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第3章 一元一次不等式
题型1.不等式的概念及意义 1
题型2.利用不等式的性质判断式子的正负 2
题型3.不等式与方程组综合求参数的取值范围 3
题型4.一元一次不等式的整数解问题 4
题型5.根据含参数不等式解集的情况求参数 5
题型6.由不等式组的解集求参数 6
题型7.由不等式组的整数解求字母的取值范围 7
题型8.不等式组与方程的综合 9
题型9.利用一元一次不等式解决实际问题 11
题型10.利用一元一次不等式组解决实际问题 13
专项训练 16
题型1.不等式的概念及意义
1.（23-24八年级·浙江·月考）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x＋30y≥500”表示的实际意义是( )
A．两种客车总的载客量不少于500人 B．两种客车总的载客量不超过500人
C．两种客车总的载客量不足500人 D．两种客车总的载客量恰好等于500人
2.（23-24八年级·河北邯郸·期中）式子①x-y=2，②xy，③x+y，④x-3y，⑤ x≥0，⑥x3中，属于不等式的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3，（2024八年级·浙江·专题练习）用不等式表示“x的平方与a的平方之差不是正数”为 ．
题型2.利用不等式的性质判断式子的正负
1.（23-24八年级·四川眉山·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2.（23-24八年级·河南漯河·期中）下列四个不等式：（）；（）；（）；（）中，能推出的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3.（23-24八年级·湖南长沙·期中）有P、Q、R、S四个人去公园玩跷跷板，依据下面的示意图，则这四个人中最重的是 ．
题型3.不等式与方程组综合求参数的取值范围
1.（23-24八年级·江苏扬州·期末）若是关于的方程的解，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
2.（23-24八年级·山东·期中）关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ．
3.（23-24八年级·北京·期中）若关于的二元一次方程组的解满足，求的最小整数解．
题型4.一元一次不等式的整数解问题
1.（23-24八年级·江苏南通·期中）若关于x的不等式的最小整数解是，则实数的值可能是（ ）
A． B． C． D．
2,（23-24八年级·贵州黔西·期末）若不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
3.（23-24八年级·浙江杭州·期中）已知关于的不等式有且只有个负整数解，则的取值范围是 ．
题型5.根据含参数不等式解集的情况求参数
1.（23-24八年级·广西贵港·阶段练习）关于的不等式的解集如图所示，则的取值是（ ）
A．0 B． C． D．
2.（23-24八年级·福建福州·期中）若不等式的解集为，则的取值范围是 ．
3.（23-24八年级·北京·期中）若关于的不等式的每一个解都能使成立，则的取值范围是 ．
题型6.由不等式组的解集求参数
1.（23-24八年级·上海嘉定·期中）若不等式组无解，则m的取值范围是 ．
2.（23-24八年级·江苏盐城·阶段练习）若关于的不等式组的解集是，那么的值为 ．
3.（23-24八年级·安徽合肥·期中）已知关于x的不等式组有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.（23-24八年级·山东菏泽·期中）若关于 x 的不等式组的解集为，则 n 的值为 ．
题型7.由不等式组的整数解求字母的取值范围
1.（2024·江苏南通·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2.（23-24八年级·安徽合肥·期中）关于x的不等式组的整数解仅有2，3，4，则a的取值范围 ，b的取值范围是 ．
3.（23-24八年级·陕西西安·期末）若关于x的不等式有且仅有3个整数解，则实数a的取值范围为______．
4.（23-24八年级·四川宜宾·期末）若关于x的不等式组所有整数解的和为9，则整数m的值为 ．
题型8.不等式组与方程的综合
1.（23-24八年级·湖北恩施·期末）如果关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的和为（ ）
A． B． C． D．
2.（23-24八年级·重庆铜梁·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的解集为；且关于y的方程有正整数解，则所有满足条件的m的整数值之和是 ．
3.（23-24八年级·浙江·期末）若数a使关于x的方程有非负数解，且关于y的不等式恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A． B． C． D．
4.（23-24八年级·重庆万州·期末）若关于x的不等式组无解，且关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．12 B．7 C．5 D．3
题型9.利用一元一次不等式解决实际问题
1.（23-24八年级·浙江·期末）我市某水果生产基地，用名工人进行采摘或加工水果，每名工人只能做其中一项工作．采摘的工人每人可以采摘水果千克；加工罐头的工人每人可加工千克．加工水果数量不能多于采摘数量．设有名工人进行水果采摘．水果的销售方式有两种：一种是可以直接出售；另一种是可以将采摘的水果加工成罐头出售．直接出售每吨获利元；加工成罐头出售每吨获利元．(1)①加工罐头的工人为 人，可以加工罐头 千克；（用含的式子表示）②采摘水果的工人至少多少人？(2)直接出售和加工成罐头出售的利润如表所示：
销售方式 直接出售 加工成罐头销售
利润（元/千克）
要使直接出售所获利润不超过总利润的，请问应如何分配工人？所获最大利润是多少？
2.（23-24八年级·陕西汉中·期末）骑行被称为黄金有氧运动，能让全身内脏器官得到锻炼，有益于心肺耐力，增强心肺功能．某商店老板销售一种自行车，这款自行车的进价为400元/辆，标价为720元/辆．活动期间要降价销售，他要以不低于进价40%的利润才能出售，商店老板每辆最多可以降价多少元？
3.（23-24八年级·浙江·期末）课间活动时，小英、小丽和小华在操场上一起玩投沙包游戏，沙包投到A区域所得分值与投到B区域所得分值不同，当每人各投沙包四次时，其落点和四次总分如图所示．
(1)请求出小华的四次总分；(2)如果小明在看完她们三个的投掷后也加入了这个游戏，并且最终赢得了胜利，请你说出小明投沙包的结果和所得分数．
题型10.利用一元一次不等式组解决实际问题
1.（23-24八年级·广东江门·开学考试）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售，两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题．
