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第4章《代数式》同步单元练习
一、选择题
1．下列各式运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．2x2-3xy-1的常数项是1
B．3ab-2a+1是二次三项式
C．0不是单项式
D．的系数是，次数是3
3．化简(8x-2)-3(x+1)的结果是 （ ）
A．x+1 B．3x-1 C．7x+1 D．x-4
4．某校七年级1班有学生a人，其中女生人数比男生人数的 多3人，则女生的人数为（ ）
A． B． C． D．
5．在0，3x+1，，x2，﹣5a中，属于单项式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如果单项式2x3y4与-2xay2b是同类项，那么a、b的值分别是（ ）
A．3，2 B．2，2 C．3，4 D．2，4
7．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示：则第4个方框中的值是( )
A．11 B．12 C．13 D．14
8．如图，直线上的四个点 ， ， ， 分别代表四个小区，其中 小区和 小区相距 ， 小区和 小区相距 ， 小区和 小区相距 ，某公司的员工在 小区有30人， 小区有5人. 小区有20人， 小区有6人，现公司计划在 ， ， ， 四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（ ）
A． 小区 B． 小区 C． 小区 D． 小区
9．如果 为互不相等的有理数，且 ，那么 （ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
10．已知代数式x2＋ax－2y＋7－(bx2－2x＋9y－1)的值与x的取值无关，则a＋b的值为（ ）
A．－1 B．1 C．－2 D．2
二、填空题
11．若，则 ．
12．已知长方形的周长为，其一边长为，则另一边长为 ．
13．若单项式与是同类项，则关于，的多项式的值不含二次项，则 ．
14．若的值是3，则的值是 ．
15．已知(2x2－x－1)3＝a0x6＋a1x5＋a2x4＋a3x3＋a4x2＋a5x＋a6，求a0＋a2＋a4=
16．有理数a，b，c满足a+b+c＞0，且abc＜0， = ．
三、综合题
17．如图所示是一个长方形。
（1）根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积S；
（2）若x=3，求S的值
18．已知a2=4，｜b｜=3.
（1）已知ab>0，求a+b的值；
（2）若｜a-b｜=b-a，求ab的值.
19．有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：
与标准质量的差值（单位：千克） -3
-2
-1.5
0
1
2.5
筐数 1
4
2
3
2
8
（1）20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？
（2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？
（3）若这20筐白菜的进货价为每千克x元，售价为每千克y元(x＜y)，则出售这批白菜可获利润多少元？（用含x、y的代数式表示）（注：第（1）、（2）小题列出算式，并计算）
20．已知 ，
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值；
（3）求 的值.
21．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）的形式来表示，把x等于某数a时的多项式的值用f（a）来表示，例如x=﹣1时，多项式f（x）=x2+3x﹣5的值记为f（﹣1），则f（﹣1）=﹣7．已知f（x）=ax5+bx3+3x+c，且f（0）=﹣1
（1）c= ．
（2）若f（1）=2，求a+b的值；
（3）若f（2）=9，求f（﹣2）的值．
22．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物 优惠办法
少于200元 不予优惠
低于500元但不低于200元 九折优惠
500元或超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠
（1）王老师一次性购物600元，他实际付款 元．
（2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款 元，当x大于或等于500元时，他实际付款 元．（用含x的代数式表示）．
（3）如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为a元（200＜a＜300），用含a的代数式表示：两次购物王老师实际付款多少元？
23．已知整式P＝x2+x﹣1，Q＝x2﹣x+1，R＝﹣x2+x+1，若一个次数不高于二次的整式可以表示为aP+bQ+cR（其中a，b，c为常数）.则可以进行如下分类
①若a≠0，b＝c＝0，则称该整式为P类整式；
②若a≠0，b≠0，c＝0，则称该整式为PQ类整式；
③若a≠0，b≠0，c≠0.则称该整式为PQR类整式；
（1）模仿上面的分类方式，请给出R类整式和QR类整式的定义，若，则称该整式为“R类整式”，若，则称该整式为“QR类整式”；
（2）说明整式x2﹣5x+5为“PQ类整式；
（3）x2+x+1是哪一类整式？说明理由.
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第4章《代数式》同步单元练习
一、选择题
1．下列各式运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】去括号法则及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，不符合题意；
B、与不是同类项，不可合并，不符合题意；
C、，符合题意；
D、，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据去括号，合并同类项分别计算，再判断即可.
2．下列说法正确的是（ ）
A．2x2-3xy-1的常数项是1
B．3ab-2a+1是二次三项式
C．0不是单项式
D．的系数是，次数是3
【答案】B
【知识点】单项式的概念；单项式的次数与系数；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：A、2x2-3xy-1的常数项为-1，故A不正确；
B、3ab-2a+1是二次三项式，故B正确；
C、0是单项式，故C不正确；
D、-ab2的系数是-，次数是3，故D不正确.
