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专题突破四：方格子中的最值问题（20道）
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形先向上平移4个单位，再向右平移5个单位，得到三角形
(1)请在图中画出三角形，并写出点的坐标；
(2)点M是x轴上一动点，连接．当线段长度最小时，点M的坐标（_____，____），理由是_________________；
(3)求三角形的面积．
2．正方形网格中每个小正方形的边长为一个单位长度，在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)点A的坐标为________________，点B的坐标为________________，点C的坐标为________________．
(2)的面积为________________．
(3)若点P是x轴上一动点，当点P到A、C的距离之和最小时，点P的坐标为________，最小距离为________．
3．如图，、、，把 ABC向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到．
(1)在图中画出．
(2)写出平移后三个点的坐标： ， ， ．
(3)若点在直线上运动，当线段长度最小时，则点的坐标为 ．
4． ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
(1) ABC关于轴对称图形为，画出的图形．点，，关于x轴的对称点是，，，请观察点A，B，C与，，的坐标有什么特点？请用一句话叙述．
(2)若点在x轴上，当最小时，在图中作出点的位置．
5．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是．
(1) ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到，画出平移后的图形并写出点的坐标；
(2)点P是x轴上一点，当线段长度最小时，点P的坐标________，依据是________；
(3)设点Q在y轴上，且与 ABC的面积相等，求点Q的坐标．
6．如图，三角形的三个顶点坐标分别是，，，将三角形先向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到三角形（点A，B，C的对应点分别为，，）．
(1)在图中画出三角形；
(2)若点P在y轴上运动，当线段长度最小时，点P的坐标是 ；
(3)连接，，则这两条线段之间的数量关系是 ；
(4)四边形的面积为 ．
7．如图，在直角坐标系中，点O为原点，点A在x轴上，且，点B在y轴 上，，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到线段（其中点A的对应点是点，点B的对应点是点）．
(1)在图上画出线段，写出点，点的坐标；
(2)连接，，得到三角形，则三角形的面积是
(3)点P是y轴上一动点，当最短时，求点P的坐标．
8．三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)分别写出点A，B，C的坐标；并求三角形的面积；
(2)过点作直线轴，若点P在直线l上运动，连接，当线段长度最小时，直接写出此时点P的坐标；
(3)若点Q在y轴上，且三角形与三角形的面积相等，求点Q的坐标．
9．已知，在平面直角坐标系中有三点．请回答如下问题：
(1)如图，在坐标系内描出点A、B、C的位置；
(2)如图，画出 ABC关于y轴对称的；
(3)点M、N分别为线段的中点，点P为上一动点，值最小时，求点P的坐标．
10．如图，四边形放置在平面直角坐标系中，，，点，，的坐标分别为，，．
(1)与轴的位置关系是 （填“平行”或“相交”），点的坐标为 ；
(2)是线段上一动点，则距离的最小值 ，距离最小时，点的坐标是 ；
(3)在（2）的条件下求的面积．
11．如图，在平面直角坐标系中， ABC三个顶点的坐标分别是．将 ABC先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到，其中点分别为点的对应点．
(1)在图中画出；
(2)直接写出 ABC的面积；
(3)连接，则这两条线段的长度关系是_______；
(4)若点P在x轴上运动，当线段长度最小时，点P的坐标为_______；
(5)若 ABC内一点P经过上述平移后的对应点为，直接写出点P的坐标（用含的式子表示）．
12．如图，A、B、C是正方形网格图中的格点，直线m上各点的横坐标都为1，请用无刻度尺在给定的网格图中按要求作图，保留作图痕迹．
(1)画出的中点D；
(2)画出三角形关于直线m对称的三角形；
(3)点M在线段上，画出点M关于直线m的对称点；
(4)若直线m上有两个动点P、Q（P在Q的上方）满足，当最小时，求Q点的坐标为______．
13．如图，是一个正方形格纸， ABC中A点坐标为，B点的坐标为．
(1)请在图中建立平面直角坐标系，并指出 ABC和关于哪条直线对称（直接写答案）？
