算
【解析】【解答】解：若则 x<， 不符合最小；
若x2=，x=，当x=-时，x若x=，x2=， x>x2， 不符合x最小.
故答案为：C.
【分析】分别计算 ，x2，x 为 时，x的值，是否满足 min{，x2，x}＝即可.
31．【答案】301
【知识点】无理数的估值；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，=2，，=4，=5，=6，=7，=8
∴可知[]+[]+[]=1+1+1=3；
[]+[]+[]+[]+[]=2+2+2+2+2=10；
[]+[]++[]=3+3+3++3=3×（15-9+1）=21；
[]+[]+[]+[]=4+4+4++4=4×（24-16+1）=36；
[]+[]++[]=5+5++5=5×（35-25+1）=55；
[]+[]++[]=6+6++6=6×（48-36+1）=78；
[]+[]++[]=7+7++7=7×（62-49+1）=98；
∴ =3+10+21+36+55+78+98=301.
故答案为：301.
【分析】根据估算无理数的大小的原则，先找到无理数相邻的两个正数的算数平方根；定义 表示不超过x的最大整数 ，根据有理数的混合运算依次计算即可.
32．【答案】D
【知识点】定义新运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵ ，∴，
已知，得，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据新定义的运算，得，再根据代数式1-4b+2a的值是17，得到，即可得解.
33．【答案】（1）3
（2）解：A与B是关于m的相关数，，
B的值与m无关，
，得，
．
【知识点】整式的加减运算；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）根据定义得：5-a=2，a=3；
故答案为：3.
【分析】（1）根据新定义，即可得到a的代数式，即可求得a的值；
（2）根据新定义，可求得出B的式子，根据B与m无关得m的系数为0，可求出n的值，即可求得B.
34．【答案】（1）-1；1
（2）解：①.
②.
【知识点】代数式求值；定义新运算；非负数之和为0
【解析】【解答】（1）（-1）3=-1；
2×（-1）+3=1.
(2)∵，
∴a-3=0，b+2=0，
∴a=3，b=-2.
【分析】(1)由2＞-1，因此 按照来进行计算即可，由-1＜3，因此按照来进行计算即可.
(2)利用算术平方根和绝对值的非负性，可以求出a，b的值，然后根据按照上面定义新运算的方法代入计算即可解答.
35．【答案】（1）解：由题意得：
∵
∴，
（2）解：由题意得：
∵的值比的值大2，
∴
即：
∴
（3）解：∵
即：
解得：
∵
∴
【知识点】整式的加减运算；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据新运算的定义计算即可；
（2）根据新运算的定义求出和的值，再根据"的值比的值大2"，据此列式计算，即可求出a的值；
（3）根据新运算的定义列式表示即可得到a的值，进而可求出的值.
36．【答案】（1）35；1022
（2）设千位数字是x，百位数字是y，2x≥y，根据“亚运数”定义，
则有：十位数字是（2x-y），个位数字是（2x+y），
根据题意得：100y+10（2x-y）+2x+y-3y＝88y+22x＝21（4y+x）+（4y+x），
∵21（4y+x）+（x+4y）被7除余3，
∴x+4y＝3+7k，（k是非负整数）
∴x＝1，y＝4；2x-y＜0，不合题意舍去
x＝2，y＝2；冠军数是2226；
或x＝2，y＝9；2x-y＜0，不合题意舍去
x＝3，y＝7；2x-y＜0，2x+y＞9，不合题意舍去，
x＝3，y＝0时，冠军数是3066
∴冠军数是2226或3066．
（3）∵所有的冠军数是：2226或3066．
2226的最小分解＝30×31+64＝……；F（m），
故“冠军数”2226的F（2226）的最大值为：．
3066的最小分解＝613×5+14＝61×50+24＝……；F（m），
故所有冠军数的F（m）的最大值为：．
【知识点】整式的加减运算；定义新运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：（1）①∵千位和百位分别为2和1，
∴十位为：个位为：
∴2135为"亚运数"，
故答案为：35.
②∵千分位不能为0，则最小只能取1，百位最小为0，
∴十位为：个位为：
∴最小的四位“亚运数”是：1022.
故答案为：1022.
【分析】（1）①根据"亚运数"的定义，即可求解；
②根据千分位不能为0，则最小只能取1，根据"十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和"即可求出十位和个位，进而求解；
（2）根据题意列出代数式，然后表示为7的倍数加余数的形式，即可求解；
（3）由（2）知：m=2226或3066，在对其逐一尝试即可.
37．【答案】（1）解：依题意得：2P（-3）＝a2×22-2a×（-3）+1＝4a2+6a+1，
∴当a＝1时，2P（-3）＝4×12+6×1+1＝11；
（2）解：依题意得：（-2）P2＝a2×（-2）2-2a×2+1＝4a2-4a+1，
又∵2P（-2）＝a2×22-2a×（-2）+1＝4a2+4a+1，
∵（-2）P2的值比2P（-2）的值大2，
∴4a2-4a+1＝4a2+4a+1+2，
解得：a＝，
（3）解：由（2）可知：（-2）P2＝4a2-4a+1，
又∵（-2）P2的值为5，
∴4a2-4a+1＝5，
整理得：a2-a＝1，
∴（-4）P8
＝a2×（-4）2-2a×8+1
＝16a2-16a+1
＝16（a2-a）+1
＝16×1+1
＝17．
【知识点】代数式求值；解一元一次方程；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据定义的运算规则，先列代数式并计算，再将a的值代入即可；
（2）先根据定义的运算规则，分别列代数式计算出 -2）P2 和 2P（-2） ，二者相减差为2，可以列等式，移项合并同类项以后，解一元一次方程即可求出a的值.
（3）根据定义的运算规则，列代等式，由题意可知，该代数式的值为5，可得代数式（a2-a）的值；同样，根据定义的运算规则，用代数式表示 （-4）P8 ，将（a2-a）的值代入即可求出（-4）P8的值.
