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4.1探索确定位置的方法五大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：用有序数对表示位置
【经典例题1】如果用表示2街5巷的十字路口，那么表示（ ）的十字路口．
A．3街3巷 B．6街3巷 C．3街6巷 D．6街6巷
【答案】B
【分析】本题考查坐标确定位置，解题的关键是明确坐标中的数字表示的意义．根据2街5巷的十字路口表示为，可以知道表示6街3巷的十字路口，本题得以解决．
【详解】解：∵2街5巷的十字路口表示为，
∴表示6街3巷的十字路口，
故选：B．
【变式训练1-1】根据下列表述，能确定位置的是（ ）
A．兴庆路 B．负二层停车场
C．太平洋影城3号厅2排 D．东经，北纬
【答案】D
【分析】本题考查了有序数对确定位置．根据坐标定义，确定位置需要两个数据，逐项分析即可求解．
【详解】解：A、兴庆路，不能确定具体位置，故A选项不符合题意；
B、负二层停车场，不能确定具体位置，故B选项不符合题意；
C、太平洋影城3号厅2排，不能确定具体位置，故C选项不符合题意；
D、东经，北纬，能确定具体位置，故D选项符合题意．
故选：D．
【变式训练1-2】如果有序数对表示第一单元4号住户，那么第三单元6号住户用有序数对表示为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实际问题中用有序数对表示位置，根据题意可知有序数对的第一个数表示单元数，第二个数表示几号住户，据此可得答案．
【详解】解：如果有序数对表示第一单元4号住户，那么第三单元6号住户用有序数对表示为，
故答案为；．
【变式训练1-3】如图，每个小方格都是边长为1的正方形，点A的位置是．
(1)点B的位置是（______，______），点C的位置是（______，______）；
(2)以点A为端点画一条线段，将三角形分为面积相等的两部分（要求用铅笔作图）；
(3)在图中再找一个点，使它和A，B，C三个点能构成平行四边形，这个点的位置可以是（______，______）或（______，______）．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)或
【分析】本题考查了用有序数对表示位置，三角形的面积及网格线的特征．
（1）根据有序数对的定义结合图形即可解答；
（2）根据三角形面积公式取中点，连接即可；
（3）根据网格的特征解答即可．
【详解】（1）解：的位置是，
点B的位置是，点C的位置是；
（2）解：如图所示为所求：
（3）解：如图所示，或可以和A，B，C三个点能构成平行四边形．
【变式训练1-4】在图中，学校大门位于点，从大门向东走米到达教学楼，教学楼位于点( )．操场位于点( )，在大门的( )偏北( )°方向上．
【答案】 东
【分析】此题考考查了用有序数对确定位置，方向角等知识，根据图形进行解答即可．
【详解】解：在图中，学校大门位于点，从大门向东走米到达教学楼，教学楼位于点．操场位于点，在大门的东偏北方向上．
故答案为：，，东，
【变式训练1-5】在一次海上搜寻行动中，发现了一个可疑物体位于东经度，北纬度．如果约定“经度在前，纬度在后”，那么我们可以用有序数对表示该可疑物体的位置，仿照此表示方法，若又发现某可疑物体位于东经度，北纬度，则可用有序数对表示该可疑物体的位置为 ．
【答案】
【分析】本题考查了用有序数对表示位置，解题的关键在于读懂题意中给定的规则．
根据“经度在前，纬度在后”的顺序，可以将东经度，北纬度用有序数对表示．
【详解】解：根据“经度在前，纬度在后”，东经度，北纬度可以表示为，
故答案为：．
题型二：用有序数对表示路线
【经典例题2】阅读与理解：
如图，一只甲虫在的方格（每个方格边长均为1）上沿着网格线爬行．若我们规定：在如图网格中，向上（或向右）爬行记为“+”，向下（或向左）爬行记为“－”，并且第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
例如：从A到B记为：，
从D到C记为：．
思考与应用：
(1)图中（ ， ）；
（ ， ）；
（ ， ）．
(2)若甲虫从A到P的行走路线依次为：，请在图中标出P的位置．
(3)若甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的总路程．
【答案】(1)，；，0；，
(2)见解析
(3)16
【分析】此题考查正负数的意义和有理数的加减混合运算，注意在方格内对于运动方向规定的正负．
（1）根据向上（或向右）爬行记为“+”，向下（或向左）爬行记为“－”解答即可．
