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第2章 有理数的运算
（易错点、重难点、常考点专项练习）
经典题型一：有理数加法中的符号问题
【经典例题1-1】（七年级上·四川遂宁·期中）下列交换加数的位置的变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据有理数加法交换律进行解答即可．
【详解】解：A、，原式变形错误，不符合题意；
B、，原式变形错误，不符合题意；
C、，原式变形错误，不符合题意；
D、，原式变形正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数加法交换律，熟练掌握相关运算律是解本题的关键．
【经典例题1-2】（七年级上·湖南益阳·期末）下列省略加号和括号的形式中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据有理数的加法法则判断即可.
【详解】解：.
故选：B.
【点睛】本题考查了有理数的加法，属于基本题目，掌握有理数的加法法则是关键.
【经典例题1-3】（七年级上·四川内江·期中）为了计算简便，把写成省略加号的和的形式，下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据去括号法则化简，再判断即可．
【详解】原式=．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了去括号法则，即括号前是“+”，去掉后，括号内不变号，括号前是“－”，去掉后，括号内变号．
经典题型二：有理数加法的运算律
【经典例题2-1】（七年级上·山西太原·期中）计算时，下列处理方式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查加法运算律，根据加法交换律和结合律进行解答即可．
【详解】解：
，
故选：A．
【经典例题2-2】（七年级上·山东德州·期中）下列各式能用加法运算律简化运算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了加法运算律．熟练掌握加法运算律是解题的关键．
根据加法运算律进行判断即可．
【详解】解：由题意知，，能用加法运算律简化运算 ，C符合要求；
A、B、D不能用加法运算律简化运算，故不符合要求；
故选：C．
【经典例题2-3】（七年级上·全国·期中）这个运算中，（ ）
A．只用了加法交换律 B．只用了加法结合律
C．既用了加法交换律，又用了加法结合律 D．没有运用运算律
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的运算律，掌握加法交换律，结合律是解题的关键，根据题意将第二项与第四项交换，再将第一项与交换后的第二项结合，交换后的第三项与第四项结合，由此即可求解．
【详解】解：原等式中第四项与第二项带着符号交换位置，是加法交换律，交换后，第一项与交换后的第二项结合，交换后的第三项与第四项结合，
∴既用了加法交换律，又用了加法结合律，
故选：C ．
经典题型三：有理数的加减混合简便运算
【经典例题3-1】（七年级上·河南驻马店·期中）根据加法的运算律进行简便运算，
(1)将图中过程补充完整：
__________……步骤一 ……步骤二 …………………………步骤三 ………………………………步骤四
(2)如图中过程，“步骤一”运用了____________（填序号），“步骤二”运用了____________（填序号）
①加法结合律；②加法交换律
(3)仿照图中的方法，简便计算：．
【答案】(1)，
(2)②，①
(3)
【分析】本题考查有理数加法运算及加法运算律．
（1）根据图中过程结合有理数加法运算法则补充即可；
（2）根据有理数加法运算律解答即可；
（3）先将分数化为小数，再利用有理数加法法则及运算律计算即可．
【详解】（1）解：
……步骤一
……步骤二
…………………………步骤三
………………………………步骤四；
（2）解：根据有理数加法运算律可得：“步骤一”运用了②加法交换律，“步骤二”运用了①加法结合律；
（3）解：原式
．
【经典例题3-2】（七年级上·山东枣庄·期中）计算（能使用简便方法的使用简便方法）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)0
(4)
【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可得到答案；
（2）先将小数化为分数，再将式子变形为，计算即可得到答案；
（3）将式子变形为，进行计算即可得到答案；
（4）将式子变形为，进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【经典例题3-3】（七年级上·江苏苏州·期中）简便计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先去括号，再根据有理数的简便运算，即可求解；
（2）先去括号，再正数与正数相加，负数与负数相加，即可求解；
（3）把小数化成分数，先去括号，再同分母分数相加减，即可求解；
（4）把小数化成分数，先去括号，再同分母分数相加减，即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
【点睛】本题考查了去括号，有理数的加减法，解题关键是熟练掌握去括号的方法及有理数加减法法则．
经典题型四：有理数乘法的运算律
【经典例题4-1】（七年级上·山东菏泽·期中）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：，看谁算得又快又对，有两位同学的解法如下：
小明：原式；
小军：原式；
(1)对于以上两种解法，你认为________的解法较好？
(2)上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来；
(3)用你认为最合适的方法计算：．
【答案】(1)小军
(2)有；见解析
(3)
【分析】本题考查了有理数的简便运算，解题关键是熟练运用乘法分配律进行简便运算．
（1）根据计算的简便程度判断即可；
（2）可以把写成，利用乘法分配律进行计算；
（3）类似（2）的方法计算即可．
【详解】（1）解：小军的算法比聪聪的算法简便，
因此小军的解法较好；
（2）解：有；
；
（3）解：
．
【经典例题4-2】（七年级上·河南周口·期中）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题．
；
解：原式①；
②；
=③；
④；
⑤．
(1)第①步运用的运算律是 ，第②步运用的运算律是 ；
(2)上述计算过程，在第 步出现错误，本题运算的正确结果是 ；
(3)结合上述解法给你的启发，计算：．
【答案】(1)加法交换律；乘法分配律
(2)⑤；
(3)
【分析】本题考查有理数的混合运算．掌握有理数的混合运算法则和运算律是解题关键．
（1）根据加法交换律和乘法分配律解答即可；
（2）由计算过程可知第⑤步计算错误，正确的结果根据有理数的减法法则计算即可；
（3）根据有理数的混合运算法则和运算律求解即可．
【详解】（1）解：第①步运用的运算律是加法交换律，第②步运用的运算律是乘法分配律；
（2）解：上述计算过程，在第⑤步出现错误，本题运算的正确结果是；
（3）解：
．
【经典例题4-3】（七年级上·河南驻马店·期中）下面是小颖计算的过程，请你在运算步骤后的括号内填写运算依据．
解：原式（ ）
（ ）
（ ）
【答案】乘法交换律；乘法结合律；乘法对加法的分配律．
【分析】此题考查了有理数的乘法交换律，乘法结合律，乘法对加法的分配律，
根据有理数的运算律求解即可．
【详解】解：原式（乘法交换律）
（乘法结合律）
（乘法对加法的分配律）
．
经典题型五：倒数的认识
【经典例题5-1】（七年级上·广东佛山·期中）若与互为倒数，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了倒数的定义，绝对值的意义，根据互为倒数的两数之积为1求解即可．
【详解】解：∵与互为倒数，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【经典例题5-2】（七年级上·安徽六安·期中）的倒数与的相反数的和是 ．
【答案】0
【分析】本题主要考查了倒数， 相反数，有理数的加法， 根据倒数， 相反数的定义求出的倒数与的相反数，然后相加即可得出答案．
【详解】解：的倒数是，的相反数数，
∴，
故答案为：0
【经典例题5-3】（七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）的倒数是 ；的相反数是 ．
【答案】 3
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数和相反数，化简多重符号，乘积为1的两个数互为倒数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此求解即可．
【详解】解：的倒数是；
的相反数是3，
故答案为：；3．
经典题型六：倒数的应用
【经典例题6-1】（七年级上·山东菏泽·期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2．
(1)求出，，m的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，，．
(2)3或．
【分析】本题考查了倒数、相反数、绝对值，有理数的加法和乘法，熟记各定义是解决问题的关键．
（1）根据互为相反数的两个数之和为0，互为倒数的积为1，绝对值的意义，即可得出答案；
（2）分两种情况讨论，代入m的，即可解答．