38．【答案】（1）解：2 （-1）
＝2×（-1）2+2×2×（-1）+2
＝2-4+2
＝0；
答：2 （-1）的值为0；
（2）解：（a-1） 3＝32
（a-1）×32+2（a-1）×3+（a-1）＝32
9a-9+6a-6+a-1＝32
16a＝48
解得a＝3
答：a的值为3；
（3）解：∵m=2x2+4x+2；n=4x
m-n=2x2+2>0
∴m>n
【知识点】整式的加减运算；偶次方的非负性；定义新运算；有理数混合运算法则（含乘方）；解含括号的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据新运算的定义，计算即可求解；
（2）根据新运算的定义得到：解此方程即可求解；
（3）根据新运算的定义得到：再利用作差法即可比较出m和n的大小.
39．【答案】（1）
（2）-3
【知识点】定义新运算；利用整式的加减运算化简求值；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）∵（m，1）是“相伴数对”，
∴
解得：
故答案为：；
（2）∵（m，n）是相伴数对，
∴，
即：
∵
∴原式=
故答案为：-3.
【分析】（1）根据新运算的定义，将代入 ，计算即可求出m的值；
（2）根据（m，n）是相伴数对得到：，化简得到：把待求式子化简并转化与有关的式子，进而即可求解.
40．【答案】C
【知识点】去括号法则及应用
【解析】【解答】解：①中，括号前是“＋”号， 进行一次“换位思考”后， 化简的结果不变，仍为：a-b+c-d-e，所以①正确；
②中，括号内四个数任意交换位置，化简后的结果不变，结果为：a-b-c+d+e；a分别与括号内的四个数交换，化简后得到四个结果，分别为：-a+b-c+d+e；-a-b+c+d+e；-a-b-c-d+e；-a-b-c+d-e，共5种结果，所以②正确；
③中，（1）小括号内的几个数交换位置，化简结果不变，只有一个结果，结果为：a+b-c+d+e；（2）b与小括号内的几个数交换位置，可得三个结果，分别为：a-b+c+d+e；a-b-c-d+e；a-b-c+d-e；（3）a与小括号内的几个数交换位置，可得三个结果，分别为：-a+b+c+d+e；-a+b-c-d+e；-a+b-c+d-e；（4）a与b交换位置，化简结果不变，结果与（1）一样，所以总共7种结果。所以③正确；
④中，（1）小括号内的两个数字交换位置，化简结果不变，结果为：a-b-c+d+e；（2）b与小括号内两个数交换位置，可得两个化简结果：a+b-c-d+e；a+b-c+d-e；（3）c与小括号内两个数交换位置，可得两个化简结果：a-b+c-d+e；a-b+c+d-e；（3）a与b，c交换可得两个结果：-a+b-c+d+e；-a-b+c+d+e；（4）a与小括号内的两个数交换位置，化简结果不变，与（1）相同。所以一共7种结果，所以④不正确。
综上说法正确的个数为：3.
故答案为：C.
【分析】根据 “换位思考”， 的定义，结合去括号法则，分别进行化简，即可得出答案。
1 / 1精选新定义型题—2024年浙教版数学七（上）期中复习
一、有理数
1．（2023七上·瑞安期中）小聪同学与小明同学约定了一种新运算：a△b=ab-ab．小聪同学尝试计算2△4=24-2×4=8，现在请小明同学计算(-4)△2= ．
【答案】24
【知识点】定义新运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：由题意得：，
故答案为：24.
【分析】将数值代入新运算，计算即可.
2．（2023七上·吴兴期中）已知x，y为有理数，如果规定一种运算“*”，即x*y＝xy+1，试根据这种运算完成下列各题．
（1）求2*4；
（2）求（2*5）*（﹣3）；
（3）任意选择两个有理数x，y，分别计算x*y和y*x，并比较两个运算结果，你有何发现？
【答案】（1）解：根据题中的新定义得：2*4＝8+1＝9；
（2）解：根据题中的新定义得：（2*5）*（﹣3）＝11*（﹣3）＝﹣33+1＝﹣32；
（3）解：根据题中的新定义得：x*y＝xy+1，y*x＝yx+1，则x*y＝y*x．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；定义新运算
【解析】【分析】（1）将，代入x*y＝xy+1，计算即可；
（2）先计算，再计算即可；
（3）由题意得x*y＝xy+1，y*x＝yx+1，所以新定义的运算满足交换律．
3．（2023七上·义乌月考）正整数n小于50，并且满足等式，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如：[1.5]＝1，[2]＝2，则满足等式的正整数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】有理数大小比较；定义新运算
【解析】【解答】解：若有一个不是整数，
则或者或者
，
都是整数。即n都是2，3，6的公倍数，且，
n的值为6， 12，18，24，30，36，42，48共有8个，
故答案为：D.
【分析】本题考查了学生对于题意得理解和应用能力。我们先根据题意设若有一个不是整数，然后根据题目中的 [1.5]＝1，[2]＝2， 代入分析，得到则或者或者而此时的等式又满足，都是整数。即n都是2，3，6的公倍数，且，n的值为6， 12，18，24，30，36，42，48共有8个.
4．（2022七上·台州月考）设[a]是有理数，用[a]表示不超过a的最大整数，如[1.7]＝1，[﹣1]＝﹣1，[0]＝0，[﹣1.2]＝﹣2，则在以下四个结论中，正确的是（ ）
A．[a]+[﹣a]＝0 B．[a]+[﹣a]=0或﹣1
C．[a]+[﹣a]≠0 D．[a]+[﹣a]=0或1
【答案】B
【知识点】有理数大小比较；有理数的减法法则；定义新运算
【解析】【解答】解：当a为整数时，[a]+[﹣a]＝a-a=0；
当a不是整数时，当a=1.3
∴[1.3]+[﹣1.3]=1-2=-1，
∴[a]+[﹣a]=0或-1.
故答案为：B
【分析】分情况讨论：当a为整数时，可得到[a]+[﹣a]＝0；当a不是整数时，可求出[a]+[﹣a]的值，即可求解.
