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第1章 三角形的初步知识 单元突破卷
一、选择题
1．下列判断正确的是（ ）
A．有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．腰相等的两个等腰三角形全等
C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等
D．有一个锐角对应相等的两个直角三角形全等
2．一副三角尺如图摆放，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．下列长度(单位cm)的线段不能组成三角形的是（ ）
A．3，3，3 B．3，5，5 C．3，4，5 D．3，5，8
4．如图，铅笔放置在的边上，笔尖方向为点A到点B，把铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后，笔尖的方向变为点B到点A，这种变化说明（ ）
A．三角形两边的和大于第三边
B．三角形两边的差小于第三边的
C．三角形三个内角的和等于
D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的
5．已知点，，点在轴上，且三角形的面积为，则点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
6．在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．小明把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，AC＝5，BC－AB＝2，则△ADC面积的最大值为（ ）
A．2 B．2.5 C．4 D．5
9．如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE，CF和EF，则下列结论，一定成立的个数是（ ）
①△CDF≌△EBC；②△CEF是等边三角形；③∠CDF＝∠EAF；④CE∥DF
A．1 B．2 C．3 D．4
10．△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是（ ）
A．9＜AB＜19 B．5＜AB＜19 C．4＜AB＜12 D．2＜AB＜12
二、填空题
11．在△ABC中，∠A=40°，∠B=75°，则∠C= .
12．如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是 .
13．如图，在中，，，则 度.
14．如图，已知是的中线，，则与的数量关系是： ．
15．如图，在四边形ABCD中，AD＝AB，DC＝BC，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，E在AD上，F是AB延长线上一点，且DE＝BF，若G在AB上，且∠ECG＝60°，则DE、EG、BG之间的数量关系是 .
16．△ABC中，∠C=90°，AC=BC，分别过A、B向过C的直线CD作垂线，垂足分别为E、F，若AE=5，BF=3，则EF＝ ．
三、综合题
17．如图，点 B 为 AC 上一点，AD//CE，∠ADB = ∠CBE，BD = EB
求证：
（1）△ABD≌△CEB；
（2）AC = AD+ CE.
18．如图，在等边三角形ABC中，点D在线段AB上，点E在CD的延长线上，连接AE，AE=AC，AF平分∠EAB，交CE于点F，连接BF.
（1）求证：EF=BF；
（2）猜想∠AFC的度数，并说明理由.
19．已知：如图，点 在 的边 上，且 .
（1）求证： ；
（2）若 的平分线 交 于点 ， 交 于点 ，设 ， ，求 的长.
20．如图所示， ， ， ， 在一条直线上， ，过 ， 分别作 ， ，垂足分别为 ， ，且 .
（1） 与 全等吗？为什么？
（2）求证： .
21．如图1所示，在 中， ，点D是线段 延长线上一点，且 ，点F是线段 上一点，连接 ，以 为斜边作等腰 ，连接 ， 满是条件 .
（1）若 ， ， ，求 的长度；
（2）求证： ；
（3）如图2，点F是线段 延长线上一点，其余条件与题干一致，探究 、 、 之间的数量关系，并证明你的结论.
22．小明遇到这样一个问题：已知：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 、 、 ，求△ABC的面积．
小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答：
（1）求图1中△ABC的面积；
（2）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．
利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为 、 、 的格点△DEF；
（3）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1），计算△DEF的面积是 ．
（4）如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，PRDE，连接EF．若PQ= ，PR= ，QR= ，则六边形AQRDEF的面积是 ．
23．如图
（1）如图，请证明∠A+∠B+∠C＝180°
（2）如图的图形我们把它称为“8字形”，请证明∠A+∠B＝∠C+∠D
（3）如图，E在DC的延长线上，AP平分∠BAD，CP平分∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D之间的关系，并证明
（4）如图，AB∥CD，PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，过点P作PM、PE交CD于M，交AB于E，则①∠1+∠2+∠3+∠4不变；②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变，选择正确的并给予证明.