(2)作出 ABC关于x轴的对称图形；
(3)若点M在x轴上，当的周长最小时，点M的坐标为_______．
14．如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1．
(1)画出 ABC关于y轴对称的图形；
(2)将点A先向上平移3个单位，再向右平移8个单位得到点的坐标为______；
(3)若Q为x轴上一点，连接，则求出当周长的最小时Q点坐标．
15．已知：，，．
(1)在平面直角坐标系中描出各点，画出三角形．
(2)求三角形的面积；
(3)过点作直线轴，若点P在直线l上运动，连接，当线段长度最小时，求点P的坐标；
(4)若点Q在x轴上，且三角形与三角形的面积相等，求点Q的坐标．
16．如图， ABC的三个顶点坐标分别为，，．
(1)若与 ABC关于x轴成轴对称，请在网格中画出，并写出的顶点坐标：______，______，______．
(2) ABC的面积为______．（直接写出结果）
(3)若P为y轴上一点，当的值最小时，此时点P的坐标是______．
17．如图， ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是，点坐标是，点坐标是．
(1)作 ABC关于轴对称的图形，其中A、B、C的对应点分别为D、E、F；请仅用无刻度的直尺画出的平分线交y轴于点Q（保留画图痕迹）；
(2)动点P的坐标为，当为何值时，当的值最小时______．
18．如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)在图中作出 ABC关于轴对称的．
(2)写出，，的坐标（直接写出答案），________；________；________．
(3)若点是轴上的一个动点，当值最小时，求出的最小值．
19．如图，已知 ABC的三个顶点都是格点， ABC与关于x轴对称，A，B，C的对应点分别是，，．
(1)在图中画出；
(2)填空：点的坐标是_________；
(3)点D是y轴上一个动点，当最小时，在图中标记此时点D的位置．（保留作图痕迹）
20．如图，网格中每个小正方形边长为1， ABC的三个顶点的坐标分别为，，，将 ABC向上平移4个单位长度得到．
(1)在图中画出；
(2)若点在轴上运动，当线段长度最小时，点的坐标为______；
(3)在平移的过程中，线段扫过的图形的面积______．
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专题突破四：方格子中的最值问题（20道）
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形先向上平移4个单位，再向右平移5个单位，得到三角形
(1)请在图中画出三角形，并写出点的坐标；
(2)点M是x轴上一动点，连接．当线段长度最小时，点M的坐标（_____，____），理由是_________________；
(3)求三角形的面积．
【答案】(1)图见解析，
(2)；；垂线段最短；
(3)
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，垂线段最短：
（1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律确定A、B、C对应点的坐标，描出，并顺次连接即可；
（2）根据垂线段最短可知，当轴，长度最小，据此可得答案；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，
∴；
（2）解：由垂线段最短可知，当轴，长度最小，
∵，
∴，
故答案为：；；垂线段最短；
（3）解：．
2．正方形网格中每个小正方形的边长为一个单位长度，在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)点A的坐标为________________，点B的坐标为________________，点C的坐标为________________．
(2)的面积为________________．
(3)若点P是x轴上一动点，当点P到A、C的距离之和最小时，点P的坐标为________，最小距离为________．
【答案】(1)；；；
(2)2
(3)；
【分析】题目主要考查坐标与图形，利用网格求三角形面积，轴对称的性质及确定一次函数解析式，勾股定理解三角形，结合图形，找出最短距离是解题关键．
（1）直接根据图象即可确定点的坐标；
（2）利用网格求三角形面积即可；
（3）作点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P即为所求，利用待定系数法确定一次函数解析式，即可确定点P的坐标，再由网格及勾股定理即可得出最短距离．
【详解】（1）解：由图得：点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，
故答案为：；；；
（2）的面积为：，
故答案为：2；