5．（2022七上·海曙期中）对于任何有理数，我们规定符号的意义是，如当时，值为 .
【答案】-28
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；定义新运算；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：，
，，
，，
，
，
故答案为：-28.
【分析】根据绝对值及偶数次幂的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0，可得x-3=0，y+1=0，求解得出x、y的值，进而根据题干提供的信息列出多项式，再合并同类项化简，最后将x、y的值代入化简的后的式子按含乘方的有理数的混合运算顺序计算即可.
6．（2021七上·温州期中）若“！”是一种数学运算符号，并且1!=1， 2!=2 1=2， 3!=3 2 1=6，……，则 的值为（ ）
A． B．99！ C．9900 D． 2！
【答案】C
【知识点】定义新运算；有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解： .
故答案为：C.
【分析】根据 1!=1， 2!=2 1=2， 3!=3 2 1=6 ，可知100！=100×99×98××1；98！=99×98××1；由此可得答案.
7．（2023七上·兰溪月考）【概念学习】
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地把写作a的圈n次方读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：_________；_________；
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：_________，_________．
（3）算-算：．
【答案】（1），；
（2），625；
（3）
．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：（1），
，
故答案为：，；
（2）
；
，
故答案为：，625；
【分析】（1）根据 “a的圈n次方” 的意义，直接进行求解即可；
（2）类比，即可计算出所求式子的值；
（3）首先把新运算转化成常规运算，然后根据有理数法则正确计算即可．
8．（2023七上·诸暨期中） 小尚同学与小志同学约定了一种新运算：对于任意有理数和，规定．小尚同学尝试计算，现在请小志同学计算 ．
【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴.
故答案为：-112.
【分析】用-2与7分别替换新定义运算中的a与b，列出式子，进而根据含括号的有理数的混合运算的运算顺序计算可得答案.
9．（2023七上·期中）定义新运算“*”，规定，则的值为（ ）
A．6 B． C． D．18
【答案】B
【知识点】定义新运算；含括号的有理数混合运算
【解析】【解答】解：∵a*b=a×b-（b-1）×b，
∴2*（-3）=2×（-3）-（-3-1）×（-3）=-6-12=-18.
故答案为：B.
【分析】根据定义新运算法则列出式子，进而根据含加减乘除混合运算的运算顺序计算可得答案.
10．（2023七上·仙居期中）规定如下两种运算：；．例如：；．若的值为79，则
【答案】3
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：.
【分析】由先求出，再由可得，然后解方程即可．
11．（2023七上·海曙期中）定义一种新运算，，例如：，则的值是 。
【答案】21
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；定义新运算
【解析】【解答】解： =（7+2）×2-（-3）=9×2+3=-21.
故答案为：21.
【分析】根据定义的新运算列代数式，再根据有理数的混合运算计算即可.
12．（2023七上·衢江期中）定义一种运算“”：，则 ， ．
【答案】；
【知识点】有理数的除法法则
【解析】【解答】解：根据新定义，，
∴；
．
故答案为：；
【分析】由题意，代入新定义运算，计算求解即可．
13．（2023七上·期中） 规定一种运算：，例如，则 的值为（ ）
A．-10 B．6 C． D．10
【答案】C
【知识点】定义新运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解： ∵，
∴=（-1）2023×（-4）-23×1.25=4-10=-6.
故答案为：C.
【分析】根据定义新运算先列式，再根据含乘方的有理数的混合运算计算即可.
14．（2023七上·海曙期中）小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：，例如，试求的值为 ．
【答案】
【知识点】有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴
故答案为：．
【分析】 根据运算程序 ，先求出=14，继而得出，再根据运算程序列式计算即可.
15．（2022七上·海曙期中）对于实数， 定义的含义为∶ 当时，；当时，，例如∶.已知，且和为两个连续正整数，则的值为 .
【答案】4
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；无理数的估值；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵和为两个连续正整数，，
∴，
∴.
故答案为：4.
【分析】根据定义的新运算法则得，进而利用估算无理数大小的方法得，从而即可得出a、b的值，再代入待求式子按含加减乘除的有理数的混合运算的运算顺序计算即可.
16．（2021七上·嘉兴期末）定义一种新运算： ，则 .
【答案】
【知识点】定义新运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解： .
故答案为：-1.
【分析】 将a=-1，b=3代入 列出算式，再根据有理数的混合运算法则即可算出答案.
17．（2023七上·浙江期中）对于实数，我们规定[x]表示不大于的最大整数，如.对数99进行如下操作：=1，这样对数99只需进行3次操作后变成1，类似地，使数520变为1需要进行操作的次数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】无理数的估值；定义新运算
【解析】【解答】解：第一次，第二次，第三次，第四次，
所以，使数520变为1，需要进行操作的次数是4.
故答案为：B.
【分析】 由题意知[x]表示不大于的最大整数，根据题目中提供的操作对520进行操作计算即可解答.
18．（2023七上·海曙期中） 类比乘方运算，我们规定：求n个相同有理数（均不为0）的商的运算叫做除方.例如，记作，读作“2的引4次商”.一般的，把记作，读作“a的引n次商”.
（1）直接写出计算结果：= ，= .
（2）归纳：负数的引正奇数次商是 数，负数的引正偶数次商是 数（填“正或负”）；
（3）计算：.
【答案】（1）4；
（2）负；正
（3）解：
【知识点】定义新运算；有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解：（1） =，
=；
故答案为：4；；
（2）根据除方的定义可得，负数的引正奇数次商是负数，负数的引正偶数次商是正数；
故答案为：负；正；
（3），
，
，
，
.
【分析】（1）根据除方的定义计算即可；
（2）由除方的定义得出结论；
（3）根据除方的定义进行计算.
