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第3章 实数
（易错点、重难点、常考点专项练习）
经典题型一：求一个数的平方根和算术平方根
【经典例题1-1】（七年级上·山西太原·期中）下列说法正确的是（ ）
A．平方根是本身的数是0和1
B．1的平方根是1
C． 的平方根是
D．是的一个平方根
【经典例题1-2】（七年级上·山东青岛·期中）下列说法正确的是（ ）
A．0.2是的算术平方根 B．是25的平方根
C．的算术平方根是9 D．16的平方根是4
【经典例题1-3】（七年级上·浙江温州·期中）下列说法错误的是（ ）
A．是9的平方根 B．的平方根为
C．25的平方根为 D．负数没有平方根
经典题型二：判断式子是否正确
【经典例题2-1】（七年级上·上海·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【经典例题2-2】（七年级上·四川绵阳·期中）“的平方根是”的数学表达式是（ ）
A． B． C． D．
【经典例题2-3】（七年级上·山西太原·期中）下列各等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
经典题型三：算术平方根的实际应用
【经典例题3-1】（七年级上·河南驻马店·期中）有一个边长为的正方形和一个长为，宽为的长方形，作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，则该正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【经典例题3-2】（七年级上·河南·期中）如图所示，长方形内两相邻正方形的面积分别是1和9，那么长方形内阴影部分的面积是 ．
【经典例题3-3】（七年级上·全国·期中）用大小完全相同的块正方形地砖，铺一间面积为的会议室的地面，每块地砖的边长是 m．
经典题型四：平方根的应用
【经典例题4-1】（七年级上·江苏苏州·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是 ．
【经典例题4-2】（七年级上·山东菏泽·期中）已知正数的两个不同的平方根分别是 和， 的算术平方根是4．
(1)求a，b的值；
(2)求 的平方根．
【经典例题4-3】（七年级上·广东佛山·期中）已知3是的平方根，5是的平方根，求的算术平方根．
经典题型五：判断是否为无理数
【经典例题5-1】实数，，，，，，（每两个3之间依次多一个1）中，无理数的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【经典例题5-2】（七年级上·安徽六安·期中）在实数，0，，，中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【经典例题5-3】（七年级上·安徽六安·期中）下列实数3.14，，π，，0.121121112，中，有理数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
经典题型六：实数的分类
【经典例题6-1】（七年级上·安徽合肥·期中）把下列各数对应的序号填在相应的大括号内
，，，，，，，，，
正整数集合{___________________________________…}；
负分数集合{___________________________________…}；
非负数集合{___________________________________…}；
【经典例题6-2】把下列各数的序号填在相应的横线里：
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧
整数集合：｛ …｝
分数集合：｛ …｝
无理数集合：｛ …｝
非负有理数集合：｛ …｝
【经典例题6-3】（七年级上·江苏南京·期中）把下列各数的序号填在相应的集合里：
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧．
整数集合：_________________________；
负分数集合：_________________________；
正有理数集合：_________________________．
经典题型七：实数和数轴
【经典例题7-1】（七年级上·江苏南通·期中）如图，点在数轴上，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【经典例题7-2】（七年级上·江苏扬州·期中）如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【经典例题7-3】如图所示，若数轴上的点A，B，C，D分别表示数，1，2，3，则表示的点P应在（ ）
A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上
经典题型八：无理数的估算
【经典例题8-1】（七年级上·全国·期中）若在两个连续整数和之间，即，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【经典例题8-2】（七年级上·全国·期中）估算的值应在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
【经典例题8-3】（七年级上·山西太原·期中）已知，分别是的整数部分和小数部分，则的值为 ．
经典题型九：求一个数的立方根
【经典例题9-1】（七年级上·全国·期中）下列说法正确的是（ ）
A．的立方根是 B．的平方根是
C．的算术平方根是4 D．的立方根是
【经典例题9-2】（七年级上·四川成都·期中）下列说法正确的是（ ）
A．1的立方根与平方根都是1 B．
C．的平方根是 D．
【经典例题9-3】（七年级上·贵州贵阳·期中）下列说法正确的是（ ）
A．平方根等于本身的数是0
B．带根号的数都是无理数
C．立方根等于本身的数是1或0
D．数轴上的点对应的数不是整数就是分数
经典题型十：平方根和立方根综合应用
【经典例题10-1】（七年级上·全国·期中）如果是的算术平方根，是的立方根．试求：的平方根．
【经典例题10-2】（七年级上·上海·期中）已知的平方根是的立方根是是最小的正整数，求的值．
【经典例题10-3】（七年级上·浙江杭州·期中）已知的平方根是，的立方根是3．
(1)求，的值；
(2)求的算术平方根．
经典题型十一：立方根的实际应用
【经典例题11-1】（七年级上·全国·期中）有一块正方体木块，体积是216，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，那么每个小正方体木块的表面积是多少？（正方体的体积棱长的立方）
【经典例题11-2】已知一个正方体的体积为．
(1)求正方体的棱长．
(2)若将正方体的体积变为原来的8倍，则它的棱长变为原来的多少倍？
【经典例题11-3】（七年级上·四川南充·期中）已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的．
(1)求乙正方体纸盒的体积．
(2)求丙正方体纸盒的棱长．
经典题型十二：实数的混合运算
【经典例题12-1】（七年级上·浙江金华·期中）计算：．
【经典例题12-2】计算
(1)；
(2)．
【经典例题12-3】（七年级上·四川自贡·期中）计算：
(1)
(2)
经典题型十三：实数综合之规律题
