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第1章 二次函数 单元复习培优卷
一、选择题
1．将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象先向右移动2个单位，向下平移3个单位，得到的图象对应的表达式是（ ）
A．y＝（x+2）2+4 B．y＝（x﹣3）2﹣1
C．y＝（x﹣3）2+5 D．y＝（x+1）2+5
2．若函数是关于x的二次函数，则m的值是（ ）
A．2 B．-1或3 C．3 D．-1±
3．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知二次函数的图象如图所示，则它的表达式可能是（ ）
A．y＝－4(x－m)2－m2－2 B．y＝－(x＋a)(x－a＋1)
C．y＝－x2－(a＋3)x＋(－a) D．y＝ax2－bx＋b－a
5．如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y=，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ）
A．2m B．6m C．8m D．10m
6．已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知二次函数的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为3，则的值为（ ）
A． B．或 C．或 D．
8．在下列函数图象上任取不同的两点P（x1， y1）， Q（x2， y2）， 一定能使的是（ ）
A．y=（x>0） B．y=-（x-2）2+5（x≥0）
C．y=（x-3）2-4（x<0） D．y=3x+7
9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，与x轴有个交点（-1，0），下列结论中：①abc>0；②b
0；④2c<3b；⑤a+b>m（am+b）（其中：m≠1）．正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．将抛物线在x轴上方的部分记为，在x轴上及其下方的部分记为，将沿x轴向下翻折得到，和两部分组成的图象记为M．若直线与M恰有2个交点，则m的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C． D．或
二、填空题
11．在二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如下表：
1
0
则当时的取值范围为 ．
12．函数图象的对称轴是 .
13．如图，利用135°的墙角修建一个四边形ABCD的花坛，使得AD∥BC，∠C＝90°，如果新建围墙折线B-C-D总长15米，那么当CD＝ 米时，花坛的面积会达到最大.
14．某商场经营一种文具，进价为20元/件，当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件.那么该文具定价为 元时每天的最大销售利润最大.
15．抛物线与x轴交点，的坐标记为、，将部分的抛物线记为；将抛物线绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点，……，如此进行下去，若在其中某段抛物线上，则 ．
16．已知关于实数x的代数式 有最大值，则实数x的值为 时，代数式取得最大值4.
三、综合题
17．已知关于x的二次函数 ，其图像经过点(1，8).
（1）求k的值.
（2）求出函数图象的顶点坐标.
18．已知抛物线y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）的顶点在y轴右侧.
（1）求该抛物线的对称轴（用含a的代数式表示）；
（2）试说明无论a为何值.该抛物线一定经过一个定点，并求出这个定点的坐标；
（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围.
19．某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计.这个图案由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长 ，直角三角形较短边长 ，且 ，大正方形的面积为 .
（1）求 关于 的函数关系式.
（2）若小正方形边长不大于3，当大正方形面积最大时，求 的值.
20．蔗糖是决定杨梅果实中糖度的主要成分，某果农种植东魁杨梅，5月26日检测到杨梅果实中的蔗糖含量为，从5月27日开始到6月1日，测量出蔗糖含量数据，并根据这些数据建立蔗糖含量变化率（蔗糖含量变化率=当天的蔗糖含量-上一天的蔗糖含量/上一天的蔗糖含量）与生长天数 表示5月26日）的函数关系是： . 根据这一函数模型解决下列问题：
（1）这种杨梅果实中蔗糖含量增长最快的是哪一天？请说明理由.
（2）求出这种杨梅果实中蔗糖含量在哪一天最高；
（3）当蔗糖含量最高时，杨梅口感最好，计划用6天时间采摘完这批杨梅，请给这位果农提出采摘日期的合理化建议.
21．如图，抛物线与轴相交于，两点点在点的左侧，顶点为，连接．
（1）直接写出点的坐标 用含的式子表示；
（2）求点的坐标；
（3）以为边，在边的右下方作正方形，设点的坐标为．
当时，求点的坐标；
当时，直接写出点的坐标；
直接写出关于的函数解析式及自变量的取值范围．
22．在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ，将点 向右平移 个单位长度，得到点 ，点 在抛物线上。
（1）求点 的坐标 用含 的式子表示 ；
（2）
求抛物线的对称轴；
（3）已知点P( ， )， ，若抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数图象，求 的取值范围．
23．同学们，我们所认识的抛物线还可以这样定义：把平面内到一个定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.其中，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.例如函数 的焦点F为（0，2），准线方程l为y＝－2
（1）若点P（4，n）在抛物线 上，请验证点P到焦点F和准线l的距离相等.
