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4.3坐标平面内图形的轴对称和平移六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：求点沿x轴、y轴平移后的坐标
【经典例题1】在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移．熟练掌握点的平移的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，是解题的关键．
根据点的平移规律：左减右加，上加下减解答，即可判断．
【详解】∵点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点，
∴，，
∴．
故选：B．
【变式训练1-1】将点向右平移5个单位长度，得到点，再把点向上平移4个单位长度得到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是坐标与图形变化平移．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减解答．
【详解】解：将点向右平移5个单位长度，得到点，即，
再把点向上平移4个单位长度得到点，则点 的坐标为，即．
故选：B．
【变式训练1-2】如图，点A，B的坐标为，若将线段平移至，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可．
【详解】解：∵将线段平移至，，，
∴平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，
∴，
∴，
故选：A．
【变式训练1-3】已知， ABC在平面直角系中如图所示，请完成下面作图：
(1)将 ABC向下平移5个单位长度得到，请画出；
(2)画出 ABC关于y轴的对称的．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平移作图和轴对称作图，熟练掌握和运用平移作图和轴对称作图的方法是解决本题的关键．
（1）根据平移的性质，即可画出图形；
（2）首先画出 ABC各顶点关于轴的对称点，再连线即可画得．
【详解】（1）解：如图所示，为所求；
（2）解：如图所示，为所求．
【变式训练1-4】如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上．
(1)写出点A，B，C的坐标：A（________，________）；B（________，________）；C（________，________）；
(2)若把三角形先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到三角形，请画出平移后的三角形，并写出点的坐标：（________，________）；（________，________）；（________，________）；
(3)若三角形中有一点，则平移后对应点的坐标是（________，________）
【答案】(1)，1；；
(2)图见解析；0，4；；4；0
(3)
【分析】本题考查作图-平移变换，解题的关键是掌握平移变换性质．
（1）根据点的位置写出坐标即可；
（2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可．
（3）利用（1）中的平移规律，把P点的横坐标加2，纵坐标加3得到点的坐标．
【详解】（1）解：由图形得，，，
故答案为：，1；；；
（2）解：三角形，如图所示，
由图形得，，；
故答案为：0，4；；4；0；
（3）解：∵点，∴，
故答案为：．
题型二：由平移前后的坐标判断平移方式
【经典例题2】在平面直角坐标系中，将四边形各点的横坐标都减去2，纵坐标保持不变，所得图形与原图形相比（ ）
A．向左平移了2个单位 B．向右平移了2个单位
C．向上平移了2个单 D．向下平移了2个单位
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据平移中点的变化规律即可解题．
【详解】解：在平面直角坐标系中，将四边形格点的横坐标都减去2，纵坐标保持不变，所得图形与原图形相比向左平移了2个单位．
故选：A．
【变式训练2-1】如图，在平面直角坐标系中，将线段平移到线段的位置，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．4
【答案】B
【分析】本题考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握坐标平移的变化规律．
利用坐标平移的变化规律即可解决问题．
【详解】解：由题意，线段向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到线段，
，
，
故选：B．
【变式训练2-2】将线段在平面直角坐标系中平移，已知点，，将线段平移后，其两个端点的对应点分别为，，则它的平移情况是（ ）
A．向左平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度
B．向右平移了1个单位长度，向下平移了2个单位长度
C．向右平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度
D．向左平移了1个单位长度，向下平移了2个单位长度
【答案】C
【分析】本题考查图形的平移变换．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【详解】解：∵，，平移后点的对应点分别为，
∴A，B两点横坐标变化情况为：，，
A，B两点纵坐标变化情况为：，，
∴线段向右平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度．
故选：C．
【变式训练2-3】在平面直角坐标系中， ABC经过平移得到，位置如图所示．