19．（2023七上·金华期中）概念学习
规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记作(-3)④，读作“-3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a÷…÷a，(n个a，a≠0)记作，读作“a的圈n次方”．
（1）初步探究：
→2④=2÷2÷2÷2=2×××=→
①直接写出计算结果：2③= ，= ；
②关于除方，下列说法错误的是
A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数n，1 =1；
C.3④=4③ D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
（2）深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
①试一试：
仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．(-3)④= ▲ ；5⑥= ▲ ；= ▲ ．
②想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ▲ ；
③算一算：122÷×-÷33．
【答案】（1）；-8；C
（2）解：①；；；
②；
③ 122÷×-÷33，
=122÷×-÷33，
=144÷9×(-8)-81÷27，
=-128-3，
=-131，
【知识点】定义新运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：（1） ①2③= 2÷2÷2=， =÷÷÷÷=××××==-8；
故答案为：，-8；
②3④=3÷3÷3÷3=3×××=，
4③=4÷4÷4=4××=，3④≠4③，
故答案为：C；
（2） ①=；
；
；
故答案为：；；；
②；
故答案为：；
【分析】（1）根据除法运算直接计算即可；根据运算规律，判断每个选项即可；
（2）一个非零有理数a的圈n次方等于a的倒数的（n-2）次方，按此规律即可求得；根据圈a的运算规定，按照有理数的运算顺序、运算法则计算即可.
20．（2023七上·金华期中）观察下列两个等式：
2×＝22－2×－2，
4×＝42－2×－2，
给出如下定义：我们称使等式ab＝a2－2b－2成立的一对有理数a，b为“方差有理数对”，记做(a，b)，如：，都是“方差有理数对”．
（1）判断数对(－1，－1)是否为“方差有理数对”，并说明理由．
（2）若(m，2)是“方差有理数对”，求－6m－3[m2－2(2m－1)]的值．
【答案】（1）解：是，理由如下：
∵ab=1，a2-2b-2=（-1）2-2×（-1）-2=1+2-2=1，
∴ab=a2-2b-2，
∴数对(－1，－1)是否为“方差有理数对”；
（2）解：∵（m，2)是“方差有理数对”，
∴ 2m=m2-2×2-2，
∴ m2-2m-6=0，即m2-2m=6，
∴ －6m－3[m2－2(2m－1)，
=-6m-3（m2-4m+2），
=-6m-3m2+12m-6，
=-3m2+6m-6，
=-3（m2-2m）-6，
将m2-2m=6代入得：
原式=-3×6-6=-24.
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；定义新运算
【解析】【分析】（1）把数对代入等式的左右两边进行计算，相等说明是“方差有理数对”，不相等就不是即，即可判断；
（2）把数对 (m，2) 代入“方差有理数对”等式，得到关于m的关系式，代入化简好的代数式求值即可.
二、数轴
21．（2023七上·镇海区期中）阅读信息：
信息一：的几何意义是x与y两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如的几何意义是3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
信息二：对于有理数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“双倍关系值”为d．例如，，则6和3关于1的“双倍关系值”为5．
根据以上信息回答下列问题：
（1）和5关于2的“双倍关系值”为______．
（2）若a和3关于1的“双倍关系值”为4，求a的值；
（3）若和关于1的“双倍关系值”为2，和关于2的“双倍关系值”为2，和关于3的“双倍关系值”为2，…，和关于21的“双倍关系值”为2．
①的最大值为______；
②的值为______（用含的式子表示）．
【答案】（1）
（2）解：∵a和3关于1的“双倍关系值”为4，
∴，
即，
，
或，
解得：或，
的值为5或；
（3）①6，②420或440或460或
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；数轴上两点之间的距离；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：（1）由“双倍关系值"的定义知：，
故答案为：；
（3）①和关于1的“双倍关系值”为2，
，
分四种情况：
当时，，则；
当时，，则，即；
当时，，则；即；
当时，，则；
综上，的最大值为6，
故答案为：6；
②分10种情况：
1、当时，，解得，
由可得，，
……，
可得，
；
2、当时，由，，……，
，，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，，则，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，
同理：，，……，；
，即；
，即；
同理可得：，…，，
，
；
3、当时，，解得：或，
时，由，可得，此种情形不存在；
时，由，解得：或，
时，由，可得，此种情形不存在；
时，由，解得：或，
，
同理得：，
；
4、当时，由，，……，
，，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，，则，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，
，
同理：，，……，；
，即；
，即；
同理可得：，…，，
，
；
5、当，由，解得：或，
时，与矛盾，此种情形不存在；
，则，解得：或，
时，与矛盾，此种情形不存在；
，
同理：，，……，；
，即；
，即；
；
6、当时，由，，……，
，，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，，则，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，
，
同理：，，……，；
，即；
，即；
同理可得：，…，，
，
；
7、当，由，可得，解得：或，
时，与矛盾，此种情形不存在；
，
当时，由，可得，解得：或，
，与矛盾，此种情形不存在；
，
同理：，，……，；
；
8、当时，由，，……，
，，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，，则，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，
同理：，，……，；
，即；
，即；
同理可得：，…，，
，
；
9、当时，，解得，
由可得，，
……，
可得，
；
10、当时，，与矛盾，此种情形不存在；
综上所述：的值为420或440或460或，