【经典例题13-1】（七年级上·江苏无锡·期中）根据表1和表2中的规律填空：
表1：
a 9.20 9.21 9.22 9.23 9.24
84.6400 84.8241 85.0084 85.1929 85.3776
表2：
b 0.0004 0.04 4 400 40000
0.02 0.2 2 20 200
(1)估计___________；（精确到0.01）
(2)估计___________；（精确到0.001）
(3)已知：，，则___________，___________；
(4)已知：，，则___________．
【经典例题13-2】（七年级上·江苏·期中）数学探究活动．
自主探究：完成表格内容．
… …
… ______ ______ ______ ______ …
发现规律：由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：______；
应用迁移：
根据你发现的规律填空：已知，则______，______；
拓展延伸：，则______，______．
【经典例题13-3】（七年级上·吉林松原·期中）观察下列规律回答问题：，，，，，
(1)则 ； ；按上述规律，已知数小数点的移动与它的立方根的小数点移动间有何规律？
(2)已知，若，用含的代数式表示，则 ；
(3)根据规律写出与a的大小情况．
经典题型十四：实数综合之阅读题
【经典例题14-1】【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分．
结合以上材料，回答下列问题：
(1)的小数部分是______，的整数部分是____；
(2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
(3)已知，其中是整数，且，请直接写出的平方根．
【经典例题14-2】（七年级上·辽宁辽阳·期中）阅读材料，完成下列任务：
因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“”或者“”的表示方法都不够百分百准确．
材料：∵，即，
∴，
∴的整数部分为1，
∴的小数部分为．
利用材料中的方法，求的整数部分和小数部分．
【经典例题14-3】（七年级上·山东日照·期中）阅读下列材料：
∵，
∴，
∴的整数部分为1，小数部分为．
请根据材料提示，解答下列问题．
(1)的整数部分是________，小数部分是________；
(2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的立方根；
(3)若的整数部分为5，直接写出的取值范围．
1．（七年级上·河南周口·期中）下列说法正确的是（ ）
A．1的平方根与算术平方根都是1 B．的算术平方根是2
C．的平方根是 D．4的平方根是
2．（七年级上·云南昆明·期中）下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥，其中表示一个数的算术平方根的是（ ）
A．①②③ B．④⑤⑥ C．③④ D．②⑤
3．（七年级上·江苏苏州·期中）下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（七年级上·广东深圳·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（七年级上·安徽合肥·期中）下列数中-， ， -， 0， -， ，-，， 3.14无理数个数（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
6．（七年级上·河南信阳·期中）如图，将半径为个单位长度的圆沿着数轴向右滚动一周，圆上一点由表示的点A到达点，则点对应的数是（ ）
A．1 B． C． D．
7．（七年级上·河北沧州·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．的立方根是，记作 B．的算术平方根是
C．的三次方根是 D．正数的算术平方根是
8．（七年级上·重庆垫江·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（七年级上·广东江门·期中）的平方根是 ，的算术平方根是 ．
10．（七年级上·山东济宁·期中）小明的爸爸打算用如图一块面积为的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为的桌面．
(1)求正方形工料的边长；
(2)若要求裁出的桌面的长宽之比为，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由．
11．（七年级上·辽宁大连·期中）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片．
(1)请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；
(2)若使长方形的长宽之比为，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由．
12．（七年级上·浙江舟山·期中）已知某正数的两个平方根分别是和，b的算术平方根是2，求的平方根．
13．（七年级上·江西南昌·期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是和．
(1)求a和x的值；
(2)求的算术平方根．
14．（七年级上·安徽合肥·期中）已知，求的平方根．
15．（七年级上·广东中山·期中）把下列各数分别填入相应的集合里：，3，，， ， 0，，，3.14，，（相邻两个1之间的0的个数逐次加1）．
正有理数集合：（ …）；
负分数集合：（ …）；
非负整数集合：（ …）；
无理数集合：（ …）．
16．（七年级上·安徽安庆·期中）【阅读资料】
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部地写出来，于是用来表示的小数部分，又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．
【解决问题】
(1)的整数部分是______，小数部分是______；
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知，其中x是整数，且，求的相反数．
17．（七年级上·湖北孝感·期中）已知的立方根是3，的算术平方根3，是的小数部分，求的值．
18．（七年级上·山东德州·期中）已知的平方根为，的立方根为．
(1)求，的值．
(2)求的算术平方根．
19．（七年级上·安徽滁州·期中）如图，是一块体积为216立方厘米的正方体铁块．
(1)求出这个铁块的棱长．
(2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成一个体积为16立方厘米的正方体和一个长方体，这个长方体的高为8厘米、底面是边长为a厘米的正方形，求这个正方形的边长．
20．（七年级上·湖北武汉·期中）计算：
(1)；
(2)．
21．（七年级上·江苏南通·期中）阅读理解，观察下列式子：
① ；
② ；
③ ；
④；
……
根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
(1)【观察与发现】：根据以上式子反映的规律，请再写出一个类似的等式： ．
(2)【分析与归纳】：根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，若 ，则；反之也成立．
