中小学教育资源及组卷应用平台
第1章 有理数
（易错点、重难点、常考点专项练习）
经典题型一：正负数的意义
【经典例题1-1】（2024·湖南·模拟预测）我国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．若零上记作，则零下可记作( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正负数的意义解决实际问题，根据题意，直接利用正负数的意义表示即可得到答案，熟记正负数的意义是解决问题的关键．
【详解】解：若零上记作，则零下可记作，
故选：C．
【经典例题1-2】（七年级上·陕西咸阳·期中）下列四个数中，属于负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正数和负数，解题的关键是掌握正负数的判断方法：①具体的数：需将符号化为最简，即数字前最多只有一个符号时，看是否有负号“－” ，如果有“－”就是负数，否则是正数；②含字母的数：如要看本身的符号，如果是负数，则是正数；如果是正数，则是负数；如为，则是．注意：既不是正数也不是负数．
【详解】解：A．是正数，故此选项不符合题意；
B．是负数，故此选项符合题意；
C．既不是正数也不是负数，故此选项不符合题意；
D．是正数，故此选项不符合题意．
故选：B．
【经典例题1-3】（七年级上·河北石家庄·期中）在中，负数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【分析】此题主要考查正负数的分类、注意0既不是正数也不是负数．根据大于0的为正数；小于0的为负数；0既不是正数也不是负数；由此进行分类即可．
【详解】解：在这7个数中，
负数有：，共3个；
故选：A．
经典题型二：具有相反意义的量
【经典例题2-1】（七年级上·全国·期中）下列各组量中，不是互为相反意义的量的是（）
A．向南走5千米和向北走3千米 B．增产10%和减产4%
C．收入3000元和借款5000元 D．比海平面高500米和比海平面低100米
【答案】C
【分析】根据具有相反意义的量必须满足两个条件（①他们是同一属性的量；②他们的意义相反）进行判断.
【详解】A选项：向南和向北是意义相反的量，故不符合题意；
B选项：增产和减产是意义相反的量，故不符合题意；
C选项：收入和借款不是意义相反的量，故符合题意;
D选项：比海平面高和比海平面低是意义相反的量，故不符合题意；
故选C.
【点睛】考查正数和负数，解题的关键是明确什么是相反意义的量．
【经典例题2-2】（七年级上·广东清远·期末）下列选项中，不具有相反意义的量的是（ ）
A．买入20台电脑与卖出20台电脑 B．水位上升与水位下降
C．减少与增高 D．向东走和向西走
【答案】C
【分析】本题考查相反意义的量．属性相同、表示的意义相反的量，叫作相反意义的量．根据定义逐项判断即可．
【详解】解：A，买入20台电脑与卖出20台电脑，具有相反意义的量，不合题意；
B，水位上升与水位下降，具有相反意义的量，不合题意；
C，减少与增高，不具有相反意义的量，符合题意；
D，向东走和向西走，具有相反意义的量，不合题意；
故选C．
【经典例题2-3】（七年级上·浙江杭州·期中）在下列选项中，具有相反意义的量是（ ）
A．胜一局与负三局 B．气温升高与气温为
C．盈利3万元与支出3万元 D．甲乙两队篮球比赛比分分别为与
【答案】A
【分析】此题考查了正数与负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，本题收入与支出具有相反意义．
【详解】解：A、胜一局与负三局具有相反意义，符合题意，此选项正确；
B、气温升高与气温为不具有相反意义，不符合题意，此选项错误；
C、盈利3万元与支出3万元不具有相反意义，不符合题意，此选项错误；
D、甲乙两队篮球比赛比分分别为与不具有相反意义，不符合题意，此选项错误；
故选：A．
经典题型三：正负数的实际应用
【经典例题3-1】（七年级上·河南郑州·期中）根据国际排联的规定，排球的标注直径为（单位：），下图排球直径不合格的是（ ）
A．1号 B．2号 C．3号 D．4号
【答案】A
【分析】本题考查了正数和负数的知识，要能读懂题意，正确理解的实际意义，分别计算最大值和最小值来确定合格范围．
【详解】解：∵排球的标注直径为（单位：），
∴排球的直径最大值为，
排球的直径最小值为，
这种排球直径在之间都是合格的，
∴排球直径不合格的是，排球直径合格的是、、．
∴排球直径不合格的是号，排球直径合格的是号、号、号，
故选：．
【经典例题3-2】（七年级上·湖南长沙·期中）某种零件，标明要求是（表示直径，单位：毫米），有一个零件的直径为20.01mm，则这个零件 ．（填“合格”或“不合格”）
【答案】合格
【分析】本题考查了正数和负数的知识，解答本题的关键是求出合格直径范围．先求出合格直径范围，再判断即可．
【详解】解：由题意得， 合格直径，该零件的直径是，则该零件合格．
故答案为：合格．
【经典例题3-3】（七年级上·河南郑州·期中）悉尼、洛杉矶与北京的时差如下表：（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）当北京10月8日18时，想要与两地的亲人通话，适合的城市是 ．（填“悉尼”或“洛杉矶”）
城市 悉尼 洛杉矶
时差
【答案】悉尼
【分析】由统计表得出：悉尼时间比北京时间早2小时，也就是10月8日20时．洛杉矶比北京时间要晚15个小时，也就是10月8日3时．
【详解】解：悉尼的时间是：10月8日18时小时月8日20时，
洛杉矶时间是：10月8日18时小时月8日3时，
∴当北京10月8日18时，想要与两地的亲人通话，适合的城市是悉尼．
故答案为：悉尼．
【点睛】本题考查了正数和负数．解决本题的关键是根据图表得出正确信息，再结合题意计算．
经典题型四：有理数的认识
【经典例题4-1】（七年级上·广东深圳·期中）在，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）中有理数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】本题考查了有理数，根据有理数的定义：可以表示成分数的数是有理数，即可判断求解，掌握有理数的定义是解题的关键．
【详解】解：在，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）中有理数有，，，共个，
故选：．
【经典例题4-2】（七年级上·安徽合肥·期中）下列各数，1.01001，0，，中，有理数一共有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查有理数的概念，根据整数和分数统称为有理数，结合分数是有限小数和无限循环小数，是无限不循环小数逐个判断即可．
【详解】解：下列各数，1.01001，0，，中，，1.01001，0，为有理数，共4个，
故选：C．
【经典例题4-3】（七年级上·江苏徐州·期中）下列各数：，，，0，，，11，其中负分数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查有理数的意义，掌握有理数的分类、理解有理数的意义和形式是解题的关键．有限小数、无限循环小数都可以化为分数，从中找出负分数即可．
【详解】解：，，，0，，，11中，
负分数有，，有2个．
故选：B．
经典题型五：有理数的分类
【经典例题5-1】（七年级上·江苏苏州期中）如图，两个圈分别表示正数集和整数集，请你从下列各数中，选择适当的数填入图中相应的位置：，，2022，，0，，，，．
【答案】见解析
【分析】本题考查了有理数的分类：整数和分数，整数包括正整数、0和负整数；正数大于0；负数小于0,；由此逐个判断即可得到答案，熟练掌握有理数的分类是解此题的关键．
【详解】解：正数有：2022，，，
整数有：，，2022， 0．
【经典例题5-2】（七年级上·广西防城港·期中）把下列各数填在相应的大括号里．
正有理数集合：{_____________________}；
负有理数集合：{_____________________}．