名称 种头盔 种头盔
批发价（元/个） 60 40
零售价（元/个） 80 50
(1)该商店第一次批发，两种头盔共120个，用去5600元钱，求，两种头盔各批发了多少个；
(2)该商店第二次仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），用去7200元钱，要求批发种头盔不高于76个，要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元，则该商店第二次有几种批发方案．
2.（23-24八年级·重庆·期末）又是一年端阳至，绿杨带雨垂垂重，五色新丝缠角粽，吃粽子是端午节的习俗．某糕点店推出的“鲜肉粽”和“蛋黄粽”深受顾客喜欢．已知3个“鲜肉粽”、2个“蛋黄粽”的售价之和为46元，5个“鲜肉粽”、1个“蛋黄粽”的售价之和为58元．
(1)求“鲜肉粽”和“蛋黄粽”的售价各是多少元？
(2)糕点店在今年端午节前夕，购进了3000个“鲜肉棕”，2500个“蛋黄粽”．适逢店庆，为答谢新老顾客，糕点店对两种粽子都展开了降价促销活动，其中“鲜肉粽”按售价打折（a为整数）出售，“蛋黄棕”每个让利元，且保证降价后“鲜肉棕”的售价低于“蛋黄粽”售价的1.5倍，最终两种粽子全部销售出去，且总销售额不低于39000元，求a的值．
3.（23-24八年级·重庆·开学考试）凯瑞商都某数码专营店销售甲、乙两种品牌智能手机，这两种手机的进价和售价如表所示：
甲 乙
进价（元/部） 4300 3600
售价（元/部） 4800 4200
(1)该店销售记录显示，三月份销售甲、乙两种手机共17部，且销售甲种手机的利润恰好是销售乙种手机利润的2倍，求该店三月份售出甲种手机和乙种手机各多少部？
(2)根据市场调研，该店四月份计划购进这两种手机共20部，要求购进乙种手机数不超过甲种手机数的而用于购买这两种手机的资金低于81500元，清通过计算设计所有可能的进货方案．
4.（23-24八年级·云南红河·期末）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地下和地上两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为1平方米和3平方米，物业经理经过市场调研发现如下信息：
地下充电桩数量/个 地上充电桩数量/个 总金额/万元
2 1 1
1 2
根据以上信息，解答下列问题：(1)该小区新建一个地下充电桩和一个地上充电桩各需多少万元？
(2)若小区计划用2万元资金在地下和地上都要新建充电桩，则共有几种建造方案？并列出所有方案；
(3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在（2）的前提下，要求地下和地上充电桩的总占地面积不得超过a平方米，且地下充电桩的数量大于2个，请求出满足条件的a的取值范围．
选择题（共10小题）
1．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江西南昌·二模）实数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示．若，则下列结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级·广东东莞·阶段练习）若不等式 有3个正整数解，则的取值范围是：（ ）
A． 6 B． C． D．
4．（23-24八年级·河南新乡·期中）方程组的解满足不等式，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24八年级·福建泉州·期中）已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年级·海南海口·期中）某程序的操作框图如图所示，规定：程序运行从“开始”到“结果是否”为一次操作．如果程序恰好操作了三次就停止，那么开始输入的x的取值情况是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24八年级·四川内江·期中）若整数a使关于x的方程的解为非负数，且使关于x的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5 B．6 C．9 D．10
8．（23-24八年级·福建福州·期中）已知a，b为非零实数，下面四个不等式组中，解集有可能为的是（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24八年级·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在数轴上，已知点，分别表示数1，，那么数轴上表示数的点应落在( )
A．点的左边 B．线段上 C．点的右边 D．数轴的任意位置
10．（23-24八年级·江西景德镇·期中）已知非负数 x，y，z 满足..，设 ，则 W 的最大值与最小值的和为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
11．（23-24八年级·山东烟台·期末）写出一个关于x的不等式，使，2都是它的解，这个不等式可以为
12．（23-24八年级·湖南长沙·期中）有P、Q、R、S四个人去公园玩跷跷板，依据下面的示意图，则这四个人中最重的是 ．
13．（23-24八年级·山东淄博·期末）若|2a﹣6|＞6﹣2a，则实数a的取值范围是 ．
14．（23-24八年级·江苏宿迁·期末）关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围 ．
15．（23-24八年级·湖北武汉·期末）已知关于x的不等式x﹣a＜0的最大整数解为3a+6，则a＝ ．
16．（23-24八年级·福建泉州·期中）已知，同时满足，，若，，且x只能取两个整数，则a的取值范围是 ．
三．解答题（共7小题）
17．（23-24八年级·四川达州·期末）（1）解不等式，，并把解集表示在数轴上．
（2）解不等式组，并写出它的整数解．
18．（23-24八年级·江苏苏州·期末）已知关于的方程．(1)若该方程的解满足，求的取值范围；(2)若该方程的解是不等式的的负整数解，求的值．
19．（23-24八年级·福建·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足．
(1)求k的取值范围；(2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请写出符合条件的k的整数值．
20．（23-24八年级·湖南衡阳·期末）已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“完美解”.
(1)已知①，②，则方程的解是不等式 （填序号）的“完美解”；
(2)若是方程组与不等式的一组“完美解”，求a的取值范围；
(3)若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围.