故答案为：B.
【分析】根据单项式和多项式的定义逐项进行判断，即可得出答案.
3．化简(8x-2)-3(x+1)的结果是 （ ）
A．x+1 B．3x-1 C．7x+1 D．x-4
【答案】D
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解： (8x-2)-3(x+1) =4x-1-3x-3=x-4.
故答案为：D.
【分析】先去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再合并同类项即可得出答案.
4．某校七年级1班有学生a人，其中女生人数比男生人数的 多3人，则女生的人数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【解答】解：设男生人数为x人，则
x+ x+3=a，
则x= （a﹣3），
所以 x+3= ．
故选：A．
【分析】根据女生数+男生数=总人数进行解答．
5．在0，3x+1，，x2，﹣5a中，属于单项式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】单项式的概念
【解析】【解答】解： 单项式有：0，x2，﹣5a共3个。
故答案为：C.
【分析】根据单项式的定义进行识别即可得出答案。
6．如果单项式2x3y4与-2xay2b是同类项，那么a、b的值分别是（ ）
A．3，2 B．2，2 C．3，4 D．2，4
【答案】A
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：∵单项式2x3y4与-2xay2b是同类项，
∴a＝3，2b＝4，
∴a＝3，b＝2.
故答案为：A.
【分析】同类项是字母相同且相同字母的指数也相同的项，则a＝3，2b＝4，求解可得a、b的值.
7．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示：则第4个方框中的值是( )
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】观察前三个方框中数据，可知：中间一行的数为这个两位数的两个数字的乘积的2倍，
∴ 第4个方框中间一行的数为，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】观察前三个方框中数据，可知：中间一行的数为这个两位数的两个数字的乘积的2倍，根据此规律求解即可．
8．如图，直线上的四个点 ， ， ， 分别代表四个小区，其中 小区和 小区相距 ， 小区和 小区相距 ， 小区和 小区相距 ，某公司的员工在 小区有30人， 小区有5人. 小区有20人， 小区有6人，现公司计划在 ， ， ， 四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（ ）
A． 小区 B． 小区 C． 小区 D． 小区
【答案】B
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【解答】解：若停靠点设在A小区，
则所有员工步行路程总和是： （米），
若停靠点设在B小区，
则所有员工步行路程总和是： （米），
若停靠点设在C小区，
则所有员工步行路程总和是： （米），
若停靠点设在D小区，
则所有员工步行路程总和是： （米），
其中 是最小的，故停靠点应该设在B小区.
故答案为：B.
【分析】 根据题意分别计算停靠点分别在A、B、D、C各点时员工步行的路程和，选择最小值即可求解．
9．如果 为互不相等的有理数，且 ，那么 （ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：已知b≠c，可设b＜c，
∵|a-c|=|b-c|，
∴a-c与b-c必互为相反数（否则a=b，不合题意），即a-c=-（b-c），
∴a+b=2c，
又∵b＜c，
∴a＞c．
∵|b-c|=|d-b|，
∴b-c与d-b必相等（否则c=d，不合题意），即b-c=d-b，
∴2b=c+d，
∵b＜c，
∴b＞d，
即d＜b＜c＜a．
∴|a-d|=a-d=（a-c）+（c-b）+（b-d）=2+2+2=6．
若设b＞c，同理可得|a-d|=6．
故答案为：B．
【分析】根据已知条件确定a，b，c，d之间的关系，然后利用|a-c|=|b-c|=|d-b|=2得出|a-d|的值．
10．已知代数式x2＋ax－2y＋7－(bx2－2x＋9y－1)的值与x的取值无关，则a＋b的值为（ ）
A．－1 B．1 C．－2 D．2
【答案】A
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：原式=x2＋ax－2y＋7－bx2+2x-9y+1，
=（1-b）x2＋（a+2）x－11y＋8，
∵此代数式值与x的取值无关，
∴，
解得.
∴a+b=-2+1=-1.
故答案为：A.
【分析】根据去括号法则和合并同类项法则先化简原代数式，再根据此代数式值与x的取值无关求得a=-2，b=1，将a、b值代入a+b计算即可.
二、填空题
11．若，则 ．
【答案】
【知识点】添括号法则及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故填：．
【分析】根据题意先求出，由整体代入计算即可．
12．已知长方形的周长为，其一边长为，则另一边长为 ．
【答案】a
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解： 长方形的周长为，其一边长为 ，
则另一边长=-（a+b）=2a+b-a-b=a
故答案为：a.
【分析】根据长方形的周长公式列出算式化简计算即可.
