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第1章 三角形的初步
题型1.三角形的三边关系及应用 2
题型2.三角形的高的有关的问题 3
题型3.利用中线解决三角形的面积问题 5
题型4.利用三角形的内角和定理解决折叠中的角度计算 6
题型5.直角三角形的性质的应用 8
题型6.三角形外角的应用 11
题型7.三角形的内角和与外角的性质的综合 13
题型8.与三角形的内、外角性质及角等分线相关的规律性问题 15
题型9.利用全等三角形的性质求角 19
题型10.利用全等三角形的性质求两线段的位置关系 21
题型11.利用全等三角形的性质求线段的长 22
题型12.添加条件判断三角形全等 23
题型13.全等三角形的判定与性质的综合应用 24
题型14.“倍长中线法”构造全等三角形 27
题型15.“截长补短法”证明线段和差问题 31
题型16.应用全等三角形的性质解决实际问题 33
题型17.全等三角形在探究性问题中的应用 35
专项训练 40
题型1.三角形的三边关系及应用
1.（23-24八年级·福建泉州·期末）如图，用、、、四条钢条固定成一个铁框，相邻两钢条的夹角均可调整，不计螺丝大小，重叠部分．若、、、，则所固定成的铁框中，两个顶点的距离最大值是（ ）
A．14 B．16 C．13 D．11
2.（23-24八年级·湖北黄冈·阶段练习）长为9、6、4、3的四根木条，选其中三根组成三角形，共有（ ）种选法．
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
3.（23-24八年级·安徽安庆·期中）已知：如图，点D是△ABC内一点．求证：
(1)BD＋CD＜AB＋AC；(2)AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC．
题型2.三角形的高的有关的问题
1.（24-25八年级·重庆铜梁·开学考试）如图，中，，于E，，点D在上移动，则的最小值是 ．
2.（23-24八年级·吉林长春·期末）如图，在中，，，，，，则的长为 ．
3.（23-24八年级·山东德州·阶段练习）如图，在中，，，垂足分别为，，与相交于点连接并延长交于点.若，，，则：：的值为 .
题型3.利用中线解决三角形的面积问题
1.（23-24八年级·四川资阳·期末）如图，已知的面积为12，D、E、F分别是的边、、的中点，、、交于点G，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2.（23-24八年级·江苏常州·期末）如图，是的中线，是的中点．若，则 ．
3.（23-24八年级·山东青岛·期末）如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为4，则的面积为 ．
题型4.利用三角形的内角和定理解决折叠中的角度计算
1.（23-24八年级·广西柳州·期中）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为 ．
2.（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点 D、E分别在边上，将沿着折叠压平使A与重合， 若， 则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3.（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，点，分别在，上，，将沿折叠后，使点落在点处．若，，则 ．
题型5.直角三角形的性质的应用
1.（23-24八年级·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，点为上一点，过点作于点．(1)当平分，且时，求的度数；
(2)当点是中点，，且的面积为，求的长．
2.（23-24八年级·浙江温州·期末）图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，，杠杆与上臂重合；使用时，B刚好至点，当时，恰好'平分，若，则 ．
3.（23-24八年级·辽宁盘锦·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动．
(1)【初步探究】在中，，作的平分线交于点D．在图1中，作于E，求的度数；
(2)【迁移探究】在中，，作的平分线交于点D．如图2，在上任取点F，作，垂足为点E，直接写出的度数；
(3)【拓展应用】如图③，在中，平分，点F在的延长线上，于E，求出与之间的数量关系．
题型6.三角形外角的应用
1.（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）在中，分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H，下列结论：①；②；③，④；其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2.（23-24八年级·甘肃酒泉·期末）如图，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点．
(1)试确定与之间的数量关系，并说明理由；(2)若，求的度数．
3.（23-24八年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，为的高，，为的角平分线，若，．(1)求的度数；(2)若点G为线段上任意一点，当为直角三角形时，求的度数．
题型7.三角形的内角和与外角的性质的综合
1.（23-24八年级·福建福州·期中）已知在中，点D在上，且．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，平分交于点F，交于点E．①求证：；②的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M，若，求的度数．
2.（23-24八年级·天津东丽·期中）如图，已知，平分，平分，的延长线交于点F，设，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型8.与三角形的内、外角性质及角等分线相关的规律性问题
1.（23-24八年级·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系；
【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______；
【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______；
【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______；
【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______．
2.（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图将沿线段翻折至处，延长、（点F在内部）．请尝试探究：(1)请直接写出、与的数量关系为__________；
(2)若平分，平分．点F在内部（如图②），证明：．
(3)若射线、分别是，的n等分线（n为大于2的正整数），即，，射线和射线相交于点O．请直接写出与的数量关系：__________．
题型9.利用全等三角形的性质求角
1.（23-24八年级·河北邯郸·期中）如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌，△AEB≌，且，BE、CD交于点F，若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（ ）
A．105° B．100° C．110° D．115°
2.（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，＝ °．
3.（23-24八年级·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，D，E分别是的边上的点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
题型10.利用全等三角形的性质求两线段的位置关系
1.（23-24八年级·河北承德·期末）如图，ABC≌EFD，则BC与DF的关系是（ ）
A．平行但不相等 B．相等但不平行 C．不平行也不相等 D．平行且相等
2.（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图所示，已知于点，．
(1)若，，求的长．(2)试判断和的关系，并说明理由
题型11.利用全等三角形的性质求线段的长
1.（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）边长都为整数的△ABC和△DEF全等,AB与DE是对应边,AB=2,BC=4,若△DEF的周长为奇数,则DF的值为 .