(3)【拓展与应用】：根据上述归纳的真命题，解答下列问题：若与的值互为相反数，且，求的值．
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第3章 实数
（易错点、重难点、常考点专项练习）
经典题型一：求一个数的平方根和算术平方根
【经典例题1-1】（七年级上·山西太原·期中）下列说法正确的是（ ）
A．平方根是本身的数是0和1
B．1的平方根是1
C． 的平方根是
D．是的一个平方根
【答案】D
【分析】本题考查平方根，熟练掌握其定义是解题的关键；根据平方根的定义及性质逐项判断即可．
【详解】解：平方根是本身的数是0，则A不符合题意；
1的平方根是，则B不符合题意；
没有平方根，则C不符合题意；
是的一个平方根，则D符合题意；
故选：D．
【经典例题1-2】（七年级上·山东青岛·期中）下列说法正确的是（ ）
A．0.2是的算术平方根 B．是25的平方根
C．的算术平方根是9 D．16的平方根是4
【答案】B
【分析】本题考查平方根及算术平方根，根据算术平方根及平方根的定义逐项判断即可．
【详解】0.2是0.04的算术平方根，则A不符合题意；
是25的平方根，则B符合题意；
，其算术平方根是3，则C不符合题意；
16的平方根是，则D不符合题意；
故选：B．
【经典例题1-3】（七年级上·浙江温州·期中）下列说法错误的是（ ）
A．是9的平方根 B．的平方根为
C．25的平方根为 D．负数没有平方根
【答案】B
【分析】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，正数有两个平方根互为相反数，负数没有平方根．根据平方根的定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、是9的平方根，正确，故本选项不符合题意；
B、的平方根为，故B不正确，故本选项符合题意；
C、25的平方根为，正确，故本选项不符合题意；
D、负数没有平方根，正确，故本选项不符合题意．
故选：B．
经典题型二：判断式子是否正确
【经典例题2-1】（七年级上·上海·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了算术平方根及平方根的运算，根据算术平方根及平方根的性质依次化简即可做出判断．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【经典例题2-2】（七年级上·四川绵阳·期中）“的平方根是”的数学表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可．
【详解】解：“的平方根是”的数学表达式是，
故选：A．
【经典例题2-3】（七年级上·山西太原·期中）下列各等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了平方根和算术平方根．根据平方根和算术平方根的意义进行计算即可得到答案．
【详解】A. ，故选项正确，符合题意；
B. ，故选项错误，不符合题意；
C. ，故选项错误，不符合题意；
D. ，故选项错误，不符合题意；
故选：A
经典题型三：算术平方根的实际应用
【经典例题3-1】（七年级上·河南驻马店·期中）有一个边长为的正方形和一个长为，宽为的长方形，作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，则该正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出长方形与小正方形的面积之和确定出大正方形的面积，再求其算术平方根即可求出边长．
【详解】解：边长为的正方形的面积为，长为，宽为的长方形的面积为，
∴这两个图形的面积之和的正方形的面积为，
∴这两个图形的面积之和的正方形的边长为．
故选A．
【点睛】此题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
【经典例题3-2】（七年级上·河南·期中）如图所示，长方形内两相邻正方形的面积分别是1和9，那么长方形内阴影部分的面积是 ．
【答案】2
【分析】本题考查算术平方根的应用，将阴影部分利用平移的方法拼成一个长方形，判断出这个长方形的长和宽即可解决问题．
【详解】解：将阴影部分利用平移的方法拼成一个长方形．
∵小正方形的面积是1，大正方形的面积是9，
∴小正方形的边长是1，大正方形的边长是3，
∴拼成的长方形的一边长为1，另一边长为，
∴阴影部分面积为．
故答案为：2．
【经典例题3-3】（七年级上·全国·期中）用大小完全相同的块正方形地砖，铺一间面积为的会议室的地面，每块地砖的边长是 m．
【答案】
【分析】运用平方根的知识进行列式、求解．
【详解】解：由题意得，每块地砖的面积为，
，
∴每块地砖的边长是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了运用平方根进行有关运算的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
经典题型四：平方根的应用
【经典例题4-1】（七年级上·江苏苏州·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方根．熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数，是解决问题的关键．
根据平方根性质，列方程解方程即可．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
∴．
故答案为：．
【经典例题4-2】（七年级上·山东菏泽·期中）已知正数的两个不同的平方根分别是 和， 的算术平方根是4．
(1)求a，b的值；
(2)求 的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）一个数的平方等于，则这个数即为的平方根，其中正的平方根是这个数的算术平方根，根据平方根性质列得方程解得值后即可求得的值，再由算术平方根的定义求得的值即可；
（2）将，的值代入中计算后求其平方根即可．
【详解】（1）解：正数的两个不同的平方根分别是 和，
，
解得：，
则，
那么，
的算术平方根是4，
，
解得：；
（2）解：
，
那么其平方根为．
【点睛】本题考查平方根的定义及性质，算术平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题关键．
【经典例题4-3】（七年级上·广东佛山·期中）已知3是的平方根，5是的平方根，求的算术平方根．
【答案】
【分析】根据平方根的平方，可求出被开方数，从而推出的值，将代入与相关的式子中，求出，再根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：3是的平方根，5是的平方根
，
，
故答案为：
【点睛】本题考查的是平方根和算术平方根，知识比较简单．如何区分平方根和算术平方根是解题的关键．
经典题型五：判断是否为无理数
【经典例题5-1】实数，，，，，，（每两个3之间依次多一个1）中，无理数的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项．
【详解】解：实数，，，，，，（每两个3之间依次多一个1）中，
是无理数的有：，，，（每两个3之间依次多一个1），