整数集合：{____________________}；
分数集合：{ ____________________}；
非负数集合：{____________________}；
【答案】；；；；
【分析】本题主要考查了有理数的分类，乘方计算，求一个数的绝对值和化简多重符号，先计算乘方进而绝对值，化简多重符号，再根据有理数的分类方法求解即可．
【详解】解：，
正有理数集合：{}；
负有理数集合：{}；
整数集合：{}；
分数集合：{}；
非负数集合：{}；
【经典例题5-3】（七年级上·江苏盐城·期中）将下列各数填入相应的括号内：
，0，，5，，，1000，，，．
正分数集合： ；
负数集合： ；
非负整数集合： ．
【答案】；；
【分析】本题考查有理数的分类，根据正分数，负数，非负整数的定义判断即可．
【详解】解：正分数集合：；
负数集合：；
非负整数集合：．
经典题型六：数轴的三要素及画法
【经典例题6-1】（七年级上·山东淄博·期中）下列给出的四条数轴，错误的是（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据数轴上的数的表示方法，首先确定数轴三要素判定得出即可；
【详解】解：数轴是规定了原点，正方向及单位长度的直线；
①中没有原点，利用正方向得出，负数标注不正确，故此项错误；
②利用正方向得出，负数标注不正确，故此项错误；
③利用正方向得出，数据标注不正确，故此项错误；
④利用数轴三要素得出此图象正确；
故错误的有①②③．
故选：C．
【点睛】此题主要查了数轴的知识，利用数轴三要素确定数轴是否正确是解题关键
【经典例题6-2】（七年级上·河北张家口·期中）下列选项中所画的数轴正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】通过观察数轴上的原点，单位长度，正方向即可进行判断，从而选出答案．
【详解】解：A、没有正方向，所以数轴错误，故此选项不符合题意；
B、没有原点，所以数轴错误，故此选项不符合题意；
C、没有单位长度，所以数轴错误，故此选项不符合题意；
D、有原点，正方向，单位长度，所以数轴正确，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查数轴相关概念，熟练掌握规定了原点，单位长度和正方向的直线叫数轴是解题的关键．
【经典例题6-3】（七年级上·重庆九龙坡·期中）如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】规定了原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴，据此进行判断即可求解．
【详解】解：A.单位长度不一致，不符合定义，故不符合题意；
B.符合数轴的定义，故符合题意；
C.没有正方向，不符合定义，故不符合题意；
D.数轴上表示的数大小顺序不对，不符合定义，故不符合题意；
故答案：B．
【点睛】本题考查了数轴的定义，理解定义是解题的关键．
经典题型七：数轴上的点表示有理数
【经典例题7-1】（七年级上·江苏镇江·期中）在数轴上表示下列各数，并把它们用“＜”按照从小到大的顺序排列．
3，，0，，
【答案】数轴表示见解析，
【分析】本题考查化简多重符号，利用数轴比较有理数大小，数轴表示数，根据相反数、绝对值化简多重符号，利用数轴比较有理数大小，左边的点表示的数比右边的小．
【详解】解：，，
在数轴上表示为：
把它们用“＜”按照从小到大的顺序排列为：．
【经典例题7-2】（七年级上·山东德州·期中）已知下列有理数：，，，，，，，．
(1)画出数轴，并在数轴上表示这些数．
(2)用“”将这些数连起来．
(3)这些数在数轴上表示的点中是否存在两点之间的距离等于 的两个数？若存在， 请指出来．
【答案】(1)数轴表示见解析；
(2)；
(3)存在，它们是与，与．
【分析】（）画出数轴表示各点即可；
（）根据数轴即可求解；
（）根据两点间的距离公式即可求解；
本题考查了利用数轴比较有理数的大小，两点间距离公式，正确画出数轴是解题的关键．
【详解】（1）解：数轴表示如下：
（2）解：由数轴可得，；
（3）解：存在．这些数在数轴上表示的点中存在两点之间的距离等于的两个数，它们是与，与．
【经典例题7-3】（七年级上·山东临沂·期中）已知下列有理数：，，，，，请画数轴，在数轴上找出这些数所在的位置，并标出相应的点，并用“＜”连接所有数．
【答案】数轴见详解；
【分析】本题考查了化简绝对值，多重符号，在数轴上表示有理数以及运用数轴比较有理数的大小，越在数轴的右边的数越大，先整理得，再画数轴，逐个标出各个数值，最后结合越在数轴的右边的数越大，进行作答即可．
【详解】解：，
如图所示：
∴．
经典题型八：相反数的应用
【经典例题8-1】（七年级上·吉林长春·期中）若与互为相反数，则与的和是 ．
【答案】
【分析】互为相反数的两个数和为，直接联立等式，使(，得到与的和
【详解】解：与互为相反数，
，
即，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是相反数的概念，务必清楚互为相反数的两个数和为．
【经典例题8-2】（七年级上·宁夏吴忠·期中）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：
(1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？
(2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是正数还是负数？
【答案】(1)
(2)正数
【分析】（1）根据互为相反数的定义确定出点的位置，再根据数轴写出点表示的数即可；
（2）根据互为相反数的定义确定出点的位置，再根据数轴写出点表示的数即可．
【详解】（1）点表示的数是；
（2）点表示的数是0.5为正数．
【点睛】本题考查了相反数，数轴，熟练掌握相反数的定义并确定出原点的位置是解题的关键．
【经典例题8-3】（七年级上·全国·期中）如图，1个单位长度表示1，观察图形，回答问题：
(1)若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数为_________；
(2)若点A与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数是多少？
(3)若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数的相反数是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）“点与点所表示的数互为相反数”，则点B与C分别位于原点的两侧，都到原点是1个单位，由此得点所表示的数为．
（2）方法同（1）可得点D表示的数为．
（3）方法同（1）可得点所表示的数为，由点在点F左边1个单位，则点所表示的数是2，它的相反数为．
【详解】（1）解：∵点与点所表示的数互为相反数，且B与之间有2个单位长度，
∴可得点所表示的数为；
故答案为：
（2）∵点A与点所表示的数互为相反数，且它们之间距离为5，
∴点D表示的数为；
（3）∵点与点所表示的数互为相反数，且它们之间距离为6，
∴点所表示的数为，
∵点在点F左边1个单位，
∴点所表示的数是2，
∴点所表示的数的相反数是．
【点睛】本题主要考查数轴和相反数的应用，根据两点之间单位长度的数量来确定点所表示的数字．
经典题型九：绝对值得非负性
【经典例题9-1】（七年级上·全国·期中）（1）若有最小值，则当 时，取最小值，最小值为 ．
（2）若，则 ， ．
（3）有最 （填“大”或“小”）值，这个最（大）小值是 ．
【答案】 6 0 2 6 大 5
【分析】本题主要考查了绝对值的非负数：
（1）根据得到若有最小值，则，据此可得答案；
（2）根据绝对值的非负性可得，则，据此可得答案；
（3）根据绝对值的非负性可得，据此可得答案．
【详解】解：（1）∵，
∴若有最小值，则，
∴，
∴，
∴当时，取最小值，最小值为0，
故答案为：6；0；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2；6；