2.（23-24八年级·山西临汾·期末）如图，已知，点在同一条直线上，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3.（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）如图，，点在上，与交于点，．
（1）若，则的长为 ；（2）连接，若，则的值为 ．
题型12.添加条件判断三角形全等
1.（23-24八年级下·山东日照·开学考试）如图，已知，，增加下列条件，其中不能使的是（ ）
A． B． C． D．
2.（23-24八年级·山东泰安·期末）给出下列四组条件：①，，；②，，；③，，；④，，．其中，能使的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
3.（2024八年级·浙江·专题练习）如图，B是中点，，请添加一个条件，使得，可以添加的条件是 ．（写出一个即可）
题型13.全等三角形的判定与性质的综合应用
1.（23-24八年级·山西吕梁·期末）（1）已知，，O为中点，过O点的直线分别与相交于点M，N，如图1，那么与有什么关系？请说明理由．（2）若将过O点的直线旋转至图2、3的情况时，其它条件不变，那么图1中的与的关系还成立吗？请说明理由．
2.（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且．
(1)与全等吗？请说明你的理由；
(2)若，，的面积为3，请直接写出的面积．
3.（23-24八年级·山东日照·期末）在复习课上，老师布置了一道思考题：如图所示，点M，N分别在等边的边上，且，，交于点Q．求证：．同学们利用有关知识完成了解答后，老师又提出了下列问题：
(1)若将题中“”与“”的位置交换，得到的是否仍是真命题？请你给出答案并说明理由．
(2)若将题中的点M，N分别移动到的延长线上，是否仍能得到？请你画出图形，给出答案并说明理由．
题型14.“倍长中线法”构造全等三角形
1.（23-24八年级·浙江杭州·期中）（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容（请填写横线中的依据）：如图，在中，D是边的中点，过点C画直线，使，交的延长线于点E，求证：．
证明：∵（已知），∴，．
∵D为边中点，∴．
在与中，∵，
∴（ ）
∴（ ）
（2）【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是 ．
（3）【猜想证明】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想．
2.（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ．
3.（23-24八年级·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题：
(1)求证：和是兄弟三角形．(2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题．
①请在图中通过作辅助线构造，并证明．②求证：．
题型15.“截长补短法”证明线段和差问题
1.（23-24八年级·黑龙江大庆·期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD．
2.（23-24八年级·上海静安·期末）如图，已知在中，平分，，则 . （用含的代数式表示）.
3.（23-24八年级·山东临沂·期中）【基本模型】（1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
【模型运用】（2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
题型16.应用全等三角形的性质解决实际问题
1.（23-24八年级下·陕西西安·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若小丽妈妈和爸爸到的水平距离、分别为和，，，．请求出爸爸在C处接住小丽时，小丽距地面的高度是多少？
2.（23-24八年级·山西阳泉·期末）如图1是小宁制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求的度数．
3.（23-24八年级·山西晋城·期末）如图1，课间，小明与小亮在操场上突然争论起来，他们都说自己比对方长得高，这时数学老师走过来，笑着对他们说：“你们不要争论，其实你们一样高，瞧瞧地上，你俩的影子一样长!”因为太阳光线是平行的，于是，小聪根据数学老师的解释，画出如图2所示的图形，线段表示小明的身高，线段表示小明的影子，线段表示小亮的身高，线段表示小亮的影子，，太阳光线．请利用全等的原理说明小明与小亮一样高．
题型17.全等三角形在探究性问题中的应用
1.（23-24八年级下·山东济南·期末）【模型呈现】
（1）如图1，，，于点，于点．
求证：．
【模型应用】（2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积．
【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．①求证；②若，，求的面积．
2.（23-24八年级·安徽六安·期末）如图所示，是高，点P在的延长线上，，点Q在上，．
(1)判断： （用“>”、“<”、“＝”填空）；(2)探究：与之间的关系；
(3)若把（1）中的改为钝角三角形，，是钝角，其他条件不变，试探究与之间的关系，请画出图形并直接写出结论．
3.（23-24八年级·广西南宁·期末）综合与实践：
【问题情境】在综合与实践课上，老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，垂足分别为点．请证明：．
【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，请证明：点为的中点．
【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出与的数量关系．
选择题（共10小题）
1．（23-24八年级·湖南衡阳·期末）将命题“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式，正确的是
A．如果两个角相等，那么它们是对顶角 B．如果两个角是对顶角，那么它们相等
C．如果对顶角，那么相等 D．如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等
2．（23-24八年级·江苏盐城·期中）一个三角形的两边长分别为2和6，则第三边长可能是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．10
3．（23-24八年级·广东佛山·期末）如图，在四边形中，.不能判定的条件是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，中，，的垂直平分线交于点，的周长是21，则的长度为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．（23-24八年级·辽宁辽阳·期中）如图，沿边所在直线向右平移得到，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年级·山东临沂·期末）如图，是的角平分线，，垂足为的面积为，则的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
7．（23-24八年级·江苏扬州·期中）如图，在中是上的一点，，点是的中点，设，，的面积分别为，，，且，则（ ）
A．6.5 B．6 C．5 D．4
8．（23-24八年级·山东济宁·期中）如图，沿直线MN折叠，使点与AB边上的点重合；若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24八年级·湖北恩施·期中）如图，三角形中，，D为边上的任意一点，连接，E为线段上的一个动点，过点E作点F．，则的最小值为（ ）
A．6 B．4.8 C．2.4 D．5
10．（23-24八年级·山东济南·期末）如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论 ； ； ； 中，，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题）
11．（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为 ．
12．（23-24八年级·广东深圳·期末）如图，在中，，利用尺规作图，得到直线和射线．若，则 °．
13．（23-24八年级·四川成都·期末）已知面积为24，将沿的方向平移到的位置，使和C重合，连接交于D，则的面积为 ．
14．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ．
15．（23-24八年级·四川绵阳·期末）如图，已知，点在上，点为平面内一点，，过点作，平分，平分，若，．则 ．
16．（23-24八年级·湖南长沙·开学考试）如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t，当与全等时，t的值为 ．
三．解答题（共7小题）
17．（23-24八年级·安徽亳州·期中）已知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a．
(1)求a的取值范围；(2)若a为整数，当a为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？
18．（23-24八年级·山东威海·期末）已知，
(1)借助直尺和圆规作（保留作图痕迹，不必写步骤）；
(2)若平分，平分，则的度数为 ．
19．（23-24八年级·四川宜宾·期末）如图，点D在的边延长线上，点E在边上，连结交于点F，．(1)求证：；(2)若，求的度数．
20．（23-24八年级·河南南阳·期末）如图，分别为的中线、高，点E为的中点．
(1)若求的度数；(2)若的面积为15，求的长．
21．（23-24八年级·安徽阜阳·期末）如图，、分别是的边、上的高，且，．求证：(1)；(2)．
22．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）在中，和边上的高、交于点F，．
(1)如图1，求证:；(2)如图1，求的度数；(3)如图2，延长BA到点G，过点G作的垂线交的延长线于点H，已知，，，，求的长．
23.（23-24八年级·吉林长春·期末）如图1，中，于点D，以A为直角顶点，分别以、为直角边，在外作等腰直角和等腰直角，过点E、F作射线的垂线，垂足分别为H、G．(1)试探究与之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图2，若连接交的延长线于G，由（1）中的结论能否判断与的大小关系？并说明理由．