∴无理数的个数是4个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个1之间依次多1个0）等形式，熟记无理数的定义是解题的关键．
【经典例题5-2】（七年级上·安徽六安·期中）在实数，0，，，中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【详解】解；，是无限不循环小数，它们是无理数，
是分数，0，，0和2均为整数，它们不是无理数，
那么无理数的个数是2个，
故选：B．
【点睛】本题考查无理数的识别，实数的分类及相关概念是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
【经典例题5-3】（七年级上·安徽六安·期中）下列实数3.14，，π，，0.121121112，中，有理数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】整数与分数称为有理数，其中分数指有限小数和无限循环小数，无限不循环小数叫做无理数，根据有理数与无理数的概念即可完成．
【详解】∵，
∴有理数有：3.14， ，0.121121112，，而，π是无理数，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数与无理数的概念是关键．
经典题型六：实数的分类
【经典例题6-1】（七年级上·安徽合肥·期中）把下列各数对应的序号填在相应的大括号内
，，，，，，，，，
正整数集合{___________________________________…}；
负分数集合{___________________________________…}；
非负数集合{___________________________________…}；
【答案】；，；，，，，，．
【分析】本题考查了整数、负分数、非负数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉整数、负分数、非负数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用．
【详解】解：正整数集合{…}；
负分数集合{，…}；
非负数集合{，，，，，…}；
故答案为：；，；，，，，，．
【经典例题6-2】把下列各数的序号填在相应的横线里：
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧
整数集合：｛ …｝
分数集合：｛ …｝
无理数集合：｛ …｝
非负有理数集合：｛ …｝
【答案】①②④；⑥⑦；③⑤⑧；②⑥⑦
【分析】本题考查了实数的分类，根据整数，分数，无理数，非负有理数填写即可求解．
【详解】解：整数集合：｛①②④…｝
分数集合：｛⑥⑦…｝
无理数集合：｛③⑤⑧…｝
非负有理数集合：｛②⑥⑦…｝
【经典例题6-3】（七年级上·江苏南京·期中）把下列各数的序号填在相应的集合里：
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧．
整数集合：_________________________；
负分数集合：_________________________；
正有理数集合：_________________________．
【答案】①④⑧；③⑤⑦；②⑧
【分析】本题考查了实数的分类，掌握有理数的概念和实数的分类方法是解题的关键．按照实数的分类填写，实数分为有理数和无理数，无理数是无限不循环小数，有理数分为整数和分数，整数分为正整数，0和负整数，分数分为正分数和负分数．
【详解】解：整数集合{①，④，⑧…}
负分数集合{③，⑤，⑦…}
正有理数集合{②，⑧…}．，
故答案为：①④⑧；③⑤⑦；②⑧．
经典题型七：实数和数轴
【经典例题7-1】（七年级上·江苏南通·期中）如图，点在数轴上，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了实数与数轴，先根据点是的中点，线段，得出，结合点表示的数是，以及数轴信息，得出，即可作答．
【详解】解：点是的中点，线段，
，
点表示的数是，且点在点的右边，
，
即点表示的数是，
故选：B．
【经典例题7-2】（七年级上·江苏扬州·期中）如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了实数与数轴，求出正方形的边长是解题的关键．根据正方形的面积求出正方形的边长为，得到，即可表示点E．
【详解】解：∵正方形的面积为7，
∴正方形的边长为，
∴，
点A在数轴上表示的数为1，
∴点E表示的数为．
故选：D．
【经典例题7-3】如图所示，若数轴上的点A，B，C，D分别表示数，1，2，3，则表示的点P应在（ ）
A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上
【答案】C
【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的大小估计， 先估算出，然后根据数轴上点的位置即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵点C代表数2， 点D代表数3，
∴表示的点P应在线段上，
故选∶C．
经典题型八：无理数的估算
【经典例题8-1】（七年级上·全国·期中）若在两个连续整数和之间，即，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】此题考查了无理数的估算，求代数式的值，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键．根据无理数的估算方法得到，继而求出，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【经典例题8-2】（七年级上·全国·期中）估算的值应在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
【答案】D
【分析】本题考查了无理数的估算，正确得出是解此题的关键,根据无理数的估算方法估算即可得解．
【详解】解：，
，即，
∴即，
的值在5到6之间，
故选：D．
【经典例题8-3】（七年级上·山西太原·期中）已知，分别是的整数部分和小数部分，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了无理数的大小估算以及无理数整数部分的有关计算，先得，则的整数部分和小数部分分别是，代入进行计算，即可作答．
【详解】解：∵
∴，
∴则的整数部分和小数部分分别是，
即，
∴，
故答案为：．
经典题型九：求一个数的立方根
【经典例题9-1】（七年级上·全国·期中）下列说法正确的是（ ）
A．的立方根是 B．的平方根是
C．的算术平方根是4 D．的立方根是
【答案】C
【分析】本题考查的是求一个数的立方根、平方根和算术平方根，掌握立方根的含义是解题的关键．如果 那么是的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根，如果 那么是的立方根，据此逐一分析可得答案．
【详解】解：A、的立方根是，故此选项错误，不符合题意；
B、没有平方根，故此选项错误，不符合题意；
C、16的算术平方根是4，故此选项正确，符合题意；
D、0.01的立方是0.000001，0.01的立方根不是0.000001，故此选项错误，不符合题意；
【经典例题9-2】（七年级上·四川成都·期中）下列说法正确的是（ ）
A．1的立方根与平方根都是1 B．