（2）已知函数 ，直接写出该函数的焦点坐标和准线方程.
（3）在（2）的条件下，过焦点F的任意直线交抛物线于点M，N，分别过点M，N 作准线的垂线，垂足分别为P，Q，判断△FPQ的形状并说明理由.
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第1章 二次函数 单元复习培优卷
一、选择题
1．将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象先向右移动2个单位，向下平移3个单位，得到的图象对应的表达式是（ ）
A．y＝（x+2）2+4 B．y＝（x﹣3）2﹣1
C．y＝（x﹣3）2+5 D．y＝（x+1）2+5
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2），
向右平移2个单位，再向下平移3个单位后的图象的顶点坐标为（3，﹣1），
所以，所得图象的解析式为y＝（x﹣3）2﹣1.
故答案为：B.
【分析】找出原抛物线的顶点坐标，然后根据点的坐标的平移规律：左减右加，上加下减得出平移后新抛物线的顶点坐标，进而根据平移不会改变抛物线的开口方向及开口大小，即二次项系数不会改变从而即可得出平移后抛物线的解析式.
2．若函数是关于x的二次函数，则m的值是（ ）
A．2 B．-1或3 C．3 D．-1±
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵ 函数是关于x的二次函数，
∴，
∴m=3.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的定义得出，解方程和不等式，即可得出m的值.
3．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解A、此函数不是二次函数，故A不符合题意；
B、此函数不是二次函数，故B不符合题意；
C、此函数是二次函数，故C符合题意；
D、此函数不是二次函数，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）则y是x的二次函数，再对各选项逐一判断.
4．已知二次函数的图象如图所示，则它的表达式可能是（ ）
A．y＝－4(x－m)2－m2－2 B．y＝－(x＋a)(x－a＋1)
C．y＝－x2－(a＋3)x＋(－a) D．y＝ax2－bx＋b－a
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：A、 y＝－4(x－m)2－m2－2 过点（m，－m2－2），－m2－2<0，顶点在x轴下方，不符合题意；
B、 在y＝－(x＋a)(x－a＋1) 中，令y=0，得x=－a或x=a-1. ∴对称轴为x =不符合题意；
C、在 y＝－x2－(a＋3)x＋(－a) 中， 开口向下，当x=0时，y=－a，当x=1时，y=-4－a，若a<0时，则满足题意；
D、∵y＝ax2－bx＋b－a =（ax-b+a）（x-1），∴x=1时，y=0，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数图象与系数的关系进行一 一判断即可.
5．如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y=，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ）
A．2m B．6m C．8m D．10m
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，
∴令y=0，则=0，
整理得：x2-8x-20=0，
解得：x1=10，x2=-2（舍去），
∴该同学此次投掷实心球的成绩为10m，
故答案为：D．
【分析】将y=0代入，可得x2-8x-20=0，再求出x的值即可。
6．已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由题意可得：关于x的一元二次方程的解就是抛物线与直线y=t的交点的横坐标
∵抛物线的对称轴为直线
∴，解得：m=4
∴抛物线的解析式为：
当x=1时，y=-1+4=3
当x=5时，y=-25+20=-5
由图象可知关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解
直线y=t在直线y=-5和直线y=4之间，包括y=4
∴
故答案为：D
【分析】关于x的一元二次方程的解就是抛物线与直线y=t的交点的横坐标，结合函数图象即可求出答案.
7．已知二次函数的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为3，则的值为（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与轴最多有一个公共点，
∴
化简得
解得：，
∵，
∵，抛物线开口向上，
当时，
∵，y随m增大而增大，
∴时y值最小，此时最小值为
∵的最小值为3，
∴
解得：；
当时，
当时，y有最小值
∵的最小值为3，
∴
此时t无解；
当时，
∵，y随m增大而减小，
∴ ，y值最小，此时最小值为
∵的最小值为3，
∴
解得（舍去）；
综上，若的最小值为3，则．
故答案为：D．
【分析】先求出，再分类讨论：①当时，②当时，③当时，再分别结合“的最小值为3”列出方程求出t的值即可.