【详解】（1）解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，
∴，，；
（2）解：∵，
∴当时，；
当时，．
综上所述，的值为3或．
【经典例题6-2】（七年级上·安徽六安·期中）已知与互为相反数，与互为倒数．
(1)______，______；
(2)若，求的相反数和倒数．
【答案】(1)3；
(2)相反数为，倒数为
【分析】本题考查了有理数的乘法，相反数的定义、倒数的定义、绝对值的非负性．
（1）根据相反数、倒数的意义求解即可；
（2）根据非负数的意义，即可求出的值，进而即可求解．
【详解】（1）解： 的相反数为3，故；的倒数是，故．
故答案为：3；；
（2）解：由题意，得，而，，
所以，，所以，所以的相反数为；倒数为．
【经典例题6-3】（七年级上·河北保定·期中）已知m与互为倒数，n比最大负整数小2，p的绝对值是4．
(1)求m，n的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2)11或3
【分析】本题考查的是倒数的含义，绝对值的含义，列式计算，求解代数式的值；
（1） 根据倒数的含义可得m的值，根据最大的负整数为，再列式可得n的值；
（2）根据绝对值的含义可得p的值，再分两种情况分别计算即可．
【详解】（1）解：∵m与互为倒数，n比最大负整数小2，
∴； ；
（2）∵p的绝对值是4，
∴P的值为4或，
当时，
当时，
．
经典题型七：有理数幂的概念和理解
【经典例题7-1】（七年级上·安徽六安·期中）下列说法正确的是（ ）
A．表示8个2相乘 B．25表示5个2相加
C．与意义相同 D．的底数是2
【答案】D
【分析】本题主要考查了有理数的乘方．根据乘方的意义，进行判断即可．
【详解】解：A、表示8个2相乘的相反数，∴此选项的说法错误，故不符合题意；
B、表示5个2相乘，∴此选项的说法错误，故不符合题意；
C、表示3个相乘，表示3个3相乘的相反数，∴它们表示的意义不同，故不符合题意；
D、的底数是2，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意，
故选：D．
【经典例题7-2】（七年级上·安徽合肥·期中）下列关于的说法中，正确的是（ ）
A．底数是，指数是4 B．表示4个相乘
C．结果与相等 D．计算结果为
【答案】D
【分析】本题考查有理数的乘方，根据乘方的意义和乘方运算法则求解，进而可得答案．
【详解】解：A、的底数是2，指数是4，故此选项说法错误，不符合题意；
B、表示4个2相乘的相反数，故此选项说法错误，不符合题意；
C、，，结果不相等，故此选项说法错误，不符合题意；
D、的计算结果为，故此选项说法正确，符合题意；
故选：D．
【经典例题7-3】（七年级上·河南安阳·期中）算式可表示为（ ）
A． B．
C． D．以上都不正确
【答案】A
【分析】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即计作，这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，a叫做底数，n叫做指数．根据乘方的定义即可得出答案．．
【详解】解：．
故选：A．
经典题型八：乘方和绝对值综合
【经典例题8-1】（七年级上·江苏南通·期中）已知，．
(1)若，，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘方，解题的关键是掌握绝对值的意义和乘方运算法则．
（1）根据绝对值的意义以及有理数的乘方定义确定、的值，再结合题意即可解决问题；
（2）根据绝对值的意义以及有理数的乘方定义确定、的值，即可解决问题．
【详解】（1）解：，，，，
，，
；
（2），，
，，
，
，
，或，，
当，时，，
当，时，，
的值为或．
【经典例题8-2】（七年级上·江苏南京·期中）若，若，求的次方的值．
【答案】
【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的乘方运算，根据绝对值的意义，求出的值，再根据有理数的乘方法则进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴或．
【经典例题8-3】（七年级上·江苏扬州·期中）在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足
(1)填空：______，_______，________．
(2)画出数轴，并把A、B、C三点表示在数轴上．
【答案】(1)，，
(2)见解析
【分析】本题考查了非负数的性质，数轴．
（1）根据非负数的性质列方程求出a、c的值，根据有理数的概念求出b的值，从而得解；
（2）根据数轴的定义画图并表示即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
解得，，
∵b是最小的正整数，
∴，
故答案为：，，；
（2）解：画出数轴如图所示：
经典题型九：乘方的应用
【经典例题9-1】二进制数与常用的十进制数之间可以互相转换，如将二进制数转换成十进制数的方法为；将二进制数转换成十进制数的方法为．按此方法，二进制数转换成十进制数的结果是 ．（提示：）
【答案】
【分析】本题考查了有理数的乘方以及有理数的混合运算，根据题意将二进制数转换成十进制数，即可求解．
【详解】解：二进制数转换成十进制数为：
【经典例题9-2】（七年级上·全国·期中）小明的文档中有一个如图1的实验中学，他想在这个文档中用1000个这种，设计出一幅如图2样式的图案．他使用“复制粘贴”（用鼠标选中，右键点击“复制”，然后在本文档中“粘贴”）的方式完成，则他需要使用“复制粘贴”的次数至少为 次．
【答案】10
【分析】本题考查了有理数的乘方，理解题意是解题的关键．根据复制粘贴呈2倍的速度增加，所以求2的幂运算．
【详解】解：根据复制粘贴呈2倍的速度增加，
，，
故答案为：10.
【经典例题9-3】（七年级上·山西太原·期中）一块蛋糕，一只小猴第一天吃了一半，第二天吃了剩下的一半，第三天又吃了剩下的一半，第四天这只小猴又吃了剩下的一半，则第四天这只小猴吃了这块蛋糕的 ．
【答案】
【分析】本题主要考查乘方，根据乘方的定义可知，小猴第一天吃了，第二天吃了第三天又吃了，以此类推．第四天这只小猴吃了这块蛋糕的．
【详解】解：小猴第一天吃了，
第二天吃了，
第三天又吃了，
第四天这只小猴吃了这块蛋糕的．
故答案为：．
经典题型十：科学记数法
【经典例题10-1】（2024·广东·模拟预测）2019年1月3日，我国的嫦娥四号探测器成功在月球背面着陆，标志着我国已经成功开始了对月球背面的研究，填补了国际空白．月球距离地球的平均距离为，数据384000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：，
故选：B．
【经典例题10-2】（七年级上·山西太原·期中）今年是“一带一路”倡议提出十周年，作为中国与“一带一路”沿线国家互通互惠互联的有效载体，中欧班列被誉为联结亚欧的“钢铁驼队”．十年来，中欧班列保持安全稳定畅通运行，累计开行超万列．数据“万”用科学记数法可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：万，
故选：．
【经典例题10-3】（2024·江苏徐州·中考真题）2024年“五一”假期，我市实现旅游总收入51.46亿元．将5146000000用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：将5146000000用科学记数法表示为．
故答案为：．
经典题型十一：科学记数法的应用
【经典例题11-1】（七年级上·全国·期中）计算机一般，和作为存储容量的计算单位，它们之间的关系是．
(1)若一个优盘的容量为，其容量相当于多少（结果用表示，其中a取一位小数）？
(2)可以保存约500个汉字，（1）中的这个优盘可以保存多少本10万汉字的小说？
【答案】(1)
(2)本
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．
（1）根据，即可解答；
（2）由题意列式，即可解答．
【详解】（1）解：；
（2）解：（本）．
【经典例题11-2】海王星是太阳系中离太阳最远的行星，太阳光到达海王星需要的时间大约是秒，光在真空中的速度约为米/秒．海王星距离太阳大约有多远？（结果用科学记数法表示）
【答案】米
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【详解】解：（米），
即海王星距离太阳大约有米．
【经典例题11-3】（七年级上·浙江温州·期中）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上不经意地掉下几粒米饭，甚至有些挑食的同学会把吃剩的米饭倒掉，针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学进行了实际测算，称得1000粒大米约重20克．现在请你来计算：
(1)一粒大米重约多少克？
(2)按我国现有人口14亿，按300天，每天每人三餐计算，若每人每餐节约1粒大米，那么大概能节约大米多少千克？（结果用科学记数法表示）
【答案】(1)克
(2)千克
【分析】本题主要考查了有理数除法运算的应用，有理数乘法的应用；
（1）根据题意列出算式进行计算即可；
（2）根据题意列出算式计算即可；
解题的关键是理解题意，熟练掌握有理数运算法则进行计算．
【详解】（1）解：（克）
（2）解：（克），
．
答：每人每餐节约1粒大米，那么大概能节约大米千克．
经典题型十二：含乘方的有理数混合运算
【经典例题12-1】（七年级上·江苏南通·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则．