（3）∵，
∴，
∴，
∴有最大值，最大值为5，
故答案为：大；5．
【经典例题9-2】（七年级上·全国·期中）已知是非负数，且非负数中最小的数是0．
（1）已知，则的值是 ；
（2）当 时，有最小值，最小值是 ．
【答案】 3 1 2
【分析】本题考查绝对值的意义：
（1）由绝对值的非负性可以得出，由此可解．
（2）根据绝对值的非负性解题即可．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3；
（2）∵，
∴当时，，此时有最小值，
∴当时有最小值，最小值是2，
故答案为：1，2．
经典题型十：绝对值与数轴的化简
【经典例题10-1】（七年级上·山西太原·期中）a，b，c在数轴上的位置如图，则：
(1)填空：______，______，______．
(2)化简：．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）根据、、在数轴上的位置可知，，，，进一步分析以及的符号即可；
（2）根据绝对值的性质去绝对值符号，然后合并同类项即可．
【详解】（1）解：根据、、在数轴上的位置可知，，，
，，，
（2）解：∵，，
∴
．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值，掌握正数的绝对值等于正数，负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．
【经典例题10-2】（七年级上·内蒙古赤峰·期中）在如图所示的数轴上，
(1)表示出符合下列条件的三个点A，B，C，其中点A代表负有理数a；B代表负有理数b，C代表正有理数c，且；
(2)在（1）的条件下化简：．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）点A代表负有理数a；B代表负有理数b，C代表正有理数c，且，在数轴上标出各个点即可；
（2）根据绝对值的意义，结合数轴，化简绝对值即可．
【详解】（1）解：∵点A代表负有理数a；B代表负有理数b，C代表正有理数c，且，
∴符合下列条件的三个点A，B，C，如图所示：
（2）解：∵，，，
∴
．
【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，化简绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义和数轴上点的特点．
【经典例题10-3】（七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，
化简：
【答案】
【分析】先根据数轴确定出a、b、c的正负情况以及绝对值的大小，然后去掉绝对值号，再进行计算即可求解．
【详解】解：由图得，，，
原式
【点睛】本题考查了绝对值的性质以及合并同类项法则，根据数轴确定出a、b、c以及相关代数式的正负情况是解题的关键．
经典题型十一：绝对值的化简
【经典例题11-1】（七年级上·江西宜春·期中）已知，，，且，求的值．
【答案】1或3
【分析】本题考查有理数的加减运算及绝对值的知识，根据，，，且，可得出，，，由此可得出答案．
【详解】解：由题意得：，，，
当，，时；
当，，时，；
∴或3．
【经典例题11-2】（七年级上·湖北荆州·期中）已知，， ，求的值．
【答案】的值为10或0或
【分析】先去绝对值，求得或，或，再根据，得到，最后分，，或，，或，，分别代入求解．
【详解】∵，，
∴，，
即或，或，
∵，
∴，
即，
∴，，或，，或，，
当，时，；
当，时，；
当，时，．
∴的值为10或0或．
【点睛】此题主要考查了绝对值．解决问题的关键是熟练掌握绝对值的代数意义，分类讨论思想．
【经典例题13-3】（七年级上·湖南张家界·期中）若，且，求的值．
【答案】或．
【分析】此题考查了有理数的加法及绝对值，根据绝对值的意义确定出与的值，根据，即可求出的值，正确理解绝对值的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵ ，
∴时，，
时，，，
综上所述，的值是或．
经典题型十二：有理数比较大小
【经典例题12-1】（七年级上·广东惠州·期中）比较大小：（用“”、“”或“”填空）
（1） ；
（2） ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数比较大小，
（1）先运用多重符号化简，再进行比较即可；
（2）先化简绝对值，多重符合化简，再根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可求解．
【详解】解：（1），
∴；
（2），
∵，，
∴；
故答案为：①；② ．
【经典例题12-2】（七年级上·贵州贵阳·期中）比较下列各组数的大小：
(1)和；
(2)和；
(3)和；
(4)和．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】本题考查有理数的大小比较、绝对值、相反数，正确化简各数，熟练掌握有理数大小比较方法是解答的关键．
（1）先相反数的定义化简各数，再比较大小即可；
（2）先利用绝对值的性质化简各数，再比较大小即可；
（3）根据两个负数，绝对值大的反而小求解即可；
（4）先化简各数，再根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：，，
∴；
（3）解：∵，
∴；
（4）解：∵，，
∴，，而，
∴．
【经典例题12-3】（七年级上·全国·期中）用“”把下列各题中的三个数连接起来：
(1)，，；
(2)，，；
(3)，，；
(4)，，．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（）根据负数小于零，两个负数比较，绝对值大的数反而小即可求解；
（）正数大于零，正数大于负数即可求解；
（）根据负数比较，绝对值大的数反而小即可求解；
（）根据负数比较，绝对值大的数反而小即可求解；
此题考查了有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握有理数比较大小的方法：正数大于零，负数小于零，正数大于负数，两个负数比较，绝对值大的数反而小．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵负数小于零，
∴；
（2）∵，正数大于负数，
∴；
（3）∵，，，
∴，
∴；
（4）∵，，，
∴，
∴．
经典题型十三：数轴上的动点问题
【经典例题13-1】（七年级上·天津·期中）如图，点，，是数轴上三点，点表示的数为，，．
(1)写出数轴上点，表示的数： ， ；
(2)动点，同时从，出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
当时，求出此时，在数轴上表示的数；
为何值时，点距原点个单位长度．
【答案】(1)，；
(2)，在数轴上表示的数分别是和；或．
【分析】（）点表示的数是，点表示的数是，求出即可；
（）求出，，根据表示的数求出表示的数，将代入计算即可；
利用点距原点个单位长度列出关于的方程，并解答即可；
本题考查了数轴上表示数，数轴上两点之间距离，绝对值的意义，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）∵点对应的数为，，
∴点表示的数是，
∵，
∴点表示的数是，
故答案是：，；
（2）由题意得：，，
∴在数轴上点表示的数是，在数轴上点表示的数是，
当时，，，
∴，在数轴上表示的数分别是和，
由得数轴上点表示的数是，
∵点距原点个单位长度，
∴，
∴或．
【经典例题13-2】（七年级上·陕西咸阳·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足．
(1)求两点之间的距离；
(2)点在点的右侧，在点的左侧，为个单位长度，为个单位长度，求点与点之间的距离：
