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专题01 有理数 高频考点（6个）（精讲）
高频考点1. 正数与负数的概念、意义及应用
【解题技巧】1、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
2、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
例1．（2023秋 铜梁区校级期末）下列各数中，是负数的是（ ）
A．2 B．﹣3 C．0 D．1
【点拨】根据负数的定义进行判断即可．
【解析】解：﹣3是负数，0既不是正数也不是负数，1和2均为正数，
故选：B．
【点睛】本题考查正数和负数的定义，掌握正负数的意义是解答本题的关键．
例2．（2024秋 南关区校级期中）如果向东走99米，记作+99米，那么﹣100米表示 向西走100米 ．
【点拨】根据正数和负数的性质解题即可．
【解析】解：由题意得：﹣100米表示向西走100米，
故答案为：向西走100米．
【点睛】本题考查了正数和负数的实际应用，理解正数和负数表示一对相反意义的量，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
变式1．（2024秋 农安县期中）在3，，2002各数中，是正数的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【点拨】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数．
【解析】解：3＞0，是正数；
＜0，是负数；
0既不是正数，也不是负数；
＜0，是负数；
2002＞0，是正数；
∴正数有3，2002，共2个．
故选：C．
【点睛】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．
变式2．（2024 盐都区三模）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入60元”记作“+60元”，那么“支出40元”记作（ ）
A．+40元 B．﹣40元 C．+20元 D．20元
【点拨】根据正负数的意义，直接写出答案即可．
【解析】解：如果“收入60元”记作“+60元”，那么“支出40元”记作﹣40元．
故选：B．
【点睛】此题考查了正数与负数，熟练掌握相反意义量的定义是解本题的关键．
变式3．（2021秋 富阳区期中）某速冻水饺的储藏温度是﹣18±2℃，下列四个冷藏室的温度中不适合储藏此种水饺的是（ ）
A．﹣24℃ B．﹣18℃ C．﹣17℃ D．﹣16℃
【点拨】根据题意可以求得速冻水饺的储藏温度的范围，本题得以解决．
【解析】解：∵速冻水饺的储藏温度是﹣18±2℃，
∴速冻水饺的储藏温度是﹣20～﹣16℃，
故选项A符合题意，选项B，C，D不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查正数和负数，解答本题的关键是明确正负数在题目中的实际意义．
变式4．（2023秋 义乌市期中）手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），王老师当天微信收支的最终结果是（ ）
A．收入14元 B．支出3元 C．支出18元 D．支出10元
【点拨】根据正数和负数的实际意义列式计算即可．
【解析】解：14﹣8﹣9＝﹣3（元），
即王老师当天微信收支的最终结果是支出3元，
故选：B．
【点睛】本题考查正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
变式5．（2022秋 拱墅区期中）一辆公交车上原有13人，经过3个站点时乘客上、下车情况如下（上车人数记为正，下车人数记为负，单位：人）；﹣3，+4；﹣5，+7；+5，﹣11．此时公交车上有 10 人．
【点拨】求出13与所有上车下车人数的和，得到此时公交车上的人数．
【解析】解：13﹣3+4﹣5+7+5﹣11
＝10（人）
即此时公交车上有10人．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了正、负数在生活中的应用．车上人数＝原有人数+上车人数﹣下车人数．
高频考点2 有理数的相关概念及分类
【解题技巧】解决此类问题需理解并熟记有理数相关概念：
1.有理数的概念
正整数、零和负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.