（1）根据有理数的加、减运算法则计算即可；
（2）根据有理数的加、减运算法则计算即可；
（3）先算乘方和化简绝对值，再算乘除，最后算加减即可；
（4）先算乘方和化简绝对值，再算乘除，最后算加减即可．
【详解】（1）解：
（2）
（3）
（4）
【经典例题12-2】（七年级上·江苏无锡·期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)1
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了有理数的混合计算，掌握计算法则是解题的关键，应用运算律会使计算更简便．
（1）根据有理数加减法法则计算；
（2）将除法变为乘法，再约分计算即可求解；
（3）先算乘方，再算乘法，最后根据有理数的加减法法则计算；
（4）先算乘方，同时根据乘法分配律计算，再算乘法，最后根据有理数的加减法法则计算．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
；
（4）解：
．
【经典例题12-3】（七年级上·江苏无锡·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)
【答案】(1)0
(2)
(3)7
(4)
(5)
(6)
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序．
（1）从左向右依次计算即可；
（2）将和为零的两个数结合为一组求解；
（3）根据乘法分配律计算；
（4）将带分数数转化成假分数，再确定符号，然后从左向右依次计算即可；
（5）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算；
（6）先算乘方，利用乘法交换律和结合律，再根据乘法分配律计算．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
（6）解：
．
经典题型十三：有理数混合运算之纠错题
【经典例题13-1】（七年级上·浙江杭州·期中）老师在黑板上出了一道有理数的混合运算题：
．
小虎给出了解答过程：
解：原式第①步
第②步
第③步
第④步
问题：上述解法中，从第几步开始出错？______（填序号即可）．
写出本题的正确解法．
【答案】①，过程见解析
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．
【详解】从第①步出现错误．
过程如下：原式
．
【经典例题13-2】（七年级上·吉林松原·期中）小红与小亮两位同学计算的过程如图：
请判断他们的解法是否正确（在相应的方框内打“√”或“×”），并写出你的解答过程．
小红： 小亮：
【答案】不正确，见解析
【分析】观察上述运算，小红的乘方运算出错了，应为；小亮的去括号运算出错了，应为，即可作答．
【详解】解：依题意，得
正确解答过程如下：
原式
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，涉及有理数的乘方运算，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【经典例题13-3】（七年级上·吉林长春·期中）学习有理数计算后，冬冬同学遇到这样一道题目：．
冬冬的解法如下：
第一步
第二步
第三步
第四步
冬冬的计算过程从第_________步开始出现错误，错误的原因是_________
请你把这道题正确的计算过程写下来．
【答案】二，有理数的加法法则用错，正确过程见解析．
【分析】原式先算乘方，再算括号里面的加法，再算括号外面的乘法，最后算减法即可得到结果．
【详解】解：冬冬的计算过程从第 二步开始出现错误，错误的原因是有理数的加法法则用错．
．
故答案为：二，有理数的加法法则用错．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
经典题型十四：程序流程图与有理数的计算
【经典例题14-1】（七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图所示的运算流程图中，若输入的数，则输出的结果 ．
【答案】
【分析】本题考查了程序流程图和有理数的混合运算，正确根据流程图的步骤代入数据计算是解题的关键．
将代入然后利用有理数的混合运算求解即可．
【详解】当时，不是偶数，
∴．
故答案为：．
【经典例题14-2】（七年级上·山东日照·期中）如图是一个数值转换机，输入数值后按三个方框中的程序运算，若第一次运算结果大于2，可以输出结果，则称该数只要“算一遍”；若第一次运算无法输出结果，且第二次运算结果大于2，可以输出结果，则称该数需要“算两遍”，以此类推：当输入数为时，则输出的结果为 ．
【答案】3
【分析】本题考查程序流程图与有理数计算．熟练掌握有理数加减运算，有理数大小比较，是解题的关键．
根据流程图，列出算式，进行计算即可，需要“算两遍”，．
【详解】，
，
输出3．
故答案为：3．
【经典例题14-3】（七年级上·江苏宿迁·期中）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，求最后输出的结果？
【答案】最后输出的结果是．
【分析】本题考查了有理数乘法与减法的应用．将代入程序图，根据有理数的乘法与减法法则进行计算，直到计算结果小于即可得．
【详解】解：输入时，输出的结果为，
输入时，输出的结果为，
输入时，输出的结果为，
则最后输出的结果是．
经典题型十五：有理数混合运算实际应用
【经典例题15-1】（七年级上·辽宁辽阳·期中）一出租车一天下午2小时内以木鱼石为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：公里）依先后次序记录如下：
，，，，，.
(1)该车2小时内最远时在木鱼石什么方向？离木鱼石多远？
(2)该名司机将最后一位顾客送达目的地时在木鱼石的什么方向？距离木鱼石有多远？
(3)若每公里收费为5元，且每百公里耗油10升，汽油价格每升6元，那么该司机这2小时除去汽油费后收入是多少？
(4)司机每天还要向出租车公司上交180元的管理费，若一天按照工作8小时计算，问该司机辛苦一天的收入约为多少元？
【答案】(1)最远在木鱼石东面，离木鱼石
(2)将最后一名乘客送到目的地时该车在木鱼石东面，离木鱼石
(3)2小时除去汽油费后收入是154元
(4)该司机辛苦一天的收入约为436元
【分析】本题考查了正负数的实际意义、有理数的混合运算的应用、绝对值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据题意即可得解；
（2）将记录的数字相加即可得出结果；
（3）将记录得数字绝对值相加即可得到总路程，算出总收入，减去汽油费即可得解；
（4）计算出司机的总收入，再减去管理费即可得解．
【详解】（1）解：由题意得：最远在木鱼石东面，离木鱼石；
（2）解：
答：将最后一名乘客送到目的地时该车在木鱼石东面，离木鱼石；
（3）解：，
（元）
答：2小时除去汽油费后收入是154元；
（4）解：（元）
答：该司机辛苦一天的收入约为436元．
【经典例题15-2】（七年级上·江苏苏州·期中）某自行车厂为了赶进度，一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减
(1)根据记录可知第一天生产多少辆？
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？
(3)赶进度期间该厂实行计件工资加浮动工资制度．即：每生产一辆车的工资为60元，超过计划完成任务每辆车则在原来60元工资上再奖励15元；比计划每少生产一辆则在应得的总工资上扣发15元（工资按日统计，每周汇总一次），求该厂工人这一周的工资总额是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据有理数的加法，即可得答案；
（2）根据最大数减最小数，可得答案；
（3）根据每辆的价格乘以数量，可得基本工资，再根据每辆的奖金乘以超额的数量，可得奖金，再根据工资加奖金，可得答案；
本题考查了正数和负数，利用了有理数的加减法运算，利用工资加奖金等于实际收入是解题的关键．
【详解】（1）解：，
答：第一天生产204辆；
（2），
答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产26辆；
（3）
，
答：该厂工人这一周的工资总额是84450元．
【经典例题15-3】（七年级上·广东深圳·期中）某项目学习小组利用假期对某果茶店中秋放假期间网上下单和门店下单两种促销方式进行研究．根据以下素材，探索完成任务．
如何制定果茶订购方案？
素材1 某款果茶每杯原价18元．
素材2 门店下单优惠方案：每购买9杯果茶，免费赠送1杯果茶．配送方式：自取
素材3 网上下单优惠方案：果茶店对于网上首次下单的用户立即送4张优惠券，且当次可用（每单最多只能用一张优惠券，余下的优惠券下一单满足条件仍可继续使用，网上优惠券门店下单不可用）． 4张优惠券分别为：无门槛优惠券1张，面额2元．双人优惠券2张，满25元可用，面额3元，大额优惠券1张，满540元可用，面额60元．配送方式：自取
问题解决
任务1 若通过门店下单方式购买35杯果茶，则需花费多少元？ 若在网上下1个订单订购这35杯果茶至少花费多少元？
任务2 若可以通过多订单组合订购这35杯果茶，求出最省钱的订购方案并计算此订购方案的总费用．（多订单组合是指可多次下单）
【答案】任务1：元，元；任务2：见解析，元
【分析】本题主要考查有理数四则运算的应用，解题的关键是理解题意；
任务一：根据素材2、3可列式进行求解；