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第1章 三角形的初步知识 单元突破卷
一、选择题
1．下列判断正确的是（ ）
A．有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．腰相等的两个等腰三角形全等
C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等
D．有一个锐角对应相等的两个直角三角形全等
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：有一条直角边对应相等的两个直角三角形，只知道一边和一角相等，不能判定全等，A不符合题意；
腰相等的两个等腰三角形，只知道两边相等，不能判定全等，B不符合题意；
斜边相等的两个等腰直角三角形，知道三个角和一个边全等，可以通过角角边或角边角判定全等，C符合题意；
D、有一个锐角对应相等的两个直角三角形，只知道三个角相等，不能判定全等，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可。
2．一副三角尺如图摆放，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
由题意得： ， ， ，
，
.
故答案为：B.
【分析】对图形进行字母标注，由∠CBD=∠ABC-∠ABD算出∠CBD的度数，进而根据三角形外角性质，由 =∠CBD+∠C即可算出答案.
3．下列长度(单位cm)的线段不能组成三角形的是（ ）
A．3，3，3 B．3，5，5 C．3，4，5 D．3，5，8
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵3+3＞3，∴能组成三角形，故A不符合题意；
B、∵3+5＞5，∴能组成三角形，故B不符合题意；
C、∵3+4＞5，∴能组成三角形，故C不符合题意；
D、∵3+5=8，∴不能组成三角形，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据三角形三边关系逐项进行判断，即可得出答案.
4．如图，铅笔放置在的边上，笔尖方向为点A到点B，把铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后，笔尖的方向变为点B到点A，这种变化说明（ ）
A．三角形两边的和大于第三边
B．三角形两边的差小于第三边的
C．三角形三个内角的和等于
D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后，
∴三次旋转的角度为，
∵笔尖方向由点A到点B变为点B到点A，
∴旋转角度之和为，
即．
故答案为：C．
【分析】利用旋转的性质可得三次旋转的角度为，再利用三角形的内角和求出即可．
5．已知点，，点在轴上，且三角形的面积为，则点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】线段上的两点间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：由题意可得：
设点P坐标为（x，0）
则，OA=2
，即
解得：x=-3或x=7
则点p坐标为：或
故答案为：D
【分析】设点P坐标为（x，0），则，OA=2，根据三角形面积公式即可求出答案.
6．在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】①∵∠A+∠B+∠C=180°，，∴2∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，∴①符合题意；
②∵∠A+∠B+∠C=180°，，∴∠C=，∴△ABC是直角三角形，∴②符合题意；
③∵，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°-（∠A+∠B）=90°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，∴③符合题意；
④∵∠A+∠B+∠C=180°，，∴∠B=∠A+∠C，∴∠B=90°，∴△ABC是直角三角形，∴④符合题意；
综上，符合条件的结论是①②③④，共4个，
故答案为：D.
【分析】利用三角形的内角和的计算方法逐项分析判断即可.
7．小明把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵△DEF与△ABC是一幅直角三角尺
∴∠D=30°，∠E=90°，∠F=60°，∠A=∠B=45°，∠C=90°
∵∠1=∠D+∠3，∠2=∠E+∠6
∴∠1+∠2=∠D+∠3+∠E+∠6
∵∠3=∠4，∠5=∠6
∴∠3+∠6=∠4+∠5=180°-∠C=90°
∴∠1+∠2=∠D+∠E+∠3+∠6=30°+90°+90°=210°
故答案为：C
【分析】本题考查三角形外角的性质和三角形内角和定理，由∠1=∠D+∠3，∠2=∠E+∠6，可得出∠1+∠2=∠D+∠3+∠E+∠6，由△DEF与△ABC是一幅直角三角尺可得出∠D=30°，∠E=90°，∠F=60°，∠A=∠B=45°，∠C=90°，由对顶角相等可知∠3=∠4，∠5=∠6，所以∠3+∠6=∠4+∠5=180°-∠C=90°代入∠1+∠2=∠D+∠3+∠E+∠6即可得出答案.