（3）作点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P即为所求，如图所示：
设直线的解析式为，代入得：，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
最小距离为：，
故答案为：；．
3．如图，、、，把 ABC向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到．
(1)在图中画出．
(2)写出平移后三个点的坐标： ， ， ．
(3)若点在直线上运动，当线段长度最小时，则点的坐标为 ．
【答案】(1)作图见解析；
(2)，，；
(3)．
【分析】（）根据平移作图即可；
（）根据平移后的图形即可求解；
（）根据垂线段最短即可求解；
本题考查了平移作图，坐标与图形，垂线段最短，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由平移后的图形可得平移后三个点的坐标为：，，，
故答案为：，，；
（3）解：由垂线段最短可得，当点与点重合时，线段长度最小，
∴点的坐标为，
故答案为：．
4． ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
(1) ABC关于轴对称图形为，画出的图形．点，，关于x轴的对称点是，，，请观察点A，B，C与，，的坐标有什么特点？请用一句话叙述．
(2)若点在x轴上，当最小时，在图中作出点的位置．
【答案】(1)图见解析，点A，B，C与，，三个对应点的横、纵坐标分别互为相反数
(2)见解析
【分析】本题考查了作图，轴对称变换，最短路线问题，掌握轴对称变换的定义和性质，是解答本题的关键．
（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接，得到答案；分别作出三个顶点关于x轴的对称点，观察即可得出结论；
（2）作点B关于x轴的对称点，连接，与轴交于点P， 点P即为所求．
【详解】（1）如图所示：即为所求；
观察图象得：点A，B，C与，，三个对应点的横、纵坐标分别互为相反数．
（2）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点，点就是所要求的点．
5．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是．
(1) ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到，画出平移后的图形并写出点的坐标；
(2)点P是x轴上一点，当线段长度最小时，点P的坐标________，依据是________；
(3)设点Q在y轴上，且与 ABC的面积相等，求点Q的坐标．
【答案】(1)图见解析，，，
(2)，垂线段最短
(3)或
【分析】本题考查坐标与图形变化，三角形面积，垂线段的性质等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）根据垂线段的性质求解即可；
（3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形先计算出，再根据与 ABC的面积相等，可得，即可求解．
【详解】（1）如图，即为所求，
，，；
（2）由垂线段最短的性质可得：当线段长度最小时，点P的坐标，
故答案为：，垂线段最短；
（3）
∵与 ABC的面积相等，
∴，
所以点Q的坐标为或．
6．如图，三角形的三个顶点坐标分别是，，，将三角形先向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到三角形（点A，B，C的对应点分别为，，）．
(1)在图中画出三角形；
(2)若点P在y轴上运动，当线段长度最小时，点P的坐标是 ；
(3)连接，，则这两条线段之间的数量关系是 ；
(4)四边形的面积为 ．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
(4)
【分析】此题考查了坐标与图形，图形平移的性质，作平移图形，正确理解平移的性质是解题的关键：
（1）根据平移的规律作图即可；
（2）根据垂线段最短，可得当轴时，线段长度最小；
（3）根据平移的性质：对应点连线平行且相等即可得到；
（4）利用割补法求图形面积．
【详解】（1）如图，即为所求；
（2）根据点到直线的距离中，垂线段最短，可得当轴时，线段长度最小，
∴点P的坐标是
（3）连接，，则这两条线段之间的数量关系是，
（4）面积为．
7．如图，在直角坐标系中，点O为原点，点A在x轴上，且，点B在y轴 上，，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到线段（其中点A的对应点是点，点B的对应点是点）．
(1)在图上画出线段，写出点，点的坐标；
(2)连接，，得到三角形，则三角形的面积是
(3)点P是y轴上一动点，当最短时，求点P的坐标．
【答案】(1)画图见解析，，；
(2)
(3)
【分析】此题考查了平移作图，平移的性质，割补法求三角形面积，垂线段最短等知识，
