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第2章 特殊三角形
题型1.利用轴对称的性质求角的度数 2
题型2.利用线段垂直平分线的性质求线段的长 4
题型3.平面直角坐标系中的轴对称 5
题型4.点的坐标对称规律的应用 7
题型5.含30°的直角三角形性质的应用 9
题型6.等腰三角形的性质与判定的综合 10
题型7.等边三角形的性质与判定 12
题型8.利用轴对称解决“两线”的最短路径问题 15
题型9.角平分线性质的应用 16
题型10.角平分线相关的最短路径问题 19
题型11.角平分线判定的应用 21
题型12.角平分线性质与判定的综合运用 22
题型13.利用勾股定理求线段的长 26
题型14.利用勾股定理求图形的面积 27
题型15.勾股定理的证明 29
题型16.利用直角三角形的判定方法判断三角形的形状 30
题型17.勾股定理及直角三角形的判定方法的综合应用 31
题型18.格点中勾股定理的应用 32
题型19.勾股定理在实际生活中的应用 34
题型20.利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题 36
专项训练 39
题型1.利用轴对称的性质求角的度数
1.（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，，点D，E在上，与关于直线对称，则的度数是 ．
【答案】/50度
【分析】本题考查直角三角形的两锐角互余，轴对称性质，以及外角问题，掌握直角三角形的两锐角互余，轴对称性质，以及外角性质，会用已知角求余角，利用对称轴证角相等，利用外角关系解决问题是关键．由，，得，根据对称性的性质可得，根据三角形外角的性质得出，求出结果即可．
【详解】解：∵，，∴，
∵点D，E在上，与关于直线对称，∴，
∵，∴，故答案为：．
2.（23-24八年级·河北保定·期末）如图，中，点在上，将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、．根据图中标示的角度，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】此题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求得，进而根据轴对称的性质可得，即可求解．
【详解】解∶连接，
点分别以、为对称轴，画出对称点、，，，
，，，
，故答案为：
3.（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，点P在四边形的内部，且点P与点M关于对称，交于点G，点P与点N关于对称，交于点H，分别交于点．
(1)连接，若求的周长；(2)若，求的度数．
【答案】(1)12cm(2)134°
【分析】本题主经考查了轴对称与多边形综合．熟练掌握轴对称性质，多边形内角和公式，是解决问题的关键．n边形内角和公式．
（1）根据轴对称性质得到，， ，得到的周长等于线段的长度，为．
（2）根据轴对称性质得到，，，，，根据四边形内角和为与，得到，根据五边形内角和为，得到．
【详解】（1）解：如图，∵点P与点M关于对称，∴，
∵点P与点N关于对称，∴，∵，∴的周长为．
（2）解：∵点P与点M 关于对称，∴，即，
∵点P 与点N 关于 对称，∴，即，
∵，，∴，
∵，∴．
题型2.利用线段垂直平分线的性质求线段的长
1.（23-24八年级·江苏南通·期末）如图，在中，E是上一点，，垂直平分，于点D，的周长为，，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质，线段的和差，根据垂直平分线的性质和三线合一得到，，继而结合的周长得出，即可求出结果．
【详解】解：，， ，
垂直平分，，的周长为，
，
，，解得，故答案为：．
2.（23-24八年级·宁夏石嘴山·期末）如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，若的周长为，则的长为 ．
【答案】
【分析】此题考查线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
利用线段垂直平分线的性质得，再利用已知条件结合三角形的周长计算．
【详解】解：的周长，
又垂直平分，，故，
，．故答案为：．
3.（23-24八年级·广西贵港·期末）如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于、两点，与相交于点．(1)若，求的周长．(2)若，求的度数．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理求出，进而求出，结合图形计算即可．
【详解】（1）解：、分别垂直平分和，，，
的周长，故的周长为；
（2），，
，，，
，
，，，，
，故的度数为．
题型3.平面直角坐标系中的轴对称
1.（23-24八年级·甘肃武威·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知三个定点坐标分别为，，．(1)画出关于x轴对称的，点A，B，C的对称点分别是点，直接写出点的坐标；(2)画出点C关于y轴的对称点，连接，求的面积．
【答案】(1)图见解析，，， (2)图见解析，的面积是4
【分析】本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质．
（1）分别作出点、、关于轴的对称点，再顺次连接可得；
（2）作出点关于轴的对称点，然后连接得到三角形，根据面积公式计算可得．
【详解】（1）如图所示，即为所求．
，，，
（2）如图所示，的面积是，故答案为：4．
2.（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，．
(1)画出关于轴对称的；(2)画出向下平移个单位长度得到的；
(3)在的内部有一点，其坐标为，请直接写出点经过以上变换后的对应点的坐标．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】本题考查的是画轴对称图，平移作图，坐标与图形．
（1）根据关于轴对称的两点的坐标特征分别找出点、、关于轴对称的对应点，顺次连接即可；
（2）分别找出点、、向下平移后的对应点，顺次连接即可；
（3）先得出点关于轴对称的对应点坐标，再根据“左减右加，上加下减”的平移规律得出的坐标即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求：
（2）解：如图，即为所求：
（3）解：点坐标为，点关于轴对称的点的坐标为，
点向下平移个单位长度的点的坐标为．
题型4.点的坐标对称规律的应用
1.（23-24八年级·吉林白山·期末）在坐标平面上有一个轴对称图形，其中A（3，﹣）和B（3，﹣）是图形上的一对对称点，若此图形上另有一点C（﹣2，﹣9），则C点对称点的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣） C．（﹣，﹣9） D．（﹣2，﹣1）
【答案】A
【分析】先利用点A和点B的坐标特征可判断图形的对称轴为直线y=-4，然后写出点C关于直线y=-4的对称点即可．
【详解】解：∵A（3，﹣）和B（3，﹣）是图形上的一对对称点，∴点A与点B关于直线y＝﹣4对称，
∴点C（﹣2，﹣9）关于直线y＝﹣4的对称点的坐标为（﹣2，1）．故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化，需要注意关于直线对称：关于直线x=m对称，则两点的纵坐标相同，横坐标和为2m；关于直线y=n对称，则两点的横坐标相同，纵坐标和为2n．
2.（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）已知点与点关于x轴对称，则 ， ．
【答案】 3
【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程求解即可．
【详解】解：∵点与点关于x轴对称，
∴，，解得：，．故答案为：3，．
3.（23-24八年级·山东枣庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是，则经过第2024次变换后点A的对应点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次轴对称变换为一个循环组，依次循环是解题的关键，
观察图形可知每四次轴对称变换为一个循环组，依次循环，用2024除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．
【详解】解：点A第一次关于y轴对称后在第一象限，坐标为；
第二次关于x轴对称后在第四象限，坐标为；第三次关于y轴对称后在第三象限，坐标为；
第四次关于x轴对称后在第二象限，即点A回到原始位置，坐标为；
每四次轴对称变换为一个循环组依次循环，
，经过第2024次变换后，所得的A点与第四次变换的位置相同，在第二象限，坐标为．故答案为： ．
题型5.含30°的直角三角形性质的应用
1.（23-24八年级·辽宁大连·期末）如图，在等边中，点、分别在边、上，，线段、交于点，连接．
(1)求的度数；(2)当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】(1)；(2)，证明见解析．
【分析】（）通过证明得出 ，再由即可推出结果；
（）过点作，垂足为，通过证明 得出，再根据含的直角三角形性质推出即可得出结论；本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理和含 角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴，，
在和中，∴，
∴，∴，
（2）证明：过点作，垂足为，∴.