21．（23-24八年级·全国·期末）吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．“滨滨”是代表冰上运动的吉祥物，身穿冬季运动服，戴着红圈巾、蓝手套，脚穿冰刀在快乐地滑冰．滑单板的“妮妮”是代表冒上运动的吉祥物，身身中国民同传统毛领节庆红袄．某超市看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，售价每个16元“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元，售价每个18元．
(1)该超市在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求m，n的值．
(2)该超市决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，求有哪几种购买方案？
22．（23-24八年级·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，是边上的高，，，．点在高上，且．点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点运动时间为秒．
(1)求点整个运动过程共需多少秒？
(2)当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求的值；
(3)当的长大于点运动总路程的时，求的取值范围．
23．（23-24八年级·湖南株洲·期中）【阅读材料】：
材料一：对于实数，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．比如：；．
已知：；
材料二：“已知，均为非负数，且满足，求的范围”，有如下解法：
，，
，是非负数，即，，
，，．
【回答问题】：(1)求出，的值；(2)已知，均为非负数，，求的取值范围；
(3)已知，，都为非负数，，，求的最大值和最小值．
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第3章 一元一次不等式
题型1.不等式的概念及意义 1
题型2.利用不等式的性质判断式子的正负 2
题型3.不等式与方程组综合求参数的取值范围 3
题型4.一元一次不等式的整数解问题 4
题型5.根据含参数不等式解集的情况求参数 5
题型6.由不等式组的解集求参数 6
题型7.由不等式组的整数解求字母的取值范围 7
题型8.不等式组与方程的综合 9
题型9.利用一元一次不等式解决实际问题 11
题型10.利用一元一次不等式组解决实际问题 13
专项训练 16
题型1.不等式的概念及意义
1.（23-24八年级·浙江·月考）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x＋30y≥500”表示的实际意义是( )
A．两种客车总的载客量不少于500人 B．两种客车总的载客量不超过500人
C．两种客车总的载客量不足500人 D．两种客车总的载客量恰好等于500人
【答案】A
【分析】主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
【详解】不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是两种客车总的载客量不少于500人，故选A．
【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、≥、＜、≤、≠．
2.（23-24八年级·河北邯郸·期中）式子①x-y=2，②xy，③x+y，④x-3y，⑤ x≥0，⑥x3中，属于不等式的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据不等式的定义：表示不等关系的式子叫做不等式，可直接选出答案．
【详解】属于不等式的有：②⑤⑥．共3个
故选：B
【点睛】此题主要考查了不等式的定义,解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠．
3，（2024八年级·浙江·专题练习）用不等式表示“x的平方与a的平方之差不是正数”为 ．
【答案】
【分析】本题考查了列不等式，根据“x与a的平方差不是正数”，即“x与a的平方差小于等于0”即可．
【详解】解：x与a的平方差不是正数可表示为：故答案为：
题型2.利用不等式的性质判断式子的正负
1.（23-24八年级·四川眉山·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】本题主要考查了等式的基本性质，不等式的性质，熟练掌握等式的基本性质和不等式的基本性质是解题关键．根据等式的基本性质和不等式的基本性质逐一判断即可．
【详解】解：A、若，则，故该选项错误，不符合题意；
B、当时，等号两边同时除以无意义，故该选项错误，不符合题意；
C、若，则，故该选项错误，不符合题意；
D、若，则，故该选项正确，符合题意；故选：D．
2.（23-24八年级·河南漯河·期中）下列四个不等式：（）；（）；（）；（）中，能推出的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】（），所以，但大于还是小于，不能确定，即不能确定为正数，故不能得出，故错误；
（）因为，所以，但大于还是小于，不能确定，即不能确定出为负数，故不能得出，故错误；
（）因为，所以，即必为正数，故可得出，故正确；
（）中，不能得出 为负数，故不能得出，故错误；综上可得（）正确，故选：．
3.（23-24八年级·湖南长沙·期中）有P、Q、R、S四个人去公园玩跷跷板，依据下面的示意图，则这四个人中最重的是 ．
【答案】
【分析】根据跷跷板得到不等式或者等式，据此解答即可．
【详解】由图1可知：，由图2可知：，
∴，∴，
由图3可知：，∴，∴，
∴∴∴，所以最重，故答案为：．
【点睛】此题考查了杠杆和不等式的有关知识，利用跷跷板的不平衡来判断四个数的大小，体现了数形的结合的数学思维．
题型3.不等式与方程组综合求参数的取值范围
1.（23-24八年级·江苏扬州·期末）若是关于的方程的解，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将x=4代入方程，求出b=-4k＞0，求出k＜0，把b=-4k代入不等式，再求出不等式的解集即可．
【详解】解：∵x=4是关于x的方程kx+b=0（k≠0，b＞0）的解，∴4k+b=0，即b=-4k＞0，∴k＜0，
∵k（x-3）+2b＞0，∴kx-3k-8k＞0，∴kx＞11k，∴x＜11，故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和一元一次方程的解，能求出b=-4k和k＜0是解此题的关键．
2.（23-24八年级·山东·期中）关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次方程、解一元一次不等式及非负数的意义，根据题意得出不等式及熟练应用以上知识点是解题的关键．
解方程得出 ，由解是非负数列出不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】解：解得
关于的方程的解为非负数，
解得．故答案为：
3.（23-24八年级·北京·期中）若关于的二元一次方程组的解满足，求的最小整数解．
【答案】3
【分析】本题考查解二元一次方程组，求不等式的整数解，先求出方程组的解，根据解的情况列出不等式，求解即可．
【详解】解：解，得：，
∵，∴，∴，∴的最小整数解为：3．
题型4.一元一次不等式的整数解问题