(3)在（2）的条件下，动点以个单位长度/秒的速度从点出发沿正方向运动，同时点以个单位长度/秒的速度从点出发沿负方向运动，则它们几秒钟相遇？相遇点表示的数是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)经过秒相遇，点表示的数为
【分析】本题主要考查绝对值的非负性，数轴上两点之间的距离，数轴与点的运动，
（1）根据绝对值的性质可得点表示的数，再根据两点之间距离的计算方法即可求解；
（2）根据两点之间的距离分别求出点表示的数，由此即可求解；
（3）根据题意，设运动时间为秒，且由（1）可得的距离为，由此列式可得，再根据点的移动可求出点表示的数．
【详解】（1）解：已知，，
∴，
解得，，
∴点表示的数是，点表示的数为，
∴两点之间的距离为：；
（2）解：点在点的右侧， 为个单位长度，在点的左侧，为个单位长度，
∴点表示的数为：，点表示的数为：，
∴点与点之间的距离为：；
（3）解：根据题意，设经过秒相遇，由（1）可得，两点之间距离为，
∴，
解得，（秒），
∴点表示的数为，
【经典例题13-3】（七年级上·辽宁辽阳·期中）已知数轴上两点M、N所表示的数分别为m、n，则M、N两点之间的距离．如图，在数轴上 A、B 对应的数分别为、3，点 P 为数轴上一动点，其对应的数为 x．
(1)若点 P 到点 A、点 B 的距离相等，求点 P 对应的数．
(2)数轴上是否存在点 P，使点 P 到点 A、点 B 的距离之和为 5？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由．
(3)当点 P 以每分钟 1 个单位长度的速度从原点 O 向左运动时，点 A 以每分钟 5 个单位长度向左运动，点 B 以每分钟个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后点 P 到点 A、点 B 的距离相等？
【答案】(1)1
(2)存在，或
(3)或
【分析】本题考查数轴的应用和绝对值的意义，熟练掌握数轴中的数形结合思想是解题的关键．
（1）根据题意由于点 P 到点 A、点 B 的距离相等，所以点在、两点之间，设点对应的数为，根据绝对值的意义可得到，解方程即可得到答案；
（2）设点对应的数为，根据题意分情况讨论：①当点在点左侧时，②当点在点右侧时，③当点在，两点之间时，分别表示出的长，再根据，求出符合题意的即可；
（3）设分钟后点到点、点的距离相等．根据题意得到点在分钟后对应的数为，点在分钟后对应的数为，点在分钟后对应的数为，可得到，，由得到方程，解方程即可得到的值．
【详解】（1）解：∵点到点 、点的距离相等，
∴点在、两点之间，
设点对应的数为，
∴，
∴，
解得，
∴点 P 对应的数为1．
（2）解：设点对应的数为，由题可得：
①当点在点左侧时，
∴，，
∵，
∴
解得；
②当点在点右侧时，
∴，，
∵，
∴，
解得，
③当点在，两点之间时，由（1）可知不合题意舍去
综上所述：当或时存在．
（3）解：设分钟后点到点、点的距离相等．
点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为。
∴，，
∴，
∴或
解得或．
经典题型十四：数轴上两点之间的距离
【经典例题14-1】（七年级上·江苏宿迁·期中）同学们，我们都知道：表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：
(1)______；______；
(2)若数轴上表示数的点位于与6之间，则的值为______；
(3)若，则的值是______；
(4)的最小值是______，满足最小值时整数x的和是______．
【答案】(1)2，6
(2)10
(3)，2
(4)12，10
【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，化简绝对值及两点间的距离等知识点，
（1）直接根据绝对值的意义求解即可；
（2）直接化简绝对值即可；
（3）分x在左边，在1右边和在与1之间三种情况讨论求解即可；
（4）分当时，当时，当时，当时，当时，五种情况化简绝对值讨论求解即可；
熟练掌握绝对值的相关知识是解题的关键．
【详解】（1），，
故答案为：2；6；
（2）∵数轴上表示数x的点位于与6之间，
∴，
故答案为：10；
（3）∵表示x到1和到的距离之和为5，
∴当x在左边时，x到1和到的距离之和为，
∴
当x在1右边时，x到1和到的距离之和为，
∴
当x在与1之间时，x到1和到的距离之和为，
∴符合题意的整数x为，2，
故答案为：，2；
（4）当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴综上，当时，的值最小，最小为12，
∴满足最小值时整数x的和是，
故答案为：12；10；
【经典例题14-2】（七年级上·山东德州·期中）同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：
(1)数轴上表示和两点之间的距离是 ；
(2)找出所有符合条件的整数x，使得取最小值时，相应的x的整数解是 ；
(3)对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ；
(4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值，并求出x的整数解；如果没有，说明理由．
【答案】(1)3；
(2)，0，1，2；
(3)1；
(4)有最小值，最小值为7，x的整数解，0，1
【分析】本题考查绝对值的最值问题，解题的关键是掌握绝对值的几何意义．
（1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可；
（2）根据绝对值的几何意义求解；
（3）根据绝对值的几何意义求解；
（4）根据绝对值的几何意义求解．
【详解】（1）解：，
即数轴上表示和两点之间的距离是3，
故答案为：3；
（2）解：根据绝对值的定义，可表示为x到与2两点距离的和，
根据绝对值的几何意义知，
当x在的左边时，x到2的距离大于，则可表示为x到与2两点距离的和大于3，
当x在与2之间时，x到与2两点距离的和为3，
当x在2的右边时，x到的距离大于3，则可表示为x到与2两点距离的和大于3，
∴当x在与2之间时，有最小值3，x的整数解为：，0，1，2，
故答案为：，0，1，2；
（3）解：∵
∴可以理解为数轴上表示x的点到点的距离，与到点2的距离之和，
由（2）知：当时，有最小值，最小值为，
∵，
∴当时，的最小值为0，
∴当时，有最小值为3，
故答案为：1；
（4）解：表示x到，，1，2这四个点的距离之和．
令，
时，，
时，，
时，，
时，，
观察数轴，
当时，由于四点分列在x两边，恒有，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综合以上：
即有最小值，最小值为7．x在和1之间时取最小值，x的整数解是：，0，1．
【经典例题14-3】（七年级上·江苏徐州·期中）点在数轴上分别对应有理数，则两点之间的表示为距离，利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示和的两点之间的距离为 ，数轴上表示和两点之间的距离为 ；
(2)若表示一个数，且，则 ；若表示一个数，且，则 ；
(3)数轴上从左到右的三个点所对应的数分别为．其中，，如图所示．
①若以为原点，写出点所对应的数 ， ，并计算的值．
②若是原点，且，求的值．
【答案】(1)，；
(2)；或；
(3)①，；②或．
【分析】（）根据两点之间距离的定义直接求解即可；
（）根据绝对值的性质化简，再计算即可求解；
（）①根据两点的距离，求得点 所对应的数，代入进行计算即可求解；②分点在点的左边和右边时，分别求得点所对应的数，代入进行计算即可求解；
本题考查了数轴上两点的距离，绝对值的意义，有理数的加减运算，掌握绝对值的意义是解题的关键．
【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离为，数轴上表示和两点之间的距离为，
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴；