∵，∴，
在和中，∴，∴，
∵，
∴，∴，即，∴，∴．
2.（23-24八年级·湖南长沙·期末）已知在中，的平分线交于点D，．
(1)如图1，求证：是等腰三角形；(2)如图2，若平分交于E，，在边上取点F使，若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)4
【分析】本题考查角平分线、平行线的性质以及直角三角形的边角关系，掌握角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键．（1）根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定进行推论即可；
（2）利用角平分线的定义、平行线性质，以及直角三角形的边角关系进行计算即可．
【详解】（1）证明：∵是的平分线，，
，，，；即是等腰三角形；
（2）解：∵，，
又平分，，由（1）可知，，
，，，
在中，，，
又∵，．
题型6.等腰三角形的性质与判定的综合
1.（23-24八年级·安徽六安·期末）在等腰中，，高所在的直线相交于点F，将沿直线翻折，点C的对称点落在直线上，连接．(1)如图1，当时，①求证：；②求的度数．(2)当时，补全图2，并求证：．
【答案】(1)①详见解析；②(2)详见解析
【分析】本题考查等腰三角形中的翻折问题，熟练掌握翻折的性质以及全等三角形的判定是解题的关键．
（1）①根据题意证明即可得到结论；②根据全等三角形的性质以及翻折的性质证明是等腰直角三角形，即可得到答案；（2）根据题意补全图形，根据题意证明即可得到结论．
【详解】（1）解：①证明：是的高，，，
是的高，，
在和中，，，；
②解：如图：由①知：，，
将沿直线翻折，点C的对称点落在直线上，
，，故是等腰直角三角形，；
（2）解：补全图形如下：，，
是的高，是等腰直角三角形，，
是的高，，
，，，，
将沿直线翻折，点C的对称点落在直线上，，，
，，．
2.（23-24八年级下·四川成都·期末）如图1，在中，D为边上一点，，．
(1)求的度数；(2)如图2，点E在延长线上，连接，，求证：；
(3)在（2）的条件下，求证：．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和，平行线的性质，解题的关键是熟练运用相关知识．（1）根据，，可得、、都为等腰三角形，从而可得，，，继而得到，将和化为的倍数，根据三角形内角和即可解题；（2）根据可得，，从而得到，为等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可解题；（3）根据等腰三角形的性质将、化为和即可解题．
【详解】（1）解：，，、、都为等腰三角形，
，，，，
，，；
（2）证明：，，，
，为等腰三角形，；
（3）证明：，，，
，．
题型7.等边三角形的性质与判定
1.（23-24八年级·全国·单元测试）已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点．(1)求证：；(2)求的度数；(3)求证：是等边三角形．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是根据性质进行推理．（1）根据等边三角形性质得出，，，求出，证即可；（2）根据全等求出，进而求出的值，根据三角形的内角和定理求出即可；（3）求出，根据证，推出，求出即可．
【详解】（1）证明：、都是等边三角形，
，，，
，，
在和中，，．
（2）解：，，
等边三角形，，
，，
（3）证明：，，，，
又点、分别是线段、的中点，，，，
在和中，，，，，
又，，，
，是等边三角形．
2.（23-24八年级·安徽·期末）如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．
(1)如图1，当为的中点时，则______（填“”“”或“”）．
(2)如图2，当为边上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．
(3)如图3，当点在的延长线上时，若的边长为2，，求的长．
【答案】(1)(2)当为边上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，理由见解析(3)5
【分析】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得 ，然后证，得，即可得出结论；（2）过点作 ，交于点，证为等边三角形，得，再证（），得，即可得出结论；（3）过点作 ，交的延长线于点，可证得是等边三角形，，由，，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，∵是等边三角形，点是的中点，
∴平分，，，，∴，，
又∵，∴，∴，
∴，∴，
∴，即，故答案为：．
（2）解：当点为上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，如图，．理由如下：
如图，过作 交于，
∵是等边三角形，∴，，
∵ ，∴， ，即，
∴是等边三角形，∴，∵，
∴，，
∵，∴，∴，
在和中，，∴，∴，即，
（3）解：过点作 ，交的延长线于点，如图所示：
∵是等边三角形，∴，，
∴， ，即，
∴是等边三角形，∴，
∵，∴，
∵，∴，∵ ，∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，∴．
题型8.利用轴对称解决“两线”的最短路径问题
1.（23-24八年级·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知的大小为α，P是内部的一个定点，且，点E、F分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，当点E、F在上时，的周长为，此时周长最小，根据可求出α的度数．
【详解】解：如图，作点P关于的对称点C，关于的对称点D，连接，交于E，于F．此时，的周长最小．连接，，，．
∵点P与点C关于对称，∴垂直平分，，，，
同理，可得，，．
，，．
又的周长为：，，
是等边三角形，，．故选：A．
【点睛】此题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．
2.（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小，易知，，，，，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小，
由轴对称的性质得，，，，，
∴．故选：D．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
题型9.角平分线性质的应用
1.（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图1，在中，是的角平分线．
(1)若，，，可得到结论：__________；
(2)若，，，可得到结论：__________；
(3)图2中，，，，若是的外角平分线，与的延长线交于点E，可得到结论：__________．
【答案】(1)2(2)(3)
【分析】（1）本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质可得，从而求得，再利用求解即可；（2）由（1）可得，，即可求解；
（3）由，即可求解．
【详解】（1）解：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G，
∵是的角平分线，，，∴，
∴，∴，故答案为：2．
（2）解：由（1）可得，，
∵，∴，故答案为：．
（3）解：过点E分别作于点H，交的延长线于点G，则，过点C作于点N，∴，
即，故答案为：．
2.（23-24八年级下·湖南张家界·期末）如图，点是的三个内角平分线的交点，若的周长为，面积为，则点P到边的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点P作于D，于E，于F，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：过点P作于D，于E，于F，如图，
