四 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
1.在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-3)2(a≠0)的图象可能是( )
2.(2024·苏州质检)抛物线y=-2(x-3)2的顶点坐标和对称轴分别为( )
A.(-3,0),直线x=-3 B.(3,0),直线x=3
C.(0,-3),直线x=-3 D.(0,3),直线x=-3
3.对于二次函数y=-3(x-5)2的图象,下列说法不正确的是( )
A.开口向下
B.对称轴是直线x=5
C.顶点坐标为(5,0)
D.当x<5时,y随x的增大而减小
4.(易错警示题·隐含条件未挖掘)已知二次函数y=3(x-a)2的图象上,当x>2时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是 .
5.(2024·临沂质检)对于二次函数y=-3(x+2)2.
(1)它的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
(2)当x取哪些值时,y的值随x的增大而增大 当x取哪些值时,y的值随x的增大而减小
6.已知抛物线y=a(x+4)2经过点M(-3,2),请解答下列问题:
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)求抛物线的开口方向,顶点坐标和对称轴;
(3)写出y随x的变化规律;
(4)求出函数的最大值或最小值.
7.(2024·惠州期中)已知抛物线y=(x-5)2的顶点为A,抛物线与y轴交于点B,过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C.
(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)求△ABC的面积;
(3)试判断△ABC的形状并说明理由.
知识点2 二次函数y=a(x-h)2的平移
8.已知抛物线y=(x+1)2向右平移2个单位长度,得到的抛物线表达式为 .
9.(2024·东莞质检)一个二次函数,其图象由抛物线y=x2向右平移1个单位长度所得.
(1)写出平移后的抛物线的函数表达式;
(2)若将(1)中的抛物线再向上平移k(k>0)个单位长度后经过点(2,1),求k的值.
【B层 能力进阶】
10.在平面直角坐标系中,函数y=-x+1与y=-(x-1)2的图象大致是( )
11.(2023·南充中考)若点P(m,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上,则下列各点在抛物线y=a(x+1)2上的是( )
A.(m,n+1) B.(m+1,n)
C.(m,n-1) D.(m-1,n)
12.若把抛物线y=a(x-4)2向左平移6个单位长度后得到抛物线y=-3(x-h)2,且知抛物线y=a(x-4)2的顶点为A,且与y轴交于点B,抛物线y=-3(x-h)2的顶点为M,则S△MAB= .
13.(2024·邯郸期中)已知点P(m,a)是抛物线y=a(x-1)2上的点,且点P在第一象限内.
(1)求m的值;
(2)过P点作PQ∥x轴交抛物线y=a(x-1)2于点Q,若a的值为3,试求P点,Q点及原点O围成的三角形的面积.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(推理能力、应用意识、运算能力)
已知,如图,直线l经过A(4,0)和B(0,4)两点,抛物线y=a(x-h)2的顶点为P(1,0),直线l与抛物线的交点为M.
(1)求直线l的函数表达式;
(2)若S△AMP=3,求抛物线的表达式.四 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
1.在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-3)2(a≠0)的图象可能是(C)
2.(2024·苏州质检)抛物线y=-2(x-3)2的顶点坐标和对称轴分别为(B)
A.(-3,0),直线x=-3 B.(3,0),直线x=3
C.(0,-3),直线x=-3 D.(0,3),直线x=-3
3.对于二次函数y=-3(x-5)2的图象,下列说法不正确的是(D)
A.开口向下
B.对称轴是直线x=5
C.顶点坐标为(5,0)
D.当x<5时,y随x的增大而减小
4.(易错警示题·隐含条件未挖掘)已知二次函数y=3(x-a)2的图象上,当x>2时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是 a≤2 .
5.(2024·临沂质检)对于二次函数y=-3(x+2)2.
(1)它的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
(2)当x取哪些值时,y的值随x的增大而增大 当x取哪些值时,y的值随x的增大而减小
【解析】(1)将y=-3x2的图象向左平移2个单位长度可以得到y=-3(x+2)2的图象,
∵-3<0,∴抛物线开口向下,
它是轴对称图形,对称轴为直线x=-2,顶点坐标是(-2,0);
(2)∵-3<0,抛物线开口向下,
∴当x<-2时,y的值随x的增大而增大;当x>-2时,y的值随x的增大而减小.