当时，，
∴；
当时，，
该种情况不存在；
当时，，
∴；
综上，或；
故答案为：；或；
（3）解：①∵为原点，，，
∴所对应的数为，所对应的数为，
故答案为：，；
②∵是原点，且，
∴点所对应的数为或，
当点所对应的数为，即时，，，
∴；
当点所对应的数为，即时，，，
∴；
综上，的值为或．
1．（七年级上·河南周口·期中）如图，这是小李的微信钱包账单截图，若表示收入66.38元，则下列说法正确的是（ ）
A．表示收入11.50元 B．表示支出11.50元
C．表示支出元 D．这两项的收支和为77.88元
【答案】B
【分析】本题主要考查正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键．
【详解】解：根据表示收入元，“收入”用正数表示，那么“支出”就用负数表示，
表示支出元，故B本选项符合题意；
故选：B．
2．（七年级上·山东临沂·期中）下列各组量，不是相反意义的量的是( )
A．收入200元与支出300元 B．上升10米与下降8米
C．向前走7米与向右走10米 D．增加2升与减少3升
【答案】C
【分析】答题时首先知道正负数的含义，在用正负数表示变化的量时，通常把先指定方向变化的量规定为正数，把相反方向变化的量规定为负数．
本题主要考查相反意义的量，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
【详解】解：A、收入200元与支出300元具有相反意义，故A不符合题意；
B、上升10米与下降8米具有相反意义，故B不符合题意；
C、向前走7 米与向右走10米不具有相反意义，故C符合题意，
D、增大2升与减少3升是具有相反意义，故D不符合题意，
故选C．
3．（七年级上·河南郑州·期中）某项科学研究，以45分钟为1个时间单位，并记每天上午时间为0，10时以前记为负，10时以后记为正，例如：记为，记为1，依此类推，上午记为（ ）
A． B． C． D．6.15
【答案】B
【分析】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．先计算出上午到之间有多少分钟，再计算出有多少个45分钟，然后根据“正”和“负”的相对性，即可计算出正确结果．
【详解】解：上午距有225分钟，，
由于记每天上午时间为0，10时以前记为负，10时以后记为正，
所以上午记为．
故选：B．
4．（七年级上·广东惠州·期中）下列说法中，错误的有（ ）
①是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④不是有理数；⑤0是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为整数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据有理数的两种分类方法判断即可．
【详解】解：①是负分数，故①正确；
②1.5是分数，故②正确；
③非负有理数是大于或等于零的有理数，故③错误；
④是有理数，故④错误；
⑤没有最小的有理数，故⑤错误；
⑥正整数、负整数和零统称为整数，故⑥错误；
综上所述，错误的有4个，
故选：D．
5．（七年级上·陕西西安·期中）关于数轴下列作法最准确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴必须具备的三个要素：正方向、原点和单位长度逐项进行判断即可．
【详解】解：、数轴应该是一条直线，本选项的数轴左侧应该出头，故错误，不符合题意；
、本选项的数轴没有正方向，故错误，不符合题意；
、本选项的数轴具备数轴的三要素，正确，符合题意；
、本选项的数轴没有原点，故错误，不符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查了数轴的定义，熟练掌握数轴的三要素：正方向、原点和单位长度，是解答本题的关键．
6．（七年级上·江苏南通·期中）小东出门上学，以家为起点，如果规定向东走记作，那么向西走可以记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正数和负数表示相反意义的量，如果向东记为正，则向西记为负，由此即可得解．
【详解】解：小东出门上学，以家为起点，如果规定向东走记作，那么向西走可以记作，
故选：A．
7．（七年级上·安徽合肥·期中）体育锻炼标准规定：13岁男生每分钟做22个仰卧起坐为达标，超过标准的个数用正数表示，不足的个数用负数表示．八位同学的成绩分别记录为：．这八位同学中达标的有（ ）
A．7人 B．6人 C．5人 D．4人
【答案】C
【分析】本题主要考查正负数的意义，用正负数表示意义相反的两种量：超过标准的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，由此求解即可．
【详解】解：由题意可知，达标的成绩有，共5人，
故选：C．
，不符合题意；
故选C．
8．（七年级上·广东珠海·期中）若，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．0
【答案】A
【分析】本题考查非负数的性质，熟练掌握几个非负数的和为零，则每个非负数均为零是解决问题的关键．根据非负数的性质，可得，即可求出的值．
【详解】∵
∴，解得：
∴
故选：A．
9．（2024·福建泉州·模拟预测）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别以“正数”与“负数”来命名，若收入80元记作元，则支出90元记作 元．
【答案】
【分析】本题主要考查正数和负数的意义，理解负数和正数是具有相反意义的量，是解题的关键，由于收入与支出是互为相反意义的量，由已知即可求解．
【详解】解：收入80元记作元，则支出90元记作，
故答案为：．
10．（七年级上·山东青岛·期中）下表列出国外几个城市与北京的时差：（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数）如果现在时间是北京时间2020年10月9日上午8：30，那么现在的纽约时间是10月 日 点．
城市 东京 巴黎 纽约 芝加哥
时差（时） +1 ﹣7 ﹣13 ﹣14
【答案】 8 19：30
【分析】正确理解时差的意义，列式计算即可．
【详解】
解：8：30+（﹣13）＝﹣4：30，
24﹣4.30＝19.30，
即纽约的时间是8日19：30，
故答案为：8；19：30．
【点睛】本题考查了正负数的意义，正确理解时差是解题的关键．
11．（七年级上·山东德州·期中）如果a的相反数是最大的负整数，b的相反数是最小的正整数，则 ．
【答案】0
【分析】a的相反数是最大的负整数，则， b的相反数是最小的正整数，则，代入计算即可．
【详解】∵a的相反数是最大的负整数，
∴，
∵b的相反数是最小的正整数，
∴，
∴，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了相反数的性质，最大的负整数是，最小的正整数是1，熟练掌握相反数的性质是解题的关键．
12．（七年级上·河北保定·期中）（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ．
【答案】 3
【分析】本题主要考查了化简多重符号，熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，进行解答即可．
【详解】解：（1）；
故答案为：3；
（2）；
故答案为：；
（3）；
故答案为：；
（4）．
故答案为：．
13．（七年级上·江苏泰州·期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足，若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 表示的点重合．
【答案】3
【分析】本题主要考查了非负数的非负性和对称点．先根据可得: ，求出，根据最小的正整数可得，然后根据折叠，使得A点与C点重合，求出对称点，即可得出结果.