1.（23-24八年级·江苏南通·期中）若关于x的不等式的最小整数解是，则实数的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，解不等式得出，根据不等式的最小整数解是即可确定的取值范围，继而得出结论．解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．
【详解】解：∵，解得：，
∵关于x的不等式的最小整数解是，∴，
∴，∴实数的值可能是．故选：C．
2,（23-24八年级·贵州黔西·期末）若不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】先按解一元一次不等式的步骤进行计算，求出该不等式的最小整数解为12，然后把x＝12代入方程中进行计算即可解答．
【详解】解：，
，，，，
该不等式的最小整数解为12，把代入方程中，
，，，故选：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3.（23-24八年级·浙江杭州·期中）已知关于的不等式有且只有个负整数解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据关于的一元一次不等式不等式的个负整数解只能是、、，求出的取值范围即可．此题主要考查了一元一次不等式的整数解，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．
【详解】解：，，，
∵不等式有个负整数解，∴，∴，故答案为：．
题型5.根据含参数不等式解集的情况求参数
1.（23-24八年级·广西贵港·阶段练习）关于的不等式的解集如图所示，则的取值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据数字可知该不等式的解集为，解不等式，得，易得，求解即可获得答案．
【详解】解：由数轴可得，该不等式的解集为，
解不等式，得，则有，解得，∴的值是．故选：D．
2.（23-24八年级·福建福州·期中）若不等式的解集为，则的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的基本性质求解即可，解题的关键是掌握不等式的基本性质．
【详解】解：关于的不等式的解集为，
∴，∴，故答案为：．
3.（23-24八年级·北京·期中）若关于的不等式的每一个解都能使成立，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查求不等式的解集，先求出每一个不等式的解集，再根据两个解集之间的关系，求出的取值范围即可．
【详解】解：∵，∴，∵，∴，
∵不等式的每一个解都能使成立，
∴，∴；故答案为：．
题型6.由不等式组的解集求参数
1.（23-24八年级·上海嘉定·期中）若不等式组无解，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据不等式组无实数解，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得出，求解即可．
【详解】解：∵不等式组无解，
∴，解得：，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了写出不等式组的解集，解一元一次不等式，解题的关键是掌握写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”．
2.（23-24八年级·江苏盐城·阶段练习）若关于的不等式组的解集是，那么的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先把、当作已知条件表示出的取值范围是解答此题的关键．先把、当作已知条件表示出的取值范围，再与已知不等式组的解集为相比较，求出、的值，代入代数式进行计算即可．
【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，
不等式组的解集为：，
不等式组的解集是， ，，
解得：，， ，故答案为：．
3.（23-24八年级·安徽合肥·期中）已知关于x的不等式组有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有解的情况得到关于m的不等式，即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，解不等式②得：，∴原不等式组的解集为，
∵原不等式组有解，∴，∴实数m的取值范围是．故选：A
4.（23-24八年级·山东菏泽·期中）若关于 x 的不等式组的解集为，则 n 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，分当时，当，即时，当，即时，三种情况根据不等式组的解集可知和中较大的数的值为进行求解即可．
【详解】解：当时，则，此时，
∴不等式组的解集为，不符合题意；
当，即时，∵不等式组的解集为，∴，∴（舍去）；
当，即时，∵不等式组的解集为，∴，∴；
综上所述，，故答案为：．
题型7.由不等式组的整数解求字母的取值范围
1.（2024·江苏南通·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值．
【详解】解：，解①得，解②得．则不等式组的解集是．
∵解集中至少有5个整数解∴整数解为：-1,0,1,2,3．∴．整数a的最小值是4．故选C．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键．
2.（23-24八年级·安徽合肥·期中）关于x的不等式组的整数解仅有2，3，4，则a的取值范围 ，b的取值范围是 ．
【答案】 ，
【分析】先求得每个不等式的解集，再根据题意得到关于a的不等式，然后求解即可．
【详解】解：解不等式组得，
∵不等式组的整数解仅有2，3，4，∴，，
解得，，故答案为：，．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组、解一元一次不等式，理解题意，正确得出关于a、b的不等式是解答的关键，注意边界值的取舍．
3.（23-24八年级·陕西西安·期末）若关于x的不等式有且仅有3个整数解，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【分析】解一元一次不等式组得，由不等式组有且只有3个整数解，可得实数a的取值范围．
【详解】解：由，得，即解得，
∵不等式组有且只有3个整数解，
∴，即，故答案为：
【点睛】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数．解题的关键在于正确的运算．
4.（23-24八年级·四川宜宾·期末）若关于x的不等式组所有整数解的和为9，则整数m的值为 ．
【答案】1或4/4或1
【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及整数解问题，先分别算出的解集为，再结合所有整数解的和为9，得出或者，然后列式计算，即可作答．
【详解】解：∵∴即
∵关于x的不等式组所有整数解的和为9
∴或者则或者
∴或故答案为：1或4
题型8.不等式组与方程的综合
1.（23-24八年级·湖北恩施·期末）如果关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，解方程得出，根据关于y的方程有非负整数解，得出，且为整数，由不等式组的解集得出，进而即可求解．
【详解】解：，解得：，
关于y的方程有非负整数解，，解得：，且为整数，
，整理得：，不等式组的解集为，，
，且为整数，，，
于是符合条件的所有整数a的值之和为：，故选：B．