任务二：先在线上购买30杯，再在线上购买2杯，然后再在线上购买2杯，最后再在线上购买1杯，进而分别求出所需费用，则问题可求解
【详解】解：任务一：线下需花费：元；
元，
线上可用一张60元的优惠券，
线上需花费：元；
任务二：先在线上购买30杯，用一张60元的优惠券，需花费元，
再在线上购买2杯，用一张3元的优惠券，需花费：，
然后再在线上购买2杯，用一张3元的优惠券，需花费：，
然后再在线上购买1杯，用一张2元的无门槛优惠券，需花费：，
共需花费：元．
经典题型十六：求一个数的近似值
【经典例题16-1】（七年级上·宁夏固原·期中）据中国铁路总公司消息，2019年端午小长假期间，全国铁路累计发送旅客大约五千零七十四万四千人次．横线上的数写作 ，改写成用“万”作单位的数是 万，省略万位后面的尾数约是 万．
【答案】
【分析】本题考查了近似数，熟记相关结论即可．
【详解】解：五千零七十四万四千写作，
改写成用“万”作单位的数是万，
省略万位后面的尾数约是万，
故答案为：，，．
【经典例题16-2】（七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列说法正确的是（ ）
A．近似数和精确度相同
B．（用四舍五入法精确到）
C．由四舍五入得到的近似数，精确到百分位
D．π取，身高约，其中和165都是近似数
【答案】D
【分析】本题主要考查了科学记数法，精确度和求一个数的近似数，近似数的最后一位在什么位上，则精确到什么位，精确到哪位，就是对它后边的一位进行四舍五入，据此求解判断即可．
【详解】解：A、近似数精确度十分位，精确度百分位，二者精确度不相同，原说法错误，不符合题意；
B、（用四舍五入法精确到），原说法错误，不符合题意；
C、由四舍五入得到的近似数，精确到百位，原说法错误，不符合题意；
D、π取，身高约，其中和165都是近似数，原说法正确，符合题意；
故选：D．
【经典例题16-3】（九年级上·河南安阳·期中）用四舍五入法对取近似数，精确到，得到的正确结果是（ ）
A．1.89 B．1.9 C．1.90 D．1.897
【答案】C
【分析】本题考查近似数和有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．精确到哪一位，就是对它后边的一位进行四舍五入．根据对一个数精确到哪一位就是对这一位后面的数字进行四舍五入求解即可．
【详解】解：用四舍五入法对1.8971取近似数，精确到0.01得：1.90．
故选C．
经典题型十七：有理数综合之错位相减
【经典例题17-1】（七年级上·山东烟台·期中）阅读材料：求．
首先设①，
则②，
得，
即．
以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”．
请你根据上面的材料，解决下列问题：
(1)．
(2)；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以2，再错位相减求解；
（2）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以，再错位相减求解；
（3）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以3，再错位相减求解．
【详解】（1）解：设，
则，
得：；
（2）解：设，
则，
得：，
所以；
即；
（3）设，
则3S=3+32+33+34+35+…+32023②，
得：，
所以，
即．
【点睛】本题考查数字规律及有理数的混合运算，理解并掌握“错位相减法”，是解题的关键．
【经典例题17-2】（七年级上·江苏徐州·期中）【拓广探究】下面是小明为了计算的值，采用错位相减法：
设①，则②，
得，∴．
【解决问题】请仿照小明的方法求的值．
【答案】
【分析】设，则，然后求解即可．
【详解】设，则，
得，
∴
∴．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是将所求的式子看作整体进行扩大或缩小，要熟悉本题的解题思路．
【经典例题17-3】（七年级上·辽宁鞍山·期中）阅读材料并解决问题：
求的值，
解：令，等式两边同时乘2，
得
两式相减，得，所以
依据以上计算方法，请计算：的值．
【答案】
【分析】本题考查有理数的混合运算，能根据阅读材料得出解题方法是解题的关键．根据所给阅读材料，依照所给方法，在所令的等式两边都乘3即可解决问题．
【详解】令，
等式两边同时乘以3得：．
两式相减得：，
所以．
经典题型十八：有理数综合之定义新运算
【经典例题18-1】（七年级上·四川凉山·期中）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．
(1)求的值：
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，新定义：
（1）根据新定义可得，据此求解即可；
（2）根据新定义新计算出，再计算出的结果即可．
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：，
∴
．
【经典例题18-2】（七年级上·江苏无锡·期中）对于任意的两个有理数，定义.如．
(1)计算的值；
(2)计算的值．
【答案】(1)6
(2)8
【分析】本题主要考查了新定义运算、有理数混合运算、化简绝对值等知识，正确理解新定义运算是解题关键．
（1）根据新定义运算求解即可；
（2）根据新定义运算，代入数值求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵，
，
∴
【经典例题18-3】（七年级上·江苏南通·期中）已知表示不超过x的最大整数，例如：，现定义，例如：．
(1)________，________；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)，0.8；
(2)1.1；
(3)．
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题关键是正确得出最大整数：
（1）根据取整定义直接求值即可；
（2）根据取整定义求出每一项的最大整数，然后再进行计算即可；
（3）根据取整定义求出每一项的最大整数，然后再进行计算即可．
【详解】（1）解：；
，
故答案为：；0.8；
（2）解：
；
（3）解：
经典题型十九：有理数综合之找规律
【经典例题19-1】找规律，完成下列各题：
(1)如图①，把正方形看作， ．
(2)如图②，把正方形看作， ．
(3)如图③，把正方形看作， ．
(4)计算： ．
(5)计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)，
(4)
(5)
【分析】（1）根据图示规律，有理数的加减混合运算法则即可求解；
（2）根据图示规律，有理数的加减混合运算法则即可求解；
（3）根据图示规律，有理数的加减混合运算法则即可求解；
（4）根据（1），（2），（3）的运算规律，有理数的加减混合运算法则即可求解；
（5）根据（1），（2），（3）的运算规律，有理数的加减混合运算法则即可求解；
【详解】（1）解：如图①，把正方形看作把正方形看作，，
故答案为：．
（2）解：如图②，把正方形看作把正方形看作，，
故答案为：．
（3）解：如图③，把正方形看把正方形看作，，
故答案为：，．
（4）解：，
故答案为：．
（5）解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查图形规律，有理数的混合运算的综合，理解图示规律，掌握有理数的混合方法是解题的关键．
【经典例题19-2】（七年级上·河南安阳·期中）对于一个算式存在下面的运算规律：若，可得，若，可得，例如，．
(1)______；（不必计算结果）
(2)计算；
(3)计算．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查有理数的加减运算，绝对值意义；
（1）根据绝对值的意义进行化简；
（2）根据绝对值的意义进行化简，然后利用有理数的加减运算法则求解即可；
（3）根据有理数减法运算法则结合绝对值的意义先化简绝对值，然后根据数字的变化规律进行分析计算．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
．
【经典例题19-3】（七年级上·山东青岛·期中）探究题
，，，……
(1)以此规律，第5个式子是_________；第个式子是_________．
(2)利用上面发现的规律计算
(3)计算
(4)计算
【答案】(1)，
(2)
(3)
(4)
【分析】此题考查有理数的混合运算，规律型：数字的变化类，解题关键在于理解题意找到计算规律．
（1）观察一系列等式得到一般性规律，写出第5个式子与第n个式子即可；
（2）原式利用得出的规律化简，计算即可得到结果；
（3）原式变形后，利用得出的规律化简，计算即可得到结果；
（4）原式变形后，利用得出的规律化简，计算即可得到结果．
【详解】（1）解：第5个式子是；
第n个式子是，
故答案为：，
（2）
（3）
（4）
1．（七年级上·河南周口·期中）下列各式不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据把有理数加法写成省略括号和加号的代数和，逐项计算并判定即可．
【详解】解：A、，正确，故此选项不符合题意；
B、，正确，故此选项不符合题意；
C、，正确，故此选项不符合题意；
D、，原式错误，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查有理数加法，熟练掌握把有理数加法写成省略括号和加号的代数和的形式是解题的关键．
2．（七年级上·河南周口·期中）对式子进行简便计算，如图所示，②运用到的运算律是（ ）
解： ① ②