(1)分别下列各点的坐标：A__________，B__________，C__________；
(2)是由 ABC怎样平移得到的？
(3)若点是 ABC内部一点，平移后对应点N的坐标为，求m和n的值．
【答案】(1)，，；
(2)是由 ABC向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到；
(3)m和n的值分别为和．
【分析】本题考查了坐标与图形，坐标的平移，二元一次方程组的应用，利用数形结合 的思想解决问题是关键．
（1）根据平面直角坐标系直接写出坐标即可；
（2）由平面直角坐标系可知，点的对应点，进而得出点的平移方式，即可作答；
（3）结合（2）的平移方式，列二元一次方程组，求解即可．
【详解】（1）解：由平面直角坐标系可知，，，，
故答案为：，，；
（2）解：由平面直角坐标系可知，点的对应点，
点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，
是由 ABC向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到；
（3）解：点是 ABC内部一点，平移后对应点N的坐标为，
，解得：，
m和n的值分别为和．
【变式训练2-4】小明家住在湖光小区，如图所示的是小明家附近一片区域的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，其中第一小学的坐标为，康德乐的坐标为．
(1)请在图中画出平面直角坐标系，并写出学管中心的坐标：______________．
(2)若大世界的坐标为，请在坐标系中用点P表示它的位置；
(3)小明家从湖光小区搬到府前官邸，请你用坐标描述平移的过程
【答案】(1)见解析，（8，5）
(2)见解析
(3)先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度（或先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度）
【分析】本题考查了用平面直角坐标系表示位置，坐标与图形变化—平移，解题关键是根据坐标建立平面直角坐标系，会利用点的坐标表示不同位置．
（1）以湖光小区为原点，向东和向北为横纵轴的正方向建立坐标系，写出坐标即可；
（2）关键坐标描出点P即可；
（3）根据向右平移两个单位，向下平移3个单位，用坐标描述即可．
【详解】（1）解：因为，第一中学的坐标为，康德乐的坐标为，
所以以湖光小区为原点，向东和向北为横纵轴的正方向建立坐标系，
学管中心的坐标为．
（2）解：大世界的坐标为，在平面直角坐标系中位置如图所示：
（3）解：小明家从湖光小区搬家到府前官邸，横坐标加2，纵坐标减3．
用坐标描述平移的过程为：先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度（或先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度）．
题型三：平移中的面积问题
【经典例题3】在如图所示的平面直角坐标系中，已知点，，．
(1)将三角形先向下平移5个单位，在向左平移3个单位，移动到三角形，画出三角形；
(2)请写出点，，的坐标；
(3)求三角形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)，，
(3)
【分析】本题考查作图平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
（1）根据平移的性质作图即可．
（2）由图可直接得出答案．
（3）利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）如图所示，三角形即为所作；
（2）解：由图可得，，，；
（3）解：角形的面积为：．
【变式训练3-1】如图，将 ABC向左、向下分别平移5个单位，得到．
(1)点，，的坐标分别为______，______，______；
(2)画出；
(3)求出的面积．
【答案】(1)，，；
(2)画图见解析
(3)
【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
（1）根据坐标系中点A，B，C的位置，再结合平移方式写出对应的坐标即可；
（2）根据平移方式先确定A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可；
（3）利用割补法求解面积即可．
【详解】（1）∵，，，将向左、向下分别平移5个单位，得到．
∴，，；
（2）如图，即为所求作的三角形；
（3）的面积为．
【变式训练3-2】如图，，，．将 ABC向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到．
(1)画出三角形，并写出、、的坐标；
(2)已知 ABC内部一点P的坐标为，若点P随 ABC一起平移，平移后点P的对应点的坐标为，则______，______．
(3)已知点P在坐标轴上，以、、P为顶点的三角形面积为三角形ABC面积的一半，则P点的坐标为______．
【答案】(1)见解析，；；
(2)，0
(3)或或或
【分析】本题考查平移作图，平移坐标变换，坐标与图形．熟练掌握利用平移的性质作图和平移的坐标变换规律是解题的关键．
（1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据平移的坐标变换规律“左减右加，上加下减”，得出，，求解即可；
（3）分两种情况：点P在y轴上，点P在x轴上，分别 求解即可．
【详解】（1）解：如图，为所作，；；；
（2）解：由题意，得，，
∴，，
故答案为：，0．
（3）解：如图，
∵，
∴当点P在y轴上时，
解得：，
∴，
∴，；
当点P在x轴上时，，
解得：，
∴，
∴，；
综上，点P的坐标为或或或．
【变式训练3-3】如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形，其中点，，分别为点A，B，C的对应点.