8．在下列函数图象上任取不同的两点P（x1， y1）， Q（x2， y2）， 一定能使的是（ ）
A．y=（x>0） B．y=-（x-2）2+5（x≥0）
C．y=（x-3）2-4（x<0） D．y=3x+7
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：A、∵y＝（x＞0），
∴x＞0时，y随x的增大而增大，
∴当x2＞x1时，必有y2＞y1，
即x2-x1＞0时，y2-y1＞0，
此时＞0，
∴A选项不符合题意；
B、∵y＝-（x-2）2+5的对称轴为直线x＝2，抛物线开口向下，
∴当0≤x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时y随x的增大而减小，
∴0≤x＜2时，若x2＞x1，必有y2＞y1，
即x2-x1＞0时，y2-y1＞0，
此时＞0，
∴B选项不符合题意；
C、∵y＝（x-3）2-4的对称轴为直线x＝3，抛物线开口向上，
∴0＜x＜3时，y随x的增大而减小，
∴当x2＞x1时，必有y2＜y1，
即x2-x1＞0时，y2-y1＜0，
此时＜0，
∴C选项符合题意；
D、∵y＝3x+7中，
∴y随x的增大而增大，
∴当x2＞x1时，必有y2＞y1，
即x2-x1＞0时，y2-y1＞0，
此时＞0，
∴A选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数图象的增（减）性，得出y＝（x＞0），x＞0时，y随x的增大而增大，从而得当x2＞x1时，必有y2＞y1，进而判断A选项即可；根据二次函数函数图象的顶点式可得抛物线的开口方向及对称轴，从而得出图象的增（减）性范围，进而判断B、C选项即可；根据一次函y＝3x+7可得函数图象的增（减）性，即y随x的增大而增大，从而得x2＞x1时，必有y2＞y1，进而判断D选项即可.
9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，与x轴有个交点（-1，0），下列结论中：①abc>0；②b0；④2c<3b；⑤a+b>m（am+b）（其中：m≠1）．正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0；
∵对称轴为直线x=1，在y轴的右侧，
∴a、b异号，
∴b>0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c>0，
∴abc<0，所以①不符合题意；
∵当x=-1时，则y=a-b+c=0，即a+c=b，所以②不符合题意；
∴对称轴为直线x=1，
∴x=2时图象在x轴上方，
∴y=4a+2b+c>0，所以③符合题意；
∵x=-=1，
∴a=-b，
又a-b+c=0，
∴-b-b+c=0，
∴2c=3b，所以④不符合题意；
∵抛物线开口向下，
∴当x=1，y有最大值a+b+c；当x=m（m≠1）时，y=am2+bm+c，
∴a+b+c>am2+bm+c，即a+b>m（am+b）（m≠1），所以⑤符合题意．
∴正确的结论是③⑤，共2个
故答案为：A．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
10．将抛物线在x轴上方的部分记为，在x轴上及其下方的部分记为，将沿x轴向下翻折得到，和两部分组成的图象记为M．若直线与M恰有2个交点，则m的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C． D．或
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：如图所示，实线部分即为M的图像，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线的顶点D的坐标为（2，-6），
由函数图象可知，当或时，直线y=m与M恰有2个交点，
故答案为：B．
【分析】根据题意先画出函数图象，再求出抛物线的顶点D（2，-6），由图象可知抛物线与x轴有两个交点，与直线y=2下方的直线有两个交点，据此即得结论.
二、填空题
11．在二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如下表：
1
0
则当时的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由表中数据可知的值为和1时，
∴二次函数的对称轴为，
当时，y有最大值0，开口向下，
∴当时，y有最小值，
故答案为：．
【分析】根据二次函数的对称性可知该二次函数的对称轴为，结合表格中所给数据可得．
12．函数图象的对称轴是 .
【答案】x＝－2
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y=-x -4x+1，
∴抛物线对称轴为直线x==-2．
故答案为：x=-2.
【分析】根据二次函数对称轴为直线x=，代入即可求出.
13．如图，利用135°的墙角修建一个四边形ABCD的花坛，使得AD∥BC，∠C＝90°，如果新建围墙折线B-C-D总长15米，那么当CD＝ 米时，花坛的面积会达到最大.