（2）由可知从A处右移3格，上移2格，再右移1格，上移3格，右移1格，下移2格即是甲虫P处的位置；
（3）由知：先向右移动1格，向上移动4格，向右移动2格，再向右移动1格，向下移动2格，最后向左移动4格，向下移动2格，把移动的距离相加即可．
【详解】（1）解：由图可知，，，．
故答案为：，；，0；，；
（2）解：若甲虫从A到P的行走路线依次为：，图中P的即为所求．
（3）解：∵甲虫的行走路线为，
∴甲虫走过的总路程．
【变式训练2-1】如图，若点表示放置2个胡萝卜，1棵青菜；点表示放置4个胡萝卜，2棵青菜．
(1)请写出其他各点C，D，E，F所表示的意义；
(2)若一只小兔子从A到达B（顺着方格线走）有以下几种路径可选择：
①A→C→D→B；②A→E→D→B；③A→E→F→B．
问：走哪条路径吃到的胡萝卜最多？走哪条路径吃到的青菜最多？
【答案】(1)点表示放置2个胡萝卜，2棵青菜；点表示放置3个胡萝卜，2棵青菜；点表示放置3个胡萝卜，1棵青菜；点表示放置4个胡萝卜，1棵青菜
(2)走③吃到的胡萝卜最多，走①吃的青菜最多
【分析】（1）由题可知，数对中第一个数表示胡萝卜的个数，第二个数表示青菜的棵数，由此可解；
（22）根据第（1）问中求出的结果计算即可
【详解】（1）解：点表示放置2个胡萝卜，2棵青菜；点表示放置3个胡萝卜，2棵青菜；点表示放置3个胡萝卜，1棵青菜；点表示放置4个胡萝卜，1棵青菜；
（2）解：走①A→C→D→B可以吃到个胡萝卜，棵青菜；
走②A→E→D→B可以吃到个胡萝卜，棵青菜；
走③A→E→F→B吃到个胡萝卜，棵青菜；
因此走③吃到的胡萝卜最多，走①吃的青菜最多．
【点睛】本题考查有序数对，明白第一个数表示胡萝卜的个数，第二个数表示青菜的棵数是关键．
【变式训练2-2】如图是某城市道路示意图：
(1)如果湘街与鲁路交叉道口点A的坐标记作，浙街与陕路交叉道口点B的坐标记作，则此时是______街与______路的交叉道口；
(2)在（1）的条件下渝街与陕路交叉道口的坐标记作______；沪街与京路交叉道口的坐标记作______；
(3)用有序数对写出2种从A地到B地的最短路线，如：—————．
【答案】(1)苏，冀
(2)，
(3)见解析
【分析】（1）根据点A和点B的坐标，即可找到的位置；
（2）参照的位置，可得其他交叉道口的坐标；
（3）答案不唯一，要求路程总长最短即可．
【详解】（1）解：此时是苏街与冀路的交叉道口，
故答案为：苏，冀；
（2）以苏街与冀路的交叉道口为，
则渝街与陕路交叉道口的坐标记作，
沪街与京路交叉道口的坐标记作，
故答案为：，；
（3）最短路线可以为：—————，
或—————．
【点睛】本题考查了确定位置，解题的关键是用已知点的位置做参照，找到其他位置．
【变式训练2-3】如图，小鱼家在处，小云家在处，从小鱼家到小云家可以按下面的两条路线走：
路线①：．
路线②：．
（1）请你在图上画出这两条路线，并比较这两条路线的长短；
（2）请你依照上述方法再写出一条路线．
【答案】（1）作图见解析，长度相等；（2）作图见解析
【分析】（1）根据有序实数对的意义即可画出路线①②，再利用平移的性质解答即可；
（2）画出路线（10，8）→（10，4）→（4，4）即可．
【详解】解：（1）路线①②如图所示．根据平移的性质可知它们的长度相等．
（2）（答案不唯一）画出路线③：，如图所示：
【点睛】本题考查了利用数对确定位置和路线，熟练掌握有序数对的意义是关键．
【变式训练2-4】一只甲虫在的方格（每小格边长为上沿着网格线运动．它从处出发去看望、、处的其它甲虫、、、都在格点上）．规定：向上向右走为正，向下向左走为负．若从到记为：，则从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中
（1）图中_____，_____，_____，______，______， ；
（2）若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程；
（3）若这只甲虫从处去甲虫处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置；若甲虫每走需消耗1.5焦耳的能量，则甲虫从走到的过程中共需要消耗多少焦耳的能量？
（4）若图中另有两个格点、，且，，则应记为多少？
【答案】见解析
【分析】
（1）根据题中的计数方法即可得到结果；
（2）根据题意列出算式，计算即可得到结果；
（3）在图形中找出的位置，根据题意列出算式，计算即可得到结果；
（4）由，，得到到的过程，即可确定出．
【详解】
解：（1）根据题意得：图中，，；
（2）根据题意得：；
（3）如图所示，为甲虫子走过的路程为，
则甲虫从走到的过程中共需要消耗的能量为（焦耳）；
（4）由，，
得到向右2个单位，向上3个单位到达，即应记为，