(1)请在所给坐标系中画出三角形，并直接写出点的坐标：______；
(2)若边上一点P经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点P的坐标：P______；
(3)求三角形的面积．
【答案】(1)见详解，
(2)
(3)7
【分析】本题考查了作图 平移，点的平移，网格三角形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）利用点平移的坐标规律写出点，，的坐标，然后描点即可；
（2）把点向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点P，从而确定P点坐标；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算三角形的面积．
【详解】（1）解：如图，为所作，
∵，
∴将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度后，
∴；
（2）解：由题意得点向左平移5个单位，向下平移1个单位得到点P，
∴点；
（3）解：．
【变式训练3-4】如图，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将 ABC平移，使点与点重合，点的对应点分别是点．
(1)请画出平移后的，并写出点的坐标______________；
(2)点是 ABC内的一点，当 ABC平移到后，若点的对应点的坐标为，则点的坐标为___________________．
(3)求出三角形的面积．
【答案】(1)图见解析，；
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了作图——平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
（1）先根据题意求出平移方向，从而求出，的坐标，画出图形即可；
（2）根据（1）中的平移方向，即可求解；
（3）先求出 ABC所在的长方形的面积，然后减去 ABC四周的三角形的面积即可．
【详解】（1）解：由题意得： ABC先向左平移5个单位，再向下平移2个单位得到，
平移后的，如图所示：
点的坐标是；
（2）解：由题意得： ABC先向左平移5个单位，再向下平移2个单位得到，
∵点的对应点的坐标为，
∴点的坐标为；
（3）解：
【变式训练3-5】如图，先将三角形向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到三角形．
(1)画出三角形
(2)已知三角形内部一点的坐标为，若点随三角形一起平移，平移后点的对应点的坐标为，请求出，的值；
(3)求三角形面积；
(4)设线段与轴的交点为，则点的坐标为 ．
【答案】(1)作图见解析
(2)，
(3)
(4)
【分析】（1）根据三角形平移的方向和单位长度分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接即可；
（2）根据点平移的坐标变化规律：左减右加纵不变，上加下减横不变，构建方程组即可解决问题；
（3）利用分割法求出三角形的面积即可；
（4）设点，则，然后利用建立关于的方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵将三角形向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，如图，
∴，，，
连接、、，
∴三角形即为所作；
（2）平移后点的对应点，
∵，
∴，
解：，
∴，；
（3），
∴三角形面积为；
（4）设点，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查作图—平移变换，点坐标平移的规律，两点间距离，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分割法求三角形的面积．
题型四：坐标与图形变化--轴对称
【经典例题4】在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查坐标与图形的变化—轴对称，解题的关键是掌握：①关于轴对称的点的坐标特征是：横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于轴对称的点的坐标特征是：纵坐标相同，横坐标互为相反数．据此解答即可．
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是．
故选：A．
【变式训练4-1】已知点A坐标为，则A关于x轴对称的点的坐标为 ．关于y轴对称的点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标特征，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
根据关于轴对称点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案；根据关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数进而求出答案．
【详解】解：根据题意可知：点关于轴对称的点的坐标为；
点关于轴对称的点的坐标为．
故答案为：，．
【变式训练4-2】已知点关于轴的对称点落在第三象限，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征，各象限的符号特征，解不等式组，先求出点关于轴的对称点，再由第三象限的点的坐标特征列出不等式组，再解不等式组即可，根据象限的符号特征列出不等式组是解题的关键．
【详解】由点关于轴的对称点为，
∵对称点在第三象限，
∴，解得：，
∴的取值范围是，
故答案为：．
【变式训练4-3】如图，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点的坐标分别是，，．
(1)在图中作出 ABC关于轴对称的；
(2)写出点关于轴的对称点的坐标______；
