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2024-2025九年级下册数学同步练习重难点突破【华师大版】
专题26.2.2 二次函数的图像和性质（二）七大题型（一课一练）
[本试卷包含了常考考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．把二次函数化成的形式是（ ）
A． B．
C． D．
2．将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度所得新抛物线的表达式是（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
4．已知二次函数的图象经过点和．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
5．已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表，则方程的根是（ ）
… …
… …
A．， B．，
C．， D．，
6．二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
7．已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为．若关于x的一元二次方程有整数根，则p的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．5个
8．已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则m的取值范围为（ ）
A． B．或
C． D．或
10．二次函数的图象如图所示，下列说法：①；②当或时，；③；④若在该函数的图象上，当时，．⑤其中正确的有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．抛物线与坐标轴的交点有 个．
12．二次函数，当时y的最大值是 ．
13．已知二次函数的图象如图所示，线段轴，交抛物线于、两点，且点的横坐标为2，则的长度为 ．
14．如图，已知抛物线与直线相交于两点，则关于x的不等式的解集是 ．
15．已知由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，是由抛物线和抛物线组成的“月牙线”，则k的值为 ．
16．如图所示，在平面直角坐标系中，点和点，抛物线与线段有公共点，则h的取值范围是 ．
17．如图，抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，则周长的最小值是 ．
18．现有函数，如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得当时，，那么实数a的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知二次函数．
(1)将化成的形式；
(2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(3)当时，直接写出函数的取值范围．
20．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与一次函数的图象交于点和点，点为二次函数图象的顶点．
(1)求一次函数的表达式和点的坐标；
(2)结合图象直接写出不等式的解集．
21．已知二次函数．
(1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象；
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 …
(2)根据图象回答：时，x的取值范围是_____________；
(3)根据图象回答：当时，y的取值范围是_____________．
22．某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．
(1)求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
(2)应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？
(3)超市销售这种苹果每天要获利150元并要使顾客实惠，那么每千克这种苹果的售价应定为多少元？
23．如图，在矩形中，，点P从点A沿方向以每秒1个单位的速度移动；同时，点 Q从点B沿边方向以每秒2个单位的速度移动，设P，Q（P，Q不与B，C重合）两点的运动时间为x秒．
(1)当x为何值时，的面积为8？
(2)求 DPQ的面积S与运动时间x之间的函数关系式，并求出S的最小值
24．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，已知．
(1)求点坐标．
(2)若为抛物线对称轴上一点，求使值最小时的点的坐标．
(3)在抛物线对称轴上是否存在一点，使是等腰三角形，如果存在，直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
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专题26.2.2 二次函数的图像和性质（二）七大题型（一课一练）
[本试卷包含了常考考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．把二次函数化成的形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了二次函数的顶点式，掌握利用配方法将二次函数一般式转化为顶点式是解题的关键．
利用配方法加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式．
【详解】．
故选：B．
2．将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度所得新抛物线的表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，正确理解二次函数图象的平移规律是解题的关键．二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减．根据二次函数图象的平移规律即得答案．