8．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，AC＝5，BC－AB＝2，则△ADC面积的最大值为（ ）
A．2 B．2.5 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长CD、BA，交于点G，过G作GH⊥AC，交CA的延长线于点H，
∴∠GHA=90°，
∵BD平分∠ABC，BD⊥CD，
∴∠DBG=∠DBC，∠BDG=∠BDC=90°，
在△BDG和△BDC中，
，
∴△BDG≌△BDC（ASA），
∴BC=BG，CD=DG，
∴，
又∵∠GHA=90°，AC=5，
∴，
∴，
∵BC-AB=2，
∴BG-AB=AG=2，
∵GH≤AG，即GH≤2，
∴当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH=AG=2，此时GH达到最大，
∴则GH的最大值为2，
∴△ADC的最大面积为：，
故答案为：B．
【分析】延长CD、BA，交于点G，过G作GH⊥AC，交CA的延长线于点H，得∠GHA=90°，接下来根据角平分线、垂直的定义得∠DBG=∠DBC，∠BDG=∠BDC=90°，从而利用全等三角形判定定理“ASA”证明△BDG≌△BDC，根据全等三角形对应边相等得BC=BG，CD=DG，接下来利用中线的性质得，从而利用三角形面积公式得，要求△ADC的最大面积，即求GH的最大值，在中，GH≤2，进而有当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH=AG=2，此时GH达到最大，最大值为GH=2，即可求出△ACD的最大面积．
9．如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE，CF和EF，则下列结论，一定成立的个数是（ ）
①△CDF≌△EBC；②△CEF是等边三角形；③∠CDF＝∠EAF；④CE∥DF
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】在 中， ， ， ，
∵ 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，故①符合题意；
在 中，设AE交CD于O，AE交DF于K，如图：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故③符合题意；
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，故②符合题意；
则 ，
若 时，
则 ，
∵ ，
∴ ，
则C、F、A三点共线
已知中没有给出C、F、A三点共线，故④不符合题意；
综上所述，正确的结论有①②③．
故答案为：C．
【分析】利用“边角边”证明△CDF≌△EBC，即可判断①正确；同理求出△CDF≌△EAF，根据全等三角形对应边相等可得CE=CF=EF，判定△CEF是等边三角形，判定②正确；利用“8字型”判定③正确，若CE//DF，则点C、F、A三点共线，故④不符合题意，即可得到答案。
10．△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是（ ）
A．9＜AB＜19 B．5＜AB＜19 C．4＜AB＜12 D．2＜AB＜12
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】如图：延长AD到E使DE=AD，连接BE，
∵D是BC的中点，
∴CD=BD，
在△ACD和△EBD中， ，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC=EB=5，
∵AD=7，
∴AE=14，
由三角形的三边关系为：14-5＜AB＜14+5，
即9＜AB＜19．
故答案为：A．
【分析】如图，延长AD到E使DE=AD，连接BE，通过证明△ACD≌△EBD就可以得出BE=AC，在△AEB中，由三角形的三边关系就可以得出结论．
二、填空题
11．在△ABC中，∠A=40°，∠B=75°，则∠C= .
【答案】65°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A=40°，∠B=75°，
∴
故答案为：65°.
【分析】根据三角形内角和定理，计算即可求解.
12．如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是 .
【答案】三角形具有稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是三角形具有稳定性.
故答案为：三角形具有稳定性.
【分析】根据三角形具有稳定性作答即可.
13．如图，在中，，，则 度.
【答案】80
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD=∠A+∠B，
∴∠A=110°-30°=80°.
故答案为：80.
【分析】利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，可求出∠A的度数.
14．如图，已知是的中线，，则与的数量关系是： ．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图所示，延长至点，使得，连接，
是的中线，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，，，
，，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：．
【分析】延长至点，使得，连接，先利用“SAS”证出，可得，，再利用角的运算和等量代换求出，再利用“SAS”证出，可得，从而得证.