2.有理数的分类
注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
例1．（2023秋 椒江区校级期中）下列四个数中，既是分数又是正有理数的是（ ）
A．+2 B． C．0 D．2.016
【点拨】根据大于零的分数是正分数，可得答案．
【解析】解：A、+2是正整数，故A错误；
B、﹣是负分数，故B错误；
C、0既不是正数也不是负数，故C错误；
D、2.016是正分数，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数，大于零且是分数是解题关键．
例2．（2023秋 金华期中）把下列各数填到相应的括号里（只填编号即可）．
①；②1；③；④﹣1.4；⑤+201；⑥0.1010010001；⑦0；⑧﹣9．
属于整数的有：{ ②⑤⑦⑧ …}；
属于负数的有：{ ④⑧ …}；
属于有理数的有：{ ①②④⑤⑥⑦⑧ …}．
【点拨】根据有理数的分类及定义即可求得答案．
【解析】解：属于整数的有：②⑤⑦⑧；
属于负数的有：④⑧；
属于有理数的有：①②④⑤⑥⑦⑧；
故答案为：②⑤⑦⑧；④⑧；①②④⑤⑥⑦⑧．
【点睛】本题考查有理数的分类及定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
变式1．（2020秋 慈溪市期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．没有最大的正数，但有最大的负数 B．最大的负整数是﹣1
C．有理数包括正有理数和负有理数 D．一个有理数的平方总是正数
【点拨】根据负数、正数、整数和有理数的定义选出正确答案．特别注意：没有最大的正数，也没有最大的负数，最大的负整数是﹣1．正确理解有理数的定义．
【解析】解：A、没有最大的正数也没有最大的负数，故A选项错误；
B、最大的负整数﹣1，故B选项正确；
C、有理数分为整数和分数，故C选项错误；
D、0的平方还是0，不是正数，故D选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的分类和定义．有理数：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式．整数：像﹣2，﹣1，0，1，2这样的数称为整数．
变式2．（2021秋 温岭市期中）给出下列各数：，﹣6，3.5，﹣1.5，0，4，，其中负分数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】本题需先根据负数的定义判断出负数的个数，即可求出答案．
【解析】解：负分数有﹣1.5＝﹣、﹣两个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了实数的定义，要求掌握实数的范围以及分类方法．
变式3．（2022秋 柯桥区期中）下列几种说法正确的是（ ）
A．0是最小的数 B．最大的负有理数是﹣1
C．1是绝对值最小的正数 D．平方等于本身的数只有0和1
【点拨】根据有理数是有限小数或无限循环小数，平方的意义，可得答案．
【解析】解：A、没有最小的数，故A错误；
B、没有最大的负有理数，故B错误；
C、没有绝对值最小的正数，故C错误；
D、平方等于它本身的数只有0和1，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数，没有最大的有理数也没有最小的有理数，注意平方等于它本身的数只有0和1，立方等于它本身的数有﹣1，0，1．
变式4．（2023秋 上城区期中）把下列各数的序号分别填入相应的位置．
①﹣5，②③0，④+1.5，⑤0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑥﹣30%；则是正有理数的是 ④ ；非正整数 ①③ ．
【点拨】根据有理数的定义及分类即可求得答案．
【解析】解：正有理数是④；非正整数是①③；
故答案为：④；①③．
【点睛】本题考查有理数的分类及定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
变式5．（2023秋 义乌市期中）把下列各数填到相应的括号里（只填编号即可）．
①；②0；③0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次增加）；④﹣9．
正数：{ ①③ }；
整数：{ ②④ }；
分数：{ ① }．
【点拨】根据有理数的定义和分类即可求得答案．
【解析】解：正数：①③；
整数：②④；
分数：①；
故答案为：①③；②④；①．
【点睛】本题考查有理数的分类及定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
高频考点3 数轴
【解题技巧】1.数轴：规定了原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴。
2.数轴的三要素：原点、正方向、单位长度
3.任何有理数都可以用数轴上的点表示.
4.数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.
