二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质(第5课时)
【A层 基础夯实】
知识点 图形面积与二次函数
1. (2024·临沂模拟)如图,要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不能超过26 m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆,且这三边的和为40 m,有下列结论:
①AB的长可以为6 m;
②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD的面积为192 m2;
③菜园ABCD面积的最大值为200 m2.
其中正确的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
2.某农场拟建三间长方形种牛饲养室,饲养室的一面靠墙(墙长50 m),中间用两道墙隔开(如图).已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m,则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为 m2.
3. (2024·福州期中)为了节省材料,某农场主利用围墙(围墙足够长)为一边,用总长为60 m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等,则BC长为 时,能围成的矩形区域ABCD的面积最大.
4.在一幅长80 cm,宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如果要使整个挂图的面积是y cm2,设金色纸边的宽为x cm,要求纸边的宽度不得少于1 cm,同时不得超过2 cm.
(1)求出y关于x的函数表达式,并直接写出自变量的取值范围;
(2)此时金色纸边的宽为多少时,这幅挂图的面积最大 求出最大面积.
5.(2024·苏州期末)如图1,用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形ABCD菜园,墙长为12米.设AB的长为x米,矩形ABCD菜园的面积为S平方米.
(1)分别用含x的代数式表示BC与S;
(2)若S=54,求x的值;
(3)如图2,若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门(无需篱笆),当x为何值时,S取最大值,最大值为多少
【B层 能力进阶】
6.(2024·成都质检)春回大地,万物复苏,又是一年花季到.某花圃基地计划将如图所示的一块长40 m,宽20 m的矩形空地划分成五块小矩形区域.其中一块正方形空地为育苗区,另一块空地为活动区,其余空地为种植区,分别种植A,B,C三种花卉.活动区一边与育苗区等宽,另一边长是10 m.A,B,C三种花卉每平方米的产值分别是2百元,3百元,4百元.
(1)设育苗区的边长为x m,用含x的代数式表示下列各量:花卉A的种植面积是 m2,花卉B的种植面积是 m2,花卉C的种植面积是 m2.
(2)育苗区的边长为多少时,A,B两种花卉的总产值相等
(3)若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2,求A,B,C三种花卉的总产值之和的最大值.
【C层 创新挑战(选做)】
7.(推理能力、应用意识、运算能力)小明准备给长16米、宽12米的长方形空地栽种花卉和草坪,图中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三个区域分别栽种甲、乙、丙三种花卉,其余区域栽种草坪.四边形ABCD和EFGH均为正方形,且各有两边与长方形边重合,矩形MFNC(区域Ⅱ)是这两个正方形的重叠部分,如图所示.
(1)若花卉价格为450元/平方米,种植花卉的面积为S(平方米),草坪价格为300元/平方米,且花卉和草坪栽种总价不超过65 400元,求S的最大值;
(2)若矩形MFNC满足MF∶FN=1∶3.
①求MF,FN的长;
②若甲、乙、丙三种花卉价格分别为150元/平方米,80元/平方米,150元/平方米,且边BN的长不小于边ME长的倍.求图中Ⅰ,Ⅱ,Ⅱ三个区域栽种花卉总价W元的最大值.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质(第5课时)
【A层 基础夯实】
知识点 图形面积与二次函数
1. (2024·临沂模拟)如图,要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不能超过26 m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆,且这三边的和为40 m,有下列结论:
①AB的长可以为6 m;
②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD的面积为192 m2;
③菜园ABCD面积的最大值为200 m2.
其中正确的是(C)
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
2.某农场拟建三间长方形种牛饲养室,饲养室的一面靠墙(墙长50 m),中间用两道墙隔开(如图).已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m,则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为 144 m2.
3. (2024·福州期中)为了节省材料,某农场主利用围墙(围墙足够长)为一边,用总长为60 m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等,则BC长为 15 m 时,能围成的矩形区域ABCD的面积最大.
4.在一幅长80 cm,宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如果要使整个挂图的面积是y cm2,设金色纸边的宽为x cm,要求纸边的宽度不得少于1 cm,同时不得超过2 cm.
(1)求出y关于x的函数表达式,并直接写出自变量的取值范围;
(2)此时金色纸边的宽为多少时,这幅挂图的面积最大 求出最大面积.
【解析】(1)镶金色纸边后风景画的长为(80+2x)cm,宽为(50+2x)cm,∴y=(80+2x)·(50+2x)=4x2+260x+4 000(1≤x≤2).
(2)∵二次函数y=4x2+260x+4 000的对称轴为直线x=-=-,
∴在1≤x≤2上,y随x的增大而增大,
∴当x=2时,y取得最大值,最大值为4 536.
答:当金色纸边的宽为2 cm时,这幅挂图的面积最大,最大面积为4 536 cm2.
5.(2024·苏州期末)如图1,用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形ABCD菜园,墙长为12米.设AB的长为x米,矩形ABCD菜园的面积为S平方米.