A．乘法结合律 B．乘法交换律 C．乘法分配律 D．加法结合律
【答案】C
【分析】此题考查了乘法分配律，根据乘法分配律运算法则求解即可．
【详解】解：根据题意得，②是让和分别与100相乘，然后再相加，
∴②运用到的运算律是乘法分配律．
故选：C．
3．（七年级上·江苏泰州·期中）的倒数是（ ）
A．2024 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查倒数的定义．根据乘积为1的两个数互为倒数求解是解题关键．
【详解】解：的倒数是．
故选：D
4．（七年级上·江苏扬州·期中）关于和，下列说法中正确的是（ ）
A．它们的底数相同，指数也相同
B．它们的底数相同，但指数不相同
C．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同
D．它们的底数不同，但运算结果相同
【答案】D
【分析】本题考查有理数的乘方，有理数幂的概念：表示n个a的乘积，a为底数，n为指数．根据有理数幂的概念解答即可．
【详解】解：的底数是5，指数是3，表示3个5的乘积的相反数，运算结果为，
的底数是，指数是3，表示3个的乘积，运算结果为，
故它们的底数不同，指数相同，所表示的意义不同，但运算结果相同，
所以，选项A、B、C说法错误，不符合题意，
选项D说法正确，符合题意，
故选：D．
5．（七年级上·河南郑州·期末）《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”．大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……．文中的鸟巢共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的乘方．由题意得出算式，求解即可．
【详解】解：（个）；
答：文中的鸟巢共有个．
故选：C．
6．（七年级上·安徽滁州·期中）如图，这是一个计算机的运算程序，若一开始输入的值为，则输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的知识点是有理数混合运算与程序图，解题关键是理解题意．
根据程序图，把输入的得到的结果和做比较后再进行操作，即可求解．
【详解】解：依题得：输入值为可得，
则输出为．
故选．
7．（七年级上·陕西宝鸡·期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是2，则的值为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了相反数，倒数，绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据相反数，倒数，绝对值求出再代入求值即可．
【详解】解：由题意可得，，
当时，；
当时，；
故答案为：或．
8．（七年级上·吉林长春·期中）若，互为相反数，，互为倒数，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了相反数，倒数，绝对值，直接利用相反数以及互为倒数的性质得出，，然后代入即可求解，解题的关键是掌握知识点的应用．
【详解】根据互为相反数且都不为零，可知，
由互为倒数可知，
则
，
故答案为：．
9．（七年级上·全国·期中）填空：
（1）的相反数是 ，倒数是 ；
（2）的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值的定义等知识点，掌握相关定义成为解题的关键．
（1）根据相反数、倒数的定义即可解答；
（2）根据相反数、倒数、绝对值的定义即可解答．
【详解】解：（1）的相反数是，倒数是；
故答案为：，．
（2）的相反数是，倒数是，绝对值是．
故答案为：、、．
10．（七年级上·上海·期中）光在真空中速度约是，1光年是指光在真空中经过1年所行的距离，如果取1年的时间约为：，那么1光年的距离大约是 米．（用科学记数法表示）
【答案】
【分析】该题主要考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法．
首先用光在真空中的速度乘，求出1光年为多少米；然后根据用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中为正整数（n的取值方法，把原数化为时，小数点移动的位数，n的绝对值等于小数点移动的位数），用科学记数法表示1光年即可．
【详解】解：1光年的距离大约是米，
故答案为：．
11．（七年级上·江苏连云港·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，若一开始输入的值为，则输出的结果是 ．
【答案】
【分析】此题考查了有理数的混合运算，把代入程序中计算，判断结果与的大小，依此类推，大于输出即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【详解】解：根据程序框图得：
第一次：，
第二次：，
∴输出结果，
故答案为：．
12．（七年级上·全国·期中）“算24点”是大家熟悉的一种游戏．现有数字6、5、5、1，请你用加、减、乘、除运算（允许用括号）写出一个运算结果为24的式子： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则．利用加、减、乘、除运算得出即可．
【详解】解：列出的算式是．
故答案为：．（答案不唯一）
13．（七年级上·湖北随州·期末）已知表示不超过的最大整数．如：，．现定义：，如，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数大小的比较，有理数的加减运算，根据题意列出算式计算即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
14．（七年级上·山东德州·期中） 用简便方法计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)65
(2)0
(3)
【分析】（1）先用加法结合律分别将整数和负数结合在一起，然后再计算即可；
（2）先把分数化成小数，然后再运用加法结合律计算即可；
（3））先把小数化成分数，然后再运用加法结合律计算即可.
【详解】（1）解：
=
=
=65.
（2）解：
=
=
=
=0.
（3）解：
=
=
=
=
=
=-9.
【点睛】本题主要考查了有理数加减简便运算，掌握有理数加法交换律和去括号法则成为解答本题的关键.
15．（七年级上·河北沧州·期中）阅读下面的解题过程并填空．
计算：．
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
．
(1)在计算过程中，第一步把原式化成________的形式；第二步是根据________得到的，目的是简便计算；
(2)请根据以上的解题技巧计算：．
【答案】(1)省略加号和括号；加法的交换律和结合律
(2)
【分析】（1）根据去括号法则、加法的交换律和结合律即可得；
（2）先去括号、把小数化成分数，再利用加法的交换律和结合律进行计算即可得．
【详解】（1）解：在计算过程中，第一步把原式化成省略加号和括号的形式；第二步是根据加法的交换律和结合律得到的，目的是简便计算，
故答案为：省略加号和括号；加法的交换律和结合律．
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了去括号法则、加法的交换律和结合律、有理数的加减法，熟练掌握有理数的运算法则和运算律是解题关键．
16．（七年级上·浙江宁波·期中）已知，
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了绝对值，有理数的乘方，代数式求值．熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
（1）由题意知，，由，可得，然后代值求解即可；
（2）由，可得，由，可得，即，然后代值求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的值为；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴的值为．
17．（七年级上·重庆·期中）已知，且，，求的值．
【答案】1或49
【分析】根据题意得出，进而代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵
∴，
∵，
∴
∴当时，
∴当时，
【点睛】本题考查了绝对值的意义，代数式求值，有理数的乘方运算，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．
18．（七年级上·全国·期中）细菌分裂是一种特殊的生殖方式，细菌分裂一次由一个变为两个．某种细菌每小时便可以进行一次分裂，经过5小时后这种细菌由1个能分裂成多少个？
【答案】经过5小时后这种细菌由1个能分裂成个
【分析】本题考查了有理数的乘方，解决此题的关键是要找出分裂一次为，
根据已知条件可知细菌每半小时分裂一次(由一个分裂为两个)，经过5个小时就会分裂10次，分裂一次为，则分裂10次为个即可．
【详解】解：∵细菌每小时便可以进行一次分裂，
∴该细菌5小时分裂10次，
∵细菌分裂一次由一个变为两个
∴经过5小时，细菌分裂为个．
答：经过5小时后这种细菌由1个能分裂成个．
19．（七年级上·江苏南通·期中）中秋国庆假期期间，无锡锡惠公园在7天中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）．
日期 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日