故答案为：420或440或460或．
【分析】（1）根据“双倍关系值”的定义，可列式为，再计算即可；
（2）根据∵a和3关于1的“双倍关系值”为4，，解之即可；
（3）①由和关于1的“双倍关系值”为2，可得，分时
，当时，当时，当时，据此分别解方程即可；
②分10种情况计算即可．
（1）解：由题意得：
，
故答案为：；
（2）解：由题意得：，即，
，
或，
解得：或，
的值为5或；
（3）解：①和关于1的“双倍关系值”为2，
，
分四种情况：
当时，，则；
当时，，则，即；
当时，，则；即；
当时，，则；
综上，的最大值为6，
故答案为：6；
②分10种情况：
1、当时，，解得，
由可得，，
……，
可得，
；
2、当时，由，，……，
，，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，，则，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，
同理：，，……，；
，即；
，即；
同理可得：，…，，
，
；
3、当时，，解得：或，
时，由，可得，此种情形不存在；
时，由，解得：或，
时，由，可得，此种情形不存在；
时，由，解得：或，
，
同理得：，
；
4、当时，由，，……，
，，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，，则，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，
，
同理：，，……，；
，即；
，即；
同理可得：，…，，
，
；
5、当，由，解得：或，
时，与矛盾，此种情形不存在；
，则，解得：或，
时，与矛盾，此种情形不存在；
，
同理：，，……，；
，即；
，即；
；
6、当时，由，，……，
，，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，，则，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，
，
同理：，，……，；
，即；
，即；
同理可得：，…，，
，
；
7、当，由，可得，解得：或，
时，与矛盾，此种情形不存在；
，
当时，由，可得，解得：或，
，与矛盾，此种情形不存在；
，
同理：，，……，；
；
8、当时，由，，……，
，，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，，则，
或，
，则，与矛盾，此种情形不存在；
，
同理：，，……，；
，即；
，即；
同理可得：，…，，
，
；
9、当时，，解得，
由可得，，
……，
可得，
；
10、当时，，与矛盾，此种情形不存在；
综上所述：的值为420或440或460或，
故答案为：420或440或460或．
22．（2023七上·温岭期中）阅读下列材料：
我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离的2倍，则称点M为点A与点B的“亚运点”．其中在A，B之间的点M为点A与点B的“亚运@未来点”
解答下列问题：
（1）若点A表示的数为-5，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“亚运点”，则点M表示的数为 ；
（2）若A、B两点的“亚运点”M表示的数为2，且A、B两点的距离为9（A在B的左侧），则点A表示的数为 ，
（3）点A表示的数为-6，点C，D表示的数分别是-2，0，点O为数轴原点（与静止时的D点重合），点B为线段CD上一点（点B可以与点C与点D重合）．
①设点M表示的数为m，若点M可以为点A与点B的“亚运@未来点”，则m可取得整数有 ；
②若点A和点D同时以每秒2个单位长度的速度向数轴正半轴方向移动．设移动的时间为t（t＞0）秒，当t的整数值为 时，点O可以为点A与点B的“亚运@未来点”．
【答案】（1）7或-1
（2）-4或-16
（3）-3，-2；1，2
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；解一元一次不等式；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）设：点M表示的数为x，则
∵点M为点A与点B的“亚运点”，
∴
即：
解得：
故答案为：7或-1；
（2）设：点A表示的数为a，则点B表示的数为a+9，
∵若A、B两点的“亚运点”M表示的数为2，
∴
解得：
故答案为：-4或-16；
（3）点B表示的数为b，
①若点M可以为点A与点B的“亚运@未来点”，则，
∴
解得：
∴
解得：
则m可取得整数有：-3，-2，
故答案为：-3，-2；
②点A表示的数为2t-6，点D表示的数为2t，
若点O可以为点A与点B的“亚运@未来点“，
∴
∴
∴
解得：
t的整数值为：1，2，
故答案为：1，2.
【分析】（1）设点M表示的数为x，根据两点间的距离等于两点所表示数差的绝对值表示出MA、MB，根据"亚运点"的定义得到MA=2MB，进而列方程即可求解；
（2）设点A表示的数为a，则点B表示的数为a+9，即可列方程求解；
（3）设点B表示的数为b，①若点M可以为点A与点B的“亚运@未来点”，则，根据"亚运点"的定义列不等式即可求解；
②点A表示的数为2t-6，点D表示的数为2t，根据"亚运点"的定义列不等式组即可求解.
23．（2023七上·浙江期中）对于数轴上的点M，N，给出如下定义：若点M到点N的距离为d(d≥0)，则称d为点M到点N的追击值，记作d[MN].例如，在数轴上点M表示的数是6，点N表示的数是2，则点M到点N的追击值d[MN]=4.
（1）若点P，Q都在数轴上，点Р表示的数是1，且点Р到点Q的追击值d[PQ]=a，则点Q表示的数是 (用含a的代数式表示).
（2）如图，若点F从数-1出发，点G从数2出发，沿着数轴正方向同时移动，点F的速度为每秒4个单位，点G的速度为每秒1个单位，设运动时间为t秒(t≥0).求当t为何值时，点F到点G的追击值d[FG]=2.
（3）若点A从数1出发，点B从数4出发，点E从数6出发，沿着数轴正方向同时移动，点A的速度为每秒4个单位，点B的速度为每秒1个单位，点E的速度为每秒4个单位，设运动时间为t秒(t≥0)，请探究d[AB]与d[BE]之间的数量关系.
【答案】（1）或
（2）解：由题意得，点表示的数为，点表示的数为，
，解得或
（3）解：由题意得，点A，B，E表示的数分别为4t，则.分情况讨论：
①当点在点左侧时，3，；
②当点在点右侧时，，.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；代数式求值；一元一次方程的其他应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）根据题意可知，点P表示的数为1，且点P到点Q的追击值d[PQ]=a ( a≥0)，
点P到点Q的距离为a，当点Q在点P左侧，则Q表示的数为1-a，当点Q在点P右侧，则Q表示的数为1+a.
故答案为： 1+a或1-a；
【分析】（1）由题意知，有两种情况，一种是点Q在点P的左侧，一种是点Q在点P的右侧，然后根据题意即可表示Q点对应的数.
（2）先用含t的式子分别表示点F和点G，然后由 d[FG]=2可列出方程并解方程即可解答.
（3）先用含t的式子分别表示点A和点B和点E，然后求出d[BE]的值，因为A，B的位置不确定，所以要分两种情况讨论，即点A在点B左侧和点A在点B左侧，然后求出d[AB]的值，再探究得出它们之间的数量即可解答.