【答案】5
【知识点】二次函数的最值；矩形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图：
过点A作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，∠DAE＝∠AEB＝90°，
则∠BAE＝∠BAD-∠EAD＝45°，
设DC＝AE＝xm，
在Rt△AEB中，
又∵∠AEB＝90°，
∴∠B＝45°，
∴AE＝BE＝xm，
∴AD＝CE＝（15-2x）m，
∴梯形ABCD面积S＝（AD+BC） CD＝（15-2x+15-x） x＝-x2+15x＝-（x-5）2+，
∴当x＝5时，S最大＝.
也就是当CD长为5m时，才能使储料场的面积最大，
故答案为：5.
【分析】过点A作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，∠DAE＝∠AEB＝90°，进而根据∠BAE＝∠BAD-∠EAD算出∠BAE的度数，设DC＝AE＝xm，根据等腰直角三角形的性质得AE＝BE＝xm，根据矩形的性质得AD＝CE＝（15-2x）m，然后根据矩形面积的计算方法建立函数关系，进而根据二次函数的性质即可得出答案.
14．某商场经营一种文具，进价为20元/件，当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件.那么该文具定价为 元时每天的最大销售利润最大.
【答案】35
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设该文具定价为x元，每天的利润为y元，
根据题意得：y＝（x-20）[250-10（x-25）]
＝（x-20）（-10x+500）
＝-10x2+700x-10000
＝-10（x-35）2+2250，
∵-10＜0，
∴当x＝35时，y最大，最大值为2250.
故答案为：35.
【分析】设该文具定价为x元，每天的利润为y元，由题意可得每件的利润为(x-20)元，每天的销售量为250-10(x-25)，然后根据每件的利润×销售量=总利润可得y与x的关系式，再结合二次函数的性质进行解答即可.
15．抛物线与x轴交点，的坐标记为、，将部分的抛物线记为；将抛物线绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点，……，如此进行下去，若在其中某段抛物线上，则 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由方程，可得，所以，则，
将抛物线绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点，……，如此进行下去，
可得，
因为，
所以在上，抛物线的解析式为，
当时，，即．
故答案为：．
【分析】根据题意，把二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程求得，再利用中心对称的性质得到，进而判断在上，利用交点式得出的解析式为，然后把代入计算即可得到m的值．
16．已知关于实数x的代数式 有最大值，则实数x的值为 时，代数式取得最大值4.
【答案】 或-
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：令y=x2(4-x2)
整理得y=4x2-x4=-(x2-2)2+4,
∴当x2=2时，y的最大值4，
即x=，y的最大值4.
故答案为： .
【分析】令y=x2(4-x2)，将原式整理后配方，利用二次函数的性质求出结论即可.
三、综合题
17．已知关于x的二次函数 ，其图像经过点(1，8).
（1）求k的值.
（2）求出函数图象的顶点坐标.
【答案】（1）解：把(1，8)代入二次函数 得：
解得：k=5
（2）解：把k=5代入二次函数得：
化简
∴二次函数得顶点坐标为(-2，-1)
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将(1，8)代入二次函数解析式即可求出k；（2）将二次函数解析式配方成顶点式，即可得出顶点坐标.
18．已知抛物线y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）的顶点在y轴右侧.
（1）求该抛物线的对称轴（用含a的代数式表示）；
（2）试说明无论a为何值.该抛物线一定经过一个定点，并求出这个定点的坐标；
（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围.
【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线.
（2）解：∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a＝﹣[x2﹣（a﹣1）x﹣a]＝﹣（x+1）（x﹣a），
∴该抛物线一定经过定点（﹣1，0）
（3）解：∵二次函数图象顶点在y轴右侧，
∴ ，
∴a＞1，
设二次函数图象与x轴交点分别为C，D，C在D左侧，
令y＝0，则﹣（x+1）（x﹣a）＝0，
∴x＝﹣1或a，
∴C（﹣1，0），D（a，0），
∴CD＝a+1，
∵点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，
∴A在CD上方，
∵过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，如图，
∴CD≤3，
∴a+1≤3，
∴a≤2，
∴1＜a≤2.