故答案为：（1）；；；0；；；（4）
【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，正数与负数，解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示．
【变式训练2-5】如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B(+1，+4)，从B到A记为：B→A(-1，-4)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中A→C( ， )，B→C( ， )，C→ (+1， )；
（2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，-1），（-2，+3），（-1，-2），请在图中标出P的位置；
（3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程；
（4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3-a，b-4），M→N（5-a，b-2），则N→A应记为什么？
【答案】（1）＋3；＋4；＋2；0；D；；（2）见解析；；应记为
【分析】（1）根据规定及实例可得答案；
（2）按题目所示平移规律分别向右向上平移2个格点，再向右平移2个格点，向下平移1个格点；向左平移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个向下平移两个格点即可得到点P的坐标，在图中标出即可；
（3）根据（1）列加法计算即可；
（4）根据M→A，M→N可知5-a-（3-a）=2，b-2-（b-4）=2，从而得到点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N，从而得到N→A应记为什么．
【详解】（1）图中A→C（+3，+4），B→C（+2，0），C→D（+1，﹣2）；
故答案为（+3，+4），（+2，0），D；
（2）P点位置如图1所示；
（3）如图2，根据已知条件可知：
A→B表示为：（＋1，＋4），B→C表示为：（+2，0），C→D表示为：（＋1，﹣2）；
则该甲虫走过的路线长为：1+4+2+1+2=10；
（4）由M→A（3﹣a， b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），
所以，5﹣a﹣（3﹣a）=2，b﹣2﹣（b﹣4）=2，
所以，点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N，
所以，N→A应记为（﹣2，﹣2）．
【点睛】
本题主要考查了利用坐标确定点的位置的方法．解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示．
题型三：坐标系中描点
【经典例题3】在平面直角坐标系中,顺次连接（-2,1）,（-2,-1）,（2,-2）,（2,3）各点,你会得到一个什么图形 试求出该图形的面积.
【答案】梯形，梯形ABCD＝14.
【分析】将A、B、C、D四点在图中标出来，顺次连接即可得出图形为梯形，结合四点坐标求出梯形的上、下底以及高的长度，再利用梯形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：该四边形ABCD是梯形，
∵A（ 2，1），B（ 2， 1），C（2， 2），D（2，3），
∴AB＝2，CD＝5，梯形的高为4，
∴梯形ABCD＝＝14.
【点睛】本题考查了坐标中描点问题，解题的关键是求出AB＝2，CD＝5，梯形的高为4．本题属于基础题，难度不大.
【变式训练3-1】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，， ，，.
（1）在坐标系中描出各点，画出，.
（2）求出的面积.
【答案】（1）见解析；（2）.
【分析】（1）根据各点坐标描出点的位置，依次连接即可；
（2）根据三角形面积公式计算可得．
【详解】（1）如图所示：
（2）取为底，则为6，边上高，
所以.
【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质，主要是在平面直角坐标系中确定点的位置的方法和三角形的面积的求解．
【变式训练3-2】如图，已知表示棋子“炮”和“车”的点的坐标分别为、，
（1）请你根据题目条件，在图上画出平面直角坐标系.
（2）分别写出“马”和“帅”的坐标.
（3）将“车”向上平移1个单位，再向右平移5个单位后的坐标________.
