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专题突破二：坐标中的规律问题（20道）
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆，，，成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题.根据图象可得移动 次图象完成一个循环，从而可得出点的坐标．
【详解】解：半径为个单位长度的半圆的周长为：，
点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，
点秒走个半圆，
当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为，
当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为，
当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为，
当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为，
当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为，
当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为，
，
，
的坐标是，
故选：．
2． 如图，在平面直角坐标系中，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按…的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标规律探索，找到规律是解题的关键．根据题意可得，从一圈的长度为10，据此分析即可得细线另一端在绕四边形第202圈后的第3个单位长度的位置，从而求得细线另一端所在位置的点的坐标．
【详解】解：，，，，
，，，，
绕四边形一周的细线长度为，
，
细线另一端在绕四边形第202圈的第3个单位长度的位置，
即点的坐标为．
故选：A．
3．如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，，，，…，的直角顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了点的坐标规律．根据题目可知旋转三次为一个循环，图中第三次和第四次的直角顶点的坐标相同，由①→③时直角顶点的坐标可以求出来，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，旋转三次和原来的相对位置一样，点，，
∴，，，
∴，
∴旋转到第三次时的直角顶点的坐标为：，
∵，
∴旋转第24次的直角顶点的坐标为：，
又∴旋转第25次直角顶点的坐标与第24次一样是，
如图，点是第26次直角顶点，作于点，
∵，，，，
∵，
∴，，
∴旋转第26次的直角顶点的坐标是即，
故选：C．
4．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，，，，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，…根据这个规律，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了规律型：点的坐标，根据前几个点的坐标，总结出规律是解题的关键．
根据各个点的位置关系，可得出从开始，下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，所以点的在第四象限的角平分线上，然后根据规律求解即可．
【详解】解：∵，
∴从开始，在第四象限的角平分线上，在第三象限的角平分线上，在第二象限的角平分线上，在第一象限的角平分线上，
∵，
∴点的在第一象限的角平分线上，，
∴点坐标为
故选D．
5．如图，在单位为的方格纸上，，，，，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰直角三角形、点的坐标，解题的关键是主要是根据坐标变化找到规律，再依据规律解答．
用题中已知条件观察所给例子、图形，找出规律，再运用规律解决问题．
【详解】解：图中的各三角形都是等腰直角三角形，
由直角三角形的性质得到各等腰直角三角形的直角顶点的纵坐标的绝对值为斜边的一半，
，，，，，，……，
当下标为偶数时的点的坐标规律如下：
当下标是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为下标的一半，
当下标是4、8、12…时，横坐标是2，纵坐标为下标的一半的相反数，
每四个字母为一组，
，
∴点在第四象限，横坐标为2，纵坐标是，
的坐标为为，
故选：C．
6．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，弧是以点B为圆心，为半径的圆弧；弧是以点O为圆心，为半径的圆弧；弧是以点C为圆心，为半径的圆弧；弧是以点A为圆心，为半径的圆弧．继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“浙开线”，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据画弧的方法以及罗列部分点的坐标发现规律：点的横坐标分别为；点的纵坐标分别为：；根据这一规律即可得出点的坐标．本题考查了点的坐标规律．解题的关键是罗列出部分点的坐标找出规律．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合画弧的方法以及部分点的坐标寻找出来点的排布规律是关键．
【详解】解：依题意，观察，
∴点的横坐标分别为；
点的纵坐标分别为：；
∵，
∴的坐标为，
故选：．
7．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，按这样的运动规律，第23次运动后，动点的纵坐标是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律：纵坐标每6次运动组成一个循环是解题的关键．
由图得点的纵坐标变化每6次一循环，，点的纵坐标为符合第5个点的纵坐标为1．
【详解】解：由图得，点每运动一次横坐标就增加1，
∴的横坐标为23，
点的纵坐标变化每6次一循环，
，
∴点的纵坐标为1．
故选：C．
8．如图， 在平面直角坐标系中，，，，，一只瓢虫从点A 出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2022秒瓢虫在（ ）处．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标规律探索，由题意得出，，即长方形的周长为，再结合，判断即可得出答案，得出规律是解此题的关键．
【详解】解：∵，，，，
∴，，
∴长方形的周长，
∵，
∴第2022秒瓢虫在的中点处，
∴第2022秒瓢虫在处，
故选：A．
9．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动，其行走路线如图所示，第次移动到，第次移动到第次移动到，则三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平面直角坐标系内的规律问题，掌握坐标变化的特点是解题的关键．由行走路线可知移动四次为一组，求出，即可得出答案．
