二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
1.二次函数y=2(x+2)2-1的图象是(C)
2.(2024·杭州期中)对于二次函数y=-(x-1)2+4,下列说法中,不正确的是(B)
A.开口向下
B.当x=1时,y有最大值3
C.当x<1时,y随x的增大而增大
D.函数图象与x轴交于点(-1,0)和(3,0)
3.(易错警示题·临界点的取舍有误)(2024·杭州质检)已知二次函数y=-(x-1)2+2,当t
4.画出函数y=(x-6)2+3的图象,写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标,并说明当y随x的增大而增大时,x的取值范围.
【解析】函数y=(x-6)2+3的图象如图所示:
抛物线的开口向上,对称轴为直线x=6,顶点坐标为(6,3),
当x>6时,y随x的增大而增大.
5.如图是二次函数y=-(x+1)2+4的图象的一部分,抛物线的顶点是P,B是x轴上的一个点,若△PAB的面积为6,求点B的坐标.
【解析】∵二次函数y=-(x+1)2+4,
∴顶点P(-1,4),
设点B的坐标为(m,0),
∴AB=|m+4|.
∵△PAB的面积为6,
∴×4×|m+4|=6,∴m=-1或-7,
∴点B的坐标为(-1,0)或(-7,0).
知识点2 二次函数y=a(x-h)2+k的平移
6.(2024·深圳一模)抛物线y=4x2向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得到的抛物线是(A)
A.y=4(x+2)2+1 B.y=4(x+2)2-1
C.y=4(x-2)2-1 D.y=4(x-2)2+1
7.(2024·西安模拟)抛物线y=x2-2x经过平移后的表达式为y=(x-2)2+3,则平移的方式可以是(A)
A.先沿x轴向右平移1个单位长度,再沿y轴向上平移4个单位长度
B.先沿x轴向右平移1个单位长度,再沿y轴向下平移4个单位长度
C.先沿x轴向左平移1个单位长度,再沿y轴向上平移4个单位长度
D.先沿x轴向左平移1个单位长度,再沿y轴向下平移4个单位长度
8.已知函数y=(x+1)2-4.
(1)指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(2)指出该函数的最值和增减性;
(3)将该抛物线先向右平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,求新的抛物线的表达式;
(4)该抛物线经过怎样的平移顶点在原点.
【解析】(1)函数y=(x+1)2-4的图象开口向上,对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1,-4);
(2)函数y=(x+1)2-4有最小值-4,当x<-1时,y随x的增大而减小,当x>-1时,y随x的增大而增大;
(3)抛物线先向右平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度可得y=(x+1-2)2-4+4,即y=(x-1)2;
(4)函数y=(x+1)2-4先向右平移一个单位长度,再向上平移4个单位长度后顶点在原点.
【B层 能力进阶】
9.(2023·沈阳中考)二次函数y=-(x+1)2+2图象的顶点所在的象限是(B)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
10.已知A(m,2 024),B(m+n,2 024)是抛物线y=-(x-h)2+2 040上的两点,则正数n=(C)
A.2 B.4 C.8 D.16
11. (2024·天津一模)在学习二次函数的性质时,初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究:如图,将抛物线C1:y=-(x+1)2+2平移到抛物线C2:y=-(x-2)2-1,点P(m,n1),Q(m,n2)分别在抛物线C1,C2上.
甲:无论m取何值,都有n2<0;
乙:若点P平移后的对应点为P',则点P移动到点P'的最短路程为3;
丙:当-3下列判断正确的是(A)
A.只有丙说得错 B.只有乙说得错
C.只有甲说得对 D.甲、乙、丙说得都对
12.(2023·哈尔滨中考)抛物线y=-(x+2)2+6与y轴的交点坐标是 (0,2) .
13.(2024·大连期中)如图,已知二次函数y=a(x-h)2+的图象经过原点O(0,0),A(2,0).
(1)写出该函数图象的对称轴;
(2)若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA',试判断点A'是否为该函数图象的顶点
【解析】(1)∵二次函数y=a(x-h)2+的图象经过原点O(0,0),A(2,0),
∴抛物线的对称轴为直线x==1;
(2)点A'是该函数图象的顶点.理由如下:
如图,作A'B⊥x轴于点B,
∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA',
∴OA'=OA=2,∠A'OA=60°,
在Rt△A'OB中,∠OA'B=30°,
∴OB=OA'=1,∴A'B=OB=,
∴点A'的坐标为(1,),由(1)知h=1,∴顶点坐标为(1,),∴点A'为该函数图象的顶点.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、运算能力、创新意识)如图,已知点M(x1,y1),N(x2,y2)在二次函数y=a(x-2)2-1(a>0)的图象上,且x2-x1=3.
