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第2章 特殊三角形 单元过关卷
一、选择题
1．一个企业的logo（标志）代表着一种精神，一种企业文化，以下是深圳市四个公司的logo，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若一个等腰三角形的两边长分别为3和7，则该三角形的周长可能是（ ）
A．17 B．13 C．13或17 D．15
3．如图，在已知的中，按以下步骤作图：
①分别以，为圆心，以大于的一半长为半径作弧，两弧相交于两点，；
②作直线交于点，连接．
若，，则 （ ）
A． B． C． D．
4．小明从家走到邮局用了分钟，然后右转弯用同样的速度走了分钟到达书店如图所示已知书店距离邮局米，那么小明家距离书店（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一
B．有两个角相等的等腰三角形是等边三角形
C．有一个角是60°的三角形是等边三角形
D．顶角与底角相等的等腰三角形是等边三角形
6． 已知直角三角形两边的长分别为和，则此三角形的周长为（ ）
A． B． C．或 D．
7．如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
8．小李同学在学习“2.7探索勾股定理”时发现，公式 中的 、 、 可以看成以 、 、 为边的正方形面积，利用面积之间的等量关系 ，验证了勾股定理，他对这个发现进一步进行思考，如果分别以这三边向外构造等边三角形、等腰直角三角形、等腰三角形（ 、 、 为底）、半圆，其中不满足 这个关系的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，已知： ，点 、 、 在射线ON上，点 、 、 在射线OM上， 、 、 均为等边三角形，若 ，则 的边长为（ ）
A．2017 B．2018 C． D．
10．如图，在 中， ， 为斜边 的中点， 在 内绕点 转动，分别交边 ， 于点 ， （点 不与点 ， 重合），下列说法正确的是（ ）
① ；② ；③
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
11．如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯水平方向的长度AB与右边滑梯的高度DE相等.若右边滑梯与地面的夹角∠DFE＝55°，则∠ABC的度数为 °.
12．命题“如果a＞0，b＞0，那么ab＞0”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
13．如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘，点E在上，．一名滑雪爱好者从A点滑到E点时，他滑行的最短路程约为 （取3）．
14．如图所示，有一圆柱，其高为，它的底面半径为，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想得到上面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为 .（取3）
15．如图，，点C是边上的一个定点，点P在角的另一边上运动，当是等腰三角形， °.
16．如图知： 垂足分别是MN，点C是MN 上使AC＋BC的值最小的点，若AM＝3，BN＝5，MN＝15，则AC＋BC＝ .
三、综合题
17．如图，在 中， ， 于点 ， 平分 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
18．在平面直角坐标系中，点 ， ，点C是x轴负半轴上的一动点，连接BC，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，交y轴于点E．
（1）如图（1），若 ，求点E的坐标；
（2）如图（2），若 ，连接DO，求证：DO平分 ；
（3）若 ， ，过O作 于G， ，则 的面积为 ．
19．如图，在 中， ， ， ，垂足为 ，且 ， ，其两边分别交 ， 于点 ， ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）若 ，求 的长；
（3）求证： ．
20．某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线 同旁有两个定点A、B，在直线 上存在点P，使得PA十PB的值最小.解法：如图1，作点A关于直线 的对称点A'，连接A'B， 则A'B与直线 的交点即为P，且PA＋PB的最小值为A'B.
请利用上述模型解决下列问题；
（1）如图2，ΔABC中，∠C=90°，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，作出点P，使得PA＋PE的值最小；
（2）如图3，∠AOB=30°，M、N分别为OA、OB上一动点，若OP=5，求ΔPMN的周长的最小值.
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=8，BC=6，E，F分别是直线AC，AB上的动点，连结EF.
（1）求CD的长.
（2）若点E在边AC上，且3AE=2CE，EF⊥AC，求证：CF平分∠ACD.
（3）是否存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等 若不存在，请说明理由；若存在，求出所有符合条件的DF的长.
22．定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做对顶三角形．如图1，在 OAB与 OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD．
（1）如图1， OAB与 OCD是对顶三角形，且A，O，C三点共线请判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）如图2， OAB与 OCD是对顶三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AC，BD，试探究线段AC，BD之间的关系，并说明理由．
（3）如图3， OAB与 OCD是对顶三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AD，BC，取AD的中点E，连接EO并延长交BC于点F，延长OE至点G，使EG=OE，连接AG，求证：EF⊥BC．
23．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC＋CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时AC＋CE的值最小？求出最小值．
（3）根据（2）中的结论，请构图求出代数式的最小值．
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第2章 特殊三角形 单元过关卷
一、选择题
1．一个企业的logo（标志）代表着一种精神，一种企业文化，以下是深圳市四个公司的logo，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项B中可以找到对称轴，左右对折后，折线左右两边的部分可以完成重合，折线所在直线即对称轴.