【答案】（1）见解析；（2）马，帅；（3）
【分析】（1）根据“炮”和“车”的点的坐标得到“米”字中间的“卒”为原点，画出图形即可；
（2）在直角坐标系中读出“马”和“帅”的坐标即可；
（3）按照平移规则得到平移后的坐标即可.
【详解】（1）根据“炮”和“车”的点的坐标得到“米”字中间的“卒”为原点，作图如下：
（2）马，帅
（3）“车”为（-3,0）向上平移1个单位，再向右平移5个单位后的坐标为
【点睛】本题考查坐标确定位置，解题本题的关键是找到原点，画出直角坐标系.
【变式训练3-3】在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点，并依次用线连接起来，看它像什么？
，，，，，，，．
【答案】见解析；它的形状像一座小房子．
【分析】根据平面直角坐标系找出各点的位置，然后顺次连接即可，再根据图形判断形状．
【详解】解：描点、连线，如图所示，它的形状像一座小房子．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了在平面直角坐标系中找点的位置的方法，是基础题．通过点的横坐标在横轴上对应的点作轴的垂线，然后通过点的纵坐标，在纵轴上对应的点作轴的垂线，两个垂线的交点，就是这个坐标表示的这个点．
【变式训练3-4】如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，.
（1）在直角坐标系中，试描点画出四边形；
（2）求出四边形的面积.
【答案】（1）图见解析；（2）44.
【分析】（1）根据点的坐标确定出点、、的位置，再与点顺次连接即可；
（2）利用四边形所在的长方形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
【详解】解：（1）四边形如图所示；
（2）四边形的面积，
，
，
．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，补充成网格平面直角坐标系更容易确定点的位置．
【变式训练3-5】如图，这是某市部分简图，为了确定各建筑物的位置；
（1）请你以火车站为原点建立平面直角坐标系；
（2）写出市场、超市的坐标；
（3）请将体育场、宾馆和火车站看作三点用线段连起来，得，根据坐标情况，求的面积.
【答案】(1)见解析；（2）市场的坐标为、超市的坐标为；（3）7
【分析】（1）直接建立坐标系即可；
（2）根据坐标系可标出坐标；
（3）根据格点三角形的特点求面积即可．（长方形的面积减去周围的小三角形的面积）
【详解】解：（1）如图所示：
（2）由图知市场的坐标为、超市的坐标为；
（3）的面积为.
【点睛】本题考查坐标确定位置以及利用坐标求图形面积，学生们认真分析题及会求图形面积.
题型四：坐标与图形
【经典例题4】如图，将长为3cm的矩形ABCD放在平面直角坐标系中，若点D(6,3)，则A点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长DA交y轴于点E，则DE⊥y轴．由AE=DE-AD=3，得出A点的横坐标为3；由AD∥x轴，得出A点的纵坐标与D点的纵坐标相同，为3，从而求出A点的坐标．
【详解】延长DA交y轴于点E，则DE⊥y轴．
∵AE=DE AD=6 3=3，
∴A点的横坐标为3；
∵AD∥x轴，
∴A点的纵坐标与D点的纵坐标相同，为3，
∴A点的坐标为(3,3).
故选A.
【点睛】此题考查坐标与图形性质，解题关键在于作辅助线.
【变式训练4-1】已知 A(0,a)，B(b,0)，且|b 4| = 0，将线段 AB 平移到 A’B’，其中 A’在 x 轴上，B’在y轴上,则 A’B’的中点坐标是（ ）
A．（1,-2） B．（2,-1） C．（-1,2） D．（-2,1）
【答案】D
【分析】先利用非负数的和为0，则每个非负数都为0，求出a、b,确定A、B的坐标；然后再根据A’、B’的位置，确定平移方式，再求出A’、B’的坐标，最后根据中点坐标的特点，即可完成解答.
【详解】解：由题意得：a+2=0，b-4=0 即a=-2，b=4
∴A（0，-2），B(4，0)
又∵平移后，其中 A’在 x 轴上，B’在y轴上
∴线段 AB 先向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到平移到 A’B’
∴A’（-4.0） B’（0,2）
∴A’B’的中点坐标为（-2，1）
故正确答案为D.
【点睛】本题主要考查了非负数的应用、平移、中点坐标的特点，其中确定平移方式是解答本题的关键.