24．（2023七上·临海期中）阅读以下材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“雅中点”．解答下列问题：
（1）若点A表示的数为，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“雅中点”，则点M表示的数为 ；
（2）若A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，A、B两点的距离为9（A在B的左侧），则点A表示的数为 ，点B表示的数为 ；
（3）点A表示的数为，点O为数轴原点，点C，D表示的数分别是，，且B为线段上一点（点B可与C、D两点重合）．
①设点M表示的数为，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，则m可取得整数有 ；
②若点C和点D向数轴正半轴方向移动相同距离，使得点O可以为点A与点B的“雅中点”，则n的所有整数值为 ．
【答案】（1）
（2），
（3）解：①，②，，
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（1）依题意，得，
所以则点M表示的数为；
故答案为：；
（2）解：设点A表示的数为，则点B表示的数为，
因为A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，
故，
解得，那么，
所以点A表示的数为，点B表示的数为，
故答案为：；
（3）解：①依题意，设B表示的数为，
因为设点M表示的数为，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，
所以，
因为m为整数，
所以为整数，
则或
故整数m的值为：，，
故答案为：；
②因为点C和点D向数轴正半轴方向移动相同距离，
所以点C和点D分别表示的数为，，
∵O可以为点A与点B的“雅中点”，
∴，
故，
因为B为线段上一点（点B可与C、D两点重合），
所以B表示的数为，
所以，
即，
解得，
因为n为整数，
则，，，
故答案为：．
【分析】（1）由题意根据“雅中点”新定义求解即可；
（2）设点A表示的数为，则点B表示的数为，根据“雅中点”新定义列方程求解即可；
（3）①依依题意，设B表示的数为，设点M表示的数为，根据新定义得，再结合m为整数，即可求解；
②依题意，得点C和点D分别表示的数为，，根据新定义列不等式组，解得，结合n为整数，即可得到答案．
（1）解：依题意，得，
所以则点M表示的数为；
故答案为：；
（2）解：设点A表示的数为，
因为A、B两点的距离为9（A在B的左侧），
所以点B表示的数为，
因为A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，
故，
解得，那么，
所以点A表示的数为，点B表示的数为，
故答案为：；
（3）解：①依题意，设B表示的数为，
因为设点M表示的数为，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，
所以，
因为m为整数，
所以为整数，
则或
故整数m的值为：，，
故答案为：；
②因为点C和点D向数轴正半轴方向移动相同距离，
所以点C和点D分别表示的数为，，
∵O可以为点A与点B的“雅中点”，
∴，
故，
因为B为线段上一点（点B可与C、D两点重合），
所以B表示的数为，
所以，
即，
解得，
因为n为整数，
则，，，
故答案为：．
三、实数
25．（2021七上·青田期中）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，①对81只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
【答案】3；255
【知识点】无理数的大小比较；定义新运算
【解析】【解答】解：①，，，共3次，
②最大的是255，
，，，
而，，，，
即只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的正整数是255.
故答案为：3，255.
【分析】根据定义的新运算可得，，，，，，，，，，据此解答.
26．（2023七上·浙江期中）已知x，y为有理数，如果规定一种运算“@”，即x@y＝xy+x+y，试根据这种运算完成下列各题.
（1）求2@4；
（2）任意选择两个有理数x，y，分别计算x@y和y@x，并比较两个运算结果，判断此运算满足什么运算律？
（3）求（2@）@（-3）.
【答案】（1）根据题中的新定义得：2@4＝8+2+4＝14
（2）根据题中的新定义得：x@y＝xy+x+y，y@x＝yx+y+x，（或举特例）则x@y＝y@x，
故此运算满足交换律．
（3）根据题中的新定义得：
（2@）@（-3）
＝（2+2+）@（-3）
＝-6-7；
【知识点】实数的运算；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据新运算的定义，计算即可；
（2）根据新运算的定义，分别计算x@y和y@x，最后比较结果即可；
（3）根据新运算的定义，计算即可；
27．（2023七上·期中）∵4<7<9，即2<<3，∴的整数部分为2，小数部分为-2．
请你观察上述式子规律后解决下面的问题．
（1）规定用符号[m]表示实数m的整数部分，
例如：[]=0，[π]=3．填空：[+2]= ，[5-]=
（2）如果5+的小数部分为a，5-的小数部分为b，求a+b的值．
【答案】（1）5；1
（2）解：∵9＜13＜16，即，
∴，
故的小数部分为；
∵9＜13＜16，即，
∴，
∴，
故的小数部分为；
则．
【知识点】无理数的估值；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：∵9＜10＜16，即，
∴，
故；
∵9＜13＜16，即，
∴，
∴，
故；
故答案为：5；1.
【分析】（1）先分别求出和的取值范围，再根据新定义即可求解；
（2）先分别求出和的取值范围，求出a与b的值，代入原式计算即可求解．
28．（2022七上·鄞州期中）规定：用符号表示一个不大于实数x的最大整数，例如：，，，．按这个规定，求．
【答案】解：∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】无理数的估值；定义新运算；不等式的性质
【解析】【分析】根据估算无理数大小的方法可得3<<4，根据不等式的性质求出--1的范围，然后结合定义的新运算进行解答.
29．（2021七上·宁波期中）规定：用符号[x]表示一个不大于实数x的最大整数，例如：[3.69]＝3，[+1]＝2，[﹣2.56]＝﹣3，[﹣]＝﹣2.按这个规定，[﹣﹣1]＝ .
【答案】－5
【知识点】无理数的估值；定义新运算；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵3<<4，
∴ 4< < 3，
∴ 5< 1< 4，
∴[ 1]= 5.
故答案为： 5.
【分析】利用估算无理数的大小及不等式的性质可知 5< 1< 4，再利用符号[x]表示一个不大于实数x的最大整数，据此可得答案.
30．（2023七上·海曙期中） 已知min{，x2，x}表示取三个数中最小的那个数，例如：当x＝9，min{，x2，x}＝min{，92，9}＝3．当min{，x2，x}＝时，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的大小比较；定义新运算
【解析】【解答】解：若则 x<， 不符合最小；
若x2=，x=，当x=-时，x若x=，x2=， x>x2， 不符合x最小.
