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专题突破四：方格子中的面积问题（20道）
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后， ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为．
(1)请以x轴为对称轴，画出与 ABC对称的，并求出坐标；
(2)求的面积．
2．如图，已知，，把 ABC向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位得到，解答下列各题：
(1)在图上画出；
(2)写出点，的坐标；
(3)求出的面积．
3．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上，其内有一点，将三角形平移至三角形，点D的对应点的坐标为．
(1)在同一平面直角坐标系中画出三角形．
(2)求三角形的面积．
4．三角形三个顶点的坐标分别为，，．
(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出三角形．
(2)把三角形向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，恰好得到三角形，在图中画出三角形．
(3)求出三角形的面积．
5．在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点的位置如图所示，其中 现将 ABC沿 的方向平移，使得点A平移至图中的 的位置.
(1)在图中画出 写出点 的坐标为 ，点 的坐为 .
(2)求线段扫过的面积.
(3)直接写出线段与y轴交点坐标是 .
6．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，三角形的顶点均在格点上，如图建立平面直角坐标系后，各顶点的坐标分别为：，，．
(1)画出将三角形向右平移6个单位长度，再向上平移1个单位，得到对应的三角形；
(2)直接写出各点坐标．
（____，____），（____，____）（____，____）
(3)在y轴上是否存在点P，使三角形的面积等于三角形面积的？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中， ABC三个顶点的坐标分别为、、（每个方格的边长均为1个单位长度）．
(1)请画出 ABC先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的，并直接写出的坐标；
(2)在x轴上是否存在点D，使的面积等于 ABC面积的，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
8．在平面直角坐标系中， ABC的位置如图所示．
(1)请在图中画出 ABC关于y 轴对称的图形．（3 分 ）
(2)分别写出点C和点的坐标，并计算 ABC的面积．
9．在平面直角坐标系中，已知，，．
(1)请在图中画出 ABC；
(2)将 ABC先向右平移6个单位，再向下平移5个单位得到，请在图中画出平移后的；
(3)连接，，请直接写出的面积．
10．如图，，，点B在x轴上，且．
(1)求点B的坐标：
(2)求 ABC的面积；
(3)在y轴上是否存在P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10 若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
11． ABC与在平面直角坐标系中的位置如图．
(1)分别写出下列各点的坐标： _______； _______；_______；
(2)说明由 ABC经过怎样的平移得到？_______．
(3)若点是 ABC内部一点，则平移后内的对应点的坐标为_______；
(4)求 ABC的面积．
12．在网格中建立平面直角坐标系，如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度．
已知，，．
(1)在图中画出 ABC；
(2)将点向下平移3个单位到点，将点先向左平移3个单位，再向下平移1个单位到点，写出点和点的坐标；
(3)求的面积．
13．如图，在平面直角坐标系中， ABC的顶点，，，且与互为相反数，是的立方根．现将 ABC向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到．
(1)①求点的坐标；②画出；
(2)求平移过程中，线段扫过的面积；
(3)在轴上是否存在一点，连接，使？若存在这样一点，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
14．已知 ABC在如图所示的平面直角坐标系中．
(1)画出 ABC关于轴对称的；
(2)画出 ABC关于轴对称的；
(3)求 ABC的面积．
15．如图，在直角坐标系中，．
(1)求 ABC的面积；
(2)若把 ABC向下平移2个单位，再向右平移5个单位得到，画出并写出的坐标．
16．如图，在正方形网格中， ABC的三个顶点均在格点上，请按照下列要求作图：
(1)将 ABC先向下平移7个单位，再向右平移3个单位，得到，画出平移后的；
(2)画出 ABC关于直线l成轴对称的；
(3)求 ABC的面积．
17．如图， ABC三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请画出 ABC关于轴对称的；
(2)请画出 ABC关于轴对称的；
(3)连接，，，请直接写出的面积．
18．如图， 的三个顶点的坐标分别为，，，中任意一点经过平移变换后对应点为，将三角形作同样的平移变换得到．
(1)画出平移后的，并写出点 的坐标为_______；
(2)连接，，则四边形的面积为_________；
(3)请仅用无刻度的直尺在y轴正半轴上找点Q，使的面积等于的面积，并直接写出点Q的坐标为________．
19．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别为．
(1)请在如图所示的网格内作出x轴、y轴；
(2)请作出 ABC关于y轴对称的，并写出点的坐标；
(3)求出的面积．
20．如图，在四边形中，A、B、C、D四个点的坐标分别是、，，，现将四边形先向上平移1个单位，再向左平移2个单位，平移后的四边形是．
(1)请画出平移后的四边形（不写画法），并写出，，，四点的坐标；
