3.2 从有理数到实数（教学课件）-七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版2024）

3.2 从有理数到实数
浙教版（2024） 七年级数学上册 第三章 实数
目录/CONTENTS
新知探究
情景导入
学习目标
课堂反馈
分层练习
课堂小结
学习目标
1.理解无理数的概念与分类，以及无理数与有理数的区别
2.会用逼近法判断无理数的范围
3.理解实数的概念与分类，以及实数与数轴的关系
情景导入
用一张A4纸折出一个最大的正方形，将对角线与另一张A4纸的长边叠合，你发现了什么?由此你能得出A4纸长与宽的比是多少吗?
解：设A4纸的宽为b，
则A4纸的长为????????+????????=????b，
所以A4纸长与宽的比为????：1。
?
新知探究
【合作学习】
如图，依次连结2×2方格四条边的中点A，B，C，D，得到一个阴影正方形。设每一方格的边长为1个单位长度，讨论下面的问题：
(1)阴影正方形的面积是多少?
(2)阴影正方形的边长是多少?应怎样表示?
(3)阴影正方形的边长介于哪两个相邻整数之间?（请与你的同伴交流）
2
????
?
因为1<2<4，所以1?
我们可以通过计算，得到下表。
因为1<2<2，所以2不是整数。
下面让我们一起探究2的十分位、百分位、千分位等数位上的值。
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}1.42<2<1.52
1.41.412<2<1.422
1.411.4142<2<1.4152
1.4141.41422<2<1.41432
1.41421.414212<2<1.414222
1.41421…
…
如此进行下去，可以得到一系列越来越接近2的近似值，
我们这种方法叫作逼近法。
?
事实上，2=1.414213562373095048801688724209698078569…，它既不是有限小数，也不是无限循环小数（不能化为分数）。
?
像2这种无限不循环小数叫作无理数。
?
无理数广泛存在着，例如：
π=3.1415926535897932384626433832795028841971693…；
????=1.7320508075688772935274463415058723669…；
?
任意写一个无限不循环小数，如1.010010001…（两个“1”之间依次多一个“0”），它也是无理数。
如果我们把整数看作小数部分为零的有限小数，那么有理数便是有限小数与无限循环小数的统称。
和有理数一样，无理数也可分为正无理数和负无理数。例如π，????，????，????都是正无理数， -π，-????，-????，-????都是负无理数。
?
有理数和无理数统称实数。
例如，可把-2，-0.5，4和2表示在数轴上。
我们已经知道，每一个有理数都可以用数轴上的点表示出来。
那么，数轴上的每一个点都表示一个有理数吗?
答案是否定的。
如图，通过画正方形ABCD的边长，就能准确地把和-2表示在数轴上。
?
例如，2与-2互为相反数，|2|=|-2|=2。
?
把数从有理数扩充到实数以后，有理数中的相反数和绝对值的概念同样适用。
在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。我们说实数和数轴上的点一一对应。
有理数的大小比较法则也适用于实数。
在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。
课本例题
83，?????，1.5，?3。
?
例 把下列实数表示在数轴上,并比较它们的大小(用“<”连接)。
分析：对于?????，?3等无理数，我们可以取其适当的近似值，
把它们近似地表示在数轴上，如取?????≈?3.1，?3≈?1.7。
?
解：把83，?????，1.5，?3表示在数轴上，如图。
?
所以??????
课本练习
1. 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
1.7321，?18，0.36，?2，2????，0，?49。
?
有理数：1.7321，?18，0.36，0，?49；
?
无理数：?2，2????。
?
2.??填空：
1?3的相反数是??????????????????。
2?5=????????????????????。
???（3）一个数的绝对值是????2，这个数是（?????????????????????）。
?
3
?
5
?
????2 或 - ????2
?
3.用<>或数字填空：
1?因为1.732????????3????????1.742，
???????????????????所以1.73????????3????????1.74，
???????????????????所以3≈（??????????????）（精确到0.1）。
?
2?因为2.4492???????????6?????????2.4502，
???????所以2.449?????????6?????????2.450，
???????所以6≈（??????????????????）（精确到0.01）。
?
<
?
<
?
<
?
<
?
<
?
<
?
<
?
<
?
1.7
?
2.45
?
分层练习-基础
知识点1 实数的概念及分类
1. [2024·福建]下列实数中，无理数是(　D　)
A. －3
B. 0
C. ????????
D. ????
D
2. 下列说法中，正确的是(　C　)
A. 无理数包括正无理数、零和负无理数
B. 无限小数都是无理数
C. 正实数包括正有理数和正无理数
D. 实数可以分为正实数和负实数两类
C
3. [母题 教材P85作业题T1]把下列各数填在相应的横线上：
0，－???????????? ，－???? ，???????? ，－3.????????· ，＋9，π，1.212 212
221…(相邻两个“1”之间依次多一个“2”).
(1)有理数： ?；
(2)无理数： ?
?.
?
0，－???????????? ，???????? ，－3.????????· ，＋9　
?
－???? ，π，1.212 212 221…(相邻两个“1”
?
之间依次多一个“2”)　
知识点2 实数与数轴的对应关系
4. 如图，实数???? 在数轴上的对应点可能是点 ?.
?
5. 数轴上距离原点的距离为???????? 的点表示的数是 ?.
?
B　
±???????? 　
?
知识点3 实数的相反数与绝对值
6. [2024·宁波模拟]－5的绝对值是(　D　)
A. －????????
B. －????
C. ????
D. 5
7. 如果???? －1是a的相反数，则a的值是(　B　)
?
A. ???? －1
B. 1－????
C. ????
D. －????
D
B
知识点4 实数大小的比较
8. [2024·威海]下列各数中，最小的数是(　A　)
A. －2
B. －?????
C. －????????
D. －????
9. [母题 教材P85课内练习T3]估算???????? 的值在(　C　)
?
A. 1和2之间
B. 2和3之间
C. 3和4之间
D. 4和5之间
A
C
10. [2023·舟山]下面四个数中，比1小的正无理数是(　A　)
A. ????????
B. －??????
C. ????????
D. ????????
【点拨】
因为4＜6＜9，所以2＜???? ＜3.
?
所以－???????? ＜???????? ＜???????? ＜1＜???????? .
?
所以比1小的正无理数是???????? .
?
A
11. [2024·安徽]我国古代数学家张衡将圆周率取值为???????? ，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为???????????? .比较大小：
???????? ?????????? (填“＞”或“＜”).
?
【点拨】
???????????????? ＝???????????????????? ，???????????? ＝10＝???????????????????? ，
?
因为???????????????????? ＜???????????????????? ，所以???????????????? ＜???????????? .
?
所以???????? ＞???????????? .
?
＞　
12. [母题·教材P85作业题T4 2024·温州龙湾区期中]把｜－4｜，－3，－???????? ，???? 分别表示在数轴上，并比较它们的大小，用“＜”连接.
?