C．的平方根是 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根，立方根的定义，根据平方根，算术平方根，立方根的定义可作出判断．正确理解平方根，立方根的定义是解决本题的关键．
【详解】解：A．1的立方根是1，的平方根是，故本选项错误；
B． ，故本选项错误；
C． ， 的平方根是，故本选项正确；
D． ，故本选项错误．
故选：C．
【经典例题9-3】（七年级上·贵州贵阳·期中）下列说法正确的是（ ）
A．平方根等于本身的数是0
B．带根号的数都是无理数
C．立方根等于本身的数是1或0
D．数轴上的点对应的数不是整数就是分数
【答案】A
【分析】根据平方根、立方根、无理数、实数和数轴的关系逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、平方根等于本身的数是0，故原选项说法正确，符合题意；
B、带根号且开不尽方的数是无理数，故原选项说法错误，不符合题意；
C、立方根等于本身的数是1或0或，故原选项说法错误，不符合题意；
D、实数和数轴上的点是一一对应的，故原选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了平方根、立方根、无理数、实数和数轴的关系，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
经典题型十：平方根和立方根综合应用
【经典例题10-1】（七年级上·全国·期中）如果是的算术平方根，是的立方根．试求：的平方根．
【答案】
【分析】本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义，解二元一次方程组．掌握平方根和立方根的定义是解题关键．先根据算术平方根和立方根的定义列出方程组，解出a、b，再代入A、B求出结果，进而得到的平方根．
【详解】解：∵是的算术平方根，是的立方根，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∴的平方根为．
【经典例题10-2】（七年级上·上海·期中）已知的平方根是的立方根是是最小的正整数，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了平方根、立方根、最小正整数的概念，由题意得出，，，再代入进行计算即可，熟练掌握平方根、立方根、最小正整数的概念是解此题的关键．
【详解】解：∵的平方根是，
，
∵的立方根是，
∴，
∵是最小的正整数，
∴，
∴．
【经典例题10-3】（七年级上·浙江杭州·期中）已知的平方根是，的立方根是3．
(1)求，的值；
(2)求的算术平方根．
【答案】(1)，
(2)5
【分析】本题主要考查平方根、立方根、算术平方根，解题的关键是掌握平方根、立方根和算术平方根的定义是解此题的关键．
（1）根据平方根和立方根的定义得出，，解之即可得到答案；
（2）将的值代入求得其结果，再由算术平方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：的平方根是，的立方根是3，
，，
解得：，；
（2）解：由（1）得：，，
，
的算术平方根为．
经典题型十一：立方根的实际应用
【经典例题11-1】（七年级上·全国·期中）有一块正方体木块，体积是216，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，那么每个小正方体木块的表面积是多少？（正方体的体积棱长的立方）
【答案】54
【分析】本题考查了正方体的表面积，以及开立方运算，根据题意得到每个小正方体木块体积，进而得到每个小正方体木块棱长，最后求出正方形表面积，即可解题．
【详解】解：由题知每个小正方体木块体积为：（），
每个小正方体木块棱长为：，
每个小正方体木块的表面积是：（），
答：每个小正方体木块的表面积是54．
【经典例题11-2】已知一个正方体的体积为．
(1)求正方体的棱长．
(2)若将正方体的体积变为原来的8倍，则它的棱长变为原来的多少倍？
【答案】(1)
(2)棱长变为原来的2倍
【分析】本题考查了立方根的实际应用．
（1）设正方体的棱长为，根据正方体的体积公式，列出方程求解即可；
（2）设棱长变为原来的y倍，根据正方体的体积公式，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设正方体的棱长为，
，
解得：，
∴正方体的棱长；
（2）解：设棱长变为原来的y倍，
，
，
解得：，
∴棱长变为原来的2倍．
【经典例题11-3】（七年级上·四川南充·期中）已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的．
(1)求乙正方体纸盒的体积．
(2)求丙正方体纸盒的棱长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了立方根和算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根和立方根定义，是解题的关键．
（1）先求出甲正方体的边长，然后求出甲正方体的体积，再求出乙正方体的体积即可；
（2）先求出丙正方体的体积，再求出其棱长即可．
【详解】（1）解：∵甲正方体纸盒的底面积为，
∴甲正方体纸盒的边长为，
∴甲正方体纸盒的体积为：，
∵乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，
∴乙正方体纸盒的体积为．
（2）解：∵丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的，
∴丙正方体的体积为：，
∴丙正方体纸盒的棱长为．
经典题型十二：实数的混合运算
【经典例题12-1】（七年级上·浙江金华·期中）计算：．
【答案】
【分析】本题考查实数的混合运算，实数的绝对值，立方根，算术平方根，熟练掌握实数的相关运算法则是解题的关键．结合实数的绝对值，立方根，算术平方根，利用实数的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
．
【经典例题12-2】计算
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了实数的运算等知识点，
（1）先计算算术平方根、立方根，再计算加减即可；
（2）先乘方，算术平方根、立方根，去绝对值符号，再计算加减即可；
解题的关键是掌握实数的运算顺序及有关运算法则．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【经典例题12-3】（七年级上·四川自贡·期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了实数的运算：
（1）先计算算术平方根和立方根，再计算乘法，最后计算加减法即可；
（2）计算算术平方根和立方根，再去绝对值，最后计算加减法即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
经典题型十三：实数综合之规律题
【经典例题13-1】（七年级上·江苏无锡·期中）根据表1和表2中的规律填空：
表1：
a 9.20 9.21 9.22 9.23 9.24
84.6400 84.8241 85.0084 85.1929 85.3776
表2：
b 0.0004 0.04 4 400 40000
0.02 0.2 2 20 200