(1)若二次函数的图象经过点(3,1),
①求这个二次函数的表达式;
②若y1=y2,求顶点到MN的距离.
(2)当x1≤x≤x2时,二次函数的最大值与最小值的差为1,点M,N在对称轴的异侧,求a的取值范围.
【解析】(1)①∵二次函数y=a(x-2)2-1(a>0)经过点(3,1),
∴1=a-1,∴a=2,∴二次函数的表达式为y=2(x-2)2-1;
②∵y1=y2,∴M,N关于抛物线的对称轴对称,
∵对称轴是直线x=2,且x2-x1=3,∴x1=,x2=,
当x=时,y=2(-2)2-1=,
∴当y1=y2时,顶点到MN的距离为+1=;
(2)①若M,N在对称轴的异侧,y1≥y2,x1≤x≤x2,
∴x2=x1+3>2,∴x1>-1,
2-x1≥x2-2,x2-x1=3,∴x1≤,∴-1∵函数的最大值为y1=a(x1-2)2-1,最小值为-1,∴y1-(-1)=1,
∴a=.∵≤(x1-2)2<9,∴②若M,N在对称轴的异侧,y1∵x2-2>2-x1,x2=3+x1,∴x1>,∵函数的最大值为y2=a(x2-2)2-1,最小值为-1,∴y2-(-1)=1.
∵x2=x1+3,∴a=.
∵<(x1+1)2<9,∴综上所述,【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
1.二次函数y=2(x+2)2-1的图象是( )
2.(2024·杭州期中)对于二次函数y=-(x-1)2+4,下列说法中,不正确的是( )
A.开口向下
B.当x=1时,y有最大值3
C.当x<1时,y随x的增大而增大
D.函数图象与x轴交于点(-1,0)和(3,0)
3.(易错警示题·临界点的取舍有误)(2024·杭州质检)已知二次函数y=-(x-1)2+2,当t4.画出函数y=(x-6)2+3的图象,写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标,并说明当y随x的增大而增大时,x的取值范围.
5.如图是二次函数y=-(x+1)2+4的图象的一部分,抛物线的顶点是P,B是x轴上的一个点,若△PAB的面积为6,求点B的坐标.
知识点2 二次函数y=a(x-h)2+k的平移
6.(2024·深圳一模)抛物线y=4x2向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得到的抛物线是( )
A.y=4(x+2)2+1 B.y=4(x+2)2-1
C.y=4(x-2)2-1 D.y=4(x-2)2+1
7.(2024·西安模拟)抛物线y=x2-2x经过平移后的表达式为y=(x-2)2+3,则平移的方式可以是( )
A.先沿x轴向右平移1个单位长度,再沿y轴向上平移4个单位长度
B.先沿x轴向右平移1个单位长度,再沿y轴向下平移4个单位长度
C.先沿x轴向左平移1个单位长度,再沿y轴向上平移4个单位长度
D.先沿x轴向左平移1个单位长度,再沿y轴向下平移4个单位长度
8.已知函数y=(x+1)2-4.
(1)指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(2)指出该函数的最值和增减性;
(3)将该抛物线先向右平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,求新的抛物线的表达式;
(4)该抛物线经过怎样的平移顶点在原点.
【B层 能力进阶】
9.(2023·沈阳中考)二次函数y=-(x+1)2+2图象的顶点所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
10.已知A(m,2 024),B(m+n,2 024)是抛物线y=-(x-h)2+2 040上的两点,则正数n=( )
A.2 B.4 C.8 D.16
11. (2024·天津一模)在学习二次函数的性质时,初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究:如图,将抛物线C1:y=-(x+1)2+2平移到抛物线C2:y=-(x-2)2-1,点P(m,n1),Q(m,n2)分别在抛物线C1,C2上.
甲:无论m取何值,都有n2<0;
乙:若点P平移后的对应点为P',则点P移动到点P'的最短路程为3;
丙:当-3下列判断正确的是( )
A.只有丙说得错 B.只有乙说得错
C.只有甲说得对 D.甲、乙、丙说得都对
12.(2023·哈尔滨中考)抛物线y=-(x+2)2+6与y轴的交点坐标是 .
13.(2024·大连期中)如图,已知二次函数y=a(x-h)2+的图象经过原点O(0,0),A(2,0).
(1)写出该函数图象的对称轴;
(2)若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA',试判断点A'是否为该函数图象的顶点
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、运算能力、创新意识)如图,已知点M(x1,y1),N(x2,y2)在二次函数y=a(x-2)2-1(a>0)的图象上,且x2-x1=3.
(1)若二次函数的图象经过点(3,1),
①求这个二次函数的表达式;
②若y1=y2,求顶点到MN的距离.
(2)当x1≤x≤x2时,二次函数的最大值与最小值的差为1,点M,N在对称轴的异侧,求a的取值范围.