【详解】解：因为，
所以，
所以，
因为最小的正整数是1，
所以，
因为折叠，使得A点与C点重合，
所以点A与点C的中点对应的数为：，
点B到2的距离为1，所以与点B重合的数是：，
故答案为：3．
14．（七年级上·福建福州·期中）把下列各数填入相应的集合中
，3，，，，，0，，
正有理数{ …}
负有理数{ …}
整数{ …}
【答案】3，，，；，，，；3，，0
【分析】此题考查了有理数的分类．按照有理数的分类方法解答即可．
【详解】解：正有理数{3，，，…}
负有理数{，，，…}
整数{3，，0 …}
故答案为：3，，，；，，，；3，，0
15．（2024七年级上·浙江·期中）比较下列各组数的大小：
(1)与；
(2)与；
(3)与；
(4)与．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键．
（1）根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较即可；
（2）先化简，再根据正数大于负数即可得出比较结果；
（3）根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较即可；
（4）先化简这两个数，然后根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较即可．
【详解】（1）解：∵，，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴；
（3）解：∵，，
又∵，
∴；
（4）解：，，
∵，，
又∵，
∴，
即．
16．（七年级上·陕西延安·期中）在如图所示的数轴上表示下列各数，并用“”将它们连接起来：0.5，，3，．
【答案】见解析，
【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示及大小比较，熟练掌握数轴上有理数的表示及大小比较是解题关键．根据数轴上有理数的表示可画出数轴，然后进行比较大小即可．
【详解】解：由题意可得如下数轴：
由数轴可得各数的大小关系为．
17．（七年级上·安徽宿州·期中）已知a，b互为相反数，且，求b的值．
【答案】3或
【分析】本题考查相反数的定义，求解绝对值，根据相反数的定义可得，代入，分情况讨论即可求解．
【详解】解：∵a，b互为相反数，
∴．
∵，
∴，，即．
当时，，得．
当时，，得．
∴b的值为3或．
18．（七年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知有理数，，，且．
(1)在如图所示的数轴上将a，b，c三个数表示出来；
(2)化简：．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据，，，且．即可求解．
（2）先判断、、的正负号，即可化简．
【详解】（1）解： ，，，且．
．
在数轴上将，，三个数在数轴上表示出来如图所示：
（2）解：根据数轴位置关系，可得：、、．
．
【点睛】本题考查了整式的加减，数轴以及绝对值，解决本题的关键是、、的正负性．
19．（七年级上·福建福州·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
(1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______（用含的式子表示）；
(2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发．求：
①当点运动多少秒时，点与点相遇？
②当点运动多少秒时，点与点间的距离为8个单位长度？
【答案】(1)；
(2)①1；②或
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
（1）根据数轴上两点间的距离即可解答；
（2）①根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解；②根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解．
【详解】（1）解：∵A，B两点间的距离为10，点A表示的数为6，
∴，
∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点表示的数是，
故答案为：；．
（2）解：①∵动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴点表示的数是，
∵点与点相遇，
∴，
解得，
答：当点运动1秒时，点与点相遇．
②根据题意得，，
解得或，
答：当点运动或秒时，点与点间的距离为8个单位长度．
20．（七年级上·浙江杭州·期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：
(1)和2之间的距离为__________；
(2)若x与2的距离为3，则x的值为__________；
(3)若成立，则满足条件的所有整数x为__________；
(4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，的最小值为__________．
【答案】(1)3
(2)或5
(3)，或0，或1，或2
(4)6
【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离意义的表示，是解题的关键．
（1）根据数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值即可求解；
（2）根据数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值即可求解；
（3）分三种情况：，，时分别计算，进而求解；
（4）表示数轴上某点到表示2、4、三点的距离之和，即可求解．
【详解】（1）；
故答案为：3；
（2）解：∵，
∴，
∴，或；
故答案为：或5；
（3）解：∵，
即，
当 时，
，
∴；
当时，
，
此时，，或；
当时，
，
∴，
∴x的整数值为：，或0，或1，或2：
故答案为：，或0，或1，或2：
（4）解：∵可看作是数轴上表示x的点到、2、4三点的距离之和，
∴当时，有最小值．
的最小值为
．
故答案为：6．
21．（七年级上·陕西商洛·期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示：
(1)在数轴上分别用A，B两点表示，；
(2)若数b与表示的点相距20个单位长度，则b与表示的数分别是什么？
(3)在（2）的条件下，若数a表示的点与数b表示的点相距15个单位，则a与表示的数是多少？
【答案】(1)见解析
(2)b表示的数是，表示的数是10
(3)a表示的数是5，则表示的数是
【分析】本题考查数轴、相反数的几何意义、数轴上两点间的距离，属于基础题，理解相反数的几何意义：数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等是解答的关键．
（1）根据相反数的几何意义求解即可；
（2）根据相反数的几何意义可求得b和对应的点到原点的距离为10求解即可；
（3）根据数轴上a、b的位置可求得a表示的数，进而可得表示的数．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：∵数b与表示的点相距20个单位长度，
∴b和对应的点到原点的距离为10，
∴b表示的数是，表示的数是10；
（3）解：∵数a表示的点与数b表示的点相距15个单位，b表示的数是，
∴a表示的数是5，则表示的数是．
22．（七年级上·江苏盐城·期中）请阅读材料，并解决问题．
比较两个数的大小的方法：
若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进：
解：因为，，所以，所以．
(1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法；
(2)利用上述方法比较与的大小．
【答案】(1)，绝对值
(2)
【分析】本题主要考查有理数大小比较：
（1）根据计算过程和有理数大小比较法则得出答案即可；
（2）找出中间量是，再比较大小即可，
【详解】（1）解：上述方法是先通过找中间量来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法；
故答案为：；绝对值；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第1章 有理数