5.数轴上两点之间的距离右边的数减去左边的数
例1．（2023秋 余姚市校级期中）如图，数轴上点M所表示的数可能是（ ）
A．1.5 B．﹣1.6 C．﹣2.6 D．﹣3.4
【点拨】由数轴可知：M所表示的数在﹣3与﹣2之间．
【解析】解：设M表示的数为x，
由数轴可知：﹣3＜x＜﹣2，
M可能是﹣2.6，
故选：C．
【点睛】本题考查利用数轴表示数的大小，属于基础题型．
例2．（2023秋 兴城市期中）若数轴上的点A表示的数是﹣2，则与点A相距5个单位长度的点表示的数是（ ）
A．±7 B．±3 C．3或﹣7 D．﹣3或7
【点拨】根据数轴上到一点距离相等的点有两个，位于该点的左右，可得答案．
【解析】解：在数轴上与﹣2的距离等于5的点表示的数是﹣2+5＝3或﹣2﹣5＝﹣7．
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴，利用了数轴上到一点距离相等的点有两个，位于该点的左右．
变式1．（2023秋 绍兴期中）四位同学画数轴如下，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【点拨】规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，根据定义结合选项进行判断即可．
【解析】解：A中的数轴缺少原点，数轴出现右边的数比左边的数小，故不符合题意；
B中的数轴缺少正方向，故不符合题意；
C中的数轴有原点，单位长度，正方向，故符合题意；
D中的数轴正方向不对，单位长度也不一致，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，数轴的定义是解题的关键．
变式2．（2023秋 义乌市期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．
则数轴上点B所对应的数b为（ ）
A．3 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
【点拨】根据刻度尺上的刻度与数轴上得单位长度的比值不变求解．
【解析】解：∵5.4÷（4+5）＝0.6（cm），
∴1.8÷0.6＝3，
∴﹣5+3＝﹣2，
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴，刻度尺上的刻度与数轴上得单位长度的比值不变是解题的关键．
变式3．（2022秋 东阳市期中）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣8，2，将长为3的线段PQ摆放在数轴上，使得点P与AB中点重合，则点Q表示的数为 0或﹣6 ．
【点拨】首先求出AB的长度，计算出AB的中点P的位置，根据PQ＝3，解出Q表示的数．
【解析】解：AB＝2﹣（﹣8）＝10，
PB＝PA＝10÷2＝5，
点P表示的数为：2﹣5＝﹣3，
∵PQ＝3，
∴点Q表示的数为：﹣3﹣3＝﹣6，或﹣3+3＝0，
故答案为：0或﹣6．
【点睛】本题考查的是数轴的有关知识，解题的关键是计算出点P表示的数是多少．
变式4．（2023秋 临海市期中）如图所示，若数轴上的两点A，B表示的数分别为a，b，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b＞0 B．＞0 C．ab＞0 D．b﹣a＞0
【点拨】此题考查的是有理数的四则运算．异号相加，取绝对值大的数的符号，再用大的绝对值减去较小的数的绝对值．异号相减，可以看作加上减数的相反数．两个数相乘或者相除（除数不为0），同号为正，异号为负．
【解析】解：因为A在﹣1的左边，B 在0和1之间，所以a＜﹣1，0＜b＜1；
a的绝对值大于b的绝对值，则a+b＜0；＜0；ab＜0；b﹣a＞0．
故选：D．
【点睛】此题综合考查了有理数的四则运算和数轴，需要熟练掌握运算的方法．
变式5．（2023秋 广陵区期中）在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是﹣16，9，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝1，则C点表示的数是 ﹣3 ．
【点拨】根据A与B表示的数求出AB的长，再由折叠后AB的长，求出BC的长，即可确定出C表示的数．
【解析】解：∵A，B表示的数为﹣16，9，
∴AB＝9﹣（﹣16）＝9+16＝25，
∵折叠后AB＝1，
∴BC＝＝12，
∵点C在B的左侧，
∴C点表示的数为9﹣12＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】此题考查了数轴，折叠的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
变式6．（2023秋 文成县期中）已知数轴上的点A，B分别表示数a，b，其中﹣1＜a＜0，0＜b＜1．若a﹣b＝c，数c在数轴上用点C表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
【点拨】根据﹣1＜a＜0，0＜b＜1，a﹣b＝c，可以得到a﹣b＜0且a﹣b＜a，然后结合选项中的数轴，即可判断哪个选项符合题意．
【解析】解：∵﹣1＜a＜0，0＜b＜1，a﹣b＝c，
∴a﹣b＜0且a﹣b＜a，
即c＜a，
故选：D．
【点睛】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
变式7．（2022秋 西乡塘区校级期中）已知M、N在数轴上，M对应的数是﹣3，点N在M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点．
（1）直接写出点N所对应的数： 1 ；