选项ACD都找不到这样的对称轴.
故答案为：B．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重台，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据轴对称的定义即可解答．
2．若一个等腰三角形的两边长分别为3和7，则该三角形的周长可能是（ ）
A．17 B．13 C．13或17 D．15
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当3是腰时，3＋3＜7，不符合三角形三边关系，故舍去；
当7是腰时，7＋3>7，符合三角形三边关系，
周长＝7＋7＋3＝17.
故它的周长为17.
故答案为：A.
【分析】分3为腰、3为底，根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系判断是否能构成三角形，进而求出周长.
3．如图，在已知的中，按以下步骤作图：
①分别以，为圆心，以大于的一半长为半径作弧，两弧相交于两点，；
②作直线交于点，连接．
若，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵直线MN为线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：C.
【分析】由题意可知：直线MN为线段BC的垂直平分线，进而得到BD=CD，由等边对等角得然后根据等腰三角形的性质求出∠ADC和∠ACD的度数，最后根据三角形外角的性质即可求出∠BCD的度数，进而即可求解.
4．小明从家走到邮局用了分钟，然后右转弯用同样的速度走了分钟到达书店如图所示已知书店距离邮局米，那么小明家距离书店（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：速度=660÷6=110米/分钟
小明家到邮局距离=110×8=880米
由勾股定理小明家距离书店=
故答案为：B.
【分析】由题先求出速度，在求出两直角边距离。最后由勾股定理求解。
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一
B．有两个角相等的等腰三角形是等边三角形
C．有一个角是60°的三角形是等边三角形
D．顶角与底角相等的等腰三角形是等边三角形
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、等腰三角形底边上的高、中线、角平分线三线合一，则本项不符合题意；
B、有三个角相等的等腰三角形是等边三角形，则本项不符合题意；
C、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 ，则本项不符合题意；
D、顶角与底角相等的等腰三角形是等边三角形 ，则本项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据等边三角形的判定、等腰三角形的三线合一逐项判断即可.
6． 已知直角三角形两边的长分别为和，则此三角形的周长为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：设三角形的第三边的长为x，
①当4为直角边时，，
∴三角形的周长为：3+4+5=12；
②当4为斜边长时，
∴三角形的周长为：3+4+=7+；
综上所述： 三角形的周长为12或7+；
故答案为：C.
【分析】分类讨论，利用勾股定理计算求解即可。
7．如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，过E作EF⊥AD于F，
∴BE=EF，AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确，
综上：①②④正确，
故答案为：A
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得BE=EF，AE=AE，利用HL证明Rt△AEF≌Rt△AEB，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；由线段中点的定义可证得EC＝EF＝BE，可对③作出判断；利用HL证明Rt△EFD≌Rt△ECD，利用全等三角形的性质可得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，可对②作出判断；同时可推出AD＝AB＋DC，可对④作出判断；然后求出∠AED的度数，可对①作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
8．小李同学在学习“2.7探索勾股定理”时发现，公式 中的 、 、 可以看成以 、 、 为边的正方形面积，利用面积之间的等量关系 ，验证了勾股定理，他对这个发现进一步进行思考，如果分别以这三边向外构造等边三角形、等腰直角三角形、等腰三角形（ 、 、 为底）、半圆，其中不满足 这个关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，三角形ABC是等边三角形，BD是AC上的高，
∴ ，
∴ ，
∴
A、∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，故A选项不符合题意；
B、 ， ， ，
∵ ，
∴ ，故B选项不符合题意；
C、∵等腰三角形的面积=底×高，设面积为 的三角形AB边上的高为 ，设面积为 的三角形BC边上的高为 ，设面积为 的三角形AC边上的高为 ，
∴ ， ， ，
∵无法确定 ， ， 的值，
∴不能得到 ，故C选项符合题意；
D、 ， ， ，
∵ ，
∴ ，故D选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】对于A中的图形，易得S1=AB2，S2=BC2，S3=AC2，由勾股定理可得AB2+BC2=AC2，据此判断；对于B中的图形，可得S1=AB2，S2=BC2，S3=AC2，由勾股定理可得AB2+BC2=AC2，据此判断；对于C中的图形，设面积为S1、S2、S3的三角形AB、BC、AC边上的高分别为h1、h2、h3，则S1=AB·h1，S2=BC·h2，S3=AC·h3 ，据此判断；对于D中的图形，易得S1=πAB2，S2=πBC2，S3=πAC2，由勾股定理可得AB2+BC2=AC2，据此判断.