3.（23-24八年级·重庆铜梁·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的解集为；且关于y的方程有正整数解，则所有满足条件的m的整数值之和是 ．
【答案】
【分析】化简一元一次不等式组，根据解集为得到m的取值范围；解关于y的方程，根据有正整数解，得到m的取值范围，最后求出所有符合条件的整数求和即可．
【详解】解不等式，得：，
∵关于x的一元一次不等式组的解集为∴，
方程去括号得：解得：，
∵关于y的方程有正整数解，∴，解得，
综上所述，
由有正整数解可得或或，
∴所有满足条件的m的整数值之和是，故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次方程的解、一元一次不等式组的解；熟练掌握一元一次方程方程的解法、一元一次不等式组的解法，对一元一次方程方程有正整数解的运用是解题的关键．
3,（23-24八年级·浙江·期末）若数a使关于x的方程有非负数解，且关于y的不等式恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】表示出关于x的方程的解，由方程有非负数解确定出a的值，表示出不等式组的解集，由不等式组恰好有两个偶数解，得到a的值相加即可．
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
当时，解得，
∵数a使关于x的方程解：有非负数解，∴，∴，
∵，由①得：，由②得：，解得，
由不等式组有解且恰好有两个偶数解，得到偶数解为2，0，
∴，解得，∴，
则满足题意a的值有，，
则符合条件的所有整数a的和是．故选：A．
【点睛】本题考查的是含参数的一元一次方程的解法，一元一次不等式组的解法，熟练的利用方程的解的含义与不等式组的整数解的个数求解参数的范围是解本题的关键．
4.（23-24八年级·重庆万州·期末）若关于x的不等式组无解，且关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．12 B．7 C．5 D．3
【答案】B
【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况，求参数的范围．根据不等式组无解，求出的取值范围，再根据方程的解为整数，确定整数的值，进而求和即可．
【详解】解：解，得：，
∵不等式组无解，∴；∵，∴，
∵方程的解为整数，∴∴
∴满足条件的所有整数a的和为．故选B．
题型9.利用一元一次不等式解决实际问题
1.（23-24八年级·浙江·期末）我市某水果生产基地，用名工人进行采摘或加工水果，每名工人只能做其中一项工作．采摘的工人每人可以采摘水果千克；加工罐头的工人每人可加工千克．加工水果数量不能多于采摘数量．设有名工人进行水果采摘．水果的销售方式有两种：一种是可以直接出售；另一种是可以将采摘的水果加工成罐头出售．直接出售每吨获利元；加工成罐头出售每吨获利元．(1)①加工罐头的工人为 人，可以加工罐头 千克；（用含的式子表示）②采摘水果的工人至少多少人？(2)直接出售和加工成罐头出售的利润如表所示：
销售方式 直接出售 加工成罐头销售
利润（元/千克）
要使直接出售所获利润不超过总利润的，请问应如何分配工人？所获最大利润是多少？
【答案】(1)①，；②人；
(2)名工人进行水果采摘，名工人加工罐头；最大利润为元．
【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用，根据题意正确列出不等式是解题的关键．
（）①根据题意列式即可求解；②根据题意列出不等式即可求解；
（）根据题意，列出不等式即可求解；
【详解】（1）解：①由题意得，加工罐头的工人为人，可以加工罐头千克，故答案为：，；
②由题意可得，，解得，
∵为整数，∴采摘水果的工人至少人；
（2）解：由题意得，，解得，
要使直接出售所获利润不超过总利润的，应该有名工人进行水果采摘，名工人加工罐头，所获最大利润为元．
2.（23-24八年级·陕西汉中·期末）骑行被称为黄金有氧运动，能让全身内脏器官得到锻炼，有益于心肺耐力，增强心肺功能．某商店老板销售一种自行车，这款自行车的进价为400元/辆，标价为720元/辆．活动期间要降价销售，他要以不低于进价40%的利润才能出售，商店老板每辆最多可以降价多少元？
【答案】商店老板每辆最多可以降价160元
【分析】设商店老板每辆可以降价元，根据利润售价进价结合利润不低于进价的，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【详解】解：设商店老板每辆可以降价元，依题意，得：
，解得：，
∴商店老板每辆最多可以降价160元
答：商店老板每辆最多可以降价160元．
3.（23-24八年级·浙江·期末）课间活动时，小英、小丽和小华在操场上一起玩投沙包游戏，沙包投到A区域所得分值与投到B区域所得分值不同，当每人各投沙包四次时，其落点和四次总分如图所示．
(1)请求出小华的四次总分；(2)如果小明在看完她们三个的投掷后也加入了这个游戏，并且最终赢得了胜利，请你说出小明投沙包的结果和所得分数．
【答案】(1)30分(2)落在A区4次；36分
【分析】（1）设沙包落在区域得分，落在区域得分，根据小英、小丽获得的总分，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再将其代入中即可求出小华的四次总分；（2）设小明投的沙包落在区域次，则落在区域次，根据小明的四次总分最高，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，结合，均为非负整数，即可确定的值，再将其代入中即可求出结论．本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【详解】（1）解：设沙包落在区域得分，落在区域得分，
依题意得：，解得：，（分）．
答：小华的四次总分为30分．
（2）解：设小明投的沙包落在区域次，则落在区域次，
依题意得：，解得：．
又，均为非负整数，，（分）．
答：小明投的沙包落在区域4次，所得分数为36分．
题型10.利用一元一次不等式组解决实际问题
1.（23-24八年级·广东江门·开学考试）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售，两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题．
名称 种头盔 种头盔
批发价（元/个） 60 40
零售价（元/个） 80 50
(1)该商店第一次批发，两种头盔共120个，用去5600元钱，求，两种头盔各批发了多少个；
(2)该商店第二次仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），用去7200元钱，要求批发种头盔不高于76个，要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元，则该商店第二次有几种批发方案．
【答案】(1)A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个(2)该商店第二次有3种批发方案
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．（1）设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个，根据“该商店第一次批发A,B两种头盔共120个，用去5600元钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了个B种头盔，根据“批发A种头盔不高于76个，第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，求出m的值再判断即可．