【详解】将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度所得新抛物线的表达式是．
故选D．
3．已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据时，，得到，根据时，y的值随x值的增大而减小，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时y的值随x值的增大而减小，
∵时，，
∴，
∴，
∵时，y的值随x值的增大而减小，
∴，
∴，
∴；
故选D．
4．已知二次函数的图象经过点和．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图像性质，熟悉掌握二次函数的图像性质是解题的关键．
先判断函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性，则可求得的取值范围．
【详解】解：∵二次函数，
∴图象的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
∴点关于对称轴的对称点为，
∵二次函数的图象经过点和，且，
∴或，
故选：C．
5．已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表，则方程的根是（ ）
… …
… …
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】本题考查了函数表达式的列表法及二次函数图象的对称性，根据二次函数的对称性求出抛物线与轴一个交点即可求解，解题的关键是找到对称轴和对应点．
【详解】解：由表格可知：抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线与轴一个交点为，
设抛物线抛物线与轴一个交点为，
∴二次函数图象的对称性得：，
∴，
∴抛物线与轴一个交点为，
∴方程的根是，，
故选：．
6．二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质， 一次函数从左到右上升，反之，与y轴交于；二次函数的图象开口向上，反之，与y轴交于．
【详解】根据题意，当时，二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，一次函数的图象y随x的增大而增大，与y轴交于正半轴，故排除A；
当时，二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，一次函数的图象y随x的增大而减小，与y轴交于负半轴，故排除C、D，
故选：B．
7．已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为．若关于x的一元二次方程有整数根，则p的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象抛物线与轴及常函数直线的交点横坐标与一元二次方程根的关系．根据题意可知一元二次方程的根应为整数，通过抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为．可以画出大致图象判断出直线，观察图象当时，抛物线始终与轴相交于与．故自变量的取值范围为．所以可以取得整数，1，2共3个．由于与关于对称轴直线对称，所以与对应一条平行于轴的直线，，时对应一条平行于轴且过抛物线顶点的直线，从而确定时，的值应有2个．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
，解得．
又抛物线与轴的一个交点为，
把代入得，，
解得：．
．
对称轴，最大值．
如图所示，
顶点坐标为，
令，
即，
解得或．
当时，抛物线始终与轴交于与，
．
即常函数直线，由，
，
由图象得当时，，其中为整数时，，1，2．
一元二次方程的整数解有3个．
又与关于直线轴对称，
当时，直线恰好过抛物线顶点，
所以值可以有2个．
故选：B．
8．已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质．
【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为直线，开口向下，
则图象上的点离对称轴越远则的值越小，
∵，，，
∴，
∴，
故选：．
9．已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则m的取值范围为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【分析】本题考查的二次函数的图象与性质，能确定出抛物线的开口方向与对称轴是解题的关键．
根据题意先确定出抛物线的开口方向及对称轴,再根据开口向上的抛物线上的点离对称轴距离越大对应的函数值越大得到关于m的不等式组,求解即可得答案．
【详解】解：∵当时， 或，
∴抛物线开口向上，且对称轴是直线，
∴当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小，
∵，
又， 是抛物线上的两点， 且，
∴，
∴，
∴，
，
故选： A．
10．二次函数的图象如图所示，下列说法：①；②当或时，；③；④若在该函数的图象上，当时，．⑤其中正确的有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与轴的交点，难度适中．
由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：∵函数图象的对称轴为：，
，即，故①正确；
由图象可知，当或时，；②错误；
由图象可知，当时，，
，
，
，故③正确；
∵抛物线的对称轴为，开口方向向上，
∴若在函数图象上，
当时，；
当时，；故④错误；
∵，，
∴，故⑤正确；
故选：B．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．抛物线与坐标轴的交点有 个．
【答案】3
【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点，令，求出抛物线与x轴的交点，令，求出抛物线与y轴的交点，即可解答．
【详解】解：令，则，
解得，，