9．如图，已知： ，点 、 、 在射线ON上，点 、 、 在射线OM上， 、 、 均为等边三角形，若 ，则 的边长为（ ）
A．2017 B．2018 C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
、 是等边三角形，
， ，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
当 时，
，
故答案为：C.
【分析】此题考查了等边三角形性质，直角三角形性质，图形、数字规律问题，由等边三角形性质与直角三角形性质，找三角形边的关系，然后通过观察分析，找出规律，再按规律求解即可.
10．如图，在 中， ， 为斜边 的中点， 在 内绕点 转动，分别交边 ， 于点 ， （点 不与点 ， 重合），下列说法正确的是（ ）
① ；② ；③
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：①∵ ，
∴△ 是等腰直角三角形
∴∠
∵点D是AB的中点，
∴ ，∠
∵∠
∴∠
∴∠
在△ 和△ 中
∴△
∴
∴△ 是等腰直角三角形
∴∠ ，故①正确；
②∵∠
∴∠
∴∠
在△ 与△ 中
∴△
∴
∵
∴ ，故②正确；
③∵△ 是等腰直角三角形，
∴
∵当 时， 最短，
∴
∴
即 ，故③错误；
∴综上，正确的是①②，
故答案为：A.
【分析】①根据ASA证△ ，可得，△ 是等腰直角三角形，即得∠ ；②根据SAS证△ ，可得，在Rt△CEF中，根据勾股定理得 ，从而得出；③利用等腰直角三角形的性质得出，当 时， 最短，可得，继而可得，据此判断即可.
二、填空题
11．如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯水平方向的长度AB与右边滑梯的高度DE相等.若右边滑梯与地面的夹角∠DFE＝55°，则∠ABC的度数为 °.
【答案】35
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠ACB＝∠DFE＝55°，
∵∠ABC+∠BCA＝90°，
∴∠ABC＝90°-55°＝35°.
故答案为：35.
【分析】首先利用HL判断Rt△ABC≌Rt△DEF，根据全等三角形的对应角相等得∠ACB＝∠DFE＝55°，进而根据直角三角形两锐角互余即可算出答案.
12．命题“如果a＞0，b＞0，那么ab＞0”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
【答案】假
【知识点】有理数的乘法法则；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：逆命题是：如果ab>0，则a>0，b>0，
∵当ab>0，也可得出a<0，b<0，
∴是假命题.
故答案为：假.
【分析】先找出原命题的条件和结论，再根据逆命题和原命题关系写出逆命题；根据条件列举一个反例，即可作出判断.
13．如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘，点E在上，．一名滑雪爱好者从A点滑到E点时，他滑行的最短路程约为 （取3）．
【答案】15
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：将半圆面展开可得，如图所示：
∵滑行部分的斜面是半径为3的半圆
∴，
∵， ，
∴，
在中，
．
故答案为：15．
【分析】将立体几何转化为平面几何，再利用勾股定理求出AE的长即可。
14．如图所示，有一圆柱，其高为，它的底面半径为，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想得到上面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为 .（取3）
【答案】10
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，将圆柱的侧面展开，得到长方形，连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离，其中C，B分别是，的中点.
∵，，
∴，
∴，
故答案为：10.
【分析】将圆柱的侧面展开，得到长方形ADFE，连接AB，则线段AB的长就是蚂蚁爬行的最短距离，其中C，B分别是AE、DF的中点，根据底面圆的周长等于侧面长方形的长可得DF的值，由中点的概念可得DB，然后利用勾股定理计算即可.
15．如图，，点C是边上的一个定点，点P在角的另一边上运动，当是等腰三角形， °.
【答案】40或70或55
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
①当时，
∴
∴.
②当时，
；
③当时，
；
综上所述，的度数为或或.
故答案为：40或70或55.
【分析】分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的性质分别求解即可.
16．如图知： 垂足分别是MN，点C是MN 上使AC＋BC的值最小的点，若AM＝3，BN＝5，MN＝15，则AC＋BC＝ .
