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第1章：有理数 单元提升卷
一、选择题
1．中国是世界上最早提出和采用“正负数表示相反意义的量”的国家，关于正负数的记载最早见于公元一世纪的中国数学著作《九章算术》中，比欧洲早一千余年．如果将“向东走40米”记作“米”，那么“向西走30米”记作（ ）
A．米 B．米 C．米 D．10米
2．下面两个量不是具有相反意义的量的是 （ ）
A．增产45吨与减产2 吨 B．浪费1吨煤和节约1吨煤
C．收入100元与支出70元 D．向东走5千米与向南走5千米
3．如图，数轴上点A对应的数是，将点A沿数轴向左移动2个单位至点B，则点B对应的数是（ ）
A． B．-2 C． D．
4．若数轴上点 表示-1，且 ，则点 表示的数是（ ）
A．-4 B．2 C．-3或3 D．-4或2
5．下列各数中：、、、、、、、…负有理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．若|a|=3，则a=（ ）
A．3 B．-3 C． D．
7．数轴上有 ， ， ， ， 五个点，各点的位置与所表示的数如图所示，且 .若数轴上有一点 ， 所表示的数为 ，且 ，则关于点 的位置，下列叙述正确的是（ ）
A． 在 ， 之间 B． 在 ， 之间
C． 在 ， 之间 D． 在 ， 之间
8．数轴上：原点左边有一点 ，从 对应着数 ，有如下说法：
① 表示的数一定是正数：
②若 ，则 ；
③在 中，最大的数是 或 ；
④式子 的最小值为 .
其中正确的个数是（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
9．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别是A，B，C，如果 ，那么点B
A．在A，C点的左边 B．在A，C点的右边
C．在A，C点之间 D．上述三种均可能
10．若aA． B．ab<1 C． D．
二、填空题
11．如果收入200元记作
+ 200元，那么支出500元记作 元.
12．比较大小： (用“＞”或“＜”填写)
13．在数 中，负分数有 ，非负整数有 ．
14．写出一个大于-1且小于1的负有理数： ．
15．m是常数，若式子的最小值是6，则m的值是 .
16．已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当 取得最大值时，这个四位数的最小值是 ．
三、综合题
17．把下列各数填在相应的大括号里．
+2019，-3.14，-4，- ，6%，0，32
（1）正整数：{ }
（2）整数：{ }
（3）正分数：{ }
（4）负分数：{ }
18．2016年7月，台风“莫利娅”登陆，给我国福建，浙江等省造成严重影响，为民排忧解难的解放军叔叔驾驶冲锋舟沿一条东西方向的河流营救灾民，早晨从A地出发，来回营救灾民，晚上最后到达B地，约定向东为正方向，当天航行依次记录如下（单位：千米）：+16，﹣4，+8，﹣8，+14，﹣7，﹣11．
（1）B地在A地的东面还是西面？与A地相距多少千米？
（2）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为30升，求途中至少需要补充多少升油？
19．某一出租车一天下午以一中为出发地在东西方向运营，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：+9，-3，-6，+4，-8，+6，-3，-6，-4，+10．
（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离一中出发点多远？在一中的什么方向？
（2）若每千米的价格为2元，司机一个下午的营业额是多少？
20．如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c．
（1）比较大小：a＋b0，b＋c0，a－c0；
（2）化简： ．
21．某仓库一周 天内进出货物的吨数如下（“ ”表示进库，“ ”表示出库）： ．
（1）经过这 天，仓库里的货物是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？
（2）如果货物进仓库的装卸费是 元/吨、货物出仓库的装卸费是 元/吨，求这 天要付的装卸费是多少元？（用含 的代数式表示）
22．（阅读）|4﹣1|表示4与1差的绝对值，也可以理解为4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|4+1|可以看做|4﹣（﹣1）|，表示4与﹣1的差的绝对值，也可以理解为4与﹣1两数在数轴上所对应的两点间的距离.
（1）|4﹣（﹣1）|=
（2）|5+2|=
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|=5，则x= .
（4）利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣2|=5，这样的整数是： .
23．同学们都知道，|5－(－2)|表示5与－2之差的绝对值,实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离.试探索：
（1）求|5－(－2)|= .
（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x-2|=7这样的整数是 .
（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x－3|+|x－6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由.