∴抛物线与x轴交点为，；
令，则，
∴抛物线与y轴交点为，
综上所述，抛物线与坐标轴的交点有3个．
故答案为：3
12．二次函数，当时y的最大值是 ．
【答案】15
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，正确理解取得最大值的条件是关键．
首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值．
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线的对称轴是，开口向下，
当时，是最大值．
故答案为：15．
13．已知二次函数的图象如图所示，线段轴，交抛物线于、两点，且点的横坐标为2，则的长度为 ．
【答案】4
【分析】根据抛物线的对称性求出点的横坐标，然后求解即可．本题考查了二次函数的图象，主要利用了二次函数的对称性．
【详解】解：∵二次函数的图象如图所示，线段轴，交抛物线于、两点，
∴根据抛物线的对称性，点与点关于y轴对称，
∵点的横坐标为2，
点的横坐标是，
．
故答案为：4．
14．如图，已知抛物线与直线相交于两点，则关于x的不等式的解集是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，旨在考查学生的数形结合能力．不等式的解集是抛物线位于直线下方，自变量的取值范围，确定抛物线与直线的交点坐标即可解答．
【详解】解：由图象可知，当或时，抛物线位于直线下方，
∴不等式的解集是：或，
故答案为：或．
15．已知由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，是由抛物线和抛物线组成的“月牙线”，则k的值为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查二次函数与x轴交点，先求得抛物线与x轴的交点，结合题意可知抛物线与x轴的交点也相同，代入即可求得k．
【详解】解：令，则，解得，抛物线与x轴的交点为和，
∵由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”
∴抛物线与x轴的交点为和，
则，解得
故答案为2．
16．如图所示，在平面直角坐标系中，点和点，抛物线与线段有公共点，则h的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，求出抛物线与直线的交点，再分情况讨论即可，即可得出结论．
【详解】解：∵点和点，
∴直线解析式为，
当时，解得，即，
∴抛物线与直线的交点为，，
∵抛物线与线段有公共点，
∴当，两个点都在线段上时，如图
此时，解得；
当只有在线段上时，如图
此时，解得；
当只有在线段上时，如图
此时，解得；
综上所述，若抛物线与线段有公共点，则的取值范围是，
故答案为：．
17．如图，抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，则周长的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据“将军饮马”模型，先求出，由二次函数对称性，关于对称轴对称，从而，，则周长的最小值就是的最小值，根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长，从而得到，即可得到答案．
【详解】解：抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，
当时，解得或，即；当时，，即，
由二次函数对称性，关于对称轴对称，即，
，
，
周长的最小值就是的最小值，
根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长，，
周长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键．
18．现有函数，如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得当时，，那么实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数、二次函数的图象与性质．数形结合是解题的关键．
联立，可求直线与的交点坐标为，，作图象如下，抛物线的顶点坐标为，当直线的值取时，，由图象可知，①当时，直线，抛物线，函数不能取所有实数，舍去；②当时，函数能取所有实数；③当时，，不合题意，舍去；然后作答即可．
【详解】解：联立，
解得，或，
∴直线与的交点坐标为，，
作函数图象如下，
∴抛物线的顶点坐标为，
当直线的值取时，，
由图象可知，①当时，直线，抛物线，函数不能取所有实数，舍去；
②当时，函数能取所有实数；
③当时，，不合题意，舍去；
综上所述，，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知二次函数．
(1)将化成的形式；
(2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(3)当时，直接写出函数的取值范围．
【答案】(1)
(2)向上；；
(3)
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键．
（1）用配方法将表达式化为顶点式即可；
（2）利用（1）得到的顶点式即可求解；
（3）利用开口方向和对称轴及自变量的取值即可求得y的取值范围．
【详解】（1）解：；
（2）解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；
（3）解：∵，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为．
时函数最小值为2，
将代入得．
当时，的取值范围．
20．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与一次函数的图象交于点和点，点为二次函数图象的顶点．
(1)求一次函数的表达式和点的坐标；
(2)结合图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了二次函数与不等式，二次函数的性质，待定系数法，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键．