(3) ABC的面积为______；
(4)如果要使以、、为顶点的三角形与 ABC全等，写出所有符合条件的点（不与点重合）坐标．
【答案】(1)画图见解析
(2)
(3)
(4)，，
【分析】（1）分别作三个顶点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）根据（1）中的图形结合轴对称的性质得出坐标即可；
（3）直接利用三角形的面积公式计算即可；
（4）利用勾股定理确定的位置，作出图形，再写出的坐标即可．
【详解】（1）解：如图所示．
（2）解：点关于轴的对称点的坐标；
（3）解：；
（4）解：以为一边，使另外两边长为，，分别确定点，，，可知这两个三角形全等，
则，，．
【点睛】本题主要考查了作轴对称图形，坐标与图形，求解网格三角形的面积，勾股定理的应用，全等三角形的判定等知识，掌握以上基础知识是解本题的关键．
【变式训练4-4】如图， ABC三个顶点的坐标分别为，，．
(1)作出与 ABC关于y轴对称的，并写出的坐标______；
(2)计算 ABC的面积；
(3)边上的高长为______．（直接写出答案）
【答案】(1)图见解析，
(2)3.5
(3)
【分析】本题考查了作图轴对称变换、轴对称最短路线问题，掌握轴对称的性质是解决本题的关键．
（1）依据轴对称的性质进行作图，即可得到，进而得出三顶点坐标；
（2）依据割补法进行计算，即可得到 ABC的面积；
（3）利用勾股定理求出的长度，再利用面积计算边上的高．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
其中，，的坐标分别为：、、；
故答案为： ；
（2）解： ABC的面积为：；
（3）解：设边上的高为h，则
，
∵，，
∴，
解得，
故答案为：．
【变式训练4-5】已知点与点，当，为何值时，
(1)点，关于轴对称；
(2)点，关于轴对称．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
（1）根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可；
（2）根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求解即可．
【详解】（1）解： 点、关于轴对称，
，
解得：，
，；
（2）解：点、关于轴对称，
，
解得：，
，．
题型五：平移和轴对称中的最值问题
【经典例题5】如图，在平面直角坐标系中，已知，，．
(1)在平面直角坐标系中画出 ABC，将 ABC平移得到，已知，则坐标是______．
(2)求出 ABC的面积；
(3)在轴上有一点，使得的值最小，保留作图痕迹．
【答案】(1)画图见解析，；
(2)；
(3)画图见解析
【分析】（）在平面直角坐标系中描出点，然后连接，即可画出，根据平移作出点对应点，然后连接即可，最后即可求出坐标；
（）利用矩形面积减去三个直角三角形面积即可；
（）先作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，则点即为所求；
本题考查了作图——平移变换，轴对称——最短路线问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）如图，描出点，然后连接，即可画出，根据平移作出点对应点，然后连接，
∴，
∴即为所求，坐标是；
（2） ABC的面积为；
（3）如图，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，
∵，
∴，
则根据两点之间线段最短，可知点即为所求．
【变式训练5-1】 ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
(1)画出 ABC关于y轴对称的，并直接写出各顶点的坐标；
(2)直接写出 ABC的面积是______；
(3)在y轴上找一点P，使的和最小（标出点P即可，不用求点P坐标）．
【答案】(1)画图见解析，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；
(2)
(3)画图见解析
【分析】本题考查了作轴对称图形，坐标与图形，掌握轴对称的性质是解题的关键．
（）根据轴对称的性质分别确定的对称点即可作出所求图形，根据图形即可写出各顶点的坐标即可；
（）利用割补法计算即可求解；
（）如图，连接，与轴交于点，则点即为所求．
【详解】（1）解：如图，即为所求作的图形，
；
由图形可得，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；
（2）解： ABC的面积是；
（3）解：如图，连接，与轴交于点，则点即为所求．
理由如下：由轴对称的性质可得：
，
∴，
此时最小．
【变式训练5-2】如图，在平面直角坐标系中， ABC三个顶点的坐标为，，．
(1)画出 ABC关于y轴对称的，写出的坐标 ；
(2)计算： ABC的面积是 ；
(3)若点P为y轴上一动点，使得的值最小，请在图中标出P点的位置，并写明做法．
【答案】(1)图形见解析，的坐标为
(2)
(3)图形见解析
【分析】本题考查了作图—轴对称变换、轴对称—最短路线问题、求一次函数的解析式，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案；
（2）利用割补法计算三角形面积即可；
（3）根据轴对称的性质作图即可．
【详解】（1）解：如图所示，点的坐标为；
（2）解：；
（3）解：根据轴对称的性质，找到对称点，连接即可使的值最小．
【变式训练5-3】 ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
(1) ABC和关于轴对称，请在坐标系中画出；
(2)求 ABC的面积；
(3)若点是轴上一动点，直接写出长度的最小值为________．
【答案】(1)见解析
(2)的面积为2；
(3)
【分析】此题主要考查了坐标与图形、轴对称变换、求三角形面积以及最短路径问题．
（1）首先确定三点关于轴对称的对称点位置，再顺次连接即可；