∵点P是的内角平分线的交点，∴，
又的周长为，面积为，
∴，
∴∴∴点P到边的距离是3cm故选：A．
3.（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，在中，是它的角平分线，点P是线段上的任一点（不与A、D重合），，交于点E，，交于点F，若点D到的距离为3，，则 ．
【答案】9
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的性质，三角形的面积．利用角平分线的性质求得的边的高是解题的关键．
过点P作，垂足为M，，垂足为N，先由平行线的性质与角平分线证明，再利用角平分线的性质证明，求得，即可由三角形面积公式求解．
【详解】过点P作，垂足为M，，垂足为N，如图，
是的角平分线， ，
，， ，， ，
，，，点D到的距离为3， ，
，点D到PF的距离为3，∴，故答案为：9．
题型10.角平分线相关的最短路径问题
1.（23-24八年级·广东韶关·期中）如图，等边中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值，是等边三角形，，
，，，，
，，，，，
，是等边三角形，，的最小值为5．故答案为：5．
2.（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查角平分线的轴对称性、最短路径问题，先过C作于H，根据角平分线的轴对称性，可作N关于对称点，连接，则，由得当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值，利用三角形的面积公式求得，进而可求解．
【详解】解：∵平分，如图，过C作于H，作N关于对称点，∴在上，
连接，则，当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值，∵在锐角三角形中，，的面积为7，
∴，∴ ，即的最小值为，故答案为：．
3.（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，AB=AC=7，AD=8.3，点E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于点F．点P是线段CF上一动点，则EP＋AP的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．7.5 D．8.3
【答案】B
【分析】连接，由得，，根据知，当点在线段上时，的最小值是，问题得解．
【详解】解：连接，平分交于点，
，， ， ，
且，当点在线段上时，的最小值是，
，的最小值为7．故选：
【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，两点之间线段最短，其中准确作出点关于对称轴对称的对称点是解题的关键．
题型11.角平分线判定的应用
1.（23-24八年级·河南新乡·期中）如图，三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有 处 (阴影部分不能修建超市)
【答案】3
【分析】因为要到三条公路的距离相等，所以超市要选择的位置是内角平分线的交点或者是外角平分线的交点，作图可知答案．
【详解】解：如图所示，的内角平分线的交点，外角平分线的交点，
阴影部分不能修建超市， 不能修建超市，
故满足条件的修建点共有3处，即点；故答案为：3．
【点睛】此题考查了角平分线的判定定理，熟练掌握：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，是解答此题的关键．
2.（23-24八年级·湖南衡阳·期中）如图，，于点E，于点F，、相交于点D，则①；②；③点D在的平分线上，以上结论正确的是 ．（填序号）
【答案】①②③
【分析】连接，根据垂直的定义，利用证明即可判断①；推出，由推出，再利用证明即可判断②；根据角平分线的判定即可判断③．
【详解】解：连接
于点E，于点F，，
在和中，故①正确；
在和中，故②正确；
，点D在的平分线上，故③正确；故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．
题型12.角平分线性质与判定的综合运用
1.（23-24八年级·江苏泰州·期中）如图，在中，点D是边上一点，已知平分交于点E，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点E作于M，于N，于H，先计算出，则AE平分，根据角平分线的性质得，再由CE平分得到，则，于是根据角平分线定理的逆定理可判断DE平分，再根据三角形外角性质解答即可．
【详解】解：过点E作于M，于N，于H，如图：
，，，∴AE平分，∴，
∵CE平分，∴，∴
∴DE平分，，由三角形外角可得：，
，，而，
， 故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和判定定理，三角形的外角性质定理，解决本题的关键是运用角平分线定理的逆定理证明DE平分．
2.（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，的内角和外角的角平分线，交于点，且，则 ．
【答案】/64度
【分析】延长，过点作于点，作于点，作于点，根据角平分线的判定可知是的平分线，再利用角平分线的定义可知，最后利用三角形外角的性质即可解答．本题考查了角平分线的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练运用角平分线的定义是解题的关键．
【详解】解：延长，过点作于点，作于点，作于点，
∵的外角的平分线与内角平分线交于点，
∴，∴，∴是的平分线，
∵平分，平分，∴，
∵，
∴，∴，∴，故答案为：．
3（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，线段、分别平分、交于点G．(1)如图1，求的度数；(2)如图2，求证：；(3)如图3，过点C作交延长线于点D，连接，点N在延长线上，连接交于点，使，若，，求线段的长．
【答案】(1)(2)见解析(3)5
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据平分、平分，得出，，求出，根据三角形内角和得出，即可求出结果；（2）作平分交于点，证明，得出，证明，得出，即可证明结论；（3）作交延长线于点，作交延长线于点，作于点，证明平分，根据，，得出，根据平分，，，得出，证明，证明，得出，证明，得出，作于点，于点，于点，根据，，得出，求出即可得出答案．
【详解】（1）解：在中，，
∵∴，∵平分、平分，
∴，，∴，
在中，，∴．
（2）解：作平分交于点，如图所示：∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴，∴，∴；
（3）解：作交延长线于点，作交延长线于点，作于点，如图所示：
∵平分，∴，∵，∴，∴，
∵，∴，∴平分，∵，，∴，
∵平分，，，∴，∴，∴平分，
∵，∴，∴，
由（1）得，∴，
∵，，，∴，
∵，∴，由（2）得，∴，
∴，，∵，，
∴，∴，∴，
∵，∴，作于点，于点，于点，
∵，∴，，
，∴，∴，∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形面积的计算，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．
题型13.利用勾股定理求线段的长
1.（23-24八年级·山东济南·期末）如图，，，，，，点是的中点，则的长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，延长交于点F，然后证明，得到，然后利用勾股定理得到，然后解题即可．
