3.3垂径定理教学设计

3.3垂径定理（2）
教学目标：
1．经历垂径定理的逆定理的推理过程；
2．探索并掌握垂径定理的逆定理；
3．会运用垂径定理及其逆定理进行几何证明和解决简单的实际问题。
学情分析：
学生已初步掌握垂径定理的基本图形，初步了解其一些实际应用，但实际问题中，直径垂直弦，直径平分弦，直径平分弦所对的弧。这三者中哪一个更能方便测得是末定的，所以有必要对垂径定理加以补充，让数学知识更具完备性。
重点：垂径定理的逆定理的推理过程
难点：例题和问题解决
教学过程：
一、创设情境，引入新课
1．用一组隧道图片，引出问题：车能过隧道吗？某公路隧道呈
半圆形(单向)如图所示,半圆拱的中点离地面2m, 一辆高1.8m,
宽2.4m的集装箱车能顺利通过这个隧道吗?
2．发现已学习的圆的知识不够了，点出课题：3.4垂径定理（2）.
二、师生合作，探究新知
1．重径定理回顾：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所
对的弧。定理理解：由①CD过圆心O② CD⊥AB，得到结论
③AP=BP④=⑤=
2．练习：已知AB是⊙O的弦，直径CD垂直AB于M, ⊙O的半径为5,AB=6, 求OM的长.
3．小组合作：请用以上五个条件中的两个作为题设，其余三个作为结论，仿照上面书写写出命题。
探索一：由①CD过圆心O③AP=BP，能否得到结论② CD⊥AB④=⑤=
归纳定理1:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
探索二：由①CD过圆心O，⑤=能否得到结论② CD⊥AB③AP=BP
④=
归纳定理2:平分弧的直径,垂直平分弧所对的弦。
（对垂径定理及其逆定理进行梳理）
4．判断题：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的弧. （ ）
⑵平分弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ）
(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
5．学以致用：
（如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB
交小圆于点C，D，你认为AC=BD吗? 为什么？
（从辅助线的不同作法入手分析解决办法）
三、运用新知，深化理解
1．弓形介绍：弓形指圆弧和它所对的弦构成的图形。
弓形的高指圆弧的中点到它所对的弦的距离。
（思考:弓形的高过圆心吗?）引导学生从弧的中点出
发，运用逆定理2论证。
2．思考一：若弓形的高为2cm，弦AB长8cm，求弓形
所在圆的半径。
3．例题攻克：例1300多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥
(如图)的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.2 m，
拱高(即弓形高)为7.23m，求桥拱的半径(精确到0.01m).
4．思考二：已知:AB和EF是⊙O的两条平行的弦，
直径CD交AB，EF于点M，N，且AM=BM，
求证：EN=FN.
5．变式：如图,已知：AB、EF是⊙O的两条平行弦，半径
为5，AB=8，CD=6，求AB、CD之间的距离.
6．问题解决：某公路隧道呈半圆形(单向)如图所示,半圆拱的
中点离地面2m, 一辆高1.8m,宽2.4m的集装箱车能顺利通过
这个隧道吗?
从宽2.4m出发，分析问题；（2）从高1.8m出发，
分析问题；（3）从高1.8m，宽2.4m的集装箱卡车，分析隧道半径。
四、归纳小结、梳理知识
本节课探索发现了垂径定理的逆定理：
●要分清逆定理的题设和结论,即已知什么条件，可推出什么结论， 这是正确理解应用的关键；
●垂径定理及其逆定理的实质是把“(1)直线CD过圆心，(2)直线CD垂直AB，(3)直线CD平分弦AB； (4)直线CD平分弧”中的(1)作为前提，只要知道(2),(3).(4)中的任一个条件成立，就能推理出其余两个。
五、作业布置，巩固新知
见作业本（1）