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第1章：有理数 单元提升卷
一、选择题
1．中国是世界上最早提出和采用“正负数表示相反意义的量”的国家，关于正负数的记载最早见于公元一世纪的中国数学著作《九章算术》中，比欧洲早一千余年．如果将“向东走40米”记作“米”，那么“向西走30米”记作（ ）
A．米 B．米 C．米 D．10米
【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：∵“向东走40米”记作“米”，
∴“向西走30米”记作“-30米”，
故答案为：A.
【分析】根据正负数的意义、相反意义的量及表示方法求解即可。
2．下面两个量不是具有相反意义的量的是 （ ）
A．增产45吨与减产2 吨 B．浪费1吨煤和节约1吨煤
C．收入100元与支出70元 D．向东走5千米与向南走5千米
【答案】D
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：增产45吨与减产2 吨是具有相反意义的量，故A不符合；
浪费1吨煤和节约1吨煤是具有相反意义的量，故B不符合；
收入100元与支出70元是具有相反意义的量，故C不符合；
向东走5千米与向南走5千米不是具有相反意义的量，故D符合.
故答案为：D.
【分析】根据具有相反意义的量的意义作判断.
3．如图，数轴上点A对应的数是，将点A沿数轴向左移动2个单位至点B，则点B对应的数是（ ）
A． B．-2 C． D．
【答案】A
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：∵将点A沿数轴向左移动2个单位至点B，
则点B对应的数为：-2=，
故答案为：A.
【分析】根据数轴上往右相加，往左相减列出算式-2求解，即可得到点B表示的数。
4．若数轴上点 表示-1，且 ，则点 表示的数是（ ）
A．-4 B．2 C．-3或3 D．-4或2
【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：当点B在点A左侧时，点B表示的数为-1-3=-4，
当点B在点A右侧时，点B表示的数为-1+3=2，
∴点 表示的数是-4或2，
故答案为：D．
【分析】画出数轴，利用两点之间的距离为3分两种情况求解即可。
5．下列各数中：、、、、、、、…负有理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】有理数及其分类
【解析】【解答】解：在+3、-2.1、 、、-π、0、-9、-0.1010010001…中，负有理数有：-2.1、 、-9，共3个.
故答案为：B.
【分析】负有理数包含负整数、负分数，据此判断.
6．若|a|=3，则a=（ ）
A．3 B．-3 C． D．
【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵| |=3，
∴a= ，
故答案为：C．
【分析】先求出| |=3，再计算求解即可。
7．数轴上有 ， ， ， ， 五个点，各点的位置与所表示的数如图所示，且 .若数轴上有一点 ， 所表示的数为 ，且 ，则关于点 的位置，下列叙述正确的是（ ）
A． 在 ， 之间 B． 在 ， 之间
C． 在 ， 之间 D． 在 ， 之间
【答案】B
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由题意可得：点A表示的数为-5，点B表示的数为3，点C表示的数为-1，点D表示的数为d，且AC=BC
∵ ，
∴MD=BD，
又∵-5＜d＜-1＜3
∴M点介于O、C之间，
故答案为：B.
【分析】利用D移动时，考虑最左边和最右边两种情况解决问题。
8．数轴上：原点左边有一点 ，从 对应着数 ，有如下说法：
① 表示的数一定是正数：
②若 ，则 ；
③在 中，最大的数是 或 ；
④式子 的最小值为 .
其中正确的个数是（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵点M在原点的左边
∴m＜0
∴-m＞0，故①正确；
若 ，则
又m＜0，则m=-8，故②正确；
在 中
当m＜-1时，最大值为 ；
当-1当m=-1时，最大值为 或 ，故③正确；
∵
∴ ，故④正确；
故答案为：D.
【分析】①根据数轴上原点左边的数是负数，右边的数是正数可知m＜0，由相反数的意义可得-m＞0；
②根据已知条件=8和绝对值的意义可求解；
③分两种情况进行讨论，根据m＞0和m＜0分别求出每种情况下的最大值即可判断求解；
④根据 即可判断.
9．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别是A，B，C，如果 ，那么点B
A．在A，C点的左边 B．在A，C点的右边
C．在A，C点之间 D．上述三种均可能
【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵|a-b|+|b-c|=|a-c|，
∴点B在A、C点之间.
故答案为：C.
【分析】根据|a-b|+|b-c|表示数b的点到a与c两点的距离的和，|a-c|表示数a与c两点的距离即可求解.