备注：a的范围还可以详述为：
由题意得：a＞1，
由n＞0得：﹣1＜m＜a，
则2＜m+3＜a+3，
∵抛物线和x＝m+3的交点在x轴的下方，
故m+3＞a，
即当m+3＞2时，都有m+3＞a成立，
故a≤2，
故1＜a≤2.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据对称轴方程x=就可求出抛物线的对称轴；
（2）抛物线解析式可变形为y＝-(x+1)(x-a)，令x=-1，求出y的值，据此可得经过的定点的坐标；
（3）由二次函数图象顶点在y轴右侧可得a＞1，易得C（-1，0），D（a，0），则CD＝a+1，由题意可得CD≤3，据此可求出a的范围.
19．某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计.这个图案由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长 ，直角三角形较短边长 ，且 ，大正方形的面积为 .
（1）求 关于 的函数关系式.
（2）若小正方形边长不大于3，当大正方形面积最大时，求 的值.
【答案】（1）解： 小正方形的边长 ，直角三角形较短边长 ，
直角三角形较长边长为 ，
由勾股定理得： ，
，
，
.
，
.
关于 的函数关系式为 .
（2）解： ，
时， 随 的增大而增大，
时， 取最大.
【知识点】勾股定理；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】 （1）分别用m和n表示出直角三角形的两条直角边长，再根据n＝2m 4将n换成m，然后用勾股定理得出S的表达式并求得m的取值范围即可；
（2）将（1）中二次函数的表达式配方，根据二次函数的性质及m的取值范围可得答案．
20．蔗糖是决定杨梅果实中糖度的主要成分，某果农种植东魁杨梅，5月26日检测到杨梅果实中的蔗糖含量为，从5月27日开始到6月1日，测量出蔗糖含量数据，并根据这些数据建立蔗糖含量变化率（蔗糖含量变化率=当天的蔗糖含量-上一天的蔗糖含量/上一天的蔗糖含量）与生长天数 表示5月26日）的函数关系是： . 根据这一函数模型解决下列问题：
（1）这种杨梅果实中蔗糖含量增长最快的是哪一天？请说明理由.
（2）求出这种杨梅果实中蔗糖含量在哪一天最高；
（3）当蔗糖含量最高时，杨梅口感最好，计划用6天时间采摘完这批杨梅，请给这位果农提出采摘日期的合理化建议.
【答案】（1）解：∵y＝ 0.0021x2＋0.063x 0.21＝ 0.0021（x 15）2＋0.2625，
∴在第15天，即6月10日，这种杨梅果实中蔗糖含量增长最快；
（2）解：当蔗糖含量比前一天增加时，y>0，当蔗糖含量比前一天减少时，y<0。
所以先要求使y=0时对应的x的值
当y=0时，-0.0021x2+0.063x-0.21=0，
整理得：x2-30x+100=0，
解这个方程得：x1=15-5，x2=15+526.18
因为x是整数，x=26时，y>0，蔗糖含量比第25天增加；
当x=27时，y<0，蔗糖含量比第26天减少；
所以这种杨梅果实中蔗糖含量从增加到减少的临界时间是第26天，即6月21日.
（3）解：根据（2），当x26时，随着时间增加，蔗糖含量增加，
大约当x=26时，杨梅果实中蔗糖含量最高，
当x27时，蔗糖含量随着时间的增加而降低.
根据二次函数的性质，当x>26时，比x=23离对称轴x=15远，
所以，当x>26时，含糖量降低的速度比x=23时上升的速度快
所以，在第23，24，25，26，27，28天（即6月18日——6月23日）采摘可以保证蔗糖含量高，口感好，建议在这几天采摘
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1） 将y＝ 0.0021x2＋0.063x 0.21化为顶点式，即可求解；
（2）求出y=0时x值，即可求解；
（3） 由（2）知，当x26时，随着时间增加，蔗糖含量增加，大约当x=26时，杨梅果实中蔗糖含量最高，根据二次函数的性质，当x>26时，比x=23离对称轴x=15远，所以，当x>26时，含糖量降低的速度比x=23时上升的速度快，据此即可求解.