(1)估计___________；（精确到0.01）
(2)估计___________；（精确到0.001）
(3)已知：，，则___________，___________；
(4)已知：，，则___________．
【答案】(1)9.22
(2)0.922
(3)0.8124；256.9
(4)380000
【分析】本题主要考查算术平方根，根据表格提供的数据以及算术平方根的规律解答是解题的关键．
（1）从表1中找出最接近85的数85.0084，从而得出的近似值；
（2）根据表2提供的数据得出被开方数的小数点每向左（或右）移动2位，相应的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，据此可得出的近似值；
（3）根据（2）的规律可得出和的值；
（4）根据表2提供的数据得出算术平方根的小数点每向左（或右）移动1位，相应的被开方数的小数点向左（或右）移动2位，据此可得出的近似值
【详解】（1）解：由表1知：85最接近85.0084，
所以，，
故答案为：9.22；
（2）解：由表2知：被开方数的小数点每向左（或右）移动2位，相应的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，
所以，，
故答案为：0.922；
（3）解：因为，
所以，；
因为，
所以，；
故答案为：0.8124；256.9；
（4）解：由表2知，算术平方根的小数点每向左（或右）移动1位，相应的被开方数的小数点向左（或右）移动2位，
因为，，
所以，
故答案为：380000
【经典例题13-2】（七年级上·江苏·期中）数学探究活动．
自主探究：完成表格内容．
… …
… ______ ______ ______ ______ …
发现规律：由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：______；
应用迁移：
根据你发现的规律填空：已知，则______，______；
拓展延伸：，则______，______．
【答案】自主探究：，，，，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位；
应用迁移：，；
拓展延伸：，
【分析】（）自主探究：根据表格规律即可求解；
（）应用迁移：根据表格规律即可求解；
（）拓展延伸：被开方数的小数点（向左或者右）每移动三位，其立方根的小数点相应的向相同方向移动一位即可；
本题考查了算术平方根，立方根和被开方数间关系，根据表格得到规律，再根据规律确定结果是解题的关键．
【详解】解：自主探究：根据表格规律可知，，，，，
由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，
故答案为：，，，，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位；
应用迁移：，，
故答案为：，；
拓展延伸：，，
故答案为：，．
【经典例题13-3】（七年级上·吉林松原·期中）观察下列规律回答问题：，，，，，
(1)则 ； ；按上述规律，已知数小数点的移动与它的立方根的小数点移动间有何规律？
(2)已知，若，用含的代数式表示，则 ；
(3)根据规律写出与a的大小情况．
【答案】(1)
(2)﹣
(3)当或时，；当或时，；当或时，．
【分析】（1）根据立方根的概念进行求解、归纳；
（2）运用（1）题规律进行求解；
（3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳．
【详解】（1）解：；；
按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位，
故答案为：；
（2）解：由（1）中规律可得，已知，若，
则的绝对值是的且符号相反；
用含的代数式表示，则，
故答案为：；
（3）解：，，，，，
与的大小情况为：
当或时，；
当或时，；
当或时，．
【点睛】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳．
经典题型十四：实数综合之阅读题
【经典例题14-1】【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分．
结合以上材料，回答下列问题：
(1)的小数部分是______，的整数部分是____；
(2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
(3)已知，其中是整数，且，请直接写出的平方根．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解此题的关键．
（1）先估算出的范围，即可得其小数部分；估算出的范围，进而估算出的范围，即可得其整数部分；
（2）先估算出、的范围，求出、的值，再代入所求式子计算即可；
（3）先估算出的范围，进而估算出的范围，求出、的值，再代入所求式子计算即可．
【详解】（1）解：，
，
的整数部分是，
的小数部分是；
，
，
，
，
的整数部分是；
故答案为：，；
（2），
，
的小数部分为，即，
，
，
的整数部分为，即，
；
（3），
，
，
，其中是整数，且，
，，
，
的平方根为．
【经典例题14-2】（七年级上·辽宁辽阳·期中）阅读材料，完成下列任务：
因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“”或者“”的表示方法都不够百分百准确．
材料：∵，即，
∴，
∴的整数部分为1，
∴的小数部分为．
利用材料中的方法，求的整数部分和小数部分．
【答案】的整数部分为9，的小数部分为
【分析】由可得，从而即可得到答案．
【详解】解：∵，
，
∴的整数部分为9，
∴的小数部分为．
【点睛】本题主要考查无理数的估算，读懂题意，得出是解题的关键．
【经典例题14-3】（七年级上·山东日照·期中）阅读下列材料：
∵，
∴，
∴的整数部分为1，小数部分为．
请根据材料提示，解答下列问题．
(1)的整数部分是________，小数部分是________；
(2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的立方根；
(3)若的整数部分为5，直接写出的取值范围．
【答案】(1)3，
(2)
(3)
【分析】（1）由可得，从而即可得出答案；
（2）估算和的大小，确定的值，代入进行计算即可得到答案；
（3）由的整数部分是5，，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
的整数部分是3，
的小数部分是，
故答案为：3，；
（2）解：，，
，
的小数部分为，的整数部分为，
，
，
的立方根为：；
（3）解：∵的整数部分是5，，，
∴．
【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，求一个数的立方根，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提，确定无理数的整数部分、小数部分是得出正确答案的关键．
1．（七年级上·河南周口·期中）下列说法正确的是（ ）
A．1的平方根与算术平方根都是1 B．的算术平方根是2
C．的平方根是 D．4的平方根是
【答案】D
【分析】本题考查了平方根与算术平方根的计算，理解这两个概念及区别是解题的关键．注意仔细审题．分别对各选项进行计算即可．
【详解】解：A、1的平方根是，1算术平方根是1，原说法错误，不符合题意；