13．若单项式与是同类项，则关于，的多项式的值不含二次项，则 ．
【答案】27或-27
【知识点】有理数的乘方法则；多项式的项、系数与次数；同类项的概念
【解析】【解答】解：∵单项式与是同类项，
∴|m|＝3，
∴m＝±3，
＝（3n 2n＋3）x2＋3x＋y＋4，
∵关于x，y的多项3nx2＋3x-（2nx2-3x2）＋y＋4式的值不含二次项，
∴3n-2n＋3＝0，
∴n＝-3，
当m＝3，n＝-3时，
m-n＝33＝27，
当m＝-3，n＝-3，
m-n＝（-3）3＝-27．
故答案为：27或-27．
【分析】根据同类项的定义得出m＝±3，再由多项式中不含二次项确定n＝-3，然后分情况代入求解即可．
14．若的值是3，则的值是 ．
【答案】1
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵的值是3，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先求出，再代入计算求解即可。
15．已知(2x2－x－1)3＝a0x6＋a1x5＋a2x4＋a3x3＋a4x2＋a5x＋a6，求a0＋a2＋a4=
【答案】5
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：当x=0时，a6=-1，
当x=1时，a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=0①，
当x=-1时，a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=8②，
①+②得，2 a0 +2a2 +2a4 +2a6=8，
则 a0 +a2 +a4 +a6=4，
a0 +a2 +a4 =4-a6=4+1=5，
故答案为：5.
【分析】由题意，分别把x=0、1、-1代入等式计算即可求解.
16．有理数a，b，c满足a+b+c＞0，且abc＜0， = ．
【答案】0
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；代数式求值；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：∵abc＜0，
∴负因数用1个或3个；
∵a+b+c＞0，
∴至少有1个正数，
∴符合条件的只有一种情况：其中一个为负数，其余两个为正数，
分为以下三种情况：①当a＜0时，b＞0，c＞0，
=-1+1+1-1=0；
②当b＜0时，a＞0，c＞0，
=1-1+1-1=0；
③当c＜0时，a＞0，b＞0，
=1+1-1-1=0．
故答案为0．
【分析】根据已知得出其中一个为负数，其余两个为正数，分为三种情况：①当a＜0时，b＞0，c＞0，②当b＜0时，a＞0，c＞0，③当c＜0时，a＞0，b＞0，分别计算即可．
三、综合题
17．如图所示是一个长方形。
（1）根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积S；
（2）若x=3，求S的值
【答案】（1）解：S= ×4×8- ×4×(4-x)=2x+8；
（2）解：当x=3时，S=2×3+8=14．
【知识点】列式表示数量关系；代数式求值
【解析】【分析】 （1）根据图中尺寸大小，由长方形的面积减去两个直角三角形的面积；
（2）把x=3，代入含x的表达式.
18．已知a2=4，｜b｜=3.
（1）已知ab>0，求a+b的值；
（2）若｜a-b｜=b-a，求ab的值.
【答案】（1）解：∵a2=4，｜b｜=3.
∴
又∵ab>0，
∴a、b同号，即若a=2,则b=3，此时a+b=2+3=5；
若a=-2,则b=-3，此时a+b=-2-3=-5；
故a+b的值为5或-5
（2）解：若｜a-b｜=b-a，则
即若a=2,则b=3，此时ab= ；
若a=-2,则b=3，此时ab= ；
故ab的值为6或-6.
【知识点】代数式求值；有理数的乘法法则；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）根据平方根和绝对值的意义先求出a和b，由ab>0进一步确定a和b，再代入a+b计算即可；（2）由题意确定a和b，再代入ab计算即可.
19．有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：
与标准质量的差值（单位：千克） -3
-2
-1.5
0
1
2.5
筐数 1
4
2
3
2
8
（1）20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？
（2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？
（3）若这20筐白菜的进货价为每千克x元，售价为每千克y元(x＜y)，则出售这批白菜可获利润多少元？（用含x、y的代数式表示）（注：第（1）、（2）小题列出算式，并计算）
【答案】（1）解：最重的一筐超过2.5千克，最轻的差3千克，
2.5-(-3)=5.5（千克），
答：最重的一筐比最轻的一筐重5.5千克；
（2）解：(-3)×1+(-2)×4+(-1.5)×2+3×0+1×2+2.5×8
=-3-8-3+2+20=8（千克）.
答：20筐白菜总计超过8千克.；
（3）解：（25×20＋8）（y-x）=508(y-x)（元）.
答：出售这批白菜可获利润508(y-x)元.
【知识点】列式表示数量关系；有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）根据记录可知，最重的一筐超过2.5千克，最轻的差3千克，即可求得结果;（2）先把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则计算即可;（3）由（2）可得多出的重量，再加上标准重量算出总重量，再乘以（售价-进价）即可.
20．已知 ，
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值；
（3）求 的值.
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 或 ；
当 时， ；
当 时， ；
∴ 的值为：8或2.