（2）当点P到点M、N的距离之和是5个单位时，点P对应的数是多少？
（3）如果P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点Q每秒走3个单位长度，当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q对应的数各是多少？
【点拨】（1）根据向右就做加法，列式求解；
（2）根据两点间的距离公式列方程求解；
（3）设P点运动时间为t，列方程求出t的值，再求P，Q对应的数．
【解析】解：（1）﹣3+4＝1，
故答案为：1；
（2）设P点表示的数为x，则|x+3|+|x﹣1|＝5，
解得：x＝﹣3.5或x＝1.5；
（3）设P点运动的时间为t秒，则Q运动的时间为（t﹣5）秒，
由题意得：|（﹣3﹣2t）﹣[1﹣3（t﹣5）]|＝2，
解得：t＝17或t＝21，
当t＝17时，P表示的数为：﹣3﹣34＝﹣37，Q表示的数为：1﹣36＝﹣35，
当t＝21时，P表示的数为：﹣3﹣42＝﹣45，Q表示的数为：1﹣48＝﹣47．
【点睛】本题考查了数轴，方程思想和分类讨论思想是解题的关键．
高频考点4 相反数
【解题技巧】1.只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）
2.在数轴上，表示互为相反数（0除外）的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等
注意：
（1）通常a与-a互为相反数；
（2）a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0；
（3）0的相反数是0.
例1．（2024春 普陀区期中）﹣2024的相反数是（ ）
A．﹣2024 B．2024 C． D．﹣
【点拨】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数是互为相反数”解答即可．
【解析】解：﹣2024的相反数是2024，
故选：B．
【点睛】此题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．
变式1．（2021春 道县期中）﹣（﹣6）的相反数是（ ）
A． B． C．﹣6 D．6
【点拨】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解析】解：﹣（﹣6）＝6，
故﹣（﹣6）的相反数是﹣6．
故选：C．
【点睛】本题考查了相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
变式2．（2021秋 江阳区校级期中）下列化简正确的是（ ）
A．+（﹣2）＝2 B．﹣（﹣3）＝3 C．+（+3）＝﹣3 D．﹣（+2）＝2
【点拨】根据相反数的定义解答即可．
【解析】解：A、+（﹣2）＝﹣2，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、﹣（﹣3）＝3，原计算正确，故此选项符合题意；
C、+（+3）＝3，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、﹣（+2）＝﹣2，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了相反数．解题的关键是掌握相反数的定义．相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
变式3．（2022秋 郾城区期中）在下列数中，相反数等于本身的数是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．
【点拨】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．
【解析】解：相反数等于本身的数是0．
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．
变式4．（2022秋 龙岗区期中）下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．﹣（+1）和+（﹣1） B．﹣（﹣1）和+（﹣1）
C．﹣（+1）和﹣1 D．+（﹣1）和﹣1
【点拨】先化简各数，然后根据相反数的定义判断即可．
【解析】解：A、﹣（+1）＝﹣1，+（﹣1）＝﹣1，不是相反数，故此选项不符合题意；
B、﹣（﹣1）＝1，+（﹣1）＝﹣1，是相反数，故此选项符合题意；
C、﹣（+1）＝﹣1，不是相反数，故此选项不符合题意；
D、+（﹣1）＝﹣1，不是相反数，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相反数．先化简再求值是解题的关键．
变式5．（2023秋 疏勒县期中）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：
（1）如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？
（2）如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？
【点拨】（1）根据互为相反数的定义确定出点O的位置，再根据数轴写出点C表示的数即可；
（2）根据互为相反数的定义确定出点O的位置，再根据数轴写出点C、D表示的数即可．
【解析】解：（1）点C表示的数是﹣1；
（2）点C表示的数是0.5，D表示的数是﹣4.5．
【点睛】本题考查了相反数，数轴，熟练掌握相反数的定义并确定出原点的位置是解题的关键．
高频考点5 绝对值
【解题技巧】1.绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.