(3)在（2）的条件下，若面积为90，，请直接写出长．
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第1章 三角形的初步
题型1.三角形的三边关系及应用 2
题型2.三角形的高的有关的问题 3
题型3.利用中线解决三角形的面积问题 5
题型4.利用三角形的内角和定理解决折叠中的角度计算 6
题型5.直角三角形的性质的应用 8
题型6.三角形外角的应用 11
题型7.三角形的内角和与外角的性质的综合 13
题型8.与三角形的内、外角性质及角等分线相关的规律性问题 15
题型9.利用全等三角形的性质求角 19
题型10.利用全等三角形的性质求两线段的位置关系 21
题型11.利用全等三角形的性质求线段的长 22
题型12.添加条件判断三角形全等 23
题型13.全等三角形的判定与性质的综合应用 24
题型14.“倍长中线法”构造全等三角形 27
题型15.“截长补短法”证明线段和差问题 31
题型16.应用全等三角形的性质解决实际问题 33
题型17.全等三角形在探究性问题中的应用 35
专项训练 40
题型1.三角形的三边关系及应用
1.（23-24八年级·福建泉州·期末）如图，用、、、四条钢条固定成一个铁框，相邻两钢条的夹角均可调整，不计螺丝大小，重叠部分．若、、、，则所固定成的铁框中，两个顶点的距离最大值是（ ）
A．14 B．16 C．13 D．11
【答案】C
【分析】本题实际考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形铁框的组合方法是解答的关键．若两个顶点的距离最大，则此时这个铁框的形状变化为三角形，可根据三条钢条的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．
【详解】解：已知、、、，
选、、作为三角形，则三边长为、、，，不能构成三角形，此情况不成立；
选、、作为三角形，则三边长为、、，，能构成三角形，此时两个顶点的距离最大为；
选、、作为三角形，则三边长为、、，，不能构成三角形，此情况不成立；
选、、作为三角形，则三边长为、、，，构成三角形，此时两个顶点的距离最大为；故选：C．
2.（23-24八年级·湖北黄冈·阶段练习）长为9、6、4、3的四根木条，选其中三根组成三角形，共有（ ）种选法．
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】B
【分析】根据任意两边之和大于第三边判断能否构成三角形．
【详解】选其中3根组成一个三角形，不同的选法有9、6、4；9、6、3；9、4、3；6、4、3；
能够组成三角形的只有：9、6、4；6、4、3；共2种．故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．
3.（23-24八年级·安徽安庆·期中）已知：如图，点D是△ABC内一点．求证：
(1)BD＋CD＜AB＋AC；(2)AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）延长BD交AC于E，从而找到BD＋CD与AB＋AC的中间量BE+CE，再利用不等式的传递性(若a
【详解】（1）证明：延长BD交AC于E，
在△ABE中，有AB+AE＞BE，∴AB＋AC=AB+AE+CE＞BE+CE，
在△EDC中，有DE+CE＞CD，∴BE+CE= BD+DE+CE＞BD+CD，
∴AB＋AC＞BE+CE＞BD+CD，∴BD＋CD＜AB＋AC；
（2）解：由（1）同理可得：BD＋CD＜AB＋AC①， AD＋CD＜AB＋BC②，BD＋AD＜BC＋AC③，
①+②+③得：2（AD+BD+CD）<2（AB+BC+AC），∴AD+BD+CD【点睛】本题考查三角形的三边关系，不等式的性质，能否根据题意添加辅助线和利用不等式的性质是解题的关键．
题型2.三角形的高的有关的问题
1.（24-25八年级·重庆铜梁·开学考试）如图，中，，于E，，点D在上移动，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了与三角形高有关的计算，垂线段最短，根据题意，当时，有最小值，利用即可解答．
【详解】解：根据题意得：当时，有最小值，
中，，于E，，
，，，故答案为：．
2.（23-24八年级·吉林长春·期末）如图，在中，，，，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的面积，直接根据等面积法求解即可．
【详解】解：∵，∴都是的高，
∴，∴，故答案为：
3.（23-24八年级·山东德州·阶段练习）如图，在中，，，垂足分别为，，与相交于点连接并延长交于点.若，，，则：：的值为 .
【答案】
【分析】本题主要考查三角形的高，由题意得：，再根据三角形的面积公式，可得，进而即可得到答案．
【详解】解：在中，，，垂足分别为点和点，与交于点，，
，，， ，
，：： ，故答案是：．
题型3.利用中线解决三角形的面积问题
1.（23-24八年级·四川资阳·期末）如图，已知的面积为12，D、E、F分别是的边、、的中点，、、交于点G，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】此题考查三角形的面积，涉及中线平分三角形的面积，得，，结合，得，即可作答．
【详解】解：∵E是的中点，∴，
又∵，∴，
又∵点D是的中点，∴，同理，
∴图中阴影部分的面积为，故选B．
2.（23-24八年级·江苏常州·期末）如图，是的中线，是的中点．若，则 ．
【答案】
【分析】此题考查三角形中线的性质和三角形面积，先求出，再求出，，则，根据是的中线即可得到答案．
【详解】解：∵F是的中点．，∴，
∵是的中线，∴是的中点，∴
∵∴∴，
∴，
∵是的中线，∴故答案为：
3.（23-24八年级·山东青岛·期末）如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为4，则的面积为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，根据三角形面积等高模型得到是解题的关键．连接，根据中点可得，根据可得，设，可得，进而可得，求出的值，进而可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
是的中点，，，，
又，，设，则，
，，，
，，，解得：，
，故答案为：12．
题型4.利用三角形的内角和定理解决折叠中的角度计算
1.（23-24八年级·广西柳州·期中）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为 ．
【答案】/112度
【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线是解答本题的关键，属于中考常考题型．连接，根据折叠的性质及三角形外角的性质求出，再由角平分线及三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，沿折叠，，，
，，
，
，，
平分，平分，，，
，，故答案为：．
2.（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点 D、E分别在边上，将沿着折叠压平使A与重合， 若， 则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，先由三角形内角和定理得到，再由折叠的性质得到，接着根据平角的定义可得．
【详解】解：∵，∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∵，
∴，故选：A．
3.（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，点，分别在，上，，将沿折叠后，使点落在点处．若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质和折叠的性质，由折叠性质可得，根据三角形内角和求出的度数，利用平行线性质求出，等量代换可得即可求出结果．
【详解】解：根据折叠的性质可得，
，，
，，，
，，
，故答案为：120．
题型5.直角三角形的性质的应用
1.（23-24八年级·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，点为上一点，过点作于点．(1)当平分，且时，求的度数；
(2)当点是中点，，且的面积为，求的长．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（）根据角平分线的定义及直角三角形的性质求解即可；（）由点是中点得，又，从而求解； 此题考查了角平分线的定义，三角形中线的性质，直角三角形的性质，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵平分，，∴，
∵，∴，∴；
（2）解：∵点是中点，∴，
∵，，∴，
∵，∴，∴．
2.（23-24八年级·浙江温州·期末）图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，，杠杆与上臂重合；使用时，B刚好至点，当时，恰好'平分，若，则 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余等知识．延长CB′交OE于点H，先根据平行线的性质求出，进而求出，根据直角三角形两锐角互余求出，进而求出，即可求出．
【详解】解：延长交于点H，如图，
∵，∴，∴，
∵，∴．
∵'平分，∴，∴．故答案为：12
3.（23-24八年级·辽宁盘锦·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动．
(1)【初步探究】在中，，作的平分线交于点D．在图1中，作于E，求的度数；
(2)【迁移探究】在中，，作的平分线交于点D．如图2，在上任取点F，作，垂足为点E，直接写出的度数；
(3)【拓展应用】如图③，在中，平分，点F在的延长线上，于E，求出与之间的数量关系．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握相关性质是解题的关键．（1）根据三角形内角和定理，可求得，由平分，得到，又根据，可得，由此可求得；
（2）根据三角形内角和定理，可求得，由平分，得到，由三角形内角和定理求得，再根据，利用直角三角形两锐角互余，即可求得；（3）同理，根据三角形内角和定理和平分，得到，，再结合，利用直角三角形两锐角互余，即可求得．
【详解】（1）解：在中，，
，
平分，，，，
，，
．
（2）解：在中，，，
平分.，，
在中，，，
，，．
（3）解：在中，，
平分，，
在中
，，.