（1）根据待定系数法可求一次函数的表达式；利用二次函数的性质求出点B的横坐标，进而可求出点的坐标；
（2）根据函数和不等式的关系求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为：直线，
由题意得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：，
∵，
∴，
当时，，
∴；
（2）解：由图象得：不等式的解集为：．
21．已知二次函数．
(1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象；
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 …
(2)根据图象回答：时，x的取值范围是_____________；
(3)根据图象回答：当时，y的取值范围是_____________．
【答案】(1)填表见解析，图见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，正确的画出函数图象，是解题的关键：
（1）将的值代入解析式，求出值，填表，进而画出函数图象即可；
（2）图象法进行求解即可；
（3）图象法进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴时，，时，，时，
填表如下：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
画出函数图象如图：
（2）解：由图象可知：时，；
故答案为：；
（3）解：由图象可知，当时，y的取值范围是；
故答案为：．
22．某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．
(1)求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
(2)应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？
(3)超市销售这种苹果每天要获利150元并要使顾客实惠，那么每千克这种苹果的售价应定为多少元？
【答案】(1)
(2)售价为20元，利润最大且为200元
(3)15元
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，因式分解法解一元二次方程．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
（1）把、代入一次函数，即可求解；
（2）设利润，则：，求函数的最大值即可；
（3）由题意得，解方程即可．
【详解】（1）解：设解析式为：，
把、代入一次函数，
，
解得：，，
函数的表达式为：；
（2）解：设利润为，
则：，
∵函数的对称轴为：，
∴当时，最大，元，
∴售价为20元时，利润最大且为200元；
（3）解：由题意得
解得：或25，
为了让顾客得到实惠，商场将销售价定为15时，利润最大．
23．如图，在矩形中，，点P从点A沿方向以每秒1个单位的速度移动；同时，点 Q从点B沿边方向以每秒2个单位的速度移动，设P，Q（P，Q不与B，C重合）两点的运动时间为x秒．
(1)当x为何值时，的面积为8？
(2)求 DPQ的面积S与运动时间x之间的函数关系式，并求出S的最小值
【答案】(1)当时，的面积为
(2)，最小值为
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，矩形的性质，一元二次方程的应用：
（1）点的速度是每秒个单位，点的速度是每秒个单位，设运动时间为秒，可表示出，，，，根据，建立方程求解即可；
（2）根据，，，，根据用含x的式子表示出S，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：矩形中，，点的速度是每秒个单位，点的速度是每秒个单位，
∴点从点到点的时间为，点从点到点的时间为，
设运动时间为秒，
∵不与重合，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，整理得，，
解得，，（舍去），
∴当时，的面积为．
（2）解：由（1）可知，，，则，，且四边形是梯形，
∴，，，
∴
，
∴的面积与运动时间之间的函数关系式为，
∴将函数关系式变形得，，
∵，
∴抛物线有最小值，且当时，有最小值，最小值为．
24．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，已知．
(1)求点坐标．
(2)若为抛物线对称轴上一点，求使值最小时的点的坐标．
(3)在抛物线对称轴上是否存在一点，使是等腰三角形，如果存在，直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或或，理由见详解．
【分析】（1）把点代入解析式可求出的值，得到解析式，对称轴，再点与对称轴的关系即可求解；
（2）已知二次函数解析式为，对称轴为，点关于对称轴的对称点为点，则，点三点共线时，的值最小，运用待定系数法可求出直线的解析式，把点的横坐标代入计算即可求解；
（3）在中，根据勾股定理可得，根据等腰三角形的定义分类讨论：当时；当时；当时，过点作于点，可得；由此即可求解．
【详解】（1）解：把点代入得，
，
解得，，
∴二次函数解析式为，
∴对称轴为，
∴，
解得，，
∴；
（2）解：已知二次函数解析式为，对称轴为，点关于对称轴的对称点为点，如图所示，
∴，则，
当点三点共线时，的值最小，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵点为抛物线对称轴上一点，则点的横坐标为，
∴当时，在直线中，，
∴；
（3）解：存在，点的坐标为或或，理由如下，
如图所示，点在对称轴的直线上，则，
∴，且，
∴，
当时，是等腰三角形，则；
当时，是等腰三角形，则；
当时，是等腰三角形，过点作于点，
∴，则，
∴；
综上所述，是等腰三角形时，点的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数、二次函数解析式，最短路径，二次函数与特殊三角形，等腰三角形的定义及性质等知识的综合，掌握二次函数图象与特殊三角形的性质是解题的关键．
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