15．如图，在四边形ABCD中，AD＝AB，DC＝BC，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，E在AD上，F是AB延长线上一点，且DE＝BF，若G在AB上，且∠ECG＝60°，则DE、EG、BG之间的数量关系是 .
【答案】DE+BG＝EG
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：猜想DE、EG、BG之间的数量关系为：DE+BG＝EG.理由如下：
连接AC，如图所示，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BCA＝∠DCA＝ ∠DCB＝ ×120°＝60°，
又∵∠ECG＝60°，
∴∠DCE＝∠ACG，∠ACE＝∠BCG，
∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠DCB＝360°，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，
∴∠D+∠ABC＝360°﹣60°﹣120°＝180°，
又∵∠CBF+∠ABC＝180°，
∴∠D＝∠CBF，
在△CDE和△CBF中，
，
∴△CDE≌△CBF（SAS），
∴CE＝CF，∠DCE＝∠BCF，
∴∠BCG+∠BCF＝∠ACE+∠DCE＝60°，即∠FCG＝60°，
∴∠ECG＝∠FCG，
在△CEG和△CFG中，
，
∴△CEG≌△CFG（SAS），
∴EG＝FG，
又∵DE＝BF，FG＝BF+BG，
∴DE+BG＝EG.
故答案为：DE+BG＝EG.
【分析】连接AC，易证△ABC≌△ADC，得到∠BCA的度数，进而求出∠D+∠ABC的度数，证明△CDE≌△CBF，得到CE＝CF，∠DCE＝∠BCF，推出∠ECG＝∠FCG，进而证明△CEG≌△CFG，得到EG＝FG，据此解答.
16．△ABC中，∠C=90°，AC=BC，分别过A、B向过C的直线CD作垂线，垂足分别为E、F，若AE=5，BF=3，则EF＝ ．
【答案】8或2
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠BCF=∠EAC
∴△BFC≌△CEA，
∴CF=AE=5
CE=BF=3
①∴EF=CF+CE=5+3=8．
②EF=CF-CE=5-3=2
故答案为：8或2.
【分析】认真画出图形，找出一组全等三角形即可，利用全等三角形的对应边相等可得答案．
三、综合题
17．如图，点 B 为 AC 上一点，AD//CE，∠ADB = ∠CBE，BD = EB
求证：
（1）△ABD≌△CEB；
（2）AC = AD+ CE.
【答案】（1）证明：∵AD//CE，
∴∠A=∠C，
又∠ADB =
∠CBE，BD = EB
∴△ABD≌△CEB（AAS）
（2）证明：∵△ABD≌△CEB
∴AD=CB，AB=CE
∴AC
= AB+ BC= CE+AD，
即AC = AD+
CE
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，内错角相等得出∠A=∠C，从而由AAS判断出△ABD≌△CEB ；
（2）根据全等三角形的对应边相等得出 AD=CB，AB=CE ，进而根据线段的和差及等量代换得出AC = AD+ CE .
18．如图，在等边三角形ABC中，点D在线段AB上，点E在CD的延长线上，连接AE，AE=AC，AF平分∠EAB，交CE于点F，连接BF.
（1）求证：EF=BF；
（2）猜想∠AFC的度数，并说明理由.
【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°.
∵AE=AC，
∴AE=AB.
∵AF平分∠EAB，
∴∠EAF=∠BAF.
∵AE=AB，∠EAF=∠BAF，AF=AF，
∴△AEF≌△ABF（SAS），
∴EF=BF.
（2）解：∠AFC=60°.理由如下：
∵△AEF≌△ABF，
∴∠E=∠FBA，∠EFA=∠BFA.
∵AE=AC，
∴∠E=∠ACE，
∴∠FBA=∠ACE.
∵∠FDB=∠ADC，
∴∠BFD=∠BAC=60°.