（2）利用割补法求三角形的面积即可；
（3）连接，交轴于点，然后利用勾股定理计算可获得答案．
【详解】（1）解：如图所示；
；
（2）解： ABC的面积为：；
（3）解：作点关于轴的对称点，再连接，交轴于点，
此时长度最小，
最小值为．
故答案为：．
【变式训练5-4】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
(1)请画出 ABC关于轴的对称图形；
(2)直接写出，，三点的坐标并求出的面积；
(3)在轴上找一点，使最小，并求出这个最小值．
【答案】(1)见解析
(2)，，，
(3)图见解析，最小值
【分析】本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
（2）根据点的位置写出坐标即可，利用割补法求三角形的面积即可．
（3）连接与轴交点即为点，此时最小，利用勾股定理求出的长度即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：由图可得：，，，
；
（3）解：连接与轴交点即为点，理由如下：
由对称可得，
∴，
∴当、、三点共线时，最小，最小值为，
∵，
∴最小值为．
【变式训练5-5】在平面直角坐标系中，点A、B分别在y轴和x轴上，已知点，以为直角边在左侧作等腰直角 ABC，，当点B在x轴上运动时，连接，求的最小值为 ，此时 B点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与轴对称，全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点A作x轴的平行线，分别过点C、B作y轴的平行线，交于G、H，证明，得到，，进而得到点C在直线上运动，作点O关于直线的对称点，得到，进行求解即可．
【详解】解：过点A作x轴的平行线，分别过点C、B作y轴的平行线，交于G、H，如图，则四边形为矩形，
，
是等腰直角三角形，，
，，
又，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，（在x轴负半轴同理可说明），
∴，
∴点C在直线上运动，作点O关于直线的对称点，
∴，，
，
∴当三点共线时，的值最小，
此时：，
∴的值最小为，
设与交于点，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
题型六：平移和轴对称中的定义新运算
【经典例题6】定义“点的阶点”：若点的坐标为，则把坐标为的点称为点的阶点（其中为正整数）．例如：点的阶点为点，即．
(1)若点的阶点在轴上，求的值；
(2)若点的阶点为点，求点的坐标；
(3)已知点的阶点为点，将点先向右移动个单位，再向下移动个单位得到点，若点在第一象限，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)点的坐标为；
(3)．
【分析】（）根据“点的阶点”的定义求出点的坐标，再根据轴上的点横坐标为即可求出；
（）根据“点的阶点”的定义求出点的坐标，列出方程组，解方程组即可求解；
（）根据“点的阶点”的定义求出点的坐标，再根据平移的性质求出点的坐标，由点在第一象限得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求解；
本题考查了点的坐标与平移，理解“点的阶点”的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，点坐标为，
∵在轴上，
∴，
∴；
（2）解：由题意得，点坐标为，
∵点，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
（3）解：由题意得点的坐标为，即，
将点先向右移动个单位，再向下移动个单位得到点，
则点的坐标为，
∵点在第一象限，
∴，
解得．
【变式训练6-1】对于平面直角坐标系中的图形G和图形G上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“t型平移”，点P'称为将点P进行“t型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“t型平移”称为将图形G进行“t型平移”．
例如，将点平移到称为将点P进行“1型平移”，将点平移到称为将点P进行“型平移”．
已知点和点．
(1)将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为 ．
(2)①将线段进行“型平移”后得到线段，点，，中，在线段上的点是 ．
②若线段进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是 ．
(3)已知点，点M是线段上的一个动点，将点B进行“t型平移”后得到的对应点为，当t的取值范围是 时，的最小值保持不变，最小值是 ．
【答案】(1)
(2)①；②或
(3)，
【分析】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，“ t型平移”的定义等知识，解题的关键理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考创新题型．
（1）根据“1型平移”的定义解决问题即可；
（2）①画出线段即可判断；②线段进行“型平移”后与y轴有公共点，则线段与y轴有交点，则；若线段进行“型平移”后与x轴有公共点，则；分别解不等式组和解方程即可得到答案，
（3）如图2中，观察图象可知，当在线段上时，的最小值保持不变，最小值为，据此求出t的范围即可．
【详解】（1）解：由题意得，将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为，即，
故答案为：；
（2）解：①如图1中，观察图象可知，将线段进行“型平移”后点A的对应点为，点B的对应点为，
即，，
∵线段上的所有点的平移方式相同，
∴线段上的所有点经过“型平移”后组成的图形为线段，
∴点，，中，在线段上的点是；
故答案为：；