【详解】解：由题意可知，，，，，
∴．
∵即点与点在同一水平直线上，且线段
故选 B．
10．如图所示，在平面直角坐标系中，，，，．把一条长为2019个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按…的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是坐标规律的探究，先求解四边形的周长为．结合，从而可得答案．
【详解】解：∵，，，，
∴，，
∴四边形的周长为．
∵，
∴细线另一端所在位置的点的坐标为．
故选A．
11．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如，，，，，，，…，根据规律探索可得，第2024个点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了点的坐标规律，根据图形可知第列有个点，点的横坐标为，奇数列点由下到上进行运动，偶数列点从上到下进行运动，进而得到所有列点的总数为，推出第2024个点在第列，即可得到第2024个点的坐标．
【详解】解：由图知，第一列有1个点，点的横坐标为0，
第二列有2个点，点的横坐标为1，
第三列有3个点，点的横坐标为2，
依次类推，
第列有个点，点的横坐标为，且奇数列点由下到上进行运动，偶数列点从上到下进行运动，
所有列点的总数为，
有，
，
，即第2024个点在第列，
第2024个点的横坐标为，
，为偶数列，
第2024个点的纵坐标为，
第2024个点的坐标为．
故选：B．
12．在一单位为1的方格纸上，有一列点（其中n为正整数）均为网格上的格点，按如图所示规律排列，点，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了坐标的规律探索，根据直角坐标系得出坐标的规律是解题关键．观察坐标系发现，即可得到的坐标．
【详解】解：由直角坐标系可知，，，，…，
以此类推可知，
，
的坐标为，即．
故选：B．
13．如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，依次为，，，，，，，根据这个规律，可得第50个点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题的考查了对平面直角坐标系的熟练运用能力，用“从特殊到一般”的方法入手寻找规律是解答本题的关键．从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，…依此类推横坐标为n的有n个点，通过加法计算算出第50个点位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．
【详解】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点．…第n个有n个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个，
∵，
∴第50个点在第10列上，
∴奇数列的坐标为 ；
偶数列的坐标为 ，
由加法推算可得到第50个点位于第10列自上而下第6行，
将10代入上式得，
即，
故选A．
14．如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，按的方向运动，每运动1个单位长度会改变一次方向．
(1)直接写出下列坐标：______，______，______；
(2)点P第2000次运动的方向是______．（选填“向上”“向右”或“向下”）
【答案】(1)，，
(2)向上
【分析】此题主要考查了点的变化规律，有一定难度，仔细观察图形，确定出都在x轴上是解题的关键．
（1）观察图形可知，，，……都在x轴上，根据，，……这一规律，进而可以利用规律写出，，的坐标；
（2）由题意可知点P移动的方向按“向右、向下、向右、向下、向右，向上，向右、向上”这一规律，8次一个循环，根据，可知点P第2000次运动的方向与第8次的移动方向一致，即可得答案．
【详解】（1）解：由图可知，，，……都在x轴上，
，，……，
点P移动的方向按“向右、向下、向右、向下、向右，向上，向右、向上”这一规律，8次一个循环，
，，；
故答案为：，， ；
（2）解：由题意可知点P移动的方向按“向右、向下、向右、向下、向右，向上，向右、向上”这一规律，8次一个循环，
，
点P第2000次运动的方向与第8次的移动方向一致，向上，
故答案为：向上．
15．如图，一个机器人从点出发，向正西方向走到达点；再向正北方向走到达点；再向正东方向走到达点；再向正南方向走到达点；再向正西方向走到达点；…，按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为
【答案】
【分析】本题考查点的坐标变化规律，根据点的坐标的变化探究出其变化规律是每个一循环，再根据相应位置上的点找到规律解答即可．能根据机器人的运动方式发现点（为正整数）的坐标可表示为是解题的关键．
【详解】解：由题知，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
…，
∴（为正整数）的坐标可表示为，
当时，，，
∴点的坐标为，
∴点的坐标为．
故答案为：．
16．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次移动，每次移动一个单位长度， 得到点，， ，，， 那么点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了具有周期性的点的坐标，关键是根据点运动的特点求出周期，找出同类的点，再寻求下标与横、纵坐标的关系．具有周期性的点的坐标，求出周期，利用余数找出同类点，再寻求规律．
【详解】解：，， ，，，且每次移动个单位，
，
∴点(为自然数)的坐标为，
，
∴能被整除，
∴点的坐标为．
故答案为：．
17．如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，根据这个规律，第9个点的横坐标为 ，第2019个点的横坐标为 ．
【答案】 3 45
【分析】本题考查了点的坐标，观察出点个数与横坐标的存在的平方关系是解题的关键．观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．
【详解】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方，
例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，，
右下角的点的横坐标为2时，共有4个，，
右下角的点的横坐标为3时，共有9个，，
右下角的点的横坐标为4时，共有16个，，
右下角的点的横坐标为时，共有个，
∴第9个点的横坐标为
第2025个点是，则第2019个点是，
∴第2019个点的横坐标为45．
故答案为：3，45
18．如图所示，一个动点P在边长为1的方格中按箭头所示方向做折线运动，即第一次从点运动到点，第二次从点运动到点，第三次从点运动到点，第四次从点运动到点，第五次从点运动到点……按这样的运动规律，经过第次运动后，动点P的位置是 ．
【答案】
【分析】本题考查了点的坐标规律，旨在考查学生的抽象概括能力．由题意得动点P运动次后，位置为；可依次得运动次、次、次的位置，即可寻得规律求解.