10．若aA． B．ab<1 C． D．
【答案】C
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】a1排除B，则排除D选项。故答案选：C
【分析】对于此类题目出现在选择题中时，我们不妨将字母换成具体的数字进行排除，直到只剩最后一个答案时，将其选为正确答案．
二、填空题
11．如果收入200元记作
+ 200元，那么支出500元记作 元.
【答案】
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：收入200元记作+200元，那么支出500元记作﹣500元，
故答案为：﹣500.
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，收入记为正，可得支出记为负.
12．比较大小： (用“＞”或“＜”填写)
【答案】>
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】解： ，
，
∵ ，
∴- >- .
故答案为：>.
【分析】两个负分数的比较大小，先转化比较它们绝对值的大小，利用两个负数绝对值大的反而小即可.
13．在数 中，负分数有 ，非负整数有 ．
【答案】；
【知识点】有理数及其分类
【解析】【解答】解：负分数有 ，
非负整数有 ，
故答案为： ； ．
【分析】根据有理数及分类进行判断即可.
14．写出一个大于-1且小于1的负有理数： ．
【答案】－0.5（答案不唯一）
【知识点】有理数大小比较；有理数及其分类
【解析】【解答】大于-1且小于1的负有理数有很多，例如-0.1，-0.2，-0.3等.
【分析】根据要求，写出的数只要满足大于-1且小于1，是负有理数即可.
15．m是常数，若式子的最小值是6，则m的值是 .
【答案】或7
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵可以看作数轴上表示x的点距离表示1，5和m的点的距离之和，且的最小值是6，
①当时，则时，原式有最小值，
此时，
解得：；
②当时，则时，原式有最小值，
此时，
此时方程无解；
③当时，则时，原式有最小值，
此时，
解得：；
综上，m的值为或7，
故答案为：-1或7.
【分析】由可以看作数轴上表示x的点距离表示1，5和m的点的距离之和，且该式有最小值6，从而分①m＜1，②1≤m≤5，③m＞5三种情况，根据绝对值的性质分别解含绝对值的方程即可得出答案.
16．已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当 取得最大值时，这个四位数的最小值是 ．
【答案】1119
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】若使 的值最大，则最低位数字最大为d＝9，最高位数字最小为a＝1即可，同时为使|c－d|最大，则c应最小，且使低位上的数字不小于高位上的数字，所以c为1，此时b只能为1，所以此数为1119，故答案为1119.
【分析】使 | a b | + | b c | + | c d | + | d a | 的值最大。则需要保证d a，c d最大，从而得出a，d的值，再根据低位上的数字不小于高位上的数字即可分别得出b，c的值，从而得出答案。
三、综合题
17．把下列各数填在相应的大括号里．
+2019，-3.14，-4，- ，6%，0，32
（1）正整数：{ }
（2）整数：{ }
（3）正分数：{ }
（4）负分数：{ }
【答案】（1）解：正整数：+2019，32
（2）解：整数：+2019，-4，0，32
（3）解：正分数：6%
（4）解：负分数：-3.14，-
【知识点】有理数及其分类
【解析】【分析】根据有理数分类解答即可。
18．2016年7月，台风“莫利娅”登陆，给我国福建，浙江等省造成严重影响，为民排忧解难的解放军叔叔驾驶冲锋舟沿一条东西方向的河流营救灾民，早晨从A地出发，来回营救灾民，晚上最后到达B地，约定向东为正方向，当天航行依次记录如下（单位：千米）：+16，﹣4，+8，﹣8，+14，﹣7，﹣11．
（1）B地在A地的东面还是西面？与A地相距多少千米？
（2）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为30升，求途中至少需要补充多少升油？
【答案】（1）解：（+16）+（﹣4）+8+（﹣8）+14+（﹣7）+（﹣11）=8．
答：B地在A地的东面，与A地相距8千米
（2）解：总路程=16+4+8+8+14+7+11=68（千米）
68×0.5﹣30=4（升）．
答：途中至少需要补充4升油
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【分析】（1）将题目中的数据相加，看最终的结果，即可得到B地在A地的那个方向，与A地的距离是多少；（2）将题目中的数据都取绝对值然后相加与0.5相乘再与30作差即可解答本题．
19．某一出租车一天下午以一中为出发地在东西方向运营，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：+9，-3，-6，+4，-8，+6，-3，-6，-4，+10．
（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离一中出发点多远？在一中的什么方向？
（2）若每千米的价格为2元，司机一个下午的营业额是多少？
【答案】（1）解：将最后一名乘客送到目的地，+9-3-6+4-8+6-3-6-4+10=-1．出租车离一中出发点1 km，在一中的正西方向，
（2）解： 9+3+6+4+8+6+3+6+4+10=59，
若每千米的价格为2元，
59×2=118，
司机一个下午的营业额是118元．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；正数、负数的实际应用
【解析】【分析】（1）将行车里程求和，根据结果的正负判断得到其方向即可；
（2）将里程的绝对值求和，根据每千米的价格，计算得到营业额即可。
20．如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c．
（1）比较大小：a＋b0，b＋c0，a－c0；
（2）化简： ．
【答案】（1）解：根据数轴可得a＜b＜0＜c．
则a＋b＜0，b＋c>0，a－c<0．
故答案是：<，>，<；
（2）解：
＝-（a+b） （b+c）+（a-c）
＝-a-b b-c+a-c
＝-2b-2c．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【分析】（1）根据数轴确定出a、b、c的符号，及绝对值的大小关系，再根据有理数加减法法则进行判断；
（2）根据有理数加减法法则判断出“a+b、b+c、a-c”的符号，再去绝对值符号，最后去括号、合并同类项.
