浙教版初三数学（垂径定理、圆心角、圆周角）提高版讲义

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浙教版初三数学（垂径定理、圆心角、圆周角）提高版讲义
一、选择题
1． 如图，CD为⊙O直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于E，AE过圆心O，且AO=1．则四边形BEOF的面积为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，A是上一点，是直径，，，点D在上且平分弧，则的长为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，为直径，C为圆上一点，I为内心，交于D，于I，若，则为（　　）
A． B． C． D．5
4．如图，在中，直径，弦，沿所在直线对折，恰好使点落到直径上的点处，则的长为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，AB是O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是O上一个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（　　）
A．2 B． C． D．
二、填空题
6．如图，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为　 　．
7．如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结相交于点，连结． 已知于点，；下列结论：①；②若点为的中点，则；③若，则；④；其中正确的是　 　．
8．如图，边长为4的正方形内接于，点E是上的一个动点（不与A、B重合），点F是上的一点，连接，分别与交于点G、H，且，有下列结论：①；②一定是等腰三角形；③四边形的面积随点E位置的变化而变化；④周长的最小值为．其中正确的是　 　．（把所有正确结论的序号填上）
9．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10， ，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：
①∠BOE=60°；②∠CED= ∠AOD；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，其中正确的序号是　 　．
10．如图，是半的直径，点C在半上，，．D是上的一个动点，连接，过点C作于E，连接．在点D移动的过程中，的最小值为　 　．
11．如图，在矩形中，，，为矩形内一动点，且．
（）当为等边三角形时，　 　．
（）的最小值为　 　．
三、解答题
12．如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，连接AD，点E在BC上，∠CDE＝45°，DE交AB于点F，CD＝6．
（1）求∠OAD的度数；
（2）求DE的长．
13．如图，四边形内接于是直径，为的中点，延长交于，连结．
（1）求证：；
（2）当时，求线段的长．
14．已知的半径为13，弦平行于，，求和之间的距离．
15．如图，△ABD内接于半圆O，AB是直径，点C是弧BD的中点，连结OC，AC，分别交BD于点F、E．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
16．如图，在半径为5的扇形OAB中，∠AOB=90°，C是上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为点D，E．
（1）当BC=6时，求线段OD的长．
（2）求DE的长．
（3）在△ODE中，是否存在度数不变的角？若存在，请直接指出是哪个角，并求出它的度数．
17．如图，A 是⊙O上的一个六等分点，B是的中点，P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1．
（1） 找出当AP+BP取最小值时，点P的位置．
（2）求AP+BP的最小值．
18．如图所示，在中，AD，BC相交于点E，OE平分.
（1）求证：.
（2）如果的半径为，求AD的长.
四、综合题
19．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是 的中点，连接AE，DE，CE.
（1）求证：AE＝DE；
（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积.
20．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E．若∠BAC＝2∠ABE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）当△BCE是等腰三角形时，求∠BCE的大小；
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】D
6．【答案】
7．【答案】①②③
8．【答案】①②④
9．【答案】①④
10．【答案】cm
11．【答案】；
12．【答案】解：（1）如图，连接OD，
∵CD⊥AB，M是OA的中点，
∴CD垂直平分OA，
∴AD＝OD，
∵OA＝OD，
∴OA＝OD＝AD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠OAD＝60°；
（2）如图，连接OC，CF，EC，
由（1）得△AOD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∵CD⊥AB，M是OA的中点，
∴，CD垂直平分OA，
∴∠AOC＝∠AOD＝60°，FC＝FD，
∴∠COD=120°，
∴
∵∠CDE＝45°，
∴是等腰直角三角形，
∵CD=6，
∴，∠CFE=90°，
∴，
∴
13．【答案】（1）证明：为的中点，
，
是直径，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
14．【答案】解：如图，当的圆心O位于、之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接、．
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴和之间的距离为17；
如图所示，当的圆心O不在两平行弦、之间（即弦、在圆心O的同侧）时，
同理可得：，
∴，
∴和之间的距离为7；
综上所述，和之间的距离为7或5
15．【答案】（1）解：点为弧的中点，
，
是半圆的直径，
，
；
（2）解：连结BC，
是半圆的直径，
，
设，则，
即，
解得，
∴OF=1.4，
∵点O是AB的中点，点F是BD的中点，
∴OF是的中位线，
16．【答案】（1）解：∵OD⊥BC，
∴BD=BC= ×6=3，
∵∠BDO= 90°，OB=5，BD=3，
OD= =4，
即线段OD的长为4；
（2）解：如图，连结AB，DE，
∵∠AOB=90° ，OA=OB=5，
∴AB= ．
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D，E分别是线段BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AB= ；
（3）解：∠DOE的度数不变，为45°，理由如下：
设OD交弧BC于点M，OE交弧AC于点N，
∵
∴
∴
∵
∴
即
17．【答案】（1）解：如图，过点A作弦AA'⊥MN于点E，连结BA'，交MN于点P．
根据圆的轴对称性，AP= PA'，∴AP+BP=PA'+BP．
根据两点之间线段最短，当A'，P，B三点共线时，PA'+BP取得最小值BA'，
即AP+BP=BA'，∴点P位于A'B与MN的交点处．
（2）解：由题意，得∠AON=∠A'ON=60°，∠BON=30°，∴∠BOA'=90°．
又∵OB=OA'=1，∴BA'= ，即AP+BP的最小值为．
18．【答案】（1）证明：过点作于点于点，
∵ OE平分，
∴OG=OF，
∴，
∴AB=CD.
（2）解：连接OA，
∵AD⊥BC，
∴∠AEC=∠OFE=∠OGE=90°，
∴四边形OFEG是矩形，
∵OG=OF，
∴四边形OFEG是正方形，
∴OF=EF，
设EF=OF=x，则DF=AF=x+2，
在Rt△AOF中，AF2+OF2=OA2，
∴（x+2）2+x2=102，
解之：x2=6，x2=-8（舍去），
∴AD=2AF=2（6+2）=16.
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴ ＝ ，
∵E是 的中点，
∴ ＝ ，
∴ + ＝ + ，即 ＝ ，
∴AE＝DE.
（2）解：连接BD，AO，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝∠DEC＝45°，DA＝DC，
∵∠EDF＝90°，
∴∠F＝∠EDF﹣∠DEF＝90°﹣45°＝45°，
∴DE＝DF，
∵∠AED＝ ∠AOD＝45°，
∴∠AED＝∠F＝45°，
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADE+∠EDC＝∠CDF+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴S△ADE＝S△CDF，
∴S四边形AECD＝S△DEF，
∵EF＝ DE＝EC+DE，EC＝1，
∴1+DE＝ DE，
∴DE＝ +1，
∴S四边形AECD＝S△DEF＝ DE2＝ + .
20．【答案】（1）证明：∵直径BD，
∴∠ABE+∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝2∠ABE，∠ADB＝∠ACB，
∴ ∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝90° ∠BAC，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝90° ∠BAC，
∴∠ACB＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）解：由题意可知：∠BEC＝3∠ABE．
分情况：
①BE＝BC，
那么∠ACB＝∠BEC＝3∠ABE，∠EBC＝2∠ABE，
∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝8∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝22.5°，
∴∠BCE＝3∠ABE＝67.5°．
②BC＝CE，
那么∠EBC＝∠BEC＝3∠ABD，
∠ACB＝∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝4∠ABE，
∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝10∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝18°，
∴∠BCE＝4∠ABE＝72°．
③BE＝CE，此时E，A重合，舍去，
综上所述，满足条件的∠BCE的值为67.5°或72°；
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