(2)若四边形内部有一点P的坐标为，写出点P的对应点的坐标；
(3)在y轴上存在一点E，的面积等于四边形的面积，求E点坐标．
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专题突破四：方格子中的面积问题（20道）
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后， ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为．
(1)请以x轴为对称轴，画出与 ABC对称的，并求出坐标；
(2)求的面积．
【答案】(1)画图见解析，
(2)2
【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称：
（1）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可；
（2）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
∵与关于x轴对称，，
∴；
（2）解：．
2．如图，已知，，把 ABC向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位得到，解答下列各题：
(1)在图上画出；
(2)写出点，的坐标；
(3)求出的面积．
【答案】(1)见解析
(2)，
(3)12
【分析】本题考查了坐标平面内图形的平移作图，求格点三角形的面积，熟练掌握坐标平面内图形的平移作图是解题的关键．
（1）根据平移的性质，找出点A，点B，点C经过平移后的对应点，，，连结，，，即得所求图形；
（2）由（1）画出的图形可知点，的坐标；
（3）根据三角形的面积公式计算，即得答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由图可知，；
（3）解：的面积为：．
3．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上，其内有一点，将三角形平移至三角形，点D的对应点的坐标为．
(1)在同一平面直角坐标系中画出三角形．
(2)求三角形的面积．
【答案】(1)见详解
(2)7
【分析】（1）根据点D和点D的对应点，确定平移规则，画出三角形即可；
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
本题主要考查了平移作图，横坐标相加，则向右平移；横坐标相减，则向左平移；纵坐标相加，则向上平移；纵坐标相减，则向下平移；根据点的对应点的坐标为，确定平移的方式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，的坐标为，
∴将先向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到，
如图，即为所求；
（2）解：．
4．三角形三个顶点的坐标分别为，，．
(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出三角形．
(2)把三角形向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，恰好得到三角形，在图中画出三角形．
(3)求出三角形的面积．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)
【分析】本题考查的是坐标系内描点，画平移图形，求解网格三角形的面积；
（1）在平面直角坐标系描出A、B、C三点，顺次连接即可．
（2）按照平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．写出三角形 三个顶点的坐标，在坐标系中画出图形即可．
（3由长方形面积减去周边的三角形面积，即可求得的面积．
【详解】（1）解：如图， ABC即为所画的三角形；
（2）解：如图，即为所求作的三角形；
（3）解：三角形的面积为；
5．在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点的位置如图所示，其中 现将 ABC沿 的方向平移，使得点A平移至图中的 的位置.
(1)在图中画出 写出点 的坐标为 ，点 的坐为 .
(2)求线段扫过的面积.
(3)直接写出线段与y轴交点坐标是 .
【答案】(1)，
(2)22
(3)
【分析】本题考查作图-平移变换，四边形的面积，三角形的面积等知识．
（1）分别作出A，B，C的对应点，，即可．
（2）利用分割法求四边形面积．
（3）设交y轴于F，连接，．利用面积法求出的长即可．
【详解】（1）如图，,即为所求，点的坐标为，点的坐标为．
故答案为，．
（2）线段扫过的面积，
故答案为：22．
（3）设交y轴于F，连接，．
∵，
∴，
∴．
6．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，三角形的顶点均在格点上，如图建立平面直角坐标系后，各顶点的坐标分别为：，，．
(1)画出将三角形向右平移6个单位长度，再向上平移1个单位，得到对应的三角形；
(2)直接写出各点坐标．
（____，____），（____，____）（____，____）
(3)在y轴上是否存在点P，使三角形的面积等于三角形面积的？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)4，2，3，，7，
(3)或
【分析】本题考查了作图—平移变换、坐标与图形、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用平移的性质分别作出、、的对应点、、，再顺次连接即可；
（2）根据点的位置写出坐标即可；
（3）设，的高为，在利用三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：， ，，
故答案为：4，2；3，；7，；
（3）解：存在P点，理由如下：
设，的高为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或．
7．如图，在平面直角坐标系中， ABC三个顶点的坐标分别为、、（每个方格的边长均为1个单位长度）．
(1)请画出 ABC先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的，并直接写出的坐标；