【变式训练4-2】如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，将△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，△ABC上一点M在△A′B′C′上对应点为M'，若点M坐标为（a，b），则M′的坐标为 ．
【答案】（﹣a，b+4）
【分析】从图中三角形三个顶点的坐标，求出坐标规律，从而得到M′的坐标．
【详解】将△ABC关于y轴对称后，在将△ABC向上平移4个单位，即可得到△A′B′C′，
∵M（a，b），
∴M'（﹣a，b+4）；
故答案为（﹣a，b+4）．
【点睛】本题考查图形与坐标．关键是从图中三角形三个顶点的坐标，求出坐标规律解答．
【变式训练4-3】如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(－3，1)，则点B的坐标为 .
【答案】（﹣2，4）
【分析】过点A、B分别作x轴、y轴的垂线，可证△AEO≌△BFA，得到BN=AG﹣AF=3﹣1=2，BM=BF+AE=4即可求解．
【详解】如图所示，过点A、B分别作x轴、y轴的垂线，∠AEO=∠BFA=90°，∠AOE=∠GAO=∠ABF，AB=AO，∴△AEO≌△BFA（AAS），∴AF=AE=1，AG=BF=3，BN=AG﹣AF=3﹣1=2，BM=BF+AE=4，故点B坐标为（﹣2，4）．
故答案为（﹣2，4）．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，涉及到三角形全等、正方形性质等．证明△AEO≌△BFA是解题的关键．
【变式训练4-4】在如图所示的平面直角坐标系中，直接写出下列各点的坐标：A： ；B： ；C： ；D： ；E： .
【答案】 ， ， ， ， .
【分析】在图中找出A、B、C、D、E，结合坐标轴确定它们的坐标；
【详解】A：；B：；C：；D：；E：.
故答案为 ， ， ， ， .
【点睛】此题考查坐标与图形性质，解题关键在于掌握坐标轴的性质.
【变式训练4-5】如图，已知的三个顶点坐标为，，.
（1）将绕坐标原点旋转，画出旋转后的，并写出点的对应点的坐标 ；
（2）将绕坐标原点逆时针旋转，直接写出点的对应点Q的坐标 ；
（3）请直接写出：以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标 .
【答案】（1）；（2）；（3）或或.
【分析】（1）根据题意作出图形，即可根据直角坐标系求出坐标；
（2）根据题意作出图形，即可根据直角坐标系求出坐标；
（3）根据平行四边形的性质作出图形即可写出.
【详解】解：（1）旋转后的图形如图所示，点的对应点Q的坐标为：；
（2）如图点的对应点的坐标；
（3）如图以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标为：
或或
【点睛】此题主要考查坐标与图形，解题的关键是熟知图形的旋转作图及平行四边形的性质.
题型五：点坐标探索规律
【经典例题5】如图，在平面直角坐标系中，对角线为1的正方形OABC，点A在x轴的正半轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OBlB2C2，照此规律作下去，则点B2019的坐标为（ ）
A．（﹣21009，21009） B．（21008，﹣21008）
C．（﹣21009，0） D．（0，21008）
【答案】C
【分析】首先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点B2019的坐标．
【详解】∵正方形OABC对角线OB＝1，正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，
∴OB1＝，
∴B1点坐标为（0，），
同理可知OB2＝2，B2点坐标为（﹣，），
同理可知OB3＝2，B3点坐标为（﹣2，0），
B4点坐标为（﹣2，﹣2），B5点坐标为（0，﹣4），
B6（4，﹣4），B7（8，0），
B8（8，8），B9（0，16），
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，
∵2019÷8＝252…3，
∴B2019的纵横坐标符号与点B3的相同，横坐标为负值，纵坐标是0，
∴B2019的坐标为（﹣21009，0）．
故选C．
【点睛】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，此题难度较大．
【变式训练5-1】如图，已知正方形ABCD，对角线的交点M（2，2）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（ ）
A．（﹣2012，2） B．（﹣2012，﹣2） C．（﹣2013，﹣2） D．（﹣2013，2）
【答案】A
【分析】根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2﹣n，﹣2），当n为偶数时为（2﹣n，2），继而求得结果．
【详解】解：∵对角线交点M的坐标为（2，2），
根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2﹣1，﹣2），即（1，﹣2），
第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2﹣2，2），即（0，2），