（易错点、重难点、常考点专项练习）
经典题型一：正负数的意义
【经典例题1-1】（2024·湖南·模拟预测）我国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．若零上记作，则零下可记作( )
A． B． C． D．
【经典例题1-2】（七年级上·陕西咸阳·期中）下列四个数中，属于负数的是（ ）
A． B． C． D．
【经典例题1-3】（七年级上·河北石家庄·期中）在中，负数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
经典题型二：具有相反意义的量
【经典例题2-1】（七年级上·全国·期中）下列各组量中，不是互为相反意义的量的是（）
A．向南走5千米和向北走3千米 B．增产10%和减产4%
C．收入3000元和借款5000元 D．比海平面高500米和比海平面低100米
【经典例题2-2】（七年级上·广东清远·期末）下列选项中，不具有相反意义的量的是（ ）
A．买入20台电脑与卖出20台电脑 B．水位上升与水位下降
C．减少与增高 D．向东走和向西走
【经典例题2-3】（七年级上·浙江杭州·期中）在下列选项中，具有相反意义的量是（ ）
A．胜一局与负三局 B．气温升高与气温为
C．盈利3万元与支出3万元 D．甲乙两队篮球比赛比分分别为与
经典题型三：正负数的实际应用
【经典例题3-1】（七年级上·河南郑州·期中）根据国际排联的规定，排球的标注直径为（单位：），下图排球直径不合格的是（ ）
A．1号 B．2号 C．3号 D．4号
【经典例题3-2】（七年级上·湖南长沙·期中）某种零件，标明要求是（表示直径，单位：毫米），有一个零件的直径为20.01mm，则这个零件 ．（填“合格”或“不合格”）
【经典例题3-3】（七年级上·河南郑州·期中）悉尼、洛杉矶与北京的时差如下表：（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）当北京10月8日18时，想要与两地的亲人通话，适合的城市是 ．（填“悉尼”或“洛杉矶”）
城市 悉尼 洛杉矶
时差
经典题型四：有理数的认识
【经典例题4-1】（七年级上·广东深圳·期中）在，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）中有理数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【经典例题4-2】（七年级上·安徽合肥·期中）下列各数，1.01001，0，，中，有理数一共有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【经典例题4-3】（七年级上·江苏徐州·期中）下列各数：，，，0，，，11，其中负分数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
经典题型五：有理数的分类
【经典例题5-1】（七年级上·江苏苏州期中）如图，两个圈分别表示正数集和整数集，请你从下列各数中，选择适当的数填入图中相应的位置：，，2022，，0，，，，．
【经典例题5-2】（七年级上·广西防城港·期中）把下列各数填在相应的大括号里．
正有理数集合：{_____________________}；
负有理数集合：{_____________________}．
整数集合：{____________________}；
分数集合：{ ____________________}；
非负数集合：{____________________}；
【经典例题5-3】（七年级上·江苏盐城·期中）将下列各数填入相应的括号内：
，0，，5，，，1000，，，．
正分数集合： ；
负数集合： ；
非负整数集合： ．
经典题型六：数轴的三要素及画法
【经典例题6-1】（七年级上·山东淄博·期中）下列给出的四条数轴，错误的是（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【经典例题6-2】（七年级上·河北张家口·期中）下列选项中所画的数轴正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【经典例题6-3】（七年级上·重庆九龙坡·期中）如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
经典题型七：数轴上的点表示有理数
【经典例题7-1】（七年级上·江苏镇江·期中）在数轴上表示下列各数，并把它们用“＜”按照从小到大的顺序排列．
3，，0，，
【经典例题7-2】（七年级上·山东德州·期中）已知下列有理数：，，，，，，，．
(1)画出数轴，并在数轴上表示这些数．
(2)用“”将这些数连起来．
(3)这些数在数轴上表示的点中是否存在两点之间的距离等于 的两个数？若存在， 请指出来．
【经典例题7-3】（七年级上·山东临沂·期中）已知下列有理数：，，，，，请画数轴，在数轴上找出这些数所在的位置，并标出相应的点，并用“＜”连接所有数．
经典题型八：相反数的应用
【经典例题8-1】（七年级上·吉林长春·期中）若与互为相反数，则与的和是 ．
【经典例题8-2】（七年级上·宁夏吴忠·期中）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：
(1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？
(2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是正数还是负数？
【经典例题8-3】（七年级上·全国·期中）如图，1个单位长度表示1，观察图形，回答问题：
(1)若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数为_________；
(2)若点A与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数是多少？
(3)若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数的相反数是多少？
经典题型九：绝对值得非负性
【经典例题9-1】（七年级上·全国·期中）（1）若有最小值，则当 时，取最小值，最小值为 ．
（2）若，则 ， ．
（3）有最 （填“大”或“小”）值，这个最（大）小值是 ．
【经典例题9-2】（七年级上·全国·期中）已知是非负数，且非负数中最小的数是0．
（1）已知，则的值是 ；
（2）当 时，有最小值，最小值是 ．
经典题型十：绝对值与数轴的化简
【经典例题10-1】（七年级上·山西太原·期中）a，b，c在数轴上的位置如图，则：
(1)填空：______，______，______．
(2)化简：．
【经典例题10-2】（七年级上·内蒙古赤峰·期中）在如图所示的数轴上，
(1)表示出符合下列条件的三个点A，B，C，其中点A代表负有理数a；B代表负有理数b，C代表正有理数c，且；
(2)在（1）的条件下化简：．
【经典例题10-3】（七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，
化简：
经典题型十一：绝对值的化简
【经典例题11-1】（七年级上·江西宜春·期中）已知，，，且，求的值．
【经典例题11-2】（七年级上·湖北荆州·期中）已知，， ，求的值．
【经典例题13-3】（七年级上·湖南张家界·期中）若，且，求的值．
经典题型十二：有理数比较大小
【经典例题12-1】（七年级上·广东惠州·期中）比较大小：（用“”、“”或“”填空）
（1） ；
（2） ．
【经典例题12-2】（七年级上·贵州贵阳·期中）比较下列各组数的大小：
(1)和；
(2)和；
(3)和；
(4)和．
【经典例题12-3】（七年级上·全国·期中）用“”把下列各题中的三个数连接起来：
(1)，，；
(2)，，；
(3)，，；
(4)，，．
经典题型十三：数轴上的动点问题
【经典例题13-1】（七年级上·天津·期中）如图，点，，是数轴上三点，点表示的数为，，．
(1)写出数轴上点，表示的数： ， ；
(2)动点，同时从，出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
当时，求出此时，在数轴上表示的数；
为何值时，点距原点个单位长度．
【经典例题13-2】（七年级上·陕西咸阳·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足．
(1)求两点之间的距离；
(2)点在点的右侧，在点的左侧，为个单位长度，为个单位长度，求点与点之间的距离：