B、负数没有算术平方根，原说法错误，不符合题意；
C、，而4的平方根是，原说法错误，不符合题意；
D、4的平方根是，原说法正确，符合题意；
故选：D．
2．（七年级上·云南昆明·期中）下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥，其中表示一个数的算术平方根的是（ ）
A．①②③ B．④⑤⑥ C．③④ D．②⑤
【答案】C
【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义；
根据平方根和算术平方根的概念逐项判断即可．
【详解】解：①，表示16的平方根是，不符合题意；
②，表示的算术平方根的相反数，不符合题意；
③，表示25的算术平方根是5，符合题意；
④，表示36的算术平方根是6，符合题意；
⑤，结果应该是，不符合题意；
⑥，表示是16的一个平方根，不符合题意；
综上，其中表示一个数的算术平方根的是③④，
故选：C．
3．（七年级上·江苏苏州·期中）下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查算术平方根及平方根，根据算术平方根及平方根可进行求解．
【详解】解：A、，原式子不正确，故不符合题意；
B、，原式子不正确，故不符合题意；
C、，原式子不正确，故不符合题意；
D、，原式子正确，故符合题意；
故选D．
4．（七年级上·广东深圳·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为，大正方形的边长为，故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即，解答即可．
本题考查了算术平方根的应用，面积的计算，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长．
【详解】解：根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为，大正方形的边长为，
故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即，
故选B．
5．（七年级上·安徽合肥·期中）下列数中-， ， -， 0， -， ，-，， 3.14无理数个数（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
【答案】A
【分析】根据无理数的定义“无限不循环小数是无理数”进行解答即可．
【详解】是分数，属于有理数；开不尽方，是无理数；=-2，属于有理数；
0是整数，属于有理数；开不尽方，属于无理数；=2，属于有理数；
是无限不循环小数，属于无理数；是循环小数，属于有理数；
3.14是小数，属于有理数；
综上：无理数一共有3个；
故选：A
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，熟练地掌握无理数的定义是解题的关键．常见的无理数有：无限不循环小数、有规律但不循环的数、开不尽方的数、含的数．
6．（七年级上·河南信阳·期中）如图，将半径为个单位长度的圆沿着数轴向右滚动一周，圆上一点由表示的点A到达点，则点对应的数是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要结合圆的滚动考查数轴上点的运动，熟练掌握数轴上点的运动计算方法是解决本题的关键．
【详解】解：由题意可得：滚动的距离即为圆的周长，
，
∵A所表示的数为，
所表示的数为，
故选：C．
7．（七年级上·河北沧州·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．的立方根是，记作 B．的算术平方根是
C．的三次方根是 D．正数的算术平方根是
【答案】D
【分析】本题考查算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的概念是解题的关键．利用算术平方根和立方根的定义逐一判断即可．
【详解】解：A中，的立方根是，记作，故选项错误，不符合题意；
B中，是负数，负数没有算术平方根，故选项错误，不符合题意；
C中，的三次方根是，故选项错误，不符合题意；
D中，正数的算术平方根是，故选项正确，符合题意；
故选：D．
8．（七年级上·重庆垫江·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了立方根和立方运算，掌握立方根的概念是解题的关键．根据立方根的概念求解即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：B．
9．（七年级上·广东江门·期中）的平方根是 ，的算术平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查平方根和算术平方根计算．根据平方根和算术平方根定义直接计算即可得到本题答案．
【详解】解：∵的平方根是，
∵，即的算术平方根是，
故答案为：，．
10．（七年级上·山东济宁·期中）小明的爸爸打算用如图一块面积为的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为的桌面．
(1)求正方形工料的边长；
(2)若要求裁出的桌面的长宽之比为，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由．
【答案】(1)
(2)不能，见解析
【分析】（1）设正方形工料的边长为a，则，可得；
（2）设长方形的长、宽分别为，则，可得．故不能裁出符合要求的长方形．
【详解】（1）解：设正方形工料的边长为，则，
∵，
∴，即正边形边长为．
（2）解：设长方形的长、宽分别为，则
，，
∴．
∴．
∴不能裁出符合要求的长方形．
【点睛】本题考查算术平方根的定义及求解；掌握算术平方根的求解方法是解题的关键．
11．（七年级上·辽宁大连·期中）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片．
(1)请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；
(2)若使长方形的长宽之比为，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)能，详见解析
【分析】（1）直接利用算术平方根的定义求出正方形纸片的边长，进而得出答案；
（2）直接利用算术平方根的定义求出长方形纸片的长与宽，进而得出答案．
【详解】（1）解：设面积为的正方形纸片的边长为，
，
又，
，
又要裁出的长方形面积为，
若以原正方形纸片的边长为长方形的长，
则长方形的宽为：，
可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形；
（2）长方形纸片的长宽之比为，
设长方形纸片的长为，则宽为，
，
，
又，
，
长方形纸片的长为，
又，
即：，
小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
【点睛】此题主要考查了算术平方根，正确开平方是解题关键．
12．（七年级上·浙江舟山·期中）已知某正数的两个平方根分别是和，b的算术平方根是2，求的平方根．
【答案】．
【分析】根据一个数的平方根互为相反数列式求出的值，然后根据b的算术平方根是2，求出的值，代入求出的值，求平方根即可．
【详解】解：∵某正数的两个平方根分别是和，
∴，
整理，可得，解得．