第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2﹣3，﹣2），即（﹣1，﹣2），
第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2﹣n，﹣2），当n为偶数时为（2﹣n，2），
∴连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（﹣2012，2）．
故选A．
【点睛】此题考查了点的坐标变化，对称与平移的性质．得到规律：第n次变换后的对角线交点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2﹣n，﹣2），当n为偶数时为（2﹣n，2）是解此题的关键．
【变式训练5-2】某景区有一片树林，不仅树种相同，而且排列有序，如果用平面直角坐标系来表示每一棵的具体位置，从第一棵树开始依次表示为（1，0）→（2，0）→（2，1）→（3，2）→（3，1）→（3，0）→（4.0）→……，则第100棵树的位置是 ．
【答案】（14，8）
【分析】根据题意可知，图表中每列树木的横坐标依次为1，2，3，……，每列树木数依次为1，2，3，……，因此计算前n列树木总数，再试数得到总数接近100的n值即可．
【详解】根据题意可知横坐标为1的树木有1棵，横坐标为2的树木有2棵，横坐标为3的树木有3棵……横坐标为n的树木有n棵
则n列树木总数为棵
试数可知，当n＝13时，树木总数为91棵
则第100棵树在第14列，100﹣91＝9
则第100棵树的坐标为（14，8）
故答案为（14，8）
【点睛】本题为平面直角坐标系的规律探究题，考察了坐标系中点坐标的变化规律以及等差数列求和公式，解答时注意通过试数来降低运算量．
【变式训练5-3】如图，在平面直角坐标系中，一质点以每秒1个单位长度的速度从原点开始，按如图所示方向移动，即，根据这个规律，第2019秒时该质点所处位置的坐标为 .
【答案】
【分析】质点移动路径可看作边长分别为1，2，3…的正方形，且边长为奇数时，逆时针移动，边长为偶数时，顺时针移动．再根据坐标轴上的整点的运动时间可推理出结果.
【详解】解：当质点移动到（0，-1），（0，-3），（0，-5）分别是第1s，32s,52s,
∵452=2025>2019.
∴第2019秒时该质点所处位置的坐标为.
【点睛】本题主要考查点的规律，熟练掌握坐标系内点的移动是解答本题的关键．
【变式训练5-4】如图，直线OD与x轴所夹的锐角为30°，OA1的长为1，△A1A2B1、△A2A3B2、△A3A4B3、…、△AnAn+1Bn均为等边三角形，点A1、A2、A3、…、An+1在x轴的正半轴上依次排列，点B1、B2、B3、…、Bn在直线OD上依次排列，那么B2019的坐标为 ．
【答案】（3×22017，×22017）
【分析】根据等边三角形的性质和∠B1OA2=30°，得∠B1OA2=∠A1B1O=30°，得到OA2=2OA1=2，同理求得OAn=2n-1，根据含30°角的直角三角形的性质可求得△AnBnAn+1的边长，得到点B2019的坐标．
【详解】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，
∵∠B1OA2＝30°，
∴∠B1OA2＝∠A1B1O＝30°，
∴OA2＝2OA1＝2，
同理可得，OAn＝2n﹣1，
∵∠BnOAn+1＝30°，∠BnAnAn+1＝60°，
∴∠BnOAn+1＝∠OBnAn＝30°，
∴BnAn＝OAn＝2n﹣1，
即△AnBnAn+1的边长为2n﹣1，则可求得其高为×2n﹣1＝×2n﹣2，
∴点Bn的横坐标为×2n﹣1+2n﹣1＝×2n﹣1＝3×2n﹣2，
∴点Bn的坐标为（3×2n﹣2，×2n﹣2），
∴点B2019的坐标为（3×22017，×22017），．
故答案为（3×22017，×22017）
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，根据条件找到等边三角形的边长和OA1的关系是解题的关键．
【变式训练5-5】如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0）、（2，0）、（2，1）、（3，1）、（3，0）、（3，﹣1）、…，根据这个规律探索可得，第220个点的坐标为 ．
【答案】（21，2）．
【分析】从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，…依此类推横坐标为n的有n个点．题目要求写出第220个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第220个点位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．
【详解】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点…第n列有n个点，
并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个，
∵1+2+3+…+20＝210，1+2+3+…+21＝231，
∴第220个点在第21列上，
所以奇数列的坐标为（n，）（n，﹣1）…（n，）；
偶数列的坐标为（n，）（n，﹣1）…（n，1﹣），
由加法推算可得到第220个点位于第21列自下而上第12行．
第21列一共有21个点，上下对称，x轴上有一个，x轴上方和下方各10个点，
∴第220个点的坐标为（21，2），