【详解】解：延长交于点F，∵点是的中点，∴，
又∵，∴，，∴，
∴，∴，
又∵，∴，∴故答案为：
2.（23-24八年级·广东深圳·期末） 在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】本题考查折叠的性质，角平分线的性质，过点作，可得，设，勾股定理求出的长，表示出的长，等积法列出方程求出的值即可．
【详解】解：过点作，
∵长方形，∴，∵平分，∴，
由翻折可得，由勾股定理，得：，
设，∴，
∵，∴，解得：，∴；故选：B．
题型14.利用勾股定理求图形的面积
1.（23-24八年级·山东聊城·期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积
【答案】21
【分析】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型．利用勾股定理，求出，从而得到，再由阴影部分的面积等于大正方形的面积减去空白部分面积，即可求解．
【详解】解：如图，根据题意得：，，，
∴，∴，∴，
∴阴影部分的面积为．故答案为：21
2,（23-24八年级·广东江门·期末）如图，正方形纸片的四个顶点分别在四条平行线、、、上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为、、，，，若，，则正方形的面积等于 ．
【答案】74
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．由“”可证，可得，，由勾股定理可求，即可求解．
【详解】解：如图，过点作作于，过点作于，
，，
，，
，，，
正方形的面积等于74，故答案为：74．
题型15.勾股定理的证明
1.（23-24八年级·江西赣州·阶段练习）如图1，我们称该图案为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为a，b（），斜边长为c．（1）请利用图1验证勾股定理．
知识应用（2）在图1中，若，，求小正方形的面积．
（3）小明按图2的方式把边长为和的两个正方形切割成5块，按图3的方式无缝拼成一个大正方形，则大正方形的边长是________．
【答案】（1）见解析；（2）9；（3）
【分析】本题主要考查了勾股定理的几何证明，利用勾股定理进行计算，算术平方根的应用，解题的关键是数形结合．（1）根据大正方形的面积的两种表示方法四个直角三角形的面积小正方形的面积，列式证明即可；（2）先根据勾股定理求出，然后根据正方形的面积公式求解即可；
（3）根据两个图形的面积相等，求出图3中大正方形的面积，然后再求出边长即可．
【详解】（1）证明：∵大正方形的面积四个直角三角形的面积小正方形的面积，
，．
（2）由勾股定理得，∴小正方形的面积．
（3）大正方形的面积为：，大正方形的边长：．
2.（23-24八年级·河南驻马店·期末）阅读下列材料，完成任务：我们知道，平方差公式可以用如图所示的平面几何图形的面积来表示，实际上，还有一些代数式恒等式也可以用这种形式表示．
任务：(1)图1是由2个边长分别为，的正方形和2个全等的长方形所拼成的大正方形，根据图中的信息，可以写出所表示的代数恒等式为______；
(2)图2所示的图形是由四个直角边长分别为，，斜边长为的全等的直角三角形和一个正方形的拼成的大正方形，请你用面积法推导恒等式的方法，证明勾股定理．
(3)在中，，为直角边长，为斜边长，且，，求直角三角形的斜边长．
【答案】(1)(2)见解析(3)
【分析】（1）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个矩形的面积和计算即可．（2）根据正方形的面积不变性，三角形的面积公式计算证明即可．（3）根据勾股定理，公式变形计算即可．
【详解】（1）解：根据正方形的面积等于边长的平方，得到正方形的面积为；
结合图形，得到正方形的面积还等于，故，
故答案为：．
（2）解：∵，∴，∴．
（3）解：∵，∴
∵，∴∴，，
∵，∴，∴（舍去）．
题型16.利用直角三角形的判定方法判断三角形的形状
1.（23-24八年级·陕西西安·期末）在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件：
①；②；③，，；
④，其中可以判定是直角三角形的有 个．
【答案】2
【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，对于①④，求出各内角的度数，判断即可；对于②③，根据勾股定理逆定理判断即可．
【详解】∵，，
∴，∴是直角三角形，则①正确；
∵，∴，即，∴是直角三角形，则②正确；
∵，，，∴，
∴不是直角三角形．则③不正确；
设，根据三角形内角和定理，得
，解得，∴，，，
∴不是直角三角形．则④不正确．正确的有2个．故答案为：2．
2.（23-24八年级·陕西西安·期中）已知是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ）
A．底与腰不相等的等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【分析】本题主要考查了非负数的性质与勾股定理的逆定理，首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出，，的值，再根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，，∴，，，
∴，∴三角形的形状是直角三角形，故选：．
题型17.勾股定理及直角三角形的判定方法的综合应用
1.（23-24八年级·贵州贵阳·期末）如图，四边形中，，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可．
【详解】解：连接，∵∴，
∵，∴为直角三角形，
∴四边形的面积；故选B．
2.（23-24八年级·广东河源·期末）（1）如图1，在中，，，，，求的面积；（2）如图2，在中，，，，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据勾股定理求出，，求出，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，根据勾股定理求出，求出，再求出的面积即可；
（2）过点作，交的延长线于点．设，则，根据勾股定理得出，代入求出，再求出，最后求出的面积即可；
【详解】解：（1） ，，，
，，
， ， ，
由勾股定理得，
， ．
（2）如图，过点作，交的延长线于点．设，则，
在和中，由勾股定理得，，
， ，
解得，即， ， ．
题型18.格点中勾股定理的应用
1.（23-24八年级·山东淄博·期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，则∠CBD+∠ABC＝ ．
【答案】45°
【分析】取格点E，连接BE、AE．利用勾股定理得到BE＝BD，根据等腰三角形的性质得出∠CBE＝∠CBD．由勾股定理的逆定理以及AB＝AE证明△ABE是等腰直角三角形，进而求出∠CBD+∠ABC＝45°．
【详解】解：如图，取格点E，连接BE、AE
由勾股定理得，BE2＝12+52＝26，BD2＝12+52＝26，∴BE＝BD，∵BC⊥ED，∴∠CBE＝∠CBD
∵AB2＝22+32＝13，AE2＝22+32＝13，∴AB2+AE2＝BE2，AB＝AE，
∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE＝∠CBE+∠ABC＝45°，∴∠CBD+∠ABC＝45°故答案为：45°．
2.（23-24八年级·福建南平·期末）如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中点A，B，C，D能与点M，N构成一个直角三角形的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】D
【分析】此题考查勾股定理及其逆定理，证明直角三角形，即可得到答案.