2.正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
3.互为相反数的两个数的绝对值相等。
例1（2024春 南宁期中）﹣2024的绝对值是（ ）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
【点拨】根据绝对值的意义解答即可．
【解析】解：﹣2024的绝对值是2024．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握．
变式1．（2023春 海阳市期中）|﹣2|的相反数为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【点拨】先根据绝对值的意义求出﹣2的绝对值，再根据相反数的定义写出它的相反数即可．
【解析】解：|﹣2|＝2，
2的相反数是﹣2，
所以|﹣2|的相反数是﹣2．
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值、相反数的理解与运算能力，掌握负数的绝对值是它的相反数是关键．
变式2．（2022秋 上杭县期中）如果|﹣a|＝﹣a，则a一定是（ ）
A．非正数 B．负数 C．非负数 D．正数
【点拨】根据绝对值的非负性解决此题．
【解析】解：∵|﹣a|＝﹣a≥0，∴a≤0．
∴a是非正数．
故选：A．
【点睛】本题主要考查绝对值，熟练掌握绝对值的非负性是解决本题的关键．
变式3．（2023秋 旅顺口区期中）下列各式正确的是（ ）
A．|5|＝|﹣5| B．5＝﹣|﹣5| C．﹣|5|＝|﹣5| D．﹣5＝|﹣5|
【点拨】根据绝对值的代数意义分别化简绝对值，即可得出答案．
【解析】解：A选项，5＝5，符合题意；
B选项，5≠﹣5，不符合题意；
C选项，﹣5≠5，不符合题意；
D选项，﹣5≠5，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值，掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0是解题的关键．
变式4．（2023秋 安源区校级期中）适合|a+5|+|a﹣3|＝8的整数a的值有（ ）
A．4个 B．5个 C．7个 D．9个
【点拨】此方程可理解为a到﹣5和3的距离的和，由此可得出a的值，继而可得出答案．
【解析】解：|a+5|表示a到﹣5点的距离，
|a﹣3|表示a到3点的距离，
因为﹣5到3点的距离为8，
故﹣5到3之间的所有点均满足条件，
又由a为整数，
故满足条件的a有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3共9个，
故选：D．
【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，关键是利用数轴进行解答．
变式5．（2023秋 金平区校级期中）如果|a+2|+|b﹣1|＝0，那么（a+b）2023的值为（ ）
A．﹣2023 B．2023 C．﹣1 D．1
【点拨】先根据非负数的性质求出a和b的值，再代入代数式进行计算即可．
【解析】解：∵|a+2|+|b﹣1|＝0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣2，b＝1，
∴（a+b）2023＝（﹣2+1）2023＝（﹣1）2023＝﹣1，
故选：C．
【点睛】本题考查了非负数的性质，以及求代数式的值，根据非负数的性质求出a和b的值是解答本题的关键．
变式6．（2023秋 太康县期中）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：
（1）|5﹣（﹣2）|＝ 7 ．
（2）同理|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣5和2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，这样的整数是 ﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2 ．
（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x+6|+|x﹣3|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
【点拨】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了．
（2）要找出x的整数值可以进行分段计算，令x+5＝0或x﹣2＝0时，分为3段进行计算，最后确定x的值．
（3）根据绝对值的意义，即可解答．
【解析】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝7．
故答案为：7；
（2）令x+5＝0或x﹣2＝0时，则x＝﹣5或x＝2，
当x＜﹣5时，
∴﹣（x+5）﹣（x﹣2）＝7，
﹣x﹣5﹣x+2＝7，
x＝﹣5（范围内不成立），
当﹣5＜x＜2时，
∴（x+5）﹣（x﹣2）＝7，
x+5﹣x+2＝7，
7＝7，
∴x＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，
当x＞2时，
∴（x+5）+（x﹣2）＝7，
x+5+x﹣2＝7，
2x＝4，
x＝2，
x＝2（范围内不成立）．
显然当x＝﹣5及x＝2时符合题意，
∴综上所述，符合条件的整数x有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2．
故答案为：﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；
（3）有最小值．
当有理数x所对应的点在﹣6，3之间的线段上的点时，
最小值为9．
【点睛】本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，考查了取绝对值的方法，去绝对值在数轴上的运用．难度较大．去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性．
高频考点6 有理数的大小比较