人数变化单位：万人
(1)已知9月29日的游客人数为3万人，则10月3日的游客人数是 万人．
(2)七天内接待旅游人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？
(3)如果最少一天接待旅客人，问9月29日接待旅游的人数有多少万人？
【答案】(1)5.4
(2)七天内接待旅游人数最多的是10月2日，最少的是10月6日，它们相差2.2万人
(3)2.6万人
【分析】本题考查正负数的应用、有理数的混合运算、科学记数法，理解题意，正确列算式是解答的关键．
（1）利用正负数的意义和有理数的加减运算求解即可．
（2）相对9月29日的游客人数，求得每一天的接待人数变化即可得出结论；
（3）由（2）中可知10月6日人数最少，根据相对9月29日接待旅游的人数的变化人数求解即可．
【详解】（1）解：∵9月29日的游客人数为3万人，
∴9月30号游客人数为（万人）；
10月1日游客人数为（万人）；
10月2日游客人数为（万人），
10月3日游客人数为（万人），
故答案为：5.4；
（2）解：相对9月29日的游客人数，每天的人数变化为：
9月30日的游客变化人数为：万人；
10月1日的游客变化人数为：万人；
10月2日的游客变化人数为：万人；
10月3日的游客变化人数为：万人；
10月4日的游客变化人数为：万人；
10月5日的游客变化人数为：万人；
10月6日的游客变化人数为：万人；
∵，，
∴七天内接待旅游人数最多的是10月2日，最少的是10月6日，它们相差2.2万人；
（3）解：∵最少一天是10月6日，接待旅客人，即万人，
∴（万人）
∴9月29日接待旅游的人数有2.6万人．
20．（七年级上·山东青岛·期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则．
（1）先算除法、化简绝对值和相反数，再算加减即可求解；
（2）将式中的除法转化为乘法，利用乘法分配律计算即可；
（3）先算乘方，再算乘法，最后算减法即可；
（4）利用乘法分配律计算即可；
（5）先将带分数化为小数，再利用加法的交换律和结合律计算即可；
（6）先算乘方，再算乘除，最后算减法即可．
【详解】（1）解：
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
21．（七年级上·湖北武汉·期中）（1）下面是某同学的运算过程：
解：原式
步骤1
步骤2
步骤3
步骤4
请写出该同学解法中各步骤的依据（填序号）
①加法法则 ②减法法则 ③加法交换律 ④加法结合律
步骤1的依据是_______________ 步骤2的依据是_______________
步骤3的依据是_______________ 步骤4的依据是_______________
（2）计算：
【答案】（1）②；③④；①；②；（2）3
【分析】（1）根据有理数加减法的运算法则计算判断即可；
（2）先计算有理数的乘方运算，然后计算乘除法，最后计算加减法即可．
【详解】解：（1）根据题意：步骤1的依据是②减法法则；
步骤2的依据是③加法交换律，④加法结合律；
步骤3的依据是①加法法则；
步骤4的依据是②减法法则；
故答案为：②；③④；①；②；
（2）
．
【点睛】题目主要考查有理数的加减运算及含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
22．（七年级上·江苏盐城·期中）“24”点游戏的规则是这样的：在整数范围内任意取四个数，然后进行加、减、乘、除四则运算（每个数只能用一次，可使用小括号、中括号），使其结果等于24．
例如：取2、3、6、9这四个数进行运算，得：或或等．
(1)用、、5、3这四个整数，写出1种算式，使其运算结果为24；
(2)用、3、4、10这四个整数，写出2种不同的算式，使其运算结果为24；
(3)用、2、8、11这四个整数，写出1种算式，使其运算结果为24．
【答案】(1)
(2)；
(3)
【分析】本题考查的是有理数的加减乘除混合运算，掌握有理数的加减乘除混合运算的运算顺序与运算法则是解题的关键．
（1）利用，而，从而可得答案；
（2）利用和，从而可得答案
（3）利用，从而可得答案．
【详解】（1）解：用、、5、3这四个整数，使其运算结果为24，
这个算式为；
（2）用、3、4、10这四个整数，使其运算结果为24，
这个算式为或；
（3）用、2、8、11这四个整数，使其运算结果为24，
这个算式为．
23．（七年级上·新疆阿克苏·期中）某水果店销售冰糖心苹果，每箱冰糖心苹果的标准质量为．与标准质量相比，每箱超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．张叔叔在该店购买了5箱冰糖心苹果，称重后记录如下表（单位：）：
箱数 第1箱 第2箱 第3箱 第4箱 第5箱
与标准质量的差值
(1)这5箱冰糖心苹果中，质量最轻的一箱与最重的一箱相差产 ．
(2)张叔叔购买的这5箱冰糖心苹果的总质量是多少千克？
(3)若每千克冰糖心苹果的售价为10.5元，张叔叔应付给商家多少元？
【答案】(1)0.7
(2)25.4千克
(3)266.7元
【分析】此题主要考查了正负数的意义以及有理数的混合运算，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，
（1）先找出质量重的比标准重多少，质量轻的比标准轻多少，然后再相减即可得出答案；
（2）首先求得5箱超过或不足的总和，再加上千克，即可求得；
（3）根据“单价×数量=总价”解答即可．
【详解】（1）解：根据表格中的数据得，质量轻的与标准质量的差值为，质量重的与标准质量的差值为，
所以，质量最轻的一箱与最重的一箱相差重量为
故答案为：0.7
（2）解：
（千克）
答：这5箱冰糖心苹果的总质量是25.4千克
（3）解：（元）
答：张叔叔应付给商家266.7元
24．（七年级上·广东深圳·期中）在计算1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100时，可以先设S＝1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100，然后在等式两边同乘以2，则有2S＝2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101，最后两式相减可得：2S－S＝(2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101)－(1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100)＝2101－1，即得S＝2101－1．即1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100＝2101－1．
根据以上方法，计算：1＋()＋()2＋()3＋…＋()2019＋()2020．
【答案】
【分析】依据题例的方法乘2后，错位相减即可．
【详解】解：设,
则，
两式相减得：
即
【点睛】本题属于新定义运算，考查有理数的混合运算，读懂材料内容，理解题中错位相减的方法是解题关键．
25．（七年级上·安徽合肥·期中）观察下列等式：
，
，
，
…
问题：
(1)等式左边各项幂的底数和右边幂的底数有什么关系？
(2)上面的等式有何规律，你能用一个式子写出来吗？
(3)利用（2）中的规律，求的值．
【答案】(1)等式左边各项幂的底数的和等于右边幂的底数
(2)
(3)
【分析】（1）根据所给的3个算式，可得：等式左边各项幂的底数的和等于右边幂的底数；
（2）根据所给的3个算式，可得：每个等式的左边是从1开始的连续几个正整数的立方和，右边等于这几个连续的正整数的和的平方，据此计算解答；
（3）根据（2）的规律计算即可
【详解】（1）解：，右边幂的底数：，
，右边幂的底数：
，右边幂的底数：
…
，右边幂的底数：，
等式左边各项幂的底数和右边幂的底数的关系为：等式左边各项幂的底数的和等于右边幂的底数
（2）解：；
（3）解：
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，关键是找规律，本题的规律为：左边各个幂的底数之和等于右边幂的底数．
26．（七年级上·江西吉安·期中）观察下面算式的演算过程：
……
(1)根据上面的规律，直接写出下面结果：
， ， ．（n为正整数）
(2)根据规律计算：．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，找到规律是关键．
（1）依据规律即可完成；
（2）由（1）得出的规律，按照有理数的乘法进行计算即可．
【详解】（1）解：，，．（n为正整数）
故答案为：，，
（2）解：
．
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第2章 有理数的运算
（易错点、重难点、常考点专项练习）
经典题型一：有理数加法中的符号问题
【经典例题1-1】（七年级上·四川遂宁·期中）下列交换加数的位置的变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【经典例题1-2】（七年级上·湖南益阳·期末）下列省略加号和括号的形式中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【经典例题1-3】（七年级上·四川内江·期中）为了计算简便，把写成省略加号的和的形式，下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
经典题型二：有理数加法的运算律
【经典例题2-1】（七年级上·山西太原·期中）计算时，下列处理方式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【经典例题2-2】（七年级上·山东德州·期中）下列各式能用加法运算律简化运算的是（ ）