【详解】解：连接，
，
∴，∴直角三角形，
∴点符合题意，用同样的方法证明其它点不符合要求，故选：D
3.（23-24八年级·辽宁葫芦岛·期末）如图，在单位为1的正方形网格中，有三条线段a，b，c（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答： ．（填“能”或“不能”．）
【答案】能
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】由题意得
∴∴能构成直角三角形故答案为：能．
题型19.勾股定理在实际生活中的应用
1.（23-24八年级·河北承德·期末）如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米（米）、东米（米）点处．
（1）求小明家离小红家的距离；（2）现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值．
【答案】（1）米；（2）见解析，米
【分析】（1）如图，连接AB，据勾股定理即可得到结论；（2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：（1）如图，连接AB，
由题意知AC=500，BC=1200，∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∴AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000，∵AB＞0∴AB=1300米；
（2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．
驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，
由题意知AD=200米，A'C⊥MN，∴A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米，
在Rt△A'BC中，∵∠ACB=90°，∴A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000，
∵A'B＞0，∴A'B=1500米，即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米．
2.（23-24八年级·湖北黄冈·期末）我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，城气象台测得台风中心在城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域．(1)城是否受到这次台风的影响 为什么 (2)若城受到这次台风影响，那么城遭受这次台风影响有多长时间
【答案】(1)城会受台风影响(2)6小时
【分析】本题考查勾股定理的应用，构造直角三角形是解题的关键．
（1）根据垂线段最短，故应由A点向作垂线，垂足为，若，则A城不受影响，否则受影响；
（2）点A到直线的长为千米的点有两点，分别设为D、G，则是等腰三角形，由于，则C是的中点，在中，解出的长，则可求长，在长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．
【详解】（1）解：由点向作垂线，垂足为，在中，，
则，因为，所以城会受台风影响；
（2）解：设上点，使千米，是等腰三角形，
，是的垂直平分线，，
在中，千米，千米，
有勾股定理得，（千米）
则千米，遭受台风影响的时间是：小时
题型20.利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题
1.（23-24八年级·四川达州·期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为．A和B.是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题的是平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：，解得：．故选：C．
2.（23-24八年级·广西南宁·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ．
【答案】10
【分析】将圆柱侧面展开再进行点标注，此时长方形的长为圆柱底面周长的一半，如图，作关于的对称点，连接，过点作于点，则即为最短距离，的长度即为所求，接下来结合已知数据，根据勾股定理相信你可以求出的长了．
本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
【详解】解：如图：作关于的对称点，连接，过点作于点，则即为最短距离，
∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处，
∴ ，，∴，
在中，，故答案为：10．
3.（23-24八年级·山东日照·期末）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ．
【答案】25
【分析】本题主要考查两点之间线段最短，勾股定理，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：
长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5，，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5，，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：
长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：；
，蚂蚁爬行的最短距离是25，故答案为：25
选择题（共10小题）
1．（23-24八年级·重庆·期中）下列是一些图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称的定义：如果一个平面图形沿一个条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形叫做轴对称图形，逐一判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，故符合题意；C、不是轴对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，故不符合题意，故选：B．
2．（23-24八年级·浙江·期中）如图所示，已知D为上一点且，那么与之间满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形内角和，等边对等角，三角形外角性质，根据可得，，结合三角形外角性质即可得到，代入的值整理即可解题．
【详解】解：，，，
，，
整理得：，故选：D．
3．（23-24八年级·甘肃武威·阶段练习）已知的三边长分别为，，，且，则是（ ）
A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形
C．以为斜边的直角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【分析】本题考查三角形形状的确定，涉及非负式、非负式和为的条件、勾股定理的逆定理等知识，由可得，，的值，再由勾股定理的逆定理列式求解即可得到答案，熟练掌握非负式和为的条件、勾股定理的逆定理是解决问题的关键．
【详解】解： ，
，解得，
，，即，
是以为斜边的直角三角形，故选：C．
4．（23-24八年级·河北邯郸·期中）如图，将一直角三角形纸片沿斜边中线l剪开，得到和，下列不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握直角三角形的斜边中线定理．由是直角三角形斜边上的中线可得，进而得到，根据三角形的外角性质可得，即可求解．
【详解】解： 是直角三角形斜边上的中线， ， ，
， ， 是的外角， ，
故A、B、D正确，不符合题意，故选：C．
5．（23-24八年级·浙江·期中）如图，在中，，，平分交于，于，若，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据角的平分线性质定理，等腰直角三角形的判定和性质，解答即可．
本题考查了角的平分线性质定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键．
【详解】∵，平分，，∴．
∵，∴．∴．
∵，，∴．∴．
∴．∴．∴，故选C．
6．（23-24八年级·山东烟台·期中）如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
【答案】D
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线，可知点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：如图，连接，，
是等腰三角形，点是边的中点，，
，解得，
是线段的垂直平分线，∴，∴，
∵垂线段最短，且两点之间线段最短，∴的最小值为的长，即的最小值为的长，
周长的最小值．故选：D．
7．（23-24八年级·云南昆明·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的正方形，若大正方形的面积是61，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形，正确表示出大正方形与小正方形的面积是解题的关键．根据题意得出，，再根据，即可得出结果．
【详解】解：大正方形的面积是61，小正方形的面积是1，
，，，，，
，（负值舍去），故选：A．
8．（23-24八年级·辽宁丹东·期中）如图，已知等边和等边，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接；下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．分别利用全等三角形的判定方法以及其性质得出对应角以及对应边关系进而分别分析得出答案．
【详解】证明：①∵等边和等边，∴，，，
在和中，，∴，∴，故①正确；
②∵，∴，∵，则，故②正确；
③作于N，于F，
∵，∴，
在和中，，∴，
∴，∴平分，故③正确；
④在上截取，连接．由②知，∴，
由③知：平分，∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∴为等边三角形，则，故，
∵，∴，故④错误；正确的有①②③，共3个．故选：C．
9．（23-24八年级·山东烟台·期中）如图，已知等腰直角三角形中，，过点C作，垂足为的面积为，过点作，垂足为的面积为，过点作，垂足为的面积为，过点作垂足为的面积为，如此作下去，…，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算，解题的关键是通过计算三角形的面积得出规律是解题的关键．
