二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质(第4课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.(2023·河南中考)二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,则一次函数y=x+b的图象一定不经过(D)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.(2024·淄博期末)对二次函数y=x2+2x+3的性质描述中,正确的是(C)
A.函数图象开口向下
B.当x<0时,y随x的增大而减小
C.该函数图象的对称轴在y轴左侧
D.该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴
3.(2024·常德期末)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,并有以下结论:①函数图象与y轴正半轴相交;②当x>0时,y随x的增大而减小.则坐标系的原点可能是(C)
A.点A B.点B
C.点C D.点D
4.(2024·金华模拟)已知二次函数y=-x2-4x+k的图象的顶点在x轴上,则实数k的值是 -4 .
5.(易错警示题·临界点的取舍有误)已知二次函数y=-x2+8x+4,当x>k时,y随x的增大而减小,则k的取值范围是 k≥4 .
6.已知二次函数y=(n-1)x2+2mx+1图象的顶点在x轴上.
(1)试判断这个二次函数图象的开口方向,并说明你的理由;
(2)若函数图象的对称轴与x轴交点的横坐标为整数,请求出m,n的值.
【解析】(1)∵二次函数y=(n-1)x2+2mx+1图象的顶点在x轴上,
∴函数顶点的纵坐标为0,
∴==0,
∴4(n-1)-4m2=0,
∴n-1=m2>0,
∴函数图象开口向上;
(2)由(1)知,n-1=m2,
∵对称轴为直线x=-=-=-=-,-是整数,
∴m=±1,∴n=m2+1=2.
知识点2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系
7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴为直线x=1,有下列结论:①4a+2b+c<0;②a+c>0;③2a+b+c>0;④当-1A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
8.(2024·南昌期末)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列结论:
①abc>0;②a+b+c=2;③a>;④b<1.
其中正确的结论是(B)
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
【B层 能力进阶】
9.(2024·绍兴期中)若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则y=cx2+ax+b的图象大致是(B)
10.(2024·天津二模)已知A(1,y1),B(3,y2),C(-1,y3)是二次函数y=-x2+3x-1+k图象上的三个点,则y1,y2,y3的大小关系是(A)
A.y1>y2>y3 B.y3>y2>y1
C.y1>y3>y2 D.y2>y1>y3
11.若抛物线y=x2-2mx+m2+2m+1(m是常数)的顶点到x轴的距离为2,则m的值为 或- .
12.已知二次函数y=-x2+4x-3.
(1)用配方法将函数y=-x2+4x-3的表达式化为y=a(x+m)2+k的形式,并指出该函数图象的对称轴和顶点坐标;
(2)设该函数的图象与x轴交于点A,B,点A在点B左侧,与y轴交于点C,顶点记作点D,求四边形ADBC的面积.
【解析】(1)∵二次函数y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,∴该函数图象的开口向下,顶点坐标为(2,1),对称轴为直线x=2.
(2)∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,
∴D(2,1),当y=0,即-x2+4x-3=0时,解得x1=1,x2=3,∵该函数的图象与x轴交于点A,B,点A在点B的左侧,
∴A(1,0),B(3,0),∴AB=2.
当x=0时,y=-3,∴点C的坐标为(0,-3),
如图所示,S四边形ADBC=S△ABD+S△ABC
=×2×1+×2×3=4,
∴四边形ADBC的面积为4.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(抽象能力、运算能力、几何直观)如果二次函数的二次项系数为1,则此二次函数可表示为y=x2+px+q,我们称[p,q]为此函数的“特征数”,如二次函数y=x2+2x+3的特征数为[2,3].
(1)若一个函数的特征数为[-2,1],则该函数图象的顶点坐标为 .
(2)探究以下问题:
①若一个函数的特征数为[4,-1],将此函数的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,求得到的图象对应函数的特征数.
②若一个函数的特征数为[2,3],将此函数的图象经过怎样的平移,才能使得到的图象对应函数的特征数为[3,4]
【解析】(1)由题意可得,y=x2-2x+1=(x-1)2,∴此函数图象的顶点坐标为(1,0).
答案:(1,0)
(2)①由题意可得,y=x2+4x-1=(x+2)2-5,∴将此函数的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到y=(x+2-1)2-5+1=(x+1)2-4=x2+2x-3,
∴得到图象对应的函数的特征数为[2,-3];
②∵一个函数的特征数为[2,3],
∴函数表达式为y=x2+2x+3=(x+1)2+2.
∵一个函数的特征数为[3,4],∴函数表达式为y=x2+3x+4=(x+)2+,
∴原函数的图象应先向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质(第4课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.(2023·河南中考)二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,则一次函数y=x+b的图象一定不经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.(2024·淄博期末)对二次函数y=x2+2x+3的性质描述中,正确的是( )
A.函数图象开口向下
B.当x<0时,y随x的增大而减小
C.该函数图象的对称轴在y轴左侧
D.该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴
3.(2024·常德期末)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,并有以下结论:①函数图象与y轴正半轴相交;②当x>0时,y随x的增大而减小.则坐标系的原点可能是( )
A.点A B.点B
C.点C D.点D
4.(2024·金华模拟)已知二次函数y=-x2-4x+k的图象的顶点在x轴上,则实数k的值是 .
5.(易错警示题·临界点的取舍有误)已知二次函数y=-x2+8x+4,当x>k时,y随x的增大而减小,则k的取值范围是 .
6.已知二次函数y=(n-1)x2+2mx+1图象的顶点在x轴上.
(1)试判断这个二次函数图象的开口方向,并说明你的理由;
(2)若函数图象的对称轴与x轴交点的横坐标为整数,请求出m,n的值.
知识点2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系
7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴为直线x=1,有下列结论:①4a+2b+c<0;②a+c>0;③2a+b+c>0;④当-1A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
8.(2024·南昌期末)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列结论:
①abc>0;②a+b+c=2;③a>;④b<1.
其中正确的结论是( )
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
【B层 能力进阶】
9.(2024·绍兴期中)若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则y=cx2+ax+b的图象大致是( )
10.(2024·天津二模)已知A(1,y1),B(3,y2),C(-1,y3)是二次函数y=-x2+3x-1+k图象上的三个点,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1>y2>y3 B.y3>y2>y1
C.y1>y3>y2 D.y2>y1>y3
11.若抛物线y=x2-2mx+m2+2m+1(m是常数)的顶点到x轴的距离为2,则m的值为 .
12.已知二次函数y=-x2+4x-3.
(1)用配方法将函数y=-x2+4x-3的表达式化为y=a(x+m)2+k的形式,并指出该函数图象的对称轴和顶点坐标;
(2)设该函数的图象与x轴交于点A,B,点A在点B左侧,与y轴交于点C,顶点记作点D,求四边形ADBC的面积.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(抽象能力、运算能力、几何直观)如果二次函数的二次项系数为1,则此二次函数可表示为y=x2+px+q,我们称[p,q]为此函数的“特征数”,如二次函数y=x2+2x+3的特征数为[2,3].
(1)若一个函数的特征数为[-2,1],则该函数图象的顶点坐标为 .
(2)探究以下问题:
①若一个函数的特征数为[4,-1],将此函数的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,求得到的图象对应函数的特征数.
②若一个函数的特征数为[2,3],将此函数的图象经过怎样的平移,才能使得到的图象对应函数的特征数为[3,4]