【答案】17
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A点关于直线MN的对称点A′，连接A′B交MN于C，
则AC＋BC＝A′C＋BC＝A′B，A′B就是AC＋BC的最小值；
延长BN使ND＝A′M，连接A′D，
∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴AA′∥BD，
∴四边形A′DNM是矩形，
∴ND＝AM＝3，A′D＝MN＝15，
∴BD＝BN＋ND＝5＋3＝8，
∴A′B＝152＋82＝172，
∴AC＋BC＝17，
故答案为17.
【分析】以MN为轴作A点对称点A′，连接A′B交MN于C，则A′B就是AC＋BC最小值；根据勾股定理求得A′B的长，即可求得AC＋BC的最小值.
三、综合题
17．如图，在 中， ， 于点 ， 平分 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ， ．
∴ 中， ，
∴ 中， ，
∴ ．
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线的定义及在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半进行作答即可。
18．在平面直角坐标系中，点 ， ，点C是x轴负半轴上的一动点，连接BC，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，交y轴于点E．
（1）如图（1），若 ，求点E的坐标；
（2）如图（2），若 ，连接DO，求证：DO平分 ；
（3）若 ， ，过O作 于G， ，则 的面积为 ．
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴OA=OB， ∠AOE=∠BOC=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°， ∠ACD+∠EAO=90， ∠AEO+∠EAO=90，
∴∠ACD=∠AEO
∴
∴
∴ ．
（2）证明：作 于H， 于Q．
∵
∴
∴
∴
OD平分
（3）
【知识点】三角形的面积；角平分线的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】（3）
∴ ，∠BCO=∠AEO=30° ，
∵
∴
∴
∴
中，
∴
∴
∴
中，
∴
．
【分析】（1）证明△BOC与△AOE全等，根据全等三角形的性质得到OE=OC=2，得到点E的坐标；（2）作OG⊥BC于G，OH⊥AE于H，根据全等三角形的对应高相等得到OG=OH，根据角平分线的判定定理证明结论；（3）由 ，计算出BG长，再由三角形的面积公式计算面积．
19．如图，在 中， ， ， ，垂足为 ，且 ， ，其两边分别交 ， 于点 ， ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）若 ，求 的长；
（3）求证： ．
【答案】（1）证明： ， ，
，
， ，
， 是等边三角形．
（2）解： 是等边三角形，
，
， ，
，即 ；
（3）证明： 是等三角形，
， ，
， ，
即 ．
在 和 中，
， ， ，
，
，
， ．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）连接BD由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD＝∠DAC＝ ×120°＝60°，再由AD＝AB，即可得出结论；（2）由等边三角形三线合一可得， ，可得 ，即可求解；（3）由△ABD是等边三角形，得出BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，证出∠BDE＝∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出AF＝BE，即可求解．
20．某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线 同旁有两个定点A、B，在直线 上存在点P，使得PA十PB的值最小.解法：如图1，作点A关于直线 的对称点A'，连接A'B， 则A'B与直线 的交点即为P，且PA＋PB的最小值为A'B.
请利用上述模型解决下列问题；
（1）如图2，ΔABC中，∠C=90°，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，作出点P，使得PA＋PE的值最小；
（2）如图3，∠AOB=30°，M、N分别为OA、OB上一动点，若OP=5，求ΔPMN的周长的最小值.
【答案】（1）解：作点A关于直线BC的对称点 ，连接 ，交BC于P，
如图所示，点P即为所求；
（2）解：作点P关于直线OA的对称点 ，作点这P关于直线OB的对称点 ，连接 ，分别交OA、OB于M、N，如图：
根据“将军饮马问题”得到ΔPMN的周长的最小值为 ，
由轴对称的性质得：∠FOA=∠AOP，∠POB=∠GOB，OP=OF，OP=OG，
∵∠AOP+∠POB=∠AOB=30 ，OP= 5，
∴∠FOG=∠FOA+∠AOP+∠POB+∠GOB=2 ，OF=OG=5，
∴△FOG为边长为5的等边三角形，
，
答：ΔPMN的周长的最小值为 .
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1） 作点A关于直线BC的对称点 ，连接 ，交BC于P， 则点P即为所求；
（2） 作点P关于直线OA的对称点 ，作点这P关于直线OB的对称点 ，连接 ，分别交OA、OB于M、N，根据“将军饮马问题”得到ΔPMN的周长的最小值为 ， 利用等边三角形的判定与性质求出FG即可.