先分别求出出，得出规律，再求出它们的和即可．
【详解】解：∴等腰直角三角形中，，
，∴,
同理：，，……
设 ,则，∴，．故选D．
10．（23-24八年级·湖北荆门·期中）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：① ；② ；③ 过点B作于点I，延长B交于点J，则．④ 若，则．其中正确的结论个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．
首先根据题意证明出，进而得到，即可判断①；过点F作交延长线于点O，证明出，得到，然后利用三角形面积公式即可得到，即可判断②；过点A作交的延长线于点P，过点C作，证明出，得到，同理得到，得到，然后证明出，得到，即可判断③；根据全等三角形的性质得到，然后利用勾股定理证明出，同理得到，然后得到，即可判断④．
【详解】∵在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，∴，，
∵∴∴∴，故①正确；
如图所示，过点F作交延长线于点O，
∵∴
又∵，∴∴
∵∵，∴，故②正确；
如图所示，过点A作交的延长线于点P，过点C作
∵，∴
又∵，∴
∴同理可证，∴∴
∵，∴∴，故③正确；
∵∴∵∴
∵∴ ∵
∵∴
∴同理可证，
∴，故④正确．
综上所述，正确的结论个数是4．故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．（23-24八年级·陕西榆林·期中）如图，在中，，是的角平分线，为的中点，若，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，由等腰三角形的性质得，，由勾股定理求得，则得，由面积公式即可计算结果，熟练掌握等腰三角形的性质及勾股定理是解题的关键，
【详解】解：∵，是的角平分线，
∴，，∴，
在中，由勾股定理得，
∵为的中点，∴，∴的面积为，故答案为：．
12．（23-24八年级·山东烟台·期中）国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是 ．
【答案】10km
【分析】根据题意先求、两地的水平距离和竖直距离，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点作，垂足为，延长交于，如下图：
观察图形可得：（km），（km），
在中，（km）．故答案为：10km．
13．（23-24八年级·河南开封·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，则 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．利用勾股定理的几何意义解答．
【详解】解：如图，连接，由题意可知：，，，．
在直角和中，，即，
，．故答案为：12
14．（23-24八年级·湖北孝感·期中）如图，在中，，．点、、分别为边、、上的点，且为等边三角形，若．则的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，设，则，利用三角形外角性质推出，在上截取，证明，得到，推出，即可求出的长度，由此得到答案，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】设，则，
∵，∴，
在上截取∵∴∴
∴∴，
∴，∴，故答案为：．
15．（23-24八年级·山东济宁·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角性质，当等腰三角形的顶角是钝角或锐角两种情况分析即可，熟练掌握等腰三角形的性质及理解分类讨论思想的应用是解题的关键．
【详解】当等腰三角形的顶角为锐角时，过作于点，如图所示，
∴，∵，∴；
当等腰三角形的顶角为钝角时，过作，交延长线于点，如图所示，∴，
∵，∴，故答案为：或．
16．（23-24八年级·福建宁德·期中）如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等，垂直平分线上的点到两端距离相等．连接，通过证明，得出，在证明，得出，即可解答．
【详解】解：连接，∵平分，，，∴，
在和中，，∴，∴，
∵是的垂直平分线，∴，
在和中，，∴，∴，
∴，
整理得：，∴，故答案为：2．
三．解答题（共7小题）
17．（23-24八年级·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，，为的中点，于点，于点，且，连接，点在的延长线上，且．
(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质定理得到，求得，根据等边三角形的判定定理即可得到结论；（2）由（1）知，是等边三角形，求得，易得，得到，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：于点，于点，，为的中点，，
在与中，，，，，
，，是等边三角形；
（2）解：由（1）知，是等边三角形，，，
，，，∴，，，
，，，，．
18．（23-24八年级·浙江台州·期中）如图是边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．
(1)为______三角形；(2)仅用无刻度的直尺画图（画图用实线，要体现过程并保留痕迹）
①在图（1）中的上画点D．连接，使；
②在图（2）中的网格上画格点E，使．
【答案】(1)直角；(2)①作图见详解；②作图见详解
【分析】（1）利用勾股定理分别求出，再利用勾股定理逆定理证明即可；
（2）①根据矩形的性质得到点D为中点即可；②平行线间的距离处处相等，得到与等高同底，即可求解．
【详解】（1）解：，
∴，∴，∴为直角三角形；
（2）解：①如图，即为所求：
根据矩形对角线相等且互相平分得到点D为中点，∵，∴；
②如图，即为所求：
此时与水平线的夹角为，∴，
∴根据平行线间的距离处处相等，得到与等高，又同底，∴．
19．（23-24八年级·山东济宁·期中）如图，是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．
(1)当点P的运动速度是，点Q的运动速度是，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当时，判断的形状，并说明理由；
(2)当它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，是直角三角形？
【答案】(1)是等边三角形，理由见解析(2)当点P的运动时间为2s或4s时，是直角三角形
【分析】（1）分别求出的长可知，再由等边三角形的性质得到，即可证明是等边三角形；（2）分当时和当时两种情况利用含30度角的直角三角形的性质求解即可，
本题主要考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握直角三角形含30度角的性质是关键．
【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下；
由题意得，当时，，
∴，∴，
∵是等边三角形，∴，∴是等边三角形；
（2）解；∵运动时间为，∴，
∴，如图1所示，当时，
∵，∴，∴，∴，解得；
如图2所示，当时，同理可得，∴，∴，解得；
综上所述，当点P的运动时间为2s或4s时，是直角三角形．
20．（23-24八年级·北京海淀·期中）已知：在中，作的平分线，在上找一点D，使得，过点D作，交直线于点E．
(1)在图中，依题意补全图形；(2)用等式写出之间的数量关系，并给出证明；
(3)如果把作的平分线，改为作的外角的平分线，其他条件不变，直接用等式写出之间的数量关系．
【答案】(1)见解析(2),证明见解析(3)
【分析】根据题意补全图形即可．（2）在上截取，从而构造，则，再利用等腰三角形的“三线合一”性质证得，再结合即可获得结论．（3）与（2）的思路类似．
【详解】（1）补全图形如图所示：
（2），证明如下：在上取一点F，使，连接．（如图）
∵∴∴，
∵∴∵，∴为等腰三角形底边上的高，∴，
由得∵
∴，得 即：
（3）结论：．理由如下：在射线上取一点F，使（如图）
∵∴∴
又∵∴∵，即∴，即
∴∴
21．（23-24八年级·山西运城·期中）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm，宽为50cm的长方形地毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为20cm的等边三角形．求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接．(2)线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是_____．
(3)问题解决：如图②，展开图中_____，_____．(4)这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是_____．
【答案】(1)见解析；(2)两点之间线段最短；(3)120cm，50cm；(4)130cm
【分析】（1）根据题意画出三角锥木块的平面展开图，根据两点之间线段最短连接即可；
（2）根据题（1）即可求解；（3）根据题意可得，展开图中等于长方形地毛毯的长和两个三角形边长之和，展开图中等于长方形地毛毯的宽；（4）根据勾股定理计算的长即可求解．
【详解】（1）如图所示即为所求：
（2）线段的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短；
（3）根据题意可得：展开图中的cm，cm．故答案为：120cm，50cm；
（4）由题（1）可得：在Rt中，由勾股定理可得：cm，
故答案为：130cm．
22．（23-24八年级·广东湛江·期中）如图，在中，，，过C作直线，B关于直线的对称点为D，连接，，，与的交点为E，设．
(1)若，则请直接写出下列两个角的度数： _______， _______．
(2)随着α的变化，的度数是否也发生变化，请说明理由；(3)当成为等腰三角形时，求α的值．
【答案】(1)；(2)不变，理由见解析；(3)或或或
【分析】（1）根据轴对称的性质得出，，根据等腰三角形的性质求出，证明是等边三角形，得出，，根据等腰三角形性质求出，最后求出结果即可；
（2）根据解析（1）的思路，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理，求出即可证明结论；
（3）分四种情况进行讨论，根据等腰三角形的定义，进行分类，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）解：如图1中，∵B，D关于对称，∴，，∴，
∵，∴，
∵，，∴是等边三角形，
∴，，∴，
∴，∴，故答案为：；．
（2）解：如图2中，结论：的度数不变，．
理由：∵，，∴，
∵，，∴，
∴．
（3）解：如图3中，当时，
∵，，∴，关于对称，∴，∴；
如图4中，当时，是等边三角形，
∴，∴；
如图5中，当时，∵，，，∴，
∴，∴；