∵b的算术平方根是2，
∴，
∴，
∵，
∴的平方根是．
【点睛】（1）此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）此题还考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
13．（七年级上·江西南昌·期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是和．
(1)求a和x的值；
(2)求的算术平方根．
【答案】(1)，
(2)6
【分析】本题考查平方根与算术平方根的定义和性质．解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数．
（1）根据正数的两个平方根互为相反数，列式求解即可；
（2）根据算术平方根的定义，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题可知，，
解得，
则．
（2）将与的值代入，得
．
则．
故的算术平方根是6．
14．（七年级上·安徽合肥·期中）已知，求的平方根．
【答案】
【分析】根据非负数的性质求出，进而求出，根据平方根的概念解答即可．
【详解】解：由题意得：，，
解得：，
则，
∴，
∵9的平方根是，
∴的平方根是．
【点睛】本题考查的是非负数的性质、平方根的概念，根据二次根式的被开方数是非负数求出x是解题的关键．
15．（七年级上·广东中山·期中）把下列各数分别填入相应的集合里：，3，，， ， 0，，，3.14，，（相邻两个1之间的0的个数逐次加1）．
正有理数集合：（ …）；
负分数集合：（ …）；
非负整数集合：（ …）；
无理数集合：（ …）．
【答案】3，，，3.14； ，，；3，0；，（相邻两个1之间的0的个数逐次加1）
【分析】本题主要考查实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键；因此此题可根据实数的分类进行求解
【详解】正有理数集合：（3，，，3.14，…）；
负分数集合：（，，，…）；
非负整数集合：（3，0，…）；
无理数集合：（，…（相邻两个1之间的0的个数逐次加1））．
16．（七年级上·安徽安庆·期中）【阅读资料】
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部地写出来，于是用来表示的小数部分，又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．
【解决问题】
(1)的整数部分是______，小数部分是______；
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知，其中x是整数，且，求的相反数．
【答案】(1)5，
(2)1
(3)
【分析】此题考查了无理数的估算；
（1）确定即可解答；
（2）利用估算分别得到，，再代入计算即可；
（3）利用估算方法得到，确定的整数部分是10，小数部分是，由此得到，计算出的值即可．
【详解】（1）解：，即，
的整数部分是5，小数部分是，
故答案为：5，；
（2）解：，
即，
的小数部分，
，
即，
的整数部分，
；
（3）解：，
，
即，
的整数部分是10，小数部分是，
是整数，且，
，
，
的相反数是．
17．（七年级上·湖北孝感·期中）已知的立方根是3，的算术平方根3，是的小数部分，求的值．
【答案】
【分析】本题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，相加可得结论．
【详解】解∶∵的立方根是3，
∴，
∴，
∵的算术平方根3，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴的整数是3，小数部分是，
∴，
∴
．
18．（七年级上·山东德州·期中）已知的平方根为，的立方根为．
(1)求，的值．
(2)求的算术平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查平方根和立方根的综合问题，掌握平方根，算术平方根和立方根的定义是解题的关键．
（1）先利用平方根和立方根的定义求出和，从而得出的值；
（2）利用的值求出，从而得出它的算术平方根．
【详解】（1）解：∵的平方根为，的立方根为
∴，，
解得：，；
（2）当，时，
∴的算术平方根为．
19．（七年级上·安徽滁州·期中）如图，是一块体积为216立方厘米的正方体铁块．
(1)求出这个铁块的棱长．
(2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成一个体积为16立方厘米的正方体和一个长方体，这个长方体的高为8厘米、底面是边长为a厘米的正方形，求这个正方形的边长．
【答案】(1)6厘米
(2)5厘米
【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根的应用，熟练掌握立方根和算术平方根的性质是解题关键．
（1）根据正方体体积公式列式求解即可；
（2）设长方体铁块底面正方形的边长为厘米，根据长方体的体积公式可得求解即可获得答案．
【详解】（1）解：由题可知，铁块的棱长为（厘米）；
（2）由题可知，长方体铁块底面正方形的边长为厘米，
∴，即，
∴，
∵，
∴（厘米），
∴这个正方形的边长为5厘米．
20．（七年级上·湖北武汉·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)53
【分析】本题考查了实数的运算，涉及的知识有：平方根、立方根的定义，二次根式的化简公式，以及绝对值的代数意义，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先化简二次根式、计算绝对值、立方根和乘方，再计算加减即可；
（2）先化简二次根式、立方根和乘方，再计算括号内的，最后计算乘法和加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
21．（七年级上·江苏南通·期中）阅读理解，观察下列式子：
① ；
② ；
③ ；
④；
……
根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
(1)【观察与发现】：根据以上式子反映的规律，请再写出一个类似的等式： ．
(2)【分析与归纳】：根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，若 ，则；反之也成立．
(3)【拓展与应用】：根据上述归纳的真命题，解答下列问题：若与的值互为相反数，且，求的值．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)（或互为相反数）
(3)9
【分析】（1）根据以上式子反映的规律写出符合题意的一个式子即可；
（2）观察规律若，则；
（3）按照规律计算出和的值，再计算的值即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）解：根据等式①，②，③，④所反映的规律，
若，则，
故答案为：（或a，b互为相反数）；
（3）解：与的值互为相反数，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了立方根性质的应用，观察并总结规律是解题的关键．
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