A． B．
C． D．
【经典例题2-3】（七年级上·全国·期中）这个运算中，（ ）
A．只用了加法交换律 B．只用了加法结合律
C．既用了加法交换律，又用了加法结合律 D．没有运用运算律
经典题型三：有理数的加减混合简便运算
【经典例题3-1】（七年级上·河南驻马店·期中）根据加法的运算律进行简便运算，
(1)将图中过程补充完整：
__________……步骤一 ……步骤二 …………………………步骤三 ………………………………步骤四
(2)如图中过程，“步骤一”运用了____________（填序号），“步骤二”运用了____________（填序号）
①加法结合律；②加法交换律
(3)仿照图中的方法，简便计算：．
【经典例题3-2】（七年级上·山东枣庄·期中）计算（能使用简便方法的使用简便方法）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【经典例题3-3】（七年级上·江苏苏州·期中）简便计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
经典题型四：有理数乘法的运算律
【经典例题4-1】（七年级上·山东菏泽·期中）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：，看谁算得又快又对，有两位同学的解法如下：
小明：原式；
小军：原式；
(1)对于以上两种解法，你认为________的解法较好？
(2)上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来；
(3)用你认为最合适的方法计算：．
【经典例题4-2】（七年级上·河南周口·期中）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题．
；
解：原式①；
②；
=③；
④；
⑤．
(1)第①步运用的运算律是 ，第②步运用的运算律是 ；
(2)上述计算过程，在第 步出现错误，本题运算的正确结果是 ；
(3)结合上述解法给你的启发，计算：．
【经典例题4-3】（七年级上·河南驻马店·期中）下面是小颖计算的过程，请你在运算步骤后的括号内填写运算依据．
解：原式（ ）
（ ）
（ ）
经典题型五：倒数的认识
【经典例题5-1】（七年级上·广东佛山·期中）若与互为倒数，则 ．
【经典例题5-2】（七年级上·安徽六安·期中）的倒数与的相反数的和是 ．
【经典例题5-3】（七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）的倒数是 ；的相反数是 ．
经典题型六：倒数的应用
【经典例题6-1】（七年级上·山东菏泽·期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2．
(1)求出，，m的值；
(2)求的值．
【经典例题6-2】（七年级上·安徽六安·期中）已知与互为相反数，与互为倒数．
(1)______，______；
(2)若，求的相反数和倒数．
【经典例题6-3】（七年级上·河北保定·期中）已知m与互为倒数，n比最大负整数小2，p的绝对值是4．
(1)求m，n的值；
(2)求的值．
经典题型七：有理数幂的概念和理解
【经典例题7-1】（七年级上·安徽六安·期中）下列说法正确的是（ ）
A．表示8个2相乘 B．25表示5个2相加
C．与意义相同 D．的底数是2
【经典例题7-2】（七年级上·安徽合肥·期中）下列关于的说法中，正确的是（ ）
A．底数是，指数是4 B．表示4个相乘
C．结果与相等 D．计算结果为
【经典例题7-3】（七年级上·河南安阳·期中）算式可表示为（ ）
A． B．
C． D．以上都不正确
经典题型八：乘方和绝对值综合
【经典例题8-1】（七年级上·江苏南通·期中）已知，．
(1)若，，求的值；
(2)若，求的值．
【经典例题8-2】（七年级上·江苏南京·期中）若，若，求的次方的值．
【经典例题8-3】（七年级上·江苏扬州·期中）在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足
(1)填空：______，_______，________．
(2)画出数轴，并把A、B、C三点表示在数轴上．
经典题型九：乘方的应用
【经典例题9-1】二进制数与常用的十进制数之间可以互相转换，如将二进制数转换成十进制数的方法为；将二进制数转换成十进制数的方法为．按此方法，二进制数转换成十进制数的结果是 ．（提示：）
【经典例题9-2】（七年级上·全国·期中）小明的文档中有一个如图1的实验中学，他想在这个文档中用1000个这种，设计出一幅如图2样式的图案．他使用“复制粘贴”（用鼠标选中，右键点击“复制”，然后在本文档中“粘贴”）的方式完成，则他需要使用“复制粘贴”的次数至少为 次．
【经典例题9-3】（七年级上·山西太原·期中）一块蛋糕，一只小猴第一天吃了一半，第二天吃了剩下的一半，第三天又吃了剩下的一半，第四天这只小猴又吃了剩下的一半，则第四天这只小猴吃了这块蛋糕的 ．
经典题型十：科学记数法
【经典例题10-1】（2024·广东·模拟预测）2019年1月3日，我国的嫦娥四号探测器成功在月球背面着陆，标志着我国已经成功开始了对月球背面的研究，填补了国际空白．月球距离地球的平均距离为，数据384000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【经典例题10-2】（七年级上·山西太原·期中）今年是“一带一路”倡议提出十周年，作为中国与“一带一路”沿线国家互通互惠互联的有效载体，中欧班列被誉为联结亚欧的“钢铁驼队”．十年来，中欧班列保持安全稳定畅通运行，累计开行超万列．数据“万”用科学记数法可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【经典例题10-3】（2024·江苏徐州·中考真题）2024年“五一”假期，我市实现旅游总收入51.46亿元．将5146000000用科学记数法表示为 ．
经典题型十一：科学记数法的应用
【经典例题11-1】（七年级上·全国·期中）计算机一般，和作为存储容量的计算单位，它们之间的关系是．
(1)若一个优盘的容量为，其容量相当于多少（结果用表示，其中a取一位小数）？
(2)可以保存约500个汉字，（1）中的这个优盘可以保存多少本10万汉字的小说？
【经典例题11-2】海王星是太阳系中离太阳最远的行星，太阳光到达海王星需要的时间大约是秒，光在真空中的速度约为米/秒．海王星距离太阳大约有多远？（结果用科学记数法表示）
【经典例题11-3】（七年级上·浙江温州·期中）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上不经意地掉下几粒米饭，甚至有些挑食的同学会把吃剩的米饭倒掉，针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学进行了实际测算，称得1000粒大米约重20克．现在请你来计算：
(1)一粒大米重约多少克？
(2)按我国现有人口14亿，按300天，每天每人三餐计算，若每人每餐节约1粒大米，那么大概能节约大米多少千克？（结果用科学记数法表示）
经典题型十二：含乘方的有理数混合运算
【经典例题12-1】（七年级上·江苏南通·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【经典例题12-2】（七年级上·江苏无锡·期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【经典例题12-3】（七年级上·江苏无锡·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)
经典题型十三：有理数混合运算之纠错题
【经典例题13-1】（七年级上·浙江杭州·期中）老师在黑板上出了一道有理数的混合运算题：
．
小虎给出了解答过程：
解：原式第①步
第②步
第③步
第④步
问题：上述解法中，从第几步开始出错？______（填序号即可）．
写出本题的正确解法．
【经典例题13-2】（七年级上·吉林松原·期中）小红与小亮两位同学计算的过程如图：
请判断他们的解法是否正确（在相应的方框内打“√”或“×”），并写出你的解答过程．
小红： 小亮：
【经典例题13-3】（七年级上·吉林长春·期中）学习有理数计算后，冬冬同学遇到这样一道题目：．
冬冬的解法如下：
第一步
第二步
第三步
第四步
冬冬的计算过程从第_________步开始出现错误，错误的原因是_________
请你把这道题正确的计算过程写下来．
经典题型十四：程序流程图与有理数的计算
【经典例题14-1】（七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图所示的运算流程图中，若输入的数，则输出的结果 ．
【经典例题14-2】（七年级上·山东日照·期中）如图是一个数值转换机，输入数值后按三个方框中的程序运算，若第一次运算结果大于2，可以输出结果，则称该数只要“算一遍”；若第一次运算无法输出结果，且第二次运算结果大于2，可以输出结果，则称该数需要“算两遍”，以此类推：当输入数为时，则输出的结果为 ．
【经典例题14-3】（七年级上·江苏宿迁·期中）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，求最后输出的结果？
经典题型十五：有理数混合运算实际应用
【经典例题15-1】（七年级上·辽宁辽阳·期中）一出租车一天下午2小时内以木鱼石为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：公里）依先后次序记录如下：
，，，，，.
