新浙教版七上数学专题讲义8-代数式（含解析）

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代数式
【知识梳理】
1、代数式：
用运算符号“＋ － × ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式。
注意：用字母表示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式。
2、列代数式的几个注意事项：
（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“· ” 乘，或省略不写。
（2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号。
（3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a。系数1一般省略不写。系数为带分数时一般化成假分数。
（4）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a写成的形式；
（5）a与b的差写作a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a .
3、代数式求值：
先化简再直接代入、整体代入、稍作变形后再代入。
【课堂练习】
选择题
1.在，，，，，，，中，是代数式的共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.下列代数式中，符合代数式书写要求的有( )
；；；；；；千米．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.“，两数的平方和加上它们积的倍”用代数式表示为 ( )
A. B. C. D.
4.某商品原价为元，以元出售，则下列说法中，能正确表达该商品出售价格的是( )
A. 先打折，再降元 B. 先打折，再降元
C. 先降元，再打折 D. 先降元，再打折
5.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第个图形的小圆个数是用含有的代数式表示
A. B. C. D.
6.是一个两位数，是一个三位数，把放在的右边组成一个五位数，用，的代数式表示所得的五位数是( )
A. B. C. D.
7.当时，代数式的值为，则当时，代数式的值为( )
A. B. C. D.
8.在某多媒体电子杂志的某一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，得到图形如图所示，称为第一次变化，再对图的每个边做相同的变化，得到图形如图，称为第二次变化，如此连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的雪花图案．如不断发展下去到第次变化时，图形的面积和周长分别为( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
二、填空题
9.有一种细胞，每过一分钟这种细胞中的每一个细胞都会分裂成个细胞．若初始培养皿内只有一个这种细胞，则经过分钟后，培养皿内这种细胞的个数为 ．
10.若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是，则 ______．
11.若，，则 ______．
12.如图，自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为，节链条长______．
13.按照图中图形变化的规律，则第个图形中黑色正方形的数量是 ．
三、解答题
14.如图，将边长为的小正方形和边长为的大正方形放在一起．
用表示阴影部分的面积；
计算当时，阴影部分的面积．
15.已知，小明发现在该等式中，当时，可以得到请根据小明的发现，解答下列问题：
______， ______；
求的值；
求的值．
16.某市居民使用自来水按如下标准收费水费按月缴纳：
户月用水量 单价
不超过的部分 元
超过但不超过的部分 元
超过的部分 元
设某户月用水量为立方米，当时，则该用户应缴纳水费_____元用含的代数式表示．
设某户月用水量为立方米，当时，则该用户应缴纳水费_____元用含、的代数式表示．
当时，甲、乙两用户一个月共用水，已知甲用户缴纳的水费不足元，设甲用户这个月用水，请求出甲、乙两用户一个月共缴纳的水费用含的代数式表示．
【课后巩固】
1.已知，则的值是( )
A. B. C. D.
2.如图所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按题图所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用个这样的图形图拼出来的图形的总长度是( )
A. B. C. D.
3.若，，则的值为( )