题型6.三角形外角的应用
1.（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）在中，分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H，下列结论：①；②；③，④；其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】①根据，，由直角三角形锐角互余可证明；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；③根据三角形的内角和和角平分线的定义，进行等量代换，即可证明结论正确；④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．
【详解】解：有题意可知:，
①正确；
是角平分线，
②正确；
③正确；
，
④正确；故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．
2.（23-24八年级·甘肃酒泉·期末）如图，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点．
(1)试确定与之间的数量关系，并说明理由；(2)若，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析(2)
【分析】本题考查了角平分线，三角形外角的性质等知识．熟练掌握角平分线，三角形外角的性质是解题的关键．（1）由是的平分线，是的平分线可得，，由，可得，进而可得；（2）同理（1）可得，进而可求的度数．
【详解】（1）解：，理由如下；
∵是的平分线，是的平分线，∴，，
又∵，∴，∴；
（2）解：同理（1）可得，∴，∴，∴的度数为．
3.（23-24八年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，为的高，，为的角平分线，若，．(1)求的度数；(2)若点G为线段上任意一点，当为直角三角形时，求的度数．
【答案】(1)(2)的度数为或
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．（1）先求出，，则，进而推出，再得出，即可解答．根据，求出即可解决问题．（2）分两种情况：①当时．②当时，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，∴，
∵平分，∴，
∵为的高，∴，
∴，
∵平分，∴，∴．
（2）解：分两种情况：①当时，则，
∴；
②当时，则，∴；
综上所述：的度数为或．
题型7.三角形的内角和与外角的性质的综合
1.（23-24八年级·福建福州·期中）已知在中，点D在上，且．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，平分交于点F，交于点E．①求证：；②的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M，若，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)①见解析；②
【分析】（1）根据垂直定义，得到，根据三角形内角和定理，结合即可得证；
（2）①根据角平分线的定义，得到，在和中，根据三角形外角性质，结合，可得结论；②根据角平分线的定义，证明,得到，得到，根据，得到，即得．
【详解】（1）∵，∴，
∵，且，∴；
（2）①∵平分，∴，
∵，，且，∴；
②∵平分，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，由①知，．
【点睛】本题主要考查了三角形角平分线．熟练掌握三角形角平分线的定义，垂直定义，三角形的内角和定理，平角性质，直角三角形的两个锐角性质，三角形的外角性质，是解题的关键．
2.（23-24八年级·天津东丽·期中）如图，已知，平分，平分，的延长线交于点F，设，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】延长交于点，设的度数为，的度数为，通过角平分线的定义和三角形外角的性质得到之间的关系，在根据三角形内角和得到，将代入，即可解答．
【详解】解：如图，延长交于点，
设的度数为，的度数为，
平分，平分，，
，，
，
在中，，，
，，
在中，，
将代入可得，整理得，故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，考虑延长得到三角形，进行角度的转换，用表示同一个三角形中的内角得到等量关系是解题的关键．
题型8.与三角形的内、外角性质及角等分线相关的规律性问题
1.（23-24八年级·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系；
【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______；
【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______；
【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______；
【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______．
【答案】（1）（2）（3）（4）（5）105
【分析】本题考查三角形的内角和定理，n等分线的定义．
（1）由三角形的内角和定理可得，由角平分线得到，，从而；
（2）由三等分线可得，，从而；（3）同（2）思路即可求解；
（4）同（2）（3）思路即可，，两式相加即可解答；
（5）同（4）思路可得，又，即可求得，同理有，即可解答．
【详解】解：（1）∵，∴，
∵平分，平分，∴，，
∴
．
（2）∵、是的三等分线，、是的三等分线，
∴，，
∴
．故答案为：
（3）∵、、是的四等分线，、、是的四等分线，
∴，，
∴
．故答案为：
（4）∵、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，∴，，，，
∴
，
，
∴．
故答案为：
（5）∵、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，∴，，，，
∴
，
，
∴，
∵∴，∴，
同理可得．故答案为：105
2.（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图将沿线段翻折至处，延长、（点F在内部）．请尝试探究：(1)请直接写出、与的数量关系为__________；
(2)若平分，平分．点F在内部（如图②），证明：．
(3)若射线、分别是，的n等分线（n为大于2的正整数），即，，射线和射线相交于点O．请直接写出与的数量关系：__________．
【答案】(1)；(2)见解析；(3)．
【分析】（1）根据三角形内角和定理及平角的定义得到，再根据，即可得出结论；（2）根据角平分线的定义及（1）中的结论得出，再根据平行线的性质与判定证明即可；（3）由三角形的内角和定理可得，，可得，再结合（1）的结论可得答案．
【详解】（1）解：在中，，
在中，，，
，，
，
，由对折可得：，，
（2）证明：如图，过点作，，
平分，平分， ，，
由（1）知，
，，
，，，；
（3）解：∵，，
∴，∴，
∵，，∴，
由（1）可得：，
∴，∴；
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，轴对称的性质，平行线的判定及角平分线的定义，熟记三角形内角和是是解题的关键，同时应熟练掌握平行线的判定及角平分线的定义．
题型9.利用全等三角形的性质求角
1.（23-24八年级·河北邯郸·期中）如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌，△AEB≌，且，BE、CD交于点F，若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（ ）
A．105° B．100° C．110° D．115°
【答案】B
【分析】延长C′D交AB′于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC=∠C′+∠AHC′+∠CAD，再求出∠C′+∠AHC′即可解决问题．
【详解】解：延长C′D交AB′于H．
∵△AEB≌△AEB′，∴∠ABE=∠B′，∠EAB=∠EAB′=40°，∵C′H∥EB′，∴∠AHC′=∠B′，
∵△ADC≌△ADC′，∴∠C′=∠ACD，∠DAC=∠DAC′=40°，
∵∠BFC=∠DBF+∠BDF，∠BDF=∠CAD+∠ACD，∴∠BFC=∠AHC′+∠C′+∠CAD，
∵∠DAC=∠DAC′=∠CAB′=40°，∴∠C′AH=120°，