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 ；
当 时， ；
当 时， ；
∴ 的值为：8
（3）解：∵ ， ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
∴ 的值为： 或
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；代数式求值
【解析】【分析】先根据绝对值的意义，求出x、y的值；（1）结合 ，即可求出 的值；（2）由x、y的值，结合 ，然后得到 的值，再计算绝对值即可；（3）由x、y的值，分类讨论，即可得到答案.
21．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）的形式来表示，把x等于某数a时的多项式的值用f（a）来表示，例如x=﹣1时，多项式f（x）=x2+3x﹣5的值记为f（﹣1），则f（﹣1）=﹣7．已知f（x）=ax5+bx3+3x+c，且f（0）=﹣1
（1）c= ．
（2）若f（1）=2，求a+b的值；
（3）若f（2）=9，求f（﹣2）的值．
【答案】（1）-1
（2）解：∵f（1）=2，c=-1
∴a+b+3-1=2，
∴a+b=0
（3）解：∵f（2）=9，c=-1，
∴32a+8b+6-1=9，
∴32a+8b=4，
∴f（-2）=-32a-8b-6-1=-4-6-1=-11．
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】（1）∵f（x）=ax5+bx3+3x+c，且f（0）=-1，
∴c=-1，
故答案为-1．
【分析】（1）把x=0，代入f（x）=ax5+bx3+3x+c，即可解决问题；（2）把x=1，代入f（x）=ax5+bx3+3x+c，即可解决问题；（3）把x=2，代入f（x）=ax5+bx3+3x+c，利用整体代入的思想即可解决问题；
22．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物 优惠办法
少于200元 不予优惠
低于500元但不低于200元 九折优惠
500元或超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠
（1）王老师一次性购物600元，他实际付款 元．
（2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款 元，当x大于或等于500元时，他实际付款 元．（用含x的代数式表示）．
（3）如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为a元（200＜a＜300），用含a的代数式表示：两次购物王老师实际付款多少元？
【答案】（1）530
（2）0.9x；0.8x+50
（3）解：0.9a+0.8（820﹣a﹣500）+450=0.1a+706
【知识点】列式表示数量关系；有理数的加法；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：（1）500×0.9+（600﹣500）×0.8=530；（2）0.9x；500×0.9+（x﹣500）×0.8=0.8x+50；
【分析】（1）王老师一次性购物600元，超过500元，因此得出其中500元给予九折优惠，100元给予八折优惠，列式计算即可。
（2）根据已知当x小于500元但不小于200时，九折优惠，即可列出代数式；当x大于或等于500元时，其中500元部分给予九折优惠，（x-500）元给予八折优惠，即可列出代数式。
（3）根据已知可知，第二次购物超过500元，由已知200＜a＜300，得出两次购物王老师实际付款=第一次购物款乘以0.9+500乘以0.9+（800-a-500），计算即可。
23．已知整式P＝x2+x﹣1，Q＝x2﹣x+1，R＝﹣x2+x+1，若一个次数不高于二次的整式可以表示为aP+bQ+cR（其中a，b，c为常数）.则可以进行如下分类
①若a≠0，b＝c＝0，则称该整式为P类整式；
②若a≠0，b≠0，c＝0，则称该整式为PQ类整式；
③若a≠0，b≠0，c≠0.则称该整式为PQR类整式；
（1）模仿上面的分类方式，请给出R类整式和QR类整式的定义，若，则称该整式为“R类整式”，若，则称该整式为“QR类整式”；
（2）说明整式x2﹣5x+5为“PQ类整式；
（3）x2+x+1是哪一类整式？说明理由.
【答案】（1）解：若a＝b＝0，c≠0，则称该整式为“R类整式”.
若a＝0，b≠0，c≠0，则称该整式为“QR类整式”.
故答案是：a＝b＝0，c≠0；a＝0，b≠0，c≠0
（2）解：因为﹣2P+3Q＝﹣2（x2+x﹣1）+3（x2﹣x+1）
＝﹣2x2﹣2x+2+3x2﹣3x+3＝x2﹣5x+5.
即x2﹣5x+5＝﹣2P+3Q，所以x2﹣5x+5是“PQ类整式”
（3）解：∵x2+x+1＝（x2+x﹣1）+（x2﹣x+1）+（﹣x2+x+1），
∴该整式为PQR类整式.
【知识点】整式的加减运算
【解析】【分析】（1）根据题干条件，可得若a＝b＝0，c≠0，则称该整式为“R类整式”；若a＝0，b≠0，c≠0，则称该整式为“QR类整式”.
（2）根据"PQ类整式"定义，由x2﹣5x+5=﹣2（x2+x﹣1）+3（x2﹣x+1） = ﹣2P+3Q，据此求出结论.
（3） 由x2+x+1＝（x2+x﹣1）+（x2﹣x+1）+（﹣x2+x+1）= PQR，据此判断即可.
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