21．某仓库一周 天内进出货物的吨数如下（“ ”表示进库，“ ”表示出库）： ．
（1）经过这 天，仓库里的货物是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？
（2）如果货物进仓库的装卸费是 元/吨、货物出仓库的装卸费是 元/吨，求这 天要付的装卸费是多少元？（用含 的代数式表示）
【答案】（1）解： = ，
∴经过这7天，仓库里的货物减少了25吨
（2）解：由题意得：
进库的总装卸费为： =
出库的总装卸费为：
∴这7天要付 元装卸费．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【分析】本题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确正负数是一对具有相反意义的量
（1）求出这7天进出货物的质量和，根据结果的符号和绝对值进行判断即可求出最终的增减量
（2）分别求出进出货物的总吨数，即各个数的绝对值的和，再求出总装卸费
22．（阅读）|4﹣1|表示4与1差的绝对值，也可以理解为4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|4+1|可以看做|4﹣（﹣1）|，表示4与﹣1的差的绝对值，也可以理解为4与﹣1两数在数轴上所对应的两点间的距离.
（1）|4﹣（﹣1）|=
（2）|5+2|=
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|=5，则x= .
（4）利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣2|=5，这样的整数是： .
【答案】（1）5
（2）7
（3）2或﹣8
（4）﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：（1）|4-（-1）|=5；
故答案为：5；
（2）|5+2|=7；
故答案为：7；
（3）∵|x+3|=5，
∴x+3=±5，
∴x=2或-8，
故答案为：2或-8；
（4）∵-3与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，
∴使得|x+3|+|x-2|=5成立的整数是-3和2之间的所有整数（包括-2和4），
∴这样的整数是-3、-2、-1、0、1、2.
故答案为：-3、-2、-1、0、1、2.
【分析】（1）根据4与-1两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，可得结论；
（2）根据绝对值的意义即可得到结论；
（3）根据||x+3|=5表示x与-3两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，可得结论；
（4）因为-3与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，所以使得|x+3|+|x-2|=5成立的整数是-3和2之间的所有整数（包括-3和2），据此求出这样的整数有哪些即可
23．同学们都知道，|5－(－2)|表示5与－2之差的绝对值,实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离.试探索：
（1）求|5－(－2)|= .
（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x-2|=7这样的整数是 .
（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x－3|+|x－6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由.
【答案】（1）7
（2）-5，-4，-3，-2，-1, 0, 1, 2
（3）解：|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3.理由如下：
当x＞6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+x﹣6＝2x﹣9＞3；
当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+6﹣x＝3；
当x＜3时，|x﹣3|+|x﹣6|＝3﹣x+6﹣x＝9﹣2x＞3.
故|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】（1）|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7.
故答案为：7；（2）当x＞2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+x﹣2＝7，解得：x＝2与x＞2矛盾，故此种情况不存在；
当﹣5≤x≤2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+2﹣x＝7，故﹣5≤x≤2时，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，故使得|x+5|+|x﹣2|＝7的整数是﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；
当x＜﹣5时，|x+5|+|x﹣2|＝﹣x﹣5+2﹣x＝﹣2x+3＝7，得x＝﹣5与x＜﹣5矛盾，故此种情况不存在.
故答案为：﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；
【分析】（1）根据题目中的式子和绝对值可以解答本题；（2）利用分类讨论的数学思想可以解答本题；（3）根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题.
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