A. B. C. D.
4.有两块棉田，第一块亩，亩产量千克，第二块亩，亩产量千克，这两块棉田平均亩产量是______．
5.我国古代用天干和地支纪年，其中天干有个：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有个：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．将天干的个汉字和地支的个汉字分别循环排列成如下两行：
甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸
子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥
从左向右第列是甲子，可以表示甲子年，第列是丁卯，可以表示丁卯年
在上面的天干排列中，丙第是正整数次出现，位于从左向右的第 列用含的式子表示；
年是壬寅年，表示该年的壬寅可以位于从左向右的第 列写出一个即可．
6.若关于，的代数式的值与字母取值无关．求的值。
7.某市有甲、乙两种出租车，他们的服务质量相同甲的计价方式为：当行驶路程不超过千米时收费元，每超过千米则另外收费元不足千米按千米收费；乙的计价方式为：当行驶路程不超过千米时收费元，每超过千米则另外收费元不足千米按千米收费某人到该市出差，需要乘坐的路程为千米．
用代数式表示此人分别乘坐甲、乙出租车各所需要的费用；
假设此人乘坐的路程为千米，请问他乘坐哪种车较合算？
8.【阅读】
邻边不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第次操作依此类推，若第次操作余下的四边形仍是正方形，则称原长方形为阶方形．如图，邻边长分别为和的长方形只需第次操作虚线为剪裁线，余下的四边形就是正方形，则这个长方形为阶方形；显然，图是一个阶方形．
【探索】
如图，邻边长分别为和的长方形是______阶方形．
已知长方形的邻边长分别为和，且这个长方形是阶方形，请画出长方形及剪裁线的示意图，并在图形下方直接写出的值．
【拓展】
若长方形的邻边长分别为和，且满足，，则这个长方形是______阶方形．
参考答案
【课堂练习】
1.【答案】
【解析】本题考查了代数式的概念，代数式是由运算符号加、减、乘、除、乘方、开方把数或表示数的字母连接而成的式子单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“”“”“”“”等符号的不是代数式．依此即可求解．
解：在，，，，，，，中，是代数式的有，，，，，，共有个．
2.【答案】
【解析】解：应写成，符合书写要求，符合书写要求，符合书写要求，
符合书写要求，应写成，千米应写成千米．故选：．
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
【解析】解：第个图形有个小圆，
第个图形有个小圆，
第个图形有个小圆，
第个图形有个小圆，
第个图形有：．
此题主要考查了图形的规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．
6.【答案】
【解析】解：两位数放在一个三位数的右边相当于扩大了倍，那么这个五位数为．
原来的最高位是百位，现在最高位为万位，扩大了倍，不变．
此题主要考查了五位数的表示方法，该题的易错点是把三位数放在一个两位数前面组成一个五位数时，搞不清他们之间的关系，把放在的右边相当于扩大了倍，所以可求出该五位数为．
7.【答案】
【解析】本题考查了代数式求值，整体代入法有关知识，根据整体思想将已知条件用含和的代数式表示，再整体代入即可求解．
解：当时，代数式的值为，
即，
当时，．
8.【答案】
【解析】观察图形，发现对正方形每进行次分形，周长增加倍；每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形，即面积不变．
解：周长依次为，，，，，即无限增加，
所以不断发展下去到第次变化时，图形的周长为；
图形进行分形时，每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形，即面积不变，是一个定值．
9.【答案】
10.【答案】
【解析】解：，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是，
，，或，
当时，原式；
当时，原式．故答案为：．
利用相反数，倒数，以及绝对值的意义求出，，以及的值，代入原式计算即可得到结果．
11.【答案】
【解析】解：，，
．
用整体代入法求解即可．
12.【答案】
【解析】此题主要考查了图形的变化类，根据题意得出节链条的长度与每节长度之间的关系是解决问题的关键．根据图形找出规律写出表示链条节数的一般式．
解：根据图形可得出：
节链条的长度为：，
节链条的长度为：，
节链条的长度为：，
节链条的长度为：．
可得节链条长为：．