(2)在x轴上是否存在点D，使的面积等于 ABC面积的，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，图见解析
(2)存在，或
【分析】本题主要考查图形平移，坐标与图形，几何图形面积的计算方法，
（1）根据图形平移的性质作图，图形结合可求点坐标，即可求解；
（2）根据题意先计算 ABC的面积，由此可得的面积，根据格点求面积可得，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，的坐标为，
（2）解：存在，如图过、、作坐标轴的平行线，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴或．
8．在平面直角坐标系中， ABC的位置如图所示．
(1)请在图中画出 ABC关于y 轴对称的图形．（3 分 ）
(2)分别写出点C和点的坐标，并计算 ABC的面积．
【答案】(1)见详解
(2)；，；
【分析】本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的性质，利用轴对称的性质确定对称点的位置．
（1）分别作出A，B，C的对应点，，即可．
（2）根据C，的位置写出坐标即可，利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）如图所示，即为所求
（2）由题可得，，，
ABC的面积．
9．在平面直角坐标系中，已知，，．
(1)请在图中画出 ABC；
(2)将 ABC先向右平移6个单位，再向下平移5个单位得到，请在图中画出平移后的；
(3)连接，，请直接写出的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了描点，平移的性质，坐标与图形等知识．熟练掌握描点，平移的性质，坐标与图形是解题的关键．
（1）描点、连线即可；
（2）由平移的性质作图即可；
（3）根据网格特点，利用割补法，计算求解即可．
【详解】（1）解：描点、连线，如图1， ABC即为所作；
图1
（2）解：由平移的性质作图，如图1，即为所作；
（3）解：如图1，由题意知，，
∴的面积为．
10．如图，，，点B在x轴上，且．
(1)求点B的坐标：
(2)求 ABC的面积；
(3)在y轴上是否存在P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10 若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)或
(2)6
(3)存在，P的坐标为或
【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了三角形的面积，难点在于要分情况讨论．
（1）分点在点的左边和右边两种情况解答；
（2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解；
（3）利用三角形的面积公式列式求出点到轴的距离，然后分两种情况写出点的坐标即可．
【详解】（1）解：（1）点在点的右边时，，
点在点的左边时，，
所以，的坐标为或；
（2）解： ABC的面积；
（3）解：设点到轴的距离为，
则，
解得，
点在轴正半轴时，，
点在轴负半轴时，，
综上所述，点的坐标为或．
11． ABC与在平面直角坐标系中的位置如图．
(1)分别写出下列各点的坐标： _______； _______；_______；
(2)说明由 ABC经过怎样的平移得到？_______．
(3)若点是 ABC内部一点，则平移后内的对应点的坐标为_______；
(4)求 ABC的面积．
【答案】(1)，，
(2)先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度
(3)
(4)2
【分析】本题主要考查了坐标与图形、平移变换等知识，熟练掌握平移的性质是解题关键．
（1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；
（2）根据对应点、的变化写出平移方式即可；
（3）根据平移规律写出点的坐标即可；
（4）利用割补法计算 ABC的面积即可．
【详解】（1）解：根据 ABC在平面直角坐标系中的位置，
可知，，．
故答案为：，，；
（2）根据 ABC与在平面直角坐标系中的位置，
可知 ABC先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，即可得到．
故答案为：先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度；
（3）若点是 ABC内部一点，
则平移后内的对应点的坐标为．
故答案为：；
（4） ABC的面积．
12．在网格中建立平面直角坐标系，如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度．
已知，，．
(1)在图中画出 ABC；
(2)将点向下平移3个单位到点，将点先向左平移3个单位，再向下平移1个单位到点，写出点和点的坐标；
(3)求的面积．
【答案】(1)画图见解析
(2)；
(3)9．
【分析】本题考查的是坐标系内描点，由平移方式确定点的坐标，求解网格三角形的面积；
（1）先描点，再画三角形即可；
（2）根据点的平移坐标变化规律可得答案；
（3）直接利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图， ABC即为所求，
；
（2）解：根据平移方式可得：；
（3）解：的面积为；
13．如图，在平面直角坐标系中， ABC的顶点，，，且与互为相反数，是的立方根．现将 ABC向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到．
(1)①求点的坐标；②画出；
(2)求平移过程中，线段扫过的面积；
(3)在轴上是否存在一点，连接，使？若存在这样一点，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①，，；②画图见解析；
(2)；
(3)存在，点的坐标为或．
【分析】（）①根据相反数的定义可得，进而根据非负数的性质可求出的值，即可得到的值，再根据立方根的定义求出的值，最后可得的坐标；②根据点的坐标画出 ABC，再根据平移的性质画出即可；
（）由题意可得线段扫过的面积即为的面积，据此即可求解；
（）存在．设点的坐标为，则，可得，据此即可求解；
本题考查了坐标与图形，相反数的性质，非负数的性质，平移作图，平行四边形的面积，三角形的面积，根据相反数和非负数的性质求出的值是解题的关键．
