三 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数y=ax2+k的图象与性质
1.二次函数y=x2+1的图象大致是( )
2.(2024·武汉期末)关于二次函数y=x2-2,下列说法错误的是( )
A.抛物线开口向上
B.抛物线的顶点坐标为(0,2)
C.抛物线的对称轴为y轴
D.当x>0时,y随x的增大而增大
3.点A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y=x2+1上的点,且|x1|<|x2|,则y1与y2的大小关系为( )
A.y1y2
C.y1=y2 D.无法确定
4.(2024·南昌一模)对于抛物线y=3x2+1,当x>0时,y随x的增大而 .(填“增大”或“减小”)
5.函数y=-x2+1,当-1≤x≤2时,函数y的最小值是 .
6.已知抛物线y=-2x2+(m-1)x+m+3的对称轴是y轴.
(1)求m的值;
(2)求出抛物线的表达式并说明抛物线的增减性.
知识点2 二次函数y=ax2+k的平移
7.把二次函数y=3x2的图象向上平移2个单位长度,所得到的图象对应的二次函数表达式为( )
A.y=3(x-2)2 B.y=3x2-2
C.y=3(x+2)2 D.y=3x2+2
8.(2024·岳阳期末)将抛物线y=x2平移得到抛物线y=x2-3,下列叙述正确的是( )
A.向左平移3个单位长度
B.向右平移3个单位长度
C.向上平移3个单位长度
D.向下平移3个单位长度
9.抛物线y=-6x2可以看作是由抛物线y=-6x2+5向 (上、下、左、右)平移 个单位长度得到的.
【B层 能力进阶】
10.(2024·宿迁期末)下列图象中,有可能是函数y=ax2+a(a≠0)的图象的是( )
11.将抛物线y=x2+1绕原点O旋转180°,则旋转后的抛物线的表达式为( )
A.y=-2x2+1 B.y=-2x2-1
C.y=-x2+1 D.y=-x2-1
12.已知点(x1,y1),(x2,y2)均在抛物线y=x2-1上,下列说法正确的是( )
A.若x1=-x2,则y1=-y2
B.若y1=y2,则x1=x2
C.若x1D.若013.(2024·杭州期末)将二次函数y=x2的图象向下平移b(b>0)个单位长度后,所得到的二次函数图象经过点(1,-4),则b的值为 .
14.(2024·广州期末)如图,已知抛物线y1=-x2+4,-2≤x≤2,将y1向下平移2个单位长度后得抛物线y2,则图中阴影部分的面积S= .
【C层 创新挑战(选做)】
15.(几何直观、运算能力)如图1,抛物线y=-x2+4交x轴于A,B两点,交y轴于点C.
(1)直接写出A,B两点的坐标和直线BC的表达式;
(2)D是直线BC上的点,过点D作x轴的平行线,交抛物线于M,N两点(点M在点N的左侧),若DM=3DN,求点D的横坐标;
(3)如图2,E在第四象限的抛物线上运动,点F与点E关于y轴对称,直线x=1分别交直线BE,BF,x轴于P,Q,G三点,求PG-QG的值.三 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数y=ax2+k的图象与性质
1.二次函数y=x2+1的图象大致是(D)
2.(2024·武汉期末)关于二次函数y=x2-2,下列说法错误的是(B)
A.抛物线开口向上
B.抛物线的顶点坐标为(0,2)
C.抛物线的对称轴为y轴
D.当x>0时,y随x的增大而增大
3.点A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y=x2+1上的点,且|x1|<|x2|,则y1与y2的大小关系为(A)
A.y1y2
C.y1=y2 D.无法确定
4.(2024·南昌一模)对于抛物线y=3x2+1,当x>0时,y随x的增大而 增大 .(填“增大”或“减小”)
5.函数y=-x2+1,当-1≤x≤2时,函数y的最小值是 -3 .
6.已知抛物线y=-2x2+(m-1)x+m+3的对称轴是y轴.
(1)求m的值;
(2)求出抛物线的表达式并说明抛物线的增减性.
【解析】(1)∵抛物线y=-2x2+(m-1)x+m+3的对称轴是y轴,
∴m-1=0,∴m=1;
(2)∵m=1,
∴抛物线的表达式为y=-2x2+4,
当x>0时,y随x的增大而减小;
当x<0时,y随x的增大而增大.
知识点2 二次函数y=ax2+k的平移
7.把二次函数y=3x2的图象向上平移2个单位长度,所得到的图象对应的二次函数表达式为(D)
A.y=3(x-2)2 B.y=3x2-2
C.y=3(x+2)2 D.y=3x2+2
8.(2024·岳阳期末)将抛物线y=x2平移得到抛物线y=x2-3,下列叙述正确的是(D)
A.向左平移3个单位长度
B.向右平移3个单位长度
C.向上平移3个单位长度
D.向下平移3个单位长度
9.抛物线y=-6x2可以看作是由抛物线y=-6x2+5向 下 (上、下、左、右)平移 5 个单位长度得到的.
【B层 能力进阶】
10.(2024·宿迁期末)下列图象中,有可能是函数y=ax2+a(a≠0)的图象的是(A)
11.将抛物线y=x2+1绕原点O旋转180°,则旋转后的抛物线的表达式为(D)
A.y=-2x2+1 B.y=-2x2-1
C.y=-x2+1 D.y=-x2-1
12.已知点(x1,y1),(x2,y2)均在抛物线y=x2-1上,下列说法正确的是(D)
A.若x1=-x2,则y1=-y2
B.若y1=y2,则x1=x2
C.若x1D.若013.(2024·杭州期末)将二次函数y=x2的图象向下平移b(b>0)个单位长度后,所得到的二次函数图象经过点(1,-4),则b的值为 5 .
14.(2024·广州期末)如图,已知抛物线y1=-x2+4,-2≤x≤2,将y1向下平移2个单位长度后得抛物线y2,则图中阴影部分的面积S= 8 .
【C层 创新挑战(选做)】
15.(几何直观、运算能力)如图1,抛物线y=-x2+4交x轴于A,B两点,交y轴于点C.
(1)直接写出A,B两点的坐标和直线BC的表达式;
(2)D是直线BC上的点,过点D作x轴的平行线,交抛物线于M,N两点(点M在点N的左侧),若DM=3DN,求点D的横坐标;
(3)如图2,E在第四象限的抛物线上运动,点F与点E关于y轴对称,直线x=1分别交直线BE,BF,x轴于P,Q,G三点,求PG-QG的值.
【解析】(1)对于y=-x2+4,当x=0时,y=4,则点C(0,4),
令y=-x2+4=0,则x=±4,
则点A,B的坐标分别为(-4,0),(4,0),
设直线CB的表达式为y=kx+4,
将点B的坐标代入上式得0=4k+4,则k=-1,
故直线BC的表达式为y=-x+4;
(2)设点M的坐标为(m,-m2+4),则点N(-m,-m2+4),点D(m2,-m2+4),
∵DM=3DN,即m2-m=±3×(m2+m),解得m=0(舍去)或-2或-8,
故点D的横坐标为1或16;
(3)设点E的坐标为(n,-n2+4),
则点F(-n,-n2+4),
设直线BE的表达式为y=k1x+b1,
则有,
解得,
∴直线BE的表达式为y=-(n+4)x+n+4,
当x=1时,y=-(n+4)+n+4=n+3,
则点P的坐标为(1,n+3),
同理可得,点Q的坐标为1,-n+3),
则PG-QG=(n+3)- (n-3)=6.