(1)该车2小时内最远时在木鱼石什么方向？离木鱼石多远？
(2)该名司机将最后一位顾客送达目的地时在木鱼石的什么方向？距离木鱼石有多远？
(3)若每公里收费为5元，且每百公里耗油10升，汽油价格每升6元，那么该司机这2小时除去汽油费后收入是多少？
(4)司机每天还要向出租车公司上交180元的管理费，若一天按照工作8小时计算，问该司机辛苦一天的收入约为多少元？
【经典例题15-2】（七年级上·江苏苏州·期中）某自行车厂为了赶进度，一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减
(1)根据记录可知第一天生产多少辆？
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？
(3)赶进度期间该厂实行计件工资加浮动工资制度．即：每生产一辆车的工资为60元，超过计划完成任务每辆车则在原来60元工资上再奖励15元；比计划每少生产一辆则在应得的总工资上扣发15元（工资按日统计，每周汇总一次），求该厂工人这一周的工资总额是多少？
【经典例题15-3】（七年级上·广东深圳·期中）某项目学习小组利用假期对某果茶店中秋放假期间网上下单和门店下单两种促销方式进行研究．根据以下素材，探索完成任务．
如何制定果茶订购方案？
素材1 某款果茶每杯原价18元．
素材2 门店下单优惠方案：每购买9杯果茶，免费赠送1杯果茶．配送方式：自取
素材3 网上下单优惠方案：果茶店对于网上首次下单的用户立即送4张优惠券，且当次可用（每单最多只能用一张优惠券，余下的优惠券下一单满足条件仍可继续使用，网上优惠券门店下单不可用）． 4张优惠券分别为：无门槛优惠券1张，面额2元．双人优惠券2张，满25元可用，面额3元，大额优惠券1张，满540元可用，面额60元．配送方式：自取
问题解决
任务1 若通过门店下单方式购买35杯果茶，则需花费多少元？ 若在网上下1个订单订购这35杯果茶至少花费多少元？
任务2 若可以通过多订单组合订购这35杯果茶，求出最省钱的订购方案并计算此订购方案的总费用．（多订单组合是指可多次下单）
经典题型十六：求一个数的近似值
【经典例题16-1】（七年级上·宁夏固原·期中）据中国铁路总公司消息，2019年端午小长假期间，全国铁路累计发送旅客大约五千零七十四万四千人次．横线上的数写作 ，改写成用“万”作单位的数是 万，省略万位后面的尾数约是 万．
【经典例题16-2】（七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列说法正确的是（ ）
A．近似数和精确度相同
B．（用四舍五入法精确到）
C．由四舍五入得到的近似数，精确到百分位
D．π取，身高约，其中和165都是近似数
【经典例题16-3】（九年级上·河南安阳·期中）用四舍五入法对取近似数，精确到，得到的正确结果是（ ）
A．1.89 B．1.9 C．1.90 D．1.897
经典题型十七：有理数综合之错位相减
【经典例题17-1】（七年级上·山东烟台·期中）阅读材料：求．
首先设①，
则②，
得，
即．
以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”．
请你根据上面的材料，解决下列问题：
(1)．
(2)；
(3)求的值．
【经典例题17-2】（七年级上·江苏徐州·期中）【拓广探究】下面是小明为了计算的值，采用错位相减法：
设①，则②，
得，∴．
【解决问题】请仿照小明的方法求的值．
【经典例题17-3】（七年级上·辽宁鞍山·期中）阅读材料并解决问题：
求的值，
解：令，等式两边同时乘2，
得
两式相减，得，所以
依据以上计算方法，请计算：的值．
经典题型十八：有理数综合之定义新运算
【经典例题18-1】（七年级上·四川凉山·期中）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．
(1)求的值：
(2)求的值．
【经典例题18-2】（七年级上·江苏无锡·期中）对于任意的两个有理数，定义.如．
(1)计算的值；
(2)计算的值．
【经典例题18-3】（七年级上·江苏南通·期中）已知表示不超过x的最大整数，例如：，现定义，例如：．
(1)________，________；
(2)求的值；
(3)求的值．
经典题型十九：有理数综合之找规律
【经典例题19-1】找规律，完成下列各题：
(1)如图①，把正方形看作， ．
(2)如图②，把正方形看作， ．
(3)如图③，把正方形看作， ．
(4)计算： ．
(5)计算： ．
【经典例题19-2】（七年级上·河南安阳·期中）对于一个算式存在下面的运算规律：若，可得，若，可得，例如，．
(1)______；（不必计算结果）
(2)计算；
(3)计算．
【经典例题19-3】（七年级上·山东青岛·期中）探究题
，，，……
(1)以此规律，第5个式子是_________；第个式子是_________．
(2)利用上面发现的规律计算
(3)计算
(4)计算
1．（七年级上·河南周口·期中）下列各式不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（七年级上·河南周口·期中）对式子进行简便计算，如图所示，②运用到的运算律是（ ）
解： ① ②
A．乘法结合律 B．乘法交换律 C．乘法分配律 D．加法结合律
3．（七年级上·江苏泰州·期中）的倒数是（ ）
A．2024 B． C． D．
4．（七年级上·江苏扬州·期中）关于和，下列说法中正确的是（ ）
A．它们的底数相同，指数也相同
B．它们的底数相同，但指数不相同
C．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同
D．它们的底数不同，但运算结果相同
5．（七年级上·河南郑州·期末）《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”．大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……．文中的鸟巢共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．（七年级上·安徽滁州·期中）如图，这是一个计算机的运算程序，若一开始输入的值为，则输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．（七年级上·陕西宝鸡·期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是2，则的值为 ．
8．（七年级上·吉林长春·期中）若，互为相反数，，互为倒数，，则 ．
9．（七年级上·全国·期中）填空：
（1）的相反数是 ，倒数是 ；
（2）的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 ．
10．（七年级上·上海·期中）光在真空中速度约是，1光年是指光在真空中经过1年所行的距离，如果取1年的时间约为：，那么1光年的距离大约是 米．（用科学记数法表示）
11．（七年级上·江苏连云港·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，若一开始输入的值为，则输出的结果是 ．
12．（七年级上·全国·期中）“算24点”是大家熟悉的一种游戏．现有数字6、5、5、1，请你用加、减、乘、除运算（允许用括号）写出一个运算结果为24的式子： ．
13．（七年级上·湖北随州·期末）已知表示不超过的最大整数．如：，．现定义：，如，则 ．
14．（七年级上·山东德州·期中） 用简便方法计算：
(1)
(2)
(3)
15．（七年级上·河北沧州·期中）阅读下面的解题过程并填空．
计算：．
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
．
(1)在计算过程中，第一步把原式化成________的形式；第二步是根据________得到的，目的是简便计算；
(2)请根据以上的解题技巧计算：．
16．（七年级上·浙江宁波·期中）已知，
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
17．（七年级上·重庆·期中）已知，且，，求的值．
18．（七年级上·全国·期中）细菌分裂是一种特殊的生殖方式，细菌分裂一次由一个变为两个．某种细菌每小时便可以进行一次分裂，经过5小时后这种细菌由1个能分裂成多少个？
19．（七年级上·江苏南通·期中）中秋国庆假期期间，无锡锡惠公园在7天中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）．
日期 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日
人数变化单位：万人
(1)已知9月29日的游客人数为3万人，则10月3日的游客人数是 万人．
(2)七天内接待旅游人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？
(3)如果最少一天接待旅客人，问9月29日接待旅游的人数有多少万人？
20．（七年级上·山东青岛·期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
21．（七年级上·湖北武汉·期中）（1）下面是某同学的运算过程：
解：原式
步骤1
步骤2
步骤3
步骤4
请写出该同学解法中各步骤的依据（填序号）
①加法法则 ②减法法则 ③加法交换律 ④加法结合律
步骤1的依据是_______________ 步骤2的依据是_______________
步骤3的依据是_______________ 步骤4的依据是_______________
（2）计算：
22．（七年级上·江苏盐城·期中）“24”点游戏的规则是这样的：在整数范围内任意取四个数，然后进行加、减、乘、除四则运算（每个数只能用一次，可使用小括号、中括号），使其结果等于24．
例如：取2、3、6、9这四个数进行运算，得：或或等．
(1)用、、5、3这四个整数，写出1种算式，使其运算结果为24；
(2)用、3、4、10这四个整数，写出2种不同的算式，使其运算结果为24；
(3)用、2、8、11这四个整数，写出1种算式，使其运算结果为24．
23．（七年级上·新疆阿克苏·期中）某水果店销售冰糖心苹果，每箱冰糖心苹果的标准质量为．与标准质量相比，每箱超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．张叔叔在该店购买了5箱冰糖心苹果，称重后记录如下表（单位：）：
箱数 第1箱 第2箱 第3箱 第4箱 第5箱
与标准质量的差值
(1)这5箱冰糖心苹果中，质量最轻的一箱与最重的一箱相差产 ．
(2)张叔叔购买的这5箱冰糖心苹果的总质量是多少千克？
(3)若每千克冰糖心苹果的售价为10.5元，张叔叔应付给商家多少元？
24．（七年级上·广东深圳·期中）在计算1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100时，可以先设S＝1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100，然后在等式两边同乘以2，则有2S＝2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101，最后两式相减可得：2S－S＝(2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101)－(1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100)＝2101－1，即得S＝2101－1．即1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100＝2101－1．
根据以上方法，计算：1＋()＋()2＋()3＋…＋()2019＋()2020．
25．（七年级上·安徽合肥·期中）观察下列等式：
，
，
，
…
问题：
(1)等式左边各项幂的底数和右边幂的底数有什么关系？
(2)上面的等式有何规律，你能用一个式子写出来吗？
(3)利用（2）中的规律，求的值．
26．（七年级上·江西吉安·期中）观察下面算式的演算过程：
……
(1)根据上面的规律，直接写出下面结果：
， ， ．（n为正整数）
(2)根据规律计算：．
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