【详解】（1）解：①∵与互为相反数，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵是的立方根，
∴，
∴，，；
②如图所示，即为所求；
（2）解：如图，线段扫过的面积即为的面积，
∵，，
∴，
∴，
∴线段扫过的面积为；
（3）解：在轴上存在一点，使．
设点的坐标为，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴点的坐标为或．
14．已知 ABC在如图所示的平面直角坐标系中．
(1)画出 ABC关于轴对称的；
(2)画出 ABC关于轴对称的；
(3)求 ABC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)5
【分析】本题考查了画轴对称图形．
（1）先作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）先作出点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接即可；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）解： ABC的面积．
15．如图，在直角坐标系中，．
(1)求 ABC的面积；
(2)若把 ABC向下平移2个单位，再向右平移5个单位得到，画出并写出的坐标．
【答案】(1)
(2)图见解析，点的坐标为：
【分析】此题考查了画平移图形及求三角形面积，正确理解平移的性质是解题的关键．
（1）根据三角形面积公式求三角形面积即可；
（2）根据平移的性质确定对应点，顺次连线即可得到平移的图形及点坐标．
【详解】（1）解： ABC的面积是：；
（2）作图如下：
∴点的坐标为：．
16．如图，在正方形网格中， ABC的三个顶点均在格点上，请按照下列要求作图：
(1)将 ABC先向下平移7个单位，再向右平移3个单位，得到，画出平移后的；
(2)画出 ABC关于直线l成轴对称的；
(3)求 ABC的面积．
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解
(3)8
【分析】本题考查作图轴对称变换、平移变换、网格三角形面积问题，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质是解答本题的关键．
（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据轴对称的性质作图即可．
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如图，即为所求：
（3）解：．
17．如图， ABC三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请画出 ABC关于轴对称的；
(2)请画出 ABC关于轴对称的；
(3)连接，，，请直接写出的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了轴对称变换，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征、正确找出各点的对应点是解题的关键．
（1）分别作出点、、关于轴对称的点，然后顺次连接即可；
（2）分别作出点、、关于轴对称的点，然后顺次连接即可；
（3）根据三角形的面积公式即可得．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，为所求，
（3）解：如图，
的面积．
18．如图， 的三个顶点的坐标分别为，，，中任意一点经过平移变换后对应点为，将三角形作同样的平移变换得到．
(1)画出平移后的，并写出点 的坐标为_______；
(2)连接，，则四边形的面积为_________；
(3)请仅用无刻度的直尺在y轴正半轴上找点Q，使的面积等于的面积，并直接写出点Q的坐标为________．
【答案】(1)见解析，点 的坐标为
(2)
(3)见解析，点Q的坐标为
【分析】本题考查作图 复杂作图，点坐标的平移，平行四边形的面积，坐标与图形变化等知识．
（1）根据平移的性质作图即可，然后写出点的坐标；
（2）利用割补法求平行四边形的面积即可；
（3）取格点点D，然后连接交y轴于点，点即为所作．
【详解】（1）解：即为所作；
点 的坐标为；
（2）解：四边形的面积为；
（3）如图，点Q即为所作；
点Q的坐标为．
19．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别为．
(1)请在如图所示的网格内作出x轴、y轴；
(2)请作出 ABC关于y轴对称的，并写出点的坐标；
(3)求出的面积．
【答案】(1)见解析
(2)图见解析，
(3)4
【分析】本题考查了作图——轴对称图形，坐标与图形，写出直角坐标系中点的坐标，利用网格求三角形面积，正确建立直角坐标系是解题关键．
（1）根据所给坐标建立直角坐标系即可；
（2）作出 ABC关于y轴对称的即可，根据图形即可得到的坐标；
（3）利用网格求出三角形面积即可．
【详解】（1）解：如图，根据，点C向右平移1个格为y轴，点C向下平移3个格为x轴，两轴交点为原点O；
（2）如图，即为所求，
；
（3）．
20．如图，在四边形中，A、B、C、D四个点的坐标分别是、，，，现将四边形先向上平移1个单位，再向左平移2个单位，平移后的四边形是．
(1)请画出平移后的四边形（不写画法），并写出，，，四点的坐标；
(2)若四边形内部有一点P的坐标为，写出点P的对应点的坐标；
(3)在y轴上存在一点E，的面积等于四边形的面积，求E点坐标．
【答案】(1)图见解析，；
(2)；
(3)或．
【分析】此题主要考查了平移变换以及坐标系内四边形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
（1）直接利用平移画出图形，再根据图形写出对应点的坐标进而得出答案；
（2）利用平移规律进而得出对应点坐标的变化规律：向上平移1个单位，纵坐标加1；向左平移2个单位，横坐标减2；
（3）利用四边形所在的最小长方形面积减去周围三角形面积得到四边形的面积，根据的面积等于四边形的面积列方程求解即可．
【详解】（1）解：如图所示：；
（2）若四边形内部有一点P的坐标为，则点P的对应点的坐标为：；
（3）解：四边形的面积为：．
设点E的坐标为，
则，
解得或，
∴E点坐标为或．
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