故答案为（21，2）．
【点睛】本题是对点的变化规律的考查，观察得到横坐标相等的点的个数与横坐标相同是解题的关键，还要注意横坐标为奇数和偶数时的排列顺序不同．
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4.1探索确定位置的方法五大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：用有序数对表示位置
【经典例题1】如果用表示2街5巷的十字路口，那么表示（ ）的十字路口．
A．3街3巷 B．6街3巷 C．3街6巷 D．6街6巷
【变式训练1-1】根据下列表述，能确定位置的是（ ）
A．兴庆路 B．负二层停车场
C．太平洋影城3号厅2排 D．东经，北纬
【变式训练1-2】如果有序数对表示第一单元4号住户，那么第三单元6号住户用有序数对表示为 ．
【变式训练1-3】如图，每个小方格都是边长为1的正方形，点A的位置是．
(1)点B的位置是（______，______），点C的位置是（______，______）；
(2)以点A为端点画一条线段，将三角形分为面积相等的两部分（要求用铅笔作图）；
(3)在图中再找一个点，使它和A，B，C三个点能构成平行四边形，这个点的位置可以是（______，______）或（______，______）．
【变式训练1-4】在图中，学校大门位于点，从大门向东走米到达教学楼，教学楼位于点( )．操场位于点( )，在大门的( )偏北( )°方向上．
【变式训练1-5】在一次海上搜寻行动中，发现了一个可疑物体位于东经度，北纬度．如果约定“经度在前，纬度在后”，那么我们可以用有序数对表示该可疑物体的位置，仿照此表示方法，若又发现某可疑物体位于东经度，北纬度，则可用有序数对表示该可疑物体的位置为 ．
题型二：用有序数对表示路线
【经典例题2】阅读与理解：
如图，一只甲虫在的方格（每个方格边长均为1）上沿着网格线爬行．若我们规定：在如图网格中，向上（或向右）爬行记为“+”，向下（或向左）爬行记为“－”，并且第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
例如：从A到B记为：，
从D到C记为：．
思考与应用：
(1)图中（ ， ）；
（ ， ）；
（ ， ）．
(2)若甲虫从A到P的行走路线依次为：，请在图中标出P的位置．
(3)若甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的总路程．
【变式训练2-1】如图，若点表示放置2个胡萝卜，1棵青菜；点表示放置4个胡萝卜，2棵青菜．
(1)请写出其他各点C，D，E，F所表示的意义；
(2)若一只小兔子从A到达B（顺着方格线走）有以下几种路径可选择：
①A→C→D→B；②A→E→D→B；③A→E→F→B．
问：走哪条路径吃到的胡萝卜最多？走哪条路径吃到的青菜最多？
【变式训练2-2】如图是某城市道路示意图：
(1)如果湘街与鲁路交叉道口点A的坐标记作，浙街与陕路交叉道口点B的坐标记作，则此时是______街与______路的交叉道口；
(2)在（1）的条件下渝街与陕路交叉道口的坐标记作______；沪街与京路交叉道口的坐标记作______；
(3)用有序数对写出2种从A地到B地的最短路线，如：—————．
【变式训练2-3】如图，小鱼家在处，小云家在处，从小鱼家到小云家可以按下面的两条路线走：
路线①：．
路线②：．
（1）请你在图上画出这两条路线，并比较这两条路线的长短；
（2）请你依照上述方法再写出一条路线．
【变式训练2-4】一只甲虫在的方格（每小格边长为上沿着网格线运动．它从处出发去看望、、处的其它甲虫、、、都在格点上）．规定：向上向右走为正，向下向左走为负．若从到记为：，则从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中
（1）图中_____，_____，_____，______，______， ；
（2）若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程；
（3）若这只甲虫从处去甲虫处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置；若甲虫每走需消耗1.5焦耳的能量，则甲虫从走到的过程中共需要消耗多少焦耳的能量？
（4）若图中另有两个格点、，且，，则应记为多少？
【变式训练2-5】如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B(+1，+4)，从B到A记为：B→A(-1，-4)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中A→C( ， )，B→C( ， )，C→ (+1， )；
（2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，-1），（-2，+3），（-1，-2），请在图中标出P的位置；
（3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程；
（4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3-a，b-4），M→N（5-a，b-2），则N→A应记为什么？
题型三：坐标系中描点
【经典例题3】在平面直角坐标系中,顺次连接（-2,1）,（-2,-1）,（2,-2）,（2,3）各点,你会得到一个什么图形 试求出该图形的面积.