(1)分别用含x的代数式表示BC与S;
(2)若S=54,求x的值;
(3)如图2,若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门(无需篱笆),当x为何值时,S取最大值,最大值为多少
【解析】(1)由题意得BC=33-3x,
∴S=AB·BC=x(33-3x)=-3x2+33x;
(2)由题意得-3x2+33x=54,
∴x2-11x+18=0,
解得x1=2,x2=9,
∵墙长为12米,
∴33-3x≤12,
∴x≥7,
∴x1=2应舍去,
∴x的值为9;
(3)S=x(33+1.5×2-3x)=-3x2+36x=-3(x-6)2+108,
∵墙长为12米,门宽为1.5米,
∴,
∴8≤x≤11,
∵a=-3<0,
∴开口向下,
∴当x≥6时,S随x的增大而减小,
∴当x=8时,S有最大值,最大值为-3×(8-6)2+108=96.
【B层 能力进阶】
6.(2024·成都质检)春回大地,万物复苏,又是一年花季到.某花圃基地计划将如图所示的一块长40 m,宽20 m的矩形空地划分成五块小矩形区域.其中一块正方形空地为育苗区,另一块空地为活动区,其余空地为种植区,分别种植A,B,C三种花卉.活动区一边与育苗区等宽,另一边长是10 m.A,B,C三种花卉每平方米的产值分别是2百元,3百元,4百元.
(1)设育苗区的边长为x m,用含x的代数式表示下列各量:花卉A的种植面积是 m2,花卉B的种植面积是 m2,花卉C的种植面积是 m2.
(2)育苗区的边长为多少时,A,B两种花卉的总产值相等
(3)若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2,求A,B,C三种花卉的总产值之和的最大值.
【解析】(1)∵育苗区的边长为x m,活动区的一边长为10 m,∴花卉A的种植面积为(40-x)(20-x)=(x2-60x+800)m2,
花卉B的种植面积为x(40-x-10)=(-x2+30x)m2,花卉C的种植面积为x(20-x)=(-x2+20x)m2.
答案:(x2-60x+800) (-x2+30x) (-x2+20x)
(2)∵A,B花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元,
∴A,B两种花卉的总产值分别为2×(x2-60x+800)百元和3×(-x2+30x)百元,
∵A,B两种花卉的总产值相等,
∴2×(x2-60x+800)=3×(-x2+30x),
∴x2-42x+320=0,
解得x=32(舍去)或x=10,
∴当育苗区的边长为10 m时,A,B两种花卉的总产值相等.
(3)∵花卉A与B的种植面积之和为x2-60x+800+(-x2+30x)=(-30x+800)m2,
∴-30x+800≤560,∴x≥8,
∵设A,B,C三种花卉的总产值之和为y百元,
∴y=2(x2-60x+800)+3(-x2+30x)+4(-x2+20x),
∴y=-5x2+50x+1 600,∴y=-5(x-5)2+1 725,
∴当x≥8时,y随x的增加而减小,
∴当x=8时,y取得最大值,最大值y=-5×(8-5)2+1725=1 680(百元),
故A,B,C三种花卉的总产值之和的最大值为168 000元.
【C层 创新挑战(选做)】
7.(推理能力、应用意识、运算能力)小明准备给长16米、宽12米的长方形空地栽种花卉和草坪,图中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三个区域分别栽种甲、乙、丙三种花卉,其余区域栽种草坪.四边形ABCD和EFGH均为正方形,且各有两边与长方形边重合,矩形MFNC(区域Ⅱ)是这两个正方形的重叠部分,如图所示.
(1)若花卉价格为450元/平方米,种植花卉的面积为S(平方米),草坪价格为300元/平方米,且花卉和草坪栽种总价不超过65 400元,求S的最大值;
(2)若矩形MFNC满足MF∶FN=1∶3.
①求MF,FN的长;
②若甲、乙、丙三种花卉价格分别为150元/平方米,80元/平方米,150元/平方米,且边BN的长不小于边ME长的倍.求图中Ⅰ,Ⅱ,Ⅱ三个区域栽种花卉总价W元的最大值.
【解析】(1)长方形空地的面积为16×12=192(平方米),
由题意得:450S+300(192-S)≤65400,解得S≤52,
故S的最大值为52平方米.
(2)①设AB=a米,EF=b米,
∵四边形ABCD和EFGH均为正方形,
∴AD=AB=a米,FG=EF=b米,
∴MF=AD+EF-16=(a+b-16)米,
FN=AB+FG-12=(a+b-12)米,
又∵=,∴=.
∴a+b=18.
∴MF=18-16=2(米),FN=18-12=6(米),
答:MF的长为2米,FN的长为6米.
②由①可知,a+b=18,即b=18-a,
∴ME=16-AD=16-a,
DM=12-FG=12-b=12-(18-a)=a-6,
BN=16-EF=16-b=16-(18-a)=a-2,
NG=12-AB=12-a,
则由题意得:W=150(16-a)(a-6)+80×2×6+150(12-a)(a-2)=-300(a-9)2+7 260,
又∵BN≥ME且AB<12,
∴a-2≥(16-a)且a<12,解得≤a<12.
由二次函数的性质可知,当≤a<12时,W随a的增大而减小,则当a=时,W取得最大值,最大值为-300×(-9)2+7 260=7 078(元),
答:题图中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三个区域栽种花卉总价W的最大值为7 078元.