∴∠C′+∠AHC′=60°，∴∠BFC=60°+40°=100°，故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理以及三角形外角的性质等知识，熟练掌握基本性质是解题的关键．
2.（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，＝ °．
【答案】45
【分析】连接，利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：如图所示：
由图可知与与全等，，，
，，
是等腰直角三角形，，，故答案为：45．
【点睛】本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键．
3.（23-24八年级·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，D，E分别是的边上的点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了全等三角形对应角相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质，解题的关键是求出．
根据全等三角形对应角相等，得到，根据，求出，在利用直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，
在中，，∴，故选D．
题型10.利用全等三角形的性质求两线段的位置关系
1.（23-24八年级·河北承德·期末）如图，ABC≌EFD，则BC与DF的关系是（ ）
A．平行但不相等 B．相等但不平行 C．不平行也不相等 D．平行且相等
【答案】D
【分析】根据全等三角形的性质可得BC＝FD，∠BCA＝∠FDE，再由平行线的判定可推出BC∥FD，即可得出结论．
【详解】解：∵△ABC≌△EFD，∴BC＝FD，∠BCA＝∠FDE，∴BC∥FD，
即BC与DF的关系是：平行且相等；故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
2.（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图所示，已知于点，．
(1)若，，求的长．(2)试判断和的关系，并说明理由
【答案】(1)3(2)，，理由见解析
【分析】（1）根据，得出， ，根据即可求解；
（2）根据全等的性质得出，，然后由即可得到，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵，∴， ，
∵，，∴，∴；
（2）∵∴，，
∵，∴∴∴，且．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，对应角相等．
题型11.利用全等三角形的性质求线段的长
1.（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）边长都为整数的△ABC和△DEF全等,AB与DE是对应边,AB=2,BC=4,若△DEF的周长为奇数,则DF的值为 .
【答案】3或4或5
【分析】根据三角形的三边关系求得AC的范围，然后根据全等三角形的对应边相等即可求解.
【详解】AC的取值范围是2＜AC＜6，则AC的奇数值是3或5，
△ABC和△DEF全等，AB与DE是对应边,AB=2,BC=4,
当DF=AC时，DF=3或5当DF=BC时，DF=4故答案为3或4或5
【点睛】本题考点涉及全等三角形性质、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
2.（23-24八年级·山西临汾·期末）如图，已知，点在同一条直线上，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据得到，得到，从而解答．
本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：∵，∴，
∴，∴，故选B．
3.（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）如图，，点在上，与交于点，．
（1）若，则的长为 ；（2）连接，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】（1）根据全等三角形的性质分析求解；
（2）结合三角形中线的性质求得的面积，从而利用全等三角形的性质分析求解．
【详解】解：（1）∵，∴，
∵，∴，即，∴，
（2）又（1）可得，∴，
∵，∴故答案为：；．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形中线的性质，理解全等三角形的性质及三角形中线的概念是解题关键．
题型12.添加条件判断三角形全等
1.（23-24八年级下·山东日照·开学考试）如图，已知，，增加下列条件，其中不能使的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，正确理解全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，即可判断答案．
【详解】，，
A、添加条件，根据“边角边”即可判断，不符合题意；
B、添加条件，无法判断，符合题意；
C、添加条件，根据“角边角”即可判断，不符合题意；
D、添加条件，根据“角角边”即可判断，不符合题意．故选B．
2.（23-24八年级·山东泰安·期末）给出下列四组条件：①，，；②，，；③，，；④，，．其中，能使的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】C
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据全等三角形的判定方法结合选项进行判定即可．
【详解】解：①，，，可根据判定；
②，，，可根据判定；
③，，，可根据判定；
④，，，不能判定；故选：C．
3.（2024八年级·浙江·专题练习）如图，B是中点，，请添加一个条件，使得，可以添加的条件是 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据题意可知已有一组对应角和一组对应边相等，再确定一组对应角相等即可判定．
【详解】解：∵B是中点，∴，
∵， ∴当时，依据可得，，故答案为：（答案不唯一）
题型13.全等三角形的判定与性质的综合应用
1.（23-24八年级·山西吕梁·期末）（1）已知，，O为中点，过O点的直线分别与相交于点M，N，如图1，那么与有什么关系？请说明理由．（2）若将过O点的直线旋转至图2、3的情况时，其它条件不变，那么图1中的与的关系还成立吗？请说明理由．
【答案】（1），，理由见解析 （2）成立，见解析
【分析】（1）由平行线的性质可得，证明，根据全等三角形的对应边相等，即可证得；（2）当图2、3的情况时，证明方法和图1情况完全一样．
【详解】（1），
理由如下：∵，∴，又O是中点，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，；
（2）成立，图2中：∵，∴，又O是中点，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，；
图3中：∵，∴，又O是中点，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，；
【点睛】本题考查全等三角形的判定和平行线的判定与性质，根据全等三角形得出角相等是解题的关键．
2.（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且．
(1)与全等吗？请说明你的理由；
(2)若，，的面积为3，请直接写出的面积．
【答案】(1)，见解析(2)6
【分析】（1）根据中线的性质可得，根据平行线的性质可得，根据全等三角形的判定即可证明；（2）过点作交于点，根据全等三角形的性质可得，的面积为3，根据三角形的面积公式求得，即可求解．
【详解】（1）解：，
理由如下：∵是的中线，∴，∵，∴，
在和中，，∴．
（2）解：过点作交于点，如图：
∵，的面积为3，∴，的面积为3，
∴，则的面积为．
【点睛】本题考查了中线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
3.（23-24八年级·山东日照·期末）在复习课上，老师布置了一道思考题：如图所示，点M，N分别在等边的边上，且，，交于点Q．求证：．同学们利用有关知识完成了解答后，老师又提出了下列问题：
(1)若将题中“”与“”的位置交换，得到的是否仍是真命题？请你给出答案并说明理由．
(2)若将题中的点M，N分别移动到的延长线上，是否仍能得到？请你画出图形，给出答案并说明理由．