13.【答案】
【解析】本题主要考查图形的变化规律，归纳出第个图形中黑色正方形的数量是解题的关键．
解：根据图形变化规律可知：
第个图形中黑色正方形的数量为，
第个图形中黑色正方形的数量为，
第个图形中黑色正方形的数量为，
第个图形中黑色正方形的数量为，，
当为奇数时，黑色正方形的个数为，
当为偶数时，黑色正方形的个数为，
所以第个图形中黑色正方形的数量是．
14.【答案】解：阴影部分的面积为．
当时，，即阴影部分的面积为．
15.【答案】
【解析】解：当时，，
当时，；
故答案为：，；
当时，
，
；
．
本题考查的是求解代数式的值，掌握利用特值法求解代数式的值是解本题的关键．
16.【答案】解：；
；
甲用户缴纳的水费不足元，元
甲户用水没超过，
当时，
水费：元；
当时，
水费：元．
【解析】根据用户用水情况，根据不同单价计算其应缴纳的水费；
根据用水量，代入不同的单价，计算出应缴纳的水费；
先判断甲户的用水量大致范围，再分类进行讨论计算．
解：当时，该用户应缴纳的水费元，
当时，
该用户应缴纳的水费为，
见答案
【课后巩固】
1.【答案】
【解析】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形．解答此题由已知可得设，，，然后将其代入代数式合并约分即可．
解：，设，，
2.【答案】
【解析】本题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
方法：用个这样的图形图的总长减去拼接时的重叠部分个，即可得到拼出来的图形的总长度．
方法：口朝上的有个，长度之和是，口朝下的有四个，长度为，即可得出结论．
详解
解：方法：如图，由图可得，拼出来的图形的总长度
故答案为：．
方法：小明用个这样的图形图拼出来的图形
口朝上的有个，口朝下的有四个，
而口朝上的有个，长度之和是，口朝下的有四个，长度为，
即：总长度为，
故选A．
3.【答案】
【解析】本题考查了去括号与添括号，整体代入法和代数式的值利用添括号把所给代数式化为关于和的代数式，再利用整体代入法计算得代数式的值．
解：因为，，
．
4.【答案】千克
【解析】解：这两块地的平均亩产量是千克．
用两块地的总产量除以总亩数即可求得答案．
5.【答案】；
答案不唯一
【解析】解：由题意得：第次出现，位于从左向右第列；即，
第次出现，位于从左向右第列；即，
第次出现，位于从左向右第列；即，；
第次出现，位于从左向右第列；
根据题意可得：天干有个，地支有个，和的最小公倍数是，故序号每隔循环一次，
在天干排列中，壬在第个位置，又由于排列以为一个周期，故壬出现在第，，，，，的位置，
在地支排列中，寅在第个位置，又由于排列以为一个周期，故寅出现在第，，，，的位置，
年是壬寅年，即壬和寅在一列中，该列的序号可以是从左向右的第列．
故答案为：答案不唯一．
时，第列，即；时，第列，即；时，第列，即；
由此可得规律；
和的最小公倍数是，故序号每隔循环一次，列出一组数，找到壬寅年是第列，可以是，答案不唯一，从而可解答．
此题主要考查规律问题的探索与运用，了解天干地支纪年法的基础知识是解题的关键．
6.【答案】解：关于，的代数式的值与字母取值无关，
，，解得：，，
【解析】本题主要考查整式的无关项、代数式求值，与哪个字母无关，哪个字母的系数为，列方程求解即可；
7.【答案】解：由题意可得，
此人乘坐甲种出租车的费用为：元，
此人乘坐乙种出租车的费用为：元；
由题意可得，
甲种出租车的费用为：元，
乙种出租车的费用为：元，
，
此人选择甲种出租车．
【解析】根据题意可以用代数式分别表示出两种出租车的费用；
根据题意可以分别求得此人乘坐的路程为千米，两种车的费用，然后比较大小即可解答本题．
8.【答案】解：；
根据阶方形的定义做出如下种情况：

【解析】本题是一个四边形的阅读理解题，考查了学生的阅读理解能力；给出一个新的定义，按此定义理解并解决问题，这类题的关键是找重点语句：依次找最大正方形，且最后余下的也是一个正方形；有个正方形，就是阶方形；运用了数形结合的思想，使复杂问题简单化，抽象问题具体化．
第一个最大正方形边长为，第二个最大正方形边长为，余下的正方形边长为，所以邻边长分别为和的长方形是阶方形；
有四个值：当时，三个最大的正方形边长都为，余下的正方形边长为；
当时，第一个和第二个正方形边长都为，第三个正方形边长为，余下的正方形边长为；
当时，第一个正方形边长为，第二个和第三个正方形边长都为，余下的正方形边长为；
当时，第一个正方形边长为，第二个正方形边长为，第三个正方形边长为，余下的正方形边长为；
先计算，前三个正方形边长都为，后三个正方形边长都为，所以矩形是阶方形．
解：由图可知，邻边为和的长方形经过两次操作剩下边长的正方形，故为阶方形；
见答案；
，，
，
作图如下：
由图可知，这个长方形为阶方形．
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