【解】因为｜－4｜＝4，???? ≈1.414，
?
所以将各数在数轴上表示出来，
如图：－3＜－???????? ＜???? ＜｜－4｜.
?
[易错题]误认为带分数的数即为有理数
13. 下列说法正确的是(　D　)
A. ???????? 是有理数
B. ???????????? 是无理数
C. π－3.14是有理数
D. ???????????????? 是有理数
D
分层练习-巩固
14. 已知实数a＝???? ，则下列关于a的说法正确的是(　 　)
?
A. a是有理数
B. a不能表示在数轴上
C. 3＜a＜4
D. a的小数部分是???? －2
15. 若m，n是两个连续的整数，且m＜???????? ＜n，则m＋
n的相反数是 ?.
?
D
－7　
16. 如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1.若点E也在数轴上(点E在点A的左侧)，且AD＝AE，则点E所表示的数为 ?.
1－???? 　
?
17. [母题·教材P97目标与评定T4 2024·杭州萧山区期中]如图
①，4×4网格是由16个边长为1的小正方形组成的.
(1)图①中阴影正方形的顶点在网格的格点上，这个阴影
正方形的面积为 ，若这个阴影正方形的边长为
a，则a＝ ?；
10　
???????? 　
?
(2)估计阴影正方形的边长的值在相邻整数 和 ?之间；
3　
4　
(3)在图②的数轴上作出阴影正方形边长的值的对应点(要
求保留作图痕迹).

【解】如图②，点P表示的数是???????? .
?
分层练习-拓展
18. [2024·重庆巴南区期末]阅读下面文字，然后回答问题.给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值.例如：2.4的整数部分为2，小数部分为2.4－2＝0.4；???? 的整数部分为1，小数部分可用???? －1表示；－2.6的整数部分为－3，小数部分为｜－2.6－(－3)｜＝0.4.
由此我们得到：如果???? ＝x＋y，其中x是整数，且0＜y＜1，那么x＝1，y＝???? －1.
?
(1) 如果???? ＝a＋b，其中a是整数，且0＜b＜1，
那么a＝ ，b＝ ?；
(2) 如果－???? ＝c＋d，其中c是整数，且0＜d＜1，
那么c＝ ，d＝ ?；
?
2　
???? －2　
?
－3　
3???? 　
?
【解】因为m＋???? ＝7＋n，其中m是整数，且0＜n＜1，
所以易得m＝5，n＝???? －2.
所以｜m－n｜－(1－n)＝｜5－(????－2)｜－?????(???????) ＝4，
所以｜m－n｜－(1－n)的平方根是±2.
?
(3)已知m＋???? ＝7＋n，其中m是整数，且0＜n＜1，求｜m－n｜－(1－n)的平方根.
?
课堂小结
无理数的概念：像2这种无限不循环小数叫作无理数。
无理数常见的三种类型：
1.含有π的绝大部分数，eg：2π，????2，π+1；
2.特定结构的无限不循环小数，eg：1.010010001…；
3.开不尽的方根，eg：2，3，5。
有理数与无理数的区别：
1.把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，无理数只能写成无限不循环小数；
2.有理数能够写成分数形式????????(m、n是整数，n≠0)，而无理数不能。
无理数的分类：和有理数一样，无理数也可分为正无理数和负无理数。
?
课堂小结
实数的概念：有理数和无理数统称实数。
实数的分类：
实数与数轴：实数和数轴上的点一一对应。
实数比较大小：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。