故答案为：C.
【分析】分别计算 ，x2，x 为 时，x的值，是否满足 min{，x2，x}＝即可.
31．（2023七上·余姚期中）我们规定：表示不超过x的最大整数．如：，．现已知对所有正整数n成立，则的值为 ．
【答案】301
【知识点】无理数的估值；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，=2，，=4，=5，=6，=7，=8
∴可知[]+[]+[]=1+1+1=3；
[]+[]+[]+[]+[]=2+2+2+2+2=10；
[]+[]++[]=3+3+3++3=3×（15-9+1）=21；
[]+[]+[]+[]=4+4+4++4=4×（24-16+1）=36；
[]+[]++[]=5+5++5=5×（35-25+1）=55；
[]+[]++[]=6+6++6=6×（48-36+1）=78；
[]+[]++[]=7+7++7=7×（62-49+1）=98；
∴ =3+10+21+36+55+78+98=301.
故答案为：301.
【分析】根据估算无理数的大小的原则，先找到无理数相邻的两个正数的算数平方根；定义 表示不超过x的最大整数 ，根据有理数的混合运算依次计算即可.
四、代数式
32．（2024七上·柯桥期中） 在实数范围内定义运算“”： ，例如：．若代数式1-4b+2a的值是17，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．-8
【答案】D
【知识点】定义新运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵ ，∴，
已知，得，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据新定义的运算，得，再根据代数式1-4b+2a的值是17，得到，即可得解.
33．（2023七上·杭州期中）定义：若，则称x与y是关于m的相关数．
（1）若5与a是关于2的相关数，则 ．
（2）若A与B是关于m的相关数，，B的值与m无关，求B的值．
【答案】（1）3
（2）解：A与B是关于m的相关数，，
B的值与m无关，
，得，
．
【知识点】整式的加减运算；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）根据定义得：5-a=2，a=3；
故答案为：3.
【分析】（1）根据新定义，即可得到a的代数式，即可求得a的值；
（2）根据新定义，可求得出B的式子，根据B与m无关得m的系数为0，可求出n的值，即可求得B.
34．（2023七上·浙江期中）设x，y都表示有理数，定义一种新运算“”：当时，；当时，.
（1）请根据这种新运算定义计算 ； .
（2）若实数a，b满足.
①请直接写出a，b的值.
②求（ab）a的值.
【答案】（1）-1；1
（2）解：①.
②.
【知识点】代数式求值；定义新运算；非负数之和为0
【解析】【解答】（1）（-1）3=-1；
2×（-1）+3=1.
(2)∵，
∴a-3=0，b+2=0，
∴a=3，b=-2.
【分析】(1)由2＞-1，因此 按照来进行计算即可，由-1＜3，因此按照来进行计算即可.
(2)利用算术平方根和绝对值的非负性，可以求出a，b的值，然后根据按照上面定义新运算的方法代入计算即可解答.
35．（2023七上·镇海区期中）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和(为常数).例如：.
（1）当时，求的值.
（2）若(-2)P2的值比的值大2，求的值.
（3）若的值为5，求的值.
【答案】（1）解：由题意得：
∵
∴，
（2）解：由题意得：
∵的值比的值大2，
∴
即：
∴
（3）解：∵
即：
解得：
∵
∴
【知识点】整式的加减运算；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据新运算的定义计算即可；
（2）根据新运算的定义求出和的值，再根据"的值比的值大2"，据此列式计算，即可求出a的值；
（3）根据新运算的定义列式表示即可得到a的值，进而可求出的值.
36．（2023七上·浙江期中）阅读材料，解答问题：如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“亚运数”，例如，自然数3157，其中5＝3×2-1，7＝3×2+1，所以3157是“亚运数”.
（1）填空：①21 是“亚运数”（在横线上填上两个数字）；
②最小的四位“亚运数”是 .
（2）若四位“亚运数”的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫做“冠军数”，求所有“冠军数”.
（3）已知一个大于1的正整数m可以分解成m＝pq+n4的形式（p≤q，n≤6，p，q，n均为正整数），在m的所有表示结果中，当nq-np取得最小时，称“m＝pq+n4”是m的“最小分解”，此时规定：，
例：18＝1×2+24＝1×17+14，因为1×17-1×1＞2×2-2×1，所以F（18）=，求所有“冠军数”的F（m）的最大值.
【答案】（1）35；1022
（2）设千位数字是x，百位数字是y，2x≥y，根据“亚运数”定义，
则有：十位数字是（2x-y），个位数字是（2x+y），
根据题意得：100y+10（2x-y）+2x+y-3y＝88y+22x＝21（4y+x）+（4y+x），
∵21（4y+x）+（x+4y）被7除余3，
∴x+4y＝3+7k，（k是非负整数）
∴x＝1，y＝4；2x-y＜0，不合题意舍去
x＝2，y＝2；冠军数是2226；
或x＝2，y＝9；2x-y＜0，不合题意舍去
x＝3，y＝7；2x-y＜0，2x+y＞9，不合题意舍去，
x＝3，y＝0时，冠军数是3066
∴冠军数是2226或3066．
（3）∵所有的冠军数是：2226或3066．
2226的最小分解＝30×31+64＝……；F（m），
故“冠军数”2226的F（2226）的最大值为：．
3066的最小分解＝613×5+14＝61×50+24＝……；F（m），
故所有冠军数的F（m）的最大值为：．
【知识点】整式的加减运算；定义新运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：（1）①∵千位和百位分别为2和1，
∴十位为：个位为：
∴2135为"亚运数"，
故答案为：35.
②∵千分位不能为0，则最小只能取1，百位最小为0，
∴十位为：个位为：
∴最小的四位“亚运数”是：1022.
故答案为：1022.
【分析】（1）①根据"亚运数"的定义，即可求解；
②根据千分位不能为0，则最小只能取1，根据"十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和"即可求出十位和个位，进而求解；
（2）根据题意列出代数式，然后表示为7的倍数加余数的形式，即可求解；
（3）由（2）知：m=2226或3066，在对其逐一尝试即可.