【变式训练3-1】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，， ，，.
（1）在坐标系中描出各点，画出，.
（2）求出的面积.
【变式训练3-2】如图，已知表示棋子“炮”和“车”的点的坐标分别为、，
（1）请你根据题目条件，在图上画出平面直角坐标系.
（2）分别写出“马”和“帅”的坐标.
（3）将“车”向上平移1个单位，再向右平移5个单位后的坐标________.
【变式训练3-3】在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点，并依次用线连接起来，看它像什么？
，，，，，，，．
【变式训练3-4】如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，.
（1）在直角坐标系中，试描点画出四边形；
（2）求出四边形的面积.
【变式训练3-5】如图，这是某市部分简图，为了确定各建筑物的位置；
（1）请你以火车站为原点建立平面直角坐标系；
（2）写出市场、超市的坐标；
（3）请将体育场、宾馆和火车站看作三点用线段连起来，得，根据坐标情况，求的面积.
题型四：坐标与图形
【经典例题4】如图，将长为3cm的矩形ABCD放在平面直角坐标系中，若点D(6,3)，则A点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】已知 A(0,a)，B(b,0)，且|b 4| = 0，将线段 AB 平移到 A’B’，其中 A’在 x 轴上，B’在y轴上,则 A’B’的中点坐标是（ ）
A．（1,-2） B．（2,-1） C．（-1,2） D．（-2,1）
【变式训练4-2】如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，将△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，△ABC上一点M在△A′B′C′上对应点为M'，若点M坐标为（a，b），则M′的坐标为 ．
【变式训练4-3】如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(－3，1)，则点B的坐标为 .
【变式训练4-4】在如图所示的平面直角坐标系中，直接写出下列各点的坐标：A： ；B： ；C： ；D： ；E： .
【变式训练4-5】如图，已知的三个顶点坐标为，，.
（1）将绕坐标原点旋转，画出旋转后的，并写出点的对应点的坐标 ；
（2）将绕坐标原点逆时针旋转，直接写出点的对应点Q的坐标 ；
（3）请直接写出：以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标 .
题型五：点坐标探索规律
【经典例题5】如图，在平面直角坐标系中，对角线为1的正方形OABC，点A在x轴的正半轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OBlB2C2，照此规律作下去，则点B2019的坐标为（ ）
A．（﹣21009，21009） B．（21008，﹣21008）
C．（﹣21009，0） D．（0，21008）
【变式训练5-1】如图，已知正方形ABCD，对角线的交点M（2，2）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（ ）
A．（﹣2012，2） B．（﹣2012，﹣2） C．（﹣2013，﹣2） D．（﹣2013，2）
【变式训练5-2】某景区有一片树林，不仅树种相同，而且排列有序，如果用平面直角坐标系来表示每一棵的具体位置，从第一棵树开始依次表示为（1，0）→（2，0）→（2，1）→（3，2）→（3，1）→（3，0）→（4.0）→……，则第100棵树的位置是 ．
【变式训练5-3】如图，在平面直角坐标系中，一质点以每秒1个单位长度的速度从原点开始，按如图所示方向移动，即，根据这个规律，第2019秒时该质点所处位置的坐标为 .
【变式训练5-4】如图，直线OD与x轴所夹的锐角为30°，OA1的长为1，△A1A2B1、△A2A3B2、△A3A4B3、…、△AnAn+1Bn均为等边三角形，点A1、A2、A3、…、An+1在x轴的正半轴上依次排列，点B1、B2、B3、…、Bn在直线OD上依次排列，那么B2019的坐标为 ．
【变式训练5-5】如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0）、（2，0）、（2，1）、（3，1）、（3，0）、（3，﹣1）、…，根据这个规律探索可得，第220个点的坐标为 ．
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