【答案】(1)仍是真命题，证明见解析(2)仍能得到，作图和证明见解析
【分析】（1）由角边角得出和全等，对应边相等即可．
（2）由（1）问可知BM=CN，故可由边角边得出和全等，对应角相等，即可得出．
【详解】（1）∵∴
∵∴
在和中有∴ ∴故结论仍为真命题．
（2）∵BM=CN∴CM=AN∵AB=AC，，
在和中有∴
∴∴
故仍能得到，如图所示
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边角迅速、准确地确定要补充的边角，有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路．
题型14.“倍长中线法”构造全等三角形
1.（23-24八年级·浙江杭州·期中）（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容（请填写横线中的依据）：如图，在中，D是边的中点，过点C画直线，使，交的延长线于点E，求证：．
证明：∵（已知），∴，．
∵D为边中点，∴．
在与中，∵，
∴（ ）
∴（ ）
（2）【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是 ．
（3）【猜想证明】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1），全等三角形的对应边相等；（2）；（3），证明见解析
【分析】本题是“倍长中线”模型综合应用，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点；（1）根据前后逻辑关系填空即可；
（2）延长到，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可．（3）结论：．延长，交于点，证明，推出，再证明即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵（已知），∴，．
∵D为边中点，∴．
在与中，∵，∴
∴（全等三角形的对应边相等）;
故答案为：，全等三角形的对应边相等；
（2）延长到，使，连接，
是边上的中线，，
在和中，，，，
在中，，
，，故答案为：；
（3）结论：．理由：如图②中，延长，交于点，
，，
在和中，，，，
是的平分线，，，，
，．
2.（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，延长到使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，推出即可得解决问题．
【详解】解：如图，延长到使，连接，
在与中，，，，，
，，，
，．，
，即，，故答案为：．
3.（23-24八年级·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题：
(1)求证：和是兄弟三角形．(2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题．
①请在图中通过作辅助线构造，并证明．②求证：．
【答案】(1)见解析(2)①见解析；②见解析
【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．（1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论；
（2）①延长至，使，证明，由全等三角形的性质得出；
②证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论．
【详解】（1）证明：，
，
又，，和是兄弟三角形；
（2）证明：①延长至，使，为的中点，，
在和中，，，；
②，，∴，，
又，，，，，
在和中，，，，
又，．
题型15.“截长补短法”证明线段和差问题
1.（23-24八年级·黑龙江大庆·期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD．
【答案】证明见解析．
【分析】延长EB到G，使BG=DF，连接AG．先说明△ABG≌△ADF，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得△AEG≌△AEF，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答．
【详解】延长EB到G，使BG=DF，连接AG．
∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．
∴AG=AF，∠1=∠2． ∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．
又∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．
∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，做出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
2.（23-24八年级·上海静安·期末）如图，已知在中，平分，，则 . （用含的代数式表示）.
【答案】a-b
【分析】在CB上截取CA′=CA，连接DA′，根据SAS证明△ADC≌△A′DC，根据△ADC≌△A′DC，得出DA′=DA，∠CA′D=∠A，再证明DA′=A′B即可解决问题.
【详解】在CB上截取CA′=CA，连接DA′，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠A′CD，
在△ADC和△A′DC中， ，∴△ADC≌△A′DC（SAS），∴DA′=DA，∠CA′D=∠A，
∵∠A=2∠B，∠CA′D=∠B+∠A′DB，∴∠A′DB=∠B，
∴BA′=A′D=AD，∴BC=CA′+BA′=AC+AD∴AD=BC-AC=a-b，故答案为：a-b.
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
3.（23-24八年级·山东临沂·期中）【基本模型】（1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
【模型运用】（2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形．（1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解；（2）结论：，证明方法同法（1）．
【详解】解：（1）结论：．
理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，
则：，，，
∴，即：三点共线，
，∴，
∴，，
在和中，，，，
又，．
（2）结论：．
理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，
则：，同法（1）可得：，，
又，．
题型16.应用全等三角形的性质解决实际问题
1.（23-24八年级下·陕西西安·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若小丽妈妈和爸爸到的水平距离、分别为和，，，．请求出爸爸在C处接住小丽时，小丽距地面的高度是多少？
【答案】爸爸是在距离地面的地方接住小丽，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的实际应用，通过证明， 进而利用证明从而得到，再根据线段的和差关系求出的长是解题的关键.
【详解】解：爸爸是在距离地面的地方接住小丽的，理由如下：
由题意可知，
∵，∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∵分别为和，∴
∵，∴，
∴爸爸是在距离地面的地方接住小丽的.
2.（23-24八年级·山西阳泉·期末）如图1是小宁制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先证明，再证明，即可得到．
【详解】解：∵，，即．
在与中，．．
∵，．
3.（23-24八年级·山西晋城·期末）如图1，课间，小明与小亮在操场上突然争论起来，他们都说自己比对方长得高，这时数学老师走过来，笑着对他们说：“你们不要争论，其实你们一样高，瞧瞧地上，你俩的影子一样长!”因为太阳光线是平行的，于是，小聪根据数学老师的解释，画出如图2所示的图形，线段表示小明的身高，线段表示小明的影子，线段表示小亮的身高，线段表示小亮的影子，，太阳光线．请利用全等的原理说明小明与小亮一样高．
【答案】见解析
【分析】先证明，得到，再证明，即可得到，即可得到小明与小亮一样高．
【详解】解：由题知，，，∴.
∵，∴.