6.已知抛物线y=a(x+4)2经过点M(-3,2),请解答下列问题:
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)求抛物线的开口方向,顶点坐标和对称轴;
(3)写出y随x的变化规律;
(4)求出函数的最大值或最小值.
【解析】(1)∵抛物线y=a(x+4)2经过点M(-3,2),∴a(-3+4)2=2,解得a=2,
∴抛物线表达式为y=2(x+4)2.
(2)∵a=2>0,∴抛物线开口向上,
顶点坐标为(-4,0),对称轴为直线x=-4;
(3)x<-4时,y随x的增大而减小,
x>-4时,y随x的增大而增大;
(4)当x=-4时,函数有最小值0,函数无最大值.
7.(2024·惠州期中)已知抛物线y=(x-5)2的顶点为A,抛物线与y轴交于点B,过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C.
(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)求△ABC的面积;
(3)试判断△ABC的形状并说明理由.
【解析】如图,
(1)抛物线y=(x-5)2的顶点为A(5,0),
由x=0,则y=5,抛物线与y轴交点B为(0,5),
因为对称轴为直线x=5,
所以点C的坐标为(10,5);
(2)S△ABC=×10×5=25;
(3)AB=AC=5,BC=10,
∵AB2+AC2=BC2,
∴△ABC是等腰直角三角形.
知识点2 二次函数y=a(x-h)2的平移
8.已知抛物线y=(x+1)2向右平移2个单位长度,得到的抛物线表达式为 y=(x-1)2 .
9.(2024·东莞质检)一个二次函数,其图象由抛物线y=x2向右平移1个单位长度所得.
(1)写出平移后的抛物线的函数表达式;
(2)若将(1)中的抛物线再向上平移k(k>0)个单位长度后经过点(2,1),求k的值.
【解析】(1)由题意可知,y=(x-1)2.
(2)由抛物线y=(x-1)2,再向上平移k个单位长度,得y=(x-1)2+k.
∵抛物线经过点(2,1),
∴(2-1)2+k=1,解得k=
【B层 能力进阶】
10.在平面直角坐标系中,函数y=-x+1与y=-(x-1)2的图象大致是(D)
11.(2023·南充中考)若点P(m,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上,则下列各点在抛物线y=a(x+1)2上的是(D)
A.(m,n+1) B.(m+1,n)
C.(m,n-1) D.(m-1,n)
12.若把抛物线y=a(x-4)2向左平移6个单位长度后得到抛物线y=-3(x-h)2,且知抛物线y=a(x-4)2的顶点为A,且与y轴交于点B,抛物线y=-3(x-h)2的顶点为M,则S△MAB= 144 .
13.(2024·邯郸期中)已知点P(m,a)是抛物线y=a(x-1)2上的点,且点P在第一象限内.
(1)求m的值;
(2)过P点作PQ∥x轴交抛物线y=a(x-1)2于点Q,若a的值为3,试求P点,Q点及原点O围成的三角形的面积.
【解析】(1)∵点P(m,a)是抛物线y=a(x-1)2上的点,∴a=a(m-1)2,
解得:m=2或m=0,
∵点P在第一象限内,∴m=2;
(2)∵a的值为3,
∴二次函数的表达式为y=3(x-1)2,
∵点P的横坐标为2,
∴点P的纵坐标y=3(2-1)2=3,
∴点P的坐标为(2,3),
∵PQ∥x轴交抛物线y=3(x-1)2于点Q,
∴3=3(x-1)2,
解得:x=2或x=0,
∴点Q的坐标为(0,3),
∴PQ=2,
∴S△PQO=×3×2=3.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(推理能力、应用意识、运算能力)
已知,如图,直线l经过A(4,0)和B(0,4)两点,抛物线y=a(x-h)2的顶点为P(1,0),直线l与抛物线的交点为M.
(1)求直线l的函数表达式;
(2)若S△AMP=3,求抛物线的表达式.
【解析】(1)设一次函数表达式为y=kx+b,
把A(4,0),B(0,4)分别代入表达式得,解得,所以y=-x+4;
(2)设M点的坐标为(m,n),
∵S△AMP=3,∴×(4-1)n=3,解得n=2,
把M(m,2)代入y=-x+4,即2=-m+4,得m=2,
∴M(2,2),∵抛物线y=a(x-h)2的顶点为P(1,0),
可得y=a(x-1)2,把M(2,2)代入y=a(x-1)2,得2=a(2-1)2,解得a=2.
∴函数表达式为y=2(x-1)2.