【详解】解：由题意得：动点P运动次后，位置为；
运动次后，位置为；
运动次后，位置为；
运动次后，位置为；
∵
∴经过第次运动后，动点P的位置是
故答案为：
19．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，，，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律．横坐标为1的点有1个，纵坐标只是0；横坐标为2的点有2个，纵坐标是0或1；横坐标为3的点有3个，纵坐标分别是0，1，2…横坐标为奇数，纵坐标从大数开始数；横坐标为偶数，则从0开始数．
【详解】解：把第一个点作为第一列，和作为第二列，
依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，
第n列有n个数．则n列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上．
因为，则第2024个数一定在第64列，由下到上是第8个数．
因而第2024个点的坐标是．
故答案为：．
20．如图，在平面直角坐标系中，，，的中点为；，，的中点为；，，的中点为，，，的中点为；；按此做法进行下去，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】此题考查了点的坐标方面规律性问题的解决能力，根据题意得点的位置按4次一周期的规律循环出现，可求得点在第二象限，从而可求得该题结果．
【详解】由题意可得，点的位置按4次一周期的规律循环出现，
，
点在第二象限，
位于第二象限内的点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
当时，，，
点的坐标为，
故答案为：．
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专题突破二：坐标中的规律问题（20道）
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆，，，成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2． 如图，在平面直角坐标系中，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按…的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，，，，…，的直角顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，，，，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，…根据这个规律，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在单位为的方格纸上，，，，，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，弧是以点B为圆心，为半径的圆弧；弧是以点O为圆心，为半径的圆弧；弧是以点C为圆心，为半径的圆弧；弧是以点A为圆心，为半径的圆弧．继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“浙开线”，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，按这样的运动规律，第23次运动后，动点的纵坐标是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
8．如图， 在平面直角坐标系中，，，，，一只瓢虫从点A 出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2022秒瓢虫在（ ）处．
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动，其行走路线如图所示，第次移动到，第次移动到第次移动到，则三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，在平面直角坐标系中，，，，．把一条长为2019个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按…的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如，，，，，，，…，根据规律探索可得，第2024个点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
12．在一单位为1的方格纸上，有一列点（其中n为正整数）均为网格上的格点，按如图所示规律排列，点，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，依次为，，，，，，，根据这个规律，可得第50个点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，按的方向运动，每运动1个单位长度会改变一次方向．
(1)直接写出下列坐标：______，______，______；
(2)点P第2000次运动的方向是______．（选填“向上”“向右”或“向下”）
15．如图，一个机器人从点出发，向正西方向走到达点；再向正北方向走到达点；再向正东方向走到达点；再向正南方向走到达点；再向正西方向走到达点；…，按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为
16．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次移动，每次移动一个单位长度， 得到点，， ，，， 那么点的坐标为 ．
17．如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，根据这个规律，第9个点的横坐标为 ，第2019个点的横坐标为 ．
18．如图所示，一个动点P在边长为1的方格中按箭头所示方向做折线运动，即第一次从点运动到点，第二次从点运动到点，第三次从点运动到点，第四次从点运动到点，第五次从点运动到点……按这样的运动规律，经过第次运动后，动点P的位置是 ．
19．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，，，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，，，的中点为；，，的中点为；，，的中点为，，，的中点为；；按此做法进行下去，则点的坐标为 ．
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