(3)在（2）的条件下，动点以个单位长度/秒的速度从点出发沿正方向运动，同时点以个单位长度/秒的速度从点出发沿负方向运动，则它们几秒钟相遇？相遇点表示的数是多少？
【经典例题13-3】（七年级上·辽宁辽阳·期中）已知数轴上两点M、N所表示的数分别为m、n，则M、N两点之间的距离．如图，在数轴上 A、B 对应的数分别为、3，点 P 为数轴上一动点，其对应的数为 x．
(1)若点 P 到点 A、点 B 的距离相等，求点 P 对应的数．
(2)数轴上是否存在点 P，使点 P 到点 A、点 B 的距离之和为 5？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由．
(3)当点 P 以每分钟 1 个单位长度的速度从原点 O 向左运动时，点 A 以每分钟 5 个单位长度向左运动，点 B 以每分钟个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后点 P 到点 A、点 B 的距离相等？
经典题型十四：数轴上两点之间的距离
【经典例题14-1】（七年级上·江苏宿迁·期中）同学们，我们都知道：表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：
(1)______；______；
(2)若数轴上表示数的点位于与6之间，则的值为______；
(3)若，则的值是______；
(4)的最小值是______，满足最小值时整数x的和是______．
【经典例题14-2】（七年级上·山东德州·期中）同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：
(1)数轴上表示和两点之间的距离是 ；
(2)找出所有符合条件的整数x，使得取最小值时，相应的x的整数解是 ；
(3)对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ；
(4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值，并求出x的整数解；如果没有，说明理由．
【经典例题14-3】（七年级上·江苏徐州·期中）点在数轴上分别对应有理数，则两点之间的表示为距离，利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示和的两点之间的距离为 ，数轴上表示和两点之间的距离为 ；
(2)若表示一个数，且，则 ；若表示一个数，且，则 ；
(3)数轴上从左到右的三个点所对应的数分别为．其中，，如图所示．
①若以为原点，写出点所对应的数 ， ，并计算的值．
②若是原点，且，求的值．
1．（七年级上·河南周口·期中）如图，这是小李的微信钱包账单截图，若表示收入66.38元，则下列说法正确的是（ ）
A．表示收入11.50元 B．表示支出11.50元
C．表示支出元 D．这两项的收支和为77.88元
2．（七年级上·山东临沂·期中）下列各组量，不是相反意义的量的是( )
A．收入200元与支出300元 B．上升10米与下降8米
C．向前走7米与向右走10米 D．增加2升与减少3升
3．（七年级上·河南郑州·期中）某项科学研究，以45分钟为1个时间单位，并记每天上午时间为0，10时以前记为负，10时以后记为正，例如：记为，记为1，依此类推，上午记为（ ）
A． B． C． D．6.15
4．（七年级上·广东惠州·期中）下列说法中，错误的有（ ）
①是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④不是有理数；⑤0是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为整数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（七年级上·陕西西安·期中）关于数轴下列作法最准确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（七年级上·江苏南通·期中）小东出门上学，以家为起点，如果规定向东走记作，那么向西走可以记作（ ）
A． B． C． D．
7．（七年级上·安徽合肥·期中）体育锻炼标准规定：13岁男生每分钟做22个仰卧起坐为达标，超过标准的个数用正数表示，不足的个数用负数表示．八位同学的成绩分别记录为：．这八位同学中达标的有（ ）
A．7人 B．6人 C．5人 D．4人
8．（七年级上·广东珠海·期中）若，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．0
9．（2024·福建泉州·模拟预测）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别以“正数”与“负数”来命名，若收入80元记作元，则支出90元记作 元．
10．（七年级上·山东青岛·期中）下表列出国外几个城市与北京的时差：（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数）如果现在时间是北京时间2020年10月9日上午8：30，那么现在的纽约时间是10月 日 点．
城市 东京 巴黎 纽约 芝加哥
时差（时） +1 ﹣7 ﹣13 ﹣14
11．（七年级上·山东德州·期中）如果a的相反数是最大的负整数，b的相反数是最小的正整数，则 ．
12．（七年级上·河北保定·期中）（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ．
13．（七年级上·江苏泰州·期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足，若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 表示的点重合．
14．（七年级上·福建福州·期中）把下列各数填入相应的集合中
，3，，，，，0，，
正有理数{ …}
负有理数{ …}
整数{ …}
15．（2024七年级上·浙江·期中）比较下列各组数的大小：
(1)与；
(2)与；
(3)与；
(4)与．
16．（七年级上·陕西延安·期中）在如图所示的数轴上表示下列各数，并用“”将它们连接起来：0.5，，3，．
17．（七年级上·安徽宿州·期中）已知a，b互为相反数，且，求b的值．
18．（七年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知有理数，，，且．
(1)在如图所示的数轴上将a，b，c三个数表示出来；
(2)化简：．
19．（七年级上·福建福州·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
(1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______（用含的式子表示）；
(2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发．求：
①当点运动多少秒时，点与点相遇？
②当点运动多少秒时，点与点间的距离为8个单位长度？
20．（七年级上·浙江杭州·期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：
(1)和2之间的距离为__________；
(2)若x与2的距离为3，则x的值为__________；
(3)若成立，则满足条件的所有整数x为__________；
(4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，的最小值为__________．
21．（七年级上·陕西商洛·期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示：
(1)在数轴上分别用A，B两点表示，；
(2)若数b与表示的点相距20个单位长度，则b与表示的数分别是什么？
(3)在（2）的条件下，若数a表示的点与数b表示的点相距15个单位，则a与表示的数是多少？
22．（七年级上·江苏盐城·期中）请阅读材料，并解决问题．
比较两个数的大小的方法：
若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进：
解：因为，，所以，所以．
(1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法；
(2)利用上述方法比较与的大小．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