如图6中，当时，∵，，，∴，
∴，∴，∴，
综上所述，满足条件的α的值为或或或．
23．（23-24八年级·广东广州·期中）在中，，，是的角平分线，于点E．
(1)如图1，连接，求证：是等边三角形；
(2)点M是边上一个动点（不与点D重合），以为一边，在的下方作，交射线于点G，请画出完整图形，探究与数量之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)，理由见解析
【分析】（1）先证，再证，然后由等边三角形的判定即可得出结论；
（2）延长至H，使得，连接，证是等边三角形，得，，得，然后证，得，即可解决问题．
【详解】（1）证明：在中，，， ，，
平分， ， ，
又 ， ， ，
又 ， 是等边三角形；
（2）解：，理由如下：
如图，延长至H，使得，连接，
由（1）得，，
， ， ，
又 ， 是等边三角形， ，，
， ， ， ，
， ，即，
在和中，， ， ，
， ．
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第2章 特殊三角形
题型1.利用轴对称的性质求角的度数 2
题型2.利用线段垂直平分线的性质求线段的长 4
题型3.平面直角坐标系中的轴对称 5
题型4.点的坐标对称规律的应用 7
题型5.含30°的直角三角形性质的应用 9
题型6.等腰三角形的性质与判定的综合 10
题型7.等边三角形的性质与判定 12
题型8.利用轴对称解决“两线”的最短路径问题 15
题型9.角平分线性质的应用 16
题型10.角平分线相关的最短路径问题 19
题型11.角平分线判定的应用 21
题型12.角平分线性质与判定的综合运用 22
题型13.利用勾股定理求线段的长 26
题型14.利用勾股定理求图形的面积 27
题型15.勾股定理的证明 29
题型16.利用直角三角形的判定方法判断三角形的形状 30
题型17.勾股定理及直角三角形的判定方法的综合应用 31
题型18.格点中勾股定理的应用 32
题型19.勾股定理在实际生活中的应用 34
题型20.利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题 36
专项训练 39
题型1.利用轴对称的性质求角的度数
1.（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，，点D，E在上，与关于直线对称，则的度数是 ．
2.（23-24八年级·河北保定·期末）如图，中，点在上，将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、．根据图中标示的角度，则的度数为 ．
3.（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，点P在四边形的内部，且点P与点M关于对称，交于点G，点P与点N关于对称，交于点H，分别交于点．
(1)连接，若求的周长；(2)若，求的度数．
题型2.利用线段垂直平分线的性质求线段的长
1.（23-24八年级·江苏南通·期末）如图，在中，E是上一点，，垂直平分，于点D，的周长为，，则的长为 ．
2.（23-24八年级·宁夏石嘴山·期末）如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，若的周长为，则的长为 ．
3.（23-24八年级·广西贵港·期末）如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于、两点，与相交于点．(1)若，求的周长．(2)若，求的度数．
题型3.平面直角坐标系中的轴对称
1.（23-24八年级·甘肃武威·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知三个定点坐标分别为，，．(1)画出关于x轴对称的，点A，B，C的对称点分别是点，直接写出点的坐标；(2)画出点C关于y轴的对称点，连接，求的面积．
2.（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，．
(1)画出关于轴对称的；(2)画出向下平移个单位长度得到的；
(3)在的内部有一点，其坐标为，请直接写出点经过以上变换后的对应点的坐标．
题型4.点的坐标对称规律的应用
1.（23-24八年级·吉林白山·期末）在坐标平面上有一个轴对称图形，其中A（3，﹣）和B（3，﹣）是图形上的一对对称点，若此图形上另有一点C（﹣2，﹣9），则C点对称点的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣） C．（﹣，﹣9） D．（﹣2，﹣1）
2.（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）已知点与点关于x轴对称，则 ， ．
3.（23-24八年级·山东枣庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是，则经过第2024次变换后点A的对应点的坐标为 ．
题型5.含30°的直角三角形性质的应用
1.（23-24八年级·辽宁大连·期末）如图，在等边中，点、分别在边、上，，线段、交于点，连接．(1)求的度数；(2)当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
2.（23-24八年级·湖南长沙·期末）已知在中，的平分线交于点D，．
(1)如图1，求证：是等腰三角形；(2)如图2，若平分交于E，，在边上取点F使，若，求的长．
题型6.等腰三角形的性质与判定的综合
1.（23-24八年级·安徽六安·期末）在等腰中，，高所在的直线相交于点F，将沿直线翻折，点C的对称点落在直线上，连接．(1)如图1，当时，①求证：；②求的度数．(2)当时，补全图2，并求证：．
2.（23-24八年级下·四川成都·期末）如图1，在中，D为边上一点，，．
(1)求的度数；(2)如图2，点E在延长线上，连接，，求证：；
(3)在（2）的条件下，求证：．
题型7.等边三角形的性质与判定
1.（23-24八年级·全国·单元测试）已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点．(1)求证：；(2)求的度数；(3)求证：是等边三角形．
2.（23-24八年级·安徽·期末）如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．
(1)如图1，当为的中点时，则______（填“”“”或“”）．
(2)如图2，当为边上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．
(3)如图3，当点在的延长线上时，若的边长为2，，求的长．
题型8.利用轴对称解决“两线”的最短路径问题
1.（23-24八年级·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知的大小为α，P是内部的一个定点，且，点E、F分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则（ ）
A． B． C． D．
2.（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型9.角平分线性质的应用
1.（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图1，在中，是的角平分线．
(1)若，，，可得到结论：__________；
(2)若，，，可得到结论：__________；
(3)图2中，，，，若是的外角平分线，与的延长线交于点E，可得到结论：__________．
2.（23-24八年级下·湖南张家界·期末）如图，点是的三个内角平分线的交点，若的周长为，面积为，则点P到边的距离是（ ）
A． B． C． D．
3.（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，在中，是它的角平分线，点P是线段上的任一点（不与A、D重合），，交于点E，，交于点F，若点D到的距离为3，，则 ．
题型10.角平分线相关的最短路径问题
1.（23-24八年级·广东韶关·期中）如图，等边中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ．
2.（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为 ．
3.（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，AB=AC=7，AD=8.3，点E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于点F．点P是线段CF上一动点，则EP＋AP的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．7.5 D．8.3
题型11.角平分线判定的应用
1.（23-24八年级·河南新乡·期中）如图，三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有 处 (阴影部分不能修建超市)
2.（23-24八年级·湖南衡阳·期中）如图，，于点E，于点F，、相交于点D，则①；②；③点D在的平分线上，以上结论正确的是 ．（填序号）
题型12.角平分线性质与判定的综合运用
1.（23-24八年级·江苏泰州·期中）如图，在中，点D是边上一点，已知平分交于点E，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2.（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，的内角和外角的角平分线，交于点，且，则 ．
3（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，线段、分别平分、交于点G．(1)如图1，求的度数；(2)如图2，求证：；(3)如图3，过点C作交延长线于点D，连接，点N在延长线上，连接交于点，使，若，，求线段的长．
题型13.利用勾股定理求线段的长
1.（23-24八年级·山东济南·期末）如图，，，，，，点是的中点，则的长为 ．
2.（23-24八年级·广东深圳·期末） 在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（ ）
A． B． C．4 D．
题型14.利用勾股定理求图形的面积
1.（23-24八年级·山东聊城·期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积
2,（23-24八年级·广东江门·期末）如图，正方形纸片的四个顶点分别在四条平行线、、、上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为、、，，，若，，则正方形的面积等于 ．
题型15.勾股定理的证明