在和中，∴
∴.∴小明与小亮一样高．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
题型17.全等三角形在探究性问题中的应用
1.（23-24八年级下·山东济南·期末）【模型呈现】
（1）如图1，，，于点，于点．
求证：．
【模型应用】（2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积．
【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．①求证；②若，，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）①见解析；
【分析】（1）证明，即可得证；
（2）同（1）法得到，，分割法求出图形面积即可；
（3）①过点作于，过点作交的延长线于，易证，，得到，，再证明，即可得出结论；
②根据全等三角形的性质，求出的长，进而利用面积公式进行求解即可．
【详解】解：（1）证明：，，
，，，
，，
在和中，，．
（2）由模型呈现可知，，，
，，，，
则．
（3）①过点作于，过点作交的延长线于．
由【模型呈现】可知，，，，，
，，
图3
在和中，，．
②由①可知，，，，
，，，
由①得，，
，，．
2.（23-24八年级·安徽六安·期末）如图所示，是高，点P在的延长线上，，点Q在上，．
(1)判断： （用“>”、“<”、“＝”填空）；(2)探究：与之间的关系；
(3)若把（1）中的改为钝角三角形，，是钝角，其他条件不变，试探究与之间的关系，请画出图形并直接写出结论．
【答案】(1)(2)结论：，，详见解析(3)上述结论成立，详见解析
【分析】本题主要考查了垂线的定义、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键．（1）根据垂线的定义和三角形内角和定理即可得出答案；
（2）根据垂线的定义和三角形内角和定理可得，证明，可得结论；
（3）根据垂线的定义和三角形内角和定理可得，证明，可得结论；
【详解】（1）解：设交于F，
是高，，，
，
；故答案为：；
（2）解：结论：，，
证明： 是高，，，
，，
在和中，，，
，而，
，即， ；即，；
（3）解：上述结论成立，理由如下：如图所示：
是高，，，
，，
在和中，，，，
，，，
，，即，
3.（23-24八年级·广西南宁·期末）综合与实践：
【问题情境】在综合与实践课上，老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，垂足分别为点．请证明：．
【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，请证明：点为的中点．
【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出与的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，熟练掌握全等三角形的判定及性质，添加适当的辅助线是解题的关键．（1）利用证得，即可求证结论；
（2）过作于，由（1）得，进而可得，再利用可证，则可证，根据数量关系可得，，进而可求证结论；
（3）过点作于，由（2）得，，，再根据数量关系即可求解；
【详解】解：（1）证明：，，
，，，
在和中，，，；
（2）证明：过作于，如图：
由（1）得：，，，，
在和中，，，
，，，，，
，，是的中点；
（3），理由如下：过点作于，如图：
由（2）得：，，，
，，，
，，，．
选择题（共10小题）
1．（23-24八年级·湖南衡阳·期末）将命题“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式，正确的是
A．如果两个角相等，那么它们是对顶角 B．如果两个角是对顶角，那么它们相等
C．如果对顶角，那么相等 D．如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等
【答案】B
【详解】试题分析：原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”，
命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．故选B．
2．（23-24八年级·江苏盐城·期中）一个三角形的两边长分别为2和6，则第三边长可能是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．10
【答案】C
【分析】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和大于三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断．
【详解】解：设第三边为x，则，所以第三边长可能是6．故选：B．
3．（23-24八年级·广东佛山·期末）如图，在四边形中，.不能判定的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，分别添加选项进行排查，即可完成解答；注意BD是公用边这个条件.
【详解】解：A.若添加AB=CD,根据AB∥CD，则∠ABD=∠CDB，依据SAS可得△ABD≌△CDB，故A选项正确；
B.若添加AD=BC,根据AB∥CD，则∠ADB=∠CBD，不能判定△ABD≌△CDB，故B选项错误；
C.若添加，则四边形ABCD是平行四边形，能判定△ABD≌△CDB，故C选项正确；
D.若添加∠A=∠C，根据AB∥CD，则∠ABD=∠CDB，且BD公用，能判定△ABD≌△CDB，故D选项正确；故选B.
4．（23-24八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，中，，的垂直平分线交于点，的周长是21，则的长度为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得出，由的周长是21得出，结合计算即可得出答案．
【详解】解：∵垂直平分，∴，
∵的周长是21，∴，
∵，∴，故选：A．
5．（23-24八年级·辽宁辽阳·期中）如图，沿边所在直线向右平移得到，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了图形的平移，全等三角形的判定和性质，掌握图形平移的性质是解题的关键．
根据图形平移是改变图形的位置，不改变其大小，对应边相等，对应角相等，由此即可求解．
【详解】解：根据平移，，则A正确，不符合题意；
根据对应角相等，则，则B正确，不符合题意；
根据平移的性质，，则，C正确，不符合题意；
根据平移可得，，与不一定相等，则D错误，符合题意；故选： D．
6．（23-24八年级·山东临沂·期末）如图，是的角平分线，，垂足为的面积为，则的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：作于， 是的角平分线，，
故选：C．
7．（23-24八年级·江苏扬州·期中）如图，在中是上的一点，，点是的中点，设，，的面积分别为，，，且，则（ ）
A．6.5 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】题目主要考查求解三角形面积；结合图形，利用高相同，底的比即为面积比计算是解题关键．利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，点D是的中点则
，则，然后利用
即可得到答案．
【详解】解：∵点D是的中点，∴，
∵，∴，∵，∴，
；故选：D．
8．（23-24八年级·山东济宁·期中）如图，沿直线MN折叠，使点与AB边上的点重合；若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是翻折变换、直角三角形的性质、三角形的外角性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键.
【详解】在 中, ∴，
由折叠的性质可知：
，故选: C.