【详解】（1）解：设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个，依意得：
，解得：，
答：A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个；
（2）解：设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了个B种头盔，根据题意得，，解得：，
又∵m，均为正整数，∴m可以为72，74，76，
∴该商店第二次有3种批发方案．
2.（23-24八年级·重庆·期末）又是一年端阳至，绿杨带雨垂垂重，五色新丝缠角粽，吃粽子是端午节的习俗．某糕点店推出的“鲜肉粽”和“蛋黄粽”深受顾客喜欢．已知3个“鲜肉粽”、2个“蛋黄粽”的售价之和为46元，5个“鲜肉粽”、1个“蛋黄粽”的售价之和为58元．
(1)求“鲜肉粽”和“蛋黄粽”的售价各是多少元？
(2)糕点店在今年端午节前夕，购进了3000个“鲜肉棕”，2500个“蛋黄粽”．适逢店庆，为答谢新老顾客，糕点店对两种粽子都展开了降价促销活动，其中“鲜肉粽”按售价打折（a为整数）出售，“蛋黄棕”每个让利元，且保证降价后“鲜肉棕”的售价低于“蛋黄粽”售价的1.5倍，最终两种粽子全部销售出去，且总销售额不低于39000元，求a的值．
【答案】(1)10元，8元(2)4
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用：
（1）设“鲜肉棕”的售价为x元/个；“蛋黄粽”售价为y元/个，根据3个“鲜肉粽”、2个“蛋黄粽”的售价之和为46元，5个“鲜肉粽”、1个“蛋黄粽”的售价之和为58元，列出方程组进行求解即可；
（2）根据“鲜肉棕”的售价低于“蛋黄粽”售价的1.5倍，且总销售额不低于39000元，列出不等式组，求出正整数解即可．
【详解】（1）解：设“鲜肉棕”的售价为x元/个；“蛋黄粽”售价为y元/个，
则解得：
答：“鲜肉粽”的售价为10元/个；“蛋黄粽”售价为8元/个．
（2）由题意得解得：
为整数答：a的值为4．
3.（23-24八年级·重庆·开学考试）凯瑞商都某数码专营店销售甲、乙两种品牌智能手机，这两种手机的进价和售价如表所示：
甲 乙
进价（元/部） 4300 3600
售价（元/部） 4800 4200
(1)该店销售记录显示，三月份销售甲、乙两种手机共17部，且销售甲种手机的利润恰好是销售乙种手机利润的2倍，求该店三月份售出甲种手机和乙种手机各多少部？
(2)根据市场调研，该店四月份计划购进这两种手机共20部，要求购进乙种手机数不超过甲种手机数的而用于购买这两种手机的资金低于81500元，清通过计算设计所有可能的进货方案．
【答案】(1)甲手机12部，乙手机5部
(2)2种方案：①购进甲手机12部，乙手机8部；②购进甲手机13部，乙手机7部．
【分析】本题考查了一元一次不等式组解实际问题的运用，二元一次方程组解实际问题的运用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）设售出甲手机x部，乙手机y部，由“三月份销售甲、乙两种手机共17部，且销售甲种手机的利润恰好是销售乙种手机利润的2倍”列出方程组，可求解；
（2）设购进甲手机x部，乙手机部，由“购进乙种手机数不超过甲种手机数的，而用于购买这两种手机的资金低于81500元”列出不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：设售出甲手机x部，乙手机y部，
由题意得，，解得：．
答：售出甲手机12部，乙手机5部；
（2）解：设购进甲手机x部，乙手机部，
由题意得，，解得：，取整数，可取12，13，
则可能的方案为：①购进甲手机12部，乙手机8部；②购进甲手机13部，乙手机7部．
4.（23-24八年级·云南红河·期末）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地下和地上两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为1平方米和3平方米，物业经理经过市场调研发现如下信息：
地下充电桩数量/个 地上充电桩数量/个 总金额/万元
2 1 1
1 2
根据以上信息，解答下列问题：(1)该小区新建一个地下充电桩和一个地上充电桩各需多少万元？
(2)若小区计划用2万元资金在地下和地上都要新建充电桩，则共有几种建造方案？并列出所有方案；
(3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在（2）的前提下，要求地下和地上充电桩的总占地面积不得超过a平方米，且地下充电桩的数量大于2个，请求出满足条件的a的取值范围．
【答案】(1)该小区新建一个地下充电桩为万元，一个地上充电桩为万元
(2)一共有4种建造方案：在地上新建8个充电桩，在地下新建1个充电桩或在地上新建6个充电桩或在地下新建2个充电桩；在地上新建4个充电桩，在地下新建3个充电桩或在地上新建2个充电桩，在地下新建4个充电桩(3)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用：（1）设该小区新建一个地下充电桩为x万元，一个地上充电桩为y万元，根据表格中的数据列方程组求解即可；（2）设在地上新建m个充电桩，在地下新建n个充电桩，则，求出次方程的正整数解即可得到答案；（3）由题意得，，则，再根据列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设该小区新建一个地下充电桩为x万元，一个地上充电桩为y万元，
由题意得，，解得，
答：该小区新建一个地下充电桩为万元，一个地上充电桩为万元；
（2）解：设在地上新建m个充电桩，在地下新建n个充电桩，
由题意得，，∴，
∵m、n都是正整数，∴当时，，
当时，，当时，，当时，，
∴一共有4种建造方案：在地上新建8个充电桩，在地下新建1个充电桩或在地上新建6个充电桩或在地下新建2个充电桩；在地上新建4个充电桩，在地下新建3个充电桩或在地上新建2个充电桩，在地下新建4个充电桩；
（3）解：由题意得，，∴，∴，
∵地下充电桩的数量大于2个且不大于4个∴且解得．
选择题（共10小题）
1．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式的基本性质3，两边都除以m-1后得到x＞1，可知m-1＜0，解之可得．
【详解】∵不等式（m-1）x＜m-1的解集为x＞1，∴m-1＜0，即m＜1，故选：B．
【点睛】此题考查不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
2．（2024·江西南昌·二模）实数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示．若，则下列结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数轴上有理数的位置，不等式的基本性质，计算判断即可．本题考查了数轴上表示有理数，借助数轴进行数或式子的大小比较，符号确定，熟练掌握数轴上大小比较的原则，不等式的基本性质是解题的关键．
【详解】∵，∴原点在a，c的中间位置上，且，
∴，，∴，∴，∴故选D．
3．（23-24八年级·广东东莞·阶段练习）若不等式 有3个正整数解，则的取值范围是：（ ）
A． 6 B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出不等式的解集：x≤，再利用不等式有3个正整数解可知：，即可求出m的范围．
【详解】解：由2x-m ≤0可得：2x≤m，即x≤，
∵此不等式的正整数解有3个，∴不等式的正整数解为1，2，3，
∴3≤＜4，∴m的取值范围是6≤m＜8．故选：C.