②若线段进行“型平移”后与y轴有公共点，则线段与y轴有交点，
∴，
解得：，
若线段进行“型平移”后与x轴有公共点，则，解得：，
∴若线段进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是或；
故答案为：或．
（3）解：如图2中，观察图象可知，当在线段上时，的最小值保持不变（，平行线间间距线段），最小值为，此时，
故答案为：，．
【变式训练6-2】在平面直角坐标系中，直线l为一、三象限角平分线，点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作，点关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作．例如，点的一次反射点为，二次反射点为．根据定义，回答下列问题：
(1)点的一次反射点为_______________，二次反射点为_______________；
(2)当点A在第三象限时，点中可以是点A的二次反射点的是_______________；
(3)若点A在第二象限，点，分别是点A的一次反射点、二次反射点，，则射线与x轴所夹锐角的度数是_______________．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查坐标与图形变化——对称，正确记忆相关知识点是解题关键．
（1）根据一次反射点，二次反射点的定义求解；
（2）根据一次反射点，二次反射点的定义判断的位置即可；
（3）根据点在第二象限，可知点在第一象限，进而可知也在第一象限，由，可得，可得结论．
【详解】（1）点的一次反射点为，
二次反射点为，
（2）∵点A在第三象限时，
∴一次反射点在第四象限，二次反射点在第二象限，
∴答案为：；
（3）如图
∵，
∴与x轴的夹角为或，
根据对称性可知，OA与x轴所夹锐角的度数为或，
故答案为：或
【变式训练6-3】对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与点称为点P的一对伴随点．例如，点与点为点的一对伴随点．
(1)点的一对伴随点坐标为 ；
(2)将点向左平移m个单位长度，得到点，若点的一对伴随点重合，求点C的坐标．
【答案】(1)和
(2)
【分析】本题考查了点坐标，点坐标的平移，一元一次方程的应用等知识．理解题意是解题的关键．
（1）由点，可得，，进而可求点的一对伴随点坐标；
（2）由平移可知，，则，，点的一对伴随点为和，由点的一对伴随点重合，可得，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：∵点，
∴，，
∴点的一对伴随点坐标为和，
故答案为：和；
（2）解：由平移可知，，
∴，，
∴点的一对伴随点为和，
∵点的一对伴随点重合，
∴，
解得，，
∴．
【变式训练6-4】阅读材料：对于平面直角坐标系中的图形和图形上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点进行“型平移”，点称为将点进行“型平移”的对应点；将图形上的所有点进行“型平移”称为将图形进行“型平移”．例如：将点平移到称为将点进行“1型平移”，将点平移到称为将点进行“型平移”．已知点和点．
(1)将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为________；
(2)将线段进行“型平移”后得到线段，点，，中，在线段上的点是________；
(3)若线段进行“型平移”后与坐标轴有公共点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查坐标与图象变换之平移，理解新定义，灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法求解是解答的关键，属于中考创新题型．
（1）直接根据“型平移”定义求解即可；
（2）直接根据“型平移”定义求解得、坐标，进而根据纵坐标为2判断即可；
（3）根据“型平移”定义结合图象，求得t的最大值和最小值即可得到结论．
【详解】（1）解：将点进行“1型平移”的对应点的坐标为，即，
故答案为：
（2）解： ∵,，
∴将线段进行“型平移”后得到线段，,,
在网格中画出线段如图所示；
∴线段上的点纵坐标都为0,
∵点，，，
∴在线段上的点是,
故答案为：。
（3）解：∵线段进行“型平移”后与坐标轴有公共点，
∴分以下两种情况讨论：
①当平移后与轴相交，则，
解得：，
②当平移后与轴相交，则，解得：，
综上所述，的取值范围是或
【变式训练6-5】对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：如果，，那么点就是点P的“关联点”，例如，点的“关联点”是点．
(1)求点的“关联点”坐标．
(2)坐标平面内有一点，将点C向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后到点，如果点C与点的“关联点”互相重合，求点C的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的特征，坐标平移的规律左减右加，上加下减，根据所给定义建立方程是解决问题的关键．
（1）根据已知中的定义代入点的坐标即可求得关联点的坐标；
（2）根据坐标平移规律坐标，根据定义可求得关联点，由题意列方程可解决．
【详解】（1）解：∵点，
∴根据定义，点A的“关联点”是：，即，
A的“关联点”坐标；
（2），点C向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后到点，
，
∴点的“关联点”是，
∵点C与点的“关联点”互相重合，
∴，，
解得：，，
∴．
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4.3坐标平面内图形的轴对称和平移六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：求点沿x轴、y轴平移后的坐标