9．（23-24八年级·湖北恩施·期中）如图，三角形中，，D为边上的任意一点，连接，E为线段上的一个动点，过点E作点F．，则的最小值为（ ）
A．6 B．4.8 C．2.4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查最短路径问题，垂线段最短，熟练掌握垂线段最短和利用面积法求线段长是解题的关键．
过C作于F，交于E，此时，值最小，最小值等于，利用面积法求出长即可求解．
【详解】解：过C作于F，交于E，
则的最小值为．
∵，，，∴，
∴，即的最小值为：4.8，故选：B．
10．（23-24八年级·山东济南·期末）如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论 ； ； ； 中，，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】证明可得，，可判断，选项正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解的度数，利用角平分线的定义求得，即可得，进而可证明，即可判断选项正确，进而可求解．
【详解】解：①，
，即，
在和中，，，
，故①选项符合题意；
，故④选项符合题意；
②，，
，，
平分，，，
，（内错角相等，两直线平行），
故②选项符合题意；根据已知条件无法证明，故③选项不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理．证明是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，根据中线的定义得出，由的周长比的周长大，得，代入即可求解，熟练掌握三角形中线的有关计算是解题的关键．
【详解】∵是的中线，∴，
由的周长为，的周长，
∵的周长比的周长大，
∴，
∵，∴，故答案为：．
12．（23-24八年级·广东深圳·期末）如图，在中，，利用尺规作图，得到直线和射线．若，则 °．
【答案】40
【分析】本题考查了作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，则，，从而得到，由三角形内角和定理求出，即可得到答案．
【详解】解：由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，
∴，∴，
∵，，
∴，∴，
∴，∴，故答案为：40．
13．（23-24八年级·四川成都·期末）已知面积为24，将沿的方向平移到的位置，使和C重合，连接交于D，则的面积为 ．
【答案】12
【分析】根据平移的性质可得，证明，得到，则，再推出，则．
【详解】解：由平移的性质可得，
∴，∴，
∴，∴，∵，的面积为24，
∴，∴．故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了平移的基本性质，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，熟知平移的性质是解题的关键：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
14．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ．
【答案】3
【分析】过点作交延长线于点，先证明，则，然后根据求即可．
【详解】解：过点作交延长线于点，则∠DMC=90°=∠ABC，
，，，，，
，，，
，．故填．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，正确作出辅助线、构造全等三角形证得成为解答本题的关键．
15．（23-24八年级·四川绵阳·期末）如图，已知，点在上，点为平面内一点，，过点作，平分，平分，若，．则 ．
【答案】
【分析】延长交于点，结合所给的条件，则可找到，通过角之间关系的转化，可以得到，从而可得，再结合可求得的度数，则可求的度数．本题主要考查了平行线的性质，垂线，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形，找到已知条件与所求角之间的关系．
【详解】解：延长交于点，如图所示：
，，，
平分，，，
，，
，，
，
平分，，
，，整理得：，
，
，在中，，，，
即，，
解得：，．故答案为：．
16．（23-24八年级·湖南长沙·开学考试）如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t，当与全等时，t的值为 ．
【答案】1秒，或3.5秒，或12秒
【分析】根据于E，于F，得到与都是直角三角形，当与全等时，得到，分三种情况讨论求解即可，当P在上，Q在上时，根据，，得到，解得；当P、Q在上重合时，根据，，得到，解得：当Q到达A点后，点P运动到上时，根据，得到．满足条件的t值为1秒，或3.5秒，或12秒．
本题主要考查了全等三角形，熟练掌握全等三角形的性质定理，分类讨论，是解题的关键．
【详解】∵于E，于F，∴，
∴与都是直角三角形，∴当与全等时，，
当P在上，Q在上时，∵，，，，
∴，，∴，解得；
当P、Q在上重合时，，，
∴，解得：
当Q到达A点后，点P运动到上时，，∴．
综上，当与全等时，满足条件的t值为1秒，或3.5秒，或12秒．
故答案为：1秒，或3.5秒，或12秒．
三．解答题（共7小题）
17．（23-24八年级·安徽亳州·期中）已知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a．
(1)求a的取值范围；(2)若a为整数，当a为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？
【答案】(1)(2)当时，三角形的周长最大为
【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可得到答案；
（2）由（1）取最大值即可得到答案．
【详解】（1）解：由三角形的三边关系可知
， 即，∴a的取值范围是；
（2）解：由（1）知，a的取值范围是，a是整数，
∴当时，三角形的周长最大，
此时周长为：，∴周长的最大值是23．
【点睛】本题考查三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
18．（23-24八年级·山东威海·期末）已知，
(1)借助直尺和圆规作（保留作图痕迹，不必写步骤）；
(2)若平分，平分，则的度数为 ．
【答案】(1)见解析(2)30或60
【分析】本题主要考查了尺规作图，角的和差，角平分线的定义，关键是分情况讨论．
（1）根据尺规作图作垂线的步骤作图即可；（2）根据角平分线的定义求出、，再分两种情况：当在上方时，当在上方时，分别进行讨论求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求
（2）∵平分，，∴，
∵平分，，∴，
当在上方时，；
当在上方时，；故答案为：30或60．
19．（23-24八年级·四川宜宾·期末）如图，点D在的边延长线上，点E在边上，连结交于点F，．
(1)求证：；(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了三角形内角和、三角形外角的性质，掌握这两个知识点是关键．
（1）由三角形内角和即可求证；（2）由互补求得度数，由可求得度数；再由求得的度数；再由及对顶角相等即可求得结果．
【详解】（1）证明：，
；
（2）解：，
， ；
，
，
．
20．（23-24八年级·河南南阳·期末）如图，分别为的中线、高，点E为的中点．
(1)若求的度数；(2)若的面积为15，求的长．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查三角形的内角和，外角，三角形的中线和高线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）三角形的外角求出，三角形的内角和定理，求出即可；
（2）三角形的中线平分面积求出，然后利用面积公式求出的长即可．
【详解】（1）解：∵∴，
∵是的高线，∴，∴；
（2）∵的面积为15，点E为的中点，∴，
∵，，∴，∴．
21．（23-24八年级·安徽阜阳·期末）如图，、分别是的边、上的高，且，．求证：(1)；(2)．
【答案】(1)见详解(2)见详解
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．（1）首先证明，再加上条件可以证明进而得到；（2）根据可得，再证明可得，进而得到 ，即可证出．
【详解】（1）证明：∵，，
，，，
在和中，，，；
（2）证明：∵，，
又，，，
，即，．
22．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）在中，和边上的高、交于点F，．
(1)如图1，求证:；(2)如图1，求的度数；(3)如图2，延长BA到点G，过点G作的垂线交的延长线于点H，已知，，，，求的长．
【答案】(1)见详解(2)(3)13
【分析】（1）根据同角的余角相等，即可证明．
（2）先根据证明，则可得，则可得，即 ．
（3）在上截取，连接．根据可得，则可得，．再证，然后由可得，则可得．又由可得，进而可得，，从而可求得的长．本题主要考查了全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确的做出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：，，，，
，，．
（2）解：在和中，，，
，，．
（3）解：如图，在上截取，连接．
∵是的高，，∴，
又，，，，，
由（2）知，即，，
，，，
在和中，，
，由（2）知，，
，，．
23.（23-24八年级·吉林长春·期末）如图1，中，于点D，以A为直角顶点，分别以、为直角边，在外作等腰直角和等腰直角，过点E、F作射线的垂线，垂足分别为H、G．
(1)试探究与之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图2，若连接交的延长线于G，由（1）中的结论能否判断与的大小关系？并说明理由．
(3)在（2）的条件下，若面积为90，，请直接写出长．
【答案】(1)相等，见解析(2)能，相等，见解析(3)18
【分析】（1）根据一线三等角模型，利用证明 ，，推出，推出，即可得出；（2）利用证明，即可得出；
（3）利用全等三角形相等，可得，，由此可解．
【详解】（1）解：，证明如下：
是等腰直角三角形， ，，
，， ，
，， ，
在和中，， ，
，同理，则， ；
（2）解：，理由如下： ，， ，
在和中，， ， ；
（3）在（2）的条件下，若面积为90，，请直接写出长
，， ，
，， ，
在和中，， ，∴，
∵，∴∴，
是等腰直角三角形， ，，
，， ，
，， ，
在和中，， ， ，
又∵∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的定义等，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
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