（1）根据平移的性质画出线段，进而写出点，点的坐标；
（2）利用割补法求解即可；
（3）根据垂线段最短得到当时，最短，进而可求出点P的坐标．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
∴，；
（2）如图所示，连接，，
三角形的面积是；
（3）如图所示，
∵点P是y轴上一动点，
∴当时，最短
∴此时点P的坐标．
8．三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)分别写出点A，B，C的坐标；并求三角形的面积；
(2)过点作直线轴，若点P在直线l上运动，连接，当线段长度最小时，直接写出此时点P的坐标；
(3)若点Q在y轴上，且三角形与三角形的面积相等，求点Q的坐标．
【答案】(1)，，；
(2)
(3)或
【分析】本题考查坐标系中点的坐标，点到直线的最短距离以及三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据坐标系中直接写出各点坐标即可，利用网格求出三角形的面积即可；
（2）根据点到直线的最短距离求出点P的坐标即可；
（3）注意区分当点Q在y轴上时与点B的位置关系，分情况计算即可．
【详解】（1）解：由坐标系可得：，，；
（2）解：如图
当时，长度最小
∵
∴；
（3）解：设
∵三角形与三角形的面积相等，
∴，解得：或8
∴或
9．已知，在平面直角坐标系中有三点．请回答如下问题：
(1)如图，在坐标系内描出点A、B、C的位置；
(2)如图，画出 ABC关于y轴对称的；
(3)点M、N分别为线段的中点，点P为上一动点，值最小时，求点P的坐标．
【答案】(1)见详解
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了坐标与图形，画轴对称图形，两点之间线段最短，求一次函数解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据，直接作答即可．
（2）先分别作出关于y轴对称的点，再依次连接，即可作答．
（3）先标出，再作点N关于轴的对称点，再连接与轴的交点，即为P的坐标，设的解析式为，把代入，得出，即可作答．
【详解】（1）解：如图：点A、B、C为所求图形：
（2）解：如图：为所求图形：
（3）解：如图：
∵点M、N分别为线段的中点，
∴在图中标出点，
∴
再作点N关于轴的对称点，
∴
再连接与轴的交点，即为P的坐标，
∴
即的值最小，
设的解析式为
把代入
得
解得
∴的解析式为
当时，则
∴
此时
10．如图，四边形放置在平面直角坐标系中，，，点，，的坐标分别为，，．
(1)与轴的位置关系是 （填“平行”或“相交”），点的坐标为 ；
(2)是线段上一动点，则距离的最小值 ，距离最小时，点的坐标是 ；
(3)在（2）的条件下求的面积．
【答案】(1)平行；
(2)7，
(3)28
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特点与线段的位置之间关系等知识，解决问题的关键是根据点的坐标来确定线段之间的关系．
（1）由，两点横坐标相同可判断轴，根据，从而求得点坐标；
（2）当时，之间的距离最小，进一步求得结果；
（3）由（1）（2）中得到的点、点，在平面直角坐标系中用坐标表示出面积，代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：，，
，两点的横坐标相同，
轴，
轴轴，
轴，
，，，
，
，
点，
故答案为：平行，；
（2）解：当时，最小，此时，
此时点的横坐标和点的横坐标相同，纵坐标与点的纵坐标相同，
，
故答案为7，；
（3）解：由（1）知点，由（2）知点，
点，
．
11．如图，在平面直角坐标系中， ABC三个顶点的坐标分别是．将 ABC先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到，其中点分别为点的对应点．
(1)在图中画出；
(2)直接写出 ABC的面积；
(3)连接，则这两条线段的长度关系是_______；
(4)若点P在x轴上运动，当线段长度最小时，点P的坐标为_______；
(5)若 ABC内一点P经过上述平移后的对应点为，直接写出点P的坐标（用含的式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】本题考查了平移—作图，坐标与图形，平移的性质；
（1）根据题意进行平移得，即可得；
（2）作点，构造图中的梯形，则，进行计算即可得；
（3）根据平移的性质可得；
（4）根据垂线段最短，即可求解；
（5）根据三角形内一点P经过先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到，即可得．
【详解】（1）解：∵三角形三个顶点的坐标分别是，，．将三角形先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，
∴，
如图所示，
；
（2）解：如图所示，作点，构造图中的梯形，
则
．
（3）如图所示连接，则
故答案为：．