【经典例题1】在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】将点向右平移5个单位长度，得到点，再把点向上平移4个单位长度得到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】如图，点A，B的坐标为，若将线段平移至，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练1-3】已知， ABC在平面直角系中如图所示，请完成下面作图：
(1)将 ABC向下平移5个单位长度得到，请画出；
(2)画出 ABC关于y轴的对称的．
【变式训练1-4】如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上．
(1)写出点A，B，C的坐标：A（________，________）；B（________，________）；C（________，________）；
(2)若把三角形先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到三角形，请画出平移后的三角形，并写出点的坐标：（________，________）；（________，________）；（________，________）；
(3)若三角形中有一点，则平移后对应点的坐标是（________，________）
题型二：由平移前后的坐标判断平移方式
【经典例题2】在平面直角坐标系中，将四边形各点的横坐标都减去2，纵坐标保持不变，所得图形与原图形相比（ ）
A．向左平移了2个单位 B．向右平移了2个单位
C．向上平移了2个单 D．向下平移了2个单位
【变式训练2-1】如图，在平面直角坐标系中，将线段平移到线段的位置，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．4
【变式训练2-2】将线段在平面直角坐标系中平移，已知点，，将线段平移后，其两个端点的对应点分别为，，则它的平移情况是（ ）
A．向左平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度
B．向右平移了1个单位长度，向下平移了2个单位长度
C．向右平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度
D．向左平移了1个单位长度，向下平移了2个单位长度
【变式训练2-3】在平面直角坐标系中， ABC经过平移得到，位置如图所示．
(1)分别下列各点的坐标：A__________，B__________，C__________；
(2)是由 ABC怎样平移得到的？
(3)若点是 ABC内部一点，平移后对应点N的坐标为，求m和n的值．
【变式训练2-4】小明家住在湖光小区，如图所示的是小明家附近一片区域的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，其中第一小学的坐标为，康德乐的坐标为．
(1)请在图中画出平面直角坐标系，并写出学管中心的坐标：______________．
(2)若大世界的坐标为，请在坐标系中用点P表示它的位置；
(3)小明家从湖光小区搬到府前官邸，请你用坐标描述平移的过程
题型三：平移中的面积问题
【经典例题3】在如图所示的平面直角坐标系中，已知点，，．
(1)将三角形先向下平移5个单位，在向左平移3个单位，移动到三角形，画出三角形；
(2)请写出点，，的坐标；
(3)求三角形的面积．
【变式训练3-1】如图，将 ABC向左、向下分别平移5个单位，得到．
(1)点，，的坐标分别为______，______，______；
(2)画出；
(3)求出的面积．
【变式训练3-2】如图，，，．将 ABC向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到．
(1)画出三角形，并写出、、的坐标；
(2)已知 ABC内部一点P的坐标为，若点P随 ABC一起平移，平移后点P的对应点的坐标为，则______，______．
(3)已知点P在坐标轴上，以、、P为顶点的三角形面积为三角形ABC面积的一半，则P点的坐标为______．
【变式训练3-3】如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形，其中点，，分别为点A，B，C的对应点.
(1)请在所给坐标系中画出三角形，并直接写出点的坐标：______；
(2)若边上一点P经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点P的坐标：P______；
(3)求三角形的面积．
【变式训练3-4】如图，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将 ABC平移，使点与点重合，点的对应点分别是点．
(1)请画出平移后的，并写出点的坐标______________；
(2)点是 ABC内的一点，当 ABC平移到后，若点的对应点的坐标为，则点的坐标为___________________．
(3)求出三角形的面积．
【变式训练3-5】如图，先将三角形向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到三角形．
(1)画出三角形
(2)已知三角形内部一点的坐标为，若点随三角形一起平移，平移后点的对应点的坐标为，请求出，的值；
(3)求三角形面积；
(4)设线段与轴的交点为，则点的坐标为 ．
题型四：坐标与图形变化--轴对称
【经典例题4】在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】已知点A坐标为，则A关于x轴对称的点的坐标为 ．关于y轴对称的点的坐标为 ．
【变式训练4-2】已知点关于轴的对称点落在第三象限，则的取值范围是 ．
【变式训练4-3】如图，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点的坐标分别是，，．
(1)在图中作出 ABC关于轴对称的；