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=8，BC=6，E，F分别是直线AC，AB上的动点，连结EF.
（1）求CD的长.
（2）若点E在边AC上，且3AE=2CE，EF⊥AC，求证：CF平分∠ACD.
（3）是否存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等 若不存在，请说明理由；若存在，求出所有符合条件的DF的长.
【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴.
∵CD⊥AB于点D，
∴，
∴ 10CD=6×8，即.
（2）解：如图1，∵3AE=2CE，AC=8，，
∴，即CE=CD.
∵CD⊥AB，EF⊥AC，
∴∠CDF=∠CEF=90°.
∵CF=CF，
∴△CEF≌△CDF(HL)，
∴∠ECF=∠DCF，
∴CF平分∠ACD.
（3）解：存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等.
由题意，以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等，
CF是公共边，有四种情形：
①如图2，若点E，F在线段AC，AD上.
当CE=CD，∠CDF=∠CEF=90°时，
∵CF=CF，∴△CEF≌△CDF，
∴，.
∵EF=FD，EF2+AE2=AF2，
②如图3，若点E，F在射线AC，AB上.
同①可得△CEF≌△CDF，
③如图4，若点E在线段AC上，点在线段BD上.
当时，
，
，
④如图5，若点E在射线CA上，点在射线BA上.
当时，
，此时，
综上，所有符合条件的DF的长是.
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得的长，再利用三角形的面积公式直接求解即可.
（2）先证明，再根据全等三角形的判定证明即可证明.
（3）分4种情况求解：①若点E，F在线段上；②若点E，F在射线上；③若点E在线段上，点F在线段上；④若点E在射线上，点F在射线上．
22．定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做对顶三角形．如图1，在 OAB与 OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD．
（1）如图1， OAB与 OCD是对顶三角形，且A，O，C三点共线请判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）如图2， OAB与 OCD是对顶三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AC，BD，试探究线段AC，BD之间的关系，并说明理由．
（3）如图3， OAB与 OCD是对顶三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AD，BC，取AD的中点E，连接EO并延长交BC于点F，延长OE至点G，使EG=OE，连接AG，求证：EF⊥BC．
【答案】（1）解： ．
理由：∵ 与 是对顶三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，且 ．
理由：∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
设AC，BD相交于点M，则 ，
∴ ，
综上所述， ，且 ；
（3）证明：∵E为AD的中点，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据“ 对顶三角形 ”可得，，，利用三角形的内角和求出∠OAB、∠OCD的度数，从而得出∠OAB=∠OCD，根据平行线的判定即证；
（2）证明，可得，，然后利用三角形的内角和求出， 设AC，BD相交于点M，利用三角形外角的性质可得 ，即得结论；
（3）先证，再证，可得 ，由 ，可得 ，从而求出，据此即得结论.
23．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC＋CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时AC＋CE的值最小？求出最小值．
（3）根据（2）中的结论，请构图求出代数式的最小值．
【答案】（1）解：∵BD＝8，CD＝x，
∴BC=8-x，
∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴，
∵AB＝5，DE＝1，
∴；
（2）解：如图，连接AE交BD于点C1，
∵AC+CE≥AE，
∴当点A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，最小值为AE的长，
过点E作EG⊥AB交AB延长线于点G，
∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴BD∥EG，AB∥DE，
∴四边形BDEG是平行四边形，
∵∠BDE＝90°，
∴平行四边形BDEG是矩形，
∴BG=ED=1，EG=BD=8，
∵AB=5，
∴AG=AB+BG=6，
∴，
∴当点A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，最小值为10；
（3）解：如图，作BD=24，过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，使AB=3，DE=4，连接AE交BD于点C，设BC=x，则AE的长即为代数式的最小值，
过点A作AF⊥ED交ED延长线于点F，
同（2）可得四边形AFDB是矩形，
∴AF=BD=24，DF=AB=3，
∴EF=7，
∴．
即代数式的最小值为25．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AC和CE的长，再利用线段的和差求出即可；
（2）连接AE交BD于点C1，先证明平行四边形BDEG是矩形，可得BG=ED=1，EG=BD=8，再利用线段的和差求出AG的长，最后利用勾股定理求出AE的长即可；
（3）作BD=24，过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，使AB=3，DE=4，连接AE交BD于点C，设BC=x，则AE的长即为代数式的最小值，过点A作AF⊥ED交ED延长线于点F，再利用勾股定理求出AE的长即可。
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