（4）根据垂线段最短，当线段长度最小时，点P的坐标为，
故答案为：．
（5）解：∵三角形内一点P经过先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到，
∴．
12．如图，A、B、C是正方形网格图中的格点，直线m上各点的横坐标都为1，请用无刻度尺在给定的网格图中按要求作图，保留作图痕迹．
(1)画出的中点D；
(2)画出三角形关于直线m对称的三角形；
(3)点M在线段上，画出点M关于直线m的对称点；
(4)若直线m上有两个动点P、Q（P在Q的上方）满足，当最小时，求Q点的坐标为______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)
【分析】本题考查了作图——轴对称变换，无刻度尺作垂直平分线，线段和最小．
（1）画出的垂直平分线，即可确定点；
（2）根据对称性找出各点的对称点依次连接即可；
（3）连接，与的交点再连接，延长交于即可得到；
（4）连接，，交点即为的中点，即可找到．
【详解】（1）解：如图，点即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3）如图，点即为所求；
（4）
如图可知．
13．如图，是一个正方形格纸， ABC中A点坐标为，B点的坐标为．
(1)请在图中建立平面直角坐标系，并指出 ABC和关于哪条直线对称（直接写答案）？
(2)作出 ABC关于x轴的对称图形；
(3)若点M在x轴上，当的周长最小时，点M的坐标为_______．
【答案】(1)图见解析，y轴；
(2)见解析．
(3)
【分析】本题考查作图轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称的性质解决最短问题，属于中考常考题型．
（1）根据，两点坐标，确定平面直角坐标系即可；
（2）利用轴对称的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，点即为所求．
【详解】（1）如图，平面直角坐标系如图所示：
ABC和关于y轴对称；
（2）如图，即为所求
（3）如图，点即为所求．．
故答案为：
14．如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1．
(1)画出 ABC关于y轴对称的图形；
(2)将点A先向上平移3个单位，再向右平移8个单位得到点的坐标为______；
(3)若Q为x轴上一点，连接，则求出当周长的最小时Q点坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了利用轴对称变换以及平移变换作图以及勾股定理的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
（1）根据轴对称的性质，即可得到 ABC关于轴对称的图形；
（2）依据平移的方向和距离，即可得到点的坐标；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于，则此时的值最小，
由于的值是定值，所以此时周长的最小，再求出直线的函数关系式，最后求出其与x轴交点坐标即可．
【详解】（1）如图，即为所求；
（2）将点先向上平移3个单位，再向右平移8个单位得到点的坐标为；
故答案为：；
（3）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的值最小，
由于的值是定值，所以此时周长的最小，
设直线的函数关系式为：，将代入得：
，解得：，
所以直线的函数关系式为：，
令,得，解得，
所以Q点坐标为．
15．已知：，，．
(1)在平面直角坐标系中描出各点，画出三角形．
(2)求三角形的面积；
(3)过点作直线轴，若点P在直线l上运动，连接，当线段长度最小时，求点P的坐标；
(4)若点Q在x轴上，且三角形与三角形的面积相等，求点Q的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)4
(3)
(4)或
【分析】本题考查坐标系中点的坐标，点到直线的最短距离以及三角形的面积．熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据坐标在坐标系中直接描出各点即可．
（2）利用网格求出三角形的面积即可．
（3）根据点到直线的最短距离求出点P的坐标即可．
（4）注意区分当点P在x轴上时与点B的位置关系，分情况计算即可．
【详解】（1）解：如图所示
（2）解：三角形的面积．
（3）解：如图所示，线段长度最小时，，
∴P的坐标为．
（4）解：∵三角形与三角形的面积相等，
三角形的高，
∴，
，
或
16．如图， ABC的三个顶点坐标分别为，，．
(1)若与 ABC关于x轴成轴对称，请在网格中画出，并写出的顶点坐标：______，______，______．
(2) ABC的面积为______．（直接写出结果）
(3)若P为y轴上一点，当的值最小时，此时点P的坐标是______．
【答案】(1)见解析，；；
(2)4
(3)