∵∠EFA=180°－∠DFA，
∴60°+∠DFA=180°－∠DFA，
∴∠DFA=60°，
即∠AFC=60°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据SAS证明△AEF≌△ABF，根据全等三角形对应边相等即可得出结论；（2）根据全等三角形对应角相等，得到∠E=∠FBA，∠EFA=∠BFA.根据等边对等角得到∠E=∠ACE，等量代换得到∠FBA=∠ACE，根据三角形内角和为180°得到∠BFD=∠BAC=60°.根据60°+∠DFA=180°－∠DFA变形即可得到结论.
19．已知：如图，点 在 的边 上，且 .
（1）求证： ；
（2）若 的平分线 交 于点 ， 交 于点 ，设 ， ，求 的长.
【答案】（1）证明：在 中， ，
在 中， ，
∵ ， ，
∴
（2）解：∵ ，∴ ，
又 ，∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，∵ ， ，
∴
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）在三角形ABE与三角形ABC中，由一对公共角相等，以及已知角相等，利用内角和定理即可得证；（2）由FD与BC平行，得到一对同位角相等，再由第一问的结论等量代换得到一对角相等，根据AF为角平分线得到一对角相等，再由AF=AF，利用ASA得到三角形ABE与三角形ADF全等，利用全等三角形对应边相等得到AB=AD，由AC-AD求出DC的长即可.
20．如图所示， ， ， ， 在一条直线上， ，过 ， 分别作 ， ，垂足分别为 ， ，且 .
（1） 与 全等吗？为什么？
（2）求证： .
【答案】（1）解： 与 全等，
理由如下：
， ，
，
，
，即 ，
在 和 中， ，
；
（2）证明： ，
，
在 和 中， ，
，
∴EG＝FG..
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由垂直的定义得出∠AFB=∠CED=90°，证出AF=CE，由HL证明Rt△ABF≌Rt△CDE即可；（2）由全等三角形的性质得出BF=DE，证明△DEG≌△BFG（AAS），即可得出EG=FG.
21．如图1所示，在 中， ，点D是线段 延长线上一点，且 ，点F是线段 上一点，连接 ，以 为斜边作等腰 ，连接 ， 满是条件 .
（1）若 ， ， ，求 的长度；
（2）求证： ；
（3）如图2，点F是线段 延长线上一点，其余条件与题干一致，探究 、 、 之间的数量关系，并证明你的结论.
【答案】（1）解：在等腰直角三角形DEF中，∠DEF=90°，
∵∠1=20°，
∴∠2=∠DEF ∠1=70°，
∵∠EDA+∠2+∠3=180°，
∴∠3=60°，
∵EA⊥AB，
∴∠EAB=90°，
∵∠3+∠EAB+∠4=180°，
∴∠4=30°，
∵∠C=90°，
∴AB=2BC=4；
（2）证明：如图1，过D作DM⊥AE于M，
在△DEM中，∠2+∠5=90°，
∵∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠5，
∵DE=FE，
在△DEM与△EFA中，
，
∴△DEM≌△EFA，
∴AF=EM，
∵∠4+∠B=90°，
∵∠3+∠EAB+∠4=180°，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠3=∠B，
在△DAM与△ABC中，
，
∴△DAM≌△ABC，
∴BC=AM，
∴AE=EM+AM=AF+BC；
（3）解：如图2，过D作DM⊥AE交AE的延长线于M，
∵∠C=90°，
∴∠1+∠B=90°，
∵∠2+∠MAB+∠1=180°，∠MAB=90°，
∴∠2+∠1=90°，∠2=∠B，
在△ADM与△BAC中，
，
∴△ADM≌△BAC，
∴BC=AM，
∵EF=DE，∠DEF=90°，
∵∠3+∠DEF+∠4=180°，
∴∠3+∠4=90°，
∵∠3+∠5=90°，
∴∠4=∠5，
在△MED与△AFE中，
，
∴△MED≌△AFE，
∴ME=AF，
∴AE+AF=AE+ME=AM=BC，
即AE+AF=BC．
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）在等腰直角三角形DEF中，∠DEF=90°，求得∠1=20°，根据余角的定义得出∠2=∠DEF ∠1=70°，根据三角形的内角和得出∠3=60°，∠4=30°，根据∠C=90°，即可得出答案；
（2）如图1，过D作DM⊥AE于M，在△DEM中，∠2+∠5=90°，由于∠2+∠1=90°，推出∠1=∠5，证得△DEM≌△EFA，根据全等三角形的性质得出AF=EM，根据三角形的内角和与余角的定义得出∠3=∠B，推出△DAM≌△ABC，根据全等三角形的性质得出BC=AM，即可得出结论；
（3）如图2，过D作DM⊥AE交AE的延长线于M，根据余角的定义和三角形的内角和得出∠2=∠B，证得△ADM≌△BAC，由全等三角形的性质得出BC=AM，由于EF=DE，∠DEF=90°，推出∠4=∠5，证得△MED≌△AFE，根据全等三角形的性质得出ME=AF，即可得出结论。