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，根据不等式的基本性质求出x的取值范围，再由x的正整数解列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可．
4．（23-24八年级·河南新乡·期中）方程组的解满足不等式，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了方程组的解法，不等式的解法，熟练掌握解方程组，解不等式是解题的关键．
两式相加，确定，结合构造不等式，求解即可．
【详解】解：解：①②得，即，
又∵，∴，解得，故选A．
5．（23-24八年级·福建泉州·期中）已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质可得，且，据此求出，再解对应的不等式即可．
【详解】解：∵关于x的不等式的解集是，
∴，∴，且，∴，
∴，∴，即，∴，故选：C．
6．（23-24八年级·海南海口·期中）某程序的操作框图如图所示，规定：程序运行从“开始”到“结果是否”为一次操作．如果程序恰好操作了三次就停止，那么开始输入的x的取值情况是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查程序框图，根据“程序恰好操作了三次就停止，”建立不等式求解，即可解题．
【详解】解：由题知，，
解①得：，解②得：，
综上所述，x的取值情况是，故选：C．
7．（23-24八年级·四川内江·期中）若整数a使关于x的方程的解为非负数，且使关于x的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5 B．6 C．9 D．10
【答案】C
【分析】本题考查根据不等式组解情况求参数，解题的关键是正确解出不等式根据解情况得到新的不等式．根据方程的解为非负数，得出，解出两个不等式，根据不等式组无解可得出，即可得到答案．
【详解】解∶解方程，得，
∵整数a使关于x的方程的解为非负数，∴，∴，
，解不等式①，得，解不等式②，得，
∵不等式组无解，∴，∴，
∴所有满足条件的整数a的值为，0，1，2，3，4，
∴所有满足条件的整数a的值的和为，故选：C．
8．（23-24八年级·福建福州·期中）已知a，b为非零实数，下面四个不等式组中，解集有可能为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：∵，∴，
∴与四个选项中的不等式组比较知，只有A选项的不等式组符合题意．故选：A．
9．（23-24八年级·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在数轴上，已知点，分别表示数1，，那么数轴上表示数的点应落在( )
A．点的左边 B．线段上 C．点的右边 D．数轴的任意位置
【答案】B
【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得不等式，根据解不等式，可得答案；根据不等式的性质，可得点在A点的右边，根据作差法，可得点在B点的左边．
【详解】解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得：-2x+3＞1，解得x＜1；
-x＞-1．
-x+2＞-1+2，解得-x+2＞1．所以数轴上表示数-x+2的点在A点的右边；
作差，得：-2x+3-（-x+2）=-x+1，由x＜1，得：-x＞-1，
-x+1＞0，-2x+3-（-x+2）＞0，∴-2x+3＞-x+2，
所以数轴上表示数-x+2的点在B点的左边,点A的右边．故选B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式，解题的关键是利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出不等式．
10．（23-24八年级·江西景德镇·期中）已知非负数 x，y，z 满足..，设 ，则 W 的最大值与最小值的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先设，求得，，，又由，，均为非负实数，即可求得的取值范围，则可求得的取值范围．
【详解】解：设，则，，，
，，均为非负实数， ，解得，
于是，
，即．
的最大值是，最小值是，的最大值与最小值的和为，故选：C．
【点睛】此题考查了最值问题．解此题的关键是设比例式：，根据已知求得的取值范围．此题难度适中，注意仔细分析求解．
二．填空题（共6小题）
11．（23-24八年级·山东烟台·期末）写出一个关于x的不等式，使，2都是它的解，这个不等式可以为
【答案】（答案不唯一）
【分析】由，2均小于3可得，在此基础上求解即可．
【详解】解：由，2均小于2可得，
所以符合条件的不等式可以是，故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查不等式的解集，解题的关键是掌握使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
12．（23-24八年级·湖南长沙·期中）有P、Q、R、S四个人去公园玩跷跷板，依据下面的示意图，则这四个人中最重的是 ．
【答案】
【分析】根据跷跷板得到不等式或者等式，据此解答即可．
【详解】由图1可知：，由图2可知：，
∴，∴，
由图3可知：，∴，∴，
∴∴∴，所以最重，故答案为：．
【点睛】此题考查了杠杆和不等式的有关知识，利用跷跷板的不平衡来判断四个数的大小，体现了数形的结合的数学思维．
13．（23-24八年级·山东淄博·期末）若|2a﹣6|＞6﹣2a，则实数a的取值范围是 ．
【答案】a＞3．
【分析】分三种情况考虑：当2a﹣6＞0，2a﹣6=0，与2a﹣6＜0时，利用绝对值的代数意义化简，即可求出a的范围．
【详解】解：当2a﹣6＞0，即a＞3时，不等式变形为2a﹣6＞6﹣2a，解得：a＞3；
当2a﹣6＝0，即a＝3时，不等式不成立；
当2a﹣6＜0，即a＜3时，不等式不成立，
综上，实数a的范围为a＞3．故答案为：a＞3．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，以及绝对值的代数意义，利用了分类讨论的数学思想，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的而关键．
14．（23-24八年级·江苏宿迁·期末）关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围 ．
【答案】/
【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确理解“不等式组有且只有4个整数解”是解本题的关键．表示出不等式组的解集，根据解集中有且只有4个整数解，确定出a的范围即可．
【详解】解：，由①不等式得：，由不等式②得：不等式组的解集为：，
∵不等式组有且只有4个整数解，∴分别为：0，1，2，3，∴，故答案为：．
15．（23-24八年级·湖北武汉·期末）已知关于x的不等式x﹣a＜0的最大整数解为3a+6，则a＝ ．
【答案】
【分析】求出不等式的解集，根据已知得出，求出，设，则，得出不等式组，求出即可．
【详解】解：解不等式得：，
关于的不等式的最大整数解为，，解得：，
为整数，设，则，
即，解得：，
为整数，，即，故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，解此题的关键是得出关于的不等式组．
16．（23-24八年级·福建泉州·期中）已知，同时满足，，若，，且x只能取两个整数，则a的取值范围是 ．
【答案】/3≥a＞2
【分析】设两个整数为n，n+1，利用a这个量交叉传递，得到n的值，从而求解．
【详解】解：由①与②进行如下运算：
①×3+②得到：4x+4y＝12，∴x+y＝3，∴，
∵，，∴，故，
∵x只能取两个整数，故令整数的值为n，n+1，
则，，故，
∴，且，∴，∴，∴∴
【点睛】本题考查二元一次方程组，不等式组的解集，能够熟练地进行等量代换是解决本题的关键．
三．解答题（共7小题）
17．（23-24八年级·四川达州·期末）（1）解不等式，，并把解集表示在数轴上．
（2）解不等式组，并写出它的整数解．
【答案】（1），数轴见解析；（2）2，3
【分析】此题考查解一元一次不等式，在数轴上表示解集，求不等式组的整数解，
（1）根据解一元一次不等式的解法求出不等式的解集，并在数轴上表示解集；
（2）分别求出每个不等式的解集，即可得到整数解．
【详解】解：（1）
在数轴上表示解集：
（2）解不等式，得；
解不等式，得；
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为2，3．