21．如图，抛物线与轴相交于，两点点在点的左侧，顶点为，连接．
（1）直接写出点的坐标 用含的式子表示；
（2）求点的坐标；
（3）以为边，在边的右下方作正方形，设点的坐标为．
当时，求点的坐标；
当时，直接写出点的坐标；
直接写出关于的函数解析式及自变量的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：在中，令得：，
，
，解得或，
而点在点的左侧，
；
（3）解：过作轴平行线交轴于，过作于，如图：
，；
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
≌，
，，
，，
；
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（3）过作轴平行线交轴于，过作于，如图：
，；
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
≌，
，，
，，
；
过作轴平行线交轴于，过作于，如图：
，；
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
≌，
，，
的坐标为，
，，
，
在边的右下方作正方形，
，
答：．
【分析】(1)直接根据抛物线解析式y=a(x+2)2-9a顶点为C，可得C(-2，-9a).
(2)令y=0得a(x+2)2-9a=0，即可得B(1，0).
(3)①过C作y轴平行线交x轴于F，过D作DG⊥CF于G，根据C(-2，-9a)，B(1，0)可得BF=OB+OF=3，由∠ABC=30°得CF=BF tan30°=，由四边形BCDE是正方形，可得△BFC≌△CGD(AAS)，从而得BF=CG=3，CF=DG=，从而求得D(-2，-3-).
②过C作y轴平行线交x轴于F，过D作DG⊥CF于G，同①的方法可得D(1，-6).
③过C作y轴平行线交x轴于F，过D作DG.⊥CF于G，利用C(-2，-9a)，B(1，0)和△BFC≌△CGD(AAS)可得CG=BF=3，DG=CF=9a，由D的坐标为(m，n)，可得m=-9a-3，n=-2+9a，消去a得m+n=-5，n=-5-m，又在BC边的右下方作正方形BCDE，故m>-2.
22．在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ，将点 向右平移 个单位长度，得到点 ，点 在抛物线上。
（1）求点 的坐标 用含 的式子表示 ；
（2）
求抛物线的对称轴；
（3）已知点P( ， )， ，若抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数图象，求 的取值范围．
【答案】（1）解：
点 向右平移2个单位长度，得到点 ；
（2）A与B关于对称轴直线 对称，
抛物线对称轴直线 ；
（3）∵对称轴直线 ，
，
，
时， 如图 ，
当x=2时，，
当y= 时，= ，
解得x=0或2，
观察图象可知，线段PQ与抛物线无交点；
②若a<0时，
当y=2时，2= ，
解得：x=或，
如图，
当≤2时，
观察函数图象可知：a≤时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，
综上，a的取值范围是：a≤.
【知识点】一次函数图象与几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】(1)根据坐标平移的特点，即上加下减，左减右加，求B点坐标即可；
(2)由于A、B两点的纵坐标相等，根据中点坐标公式可得抛物线的对称轴表达式；
(3)根据对称轴直线x=-1，求出a与b的关系式，则可得出 ， 然后分两种情况讨论，即 时， 时，先分别画出图象的草图，用数形结合的方法分析求解即可.
23．同学们，我们所认识的抛物线还可以这样定义：把平面内到一个定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.其中，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.例如函数 的焦点F为（0，2），准线方程l为y＝－2
（1）若点P（4，n）在抛物线 上，请验证点P到焦点F和准线l的距离相等.
（2）已知函数 ，直接写出该函数的焦点坐标和准线方程.
（3）在（2）的条件下，过焦点F的任意直线交抛物线于点M，N，分别过点M，N 作准线的垂线，垂足分别为P，Q，判断△FPQ的形状并说明理由.
【答案】（1）解：当 时，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴点P到准线l的距离是4
点P到焦点F和准线l的距离相等
（2）解：
∴抛物线向右平移了 个单位，向上平移 个单位.
∴焦点 ，准线方程
（3）解：如图，
根据抛物线的新定义可知：
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴
∴ 是直角三角形.
【知识点】二次函数图象的几何变换；平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将x=4代入函数解析式中求出n的值，利用两点间距离公式求出PF，得到点P到准线l的距离，据此解答；
（2）将函数解析式化为顶点式，进而可得焦点坐标以及准线方程；
（3）根据抛物线的新定义可得：FM=MP，NQ=CN，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠MFP、∠NFQ，由平行线的性质可得∠PMF+∠QNF=180°，然后求出∠MFP+∠NFQ的度数，据此判断.
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