(2)写出点关于轴的对称点的坐标______；
(3) ABC的面积为______；
(4)如果要使以、、为顶点的三角形与 ABC全等，写出所有符合条件的点（不与点重合）坐标．
【变式训练4-4】如图， ABC三个顶点的坐标分别为，，．
(1)作出与 ABC关于y轴对称的，并写出的坐标______；
(2)计算 ABC的面积；
(3)边上的高长为______．（直接写出答案）
【变式训练4-5】已知点与点，当，为何值时，
(1)点，关于轴对称；
(2)点，关于轴对称．
题型五：平移和轴对称中的最值问题
【经典例题5】如图，在平面直角坐标系中，已知，，．
(1)在平面直角坐标系中画出 ABC，将 ABC平移得到，已知，则坐标是______．
(2)求出 ABC的面积；
(3)在轴上有一点，使得的值最小，保留作图痕迹．
【变式训练5-1】 ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
(1)画出 ABC关于y轴对称的，并直接写出各顶点的坐标；
(2)直接写出 ABC的面积是______；
(3)在y轴上找一点P，使的和最小（标出点P即可，不用求点P坐标）．
【变式训练5-2】如图，在平面直角坐标系中， ABC三个顶点的坐标为，，．
(1)画出 ABC关于y轴对称的，写出的坐标 ；
(2)计算： ABC的面积是 ；
(3)若点P为y轴上一动点，使得的值最小，请在图中标出P点的位置，并写明做法．
【变式训练5-3】 ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
(1) ABC和关于轴对称，请在坐标系中画出；
(2)求 ABC的面积；
(3)若点是轴上一动点，直接写出长度的最小值为________．
【变式训练5-4】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
(1)请画出 ABC关于轴的对称图形；
(2)直接写出，，三点的坐标并求出的面积；
(3)在轴上找一点，使最小，并求出这个最小值．
【变式训练5-5】在平面直角坐标系中，点A、B分别在y轴和x轴上，已知点，以为直角边在左侧作等腰直角 ABC，，当点B在x轴上运动时，连接，求的最小值为 ，此时 B点坐标为 ．
题型六：平移和轴对称中的定义新运算
【经典例题6】定义“点的阶点”：若点的坐标为，则把坐标为的点称为点的阶点（其中为正整数）．例如：点的阶点为点，即．
(1)若点的阶点在轴上，求的值；
(2)若点的阶点为点，求点的坐标；
(3)已知点的阶点为点，将点先向右移动个单位，再向下移动个单位得到点，若点在第一象限，求的取值范围．
【变式训练6-1】对于平面直角坐标系中的图形G和图形G上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“t型平移”，点P'称为将点P进行“t型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“t型平移”称为将图形G进行“t型平移”．
例如，将点平移到称为将点P进行“1型平移”，将点平移到称为将点P进行“型平移”．
已知点和点．
(1)将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为 ．
(2)①将线段进行“型平移”后得到线段，点，，中，在线段上的点是 ．
②若线段进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是 ．
(3)已知点，点M是线段上的一个动点，将点B进行“t型平移”后得到的对应点为，当t的取值范围是 时，的最小值保持不变，最小值是 ．
【变式训练6-2】在平面直角坐标系中，直线l为一、三象限角平分线，点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作，点关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作．例如，点的一次反射点为，二次反射点为．根据定义，回答下列问题：
(1)点的一次反射点为_______________，二次反射点为_______________；
(2)当点A在第三象限时，点中可以是点A的二次反射点的是_______________；
(3)若点A在第二象限，点，分别是点A的一次反射点、二次反射点，，则射线与x轴所夹锐角的度数是_______________．
【变式训练6-3】对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与点称为点P的一对伴随点．例如，点与点为点的一对伴随点．
(1)点的一对伴随点坐标为 ；
(2)将点向左平移m个单位长度，得到点，若点的一对伴随点重合，求点C的坐标．
【变式训练6-4】阅读材料：对于平面直角坐标系中的图形和图形上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点进行“型平移”，点称为将点进行“型平移”的对应点；将图形上的所有点进行“型平移”称为将图形进行“型平移”．例如：将点平移到称为将点进行“1型平移”，将点平移到称为将点进行“型平移”．已知点和点．
(1)将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为________；
(2)将线段进行“型平移”后得到线段，点，，中，在线段上的点是________；
(3)若线段进行“型平移”后与坐标轴有公共点，求的取值范围．
【变式训练6-5】对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：如果，，那么点就是点P的“关联点”，例如，点的“关联点”是点．
(1)求点的“关联点”坐标．
(2)坐标平面内有一点，将点C向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后到点，如果点C与点的“关联点”互相重合，求点C的坐标．
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