1.（23-24八年级·江西赣州·阶段练习）如图1，我们称该图案为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为a，b（），斜边长为c．（1）请利用图1验证勾股定理．
知识应用（2）在图1中，若，，求小正方形的面积．
（3）小明按图2的方式把边长为和的两个正方形切割成5块，按图3的方式无缝拼成一个大正方形，则大正方形的边长是________．
2.（23-24八年级·河南驻马店·期末）阅读下列材料，完成任务：我们知道，平方差公式可以用如图所示的平面几何图形的面积来表示，实际上，还有一些代数式恒等式也可以用这种形式表示．
任务：(1)图1是由2个边长分别为，的正方形和2个全等的长方形所拼成的大正方形，根据图中的信息，可以写出所表示的代数恒等式为______；
(2)图2所示的图形是由四个直角边长分别为，，斜边长为的全等的直角三角形和一个正方形的拼成的大正方形，请你用面积法推导恒等式的方法，证明勾股定理．
(3)在中，，为直角边长，为斜边长，且，，求直角三角形的斜边长．
题型16.利用直角三角形的判定方法判断三角形的形状
1.（23-24八年级·陕西西安·期末）在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件：
①；②；③，，；
④，其中可以判定是直角三角形的有 个．
2.（23-24八年级·陕西西安·期中）已知是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ）
A．底与腰不相等的等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
题型17.勾股定理及直角三角形的判定方法的综合应用
1.（23-24八年级·贵州贵阳·期末）如图，四边形中，，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2.（23-24八年级·广东河源·期末）（1）如图1，在中，，，，，求的面积；（2）如图2，在中，，，，求的面积．
题型18.格点中勾股定理的应用
1.（23-24八年级·山东淄博·期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，则∠CBD+∠ABC＝ ．
2.（23-24八年级·福建南平·期末）如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中点A，B，C，D能与点M，N构成一个直角三角形的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
3.（23-24八年级·辽宁葫芦岛·期末）如图，在单位为1的正方形网格中，有三条线段a，b，c（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答： ．（填“能”或“不能”．）
题型19.勾股定理在实际生活中的应用
1.（23-24八年级·河北承德·期末）如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米（米）、东米（米）点处．
（1）求小明家离小红家的距离；（2）现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值．
2.（23-24八年级·湖北黄冈·期末）我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，城气象台测得台风中心在城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域．(1)城是否受到这次台风的影响 为什么 (2)若城受到这次台风影响，那么城遭受这次台风影响有多长时间
题型20.利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题
1.（23-24八年级·四川达州·期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为．A和B.是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
2.（23-24八年级·广西南宁·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ．
3.（23-24八年级·山东日照·期末）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ．
选择题（共10小题）
1．（23-24八年级·重庆·期中）下列是一些图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级·浙江·期中）如图所示，已知D为上一点且，那么与之间满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级·甘肃武威·阶段练习）已知的三边长分别为，，，且，则是（ ）
A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形
C．以为斜边的直角三角形 D．等边三角形
4．（23-24八年级·河北邯郸·期中）如图，将一直角三角形纸片沿斜边中线l剪开，得到和，下列不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24八年级·浙江·期中）如图，在中，，，平分交于，于，若，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年级·山东烟台·期中）如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
7．（23-24八年级·云南昆明·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的正方形，若大正方形的面积是61，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
8．（23-24八年级·辽宁丹东·期中）如图，已知等边和等边，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接；下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（23-24八年级·山东烟台·期中）如图，已知等腰直角三角形中，，过点C作，垂足为的面积为，过点作，垂足为的面积为，过点作，垂足为的面积为，过点作垂足为的面积为，如此作下去，…，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24八年级·湖北荆门·期中）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：① ；② ；③ 过点B作于点I，延长B交于点J，则．④ 若，则．其中正确的结论个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题）
11．（23-24八年级·陕西榆林·期中）如图，在中，，是的角平分线，为的中点，若，，则的面积为 ．
12．（23-24八年级·山东烟台·期中）国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是 ．
13．（23-24八年级·河南开封·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，则 ．
14．（23-24八年级·湖北孝感·期中）如图，在中，，．点、、分别为边、、上的点，且为等边三角形，若．则的值为 ．
15．（23-24八年级·山东济宁·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ．
16．（23-24八年级·福建宁德·期中）如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ．
三．解答题（共7小题）
17．（23-24八年级·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，，为的中点，于点，于点，且，连接，点在的延长线上，且．
(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长．
18．（23-24八年级·浙江台州·期中）如图是边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．(1)为______三角形；(2)仅用无刻度的直尺画图（画图用实线，要体现过程并保留痕迹）
①在图（1）中的上画点D．连接，使；
②在图（2）中的网格上画格点E，使．
19．（23-24八年级·山东济宁·期中）如图，是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．(1)当点P的运动速度是，点Q的运动速度是，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当时，判断的形状，并说明理由；(2)当它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，是直角三角形？
20．（23-24八年级·北京海淀·期中）已知：在中，作的平分线，在上找一点D，使得，过点D作，交直线于点E．(1)在图中，依题意补全图形；(2)用等式写出之间的数量关系，并给出证明；(3)如果把作的平分线，改为作的外角的平分线，其他条件不变，直接用等式写出之间的数量关系．
21．（23-24八年级·山西运城·期中）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm，宽为50cm的长方形地毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为20cm的等边三角形．求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接．(2)线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是_____．
(3)问题解决：如图②，展开图中_____，_____．(4)这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是_____．
22．（23-24八年级·广东湛江·期中）如图，在中，，，过C作直线，B关于直线的对称点为D，连接，，，与的交点为E，设．
(1)若，则请直接写出下列两个角的度数： _______， _______．
(2)随着α的变化，的度数是否也发生变化，请说明理由；(3)当成为等腰三角形时，求α的值．
23．（23-24八年级·广东广州·期中）在中，，，是的角平分线，于点E．
(1)如图1，连接，求证：是等边三角形；
(2)点M是边上一个动点（不与点D重合），以为一边，在的下方作，交射线于点G，请画出完整图形，探究与数量之间的关系，并说明理由．
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