18．（23-24八年级·江苏苏州·期末）已知关于的方程．(1)若该方程的解满足，求的取值范围；(2)若该方程的解是不等式的的负整数解，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
（1）先求出方程的解，再根据方程的解满足，得到关于x的不等式，即可求解；
（2）求出不等式的解集，根据不等式的负整数解为，代入方程，即可求解．
【详解】（1）解： ，解得，
由题意得：，．
（2）
∴，
，
，
，
所以不等式的负整数解为，
把代入得：，
解得：．
19．（23-24八年级·福建·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足．
(1)求k的取值范围；(2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请写出符合条件的k的整数值．
【答案】(1)；(2)
【分析】本题考查二元一次方程组的解及解一元一次不等式组，根据数量关系列出一元一次不等式组是解决本题的关键．
（1）根据题目中方程组的的特点，将两个方程作差，即可用含k的代数式表示出，再根据，即可求得k的取值范围，本题得以解决．
（2）不等式的解集为，根据不等式得性质得到，得到k的取值范围，再根据（1）中k的范围，求得k最终的取值范围，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，得，
∵，
∴，
解得，；
（2）解：不等式移项得：，
∵不等式的解集为，
∴，
解得：，
又∵，
∴k的取值范围为，
∴整数k的值为．
20．（23-24八年级·湖南衡阳·期末）已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“完美解”.
(1)已知①，②，则方程的解是不等式 （填序号）的“完美解”；
(2)若是方程组与不等式的一组“完美解”，求a的取值范围；
(3)若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围.
【答案】(1)②(2)(3)
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组，二元一次方程组等知识，正确理解“完美解”的含义，是解答本题的关键．（1）根据“完美解”的定义代入计算即可判断；
（2）将上述两个方程相加可得：，再根据“完美解”得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可求解；
（3）根据题意可得，即可得，，问题随之得解．
【详解】（1）解：由，得：，
①，则方程的解不是不等式①的“完美解”；
②，则方程的解是不等式②的“完美解”；
（2）解：，
将上述两个方程相加可得：，
即有，
∵是方程组与不等式的一组“完美解”，
∴，
解得：，
（3）解：根据题意有：，
解得：，，
∴，
即的取值范围为：．
21．（23-24八年级·全国·期末）吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．“滨滨”是代表冰上运动的吉祥物，身穿冬季运动服，戴着红圈巾、蓝手套，脚穿冰刀在快乐地滑冰．滑单板的“妮妮”是代表冒上运动的吉祥物，身身中国民同传统毛领节庆红袄．某超市看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，售价每个16元“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元，售价每个18元．
(1)该超市在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求m，n的值．
(2)该超市决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，求有哪几种购买方案？
【答案】(1)m的值为10，n的值为14
(2)共有3种购买方案，方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个；方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个；方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次方程组的应用；
（1）根据购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元且购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用进货总价＝进货单价×进货数量，结合进货总价不少于1160元又不多于1168元，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出各购买方案；
【详解】（1）解：根据题意得：，解得：．
答：m的值为10，n的值为14；
（2）解：根据题意得：，
解得：，
又∵x为正整数，∴x可以为58，59，60，∴共有3种购买方案，
方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个；
方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个；
方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个
22．（23-24八年级·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，是边上的高，，，．点在高上，且．点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点运动时间为秒．
(1)求点整个运动过程共需多少秒？
(2)当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求的值；
(3)当的长大于点运动总路程的时，求的取值范围．
【答案】(1)12秒(2)2或6(3)或
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，注意分情况讨论是解题的关键．
（1）利用速度、路程、时间的关系求解；
（2）当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，，分点P在点D左侧与右侧两种情况，根据列方程，即可求解；
（3）点运动总路程为，分“点在边上运动”和“点在边上运动”两种情况，根据的长大于点运动总路程的列不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：，
（秒），
即点整个运动过程共需12秒；
（2）解： 是边上的高，
当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，，
当点P在点D左侧时，，即，
解得；
当点P在点D右侧时，，即，
解得；
综上可知，的值为2或6；
（3）解：点运动总路程为，
当点在边上运动时，，
则，
解得；
当点在边上运动时，，
则，
解得，
点整个运动过程共需12秒，
，
综上可知，的取值范围为或．
23．（23-24八年级·湖南株洲·期中）【阅读材料】：
材料一：对于实数，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．比如：；．
已知：；
材料二：“已知，均为非负数，且满足，求的范围”，有如下解法：
，，
，是非负数，即，，
，，．
【回答问题】：(1)求出，的值；(2)已知，均为非负数，，求的取值范围；
(3)已知，，都为非负数，，，求的最大值和最小值．
【答案】(1)(2)(3)最小值，最大值
【分析】（1）由新定义运算的含义结合已知条件建立方程组，再解方程组可得答案；
（2）先表示，再根据，是非负数，可得且可得，而，再结合不等式的性质可得答案；
（3）由新定义运算的含义可得，可得，仿照（2）的方法建立不等式组可得，再结合 ，再结合x的范围可得最大值与最小值；
【详解】（1）解：∵；，，
∴，∴解方程组得：；
（2）∵，，
，是非负数，即，，
∵，∴
，．
（3）∵，，而，
∴，解得：，
∵，，都为非负数，
∴，解得：，
∴；
当时，，
当时，．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，三元一次方程组的应用，代数式的最大值与最小值的计算，新定义运算的含义，理解题意，建立合适的方程组与不等式组是解本题关键
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