37．（2023七上·镇海区期中）用“P”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，xPy＝a2x2-2ay+1（a为常数）．例如：1P2＝a2×12-2a×2+1＝a2-4a+1．
（1）当a＝1时，求2P（-3）的值；
（2）若（-2）P2的值比2P（-2）的值大2，求a的值；
（3）若（-2）P2的值为5，求（-4）P8的值．
【答案】（1）解：依题意得：2P（-3）＝a2×22-2a×（-3）+1＝4a2+6a+1，
∴当a＝1时，2P（-3）＝4×12+6×1+1＝11；
（2）解：依题意得：（-2）P2＝a2×（-2）2-2a×2+1＝4a2-4a+1，
又∵2P（-2）＝a2×22-2a×（-2）+1＝4a2+4a+1，
∵（-2）P2的值比2P（-2）的值大2，
∴4a2-4a+1＝4a2+4a+1+2，
解得：a＝，
（3）解：由（2）可知：（-2）P2＝4a2-4a+1，
又∵（-2）P2的值为5，
∴4a2-4a+1＝5，
整理得：a2-a＝1，
∴（-4）P8
＝a2×（-4）2-2a×8+1
＝16a2-16a+1
＝16（a2-a）+1
＝16×1+1
＝17．
【知识点】代数式求值；解一元一次方程；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据定义的运算规则，先列代数式并计算，再将a的值代入即可；
（2）先根据定义的运算规则，分别列代数式计算出 -2）P2 和 2P（-2） ，二者相减差为2，可以列等式，移项合并同类项以后，解一元一次方程即可求出a的值.
（3）根据定义的运算规则，列代等式，由题意可知，该代数式的值为5，可得代数式（a2-a）的值；同样，根据定义的运算规则，用代数式表示 （-4）P8 ，将（a2-a）的值代入即可求出（-4）P8的值.
38．（2023七上·温岭期中）用“ ”规定一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a b＝ab2+2ab+a．如：1 3＝1×32+2×1×3+1＝16．
（1）求2 （-1）的值；
（2）若（a-1） 3＝32，求a的值；
（3）若m＝2 x，n＝（x） 3（其中x为有理数），试比较m、n的大小．
【答案】（1）解：2 （-1）
＝2×（-1）2+2×2×（-1）+2
＝2-4+2
＝0；
答：2 （-1）的值为0；
（2）解：（a-1） 3＝32
（a-1）×32+2（a-1）×3+（a-1）＝32
9a-9+6a-6+a-1＝32
16a＝48
解得a＝3
答：a的值为3；
（3）解：∵m=2x2+4x+2；n=4x
m-n=2x2+2>0
∴m>n
【知识点】整式的加减运算；偶次方的非负性；定义新运算；有理数混合运算法则（含乘方）；解含括号的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据新运算的定义，计算即可求解；
（2）根据新运算的定义得到：解此方程即可求解；
（3）根据新运算的定义得到：再利用作差法即可比较出m和n的大小.
39．（2023七上·温岭期中）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：m＝n＝0时，我们称使得成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为（m，n）．
（1）若（m，1）是“相伴数对”，则m＝ ；
（2） （m，n）是“相伴数对”，则代数式m-[n+（6-12n-15m）]的值为 ．
【答案】（1）
（2）-3
【知识点】定义新运算；利用整式的加减运算化简求值；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）∵（m，1）是“相伴数对”，
∴
解得：
故答案为：；
（2）∵（m，n）是相伴数对，
∴，
即：
∵
∴原式=
故答案为：-3.
【分析】（1）根据新运算的定义，将代入 ，计算即可求出m的值；
（2）根据（m，n）是相伴数对得到：，化简得到：把待求式子化简并转化与有关的式子，进而即可求解.
40．（2023七上·）对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，如：，其中称为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，为“数5”，若将任意两个数交换位置，则称这个过程为“换位思考”，例如：对上述代数式的“数1”和“数5”进行“换位思考”，得到：，则下列说法中正确的个数是（ ）
①代数式进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果②代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到5种结果③代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到7种结果④代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到8种结果
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】去括号法则及应用
【解析】【解答】解：①中，括号前是“＋”号， 进行一次“换位思考”后， 化简的结果不变，仍为：a-b+c-d-e，所以①正确；
②中，括号内四个数任意交换位置，化简后的结果不变，结果为：a-b-c+d+e；a分别与括号内的四个数交换，化简后得到四个结果，分别为：-a+b-c+d+e；-a-b+c+d+e；-a-b-c-d+e；-a-b-c+d-e，共5种结果，所以②正确；
③中，（1）小括号内的几个数交换位置，化简结果不变，只有一个结果，结果为：a+b-c+d+e；（2）b与小括号内的几个数交换位置，可得三个结果，分别为：a-b+c+d+e；a-b-c-d+e；a-b-c+d-e；（3）a与小括号内的几个数交换位置，可得三个结果，分别为：-a+b+c+d+e；-a+b-c-d+e；-a+b-c+d-e；（4）a与b交换位置，化简结果不变，结果与（1）一样，所以总共7种结果。所以③正确；
④中，（1）小括号内的两个数字交换位置，化简结果不变，结果为：a-b-c+d+e；（2）b与小括号内两个数交换位置，可得两个化简结果：a+b-c-d+e；a+b-c+d-e；（3）c与小括号内两个数交换位置，可得两个化简结果：a-b+c-d+e；a-b+c+d-e；（3）a与b，c交换可得两个结果：-a+b-c+d+e；-a-b+c+d+e；（4）a与小括号内的两个数交换位置，化简结果不变，与（1）相同。所以一共7种结果，所以④不正确。
综上说法正确的个数为：3.
故答案为：C.
【分析】根据 “换位思考”， 的定义，结合去括号法则，分别进行化简，即可得出答案。
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