【解题技巧】1. 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．
2. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．
3.两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
例1．（2024秋 德惠市期中）在0，1，﹣，﹣1四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B．1 C． D．﹣1
【点拨】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解析】解：∵﹣1＜＜0＜1，
∴最小的数是：﹣1．
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键．
变式1．（2021秋 临沂期中）比﹣1小的数是（ ）
A．0 B． C．﹣0.5 D．﹣2
【点拨】根据有理数大小比较方法解答即可．
【解析】解：∵|﹣2|＞|﹣1|＞|﹣0.5|，
∴﹣2＜﹣1＜﹣0.5＜0＜，
∴其中比﹣1小的数是﹣2．
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数大小比较，要熟练掌握并正确运用有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小．
变式2．（2023秋 沂南县期中）比较大小：﹣ ＞ ﹣（填“＜”或“＞”）．
【点拨】根据两负数比较大小绝对值大的反而小，可得答案．
【解析】解：|﹣|＝，|﹣|＝，
﹣，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了有理数比较大小，两负数比较大小绝对值大的反而小．
变式3．（2024秋 农安县期中）如图所示，点在数轴上，则将m、n、0、﹣m、﹣n从小到大排列正确的是（ ）
A．﹣m＜﹣n＜0＜m＜n B．m＜n＜0＜﹣m＜﹣n
C．﹣n＜﹣m＜0＜m＜n D．m＜n＜0＜﹣n＜﹣m
【点拨】先用数轴上的点表示出﹣m和n，再根据数轴左边点表示的数总小于右边点表示的数，求解即可．
【解析】解：将n，﹣m用数轴 上的点表示出来，如图所示，
∴m＜n＜0＜﹣n＜﹣m．
故选：D．
【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，掌握利用数轴比较有理数的大小的方法是解题的关键．
变式4．（2023秋 南通期中）已知有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，那么（ ）
A．a＞﹣1 B．a＞﹣a C．a2＞4 D．|a|＞a
【点拨】由题意可得﹣2＜a＜﹣1，据此逐一判断即可．
【解析】解：由数轴可知，﹣2＜a＜﹣1，故选项A不符合题意；
由﹣2＜a＜﹣1可得a＜﹣a，故选项B不符合题意；
由﹣2＜a＜﹣1可得a2＜4，故选项C不符合题意；
∵﹣2＜a＜﹣1，
∴1＜|a|＜2，
∴|a|＞a，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较，数轴与绝对值，正确得出a的取值范围是解题关键．
变式5．（2024秋 武威期中）（1）如图是一个不完整的数轴，请将数轴补充完整，并将下列各数表示在数轴上；
﹣3；3.5；；﹣|﹣1|．
（2）将上述各数按从小到大的顺序用“＜”号连接起来．
【点拨】（1）先规定向右为正方向，以及单位长度，再化简绝对值和多重符号，最后表示出各数即可；
（2）根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可．
【解析】解：（1）在数轴上表示如下：
（2）由数轴可得，．
【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，根据数轴比较有理数的大小，化简绝对值和多重符号是解题的关键．
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专题01 有理数 高频考点（6个）（精讲）
高频考点1. 正数与负数的概念、意义及应用
【解题技巧】1、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
2、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
例1．（2023秋 铜梁区校级期末）下列各数中，是负数的是（ ）
A．2 B．﹣3 C．0 D．1
例2．（2024秋 南关区校级期中）如果向东走99米，记作+99米，那么﹣100米表示 ．
变式1．（2024秋 农安县期中）在3，，2002各数中，是正数的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
变式2．（2024 盐都区三模）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入60元”记作“+60元”，那么“支出40元”记作（ ）
A．+40元 B．﹣40元 C．+20元 D．20元
变式3．（2021秋 富阳区期中）某速冻水饺的储藏温度是﹣18±2℃，下列四个冷藏室的温度中不适合储藏此种水饺的是（ ）
A．﹣24℃ B．﹣18℃ C．﹣17℃ D．﹣16℃
变式4．（2023秋 义乌市期中）手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），王老师当天微信收支的最终结果是（ ）
A．收入14元 B．支出3元 C．支出18元 D．支出10元
变式5．（2022秋 拱墅区期中）一辆公交车上原有13人，经过3个站点时乘客上、下车情况如下（上车人数记为正，下车人数记为负，单位：人）；﹣3，+4；﹣5，+7；+5，﹣11．此时公交车上有 人．
高频考点2 有理数的相关概念及分类
【解题技巧】解决此类问题需理解并熟记有理数相关概念：
1.有理数的概念
正整数、零和负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.