22．小明遇到这样一个问题：已知：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 、 、 ，求△ABC的面积．
小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答：
（1）求图1中△ABC的面积；
（2）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．
利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为 、 、 的格点△DEF；
（3）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1），计算△DEF的面积是 ．
（4）如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，PRDE，连接EF．若PQ= ，PR= ，QR= ，则六边形AQRDEF的面积是 ．
【答案】（1）解：△ABC的面积为：3×3-
参考小明解决问题的方法，完成下列问题：
（2）
（3）8
（4）31
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）△ABC的面积=33-13-21-32=
（2）答案如图所示：
（3）△DEF的面积为：4×5- ；
（4）六边形AQRDEF的面积=正方形PQAF的面积+正方形PRDE的面积+2△PQR的面积=
【分析】（1）根据做差法求出三角形的面积即可；
（2）利用构图法作出图形即可；
（3）同理，根据做差法求出三角形的面积；
（4）根据题意，六边形的面积根据求和法求出。
23．如图
（1）如图，请证明∠A+∠B+∠C＝180°
（2）如图的图形我们把它称为“8字形”，请证明∠A+∠B＝∠C+∠D
（3）如图，E在DC的延长线上，AP平分∠BAD，CP平分∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D之间的关系，并证明
（4）如图，AB∥CD，PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，过点P作PM、PE交CD于M，交AB于E，则①∠1+∠2+∠3+∠4不变；②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变，选择正确的并给予证明.
【答案】（1）证明：如图1，延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∵BA∥CE，
∴∠B＝∠1，
∠A＝∠2，
又∵∠BCD＝∠BCA+∠2+∠1＝180°，
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°；
（2）证明：如图2，在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，
在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
（3）解：如图3，
∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵（∠1+∠2）+∠B＝（180°﹣2∠3）+∠D，
∠2+∠P＝（180°﹣∠3）+∠D，
∴2∠P＝180°+∠D+∠B，
∴∠P＝90°+ （∠B+∠D）；
（4）解：②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变正确.
理由如下：
作PQ∥AB，如图4，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
由AB∥PQ得∠APQ+∠3+∠4＝180°，即∠APQ＝180°﹣∠3﹣∠4，
由PQ∥CD得∠5＝∠2，
∵∠APQ+∠5+∠1＝90°，
∴180°﹣∠3﹣∠4+∠2+∠1＝90°，
∴∠3+∠4﹣∠1﹣∠2＝90°.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）延长BC到D，过点C作CE∥BA，根据两直线平行，同位角相等可得∠B＝∠1，两直线平行，内错角相等可得∠A＝∠2，再根据平角的定义列式整理即可得证；（2）根据三角形内角和定理即可证明；（3）根据（2）的结论∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，∠PAD+∠P＝∠D+∠PCD，然后整理即可得解；（4）作PQ∥AB，根据平行线性质得到PQ∥CD，则∠APQ＝180°﹣∠3﹣∠4，∠5＝∠2，由于∠APQ+∠5+∠1＝90°，则180°﹣∠3﹣∠4+∠2+∠1＝90°，整理得到∠3+∠4﹣∠1﹣∠2＝90°.
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