【分析】本题考查了作图 轴对称变换、轴对称 最短路线问题，掌握轴对称的性质是解决本题的关键．
（1）依据轴对称的性质进行作图，即可得到，进而得出三顶点坐标；
（2）依据割补法进行计算，即可得到 ABC的面积；
（3）作点A关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，可得点P的坐标．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
其中的坐标分别为：；；；
故答案为：；；；
（2）解： ABC的面积，
故答案为：；
（3）解：如图，作点A关于y轴的对称点，连接，
则与y轴的交点即是点P的位置；
点P的坐标为：，
故答案为：．
17．如图， ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是，点坐标是，点坐标是．
(1)作 ABC关于轴对称的图形，其中A、B、C的对应点分别为D、E、F；请仅用无刻度的直尺画出的平分线交y轴于点Q（保留画图痕迹）；
(2)动点P的坐标为，当为何值时，当的值最小时______．
【答案】(1)画图见解析
(2)1
【分析】本题主要考查设计轴对称图案，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟记基本几何图形的性质并应用于作图是解本题的关键．
（1）根据关于y轴对称的性质，纵坐标不变横坐标变为相反数，分别找到对应点，连接即可；再在轴上确定格点，连接即可；由全等三角形的性质可得，由勾股定理可得，再结合等腰三角形的性质可得平分；
（2）点F和点C关于y轴对称，即转化为，即连接交y轴于点，结合图象可得t的值．
【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形，即为所求作的角平分线；
（2）如图，∵，关于轴对称，
∴连接，交y轴于点，
则，此时最小；
由作图可得：．
18．如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)在图中作出 ABC关于轴对称的．
(2)写出，，的坐标（直接写出答案），________；________；________．
(3)若点是轴上的一个动点，当值最小时，求出的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】此题考查了轴对称的性质，作轴对称图形，确定点坐标，勾股定理，最短路径问题；
（1）根据轴对称的性质得到点，顺次连线即可；
（2）根据（1）直接得到答案；
（3）取点A关于x轴的对称点，连接，与x轴交点即为点P，此时的值最小，即为线段的长度，利用勾股定理计算出即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2），
故答案为：．
（3）取点A关于x轴的对称点，连接，与x轴交点即为点P，如图，
此时的值最小，即为线段的长度，
，
∴最小值为．
．
19．如图，已知 ABC的三个顶点都是格点， ABC与关于x轴对称，A，B，C的对应点分别是，，．
(1)在图中画出；
(2)填空：点的坐标是_________；
(3)点D是y轴上一个动点，当最小时，在图中标记此时点D的位置．（保留作图痕迹）
【答案】(1)图见解析
(2)
(3)图见解析
【分析】本题考查坐标与轴对称．
（1）根据轴对称的性质，画出即可；
（2）根据图形，直接写出点的坐标即可；
（3）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点．
掌握轴对称的性质，是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）由图可知：点的坐标是；
故答案为：；
（3）如图，点即为所求．
20．如图，网格中每个小正方形边长为1， ABC的三个顶点的坐标分别为，，，将 ABC向上平移4个单位长度得到．
(1)在图中画出；
(2)若点在轴上运动，当线段长度最小时，点的坐标为______；
(3)在平移的过程中，线段扫过的图形的面积______．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)4
【分析】（1）根据平移的性质，得到的坐标，依次连接即可得到；
（2）利用垂线段最短，得到点的横坐标，即可得到点的坐标；
（3）利用割补法即可求出线段扫过的图形的面积．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：点在轴上运动，
当线段长度最小时，轴，
，
点P的横坐标为，
点的坐标为，
故答案为：；
（3）解：由平移的性质可知，线段扫过的图形的面积即为平行四边形的面积，
线段扫过的图形的面积为，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了作图—平移变换，垂线段最短，熟练掌握平移的性质是解题关键．
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