2.有理数的分类
注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
例1．（2023秋 椒江区校级期中）下列四个数中，既是分数又是正有理数的是（ ）
A．+2 B． C．0 D．2.016
例2．（2023秋 金华期中）把下列各数填到相应的括号里（只填编号即可）．
①；②1；③；④﹣1.4；⑤+201；⑥0.1010010001；⑦0；⑧﹣9．
属于整数的有：{ …}；
属于负数的有：{ …}；
属于有理数的有：{ …}．
变式1．（2020秋 慈溪市期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．没有最大的正数，但有最大的负数 B．最大的负整数是﹣1
C．有理数包括正有理数和负有理数 D．一个有理数的平方总是正数
变式2．（2021秋 温岭市期中）给出下列各数：，﹣6，3.5，﹣1.5，0，4，，其中负分数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式3．（2022秋 柯桥区期中）下列几种说法正确的是（ ）
A．0是最小的数 B．最大的负有理数是﹣1
C．1是绝对值最小的正数 D．平方等于本身的数只有0和1
变式4．（2023秋 上城区期中）把下列各数的序号分别填入相应的位置．
①﹣5，②③0，④+1.5，⑤0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑥﹣30%；则是正有理数的是 ；非正整数 ．
变式5．（2023秋 义乌市期中）把下列各数填到相应的括号里（只填编号即可）．
①；②0；③0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次增加）；④﹣9．
正数：{ }； 整数：{ }；
分数：{ }．
高频考点3 数轴
【解题技巧】1.数轴：规定了原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴。
2.数轴的三要素：原点、正方向、单位长度
3.任何有理数都可以用数轴上的点表示.
4.数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.
5.数轴上两点之间的距离右边的数减去左边的数
例1．（2023秋 余姚市校级期中）如图，数轴上点M所表示的数可能是（ ）
A．1.5 B．﹣1.6 C．﹣2.6 D．﹣3.4
例2．（2023秋 兴城市期中）若数轴上的点A表示的数是﹣2，则与点A相距5个单位长度的点表示的数是（ ）
A．±7 B．±3 C．3或﹣7 D．﹣3或7
变式1．（2023秋 绍兴期中）四位同学画数轴如下，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2023秋 义乌市期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．
则数轴上点B所对应的数b为（ ）
A．3 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
变式3．（2022秋 东阳市期中）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣8，2，将长为3的线段PQ摆放在数轴上，使得点P与AB中点重合，则点Q表示的数为 ．
变式4．（2023秋 临海市期中）如图所示，若数轴上的两点A，B表示的数分别为a，b，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b＞0 B．＞0 C．ab＞0 D．b﹣a＞0
变式5．（2023秋 广陵区期中）在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是﹣16，9，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝1，则C点表示的数是 ．
变式6．（2023秋 文成县期中）已知数轴上的点A，B分别表示数a，b，其中﹣1＜a＜0，0＜b＜1．若a﹣b＝c，数c在数轴上用点C表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
变式7．（2022秋 西乡塘区校级期中）已知M、N在数轴上，M对应的数是﹣3，点N在M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点．
（1）直接写出点N所对应的数： ；
（2）当点P到点M、N的距离之和是5个单位时，点P对应的数是多少？
（3）如果P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点Q每秒走3个单位长度，当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q对应的数各是多少？
高频考点4 相反数
【解题技巧】1.只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）
2.在数轴上，表示互为相反数（0除外）的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等
注意：
（1）通常a与-a互为相反数；
（2）a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0；
（3）0的相反数是0.
例1．（2024春 普陀区期中）﹣2024的相反数是（ ）
A．﹣2024 B．2024 C． D．﹣
变式1．（2021春 道县期中）﹣（﹣6）的相反数是（ ）
A． B． C．﹣6 D．6
变式2．（2021秋 江阳区校级期中）下列化简正确的是（ ）
A．+（﹣2）＝2 B．﹣（﹣3）＝3 C．+（+3）＝﹣3 D．﹣（+2）＝2
变式3．（2022秋 郾城区期中）在下列数中，相反数等于本身的数是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．
变式4．（2022秋 龙岗区期中）下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．﹣（+1）和+（﹣1） B．﹣（﹣1）和+（﹣1）
C．﹣（+1）和﹣1 D．+（﹣1）和﹣1
变式5．（2023秋 疏勒县期中）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：
（1）如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？
（2）如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？
高频考点5 绝对值
【解题技巧】1.绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.
2.正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
3.互为相反数的两个数的绝对值相等。
例1（2024春 南宁期中）﹣2024的绝对值是（ ）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
变式1．（2023春 海阳市期中）|﹣2|的相反数为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
变式2．（2022秋 上杭县期中）如果|﹣a|＝﹣a，则a一定是（ ）
A．非正数 B．负数 C．非负数 D．正数
变式3．（2023秋 旅顺口区期中）下列各式正确的是（ ）
A．|5|＝|﹣5| B．5＝﹣|﹣5| C．﹣|5|＝|﹣5| D．﹣5＝|﹣5|
变式4．（2023秋 安源区校级期中）适合|a+5|+|a﹣3|＝8的整数a的值有（ ）
A．4个 B．5个 C．7个 D．9个
变式5．（2023秋 金平区校级期中）如果|a+2|+|b﹣1|＝0，那么（a+b）2023的值为（ ）
A．﹣2023 B．2023 C．﹣1 D．1
变式6．（2023秋 太康县期中）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：
（1）|5﹣（﹣2）|＝ ．
（2）同理|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣5和2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，这样的整数是 ．
（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x+6|+|x﹣3|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
高频考点6 有理数的大小比较
【解题技巧】1. 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．
2. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．
3.两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
例1．（2024秋 德惠市期中）在0，1，﹣，﹣1四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B．1 C． D．﹣1
变式1．（2021秋 临沂期中）比﹣1小的数是（ ）
A．0 B． C．﹣0.5 D．﹣2
变式2．（2023秋 沂南县期中）比较大小：﹣ ﹣（填“＜”或“＞”）．
变式3．（2024秋 农安县期中）如图所示，点在数轴上，则将m、n、0、﹣m、﹣n从小到大排列正确的是（ ）
A．﹣m＜﹣n＜0＜m＜n B．m＜n＜0＜﹣m＜﹣n
C．﹣n＜﹣m＜0＜m＜n D．m＜n＜0＜﹣n＜﹣m
变式4．（2023秋 南通期中）已知有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，那么（ ）
A．a＞﹣1 B．a＞﹣a C．a2＞4 D．|a|＞a
变式5．（2024秋 武威期中）（1）如图是一个不完整的数轴，请将数轴补充完整，并将下列各数表示在数轴上；
﹣3；3.5；；﹣|﹣1|．
（2）将上述各数按从小到大的顺序用“＜”号连接起来．
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